SLIDOS DE REVOLUCINSi una regin en el plano gira alrededor de una recta, el slido resultante se llama slido de revolucin y la recta se denomina eje de revolucin.y

ax

b

Volumen representativo:

Volumen del slido

1. Mtodo del discoSi el eje de revolucin es el horizontal

axby

Utilizaremos la siguiente expresin

Si el eje de revolucin es vertical

cxd

Utilizaremos la siguiente expresin

Ejercicio:Hallar el volumen del slido formado al girar la regin acotada por la grfica de

y el eje donde , alrededor del eje

Solucin:

2. Mtodo de las arandelas o anillo

Este mtodo se utiliza cuando el slido de revolucin tiene huecos.y

xrR

Ejercicio:Calcular el volumen del solido formado al girar la regin acotada por las grficas e alrededor del eje Solucin: YX

Rr

Hallamos los puntos de interseccin, igualando las funciones

Por tanto

Ahora

Volumen de un slido alrededor del eje y. Mtodo de las arandelas:

Ejercicio:Calcular el volumen del volumen formado al girar la regin acotada por las grficas e alrededor del eje

Solucin: Y

rR

Rr

X

Por tanto

Ahora

3. Mtodo de las capasAhora vamos a exponer el ltimo mtodo, quizs el ms potente en comparacin a los dos anteriormente vistos; el mtodo de los casquillos cilndricos (tambin se le denomina mtodo de capas).Antes de trabajar con este mtodo, consideremos la siguiente figura:

xbaRy

Tenemos pues una regin acotada por una funcin continua y por las rectas y , y se desea hallar el volumen del slido generado al girar esta regin alrededor del eje y. Usando el mtodo de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre , los radios exterior e interior a saber y . Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el mtodo de Arandelas ni mucho menos el mtodo del Disco. Luego tenemos que generar una expresin que nos permita hallar el volumen de este slido. Como el segmento trazado era perpendicular al eje de rotacin, consideremos ahora ese mismo segmento pero paralelo al eje de rotacin (eje y), como se muestra en la siguiente

xbaR

Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un slido como se muestra en la siguiente figura:

h

Para determinar el volumen del slido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura (longitud del segmento) y radio (distancia del segmento al eje ). El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:

Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). Ahora que la suma de todos los volmenes de los casquetes cilndricos tomados del slido, generan aproximadamente el volumen del slido. La altura del cilindro se expresa por medio de la funcin . Por ltimo si integramos con respecto a obtenemos una expresin matemtica aceptable para el volumen de este slido, a saber:

donde representa el grosor del casquilloLa ecuacin anterior es para ejes de rotacin verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos por

Para

Ejercicio:Halla el volumen del slido generado al girar la regin acotada por , y , alrededor del eje .

Solucin: Como vamos a usar el mtodo del casquillo cilndrico, sobre la regin trazamos un segmento que sea paralelo al eje de rotacin, como se muestra en la figura de abajo.

Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio del casquillo en nuestro caso es ; la altura h del casquillo es, como se puede ver en la figura,

Refirindonos a los lmites de integracin son y . Con esta informacin, podemos decir que el volumen del slido generado es:

INTRODUCCIN

Uno de los temas ms sensibles en la formacin profesional de cualquier ingeniero, tiene que ver con el correcto manejo de los procesos de integracin, pues ste encierra un compendio de conocimientos previos que hacen de forma llamativa la exploracin del mundo que nos rodea.A pesar de los grandes avances cientficos y tecnolgicos, el clculo pudo ver su acelerada participacin a raz de la intervencin de Barrow, Newton y Leibnitz quienes no se conformaron con los procesos tradicionales sino que emprendieron una gran cruzada, todos por aparte, de justificar matemticamente los hechos fsicos que nos rodean.En el presente trabajo, haremos una trayectoria por temas sensibles como la misma definicin de integral, tanto definida como indefinida, as mismo su aplicacin para el clculo de reas y de volmenes de slidos en revolucin.Se podr apreciar cmo se puede integrar el concepto fsico y el matemtico en una misma aplicacin y como punto final apreciaremos la ejecucin de lo antes mencionado en el desarrollo de tres ejercicios prcticos.

CONCLUSIN

Esta investigacin permiti entender las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemtico en la ingeniera primordialmente. Es una herramienta muy til para el clculo de reas difciles de solucionar mediante los mtodos convencionales o por tener formas poco familiares a las ya acostumbradas- Sin embargo al tomar una determinada funcin y hacerla girar alrededor de un determinado eje, permite que se obtengan muchos de los artculos que muy comnmente se consiguen en los comercios.Esto no quiere decir que slo con la realizacin de este trabajo, sea entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que slo se lograra esto mediante la prctica constante y minuciosa de cada caso.

BIBLIOGRAFA

Matemticas 6.Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. .McGraw Hill, 1989. Bogot , ColombiaClculo Diferencial e Integra Tercera Edicin.Ayres,Jr., Frank, Mendelson, Elliot. McGraw Hill, 1991. Bogot Colombia.Anlisis Matemtico (Bilinge Espao-Ingls).Protter, Murray H