skripte iz matematičke logike

Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu

Matematička logika Madarász Sz. Rozália

Novi Sad, novembar 2012.

Predgovor

Ovaj tekst je pomocni materijal koji sluzi da studentima olaksa pracenje kur-seva Matematicka logika odnosno Matematicka logika u racunarstvuna Departmanu za matematiku i informatiku PMF Univerziteta u NovomSadu. On nije dovoljan da bi se kursevi savladali u potpunosti, jer ne sadzizadatke, a cesto nedostaju i primeri koji bi ilustrovali date pojmove odnosnoteoreme. Navedene kurseve je, naravno, najlakse savladati tako sto se re-dovno pohada nastava (predavanja i vezbe) i koristi dopunska literatura. No,iskustvo pokazuje da izvestan broj studenata nije u mogucnosti da pohadanastavu, pa ove skripte sluze umesto (tudih) beleski sa predavanja.

Grubo govoreci, kursMatematicka logika, koji se pod raznim nazivimaslusa na osnovnim ili master studijama matematike, oslanja se na poglavlja1, 2 i 4, a kurs Matematicka logika u racunarstvu na poglavlja 1, 2i 3. No, predavanja iz navedenih kurseva se svake godine prilagodavajuslusaocima, u zavisnosti od predznanja i zainteresovanosti, pa shodno tome,ove skripte ce ponekad biti presiromasne u odnosu na pokriveni materijal, aopet neke godine se ne stigne da se obradi svaka tema koja je ovde navedena.

Na kraju, shvatite ovaj materijal kao ”zivo bice”, koje ce vremenomrasti, menjati se i poboljsavati. Nikako ga ne treba shvatiti kao nesto stoje zavrseno i spremno za stampu. Savetujemo takode da se poseti sajthttp://sites.dmi.rs/personal/madaraszr/ i proveri ima li nesto sto bi moglobiti od koristi citaocu prilikom spremanja ispita iz navedenih kurseva.

Rozalia Sz. Madarasz

1

2 Predgovor

Sadrzaj

1 Iskazna logika 7

1.1 Poceci logike i matematicke logike . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Logika iskaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Sintaksa iskazne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Interpretacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Tautologije, logicka ekvivalencija . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Modeli i teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Logicka (semanticka) posledica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9 Semanticki tabloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10 Deduktivni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.11 Iskazni racun - deduktivni sistem za iskaznu logiku . . . . . . 33

1.12 Mala teorema kompletnosti i odlucivost iskaznog racuna . . . 41

1.13 Teorema kompletnosti i kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . 44

1.14 Rezolucija u iskaznoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Predikatska logika 57

2.1 O predikatskoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Sintaksa predikatske logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Semantika predikatske logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

4 Sadrzaj

2.4 Operatori Mod i Th, semanticke posledice . . . . . . . . . . . 66

2.5 Valjane formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6 Preneksna forma i skolemizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.7 Rezolucija u predikatskoj logici -Uvod . . . . . . . . . . . . . 79

2.8 Klauzalna forma i Erbranova teorema . . . . . . . . . . . . . 80

2.9 Rezolucija u predikatskoj logici . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.10 Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri . . . . . . . . . . . . 88

2.11 Predikatski racun kao deduktivni sistem . . . . . . . . . . . . 92

2.12 Pouzdanost i kompletnost predikatskog racuna . . . . . . . . 99

2.13 Predikatska logika sa jednakoscu . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3 Temporalne logike 109

3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Sintaksa i semantika PTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Linear time propositional temporal logic . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 116

4 Skupovi, ordinali, kardinali 121

O paradoksima u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Naivna teorija skupova i paradoksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Kako izbeci paradokse u teoriji skupova . . . . . . . . . . . . . . . 125

Malo filozofije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ZF sistem aksioma za teoriju skupova . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Aksioma izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

uredeni skupovi - Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Induktivnost i dobro uredeni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Sadrzaj 5

Dobro uredeni i striktno dobro uredeni skupovi . . . . . . . . . . . 148

Uredeni skupovi i Aksioma izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Definicija ordinala i osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Osobine klase svih ordinala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Ordinalni tip dobro uredenog skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Prirodni brojevi kao ordinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Ekvipotentni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Kardinal kao specijalni ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Operacije sa kardinalima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Konacni kardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Beskonacni kardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Alefi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Operacije sa beskonacnim kardinalima . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Kontinuum hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Literatura 187

Indeks 191

6 Sadrzaj

Glava 1

Iskazna logika

1.1 Poceci logike i matematicke logike

Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zakljucivanja bilisu Stari Grci. Zahvaljujuci svom drustvenom uredenju, koje je ohrabrivaloslobodne ljude da raspravljaju i dokazuju da su u pravu, oni su postavilitemelje logike, pre svega kao dela filozofije. U tom smislu, Grcki filozofi-naucnici se mogu smatrati za zacetnike logike kao nauke - to su prve svegaTales, Pitagora, Parmenid, Zenon, Protagora, Sokrat, Platon i Aristotel.Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se poducavanjem vestineraspravljanja, koja je Starim Grcima bila korisna prilikom ucesca u upravl-janju gradom-polisom, kao i u licnim sporovima, u kojima su, pred nekomvrstom suda, svoja prava morali sami braniti. Oni, koji su bili vestiji ubaratanju sa recima i zakonima pravilnog zakljucivanja, imali su svakakoprednost nad onima koji te vestine nisu imali. Sofisti su takode postali poz-nati po svojim ”iscasenim” pricama, tzv. sofizmima, u kojima se polazeciod prividno istinitih pretpostavki, po pravilima logickog zakljucivanja, stizedo apsurdnih zakljucaka. Aristotel je, verovatno motivisan izmedu ostalog itakvim sofizmima, sakupio i katalogizirao sve tada poznate seme ispravnog,logickog zakljucivavnja u svom delu ”Organon”. Aristotelova logika, poz-nata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama, cinila je skoro dve hiljadagodina obavezan deo svakog ozbiljnog obrazovanja.

Prvi znacajniji pomak u logici kao nauci, posle stotina i stotina godinamracnog srednjeg veka, mozemo otkriti u delima naucnika-filozofa, pre svegakod Dekarta i Leibniza. Dekart je zastupao stanoviste, da se matematicki

7

8 Glava 1. Iskazna logika

nacin razmisljanja mora primenjivati i u ostalim naukama, ako zelimo dadodemo do pravih istina. Pri tome, ne treba verovati nikakvim autorite-tima, nego se jedino treba oslanjati na svoj sopstveni razum i moc logickogzakljucivanja. Leibniz je imao jos ambiciozniji projekat: zelelo je da stvorijedan univerzalni formalni racun, ”Characteristica Universalis”, nalik namatematiku, u kome bi svi objekti, pojmovi i relacije imale svoje oznake,i u kome bi sve istine mogle biti izrazene, a razni sporovi medu filozofima,naucnicima ili politicarima mogli biti razreseni prostim racunom. Zbog tihsvojih ideja, Leibniz se ponekad smatra za pra-oca matematicke logike.

Zvanicno, prava matematicka logika stize sa radovima Georgea Boolea, u19. veku. On je u svojoj teoriji (tzv. racun klasa) razvio dve ideje: prvo, daprilikom rada sa iskazima, treba koristiti oznake, i drugo, da zakoni misljenjaimaju zapanjujuce mnogo slicnosti sa zakonima aritmetike. Koriscenjem trifundamentalne operacije medu klasama, koje mi danas zovemo unija, presek,komplement, on je zapisao i dokazao osnovne zakone iskaznog racuna - danassu ti identiteti poznati pod nazivom aksiome Booleove algebre.

Mi cemo poceti izucavanje matematicke logike upravo Booleovim tragom- ispitujuci prvo zakone ispravnog misljenja u logici iskaza.

1.2 Logika iskaza

Pre nego sto krenemo da izgradujemo iskaznu logiku (kao formalnu, matema-ticku teoriju), podsetimo se osnovnih pojmova logike iskaza (neformalneteorije koja predstavlja najjednostavniji deo logike). Osnovni pojmovi logikeiskaza su: iskaz, istinitosna vrednost iskaza, logicki veznici. Intu-itivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednu istinitosnu vredost:” tacno” ili ”netacno”. Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . .Umesto ”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”. Akoiskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i da je ”iskaz p tacan”(i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).

Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenije iskaze.Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”, ”ako...onda”,”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije” (unarni veznik):

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,

• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,

1.2. Logika iskaza 9

• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,

• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,

• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Istinitosna vrednost slozenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednostiiskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeci nacin:

• iskaz ”p i q”je tacan ako i samo ako su i p i q tacni,

• iskaz ”p ili q” je netacan ako i samo ako su i p i q netacni,

• iskaz ” ako p onda q” je netacan ako i samo ako je p tacan a q netacan,

• iskaz ” p ako i samo ako q” je tacan ako i samo ako iskazi p i q imajuistu istinitosnu vrednost,

• iskaz ” nije p” je tacan ako i samo ako je iskaz p netacan.

Osnovni pojam koji zelimo formalizovati je pojam logicke posledice: Neka jeΣ neki skup iskaza. Kazemo da je iskaz p logicka posledica od Σ ako je iskazp nuzno tacan svaki put kada su svi iskazi iz skupa Σ tacni. U tom slucajutakode kazemo da je zakljucivanje ”iz Σ sledi p” (logicki) ispravno.

Primer 1.1 Posmatrajmo sledece zakljucivanje: Ako poplava unisti vasukucu ili ako ona izgori u pozaru, osiguravajuce drustvo ce vam platiti. Prematome, ako vam osiguravajuce drustvo nije platilo, onda vam poplava nije unistilakucu i ona nije izgorela u pozaru. Ovo zakljucivanje je ispravno, jer bez obzirana tacnost iskaza koji su navedeni, zakljucak ce biti tacan, pod uslovom daje pretpostavka tacna.

Primer 1.2 Posmatrajmo sledece zakljucivanje: Ako je neko talentovan ivredan, postace slavan. Svi slavni ljudi su bogati. Ja nisam bogat. Dakle, janisam talentovan i nisam vredan. Ovo zakljucivanje nije ispravno, jer mozeda se desi da samo recimo nisam vredan, a jesam talentovan, pa da su svepretpostavke tacne, a zakljucak nije tacan.


1.3 Sintaksa iskazne logike

Iskazna logika nastaje formalizacijom (”matematizacijom”) logike iskaza.Prvo cemo definisati jezik iskazne logike. U opstem slucaju, azbuka (ilialfabet) je skup simbola - znakova koji su ”nedeljivi”. Ako je A neka azbuka,svaki konacan niz simbola iz A zovemo rec nad A. Svaki podskup skupasvih reci nad A jeste jezik nad A. Dakle, da bismo definisali jezik iskaznelogike, potrebno je zadati odgovarajucu azbuku, i izdvojiti skup onih recinad tom azbukom, koje cemo smatrati da su ”dobro formirani izrazi” (tzv.iskazne formule).

Definicija 1.1 Standardna azbuka iskazne logike se sastoji od sledecihsimbola:

• prebrojiv skup iskaznih slova S,

• simboli logickih operacija: ∧,∨,⇒,⇔,¬,

• pomocni znaci: (, ).

Standardnu azbuku iskazne logike cemo obelezavati sa L, i u daljem tekstu,ako drugacije ne kazemo, smatracemo da je S = {p1, p2, . . . , pn, . . . }.

Definicija 1.2 Skup iskaznih formula je najmanji skup reci nad azbukomL koji zadovoljava sledece uslove:

1. Sva iskazna slova su iskazne formule;

2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧B), (A ∨B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Ovako definisan skup svih iskaznih formula zovemo i standardan skupiskaznih formula i obelezavamo sa Form.

Umesto ovako definisanih iskaznih formula, ponekad je zgodno iskazne for-mule definisati na drugi nacin, koriscenjem tzv. poljske (prefiksne) notacije.U toj notaciji simboli logickih operacija se pisu ispred (a ne izmedu) iskaznihslova ”na koje uticu”, pa je na taj nacin izbegnuto koriscenje zagrada. No,iako takav nacin zapisivanja iskaznih formula ponekad ima svoje prednosti,

1.3. Sintaksa iskazne logike 11

vecini ljudi je mnogo lakse ”citati” i razumeti iskazne formule opisane Defini-cijom 2.

Uobicajeno je da se prilikom rada u iskaznoj logici pridrzavamo sledecihdogovora:

• radi jednostavnosti, mozemo brisati spoljne zagrade kod formula;

• da bismo koristili sto manje zagrada, dogovor je da je prioritet logickihoperacija sledeci: ¬, zatim ∧,∨, i na kraju ⇒,⇔;

• umesto iskazna formula govoricemo samo formula.

• Kako su formule reci (izrazi konacne duzine), u svakoj formuli ucestvujesamo konacno mnogo iskaznih slova. Po dogovoru, zapis

A = A(p1, p2, . . . , pn)

ce znaciti da su sva iskazna slova formule A u skupu {p1, p2, . . . , pn}.

Vrlo cesto cemo prilikom dokazivanja raznih osobina formula koristititzv. dokaz po slozenosti iskaznih formula. Naime, ako treba dokazati da nekaosobina O vazi za sve iskazne formule, dovoljno je dokazati da tu osobinuimaju sva iskazna slova (baza indukcije), i da iz pretpostavne da formule Ai B imaju osobinu O sledi da i formule A ∧ B,A ∨ B,A ⇒ B,A ⇔ B,¬Aimaju tu osobinu (indukcijski korak). Drugim recima, vazi sledeca teorema:

Teorema 1.1 Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Formtako da vaze sledeci uslovi:

• S ⊆ O,

• Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule

A ∧B,A ∨B,A⇒ B,A⇔ B,¬A

pripadaju skupu O.

Tada je O = Form.

Dokaz. Primetimo da skup formula O zadovoljava oba uslova iz Definicije2. Kako je Form najmanji skup reci koji zadovoljava ta dva uslova, sledi daje Form ⊆ O, iz cega sledi O = Form.�


1.4 Interpretacije

Za definiciju semantike Iskazne logike koristicemo jednu veoma jednostavnu,dvoelementnu algebru, cije elemente mozemo oznaciti na primer sa 0 i 1, iliT i F, ili kao sto cemo mi, sa ⊤ i ⊥. Ta algebra ce imati cetiri binarneoperacije i jednu unarnu, koje bismo trebali, u principu, oznaciti nekimsimbolima koji se razlikuju od simbola logickih operacija. No, mi cemo ihoznaciti istim simbolima (jer ce, na kraju krajeva, simbol logicke operacije dase interpretira kao njegov odgovarajuci ”par” iz kolekcije operacija iskaznealgebre), s tim da cemo imati u vidu da se radi o razlicitim pojmovima.

