structuri discrete - curs1: mulțimi

121
Curs 1: Mult , imi Structuri discrete (F.02.O.13) Radu Dumbr˘ aveanu Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘ alt , i Facultatea de S , tiint , e Reale Aceast˘ a prezentare este pus˘ a la dispozit ¸ie sub Licent ¸a Atribuire - Distribuire-ˆ ın-condit ¸ii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ a (CC BY-SA 3.0) alt , i, 2013 R. Dumbr˘ aveanu (USARB) Curs 1: Mult , imi alt , i, 2013 1 / 36

Upload: radu-dumbraveanu

Post on 12-Jul-2015

279 views

Category:

Education


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Curs 1: Mult, imiStructuri discrete (F.02.O.13)

Radu Dumbraveanu

Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale

Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)

Balt, i, 2013

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 1 / 36

Page 2: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.

Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.

De obicei:

I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.

I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;

I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36

Page 3: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.

Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.

De obicei:

I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;

I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.

I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;

I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36

Page 4: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.

Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.

De obicei:

I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.

I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;

I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36

Page 5: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.

Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.

De obicei:

I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.

I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;

I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36

Page 6: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

O mult, ime este o colect, ie neordonata de obiecte oarecare binedeterminate s, i distincte.

Obiectele colect, iei se numesc elemente ale mult, imii.

De obicei:

I pentru a descrie o mult, ime folosim simbolurile “”,“” s, i “,”;I de exemplu: 0, 1 sau 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F;I de exemplu: a, b, a, b, ab.

I mult, imile se noteaza prin majuscule, iar elementele acestora prinminusculele alfabetului latin sau grecesc;

I de exemplu: A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau Ω = α, β, δ, γ.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 2 / 36

Page 7: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

I faptul ca un obiect este element al unei mult, imi se noteaza prin “∈”sau “3” (simbolul relat, iei de apartenent, a);

I de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a mult, ii A” sau “0 apart, ineA”);

I de exemplu: A 3 1 (citim: “A cont, ine 1);I 2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 s, i 7 apart, in A).

I faptul ca un obiect nu este element al unei mult, imi se noteaza prin”/∈“ sau ”63“;

I de exemplu: α /∈ A sau A 63 8.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 3 / 36

Page 8: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

I faptul ca un obiect este element al unei mult, imi se noteaza prin “∈”sau “3” (simbolul relat, iei de apartenent, a);

I de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a mult, ii A” sau “0 apart, ineA”);

I de exemplu: A 3 1 (citim: “A cont, ine 1);I 2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 s, i 7 apart, in A).

I faptul ca un obiect nu este element al unei mult, imi se noteaza prin”/∈“ sau ”63“;

I de exemplu: α /∈ A sau A 63 8.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 3 / 36

Page 9: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;

I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.

I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;

I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36

Page 10: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;

I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.

I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;

I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36

Page 11: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Definit, ia [neformala a] mult, imii

I faptul ca doua mult, imi au [exact] aceleas, i elemente se noteaza prin”=“; altfel ”6=“;

I de exemplu: 0, 1 = 1, 0;I de exemplu: 0, 1 6= 0, 1.

I numarul de elemente a mult, imii se numes, te cardinalul acesteia; dacaam notat mult, imea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;

I de exemplu: |0, 1| = 2;I de exemplu: |0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C ,D,E ,F| = 16;I de exemplu: |0, 1| = 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 4 / 36

Page 12: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 13: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 14: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;

I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 15: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 16: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 17: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

Cum descriem o mult, ime [astfel ıncıt sa fie limpede care sınt elementemult, imii s, i care nu]?

Din liceu sınt bine cunoscute cel putin doua modalitati de a descrie omultime:

I Prin enumerarea elementelor mult, imii;I de exemplu: 0, 1, 2;I de exemplu: 0, 1, 2, ...;I de exemplu: ...,−2,−1, 0, 1, 2, ....

