solucionario miniensayo i

SOLUCIONARIOMiniensayo MT-232

SMICAAMTG

EA05232V

2

SMINCEN232MT22-A11V1

1. La alternativa correcta es E.

2α

α60°

108°

180°– α

Cadaángulointeriordeuntriánguloequiláteromide 60° y de un pentágono regular mide108°. Como la región donde se intersectanel triángulo y el pentágono corresponde auncuadrilátero,entonceslasumadeángulosinterioresdebeseriguala360°.

⇒ 2α + 60° + 108° + 180° – α = 360°⇒ α + 348° = 360°⇒ α = 360° – 348° ⇒ α = 12°

2. La alternativa correcta es B.

AldibujarlaalturaCD deltriánguloABC,éstatambiénesalturadellostriángulosAPC,PQCyQBC,entonces:

C

A P Q BD

I) Verdadera,yaqueeltriánguloABCporserisósceles,DespuntomediodeAB ,ycomoAP=PQ=QB,entoncesDtambiénespuntomediodelsegmentoPQ.Luego,comosiemprequelaalturacaeenelpuntomedioeltriánguloesisósceles,entonceseltriánguloPQCesisóscelesenC.

II) Verdadera,yaquelostrestriángulostienenlamismaalturaylamismamedidadelabase,porlotantotienenigualárea.

III) Falsa,losángulosACPyQCBsoncongruentesentresí,peroelánguloPCQtieneunamedidadistinta,yaqueelhechoqueelladoABquededivididoentrespartesiguales no implica que el ánguloACB quede dividido en tres partes iguales (dehechonuncasucede).

3. La alternativa correcta es C. α = 45ºyβ = 135º

C

A

B

45º

135º45º

Porlotanto,eltriánguloesisóscelesrectángulo.

4. La alternativa correcta es D.

EltriánguloSQTeslamitaddeuntriánguloequiláterodelado2.

Luego,x=30°.

30º

30º 60º

2

1

S

M

T

Q

5. La alternativa correcta es D. ComoeltriánguloesrectánguloenA,entonces,portríospitagóricosAB = 9.

1512

A B

C

9

Área=9 · 12

2

= 9 · 6 = 54

6. La alternativa correcta es C.

AB = 6,BC = 2,entoncesporteoremadePitágoras,AC=2�10

Comolasdiagonalessedimidian,AE=�10 cm


AplicandoteoremadePitágoras:

3d

9

d2 = 92 + 32

d2 = 81 + 9

d2 = 90

d = �90

d = 3�10 cm

8. La alternativa correcta es B. DE :mediana,entoncesDE = 5 cm,ademásDyE:puntosmedios,porlotanto, AE = 3 cm,entonces,setiene:

D

E

A

B

C

105

3

3

AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloAED,portríospitagóricosAD = 4 cm.

9. La alternativa correcta es C. EB = 6 cm;AC = 8 cm;ED=DB;AD=DC,llevandoestosdatosalafigura,setiene:

B

C

A

E

D

3

3 4

4

AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADB,portríospitagóricosAB=5 cm AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloDBC,portríospitagóricosBC=5 cm AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADE,portríospitagóricosAE=5 cm

Entonces:

B

C

A

E

D

3

3 4

45

5

5

PerímetrodeABCDE= AB + BC + CD + DE + AE

PerímetrodeABCDE=5 + 5 + 4 + 3 + 5

PerímetrodeABCDE=22 cm


Perímetrocuadrado= 4·lado=4�2 lado=�2 Luego:

Diagonalcuadrado=lado·�2 Diagonalcuadrado=�2 ·�2 Diagonalcuadrado=2 cm Porlotanto,AC=2 cm


Llevandolosdatosaldibujo,setiene:

A B

C

E

FD

44

2

2G 4

AplicandoteoremadePitágorasen∆FEG:

