stahlbau grundlagen 1

Stahlbau Grundlagen

Der Grenzzustand der Stabilität

nach Theorie II. Ordnung

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2

Geometrisch perfektes System:keine Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht im

Nachbarzustand führt auf das Stabilitätsproblem

„Systemknicken“

Leitbauwerk Halle

Geometrisch imperfektes System:Schiefstellung liefert Kräfte in den Diagonalen,

Gleichgewicht am verformten System führt auf das Spannungsproblem „Zugkraft in der Diagonalen“

hz

z

1

Z ist von d abhängig, aber d ist auch von Z abhängig (elastische Verformung der Diagonalen) -> nicht sofort geschlossen lösbar


Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :

Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel

• anfängliche Federkraft aus Gleichgewicht:

• daraus folgt die zusätzliche Verformung der Feder:

• zusätzliche Federkraft

• neue Federkraft

• daraus folgt weitere Verformung:

• und erneuter Zuwachs der Federkraft….

dies sind Reihen mit immer kleiner werdenden Zuwächsen!

Anfangsschiefstellung d0 und Ersatz der Zug-diagonalen durch Feder mit der Steifigkeit K




d0

geometrische Reihe




d0

• Analog lässt sich die Federreaktion H entwickeln




d0 dabei ist:

oder auch:

Zusammenhang mit Systemknicken!

damit stehen 2 einfache Wege zur Berechnungeines imperfekten Systems zur Verfügung:

1. Steigerung über die Knicklast2. Steigerung über den 1. Verformungs bzw.

Lastzuwachs




Elastizitätstheorie 2. Ordnung

umstellen liefert:

Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken)

aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!





umstellen liefert:



Plastizitätstheorie 2. Ordnung

plastische Grenze:

PR wahre Traglast

dR Grenzverformung

plastische Grenzlast der Feder


• Werkstoff

Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung

zusätzliches Moment aus N am

verformten Stab:• Gleichgewicht am verformten Stab:

mit M0: Anfangsmoment aus w0(x)



• DGL

• mit:

• folgt:

Da die Biegelinie aus der Lösung der DGL

die Form:

hat, wird für die Anfangsverformung der afine Ansatz gewählt:



• Einsetzen

wirdmit

• es folgt:


• Ansatz für den Verlauf der

Vorverformung:

• Moment w0: Krümmung:

• Hinweis: Die Norm geht von einem parabelförmigen Verlauf aus!

Verformter el. Einzelstab – Lösung mit Laststeigerung

hier als Knickform angenommen:

• 1. Zuwachs

• 2. Zuwachs


• mit

Verformter Einzelstab – Näherungslösung

unendliche geometrische Reihe


Falsche Vorverformung!

Konvergiert auf Ncr,2

Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten

• Nur exakt, wenn q=konst, d.h. DM, DDM, DDDM alle affin

• Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!




Richtige Vorverformung!






Bisher: ideal elastisches Werkstoffverhalten

=> was passiert, wenn plastische Gelenke auftreten?• Mpl,N – plastisches

Moment im Gelenk unter Berücksichtigung der M-N-Interaktion

• Plastizitätstheorie II. Ordnung Gleichgewicht an der verformten Fließgelenkkette

Vorverformter Einzelstab: Inelastisches Verhalten

Gleichgewicht:

Instabil!

Größere Verformungen

bedeuten kleinere

Tragfähigkeiten !!!


Vorverformter Einzelstab: Reales Verhalten

= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung ohne Ansatz von strukturellen Imperfektionen

= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung mit Ansatz von strukturellen Imperfektionen


Vorverformtes System

elastisches

Verhalten

plastische

Kette

[P=q∙l]



reales Verhalten

1.Gelenk

reales Verhalten:

3.Gelenk ->instabil

[P=q∙l]

reales Verhalten

2.Gelenk

reales Verhalten:

4.Gelenk ->instabil



elastisches

Verhalten

plastische

Kette

reales

Verhalten

reales

Verhalten:

instabil

[P=q∙l]


Vorverformtes System – reales Verhalten

• Einfluss der Eigenspannungen:

– Sukzessive Reduktion der Steifigkeiten durch früheren Fließbeginn

– Eigenspannungen beeinflussen

auch den Ort, wo das plastische

Gelenk entsteht und damit die

Form der Gelenkkette

– Es kommt bei bestimmten

Systemen zu einem Versagen,

bevor sich die gesamte

plastische Kette gebildet hat

• Streuung der Eigenspannungen

führt zu einer Streuung von Ptrag

[P=q∙l]


• Spannungsproblem, kein Eigenwertproblem mehr, wie bei der Stabilität!

• 1/(1-q) –Verfahren als einfache Näherung (geometrische Reihe)

• Elastische Theorie II. Ordnung: Ncr ist Grenzwert, der asymptotisch erreicht wird

• Gewählte Vorverformung muß in 1. Näherung der Knickform entsprechen

• Plastische Theorie II. Ordnung: plastische Gelenkketten sind instabil!

• Eigenspannungen und andere lokale Imperfektionen haben großen Einfluß auf die

Traglast, sie werden durch eine entsprechende Vorverformung berücksichtigt

-> nach Elastizitätstheorie ll. Ordnung rechnen und mit plastischem Grenzzustand

vergleichen (siehe DIN EN 1993-1-1)

• Einzelstäbe und Stabsysteme verhalten sich ähnlich

-> Grundlage des Ersatzstabverfahrens

Zusammenfassung


[1] Roik –Vorlesungen über StahlbauVerlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von StahlbautenBeuth Verlag, 2005

[3] Petersen –StahlbauVieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen –Statik und Stabilität der BaukonstruktionenVieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982

Referenzen

stahlbau grundlagen 1

Documents