statistik nim 62 64 68 70 72 74

TUGAS TERSTRUKTUR KELOMPOK STATISTIK

MERANGKUM MATERI TENTANG UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV

Disusun oleh :

Sausa Monica G1F012062

Nisadiyah F. Shahih G1F012064

Shinta Ana Wijaya G1F012068

Rizky Ariyanti G1F012070

Wahyu Nunggal Pramuda G1F012072

Lala Febria G1F012074

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS KEDOKTERAN DAN ILMU-ILMU KESEHATAN

JURUSAN FARMASI

PURWOKERTO

2014

1 Statistik/ Uji Kolmogorov-Smirnov

UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV

A. Uji Kolmogorov-Smirnov

Menurut Chakravart, Laha, dan Roy (1967), uji Kolmogorov-Smirnov

biasa digunakan untuk memutuskan jika sampel berasal dari populasi dengan

distribusi spesifik/tertentu. Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menguji

„goodness of fit„ antar distribusi sampel dan distribusi lainnya, Uji ini

membandingkan serangkaian data pada sampel terhadap distribusi normal

serangkaian nilai dengan mean dan standar deviasi yang sama. Singkatnya uji ini

dilakukan untuk mengetahui kenormalan distribusi beberapa data.

Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan uji yang lebih kuat daripada uji chi-

square ketika asumsi-asumsinya terpenuhi. Uji Kolmogorov-Smirnov juga tidak

memerlukan asumsi bahwa populasi terdistribusi secara normal. Kolmogorov–

Smirnov test (K-S test) merupakan pengujian statistik non-parametrik yang paling

mendasar dan paling banyak digunakan, pertama kali diperkenalkan dalam

makalahnya Andrey Nikolaevich Kolmogorov pada tahun 1933 dan kemudian

ditabulasikan oleh Nikolai Vasilyevich Smirnov pada tahun 1948. K-S test

dimanfaatkan untuk uji satu sampel (one-sample test) yang memungkinkan

perbandingan suatu distribusi frekuensi dengan beberapa distribusi terkenal,

seperti distribusi normal Gaussian (Stephens, 1992; Biswas, Ahmad, Molla,

Hirose & Nasser, 2008).

Kolmogorov-Smirnov Z merupakan hasil dari akar kuadrat dari jumlah

sampel N dan perbedaan absolut terbesar antara CDF empiris dan CDF teoritis

(Yu, Zheng, Zhao & Zheng, 2008, p. 138), ini hampir sama dengan akar kuadrat

dari jumlah sampel N dikali D Absolute:

Z ≈ √N x D Absolute

Menurut Brito e Abreu & Goulão (2001), “Kolmogorov-Smirnov Z”

adalah D Absolute yang diubah menjadi sebuah standardized score (p. 52), yang

dimaksud standardized score adalah nilai Z dalam distribusi normal standar.


Artinya, cara pengujiannya hampir sama dengan pengujian nilai D, hanya saja kali

ini di bawah distribusi normal dengan menggunakan bantuan tabel distribusi

normal standar, yang mana: H0 ditolak jika Z-hitung (Kolmogorov-Smirnov) > Z-tabel

pada level of significance α.

Misal, kita mempunyai Z-hitung (Kolmogorov-Smirnov) = 0,78 dengan

memilih level of significance α = 0,05 pada dua ujung wilayah kritis (the two-

sided critical region), Z-tabel pada tabel distribusi normal standar adalah 1,96.

Oleh karena 0,78 < 1,96 atau Z-hitung (Kolmogorov-Smirnov) < Z-tabel, maka

H0 diterima yang berarti data mengikuti distribusi normal.

Uji Kolmogorov Smirnov (KS) didasarkan pada fungsi distribusi empiris

(ECDF). Mengingat data terstruktur di titik N Y 1, Y 2, ..., Y N, ECDF

didefinisikan sebagai:

Dengan n (i) adalah jumlah titik kurang dari Y i dan Y i diberikan dari nilai

terkecil hingga terbesar. Ini adalah langkah fungsi yang meningkat sebesar i/N

pada nilai setiap titik data terstruktur. Gambar 10.5 di bawah ini adalah sebaran

empiris fungsi distribusi normal komulatif dengan fungsi distribusi normal untuk

100 angka acak. Uji KS yang didasarkan pada jarak maksimum antara dua kurva.

Gambar 1. Kurva normal Uji Kolmogorov-Smirnov


B. Perumusan Hipotesis

Secara Matematis

H0 : Fn (x) = F0 (x)

H1 : Fn (x) ≠ F0 (x)

)(xFn adalah fungsi distribusi empirik (berdasarkan sampel)

)(0 xF adalah fungsi distribusi teoritik (sesuai yang dihipotesiskan)

Secara Umum,

H0 : data sampel berasal dari distribusi normal

H1 : data sampel tidak berasal dari distribusi normal

Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus Metode

Kolmogorov-Smirnov, serta signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov

menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov.

No Xi ̅

| |

1

2

3

Dst.

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT = Probabilitas komulatif normal

FS = Probabilitas komulatif empiris


Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

Signifikasi

Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel

Kolmogorov Smirnov. Jika nilai |FT – FS| terbesar < nilai tabel Kolmogorov

Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai |FT – FS| terbesar > nilai tabel

Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima.


C. Contoh Soal

Suatu penelitian tentang berat badan peserta pelatihan

kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara

random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84,

68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg.

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi

yang berdistribusi normal?

Jawab :

Ho : tidak beda dengan populasi normal (data normal).

H1 : ada beda dengan populasi nomal (data tdak normal) .