EF2 = GE2 + FG 2

(EF)2 = 62 + 42

(EF)2 = 36 + 16

(EF)2 = 52

EF = �52 cm


PQ = 2QT

6 = 2QT 6

2= QT

3 = QT

Llevandolosdatosaldibujo:

WS

P Q

R

TV

6

3

3

3 3 3

3

3

AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloWVT:

WV 2 + VT 2 = WT 2

32 + 62 = (WT)2 9 + 36 = (WT)2 45 = (WT)2 �45 = (WT)2

�9 · 5= (WT)2

3�5 cm = WT


Perímetro∆PSR = 30 3x = 30

x = 30 3

x = 10 Porlotanto,elladodeltriánguloequiláteromide10 cm,entonces:

SQ = 5,yaque,PQesalturadeltriánguloequilátero PQ = 5�3 ,TS = 5�3

5

S

QP

R

T

10 5

105

5�3

Áreasombreada=5 · 5�32

= 25�32

cm2

14. La alternativa correcta es D. I) Verdadera,yaque:

Silaalturamide8�3 cm,entonces: h = lado

2�3

8�3 = lado

2�3

16 = lado

Entonces: Perímetrotriángulo = 3 · lado Perímetrotriángulo = 3 · 16 Perímetrotriángulo = 48 cm

II) Verdadera,yaque:

lado = 16 cm,entonces:

Áreadeltriángulo = (lado)2

4�3

Áreadeltriángulo = (16)2

4�3

Áreadeltriángulo = 64�3 cm2

III) Falsa,yaquesielladodeltriánguloequiláteromide16 cm,cadamedianamidelamitaddeunlado,entonces,cualquieradeellasmide8 cm.


30º

4

A B

C

Correspondeauntriángulodeángulos30º,60ºy90º,entonces:

AB = 42�3

AB =2�3 cm

16. La alternativa correcta es A.

ComoAC=AB,entonceselánguloCBAtienelamismamedidaqueelánguloACB. Además,si∠BAC = 60°,entonces ∠CBA = ∠ACB = 60°.Porlotanto,eltriánguloABC

esequilátero.Sisuperímetromide36 cm,entoncessuladomide 363 = 12 cm.

A B

C I) Verdadera,yaque:

Sielladomide12 cm,entonces:

h = lado

2 ·�3

h = 122 ·�3

h = 6�3 cm

II) Falsa,yaque: lado = 12 cm,entonces:

ÁreadeltriánguloABC= (lado)2

4�3

ÁreadeltriánguloABC= (12)2

4�3

ÁreadeltriánguloABC= 12 ∙ 124

�3

ÁreadeltriánguloABC= 3 ∙ 121

�3

ÁreadeltriánguloABC=36�3 cm2

III) Falsa, ya que, si el lado del triángulo equiláteromide 12 cm, cada una de lasmedianasmidelamitaddellado,entonces,cualquieradeellasmide6 cm.


Si∆ABC isóscelesdebaseAB yDespuntomedio⇒CD es transversal,bisectriz,simetralyaltura,además∠CBD=∠DAC,entonces∠ACD=60º.

Porlotanto,∆ADCcorrespondeauntriángulodeángulos30º,60ºy90º,entonces: AC = 14 cm AD = 7�3cm

A30º B

C

D

60º

30º7

Perímetro∆ADC= AD + CD + AC Perímetro∆ADC= 7�3 + 7 + 14 Perímetro∆ADC= (7�3 + 21) cm


45º

6

A Bx

x

C

AplicandoTeoremadePitágoras:

x2 + x2 = 62

2x2 = 36

x2 = 18

x = �18

x = �9 ∙ 2

x=3�2

Porlotanto,AC=3�2 cm


E

C

D

BI

A

HF

G

ComolostriángulosABCyDEFsonequiláteroscongruentesdeladoay GC ,GH ,CH,HD ,HI yDJ sonmedianas,entonces:

AI=IB=BD=DC=CE=EG=GF=FH=HA=ID=DH=HI=HC=CG=GH

=a2,porlotanto,elperímetrodelapartesombreadaes15·

a2=

15a2cm


AplicandoteoremadeEuclides:

(BD)2 = 16 ∙ 25

BD=�16 ∙�25

BD=4 ∙ 5

BD=20 cm


R

P QS1 2

SiPQ = 3 cm ⇒ SQ = 2 cm AplicandoteoremadeEuclides:

RS2=SP ∙ SQ

RS2 = 1 ∙ 2

RS2 = 2

RS = �2 cm


5�2 5�2

A

B CD

45º 45º

Triángulorectángulodeángulos45ºy90º,entoncesBC=10.

Las rectas notables que caen en la base de untriángulo isósceles coinciden, entonces, si AD esaltura también es transversal, por lo tanto,D espuntomedio,asíobtenemos:

BD=DC=AD=5 cm


CA

B

h

4 9

AplicandoteoremadeEuclides: h2 = 4 ∙ 9

h = �4 ∙ 9

h = �4 ∙ �9

h = 2 ∙ 3

h = 6 cm


C

9

16

A B

D

I) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadeEuclideseneltriánguloABC: AD

2= DC ∙ BD

AD2 = 9 ∙ 16 AD = 3 ∙ 4 AD = 12

II) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloACD: AC

2 = CD

2 + AD

2

AC2 = 92 + 122

AC2 = 81 + 144 AC2 = 225 AC = �225 AC = 15 III) Verdadera,yaque: AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloADB: AB

2 = AD

2 + DB2

AB2 = 122 + 162

AB2 = 144 + 256 AB2 = 400 AB = �400 AB = 20

Porlotanto,ningunadeellasesfalsa.


Untriángulocuyosladosmiden15 cm,15 cmy10 cm,estriánguloisósceles,porlotantosisetrazalaalturasobreelladodistinto,éstacaeenelpuntomediodellado.

LaalturasepuedecalcularporPitágoras,considerándolacomoelcatetodeuntriángulorectángulocuyahipotenusamide15 cmyelotrocatetomide5 cm.

1515

10

15 15

5 5

h

⇒h2 + 52 = 152

⇒h2 + 25 = 225 ⇒h2 = 200 ⇒ h = �200 = 10�2

Comoeláreaes base · altura2

Entonces,A= 10 ∙ 10 �22

=50�2 cm2


Porsertriánguloequilátero,altrazarlaalturaCPsobreelladoAB ,éstacaeenelpuntomediodellado,porlotantoPBmide6 cm.Además,

CP= lado ∙ �32

=12 ∙ �3 2

=6�3 cm

Porotrolado,comoADDB

= 12,entoncesAD = 4 cmyDB = 8 cm,porlotantoDP = 2 cm.

2 64

x

A BD P

C AplicandoPitágoraseneltriánguloDPC:

22 + (6�3 )2 = x2

4 + 36 · 3 = x2

⇒ 112 = x2

�112 = x 4�7 cm = x Porlotanto,CD=4�7 cm


Comoloscatetosmiden60 cmy80 cm,entonceslahipotenusaABmide100 cm.

ComoQeselpuntomediodelsegmentoAB,entoncesAQmide50 cm.

AplicandoEuclides⇒AC 2=AP · AB ⇒602=AP· 100⇒AP=36 cm

Luego,AP +PQ =AQ ⇒ 36+PQ=50⇒ PQ=14 cm


AplicandoelteoremadePitágorasaltriánguloABC (o larelaciónentre losnúmerospitagóricos:5, 12y13),elladoAB=13 cm.