I Prin specificarea unei proprietat, i caracteristice doar elementelormult, imii;

I de exemplu: a : a ≡ 3(mod2);I de exemplu: a : a este un numar par;I de exemplu: x : x2 − 1 = 0.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 5 / 36

Page 18: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

I Metoda recursiva; de exemplu:I Definit, ia recursiva a mult, imii numerelor naturale, N

1. Baza: 0 ∈ N;2. Pas constructiv: Daca n ∈ N atunci n + 1 ∈ N;3. Nimic altceva nu mai este ın N.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 6 / 36

Page 19: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Modalitat, i de descriere/definire a mult, imilor

La fel din liceu sınt cunoscute urmatoarele mult, imi remarcabile:

I N - mult, imea numerelor naturale;I Z - mult, imea numerelor ıntregi;I Q - mult, imea numerelor rat, ionale;I I - mult, imea numerelor irat, ionale;I R - mult, imea numerelor reale;I C - mult, imea numerelor complexe.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 7 / 36

Page 20: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25

I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 42. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11

I Raspuns: 4, 6, 8, 103. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova

I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1

I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova

I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 21: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 22: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11

I Raspuns: 4, 6, 8, 103. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova

I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1

I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova

I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 23: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 24: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova

I Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin4. x ∈ R : x2 = −1

I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova

I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 25: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 26: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1

I Raspuns: 5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova

I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 27: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 28: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova

I Raspuns: Balt, i,Chis, inau6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 29: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 30: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4

I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 31: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Exemple

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

1. x ∈ N : x2 < 25I Raspuns: 0, 1, 2, 3, 4

2. x ∈ N : x este par si 2 < x < 11I Raspuns: 4, 6, 8, 10

3. x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii MoldovaI Raspuns: MirceaSnegur ,PetruLucinschi,VladimirVoronin

4. x ∈ R : x2 = −1I Raspuns:

5. x : x este unul dintre municipiile Republicii MoldovaI Raspuns: Balt, i,Chis, inau

6. x ∈ Z : |x| < 4I Raspuns: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 8 / 36

Page 32: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea vida

Mult, imea care nu cont, ine nici un element se numes, te mult, imea vida s, i senoteaza prin ∅ sau simplu .

Mult, imea vida este unica.

De exemplu:

I x ∈ R : x2 + 1 = 0 = ∅I x ∈ C : x2 + 1 = 0 6= ∅I ∅ 6= ∅

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 9 / 36

Page 33: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea vida

Mult, imea care nu cont, ine nici un element se numes, te mult, imea vida s, i senoteaza prin ∅ sau simplu .

Mult, imea vida este unica.

De exemplu:

I x ∈ R : x2 + 1 = 0 = ∅I x ∈ C : x2 + 1 = 0 6= ∅I ∅ 6= ∅

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 9 / 36

Page 34: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.

Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.

Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.

Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:

I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36

Page 35: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.

Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.

Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.

Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:

I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36

Page 36: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.

Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.

Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.

Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:

I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36

Page 37: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

In afara de relat, ia de egalitate ”=“ ıntre doua mult, imi, este definita s, irelat, ia de incluziune.

Spunem ca o mult, ime A este inclusa ın alta mult, ime B daca oriceelement din A este s, i element al mult, imii B.

Expresia ”A este inclusa ın B“ are urmatoarele sinonime: ”A este osubmult, ime a lui B“ s, i ”A este o parte a lui B“.

Din definit, ie reiese ca pentru orice mult, ime A:

I ∅ ⊆ A;I A ⊆ A.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 10 / 36

Page 38: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:

1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.

I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.

2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.

I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36

Page 39: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:

1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.

I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.

2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.

I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36

Page 40: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:

1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.

I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.

2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.

I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36

Page 41: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:

1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.

I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.

2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.

I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36

Page 42: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Pentru relat, ia de incluziune se folosesc doua categorii de simboluri:

1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B daca s, i numai daca A este osubmult, ime a lui B.

