solucionario miniensayo mt 441 2013

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  • 1

    NMEROS ENTEROS

    Y RACIONALES MINI ENSAYO

    MT- 441

    SO

    LC

    3A

    MT

    A04

    44

    1V

    2

  • 2

    1. La alternativa correcta es A.

    Unidad temtica Geometra analtica

    Habilidad Anlisis

    Al ubicar los puntos en el plano cartesiano resulta

    Como a b, entonces PQRS es un rectngulo. Luego:

    I) Falsa, ya que QS corresponde a un segmento decreciente, por lo cual su

    pendiente es negativa.

    II) Falsa, ya que PR y QS corresponden a las diagonales del rectngulo, y las

    diagonales de un rectngulo no son perpendiculares.

    III) Verdadera, ya que al trazar una diagonal en un rectngulo, siempre se forman

    dos tringulos congruentes.

    Por lo tanto, solo la afirmacin III es verdadera.

    2. La alternativa correcta es A.

    Unidad temtica Geometra analtica

    Habilidad Aplicacin

    x py 12 = 0, ( 8, 7) pertenece a esta recta, entonces:

    x py 12 = 0 (Reemplazando ( 8, 7))

    8 ( 7 p) 12 = 0

    20 + 7p = 0

    7p = 20 (Despejando p)

    p = 7

    20

    a

    b

    P Q

    RS

    x

    y

    a

    b

    P Q

    RS

    x

    y

  • 3

    3. La alternativa correcta es D.

    Unidad temtica Geometra analtica

    Habilidad Aplicacin

    La recta pasa por los puntos (3, 0) y (0, 5), entonces:

    (3, 0) x 1= 3, y1 = 0

    (0, 5) x2 = 0, y2 = 5

    Aplicando la frmula de la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos:

    112

    121 xx

    xx

    yyyy (Reemplazando)

    y 0 = 30

    05 (x 3) (Desarrollando)

    y = 3

    5(x 3) (Distribuyendo)

    y = 3

    5x + 5

    Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la figura es:

    y = 3

    5x + 5

    x

    y

    5

    3

  • 4

    4. La alternativa correcta es C.

    Unidad temtica Geometra analtica

    Habilidad Anlisis

    Analicemos las opciones, utilizando la ecuacin principal de la recta y = 11

    I) Verdadera, ya que la pendiente es cero.

    II) Falsa, ya que el coeficiente de posicin es 11, entonces L1 intersecta al eje Y en

    el punto (0, 11).

    III) Verdadera, ya que en la recta de ecuacin y = 7, la pendiente es cero.

    Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

    5. La alternativa correcta es B.

    Unidad temtica Relaciones y funciones

    Habilidad Aplicacin

    f(x) = ax + 4, con a 0 y f(q) + f(3q) + f(5q) = 18

    Evaluemos la funcin f(x) = ax + 4 en q, 3q y 5q

    f(q)= aq + 4

    f(3q)=3aq + 4

    f(5q)= 5aq + 4

    Entonces:

    f(q) + f(3q) + f(5q) = 18 (Reemplazando)

    aq + 4 + 3aq + 4 + 5aq + 4 = 18 (Reduciendo trminos semejantes)

    9aq + 12 = 18

    9aq = 6 (Despejando q)

    q = a9

    6 (Simplificando)

    q = a3

    2

  • 5

    6. La alternativa correcta es A.

    Unidad temtica Relaciones y funciones

    Habilidad Anlisis

    Segn la grfica, la funcin pasa por los puntos ( 6, 0), (6, 0) y (0, 4). Luego, al

    reemplazar la primera coordenada de cada uno de ellos en la funcin, el resultado ser la

    respectiva segunda coordenada.

    O sea, f ( 6) = 0, f (6) = 0 y f (0) = 4

    Tomando la primera igualdad:

    f ( 6) = 0 (Reemplazando)

    06

    462

    a

    a (Desarrollando)

    06

    436

    a

    a (Multiplicando cruzado)

    36 + 4a = 0 (Ordenando)

    4a = 36 (Despejando a)

    4

    36a

    a = 9

    Por lo tanto, el valor de a es 9

    7. La alternativa correcta es E.

    Unidad temtica Relaciones y funciones

    Habilidad Anlisis

    f(x)

    x

    3 3

    4 4

    y

    5 6 5

  • 6

    Analicemos las aseveraciones:

    I) Verdadera, ya que f(5) = 3 y f( 5) = 3

    II) Verdadera, ya que f(6) = 3 y f( 2) > 3.

    III) Verdadera, ya que f(0) = 0 y f(1) < 0.

    Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

    8. La alternativa correcta es D.

    Unidad temtica Relaciones y funciones

    Habilidad Anlisis

    f(x) = 124

    5

    x

    Para determinar el dominio debemos tener presente que el denominador no puede ser

    cero. Entonces:

    4x 12 0 (Despejando 4x)

    4x 12 (Despejando x)

    x 4

    12 (Simplificando)

    x 3

    Luego, el dominio es IR {3}.

    Para determinar el recorrido debemos despejar la variable x en funcin de y, para luego

    analizar las indeterminaciones.

    f(x) = 124

    5

    x

    y = 124

    5

    x y(4x 12) = 5 (Distribuyendo)

    4xy 12y = 5 (Despejando 4xy)

    4xy = 12y + 5 (Despejando x)

    x = y

    y

    4

    512

    El nico valor que NO puede tomar y es 0. Luego, el recorrido es IR {0}.

  • 7

    9. La alternativa correcta es B.

    Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal

    Habilidad Anlisis

    f (x) = 2x 3

    I) Falsa, ya que si el punto ( 1, 5) pertenece a la recta, entonces, al reemplazar

    en la ecuacin, se debe cumplir la igualdad.

    y = 2x 3 (Reemplazando x = 1 e y = 5)

    5 = 2 1 3 (Multiplicando)

    5 = 2 3 (Desarrollando)

    5 1

    Por lo tanto, ( 1, 5) NO pertenece a la recta correspondiente a la funcin.

    II) Verdadera, ya que:

    Coeficiente de posicin: 3, entonces intersecta al eje Y en (0, 3)

    III) Falsa, ya que:

    Pendiente: 1, como es negativa, la funcin es decreciente.

    Por lo tanto, slo la afirmacin II es verdadera.

    10. La alternativa correcta es A.

    Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal

    Habilidad Anlisis

    L1: f(x) = x 5

    x

    y

    2

    2 L1

    L2

  • 8

    I) Verdadera, ya que la ecuacin de la recta que pasa por ( 2, 0) y (0, 2) es:

    112

    121 xx

    xx

    yyyy (Reemplazando)

    y 0 = )2(0

    02 (x ( 2)) (Desarrollando)

    y 0 = 2

    2 (x ( 2))

    y = x + 2

    Por lo tanto, la funcin correspondiente a la recta L2 es g(x) = x + 2 y como tiene

    la misma pendiente que L1, tiene la misma inclinacin con respecto al eje de las

    abscisas.

    II) Falsa, ya que es una funcin afn.

    III) Verdadera, ya que la ecuacin de la recta correspondiente a L2 es y = x + 2.

    Por lo tanto, solo la afirmacin II es falsa.

    11. La alternativa correcta es B.

    Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal

    Habilidad Anlisis

    I) Falsa, ya que la funcin correspondiente a la recta es f(x) = 2 que es una funcin

    constante.

    II) Verdadera.

    III) Falsa, ya que la funcin correspondiente a la recta es f(x) = 2.

    Por lo tanto, solo la afirmacin II es verdadera.

    x

    y

    2

  • 9

    12. La alternativa correcta es C.

    Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal

    Habilidad Aplicacin

    L1 pasa por el punto (0, 7) y es perpendicular a la recta cuya ecuacin es 9x + y = 8.

    9x + y = 8 (Expresando la ecuacin de la forma principal)

    y = 9x + 8

    Por lo tanto, la pendiente de L1 es 9

    1.

    Aplicando la frmula punto pendiente:

    y y1 = m(x x1) (Reemplazando)

    y ( 7) = 9

    1(x 0) (Desarrollando)

    y + 7 = 9

    1x (Despejando y)

    y = 9

    1x 7

    Por lo tanto, la funcin correspondiente a L1 es f(x) = 9

    1x 7

    13. La alternativa correcta es B.

    Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal

    Habilidad Anlisis

    Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuacin de la recta,

    entonces:

    - 3 alumnos, $ 14.000

    (3, 14.000)

    - 4 alumnos, $ 18.000

    (4, 18.000)

    Aplicando la frmula de la ecuacin de la recta:

    112

    121 xx

    xx

    yyyy (Reemplazando)

  • 10

    y 14.000 = 34

    000.14000.18 (x 3) (Desarrollando)

    y 14.000 = 1

    000.4(x 3) (Distribuyendo)

    y 14.000 = 4.000x 12.000 (Despejando y)

    y = 4.000x 12.000 + 14.000

    y = 4.000x + 2.000

    Por ltimo, evaluamos en x = 7

    y = 4.000 7 + 2.000