Definicija 1.3 Iskazna algebra je algebra I = ⟨{⊤,⊥},∧,∨,⇒,⇔,¬⟩,gde su operacije ∧,∨,⇒,⇔ binarne, a ¬ unarna operacija, definisane svojimCayleyevim tablicama na sledeci nacin:

∧ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥

∨ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥

⇒ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤

⇔ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤

p ¬p⊤ ⊥⊥ ⊤

Definicija 1.4 Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S →{⊤,⊥}. Ako je p ∈ S, za τ(p) kazemo da je vrednost tog iskaznog slovau valuaciji τ . Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jestepreslikavanje vτ : Form → {⊤,⊥} koje je definisano na sledeci nacin: akosu A i B iskazne formule, onda

• ako je p ∈ S iskazno slovo, onda vτ (p) = τ(p),

• vτ (A ∧B) = vτ (A) ∧ vτ (B),

• vτ (A ∨B) = vτ (A) ∨ vτ (B),

• vτ (A⇒ B) = vτ (A)⇒ vτ (B),

• vτ (A⇔ B) = vτ (A)⇔ vτ (B),

• vτ (¬A) = ¬vτ (A).

Za vτ (A) kazemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretacijivτ ). Ukoliko je vτ (A) = ⊤, kazemo da je formula A u toj valuaciji (inter-pretaciji) tacna, a ako je vτ (A) = ⊥, da je netacna.

1.4. Interpretacije 13

Nije tesko uvideti da za datu valuaciju τ postoji jedna i samo jedna inter-pretacija (tj. jedna funkcija koja prosiruje preslikavanje τ sa skupa S na ceoskup Form).

Teorema 1.2 Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo odvrednosti onih iskaznih slova koja figurisu u formuli A.

Dokaz. Neka je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka iskazna formula, i neka su τ i τ′

dve valuacije, takve da imaju istu vrednost za sva iskazna slova koja figurisuu A. Tada se indukcijom po slozenosti iskazne formule A lako dokazuje daje vτ (A) = vτ ′ (A).�

Definicija 1.5 Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤,⊥}n →{⊤,⊥}, gde n ≥ 1. Ako je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula, onda istini-tosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}takva da za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazi fA(a1, a2, . . . , an) = vτ (A), gdeje τ valuacija u kojoj je τ(pi) = ai, za sve i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Prema tome, imajuci u vidu da vrednost formule ne zavisi od vrednostionih iskaznih slova koje ne ucestvuju u formuli, istinitosna funkcija induko-vana datom formulom pokazuje koje vrednosti ta formula moze imati za svemoguce valuacije. Po dogovoru, umesto da uvodimo novu oznaku (fA) zatako indukovanu istinitosnu funkciju, umesto fA(a1, . . . , an) mozemo pisatisamo A(a1, . . . , an).

Indukovanu istinitosnu funkciju najpreglednije je predstaviti tzv. istini-tosnom tablicom, u kojoj cemo sistematicno ispisati sve moguce kombi-nacije vrednosti za ona iskazna slova, koja ucestvuju u formuli. Ako imamon razlicitih iskaznih slova, istinitosna tablica ce imati 2n vrsta.

Primer 1.3 Neka je A = (p2 ⇒ ¬p5) ∧ p3. Tada, radi jednostavnosti,oznacimo iskazna slova p2, p5 i p3 redom slovima p, q, r. Tako, formuluA zapisujemo kao A = (p ⇒ ¬q) ∧ r. Vrednost formule A zavisi samo odvrednosti iskaznih slova p, q, r, pa ce odgovarajuca istinitosna tablica izgledatiovako:


p q r p⇒ ¬q (p⇒ ¬q) ∧ r⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥

Definicija 1.6 Kazemo da je iskazna formula A

• zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tacna,

• oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netacna,

• tautologija ili valjana formula je tacna za sve valuacije,

• kontradikcija ako je njena vrednost netacna za sve valuacije.

Problem da li je data iskazna formula zadovoljiva oznacava se sa SAT (Sat-isfiability Problem). Ispostavilo se da je problem SAT veoma znacajan uteoriji slozenosti algoritama. Prvo, jos uvek nije pronaden algoritam koji bitaj problem resio u polinomnom vremenu (metod istinitosnih tablica imaeksponencijalnu slozenost). Vazi i vise od toga: SAT problem spada u klasutzv. NP-kompletnih problema, sto intuitivno znaci da ako se za taj problempronade algoritam polinomne slozenosti, tada su klase P i NP jednake, tj.svaki problem slozenosti NP se moze resiti u polinomnom vremenu.

1.5 Tautologije, logicka ekvivalencija

Tautologije mozemo shvatiti kao zakone misljenja. Neke od njih koristimo(nesvesno) i u svakodnevnom rezonovanju. Naravno, matematicari ih koristecesce od ostalih, jer je priroda matematickih dokaza takva da zahtevaju cistulogicku strukturu. U sledecoj teoremi smo naveli prvih 16 najcesce koriscenihtautologija, od kojih su poneke poznate i po svojim latinskim nazivima:

Teorema 1.3 Sledece formule su tautologije:

1.5. Tautologije, logicka ekvivalencija 15

1. ¬¬p⇔ p Zakon dvojne negacije

2. p ∨ ¬p Tertium non datur

3. ¬(p ∧ ¬p) Zakon neprotivrecnosti

4. (p ∧ (p⇒ q))⇒ q Modus Ponens

5. ((p⇒ q) ∧ ¬q)⇒ ¬p Modus Tollens

6. (p⇒ q)⇒ (¬q ⇒ ¬p) Kontrapozicija

7. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q De Morganov zakon za ∧8. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q De Morganov zakon za ∨9. ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ r))⇒ (p⇒ r) Zakon silogizma

10. (¬p⇒ (q ∧ ¬q))⇒ p Reductio ad absurdum

11. ¬p⇒ (p⇒ q) Ex falso quolibet

12. p⇒ (q ⇒ p) Verum ex quolibet

13. ((p⇒ r) ∧ (q ⇒ r))⇒ ((p ∨ q)⇒ r) Zakon nabrajanja

14. (p⇒ q)⇒ ((q ⇒ r)⇒ (p⇒ r)) Tranzitivnost za ⇒15. ((p⇔ q) ∧ (q ⇔ r))⇒ (p⇔ r) Tranzitivnost za ⇔16. ((p⇒ q)⇒ p)⇒ p Pierceov zakon

Dokaz. Direktnom proverom.�

Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn), i neka su B1, B2, . . . , Bn neke formule.Sa A(B1, B2, . . . , Bn) oznacimo formulu koja nastaje simultanom zamenomformule Bi umesto iskaznog slova pi (i ∈ {1, 2, . . . , n}).

Teorema 1.4 Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn) neka tautologija. Tadaza proizvoljne formule B1, B2, . . . , Bn vazi da je A(B1, B2, . . . , Bn) takodetautologija.

Dokaz. Lako je uvideti da je vrednost formule A(B1, B2, . . . , Bn) za svakuvaluaciju uvek ⊤.�

Definicija 1.7 Za dve formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentneako je formula A⇔ B tautologija. U tom slucaju pisemo A ≡ B.

Vazno je primetiti sledece: A⇔ B je formula, koja moze imati razliciteistinitosne vrednosti za razlicite valuacije, dok izraz A ≡ B znaci da for-mule A i B imaju istu vrednost za svaku valuaciju. Naravno, na skupusvih iskaznih formula Form relacija ≡ je relacija ekvivalencije, tj. ona jerefleksivna, simetricna i tranzitivna: za sve formule A,B,C vazi


• A ≡ A,

• ako A ≡ B onda B ≡ A,

• ako A ≡ B i B ≡ C onda A ≡ C.

U sledecoj teoremi smo naveli najpoznatije logicki ekvivalencije.

Teorema 1.5 Neka su A, B i C proizvoljne formule. Tada vazi:

1. A ∧A ≡ A Idempotentnost konjunkcije

2. A ∨A ≡ A Idempotentnost disjunkcije

3. A ∧B ≡ B ∧A Komutativnost konjunkcije

4. A ∨B ≡ B ∨A Komutativnost disjunkcije

5. A⇔ B ≡ B ⇔ A Komutativnost ekvivalencije

6. (A ∧B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) Asocijativnost konjunkcije

7. (A ∨B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asocijativnost disjunkcije

8. (A⇔ B)⇔ C ≡ A⇔ (B ⇔ C) Asocijativnost ekvivalencije

9. A ∨ (A ∧B) ≡ A Apsorpcija ∨ prema ∧10. A ∧ (A ∨B) ≡ A Apsorpcija ∧ prema ∨11. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) Distributivnost ∧ prema ∨12. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨B) ∧ (A ∨ C) Distributivnost ∨ prema ∧

U sledecoj teoremi su prikazane veze izmedu logickih operacija, kojecemo u daljem vrlo cesto koristiti:

Teorema 1.6 Za proizvoljne iskazne formule A i B vazi:

A⇒ B ≡ ¬A ∨B A⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

A ∨B ≡ ¬A⇒ B A ∧B ≡ ¬(A⇒ ¬B)

A ∨B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)

A⇔ B ≡ (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A) A⇔ B ≡ (¬A ∨B) ∧ (¬B ∨A)


Jedan od veoma cesto koriscenih tehnika u logici iskaza je tzv. ekviva-lencijska transformacija formula. Neformalno receno, to je postupak kadase od jedne formule konstruise lanac ekvivalentnih formula, tako da se usvakom koraku iskoristi Teorema 1.4 ili se neka potformula zameni njoj ek-vivalentnom formulom.

1.5. Tautologije, logicka ekvivalencija 17

Definicija 1.8 Neka je F neka formula. Skup potformula formule Fdefinisemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeca dva uslova:

• svaka formula je sama sebi potformula;

• ako je F jednaka nekoj od formula A ∧ B,A ∨ B,A ⇒ B,A ⇔ B,onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule Bujedno i potformula od F ; ako je F = ¬A, onda je svaka potformulaformule A ujedno i potformula od F .

Rezultat zamene svih pojavljivanja potformule C u formuli A iskaznomformulom D obelezavamo sa A[C ← D] (ovaj pojam se moze definisati i for-malnije, indukcijom po slozenosti formula). Sada mozemo dokazati sledecuteoremu:

Teorema 1.7 Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je Dneka formula tako da je C ≡ D tada je A ≡ A[C ← D].

Prilikom logickih transformacija formula pokazalo se korisnim da uvedemoposebnu oznaku za dve logicke konstante - jednu koja ce uvek biti interpre-tirana kao ⊤, i druga koja ce uvek biti interpretirana sa ⊥. Kada bismo setrudili da po svaku cenu izbegnemo mogucu konfuziju, te dve logicke kon-stante bismo trebali oznaciti potpuno novim simbolima, recimo kao ♣ i ♠,ili true i false. No, mi cemo ih, radi jednostavnosti, oznaciti kao i njihoveinterpretacije, tj. kao ⊤ i ⊥.

Definicija 1.9 Prosirena azbuka iskazne logike L′se dobija dodavan-

jem dva simbola logickih konstanti ⊤ i ⊥ standardnoj azbuci L. Skupiskaznih formula Form

′je najmanji skup reci nad azbukom L

′tako da vazi:

1. Sva iskazna slova i simboli logickih konstanti ⊤ i ⊥ su iskazne formule;

2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧B), (A ∨B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Valuacija τ odnosno odgovarajuca interpretacija vτ iskaznih formula naprosirenoj azbuci se definise na isti nacin kao na standardnoj azbuci, s timda za svaku valuaciju τ vazi da je vτ (⊤) = ⊤ i vτ (⊥) = ⊥.


Ovako dobijen jezik nazivamo prosireni jezik iskazne logike. Naprosirenom jeziku iskazne logike mozemo navesti jos nekoliko vaznih logickihekvivalencija.

Teorema 1.8 Neka su A,B,C iskazne formule na prosirenom jeziku iskaznelogike. Tada vazi:

A ∧ ⊤ ≡ A A ∧ ⊥ ≡ ⊥A ∨ ⊤ ≡ ⊤ A ∨ ⊥ ≡ AA⇒ ⊤ ≡ ⊤ A⇒ ⊥ ≡ ¬A⊤ ⇒ A ≡ A ⊥ ⇒ A ≡ ⊤A⇔ ⊤ ≡ A A⇔ ⊥ ≡ ¬AA⇒ A ≡ ⊤ A⇔ A ≡ ⊤A ∧ ¬A ≡ ⊥ A ∨ ¬A ≡ ⊤


U daljem tekstu, ako ne kazemo drugacije, radicemo na prosirenom jezikuiskazne logike.

1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre

Videli smo u Sekciji 4. da svaka iskazna formula A = A(p1, . . . , pn) na priro-dan nacin indukuje jednu n-arnu istinitosnu funkciju fA = fA(x1, . . . , xn).Naime, za sve a1, . . . , an ∈ {⊤,⊥}, fA(a1, . . . , an) je interpretacija (vred-nost) formule A u valuaciji τ u kojoj je τ(pi) = ai, za sve i ∈ {1, 2, . . . , n}.Prirodno je postaviti pitanje, da li vazi obrat, tj. da li je svaka istinitosnafunkcija indukovana nekom iskaznom formulom? Naravno, ako neka istini-tosna funkcija ima stalno ima vrednost ⊤, onda je indukuje bilo koja tau-tologija, recimo p ∨ ¬p. Slicno, ako funkcija f ima stalno vrednost ⊥, ondaje indukuje bilo koja kontradikcija. No, odgovor je pozitivan i u opstemslucaju: za proizvoljnu istinitosnu funkciju postoji formula koja je indukuje.Pre nego sto dokazemo teoremu iz koje ce slediti ovo tvrdenje, pogledajmosledeci primer:

Primer 1.4 Neka je istinitosna funkcija f = f(p, q, r) zadata svojom tabli-com na sledeci nacin:

1.6. Normalne forme i baze iskazne algebre 19

p q r f

⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤

Posmatrajmo one redove (vrste) tablice u kojima funkcija f ima vrednost⊤, i pokusajmo da konstruisemo formulu Af koja ce imati vrednost ⊤ tacnoza te cetiri valuacije. Formula p ∧ q ∧ r je tacna samo u jednom slucaju:kada je τ(p) = τ(q) = τ(r) = ⊤, i to odgovara prvoj vrsti tablice. Dalje,posmatrajmo cetvrtu vrstu: formula koja je jedino tacna za tu kombinacijuvrednosti iskaznih slova p, q, r jeste p∧¬q∧¬r. Sesta vrsta takode daje tacnuvrednost, sto postizemo formulom ¬p∧ q ∧¬r, dok poslednjoj vrsti odgovaraformula ¬p ∧ ¬q ∧ ¬r. Formulu koja ce biti tacna ako i samo ako nastupijedna od prethodna cetiri sucaja dobijamo tako sto napravimo disjunkcijuprethodne cetiri formule: (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r).