I De exemplu: 0, 1 ⊆ 0, 1 sau 0, 1 ⊆ 0, 1, 2;I De exemplu: 0, 1, 2 ⊇ 0, 1.

2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea stricta). Scriem A ⊂ B dacas, i numai daca se ındeplines, te condit, ia: A este o submult, ime a lui B s, iA 6= B.

I De exemplu: 0 ⊂ 0, 1;I De exemplu: 0, 1 6⊂ 0, 1.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 11 / 36

Page 43: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Fie A o mult, ime oarecare. Submult, imile lui A diferite de A s, i ∅ se numescsubmult, imi proprii, iar A s, i ∅ - submult, imi improprii ale lui A.

Sau echivalent: o mult, ime B este o submult, ime proprie a lui A daca oriceelement al lui B este ın A s, i ın plus exista cel put, in un element din A carenu este ın B.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 12 / 36

Page 44: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi

Fie A o mult, ime oarecare. Submult, imile lui A diferite de A s, i ∅ se numescsubmult, imi proprii, iar A s, i ∅ - submult, imi improprii ale lui A.

Sau echivalent: o mult, ime B este o submult, ime proprie a lui A daca oriceelement al lui B este ın A s, i ın plus exista cel put, in un element din A carenu este ın B.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 12 / 36

Page 45: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 46: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A

(Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 47: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)

2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 48: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A

(Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 49: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)

3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 50: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A

(Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 51: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)

4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 52: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A

(Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 53: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 54: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 55: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A

(Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 56: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)

2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 57: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A

(Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 58: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)

3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 59: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A

(Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 60: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)

4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 61: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A

(Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 62: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Relat, ii ıntre mult, imi; Exercit, iiFie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Adevarat)2. 2 + 5 ∈ A (Fals)3. ∅ ∈ A (Fals)4. A ∈ A (Fals)

Fie A = 2, 5, 17, 27. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate?Argumentat, i.

1. 5 ∈ A (Fals)2. 2, 27 ⊆ A (Adevarat)3. 5, 17 ⊆ A (Fals)4. 5, 17 ∈ A (Adevarat)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 13 / 36

Page 63: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Venn

Diagramele Venn sınt modele vizuale pentru reprezentarea relat, iilor dintremult, imi. Caracteristic pentru acestea este ca ın aceeas, i diagrama pot fireprezentate orice combinat, ie posibila de relat, ii ıntre mult, imi.

Zonele ın care sınt elemente se has, ureaza, iar zonele ın care nu-s elementenu se has, ureaza.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 14 / 36

Page 64: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Venn. Exemple

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.

A B

C

A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36

Page 65: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Venn. Exemple

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.

A B

C

A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36

Page 66: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Venn. Exemple

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 0, 1, 2, 3.

A B

C

A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 15 / 36

Page 67: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Euler

Diagramele Euler sınt modele vizuale pentru reprezentarea relat, iilor dintremult, imi. Caracteristic pentru acestea este ca ıntr-o diagrama poatereprezentata doar o combinat, ie de relat, ii ıntre mult, imi.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 16 / 36

Page 68: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diagramele Euler. Exemple

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 3, 4, 5, 6.

A B

A = 0, 1, 2, 3,B = 4, 5, 6.

AB

C

A = 0, 1, 2, 3, B = 0, 1, C = 2, 3, 4, 5, 6.

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 17 / 36

Page 69: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere

Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.

Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.

Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.

De exemplu:

I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)

I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)

I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36

Page 70: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere

Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.

Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.

Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.

De exemplu:

I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)

I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)

I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36

Page 71: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere

Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.

Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.

Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.

De exemplu:

I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)

I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)

I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36

Page 72: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere

Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.

Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.

Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.

De exemplu:

I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)

I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)

I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36

Page 73: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere

Fie A o mult, ime arbitrara. Familia tutror submult, imilor din A se numes, temult, imea putere a lui A.

