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Struttura della presentazioneLa Macchina Enigma

Concetti di baseA Bletchley Park

Peso dell’evidenza, Probabilità e Statistica aBletchley Park

Come Turing neutralizzò la macchina Enigma

22 maggio 2013

Peso dell’evidenza, Probabilità e Statistica a Bletchley Park



La macchina EnigmaConcetti di base

Fattore Bayesiano.Peso dell’evidenza.

Peso dell’evidenza, Probabilità e Statistica a Bletchley ParkCrib e Menù.Banburismus.La macchina Bomba.

Bibliografia




Figura: Macchina Enigma




Figura: Rotore




Figura: Macchina Enigma




Enigma 04.JPG

Figura: Macchina EnigmaPeso dell’evidenza, Probabilità e Statistica a Bletchley Park



Variabili determinanti per il settaggio di una macchinaEnigma

(Walzenlage) scelta ed ordine dei rotori;(Ringstellung) posizione dell’anello cifrato (o numerato)relativamente alla bobina del rotore;(Steckerverbindungen) connessioni del plug-board;

Messaggio chiave di partenza Codifica−−−−−→ Messaggio chiave.

Il numero di possibili configurazioni della macchina Enigma:158.962.555.217.826.360.000




Messaggi intercettati (Evidenza) Ipotesi

Quantificare il peso dell’evidenza fornito da indizi individualiper ipotesi alternative in considerazione.Un metodo per aggiornare queste quantità data nuovaevidenza.Metodo di decisione per determinare quando l’evidenza erasufficente per decidere tra le varie ipotesi possibili.




Teoria della probablità

Definizione

Sia S un insieme e sia A un’algebra su S (cioè un insieme di sottoinsiemi di S contenente S e chiusosotto unione e complemento). Una misura di probabilità P su (S,A) è una funzione P : A −→ [0, 1] taleche:

1. P(S) = 1;

2. dati E ,H ∈ A tale che E ∩ H = ∅ allora P(E ∪ H) = P(E) + P(H).

Definizione

Sia P una funzione di probabilità su (S,A) e siano E ,H ∈ A tale che P(H) > 0. Definiamo la funzionedi probabilità condizionale nel seguente modo

P(E | H) =P(E ∩ H)

P(H)

Teorema di Bayes

Sia P(· | ·) una funzione di probablità condizionale e siano E ,H ∈ A tali che P(H) > 0 e P(E) > 0allora:

P(E | H) =P(H | E) · P(E)

P(H)




Quota

Data una probabilità P e un evento E , la quota O(E) corrispondente allaprobabilità P(E) è definita dalla frazione

P(E)

1− P(E)

Esempio

P(E) = 0 O(E) = 0

P(E) =23 O(E) = 2

P(E) = 1 O(E) =∞

Le quote sono spesso scritte nella forma m:n per m, n ∈ R. Alla quota m:ncorrisponde la probabilità

mm + n




EsempioUrna.

Sette palline numerate da 1 a 7.Probabilità di pescare la pallina con il numero 5 è uguale a 1

7 .La quota a favore corrispondente è 1

6 .1:6.




EsempioUrna.Sette palline numerate da 1 a 7.

Probabilità di pescare la pallina con il numero 5 è uguale a 17 .

La quota a favore corrispondente è 16 .

1:6.




EsempioUrna.Sette palline numerate da 1 a 7.Probabilità di pescare la pallina con il numero 5 è uguale a 1

7 .

La quota a favore corrispondente è 16 .

1:6.






6 .

1:6.






6 .1:6.




DefinizioneSia P(· | ·) una funzione di probabilità, e siano H ed E dueproposizioni. Definiamo la quota di H dato E nel seguente modo:

O(H | E ) =P(H | E )

P(H̄ | E )

Teorema di Bayes espresso tramite la quota

Siano H ed E due proposizioni e sia P(· | ·) una funzione diprobabilità allora:

O(H | E )

O(H)=

P(E | H)

P(E | H̄)




O(H|E)O(H) è il fattore tramite il quale la quota iniziale di H dovràessere moltiplicato per ottenere la quota finale. Per tale motivoTuring chiamò questo fattore “il fattore (Bayesiano) in favore diun’ipotesi H in virtù del risultato dell’esperimento E”

Teorema di Bayes espresso tramite la quota

Siano H ed E due proposizioni e sia P(· | ·) una funzione di probabilità allora:

O(H | E) = O(H) · O(H | E)

O(H)= O(H) · P(E | H)

P(E | H̄)

I.J. Good, Weight of evidence and Bayesian likelihood ratio in The Use OfStatistics In Forensic Science pp. 85-105, C. G. G. Aitken,David A. Stoney,Ellis Horwood Limited, 1991, p.89.