Teorema 1.9 (Disjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcijaf : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ⊥). Tadaza sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:

f(x1, . . . , xn) =∨{x1a1∧· · ·∧xnan : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f(a1, . . . , an) = ⊤}

gde je xi⊤ znaci xi, a xi

⊥ znaci ¬xi.

Dokaz. Prvo primetimo da za a, b ∈ {⊤,⊥} vazi ab = ⊤ akko je a = b.Prema tome konjunkt x1

a1 ∧ · · · ∧ xnan ima vrednost ⊤ akko za sve i ∈{1, 2, . . . , n} vazi xi = ai. Ako je f(b1, . . . , bn) = ⊤, onda ce se sa desnestrane pojaviti konjunkt b1

b1 ∧ · · · ∧ bnbn , pa ce cela desna strana imativrednost ⊤. U suprotnom, ako je f(b1, . . . , bn) = ⊥, onda ce sa desne straneu svakom konjunktu b1

a1 ∧ · · · ∧ bnan biti makar jedan i takav da je bi = ai,pa ce svaki konjunkt imati vrednost ⊥.�

Na dualan nacin dobijamo sledecu teoremu:

Teorema 1.10 (Konjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcijaf : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ⊥). Tada


za sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:

f(x1, . . . , xn) =∧{x1¬a1∨· · ·∨xn¬an : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f(a1, . . . , an) = ⊥}

gde je xi⊤ znaci xi, a xi

⊥ znaci ¬xi.

Dokaz. Dualno od dokaza prethodne teoreme.�

Kao posledicu bilo koje od prethodne dve teoreme, kao i Teoreme 6:

Teorema 1.11 Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskaznaformula B, koja od logickih veznika ima samo:

• ∧,∨,¬,

• ∧,¬,

• ∨,¬,

• ⇒,¬.

Kazemo da su skupovi {∧,∨,¬}, {∧,¬}, {∨,¬}, {⇒,¬} potpuni skupovilogickih operacija, ili da cine bazu iskazne algebre I. U opstem slucaju, po-jam potpunog skupa funkcija (ili baze) se moze definisati za proizvoljan skupoperacija na nekom skupu X: to je takav skup operacija na X da se nji-hovom kompozicijom moze dobiti bilo koja operacija tog skupa. Preciznadefinicija ovog pojma ukljucuje (prilicno tehnicke) definicije pojma kompozi-cije operacija razlicite arnosti kao i pojma kompozicije. No, posto cemo miraditi uglavnom sa unarnim i binarnim operacijama, za koje je jasno sta jenjihova kompozicija, mozemo prihvatiti sledecu definiciju:

Definicija 1.10 Neka je F neki skupo istinitosnih funkcija. Kazemo daje F baza iskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija moze dobitikompozicijom funkcija iz skupa F .

Lako je videti da ni jedna od fundamentalnih operacija iskazne algebre∧,∨,⇒,⇔ ne cini sama za sebe bazu. Postoje tacno dve binarne operacijena skupu {⊤,⊥} koje, svaka za sebe, cine bazu:

1.7. Modeli i teorije 21

Definicija 1.11 Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci ↑ jebinarna operacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa

p ↑ q := ¬(p ∧ q).

Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci ↓ je binarna op-eracija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa

p ↓ q := ¬(p ∨ q).

Teorema 1.12 Jedine binarne operacije skupa {⊤,⊥} koje, svaka za sebe,cine jednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije ↑ odnosnoLukasiewiczeva operacija ↓.

Dokaz. Prvo, dokazimo da se pomocu operacija ↑ odnosno ↓ mogu izrazitioperacije ¬,∧,∨:

¬p ≡ p ↑ p ¬p ≡ p ↓ pp ∧ q ≡ (p ↑ q) ↑ (p ↑ q) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)p ∨ q ≡ (p ↑ p) ↑ (q ↑ q) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)

Neka je sada f = f(p, q) neka binarna operacija skupa {⊤,⊥}, pomocukoje mozemo izraziti sve ostale operacije, pa specijalno i operaciju negacije.Onda mora f(⊤,⊤) = ⊥ i f(⊥,⊥) = ⊤. Ostaje jos da se odredi vrednostod f(⊤,⊥) i f(⊥,⊤). Od cetiri mogucnosti dve ce dati bas operacije ↑odnosno ↓, a preostale dve daju unarne operacije, pomocu kojih se ne bimogla izraziti ni jedna operacija arnosti vece od 1.�

1.7 Modeli i teorije

Definicija 1.12 Neka je τ neka valuacija i F neka formula. Kazemo da jeτ model formule F (ili da formula F vazi na τ , ili da τ zadovoljava F )ako je vrednost formule F u toj valuaciji tacna tj. ako je vτ (F ) = ⊤. Skupsvih modela (tj. skup svih valuacija) obelezavamo sa Mod.

Kako je tehnicki jednostavnije je raditi sa skupovima iskaznih slova umestosa valuacijama (tj. preslikavanjima), valuacije cemo obelezavati navodenjemskupa iskaznih slova τ⊤ = {p ∈ S : τ(p) = ⊤} koja u toj valuaciji imajuvrednost ⊤, i to u uglastim zagradama. Tako, recimo, oznaka [p1, p3, p8, p2]je drugi zapis valuacije τ u kojoj je τ(pi) = ⊤ akko i ∈ {1, 3, 8, 2}.


Primer 1.5 Po definicij, recimo, [p1, p5, p2] |= p2∧p1 ⇒ p7∨p5, [p4] |= ¬p2.Ako je A tautologija, ona vazi na svakom modelu. Kontradikcija ne vazi nina jednom modelu.

Teorema 1.13 Neka je τ ∈ Mod, p ∈ S, F,G ∈ Form. Tada vazi:

• τ |= p akko p ∈ τ⊤,

• τ |= F ∧G akko τ |= F i τ |= G,

• τ |= F ∨G akko τ |= F ili τ |= G,

• τ |= F ⇒ G akko (iz τ |= F sledi τ |= G),

• τ |= F ⇔ G akko (τ |= F akko τ |= G),

• τ |= ¬F akko nije τ |= F .

Dokaz. Sledi po definiciji modela.�

Definicija 1.13 1. Neka je τ ∈ Mod i Σ ⊆ Form. Tada kazemo da jeτ model skupa formula Σ, i pisemo τ |= Σ, ako je τ model svakeformule iz Σ.

2. Neka je K ⊆ Mod i F ∈ Form. Tada kazemo da F vazi na skupumodela K, i pisemo K |= F , ako formula F vazi na svakom modeluiz skupa K.

3. Neka je K ⊆ Mod i Σ ⊆ Form. Kazemo da na klasi K vazi skupformula Σ, i pisemo K |= Σ, ako na K vazi svaka formula F iz Σ.

4. Neka je Σ ⊆ Form. Tada je klasa modela odredena sa Σ skupMod(Σ) definisan sa

Mod(Σ) = {τ ∈ Mod : τ |= Σ}.

5. Neka je K ⊆ Mod. Tada je teorija klase K skup formula Th(K)odreden sa

Th(K) = {F ∈ Form : K |= F}.

Primer 1.6 Ako skup formula Σ sadrzi neku kontradikciju, onda jeMod(Σ) =∅. Obrnuto, ako su sve formule u Σ tautologije, onda je Mod(Σ) = Mod.

1.7. Modeli i teorije 23

Preslikavanja Mod i Th imaju izuzetnu vaznost u matematici uopste.Vrlo cesto, probleme u matematici mozemo svrstati u jednu od sledece cetiriklase:

• data je neka klasa struktura K, i zadatak je opisati osobine tih struk-tura (tj. naci teoriju te klase);

• dat je neki skup osobina (tj. neki skup formula Σ na nekom jeziku), ipitamo se kako izgledaju strukture koje su odredene tim ”aksiomama”(dakle, kako izgleda Mod(Σ).

• ako je data neka klasa struktura K, pitamo se da li postoji skup for-mula Σ tako da je Mod(Σ) = K (aksiomatizacija klase K),

• ako je dat neki skup formula Σ, pitamo se da li postoji klasa strukturaK tako da je Th(K) = Σ.

Definicija 1.14 Za model (valuaciju) τ kazemo da je konacan ako je skupτ⊤ = {p ∈ S : τ(p) = ⊤} konacan. Za dva modela α i β kazemo da sudisjunktni ako ne postoji p ∈ S tako da je α(p) = β(p) = ⊤, tj. ako suskupovi α⊤ i β⊤ disjunktni.

Primer 1.7 Neka je α neki konacan model. Konstruisati skup formula Σtako da je Mod(Σ) = {α}...

Primer 1.8 Data su dva konacna disjunktna modela α i β. Konstruisatiskup formula Σ tako da je Mod(Σ) = {α, β}...

U sledece tri teoreme navodimo najvaznije osobine prelikavanja Mod iTh. Kasnije cemo videti da ce iste osobine imati i preslikavanja Mod i Thkoja ”rade” i u drugim logikama, i da sve te osobine ne slede iz specificnihosobina iskazne logike, nego da imaju sire znacenje.

Teorema 1.14 1. Neka su Σ1 i Σ2 dva skupa formula. Tada ako Σ1 ⊆Σ2 onda Mod(Σ2) ⊆Mod(Σ1).

2. Neka su K1 i K2 dva skupa modela. Ako je K1 ⊆ K2 onda je Th(K2) ⊆Th(K1).

Dokaz. Po definiciji preslikavanja Mod odnosno Th.�


Teorema 1.15 1. Za sve Σ ⊆ Form vazi Σ ⊆ Th(Mod(Σ)).

2. Za sve K ⊆ Mod vazi K ⊆Mod(Th(K)).

Dokaz.

1. Neka F ∈ Σ, treba dokazati da je F ∈ Th(Mod(Σ)), tj. Mod(Σ) |= F .To znaci da za sve τ ∈ Mod(Σ) treba da vazi τ |= F . No, ako jeτ ∈Mod(Σ) onda τ |= Σ, pa kako je F ∈ Σ, sledi da τ |= F .

2. Slicno kao pod 1).

�

Teorema 1.16 1. Za sve Σ ⊆ Form vaziMod(Σ) =Mod(Th(Mod(Σ))).

2. Za sve K ⊆ Mod vazi Th(K) = Th(Mod(Th(K))).

Dokaz.

1. Prema prethodnoj teoremi imamo da je Σ ⊆ Th(Mod(Σ)), pa premaTeoremi 1.14 imamo Mod(Σ) ⊇ Mod(Th(Mod(Σ))). Obrnuto, akooznacimo sa K klasuMod(Σ), onda prema prethodnoj teoremi imamoda je K ⊆Mod(Th(K)), tj. da je Mod(Σ) ⊆Mod(Th(Mod(Σ))).

2. Slicno kao 1).

�

1.8 Logicka (semanticka) posledica

Glavni zadatak logike je izucavanje pojma logicke posledice ili logickog za-kljucivanja tj. kada iz tacnosti pretpostavki nuzno sledi tacnost zakljucka.Formalizacija tog pojma je pojam logicke (semanticke) posledice:

Definicija 1.15 Neka je Σ neki skup formula, i F neka formula. Kazemoda je F logicka (semanticka) posledica skupa hipoteza Σ ako je F vaziu svim modelima skupa Σ. U tom slucaju pisemo Σ |= F .

1.8. Logicka (semanticka) posledica 25

Primer 1.9 Neka su p, q, r ∈ S. Tada {p ⇒ q,¬r, q ⇒ r} |= ¬p. Zaista,ako je za neku valuaciju τ vrednost formule ¬r tacna, onda je zbog vτ (q ⇒r) = ⊤ sledi da je τ(q) = ⊥. No, kako je po pretpostavci vτ (p ⇒ q) = ⊤,sledi da je τ(p) = ⊥, sto znaci da je vτ (¬p) = ⊤.

Razmotrimo sta bi znacilo da je neka formula A logicka posledica praznogskupa hipoteza: po definiciji, za svaku valuaciju τ , ako je svaka formulaF ∈ ∅ tacna u valuaciji τ , mora i formula A da bude tacna u toj valuaciji.No, trivijalno, implikacija ”ako je F ∈ ∅ onda vτ (F ) = ⊤” je tacna, jer jepretpostvaka ”F ∈ ∅” uvek lazna. Dakle, imamo da je ∅ |= A akko za sveτ ,vτ (A) = ⊤, tj. akko je formula A tautologija.

Oznake

• Umesto ”∅ |= A” pisemo samo ”|= A”, dakle, ”|= A” znaci da je Atautologija.

• Umesto ”{A1, . . . , An} |= B” pisemo samo ”A1, . . . , An |= B”. Slicno,viticaste zagrade mozemo izostaviti i ako imamo beskonacan skuphipoteza.

U sledecoj teoremi smo naveli tri vazne osobine ”semanticke rampe” |=,tzv. pravila o prebacivanju preko rampe.

Teorema 1.17 Neka su A,B,A1, . . . , An neke iskazne formule. Tada vazi:

1. A |= B akko |= A⇒ B,

2. A1, . . . , An |= B akko |= (A1 ∧ · · · ∧An)⇒ B,

3. A1, . . . , An |= B akko A1, . . . , An−1 |= An ⇒ B.

Dokaz. Po definiciji logicke posledice.�.

Sledeca jednostavna teorema govori o jednoj sustinski vaznoj osobinilogicke posledice:

Teorema 1.18 Neka Σ neki skup formula, B neka formula. Tada Σ |= Bakko skup formula Σ ∪ {¬B} ima model.


1.9 Semanticki tabloi

Metod semantickih tabloa prvi je opisao Evert Beth, 1955. godine, a daljega razvio Raymond Smullyan, 1971. godine. U principu, taj metod je samozgodno zapisano ”zdravorazumsko” sistematicno traganje za valuacijom kojazadovoljava neku formulu (ili, ekvivalentno, traganje za modelom u kome taformula vazi). Ako je recimo formula oblika B∧C, onda da bi ona bila tacnau nekoj valuaciji, moraju i formula B i formula C da budu tacne. U slucajuda je formula oblika B ∨ C, imamo dve mogucnosti: mozda je formula Btacna, a mozda je C tacna. Takode, ako zelimo da ispitamo kada je nekaformula netacna, u zavisnosti od glavnog iskaznog veznika, imamo razlicitemogucnosti: recimo formula oblika B ⇒ C je netacna samo u slucaju da jeB tacna a C netacna, i tako dalje.