Se noteaza P(A) sau P(A) sau 2A.

Cardinalul mult, imii putere se calculeaza dupa formula 2|A|.

De exemplu:

I Daca A = 0, 1 atunciI 2A = 0, 1,A, ∅ (s, i |2A| = 4 = 22)

I Daca A = 0, 1, 2 atunciI 2A = 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2,A, ∅ (s, i |2A| = 8 = 23)

I Daca A = ∅ atunciI 2A = ∅ (s, i |2A| = 1 = 20)

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 18 / 36

Page 74: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere; Exercit, iu

Determinat, i 2A daca A = ∅.

I 2A = ∅, ∅

Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.

I 2A = ..., |2A| = 8

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36

Page 75: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere; Exercit, iu

Determinat, i 2A daca A = ∅.

I 2A = ∅, ∅

Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.

I 2A = ..., |2A| = 8

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36

Page 76: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere; Exercit, iu

Determinat, i 2A daca A = ∅.

I 2A = ∅, ∅

Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.

I 2A = ..., |2A| = 8

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36

Page 77: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Mult, imea putere; Exercit, iu

Determinat, i 2A daca A = ∅.

I 2A = ∅, ∅

Determinat, i 2A daca A = ∅, ∅, ∅, ∅.

I 2A = ..., |2A| = 8

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 19 / 36

Page 78: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 79: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 80: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definita

I 1÷ 2 /∈ NI a ÷ b pe R nu este bine definita

I a ÷ 0 nu este unicaI a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 81: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 82: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definita

I a ÷ 0 nu este unicaI a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 83: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 84: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 85: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 86: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi

O operat, ie ? este bine definita daca valoarea a ? b exista ıntotdeauna s, ieste unica.

De exemplu:

I a ÷ b pe N nu este bine definitaI 1÷ 2 /∈ N

I a ÷ b pe R nu este bine definitaI a ÷ 0 nu este unica

I a ÷ b pe R∗ este bine definita

Pentru ca operat, iile cu mult, imi sa fie bine definite este nevoie demult, imea universala sau universul discursului notata prin U sau U .

In cazurile cınd universul discursului nu este specificat toate mult, imiledespre care se discuta sınt considerate submult, imi ale unei mult, imiuniversale U .

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 20 / 36

Page 87: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Intersect, ia

A ∩ B = a : a ∈ A s, i a ∈ B

A B

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 21 / 36

Page 88: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Reuniunea

A ∪ B = a : a ∈ A sau a ∈ B

A B

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 22 / 36

Page 89: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diferent, a

A− B = a : a ∈ A s, i a /∈ B

A B

|A− B| = |A| − |A ∩ B|

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 23 / 36

Page 90: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Diferent, a simetrica

A∆B = (A− B) ∪ (B −A)

A B

|A∆B| = |A|+ |B| − 2|A ∩ B|

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 24 / 36

Page 91: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Complementul

Ac = U −A

A

|Ac| = |U| − |A|

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 25 / 36

Page 92: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Produsul cartezian

A× B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B

|A× B| = |A| · |B|

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 26 / 36

Page 93: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 94: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ C

I t2. A ∪ C

I p, q, r , s, t, u3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 95: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 96: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ C

I p, q, r , s, t, u3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 97: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 98: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 99: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w

4. A ∩ B ∩ CI

5. B − CI r , v

6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 100: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 101: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I

5. B − CI r , v

6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 102: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 103: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v

6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 104: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 105: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w

7. A× BI (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),

(s, t), (s, v)8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 106: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 107: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 108: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 109: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Operat, ii cu mult, imi; Exercit, iiFie A = p, q, r , s,B = r , t, v s, i C = p, s, t, u sınt submult, imi aleU = p, q, r , s, t, u, v,w. Determinat, i