Il teorema di Bayes espresso tramite la quota è particolarmenteconveniente quado speriamo di discriminare tra due ipotesi




Peso dell’evidenza

DefinizioneSia H un’ipotesi ed E la proposizione che asserisce il risultato di unesperimento. Definiamo il peso dell’evidenza in favore di H fornitoda E nel seguente modo

W [H : E ] = logαP(E | H)

P(E | H̄)= logα

O(H | E )

O(H)

La base del logaritmo α da l’unità di misura del peso dell’evidenzadi un’ipotesi. Turing chiamò ban l’unità del peso di evidenza diun’ipotesi quando la base del logaritmo è 10 e con ban naturalel’unità del peso dell’evidenza di un’ipotesi quando la base dellogaritmo è e. L’unità di misura principalmente usata a BletchleyPark era quella del deciban (db) equivalente a 10 ban.




TeoremaSupponiamo che siano stati fatti una serie di esperimenti i cuirisultati sono descritti dalle proposizioni E1, E2,...,En e supponiamoche questi esperimenti siano indipendenti sia dato H che dato H̄.Allora il fattore Bayesiano risultante è uguale al prodotto dei fattoriBayesiani individuali e quindi il peso di evidenza risultante è ugualealla somma dei pesi di evidenza individuali, cioè valgono le seguentiuguglianze:

P(E1 ∩ ... ∩ En | H)

P(E1 ∩ ... ∩ En | H̄)=

P(E1 | H)

P(E1 | H̄)· ... · P(En | H)

P(En | H̄)

logαP(E1 ∩ ... ∩ En | H)

P(E1 ∩ ... ∩ En | H̄)= logα

P(E1 | H)

P(E1 | H̄)+ ...+ logα

P(En | H)

P(En | H̄)




Teorema di Bayes espresso tramite il peso dell’evidenzaSiano H ed E due proposizioni e sia P(· | ·) una funzione di probabilità allora:

logα O(H | E) = logα O(H) + logαO(H | E)

O(H)= logα O(H) + logα

P(E | H)

P(E | H̄)

DefinizioneSia P(· | ·) una funzione di probabiltà, sia H un’ipotesi e supponiamo che E siaun esperimento il quale dovrà avere uno dei seguenti risultati esclusivi,E1, ..., En. Definiamo il peso dell’evidenza atteso come:

E(W [H : E ]) =X

i∈{1,...,n}

P(Ei | H) logαP(Ei | H)

P(Ei | H̄).

I.J. Good A list of proprieties of Bayes-Turing Factors




Variabili determinanti per il settaggio di una macchinaEnigma

(Walzenlage) scelta ed ordine dei rotori;(Ringstellung) posizione dell’anello cifrato (o numerato)relativamente alla bobina del rotore;(Steckerverbindungen) connessioni del plug-board;

Messaggio chiave di partenza Codifica−−−−−→ Messaggio chiave.

Il numero di possibili configurazioni della macchina Enigma:158.962.555.217.826.360.000 (158 quintilioni, 1030)




Crib e Menù.Banburismus.Macchina Bomba.




Figura: Macchina BombaPeso dell’evidenza, Probabilità e Statistica a Bletchley Park



Figura: Particolare Macchina Bomba




Numero di macchine a tre rotori

Anno Mese Numero di macchine1941 Dicembre 121942 Dicembre 401943 Giugno 721943 Dicembre 871944 Dicembre 1511945 Maggio 152

Numero di macchine a quattro rotori (Inghilterra, U.S.A)

Anno Mese Numero di macchine1943 Giugno 41943 Dicembre 951944 Dicembre 1601945 Maggio 180




Crib e Menù

Un Crib è un messagio parzialmente decodificato tramiteconsiderazione non crittoanalitiche.

WETTERETJWPX

nell’assetto “a” Enigma codifica la lettera W con la lettera E ;nell’assetto “a + 1” Enigma codifica la lettera E con la letteraT ;nell’assetto “a + 3” Enigma codifica la lettera T con la letteraW .




Utilizzando le considerazioni ora fatte vediamo come creare unmenù. a partire da un dato Crib.

1 2 3 4 5 6 7 8Crib b e a c h b a g

Testo codificato d f f e e a c f




Figura: Esempio di menù




Stop

Ogni stop suggeriva:

un possibile ordine dei rotori;una possibile posizione iniziale dell’anello cifrato;un insieme incompleto di collegamenti del plug-board.

Tutti i dati mancanti venivano trovati per tentativi ed errori tramitesimulatori di macchine Enigma. Il problema era: da quale stopiniziare?Dato un insieme di stop, il peso dell’evidenza permetteva diordinare questi dal più possibile al meno possibile.




Da quale stop iniziare?

Sia N il numero totale delle possibili combinazione del plug-board con 10 cavi.Sia s il numero di connessioni con se stesso (autoconnessioni) date dallo stop S .Sia r il numero di connessioni a coppia dato dallo stop S .Sia M(s, r) il numero di modi distinti tramite i quali è possibile estendere s a 6autoconnessioni e r a 10 connessioni di coppia.