Metod semantickih tabloa se najcesce koristi za ispitivanje da li je dataformula A tautologija i to na sledeci nacin: pretpostavimo da postoji valu-acija u kojoj je A netacna, pa silazeci sve dublje u potformule formule A,zapisujemo kakve sve mogucnosti imamo. Ponekad cemo imati situaciju daiz date pretpostavke zakljucimo nesto o nuznoj istinitosnoj vrednosti obe(glavne) potformule, a ponekad cemo imati grananje na dve mogucnosti.Ako iscrpimo sve mogucnosti, i nismo dosli do kontradikcije, onda mozemorekonstruisati valuaciju za koju ce polazna formula biti netacna, ili cemokonstatovati da sve mogucnosti vode do kontradikcije, pa takva valuacija nepostoji (dakle, polazna formula A je tautologija). Razlika izmedu ”zdravo-razumskog” rezonovanja i metoda semantickih tabloa je u zapisivanju: kodsemantickih tabloa ceo proces zapisujemo u obliku stabla, i na kraju rezul-tat citamo tako sto pogledamo kako su se grane ”zavrsile” - da li su ostaleotvorene (onda trazena valuacija postoji) ili su se sve grane ”zatvorile” (pasmo svuda dosli do kontradikcije, i trazena valuacija ne postoji).

U ovoj prici smatracemo da su iskazne formule konstruisane nad skupomiskaznih veznika ¬,∧,∨,⇒. Umesto da pisemo ”vτ (A) = ⊤” pisacemo jed-nostavno⊤A (ili⊤(A)), a umesto ”vτ (A) = ⊥” pisemo⊥A (ili⊥(A)). Izraze⊤A i ⊥A zovemo oznacene formule. Za oznacenu formulu ⊤A kazemo daje zadovoljiva ako postoji valuacija τ takva da je vτ (A) = ⊤. Analogno,oznacena formula ⊥A je zadovoljiva ako postoji valuacija τ takva da jevτ (A) = ⊥. Skup oznacenih formula S je zadovoljiv ako postoji valuacijakoja zadovoljava sve oznacene formule iz skupa S.

Na oznacene formule cemo primenjivati razna pravila: na neke formulemozemo primeniti pravila tipa α, a na druge formule pravila tipa β:

1.9. Semanticki tabloi 27

• Pravila tipa (α)

⊤(¬A)⊥A

⊥(¬A)⊤A

⊤(A ∧B)

⊤A⊤B

⊥(A ∨B)

⊥A⊥B

⊥(A⇒ B)

⊤A⊥B

• Pravila tipa (β)

⊥(A ∧B)

⊥A|⊥B⊤(A ∨B)

⊤A|⊤B⊤(A⇒ B)

⊥A|⊤B

Prema tome, pravila tipa α imaju oblik

α

α1ili

α

α1

α2

dok sva pravila tipa β imaju oblik

β

β1|β2.

Za oznacenu formulu kazemo da je tipa α ako je na nju moguce primenitineko pravilo tipa α (i analogno za tip β). Radi lakseg pracenja, formule tipaα obelezavamo sa α (i analogno za formule tipa β).

Semanticki tablo za neku oznacenu formulu F je uredeno stablo (tj. sta-blo u kome je skup sledbenika svakog cvora ureden) tako da je svakom cvorupridruzena neka oznacena formula, i konstruise se iterativno na sledeci nacin:

• Korenu stabla je pridruzena oznacena formula F .

• Ukoliko neka grana od korena do lista sadrzi oznacenu formulu tipa α(odnosno β) na koju jos nije primenjeno odgovarajuce pravilo (kazemoda ta oznacena formula nije iskoriscena), onda primenimo odgovarajucepravilo:

◦ primena pravila tipa αα1

na oznacenu formulu α u datoj graniznaci da se listu te grane doda jedan cvor oznacen sa α1,

◦ primena pravila tipaα

α1

α2


na formulu α u datoj grani znaci dodavanje listu te grane sukce-sivno (tj. jedan ispod drugog) dva nova cvora koji su oznaceniredom sa α1 i α2,

◦ primena pravila tipa ββ1|β2

na formulu β u nekoj grani znaci doda-vanje listu te grane dva sledbenika, kojima pridruzujemo redomoznacene formule β1 i β2,

• Grana koja sadrzi formule oblika ⊤B i ⊥B je zatvorena, u suprotnomje otvorena

• Proces konstrukcije semantickog tabloa se zaustavlja ako u njegovimotvorenim granama nema vise neiskoriscenih formula. Tada kazemoda je tablo kompletiran.

• Kompletiran tablo je zatvoren ako su sve grane zatvorene. U suprot-nom, ako postoji bar jedna otvorena grana, tablo je otvoren.

Primer 1.10 ...trazi se dobar program kompatibilan sa LaTexom, u komeje zgodno crtati stabla...

Iz same konstrukcije tabloa vidimo da za isto oznacenu formulu mozemokonstruisati vise razlicitih tabloa, u zavisnosti od toga kojim redosledomprimenjujemo pravila α i β na neiskoriscene formule. Strategija moze bitirecimo da pravila nikad ne primenjujemo na oznacenu formulu ukoliko nisuvec iskoriscene sve formule koje su u istoj grani iznad nje (tzv. sistematicnakonstrukcija). Druga strategija je da uvek primenjujemo α-pravila, na sveneiskoriscene formule, a tek posle β-pravila (tzv. prednost α formulama).

Primer 1.11 (sistematicna konstrukcija) Sistematicno konstruisan tablooznacene formule ⊥((p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))) izgleda ovako:....

Primer 1.12 (prednost α-formulama) Konstruisimo sada semanticki tabloza oznacenu formulu ⊥((p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))) davajuciprednost α-formulama: ...

Lako je uvideti da se svaki semanticki tablo kompletira posle konacnomnogo koraka: svaka oznacena formula koja je u korenu stabla ima konacnomnogo simbola, svaka primena α- ili β-pravila smanjuje broj simbola oznacene

1.9. Semanticki tabloi 29

formule u novim cvorovima makar za 1, pa prema tome, posle konacnomnogo koraka stizemo do tabloa u kome vise nema neiskoriscenih oznacenihformula.

Prema tome, konstrukcija semantickog tabloa za svaku oznacenu formuluse zaustavlja. Dokazimo sada sledecu teoremu:

Teorema 1.19 (Saglasnost metoda semantickih tabloa) Ako je kom-pletiran tablo za oznacenu formulu ⊥F zatvoren, onda je formula F tau-tologija.

Dokaz. Treba dokazati da oznacena formula (koja je u korenu semantickogtabloa) ⊥F nije zadovoljiva. Za granu semantickog tabloa (koja polazi odkorena) kazemo da je zadovoljiva ako postoji valuacija koja zadovoljava sveoznacene formule na toj grani. Lako je uvideti da primena proizvoljnogα- ili β-pravila na oznacenu formulu koja se nalazi u nekoj zadovoljivojgrani semantickog taboa ”cuva zadovoljivost” (u slucaju β-pravila makarjedan dodati cvor je zadovoljiv). S druge strane, ni jedna zatvorena granasemantickog tabloa (tj. grana koja sadrzi neke oznacene formule oblika ⊤Bi ⊥B) nije zadovoljiva. Prema tome, ako je tablo zatvoren (znaci sve granesu zatvorene), nijedna grana tabloa nije zadovoljiva, pa nije zadovoljiva nipocetna oznacena formula ⊥F . Dakle, formula F je tautologija.

Ostaje da se dokaze kompletnost metoda semantickih tabloa: Ako je for-mula F tautologija, onda je svaki kompletiran tablo za oznacenu formulu⊥F zatvoren.

Definicija 1.16 Za skup oznacenih formula H kazemo da je Hintikin akozadovoljava sledece uslove:

• Ne postoji iskazna promenljiva tako da je ⊤p i ⊥p istovremeno u skupuH

• Skup H je zatvoren u odnosu na primenu svih α-pravila tj. za svakoα-pravilo α

α1, ako α ∈ H onda i α1 ∈ H, i za svako α-pravilo

α

α1

α2

ako α ∈ H, onda α1, α2 ∈ H


• Skup H je zatvoren u odnosu na primenu svih β-pravila, tj. za svakoβ-pravilo β

β1|β2, ako β ∈ H onda β1 ∈ H ili β2 ∈ H.

Jasno, ako je tablo kompletiran, onda je skup oznacenih formula kojepripadaju svakoj otvorenoj grani tog tabloa Hintikin.

Lema 1.1 Svaki Hintikin skup oznacenih formula je zadovoljiv.

Dokaz. Neka je H dati Hintikin skup oznacenih formula. Trazenu valuacijuτ u kojoj ce biti tacna svaka formula iz H definisemo na sledeci nacin: akoje p neko iskazno slovo, onda

τ(p) = ⊤ akko ⊤p ∈ H.

Tada se lako, indukcijom po slozenosti oznacenih formula, dokazuje da val-uacija τ zadovoljava sve oznazene formule iz skupa H.

Teorema 1.20 (Kompletnost metoda semantickih tabloa) Ako je for-mula F tautologija, onda je svaki kompletiran tablo za oznacenu formulu ⊥Fzatvoren.

Dokaz. Dokazacemo kontrapoziciju: ako postoji neki kompletiran tablo za⊥F koji je otvoren, onda formula F nije tautologija. Kako je tablo otvoren,to znaci da ima bar jednu otvorenu granu, tj. granu koja ne sadrzi parsuprotnih oznacenih formula ⊤B i ⊥B. Kako je skup oznacenih formula kojepripadaju toj grani Hintikin, onda na osnovu prethodne leme zakljucujemoda je taj skup zadovoljiv. Prema tome, zadovoljiva je i oznacena formula⊥F , pa formula F nije tautologija.

1.10 Deduktivni sistemi

Postoji nekoliko razlicitih prilaza pojmu deduktivnih sistema, no sustina jeuvek da su to sistemi u kojima se pojmu dokaza odnosno teoreme stize prekopreciznih, sintaktici definisanih pravila izvodenja. Ponekad krecemo od ma-log broja polaznih istina (tj. aksioma), i imamo puno pravila, u nekimdrugim sistemima imamo puno aksioma i samo malo pravila izvodenja.Ponekad dokaz ide ka teoremi, a opet u drugim deduktivnim sitemima dokazkrece od teoreme tj. od onog sto zelimo da dokazemo. Mi cemo se na

1.10. Deduktivni sistemi 31

ovom mestu opredeliti za Hilbertovski pristup - imacemo vise aksioma isamo jedno pravilo izvodenja. Pre nego sto izlozimo deduktivni sistem zaiskaznun logiku, odgovarajuce pojmove cemo definisati u opstem slucaju.

Definicija 1.17 Deduktivni sistem (ili formalna teorija) je uredenacetvorka D = ⟨X,Form,Ax,R⟩, gde je

• X neprazan skup simbola, tzv. azbuka,

• Form je neprazan skup nekih reci nad X, tzv. skup formula,

• Ax je neprazan podskup skupa Form, tzv. aksiome,

• R je neprazan skup tzv. pravila izvodenja, oblika ρ = A1,A2,...,An

B , gdesu A1, A2, . . . , An, B neke formule. U tom slucaju kazemo da formulaB sledi iz A1, A2, . . . , An na osnovu pravila ρ.

Za D kazemo da je aksiomatska formalna teorija (ili aksiomatski (de-duktivni)sistem) ako postoji algoritam za odlucivanje koja formula jeste,a koja nije aksioma.

Primer 1.13 Neka je X = {♣,♠}, skup formula Form neka bude skupsvih nepraznih reci nad X, Ax = {♣♣,♠♠♠}, i R = {α, β}, gde je

α :♣w♣♣♣w

β =♠w♠♠♠w

,

gde je w ∈ Form. Tada je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ jedan deduktivni sistem.

Definicija 1.18 Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ neki deduktivni sistem.Dokaz (u D) je konacan niz formula A1, A2, . . . , An takav da je u tomnizu svaka formula aksioma ili sledi iz ranijih formula u nizu na osnovunekog pravila izvodenja iz R. U tom slucaju kazemo da je A1, A2, . . . , An

dokazni niz za An (ili samo dokaz za An). Formula B je teorema u Dako postoji dokaz za B. U tom slucaju pisemo ⊢DB ili samo ⊢ B. Sa Th(D)obelezavamo skup svih teorema deduktivnog sistema D.

Primer 1.14 Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ deduktivni sistem iz Primera1.13. Tada je recimo

♣♣,♣♣♣♣,♠♠♠,♣♣♣♣♣♣,♠♠♠♠♠


jedan dokazni niz. Svaka formula u tom dokaznu nizu je teorema tog deduk-tivnog sistema. Nije tesko videti da se skup svih teorema sistema D sastojiod reci koje imaju paran broj ♣ simbola (bar dva), ili neparan broj ♠ simbola,(ali bar 3).

Definicija 1.19 Za deduktivni sistem D kazemo da je odluciv ako postojialgoritam za odlucivanje koja formula jeste, a koja nije teorema te teorije.

Definicija 1.20 Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ neki deduktivni sistem,Σ ⊆ Form, B ∈ Form. Kazemo da je B sintakticka posledica od Σ(ili da Σ dokazuje B) ako postoji konacan niz formula A1, A2, . . . , An ukome je An = B, tako da je svaka formula u tom nizu aksioma, ili iz Σili sledi iz ranijih formula u tom nizu po nekom pravilu izvodenja iz R. Utom slucaju kazemo da je taj niz dokazni niz za B iz Σ i pisemo Σ⊢DBili samo Σ ⊢ B. Formule iz skupa Σ zovemo hipoteze, a za B kazemo daje zakljucak. Sa Cons(Σ) obelezavamo skup svih sintaktickih posledica odΣ. Za skup formula Σ kazemo da je deduktivno zatvoren skup ako jeCons(Σ) = Σ.

Primer 1.15 Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ deduktivni sistem iz Primera1.13, Σ = {♣♠}. Tada je Cons(Σ) unija skupa svih teorema Th(D) i skupasvih reci oblika ♣♣ · · ·♣♠ gde je broj simbola ♣ neparan.

Po dogovoru, umesto {A1, A2, . . . , An} ⊢ B pisemo A1, A2, . . . , An ⊢ B,a slicno ako imamo beskonacan skup hipoteza.

Teorema 1.21 Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩ neki deduktivni sistem. Tadaza sve Σ,Σ1,Σ2 ⊆ Form vazi:

1. Σ ⊆ Cons(Σ);

2. Ako je Σ1 ⊆ Σ2 onda Cons(Σ1) ⊆ Cons(Σ2);

3. Cons(Cons(Σ)) = Cons(Σ).

Dokaz. Lako, po definiciji sintakticke posledice.�

1.11. Iskazni racun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 33

Teorema 1.22 (Teorema kompaktnosti) Neka je D = ⟨X,Form,Ax,R⟩neki deduktivni sistem. Tada za sve Σ ⊆ Form i sve A ∈ Form vazi:

Σ ⊢ A akko postoji konacan Σ0 ⊆ Σ tako da je Σ0 ⊢ A.