Luego,aplicandoteoremadeEuclides,laalturaCE= 5 ∙ 1213

= 6013

cm

Porlotanto,eláreadelcuadriláteroentredostriánguloses:3 ∙ 6013

=18013

cm2


Portríospitagóricos:

5

13

DA

C

12

B

I) Verdadera,yaque:


CD=AC ∙BCAB

CD=5 ∙ 12

13

CD=6013 cm

II) Falsa,yaque: AplicandoteoremadeEuclides: (AC )

2 = AB ∙ AD

52 = 13 ∙ AD

25 = 13 ∙ AD

2513

cm = AD

III) Falsa,yaque:

(BC )2=AB ∙DB

122=13 ∙ DB

144=13 ∙ DB

14413 cm = DB


SP

R

6

Q4

I) Verdadera,yaque:

AplicandoteoremadeEuclides: 62=4(PS+4)

36=4(PS+4)

9=PS+4

5 cm=PS

II) Falsa,yaque:


(RS)2 = 5 ∙ 4

RS = 2�5 cm

III) Verdadera,yaque:


(RP)2 = 5 ∙ 9

RP = 3�5 cm


DA

C

B

4

E

16

AplicandoteoremadeEuclideseneltriánguloADC: ED

2 = AE ∙ EC

ED2 = 16 ∙ 4

ED = 4 ∙ 2

ED = 8 cm

AplicandoteoremadePitágoraseneltriánguloCED:

CD2 = EC

2 + ED

2

CD2 = 42 + 82

CD2 = 16 + 64

CD2 = 80

CD = �80

CD = �16 ∙ 5

CD = 4�5 cm


x

8 EA

C

B4

SiAE : EB = 2 : 1,entonces:

AEEB

=21

AE=2EB

Además:

AE + EB = 12

2EB + EB = 12

3EB = 12

EB = 123

EB = 4 cm

Sabíamosque:

AE=2EB AE=2 ∙ 4 AE = 8 cm PorelteoremadeEuclidestenemos:

(AC )2 = AE ∙AB

x2 = 8 ∙ 12

x = �8 ∙ �12

x = �4 ∙ 2 ∙ �4 ∙ 3

x = 2 ∙ �2 ∙ 2 ∙ �3

x = 4�2 ∙ 3

x = 4�6

Porlotanto, AC = 4�6 cm


Recordemos que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulorectángulo,porlotanto,el∆ABCesrectánguloenC.

I) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:

A6

C

BO 3 D 3

(CD)2 = AD ∙ BD

(CD)2 = 9 ∙ 3

(CD)2 = 27 cm2

II) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:

(AC )2 = AD ∙ AB

(AC)2 = 9 ∙ 12

AC = �9 ∙ �12

AC = �9 ∙ �4 ∙ 3

AC = 3 ∙ 2 ∙ �3

AC = 6�3 cm III) Verdadera,yaqueporelTeoremadeEuclidestenemos:

(BC )2 = BD ∙ AB

(BC)2 = 3 ∙ 12

(BC)2 = 36

BC = �36

BC = 6 cm


α

γ

P

Q R

α'

β

(1) PQ ≅ PR yα = α'.Conestainformación,síesposibledeterminarlamedidadeβ,yaquesededucequeeltriánguloesrectánguloisósceles.

P

Q R45º 45º

(2) β = γ = 12 α' y PQ ⊥ PR .Conestainformación,síesposibledeterminarla

medidadeβ,yaquesededucequeeltriánguloesrectánguloisósceles.

P

Q R45º 45º

Porlotanto,larespuestaes:Cadaunaporsísola.


(1) Ellargodelrectángulomide12 cm.Conestainformación,nosepuededeterminarladiagonaldelrectángulo.

(2) Elanchodelrectángulomide5 cm.Conestainformación,nosepuededeterminar

ladiagonaldelrectángulo. Con (1) y (2) sí se puede determinar la diagonal del rectángulo, ya que conocemos

el largoyelancho,entoncesaplicandoteoremadePitágoras,podemosdeterminar ladiagonal.

Porlotanto,larespuestaes:Ambasjuntas.

solucionario miniensayo i

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