1. B ∩ CI t

2. A ∪ CI p, q, r , s, t, u

3. C c

I q, r , v,w4. A ∩ B ∩ C

I 5. B − C

I r , v6. (A ∪ B)c

I u,w7. A× B

I (p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r , r), (r , t), (r , v), (s, r),(s, t), (s, v)

8. (A ∪ B) ∩ C c

I ???R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 27 / 36

Page 110: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Generalizarea operat, iilor cu mult, imi

A1 ∩A2 ∩ ... ∩An =⋂n

i=1 Ai

A1 ∪A2 ∪ ... ∪An =⋃n

i=1 Ai

A1 ×A2 × ...×An = Πni=1Ai

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 28 / 36

Page 111: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Identitat, i cu mult, imi

Comutativitatea A ∩ B = B ∩AAsociativitatea A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ CDistributivitatea A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )DeMorgan (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Absorbt, iea A ∩ (A ∪ B) = AIdempotent, a A ∩A = A

A ∩ ∅ = ∅

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 29 / 36

Page 112: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Identitat, i cu mult, imi

Comutativitatea A ∪ B = B ∪AAsociativitatea A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ CDistributivitatea A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )DeMorgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

Absorbt, iea A ∪ (A ∩ B) = AIdempotent, a A ∪A = A

A ∪ ∅ = A

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 30 / 36

Page 113: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Identitat, i cu mult, imi

Distributivitatea A ∩ (B \ C ) = (A ∩ B) \ (A ∩ C )A \A = ∅

Involut, iea (Ac)c = A

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 31 / 36

Page 114: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Tehnici s, i metode de demonstrare a identitat, ilor

In aplicat, ii putem sa ne ciocnim de necesitatea de a demonstra unelerelat, ii ıntre mult, imi.

In acest scop putem utiliza urmatoarele metode:

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 32 / 36

Page 115: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda tabelului de apartenent, a

ExempluDemonstrat, i A ∩ (B ∪Ac) = B ∩A

Demonstratie.A B Ac B ∪Ac A ∩ (B ∪Ac) B ∩A0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 33 / 36

Page 116: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda tabelului de apartenent, a

ExempluDemonstrat, i A ∩ (B ∪Ac) = B ∩A

Demonstratie.A B Ac B ∪Ac A ∩ (B ∪Ac) B ∩A0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 33 / 36

Page 117: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda incluziunilor dubleExempluSa se demonstreze identitatea

(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )

Demonstrat, ie; Suficient, a.

x ∈ ((A ∪ B) \ C ) ⇒ x ∈ (A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C )

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 34 / 36

Page 118: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda incluziunilor dubleExempluSa se demonstreze identitatea

(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )

Demonstrat, ie; Suficient, a.

x ∈ ((A ∪ B) \ C ) ⇒ x ∈ (A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C )

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 34 / 36

Page 119: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda incluziunilor duble

Demonstrat, ie; Ncesitatea.

x ∈ (A \ C ) ∪ (B \ C ) ⇒ (x ∈ A \ C ) sau (x ∈ B \ C )⇒ (x ∈ A s, i x /∈ C ) sau (x ∈ B s, i x /∈ C )⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) s, i x /∈ C⇒ (x ∈ A ∪ B) s, i x /∈ C⇒ x ∈ (A ∪ B) \ C

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 35 / 36

Page 120: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda transformarilor echivalente

ExempluSa se demonstreze identitatea

(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )

Demonstratie.

(A ∪ B) \ C = (A ∪ B) ∩ C c

= (A ∩ C c) ∪ (B ∩ C c)= (A \ C ) ∪ (B \ C )

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 36 / 36

Page 121: Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

Metoda transformarilor echivalente

ExempluSa se demonstreze identitatea

(A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )

Demonstratie.

(A ∪ B) \ C = (A ∪ B) ∩ C c

= (A ∩ C c) ∪ (B ∩ C c)= (A \ C ) ∪ (B \ C )

R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Mult,imi Balt,i, 2013 36 / 36