Dokaz. Naravno, smer (←) je trivijalan. Obratno, neka je Σ ⊢ A. Tadapostoji konacan niz formula A1, A2, . . . , An tako da je to dokazni niz za A izΣ. Tada je {A1, A2, . . . , An} ∩ Σ trazeni konacan skup formula koji takodedokazuje A.�

1.11 Iskazni racun - deduktivni sistem za iskaznulogiku

Definicija 1.21 Iskazni racun je deduktivni sistem H = ⟨X,Form,Ax,R⟩,gde je

• X = S ∪ {⇒,¬, (, )}, gde S = {p1, p2, . . . , pn, . . . },

• Form je skup iskaznih formula definisan nad skupom iskaznih veznika{⇒,¬},

• Ax = Ax1∪Ax2∪Ax3, gde su Ax1, Ax2, Ax3 skupovi formula definisanipomocu tzv. sema aksioma (dakle, A,B,C ∈ Form):Ax1 : A⇒ (B ⇒ A)Ax2 : (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Ax3 : (¬A⇒ ¬B)⇒ (B ⇒ A)

• R = {MP}, (tzv. modus ponens),

MP :A,A⇒ B

B.

Naravno, pojmovi dokaznog niza, teoreme, sintakticke posledice su samospecijalni slucajevi odgovarajucih pojmova definisanih u slucaju bilo kogdeduktivnog sistema. U daljem cemo dokazati nekoliko najvaznijih osobinaiskaznog racuna H.

Lema 1.2 U iskaznom racunu H za sve formule A ∈ Form vazi

⊢ A⇒ A.


Dokaz. Korake dokaznog niza cemo pisati vertikalno, zajedno sa rednimbrojem koraka i sa obrazlozenjem zasto je to ”legalan” korak u dokazu:1. A⇒ ((A⇒ A)⇒ A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ax12. ( A⇒ ((A⇒ A)⇒ A))⇒ ((A⇒ (A⇒ A))⇒ (A⇒ A)) Ax23. (A⇒ (A⇒ A))⇒ (A⇒ A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 1.2.4. A⇒ (A⇒ A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ax15. A⇒ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 3.4.

�U daljem cemo iskljucivo raditi u deduktivnom sistemu H, pa to necemo

posebno navoditi. Sledeca teorema ce nam omoguciti da formule ”prebacu-jemo preko” sintakticke rampe ⊢:

Teorema 1.23 (Teorema dedukcije) Neka je Σ ⊆ Form, A,B ∈ Form.Tada

Σ ∪ {A} ⊢ B akko Σ ⊢ A⇒ B.

Dokaz.

• Smer (←): Neka je Σ ⊢ A ⇒ B. Tada postoji dokazni niz za A ⇒ Biz Σ:

A1, A2 . . . , An = A⇒ B.

Tada je sledeci niz formula dokaz za formulu B iz skupa Σ ∪ {A}:

A1, A2 . . . , An−1, A⇒ B,A,B.

• Smer (→): Neka je sada Σ ⊆ Form, A,B ∈ Form, i neka je odgo-varajuci dokazni niz:

A1, A2, . . . , An = B.

Indukcijom po n dokazimo da je Σ ⊢ A⇒ B.

1. n = 1: Dokazni niz za B iz Σ ∪ {A} ima samo jednu formulu, B,pa imamo tri mogucnosti:a) B je aksioma. Tada je dokazni niz za A ⇒ B iz Σ sledeci:B,B ⇒ (A⇒ B), A⇒ B.b) B ∈ Σ. Tada je dokazni niz isti kao u prethodnom slucaju(samo sa drugim obrazlozenjem).c) B = A. Tada je formula A⇒ B ustvari A ⇒ A, a ta formulaje teorema, pa sledi iz svakog skupa hipoteza.


2. Prepostavimo da tvrdenje vazi za sve formule ciji je dokaz duzinemanje od n. Neka je sada A1, A2, . . . , An = B dokazni niz formuleB iz skupa Σ ∪ {A}. Tada za B imamo vise mogucnosti:a) B je aksioma.b) B ∈ Σ.c) B = A.Ova prva tri slucaja su ista kao u bazi indukcije.d) B sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu pravila MP, recimoiz formula Ai i Ai ⇒ B. Kako su formule Ai i Ai ⇒ B ranijeu nizu, imaju dokaze krace od n, pa za njih vazi indukcijskahipoteza. To znaci da imamo

Σ ⊢ A⇒ Ai,

Σ ⊢ A⇒ (Ai ⇒ B).

Neka je B1, B2, . . . , Bm dokazni niz za formulu A ⇒ Ai (dakle,Bm = (A ⇒ Ai)), a C1, C2, . . . , Ck dokazni niz za formulu A ⇒(Ai ⇒ B) (dakle, Ck = (A⇒ (Ai ⇒ B))). Tada trazeni dokazniniz za formulu A ⇒ B nastaje nadovezivanjem sledecih nizovaformula:B1, B2, . . . , Bm−1, A⇒ Ai,C1, C2, . . . , Ck−1, A⇒ (Ai ⇒ B),(A⇒ (Ai ⇒ B))⇒ ((A⇒ Ai)⇒ (A⇒ B)),(A⇒ Ai)⇒ (A⇒ B), A⇒ B.Dakle, Σ ⊢ A⇒ B.

�U lemama koje slede, A,B,C su proizvoljne formule.

Lema 1.3 A⇒ B,B ⇒ C ⊢ A⇒ C

Dokaz. Zbog Teoreme dedukcije, dovoljno je dokazati A⇒ B,B ⇒ C,A ⊢C. Dokazni niz je:1. A⇒ B hipoteza2. B ⇒ C hipoteza3. A . . . . . hipoteza4. B . . . . . MP 1.3.5. C . . . . . MP 2.4.

�


Zbog prethodne leme, u nas formalni sistem H mozemo dodati izvedenopravilo tranzitivnosti TRANZ, a da tako obogacen deduktivni sistem imaisti skup teorema:

TRANZ :A⇒ B,B ⇒ C

A⇒ C.

Lema 1.4 ¬A,A ⊢ B.

Dokaz.1. ¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza2. ¬A⇒ (¬B ⇒ ¬A) . . . . . Ax13. ¬B ⇒ ¬A . . . . . . . . . . . . . . MP 1.2.4. (¬B ⇒ ¬A)⇒ (A⇒ B) Ax35. A⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 3.4.6. A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza7. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 5.6.

�Odgovarajuce izvedeno pravilo jeste:

KONTR :¬A,AB

.

Ponekad cemo koristiti onu verziju Leme 2, u kojoj smo obe hipoteze ”preba-cili preko rampe”: ⊢ ¬A⇒ (A⇒ B). Ovu (kao i bilo koju ranije dokazanu)teoremu mozemo ”ubaciti” kao ”legalan” korak u proizvoljni dokazni niz.U obrazlozenju pisemo oznaku odgovarajuceg izvedenog pravila, u ovomslucaju ”KONTR”.

Lema 1.5 a) ¬¬A ⊢ A,

b) A ⊢ ¬¬A,

c) A⇒ B ⊢ ¬B ⇒ ¬A.

Dokaz. a) ¬¬A ⊢ A1. ¬¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza2. ¬¬A⇒ (¬A⇒ ¬¬¬A) . . . . . . . KONTR3. ¬A⇒ ¬¬¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 1.2.4. (¬A⇒ ¬¬¬A)⇒ (¬¬A⇒ A) Ax15. ¬¬A⇒ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 3.4.6. A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 1.5.


b)⊢ A⇒ ¬¬A1. (¬¬¬A⇒ ¬A)⇒ (A⇒ ¬¬A) Ax32. ¬¬¬A⇒ ¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema 4.a)3. A⇒ ¬¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 1.2.

c) A⇒ B ⊢ ¬B ⇒ ¬A1. A⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza2. B ⇒ ¬¬B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema 4.b)3. A⇒ ¬¬B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRANZ na 1.2.4. ¬¬A⇒ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema 4.a)5. ¬¬A⇒ ¬¬B . . . . . . . . . . . . . . . . . TRANZ na 4.3.6. (¬¬A⇒ ¬¬B)⇒ (¬B ⇒ ¬A) Ax37. ¬B ⇒ ¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 5.6.

�Sada mozemo navesti odgovarajuca izvedena pravila:

DN1 :¬¬AA

, DN2 :A

¬¬A, KP :

A⇒ B

¬B ⇒ ¬A.

Lema 1.6 A⇒ B,¬A⇒ B ⊢ B

Dokaz.1. A⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza2. ¬A⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza3. ¬B ⇒ ¬¬A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KP na 2.4. ¬¬A⇒ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DN15. ¬B ⇒ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRANZ 3.4.6. ¬B ⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRANZ 5.1.7. ¬B ⇒ (B ⇒ ¬(B ⇒ B)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KONTR8. (¬B ⇒ (B ⇒ ¬(B ⇒ B)))⇒ ((¬B ⇒ B)⇒ (¬B ⇒ ¬(B ⇒ B))) Ax29. (¬B ⇒ B)⇒ (¬B ⇒ ¬(B ⇒ B)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 7.8.10. ¬B ⇒ ¬(B ⇒ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 6.9.11. (¬B ⇒ ¬(B ⇒ B))⇒ ((B ⇒ B)⇒ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ax312. (B ⇒ B)⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 10.11.13. B ⇒ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema 1.14. B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MP 12.13.

�Izvedeno pravilo (”suprotne pretpostavke”) koje sledi iz ove leme je:

SP :A⇒ B,¬A⇒ B

B.

Sledeca lema daje sva cetiri pravila za ”sintezu implikacije”.


Lema 1.7 a) A,B ⊢ A⇒ B,b) A,¬B ⊢ ¬(A⇒ B),c) ¬A,B ⊢ A⇒ B,d) ¬A,¬B ⊢ A⇒ B.

Dokaz.a) A,B ⊢ A⇒ B1. B . . . . . . . . . . . . hipoteza2. B ⇒ (A⇒ B) Ax13. A⇒ B . . . . . . . MP 1.2.

b) A,¬B ⊢ ¬(A⇒ B)Prvo dokazimo jednu teoremu, koju cemo iskoristiti u prvom koraku dokazaovog tvrdenja. Kako je A,A ⇒ B ⊢ B, ako primenimo Teoremu dedukcijedva puta, dobijamo da je

⊢ A⇒ ((A⇒ B)⇒ B).

Sada dokaz tvrdenja izgleda ovako:1. A⇒ ((A⇒ B)⇒ B) dokazano2. A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza3. ¬B . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza4. (A⇒ B)⇒ B . . . . . . . MP 1.2.5. ¬B ⇒ ¬(A⇒ B) . . . KP na 4.6. ¬(A⇒ B) . . . . . . . . . . MP 3.5.

c) Slicno kao pod a).d) U tri koraka, koristeci pravilo KONTR.�

Odgovarajuca izvedena pravila (”sinteza implikacije”) mozemo oznacitiredom sa SI1, SI2, SI3, SI4. Na primer, pravilo koje cemo puno puta koristiti(pogotovo u zadacima):

SI2 :A,¬B¬(A⇒ B)

.

Lema 1.8 a) ¬(A⇒ B) ⊢ Ab) ¬(A⇒ B) ⊢ ¬B

Dokaz.a) Dokazacemo da je ⊢ ¬(A⇒ B)⇒ A.


1. ¬A⇒ (A⇒ B) . . . KONTR2. ¬(A⇒ B)⇒ ¬¬A KP na 1.3. ¬¬A⇒ A . . . . . . . . DN14. ¬(A⇒ B)⇒ A . . . TRANZ na 2.3.

b) Dokazacemo ⊢ ¬(A⇒ B)⇒ ¬B1. B ⇒ (A⇒ B) . . . Ax12. ¬(A⇒ B)⇒ ¬B KP na 1.

�Na osnovu ove leme dobijamo izvedena pravila:

NI1 :¬(A⇒ B)

A, NI2 :

¬(A⇒ B)

¬B.

Na kraju ove sekcije uvedimo i ostale uobicajene logicke veznike u nas de-duktivni sistem I. U stvari, formalno gledano, necemo prosirivati azbuku,nego cemo veznike ∧, ∨ i ⇔ uvesti kao ”zamene za” neke formule:

• oznaka A ∧B je zamena za formulu ¬(A⇒ ¬B),

• oznaka A ∨B je zamena za formulu ¬A⇒ B,

• oznaka A⇔ B je oznaka za formulu (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A).

Sada lako dokazujemo sledece osobine konjunkcije:

Posledica 1.1 a) A ∧B ⊢ Ab) A ∧B ⊢ Bc) A,B ⊢ A ∧B

Dokaz.a) Sledi direktno po pravilu NI1.b) Sledi po pravilima NI2 i DN1.c) Sledi po pravilima DN2 i SI2.�

Odgovarajuca izvedena pravila su:

K1 :A ∧BA

, , K2 :A ∧BB

, SK :A,B

A ∧B.

Na kraju, evo pregleda najvaznijih izvedenih pravila iskaznog racuna H:

Pravila izvodenja Iskaznog racuna


• Modus Ponens

MP :A,A⇒ B

B

• Tranzitivnost implikacije

TRANZ :A⇒ B,B ⇒ C

A⇒ C

• Kontradiktorne hipoteze

KONTR :¬A,AB

• Dvojna negacija

DN1 :¬¬AA

, DN2 :A

¬¬A

• Kontrapozicija

KP1 :¬B ⇒ ¬AA⇒ B

, KP2 :A⇒ B

¬B ⇒ ¬A

• Suprotne pretpostavke

SP :A⇒ B,¬A⇒ B

B

• Sinteza implikacije

SI2 :A,¬B¬(A⇒ B)

• Negacija implikacije

NI1 :¬(A⇒ B)

A, NI2 :

¬(A⇒ B)

¬B

• Rastavljanje konjunkcije

K1 :A ∧BA

, , K2 :A ∧BB

• Sinteza konjunkcije

SK :A,B

A ∧B

1.12. Mala teorema kompletnosti i odlucivost iskaznog racuna 41

1.12 Mala teorema kompletnosti i odlucivost iskaznogracuna

Cilj sledece dve sekcije je da dokazemo teoremu kompletnosti za iskazni racunH, koja tvrdi da za sve skupove formula Σ i sve formule A vazi:

Σ |= A akko Σ ⊢ A.

Prvo cemo dokazati specijalni slucaj ove teoreme, kada je skup hipotezaprazan (tzv. Mala teorema kompletnosti): Formula A je teorema iskaznogracuna H akko je A tautologija. Za dokaz Male teoreme kompletnostipotrebna nam je samo jos jedna lema. Kao i ranije, ako je F neka for-mula, a ∈ {⊤,⊥}, onda oznaka F a znaci F , ako je a = ⊤, odnosno ¬F akoje a = ⊥.