La probabilità che le iniziali connessioni s e r fornite dallo stop S siano corrette è datoda

M(s, r)

N

Il numero di possibili posizioni iniziali dei rotori è 263 e quindi la probabilità che lostop S sia corretta è data da

P(S) =M(s, r)

N · 263

Dunque la probabilità che un dato stop S ′ sia sbagliato è dato da

P(S ′) = 1−M(s, r)

N · 263




Sia D l’evento che un dato stop S decodifica (correttamente) le lettere sul crib. Allorala probabilità che un dato stop sia corretto e decodifica tutte le lettere del crib è datada

P(S ∩ D) =M(s, r)

N · 263· 1

La probabilità che un dato stop S ′ scorretto decodifichi correttamente il crib è

P(S ′ ∩ D) =

„1−

M(s, r)

N · 263

«·

„125

«l

per l numero di lettere del menù.Definita con O(S | D) la quota che uno stop S sia corretto dato che ha decodificatocorrettamente le lettere del crib si ha:

O(S | D) =P(S | D)

P(S̄ | D)=

P(S ∧ D)

P(S̄ ∧ D)=

M(s, r) · 25l

N · 263

La possibilità che un particolare stop S dia la chiave parziale corretta è

5 · log10O(S | D)




Il peso dell’evidenza permetteva anche la compilazione dellaseguente tabella.

Stima del numero di stop per ordine di rotori

Numero di lettere sul menùLoops 8 9 10 11 12 13 14 15 163 2.2 1.1 0.42 0.14 0.04 <0.01 <0.01 <0.01 <0.012 58 28 11 3.8 1.2 0.30 0.06 < 0.01 < 0.011 1500 720 280 100 31 7.7 1.6 0.28 0.040 40,000 19,000 7300 2700 820 200 43 7.3 1.0




Regola: non usare menù il cui valore atteso è più grande diquattro stop per ordine di rotori.

Stima del numero di stop per ordine di rotori

Numero di lettere sul menùLoops 8 9 10 11 12 13 14 15 163 2.2 1.1 0.42 0.14 0.04 <0.01 <0.01 <0.01 <0.012 58 28 11 3.8 1.2 0.30 0.06 < 0.01 < 0.011 1500 720 280 100 31 7.7 1.6 0.28 0.040 40,000 19,000 7300 2700 820 200 43 7.3 1.0




Banburismus

Il Banburismus era un processo tramite il quale era possibileidentificare il rotore centrale e il rotore di destra della macchinaEnigma.

Tramite il peso dell’evidenza era possibile calcolare quale tra i 50offset controllati avesse più possibilità di rappresentare duemessaggi in depth.




Come utilizzare l’informazione che due messaggi sono in depth?

VFX ,VFG X = G + 10VFX ,VFQ X = Q − 2VFH,VFX H = X − 4VFB,VFG B = G + 3

G −−B −−H −−− X − Q




Figura:Peso dell’evidenza, Probabilità e Statistica a Bletchley Park



E se aggiungiamo nuova evidenza?

VFA,VFF A = F + 5VFA,VFD D = A + 3VFD,VFO O = D + 4VFF ,VFX X = F + 2

G −−B −−H − F − X − QA−−D −−− O




La tabella che segue ci dice che l’unico rotore possibile è il numeroI.




Intercettazione del messaggio codificato tramite una machinaEnigma.Crib e Menù.Banburismus (fino 1943).Macchina Bomba.Stop della macchina Bomba.Ordinamento degli Stop da più probabile a meno probabile.Ultime verifiche (tentativi ed errori) fatte tramite macchineEnigma o simulatori di macchine Enigma.Decodifica del messaggio.




Peso dell’evidenza: dove e perchè

(1) Analisi sequenziale.(2) Matematica della filosofia

Probabilità;Induzione;gradi di corroborazione;causalità probabilistica;razionalità

(3) Teoria dell’informazione.(4) Teoria della decisione.(5) Incertezza di secondo tipo.




BIBLIOGRAFIA

B. Jack Copeland The Essential Turing: Seminal Writings in Computing,Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life: Plus TheSecrets of Enigma, OXFORD UNIVERSITY PRESS, 2004.

I. J. Good, Probability and the Weighing of Evidence, London, CharlesGriffin & company Limited, 1950.

I. J. Good, Studies in History of Probability and Statistics. XXXVII A.M.Turing’s Statistical Work in World War II, Biometrica, Vol. 66, No.2(Aug., 1979), pp.393-396.

I.J. Good, Weight of Evidence: A Brief Survey, in J.M. Bernardo, M.H.Degroot, D.V. Lindley, A.F.M Smith (ed.) Bayesian Statistics 2,Proceedings of the second Valencia international Meeting, September6/10 1983, pp 249-270 Elsevier Science Pubblishers B.V (North-Holland),1985.


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