α : 0,05

Langkah:

1. Menentukan rata-rata data yaitu: rata2= Σdata/n=2195/27= 81,3

2. Menghitung Standart deviasi :

SD=akar(Σ (x-xrata)2/n)=akar(2749.63/27)=akar(101.838)= 10,1

3. Menghitung z score untuk i=1 maka didapkan (67-81,3)/10,1=-1,39

(komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung dari

luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.).

4. Menentukan besar peluang untuk masing-masing nilai z berdasarkan tabel z

dan diberi nama F(z) (lihat tabel z) . jika nilai z minus, maka 0,5 dikurangi (-)

luas wilayah pada tabel z. Sebaliknya, jika nilai z positif, maka 0,5 ditambah

(+) luas nilai z pada tabel, sehingga diperoleh nilai-nilai F(z) ,..untuk Zscore -

1,39 maka didapatkan nilai F(1,39)=0.4177 sehingga Ft=0.5-0.4177= 0.823.

5. menentukan Fs dari saat i=1 yaitu data pertama yaitu x=67 jumlahnya yaitu

ada 2 yaitu pada data pertama dan kedua maka Fs pada data pertama diperoleh

2/27= 0.740

6. |Ft-Fs| pada data pertama adalah |0.823-0.740|= 0.083,


Sehingga di peroleh tabel dibawah ini

No Xi Z-

score Ft Fs | Ft -Fs |

1 67 -1,39 0,0823 0,0740 0,0083

2 67 -1,39 0,0823 0,0740 0,0083

3 68 -1,29 0,0985 0,1111 0,0126

4 69 -1,19 0,1170 0,1481 0,0311

5 70 -1,10 0,1357 0,2222 0,0865

6 70 -1,10 0,1357 0,2222 0,0865

7 72 -0,90 0,1841 0,2963 0,1122

8 72 -0,90 0,1841 0,2963 0,1122

9 77 -0,42 0,3372 0,3704 0,0332

10 77 -0,42 0,3372 0,3704 0,0332

11 78 -0,32 0,3745 0,5185 0,1440

12 78 -0,32 0,3745 0,5185 0,1440

13 78 -0,32 0,3745 0,5185 0,1440

14 78 -0,32 0,3745 0,5185 0,1440

15 80 -0,12 0,4522 0,5555 0,1033


16 82 0,07 0,5279 0,5926 0,0647

17 84 0,26 0,6026 0,6296 0,0270

18 87 0,55 0,7088 0,6666 0,0422

19 88 0,65 0,7422 0,7037 0,0385

20 89 0,75 0,7734 0,7407 0,0327

21 90 0,84 0,7995 0,8148 0,0153

22 90 0,84 0,7995 0,8148 0,0153

23 95 1,33 0,9082 0,8518 0,0547

24 97 1,53 0,9370 0,9629 0,0259

25 97 1,53 0,9370 0,9629 0,0259

26 97 1,53 0,9370 0,9629 0,0259

27 98 1,62 0,9474 1,000 0,0526

rata2 81,2963

S 10,2837


Statistik uji :

D = maks | Ft - Fs | = 1,440

Kriteria uji : tolak Ho jika D maks ≥ D tabel , terima dalam hal lainya.dengan α

= 0,05 dan N=27

Karena D maks = 0,1440 < D tabel = 0,2540, jadi Ho diterima,berarti sampel

yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal.


D. Latihan Soal

Nilai Frekuensi Nilai Frekuensi

24 1 29 21

25 2 30 12

26 6 31 5

27 13 32 2

28 37 33 1

Berdasarkan data tersebut dapatkah Anda menarik kesimpulan bahwa

selang waktu antara dua periode menstruasi didistribusikan secara normal, dengan

mean 28,38 dan simpang baku 1,52? Hitung nilai pasti D. Tunjukkan nilai p.


DAFTAR PUSTAKA

Biswas, S., Ahmad, S., Molla, M. K. I., Hirose, K., & Nasser, M.. 2008.

Kolmogorov-Smirnov test in text-dependent automatic speaker

identification. Engineering Letter, 16(4), EL_16_4_01.

Brito e Abreu, F., & Goulão, M.. 2001. Coupling and cohesion as modularization

drivers: Are we being over-persuaded?. In P. Sousa (Ed.), Fifth European

Conference On Software Maintenance and Reengineering: 14-16 March

Lisbon, Portugal: Proceedings (pp. 47-57). Los Alamitos: IEEE Computer

Society. doi: 10.1109/.2001.914968

Chakravart, Laha N., and Roy B.. 1967. Handbook of Methods of Applied

Statistics, Volume I. John Wiley and Sons, pp. 392-394.

Kolmogorov, A. N.. 1933. Sulla determinazione empirica di una legge di

distribuzione. Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari, 4, 83–91.

Kolmogorov, A. N.. 1992. On the empirical determination of a distribution law. In

A. N. Shiryayev (Ed.), Selected Works of A.N. Kolmogorov: Probability

Theory and Mathematical Statistics (Vol. 2, pp. 139–146). Dordrecht,

Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

Smirnov, N.. 1948. Table for estimating the goodness of fit of empirical

distributions. The Annals of Mathematical Statistics, 19(2), 279–281.

Sudjana.1992. Metode Statistika. Edisi kelima. Tarsito : Bandung.

Walpole, E. Ronald. 1995. Pengantar Statistika, Edisi Ketiga. Penerbit: PT.

Gramedia Pustaka Utama : Jakarta.

Yu, H., Zheng, D., Zhao, B. Y., & Zheng, W.. 2008. Understanding user

behaviour in large-scale video-on-demand systems. In L. Song (Ed.),

Innovation together: Microsoft Research Asia academic research

collaboration (pp. 125-147). Springer : New York.

statistik nim 62 64 68 70 72 74

Documents