Lema 1.9 Neka je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula i neka su a1, a2, . . . , an ∈{⊤,⊥}. Ako je a = A(a1, a2, . . . , an), tada vazi

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ Aa.

Dokaz. Indukcijom po slozenosti formule A.

1. Neka je A = pi, gde je 1 ≤ i ≤ n. Tada je jasno

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ piai .

2. Pretpostavimo da tvrdenje vazi za formule B i C i dokazimo da tadavazi i za formule ¬B i B ⇒ C.

• Slucaj ¬B. Neka je b = B(a1, a2, . . . , an). Po indukcijskoj pret-postavci imamo

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ Bb.

Ako je a = ¬B(a1, a2, . . . , an), onda znamo da je a = ¬b. Uslucaju da je b = ⊤, po indukcijskoj hipotezi imamo

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ B,

odnosnop1

a1 , p2a2 , . . . , pn

an ⊢ ¬¬B,


a to jep1

a1 , p2a2 , . . . , pn

an ⊢ (¬B)⊥,

sto i jeste ono sto treba dokazati, jer je a = ⊥. Slicno, ako jeb = ⊥, onda po indukcijskoj hipotezi imamo

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ ¬B,

a to je bas tvrdenje koje treba dokazati, jer je u tom slucajua = ⊤.

• SlucajB ⇒ C. Neka jeB = B(p1, p2, . . . , bn) i C = C(p1, p2, . . . , pn),i neka je b = B(a1, a2, . . . , an), c = C(a1, a2, . . . , an). Tada po in-dukcijskoj hipotezi imamo da je

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ Bb,

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ Cc.

Ako je a vrednost formule B ⇒ C u istoj valuaciji (tj. u valuacijiτ u kojoj je τ(pi) = ai, za sve i ∈ {1, 2, . . . , n}), onda je naravnoa = (b ⇒ c). U zavisnosti od konkretnih vrednosti b i c, imamocetiri slucaja:

(a) b = ⊤, c = ⊤,(b) b = ⊤, c = ⊥,(c) b = ⊥, c = ⊤,(d) b = ⊥, c = ⊥.No, zbog Leme 1.7, u sva cetiri slucaja imamo da vazi

Bb, Cc ⊢ (B ⇒ C)a,

pa prema tome

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ (B ⇒ C)a.

Teorema 1.24 (Mala teorema kompletnosti) Za svaku iskaznu formuluA

|= A akko ⊢ A.

Dokaz.

• Smer (←). Neka je ⊢ A i neka je A1, A2, . . . , An dokazni niz za formuluA. Dokazimo da je A tautologija, indukcijom po duzini dokaza n.

1.12. Mala teorema kompletnosti i odlucivost iskaznog racuna 43

1. Neka je n = 1. Tada se dokazni niz sastoji od jedne jedine for-mule, A, sto znaci da je A neka aksioma. No, sve aksiome sutautologije, pa je |= A.

2. Pretpostavimo da tvrdenje vazi za sve formule ciji je dokazni nizkraci od n. Neka je sada ⊢ A i neka je odgovarajuci dokazni nizA1, A2, . . . , An. Poslednja formula u tom nizu je formula A, iprema definiciji dokaznog niza, imamo dve mogucnosti: A je ak-sioma ili A sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu pravila ModusPonens. U prvom slucaju A je tautologija. Neka je formula Adobijena pomocu pravila MP od formula Ai odnosno Ai ⇒ A.Kako su te dve formule ranije u dokaznom nizu, imaju dokazecija je duzina manja od n, pa za njih vazi indukcijska hipoteza.Prema tome,

|= Ai i |= Ai ⇒ A.

No, tada je i formula A tautologija, sto smo i trebali dokazati.

• Smer (→). Neka je formula A = A(p1, p2, . . . , pn) tautologija. Zbogprethodne leme, za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazi:

p1a1 , p2

a2 , . . . , pnan ⊢ A,

jer je a = A(a1, a2, . . . , an) uvek ⊤. Posmatrajmo sada slucajeve kadaje an = ⊤ i kada je an = ⊥:

p1a1 , p2

a2 , . . . , pn ⊢ A,

p1a1 , p2

a2 , . . . ,¬pn ⊢ A.

Primenimo sada Teoremu dedukcije na oba slucaja, dobijamo

p1a1 , p2

a2 , . . . , pn−1an−1 ⊢ pn ⇒ A,

p1a1 , p2

a2 , . . . , pn−1an−1 ⊢ ¬pn ⇒ A.

Pravilo SP nam daje pn ⇒ A,¬pn ⇒ A ⊢ A. Prema tome,

p1a1 , p2

a2 , . . . , pn−1an−1 ⊢ A.

Ponovimo ovaj postupak jos n − 1 puta. U poslednjem koraku cemoimati

p1 ⊢ A i ¬p1 ⊢ A,

i kada poslednji put primenimo Teoremu dedukcije i pravilo SP, dobi-jamo konacno ⊢ A.


�Posledica Male teoreme kompletnosti je odlucivost iskaznog racuna:

Teorema 1.25 (Odlucivost iskaznog racuna) Iskazni racun H je odlucivtj. postoji algoritam koji za svaku iskaznu formulu A odlucuje o tome da lije A teorema iskaznog racuna.

Dokaz. Zbog Male teoreme komletnosti, da bi formula A bila teoremapotrebno je i dovoljno da je A tautologija, sto mozemo proveriti, na primer,konstrukcijom istinitosne tablice za A.�

Kao sto smo ranije napomenuli, ako iskazna formula A ima n iskaznihslova, njena istinitosna tablica ima 2n vrsta, sto znaci da je metod istini-tosnih tablica za proveravanje da li je data formula teorema eksponencijalneslozenosti. Do sada nije naden algoritam za odlucivanje da li je data iskaznaformula tautologija (dakle, teorema iskaznog racuna) koji bi bio polinomneslozenosti.

1.13 Teorema kompletnosti i kompaktnost

Prelazimo sada na dokazivanje (velike) teoreme kompletnosti za iskazniracun H. Kao i obicno, jedan smer teoreme se lakse dokazuje - to je tzv.pouzdanost (engl. soundness) deduktivnog sistema.

Teorema 1.26 (Pouzdanost iskaznog racuna H) Za sve skupove for-mula Σ i sve formule A vazi:

ako Σ ⊢ A onda Σ |= A.

Dokaz. Neka je A1, A2, . . . , An dokazni niz za formulu A iz hipoteza Σ.Indukcijom po n dokazimo da je tada A semanticka posledica skupa hipotezaΣ.

1. Neka je n = 1. Tada postoje dve mogucnosti: A je aksioma ili jeA ∈ Σ. U oba slucaja Σ |= A.

2. Pretpostavimo da tvrdenje vazi za sve formule ciji je dokazni niz kraciod n. Neka je sada A1, A2, . . . , An dokazni niz za formulu A iz hipoteza

1.13. Teorema kompletnosti i kompaktnost 45

Σ. Tada je An = A i za formulu A imamo tri mogucnosti: A jeaksioma, A ∈ Σ ili A sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu pravilaMP. U prva dva slucaja odmah imamo da je Σ |= A. Neka formulaA sledi po pravilu MP iz formula Ai i Ai ⇒ A. Tada za formule Ai iAi ⇒ A vazi indukcijska hipoteza pa je Σ |= Ai i Σ |= Ai ⇒ A. No,tada je i Σ |= A.

�Da bi dokazali obrat, tj. da iz Σ |= A sledi Σ ⊢ A potreban nam je

pojam (maksimalno) konzistentnog skupa formula.

Definicija 1.22 Za skup formula Σ kazemo da je konzistentan (ili ne-protivrecan) ako ne postoji formula A tako da je

Σ ⊢ A i Σ ⊢ ¬A.

U suprotnom kazemo da je Σ nekonzistentan (ili protivrecan).

Teorema 1.27 1. Ako je skup formula Σ nekonzistentan, onda se iz Σmoze izvesti bilo koja formula tj. Cons(Σ) = Form.

2. Skup formula Σ je konzistentan akko je skup svih posledica Cons(Σ)konzistentan.

Dokaz.

1. Ako bi Σ ⊢ A i Σ ⊢ ¬A, onda bi zbog pravila KONTR dobili da zasvaku formulu B, Σ ⊢ B.

2. Primetimo da svaki skup formula, koji u sebi sadrzi nekonzistentanskup formula, jeste i sam nekonzistentan. Obrat, ako je skup Cons(Σ)nekonzistentan, onda zbog Teoreme 1.21 (3) sledi da je i Σ nekonzis-tentan.

�Sledeca, jednostavna ali vazna, teorema daje vezu izmedu izvodivosti for-

mule iz datog skupa formula Σ i konzistentnosti skupa formula koji nastajeiz Σ dodavanjem negacije te formule.


Teorema 1.28 Neka je Σ skup formula, A neka formula. Tada

Σ ⊢ A akko Σ ∪ {¬A} nije konzistentan.

Dokaz. (→) Neka je Σ ⊢ A. Tada je Σ ∪ {¬A} ⊢ A i Σ ∪ {¬A} ⊢ ¬A, paje Σ ∪ {¬A} nekonzistentan.(←) Neka je skup Σ ∪ {¬A} nekonzistentan. Tada se iz tog skupa mozeizvesti bilo koja formula, pa recimo i formula A. No, sada imamo da jeΣ ∪ {¬A} ⊢ A pa je Σ ⊢ ¬A ⇒ A. Kako je i Σ ⊢ A ⇒ A, koristeci praviloSP dobijamo da je Σ ⊢ A.�

Ponekad cemo koristiti ekvivalentan oblik ove teoreme:

Σ ⊢ A akko je Σ ∪ {¬A} konzistentan.

Lako se dokazuje i sledeca teorema:

Teorema 1.29 Svaki skup formula koji ima model je konzistentan.

Dokaz. Neka je τ |= Σ i pretpostavimo da je Σ nekonzistentan. Tada zaneku formulu A imamo Σ ⊢ A∧¬A. Tada bi zbog Teoreme pouzdanosti (T1.26) imali Σ |= A∧¬A, iz cega bi sledilo τ |= A∧¬A, kontradikcija. Dakle,Σ je konzistentan.�

Da bi dokazali obrat prethodne teoreme, tj. da svaki konzistentan skupformula ima model, potreban nam je pojammaksimalno konzistentnog skupaformula.

Definicija 1.23 Za konzistentan skup formula Σ kazemo da je maksi-malno konzistentan ( ili maksimalno neprotivrecan) ako nije sadrzanni u jednom konzistentnom skupu razlicitim od sebe tj. ako je Γ konzistentanskup i Σ ⊆ Γ onda mora Σ = Γ.

Primetimo da je svaki maksimalno konzistentan skup formula je deduk-tivno zatvoren. U sledecoj teoremi cemo dokazati dve bitne osobine maksi-malno konzistentnih skupova formula.

Teorema 1.30 Neka je Σ masimalno konzistentan skup formula. Tada:


1. Za sve formule A,A ∈ Σ akko ¬A ∈ Σ.

2. Za sve formule A i B,

A ∧B ∈ Σ akko (A ∈ Σ i B ∈ Σ).

Dokaz.

1. (→). Neka je A ∈ Σ. Ako bi i ¬A ∈ Σ, onda bi Σ bio nekonzistentan.(←). Pretpostavimo da ¬A ∈ Σ i dokazimo da tada A ∈ Σ. Pret-postavimo suprotno, da A ∈ Σ. Tada bi Σ = Σ ∪ {A}, pa zbogmaksimalne konzistentosti skupa Σ imali bismo da skup Σ ∪ {A} nijekonzistentan. Tada bi iz Σ ∪ {A} mogli izvesti bilo koju formulu, pa i¬A. Tada je Σ ⊢ A⇒ ¬A, a kako je svakako Σ ⊢ ¬A⇒ ¬A, primenompravila SP dobijamo Σ ⊢ ¬A tj. ¬A ∈ Cons(Σ) = Σ, kontradikcija.

2. (→). Ako je A ∧ B ∈ Σ, onda Σ ⊢ A ∧ B, pa primenom pravila K1i K2 dobijamo Σ ⊢ A i Σ ⊢ B, tj. kako je Σ deduktivno zatvoren,A ∈ Σ i B ∈ Σ.(←). Ako A ∈ Σ i B ∈ Σ, onda primenom pravila SK dobijamo daA ∧B ∈ Cons(Σ) = Σ.

�Jedna od najvaznijih koraka ka dokazu teoreme kompletnosti iskaznog

racuna je sledeca teorema (poznata takode pod nazivom Lema Linden-bauma):

Teorema 1.31 (Lindenbaum) Svaki konzistentan skup formula je sadrzanu nekom maksimalno konzistentnom skupu formula.

Dokaz. Neka je Σ dati konzistentan skup formula. Kako je skup iskaznihformula Form prebrojiv (kao unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova),neka je A1, A2, . . . , An, . . . jedno nabrajanje svih elemenata skupa Form.Definisimo neopadajuci niz skupova formula Σ1,Σ2, . . . ,Σn, . . . na sledecinacin:

Σ1 = Σ,

Σ2 =

{Σ1 ∪ {A1}, ako je skup Σ1 ∪ {A1} konzistentan ,

Σ1, u suprotnom


. . .

Σn=1 =

{Σn ∪ {An}, ako je skup Σn ∪ {An} konzistentan ,

Σn, u suprotnom. . .

Tako dobijamo neopadajuci niz skupova formula

Σ = Σ1 ⊆ Σ2 ⊆ · · · ⊆ Σn ⊆ Σn+1 ⊆ . . .

Neka je

Γ =∪n≥1

Σn.

Dokazimo da je Γ trazeni maksimalno konzistentan skup formula koji prosirujeΣ.

• Jasno, zbog konstrukcije, Σ ⊆ Γ.

• Dokazimo da je Γ konzistentan skup. Pretpostavimo suprotno, da Γnije konzistentan skup. Tada bi postojao konacan podskup Γ0 ⊆ Γkoji takode nije konzistentan. No, kako je Γ =

∪n≥1Σn, onda zbog

konacnosti skupa Γ0 sledi da postoji k takav da je Γ0 ⊆ Σk, sto biznacilo da skup Σk nije konzistentan, kontradikcija. Dakle, skup Γ jekonzistentan.

• Dokazimo da je Γ maksimalno konzistentan skup. Neka je Γ ⊆ ∆, gdeje ∆ neki konzistentan skup formula, i pretpostavimo da je Γ = ∆.Tada postoji formula Ai tako da je Ai ∈ ∆\Γ. Kako je Ai ∈ Γ, to znacida Ai ∈ Σi+1, sto zbog konstrukcije znaci da je skup Σi+1 = Σi∪{Ai}nekonzistentan. S druge strane, Σi ⊆ Γ ⊆ ∆ i Ai ∈ ∆, iz cega sledi daje Σi∪{Ai} ⊆ ∆, sto bi znacilo da skup ∆ sadrzi u sebi nekonzistentanskup formula Σi+1, kontradikcija. Prema tome, Γ = ∆.

�

Teorema 1.32 Svaki konzistentan skup formula ima model.

Dokaz. Neka je Σ konzistentan skup formula. Zbog Teoreme Lindenbauma(T 1.31) znamo da postoji maksimalno konzistentan skup Γ koji sadrzi Σ.Ako nademo model za Γ, to ce ujedno biti i model za Σ. Model τ definisimona sledeci nacin:

τ(pi) = ⊤ akko pi ∈ Γ.


Dokazimo da je τ |= Γ. Zapravo, dokazacemo vise: za svaku formulu A

τ |= A akko A ∈ Γ.

Dokaz cemo sprovesti indukcijom po slozenosti formule A.

• Ako je formula A iskazno slovo pi, onda po definiciji vazi

τ(pi) = ⊤ akko pi ∈ Γ.

• Pretpostavimo da za formule B i C vazi tvrdenje. Dovoljno je dokazatoda tada i za formule ¬B i B ∧C vazi tvrdenje. Tada, koristeci T 1.30dobijamo sledece:

τ |= ¬B akko τ |= A akko B ∈ Γ akko ¬B ∈ Γ.

Slicno,

τ |= B∧C akko (τ |= B i τ |= C) akko (B ∈ Γ i C ∈ Γ) akko B∧C ∈ Γ.

Dakle, τ |= Γ pa je τ model i za skup Σ.�

Sada smo spremni da dokazemo tezi smer teoreme kompletnosti:

Teorema 1.33 Za svaki skup formula Σ i svaku formulu A,

ako Σ |= A onda Σ ⊢ A.

Dokaz. Neka je Σ |= A i pretpostavimo da Σ ⊢ A. Tada zbog Teoreme1.28 sledi da je skup Σ ∪ {¬A} konzistentan. Prema Teoremi 1.32 sledi daskup formula Σ ∪ {¬A} ima model, oznacimo ga sa τ . No, tada bi τ |= Σi τ |= ¬A, pa bi zbog Σ |= A imali da τ |= A, kontradikcija. Prema tome,mora Σ ⊢ A.�

Teorema 1.34 (Teorema kompletnosti za iskazni racun) Za sve skupoveformula Σ i sve formule A,



Dokaz. Sledi iz Teoreme 1.33 i Teoreme 1.26.�

Teorema 1.35 (Teorema kompaktnosti za iskaznu logiku) Skup iskaznihformula Σ ima model ako i samo ako svaki konacan podskup od Σ ima model.

Dokaz. Naravno, smer (→) je trivijalan.(←). Pretpostavimo da svaki konacan podskup od Σ ima model ali da Σnema. Tada, zbog Teoreme 1.32 sledi da Σ nije konzistentan, postoji formulaA, tako da je Σ ⊢ A ∧ ¬A. No, tada postoji neki konacan Σ0 ⊆ Σ takav daje Σ0 ⊢ A ∧ ¬A. Ali tada skup Σ0 ne bi imao model, kontradikcija.�

1.14 Rezolucija u iskaznoj logici

Kao sto smo videli, ponekad je tesko pronaci dokazni niz u iskaznom racunuH za neku formulu, jer dokazni niz se ”ne vidi” iz same formule koju trebadokazati, nego se cesto treba necega ”dosetiti”. Prema tome, nije lako im-plementirati na racunaru traganje za dokazom u Hilbertovom deduktivnomsistemu H. Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna(ili predikatska) formula zadovoljiva, a koji se moze lakse implementirati naracunaru. Kako je formula tautologija (odnosno valjana) akko njena ne-gacija nije zadovoljiva, metod rezolucije se moze koristiti za dokazivanje dali je neka formula tautologija (odnosno da li je valjana). Takode, kako jeformula B semanticka posledica konacnog skupa formula {A1, A2, . . . , An}akko je formula A1∧A2∧· · ·∧An ⇒ B tautologija (odnosno valjana), metodrezolucije je primenljiv i za ispitivanje da li je neka formula B semantickaposledica nekog konacnog skupa hipoteza.

Metod rezolucije je formulisao Alan Robinson 1965. godine (u radupod naslovom ”A machine oriented logic based on the resolution princi-ple”), oslanjajuci se na mnogobrojne rezultate koji su prethodili tom otkricu.Glavne ideje metode rezolucije cemo izloziti za slucaj iskazne logike, a pred-nosti ove metode ce se videti kasnije, u slucaju predikatske logike.

Metod rezolucije se primenjuje za formule koje su u konjunktivnoj nor-malnoj formi, tj. za formule koje su konjunkcije nekih disjunkcija. Kao stosmo videli u Sekciji 6, za svaku iskaznu formulu postoji njoj ekvivalentnaformula koja je u konjunktivnoj normalnoj formi. Naravno, ako je data

1.14. Rezolucija u iskaznoj logici 51

formula F , u praksi nema puno smisla da se do odgovarajuce konjunktivenormalne forme dode prethodnom konstrukcijom istinitosne tablice za F ,pa onda primenjivati metod rezolucije (jer cemo ”usput” iz tablice vec doz-nati sve sto bi metod rezolucije mogao da nam kazuje). Metod rezolucije jepogodan za one konkretne probleme u kojima su formule (ili makar deloviformula) vec u konjunktivnoj normalnoj formi, ili se do te forme moze lakodoci ekvivalencijskim transformacijama opisanim u Sekciji 5 (videti T5, T6i T8).

Primer 1.16 ...

Algoritam za dobijanje konjunktivne normalne forme neke iskazne for-mule dakle ima sledece korake:

• eliminisati veznike ⇒ i ⇔, koriscenjem relacija A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B iA⇔ B ≡ (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

• koriscenjem DeMorganovih zakona ”gurati negacije dublje” tj. relacije¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B) i ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) koristiti s leva nadesno

• eliminisati duple negacije

• koristiti zakon distributivnosti A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

Pretpostavimo da je formula F koju zelimo ispitati u konjunktivnoj nor-malnoj formi. Dakle, F je konjunkcija nekih disjunkcija, i to disjunkcijanekih iskaznih slova ili negacije iskaznih slova.

Definicija 1.24 Neka je S skup iskaznih slova. Literal je svako iskaznoslovo ili negacija iskaznog slova tj. svaki p odnosno ¬p, gde p ∈ S. Literalsuprotan literalu p jeste literal ¬p i obrnuto.

Zbog asocijativnosti disjunkcije odnosno konjunkcije, mozemo smatrati danemamo zagrade unutar disjunkcija, kao ni zagrada koje bi bile stavljene nakonjunkte. Dalje, zbog komutativnosti operacije ∨, mozemo zanemariti re-dosled literala unutar disjunkta, a zbog komutativnosti operacije ∧ nije bitanredosled konjunkata. Idempotentnost operacija ∨ and ∧ nam omogucava dasmatramo da se unutar konjunkata svako iskazno slovo javlja najvise jednom,odnosno da nemamo iste konjunkte. Takode, unutar proizvoljnog konjunkta


mozemo izbrisati suprotne literale (jer se time dobija ekvivalentna formula).Prema tome, svaku formulu koja je (u tako ”ociscenoj ”) konjunktivnoj nor-malnoj formi mozemo pogodno reprezentovati navodenjem odgovarajucihkonjunkata kao skupova literala, tzv. klauzula, a celu formulu kao skupovatako dobijenih klauzula.

Definicija 1.25 Klauzula je konacan skup literala koji ne sadrzi suprotneliterale. Neprazna klauzula C predstavlja formulu koja se dobija dis-junkcijom literala iz C. Jedinicna klauzula je klauzula koja sadrzi tacnojedan literal. Prazna klauzula, u oznaci [], je klauzula koja ne sadrzini jedan literal i predstavlja proizvoljnu kontradikciju. Neka je S ={C1, C2, . . . , Cn} skup klauzula i neka klauzule C1, C2, . . . , Cn predstavljajuredom formule

A1, A2, . . . , An.

Tada skup klauzula S predstavlja formulu A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An i obrnuto,kazemo da je S klauzalna forma formule A1 ∧A2 ∧ · · · ∧An.

Primer 1.17 ...

Kao dalje pojednostavljeno pisanje, umesto literala ¬p, mozemo pisatip, a klauzulu {l1, l2, . . . , ln} obelezavati samo navodenjem redom literala tj.

l1l2 . . . ln.

Primer 1.18 ...

Definicija 1.26 Za skup klauzula S kazemo da je zadovoljiv ako je zado-voljiva formula koju predstavlja, u suprotnom je nezadovoljiv.

Tako, skup klauzula je zadovoljiv ako postoji makar jedna valuacija ukojoj su sve klauzule zadovoljive, tj. makar jedna valuacija u kojoj su sve for-mule predstavljene klauzulama tacne. Naravno, prazna klauzula je nezado-voljiva.

Primer 1.19 ...

Rezolucija je postupak u kome ”zelimo” da dokazemo da je neka for-mula nezadovoljiva tako sto dokazemo da je odgovarajuci skup klauzula


(koji predstavlja tu formulu) nezadovoljiv. Metod rezolucije se sastoji odniza primena pravila rezolucije na skup klauzula. Pravilo rezolucije cuvazadovoljivost, tj. ako je skup klauzula S bio zadovoljiv, onda ce biti zado-voljiv i skup klauzula koji se od S dobija pravilom rezolucije. Prema tome,ako se metodom rezolucije dobije skup klauzula koji sadrzi praznu klauzulu(koja je nezadovoljiva), onda mora biti nezadovoljiv i polazni skup klauzula.

Definicija 1.27 Neka su C1 i C2 dve klauzule tako da sadrze suprotne lit-erale tj. za neki literal l,

l ∈ C1 i l ∈ C2.

Tada kazemo da se C1 i C2 sudaraju na l i l. Rezolventa od C1 i C2

je klauzula

Res(C1, C2) = (C1 \ {l}(∪(C2 \ {l}).

Kazemo da su C1 i C2 roditelji od Res(C1, C2) i da je klauzula Res(C1, C2)dobijena pravilom rezolucije od klauzula C1 i C2.

Po definiciji, rezolventa dve jedinicne klauzule koje sadrze suprotne lit-erale jeste prazna klauzula. Primetimo takode da nemaju svake dve klauzulerezolventu - da bismo mogli primeniti pravilo rezolucije na klauzule C1 iC2, one moraju sadrzavati suprotne literale. U daljem, kad god napisemoRes(C1, C2), podrazumevacemo da se na klauzule C1 i C2 moze primenitipravilo rezolucije.

Primer 1.20 ...

Kljucna osobina pravila rezolucije jeste to sto cuva zadovoljivost :

Teorema 1.36 Ako je skup klauzula {C1, C2} zadovoljiv, onda je zado-voljiva i njihova rezolventa Res(C1, C2).

Dokaz. Ako su C1 i C2 jedninicne klauzule koje sadrze suprotne literale,recimo p i ¬p, onda skup klauzula {p}, {¬p} nije zadovoljiv, pa je tvrdenjetrivijalno tacno. Dalje, ako je tacno jedna od klauzula jedinicna, recimoC1 = {p} a klauzula C2 sadrzi suprotan literal ¬p, i neka C2 predstavljaformulu ¬p∨A. Ako je skup {C1, C2} zadovoljiv onda mora biti zadovoljivaformula A, tj. i njihova rezolventa Res(C1, C2) = ∅ ∪ C2 \ {¬p}. Neka nijedna od C1 i C2 nije jedinicna klauzula. Neka su p ∈ C1 i ¬p ∈ C2 i neka


te dve klauzule predstavljaju redom formule p ∨ A i ¬p ∨ B. Tada imamop ∨A ≡ ¬A⇒ p, ¬p ∨B ≡ p⇒ B, pa zbog pravila TRAZ dobijamo

¬A⇒ p, p⇒ B |= ¬A⇒ B,

a kako je ¬A⇒ B ≡ A∨B i Res(C1, C2) predstavlja upravo formulu A∨B,sledi tvrdenje.�

Metod rezolucije se sastoji od uzastopnog primenjivanja pravila rezolu-cije. Pri tome, roditelji rezolvente se ne zamenjuju rezolventom, nego serezolventa dodaje skupu do tada dobijenih klauzula (i ulaze u razmatranjei u daljem postupku).

Definicija 1.28 Neka je S konacan skup klauzula. Kazemo da je klauzulaC rezolventni izvod iz skupa S ako postoji konacan niz klauzula

C1, C2, . . . , Ck

gde je Ck = C, takav da svaka klauzula tog niza pripada skupu S ili se dobijapravilom rezolucije od ranijih formula u nizu. U tom slucaju takode kazemoda je skup rezolventnih izvoda iz S dobijen metodom rezolucije iz skupaS.

Primer 1.21 ...

Teorema 1.37 (Pouzdanost metode rezolucije) Neka je S neki skupklauzula, a S

′skup klauzula dobijen iz S metodom rezolucije. Ako je skup S

zadovoljiv, onda je zadovoljiv i skup S′. Prema tome, ako je prazna klauzula

rezolventni izvod od S, tada skup S nije zadovoljiv.

Dokaz. Sledi iz prethodne teoreme, indukcijom po duzini rezolventnogizvoda. Dalje, prazna klauzula se dobija iz dve jedinicne klauzule koje sadrzesuprotne literale. Prema tome, ako je prazna klauzula rezolventni izvod izS, onda su te dve suprotne jedinicne klauzule rezolventni izvodi iz S, paskup S nije zadovoljiv.�

Primer 1.22 ...


Krenimo sada od konacnog skupa klauzula S i konstruisimo niz skupovaklauzula na sledeci nacin: S0 = S, a Sn+1 se dobija iz Sn dodavanjemrezolvente nekih od formula iz Sn (tj. primenom pravila rezolucije na nekeklauzule iz Sn). Tada moze da su desi jedno od sledece dve situacije:

• neki od skupova Sn sadrzi praznu klauzulu,

• nismo dobili praznu klauzulu a stigli smo do nekog skupa Sn koji sevise ne prosiruje primenom pravila rezolucije, tj. Sn = Sn+1.

Lako je videti da ce sigurno nastupiti bar jedan od ta dva slucaja, jer krecemood konacnog skupa klauzula, u kojima figurise samo konacno mnogo iskaznihslova, recimo n razlicitih iskaznih slova. Nad tim skupom isk znih slovapostoji samo konacno mnogo razlicitih literala, pa mozemo napraviti samokonacno mnogo razlicitih klauzula. Prema tome, metod rezolucije ce sesigurno zaustaviti. Videli smo da ako u nekom koraku dobijemo praznukaluzulu, to ce znaciti da polazni skup klauzula nije zadovoljiv (pouzdanostmetode rezolucije). S druge strane, moze se dokazati da je metoda rezolucijetakode i kompletna, tj. ako polazni skup klauzula S nije zadovoljiv, onda jeprazna klauzula rezolventni izvod od S (za dokaz videti recimo ...).

Dakle, primenu metode rezolucije na neki konacan skup klauzula Smozemo opisati sledecom procedurom:

• Polazimo od konacnog skupa klauzula S. Konstruisemo niz skupovaklauzula na sledeci nacin: S0 = S, a Sn+1 se dobija iz Sn dodavanjemrezolvente nekih od formula iz Sn (tj. primenom pravila rezolucije naneke klauzule iz Sn).

• Ako u jednom od koraka skup Sn sadrzi praznu klauzulu, procedurase zaustavlja, i vraca odgovor ”skup S nije zadovoljiv”.

• Ako se za neki n skupovi Sn i Sn+1 poklapaju, tj. ne postoje klauzuleu skupu Sn na koje bi se moglo primeniti pravilo rezolucije, tada seprocedura zaustavlja i vraca odgovor ”skup S je zadovoljiv”.

Glava 2

Predikatska logika

2.1 O predikatskoj logici

Pre nego sto pocnemo razmatranje predikatske logike, zadrzimo se na neko-liko napomena koje ce, nadamo se, pomoci da se rasciste pre svega ter-minoloske nejasnoce koje se cesto javljaju u vezi sa ovom temom. Prvo, uliteraturi se mogu sresti bar tri razlicita naziva za isti ili slican pojam. Svakiod tih naziva istice razlicitu osobinu ovih logika.

• Predikatska logika Ovaj naziv je verovatno najcesci, i istice cinjenicuda se ova logika bavi pre svega predikatima. Pojam predikata namje prvenstveno poznat iz gramatike prirodnih jezika – to je onaj deorecenice kojim ”nesto tvrdimo”. U matematici, pojam predikata imamodifikovano znacenje – u najcistijem obliku, to su relacije razlicitiharnosti (duzine) koje su definisane na nekom skupu objekata (tj. nanosacu matematicke strukture koju izucavamo). Relacije su, dakle,matematicka verzija pojma ”imati neku osobinu” (to su relacije arnostijedan) odnosno pojma ”objekti su u medusobnom odnosu...” (relacijearnosti 2 ili vise). Mi cemo u daljem najcesce koristiti upravo ovajnaziv.

• Logika prvog reda Ovaj naziv sugerise da postoje i logike reda dva,tri i vise. Kratko (i grubo) receno, logika prvog reda ima za cilj (iima moc) da opise osobine objekata na ”prvom nivou”, tj. govori opojedinacnim objektima koji se nalaze u nosacu matematicke struk-ture koju izucavamo. Na primer, ako zelimo da izucavamo osobine

57

58 Glava 2. Predikatska logika

prirodnih brojeva, onda je nosac matematicke strukure skup prirod-nih brojeva. Logika koja bi izucavala osobine skupova prirodnih bro-jeva bi bila vec logika drugog reda, itd. U logici prvog reda funkcijei relacije koje imaju svoje ime u sintaksi su definisane medu elemen-tima sa ”prvog nivoa”, a promenljive mogu uzimati vrednosti takodesamo iz nosaca strukture. Naravno, cilj nam je da u daljem tekstu ovemaglovite pojmove definisemo matematicki precizno.

• Kvantifikatorski racun Ovaj naziv istice da se u ovim logikama(pored uobicajenih logickih veznika koje ”nasledujemo” iz iskazne logike)javljaju specificni operatori, koji govore o ”kvantitetu” objekata sanekom osobinom. To su tzv. univerzalni kvantifikator ∀ (”za sve”ili ”svaki”) i egzistencijalni kvantifikator ∃ (”postoji”). Kao sto cemovideti, oni su na neki nacin uopstenja (beskonacne verzije) logickih op-eracija konjunkcije odnosno disjunkcije. Cesto, naziv ”racun” sugeriseda se radi o deduktivnom sistemu, dakle o potpuno formalnoj verzijidate logike. Mi cemo u tu svrhu koristiti naziv predikatski racun.

Drugo pitanje jeste da li postoji jedna predikatska logika ili vise njih?Naime, uobicajeno je da se govori u jednini, predikatska logika, logika pr-vog reda, a ustvari se misli na sve predikatske logike, koje se medusobnorazlikuju ”samo” u skupu nelogickih simbola. Dakle, odgovor je: postojipuno (beskonacno mnogo) predikatskih logika, ali se one mogu zajedno raz-matrati, jer je (bar na nekom nivou) razlika medu njima ”samo tehnickeprirode”. Zbog toga, uobicajeno je govoriti u jednini, predikatska logika, ipri tome misliti o svim mogucim predikatskim logikama.

Trece pitanje koje se prirodno namece jeste kakav je odnos predikatskei iskazne logike? Na neki nacin, mozemo smatrati da je iskazna logika”grublja”. Ona ”radi” sa iskazima kao nedeljivim atomima, a predikatskalogika izucava i strukturu iskaza. Sve zakonitosti koje vaze za iskaze (a kojesmo izucavali u iskaznoj logici) nastavljaju da vaze i u predikatskoj logici,ali sad cemo sprovoditi i ”finije analize”.

Ukoliko gore iznete napomene u ovom trenutku nisu previse pomogleda se dobije jasniji uvid sta je predikatska logika, ne treba se obeshrabriti.Savetujemo citaoca da se vrate na ove redove ponovo, na kraju poglavlja opredikatskoj logici. Pravi smisao ovih napomena ce se videti tek posle kom-pletnog razmatranja sintaktickih i semantickih osobina predikatske logike.

2.2. Sintaksa predikatske logike 59

2.2 Sintaksa predikatske logike

Da bismo definisali sintaksu predikatske logike, potrebno je prvo odreditiazbuku tj. skup simbola od kojih se grade ”dobre reci”. Svaka azbukapredikatske logike ima dve vrste simbola: skup logickih simbola, i skup nel-ogickih simbola, koji je specifican za datu predikatsku logiku.

Skup logickih simbola svake predikatske logike se sastoji od sledecihsimbola:

• skup promenljivih je proizvoljan neprazan skup simbola X, konacanili prebrojiv. Najcesce se uzima da je X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }.

• simboli logickih veznika: ∧,∨,⇒,⇔,¬,∀, ∃,

• pomocni simboli: (, ).

Svaka predikatska logika ima svoj specifican skup nelogickih simbola L.Skup nelogickih simbola L je disjunktna unija sledeca tri skupa:

• C, skup simbola konstanti ,

• R, skup relacijskih simbola ,

• F , skup funkcijskih (operacijskih) simbola .

Svakom nelogickom simbolu s je dodeljen prirodan broj ar(s), tzv. arnost(ili duzina) tog simbola, tako da svi simboli konstanti imaju arnost 0, a svirelacijski i funkcijski simboli neku pozitivnu arnost. Ako je n neki prirodanbroj, sa Rn (odnosno Fn) obelezavamo sve relacijske (odnosno funkcijske)simbole arnosti n.

Jezik predikatske logike (ili jezik prvog reda) jeste skup formula nadatoj azbuci ali, kao sto cemo videti, jezik predikatske logike je u principupotpuno odreden kada se definise skup promenljivih X i skup nelogickihsimbola L, zajedno sa funkcijom arnosti ar.

Dogovor:U daljem tekstu, ako kazemo da je ”L = C ∪R∪F neki jezik prvog reda saskupom promenljivih X”, to znaci da oznake C, R, F imaju znacenje kojeje navedeno gore, i da je zadata odgovarajuca funkcija arnosti ar.

Da bismo stigli do preciznog pojma formule, prvo je neophodno definisatipojam terma.


Definicija 2.1 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda sa skupompromenljivih X. Skup termova TermL(X) je najmanji skup koji zadovol-java sledece uslove:

• Sve promenljive su termi tj. X ⊆ TermL(X),

• Svi simboli konstanti su termi tj. C ⊆ TermL(X),

• Ako je f ∈ Fn i t1, t2, . . . , tn ∈ TermL(X) onda

f(t1, t2, . . . , tn) ∈ TermL(X).

Dogovori:

1. Ako je jezik prvog reda L unapred fiksiran (ili je jasan iz konteksta),onda umesto oznake TermL(X) mozemo pisati samo Term(X).

2. Ako su v1, v2, . . . , vn neke promenljive i t ∈ TermL(X), onda oznaka

t = t(v1, v2, . . . , vn)

znaci da su sve promenljive terma t u skupu {v1, v2, . . . , vn}.

3. Po dogovoru, ako je f ∈ F2, onda kazemo da je f binaran funkcijskisimbol, i umesto prefiksne notacije f(t1, t2) koristimo tzv. infiksnunotaciju t1ft2.

Definicija 2.2 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda sa skupompromenljivih X. Elementarne formule su izrazi oblika ρ(t1, t2, . . . , tn),gde je ρ ∈ Rn i t1, t2, . . . , tn ∈ TermL(X).

Dogovor:Kao i u slucaju binarnih funkcijskih simbola, i za binarne relacijske simboleρ ∈ R2 mozemo koristiti infiksnu notaciju t1ρt2 umesto prefiksne notacijeρ(t1, t2).

Definicija 2.3 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda sa skupompromenljivih X. Skup formula FormL(X) je najmanji skup koji zadovol-java sledece uslove:

• Svaka elementarna formula pripada skupu FormL(X),

2.3. Semantika predikatske logike 61

• Ako su A i B formule, i x ∈ X, tada su formule i sledeci izrazi:

(A ∧B), (A ∨B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A), (∀x)A, (∃x)A.

Dogovori:

1. Ako je jezik prvog reda L unapred fiksiran (ili je jasan iz konteksta),onda umesto oznake FormL(X) mozemo pisati samo Form(X).

2. Kao u iskaznoj logici, i ovde vaze dogovori o brisanju spoljnih zagradai o prioritetu logickih veznika, s tim da cemo smatrati da kvantifikatoriimaju najveci prioritet.

Definicija 2.4 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda sa skupompromenljivih X, neka je A ∈ FormL(X) i neka je x ∈ X.

1. Izraze (∀x) i (∃x) zovemo redom univerzalni odnosno egzistenci-jalni kvantifikator, sa promenljivom x.

2. U formulama (∀x)A i (∃x)A oblast dejstva kvantifikatora (∀x)odnosno (∃x) je formula A.

3. Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako je to po-javljivanje u oblasti dejstva kvantifikatora (∀x) ili (∃x). U tom slucajukazemo i da je to pojavljivanje promenljive x pod dejstvom kvan-tifikatora (∀x) ili (∃x). U suprotnom, to pojavljivanje promenljive xje slobodno.

4. Promenljiva x je slobodna u formuli A ako ima bar jedno slo-bodno pojavljivanje u formuli A. Za formule koje nemaju slobodnihpromenljivih kazemo da su zatvorene.

2.3 Semantika predikatske logike

Semantika neke logike je odredena kada se definisu strukture (tzv. modeli) ukojima se interpretiraju formule date logike, kao i tzv. relacija zadovoljenja|= izmedu modela i formula.

Definicija 2.5 Neka je L = C ∪R∪F neki jezik prvog reda. Model jezikaL je uredena dvojka M = ⟨M, I⟩, gde je M neprazan skup (tzv. nosac


modela), a I preslikavanje (interpretacija), sa domenom L, tako da zado-voljava sledece:

• ako je c ∈ C, onda je I(c) ∈M ,

• ako je ρ ∈ Rn, onda je I(ρ) ⊆Mn,

• ako je f ∈ Fn, onda je I(f) :Mn →M .

Ako je s ∈ L, onda I(s) zovemo interpretacija simbola s u modelu M.

Dogovori:

1. Ako je M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L a s neki simbol jezika L,onda interpretaciju tog simbola u modelu M umesto sa I(s) cestoobelezavamo sa sM.

2. U praksi, kada zadajemo model, umesto celog preslikavanja I (inter-pretacije) cesto pisemo samo niz slika tj. interpretacije simbola jezikaL.

3. Pored slova, kao simbole binarnih relacija koristimo oznake kao sto su=,≈,∼=,≤,⊆, . . .

4. U praksi cesto koristimo istu oznaku za simbol jezika i njegovu inter-pretaciju.

Definicija 2.6 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih, M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L. Valuacija modela M jesvako preslikavanje τ : X →M .

Da bismo definisali relaciju zadovoljenja |= izmedu modela i formuladatog jezika, prvo je potrebno definisati vrednost terma u modelu za datuvaluaciju.

Definicija 2.7 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih,M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L, a τ : X →M neka valuacijamodela M. Vrednost terma t u modelu M za valuaciju τ , u oznacitM[τ ], definisemo indukcijom po slozenosti terma t na sledeci nacin:

• ako je t = x, gde je x ∈ X, onda je tM[τ ] = τ(x),


• ako je t = c, gde je c ∈ C, onda je tM[τ ] = cM,

• ako je t = f(t1, t2, . . . , tn), gde je f ∈ Fn, t1, t2, . . . , tn ∈ TermL(X),onda je

tM[τ ] = fM(tM1 [τ ], tM2 [τ ], . . . , tMn [τ ]).

Kao sto nam kaze intuicija, vrednost terma ne zavisi od vrednosti onihpromenljivih koje ne ucestvuju u datom termu, sto cemo i dokazati u sledecojteoremi:

Teorema 2.1 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih,M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L, a τ1 i τ2 dve valuacije modelaM tako da je τ1(x) = τ2(x) za sve one promenljive x ∈ X koje ucestvuju utermu t. Tada je tM[τ1] = tM[τ2].

Dokaz. Indukcijom po slozenosti terma t.

• Ako je t = x, gde je x ∈ X, onda je tM[τ1] = τ1(x) = τ2(x) = tM[τ2].

• Ako je t = c, gde je c ∈ C, onda je tM[τ1] = cM = tM[τ2].

• Pretpostavimo da tvrdenje vazi za terme t1, t2, . . . , tn ∈ TermL(X)i neka je t = f(t1, t2, . . . , tn), gde je f ∈ Fn. Neka su Xi skupovipromenljivih koji ucestvuju u termovima ti, i ∈ {1, 2, . . . , n} i nekaje Y = ∪{Xi : i ∈ {1, 2, . . . , n}}. Pretpostavimo da se valuacije τ1i τ2 poklapaju na skupu promenljivih Y . Tada se oni poklapaju ina svakom od skupova Xi, i ∈ {1, 2, . . . , n}. Sada mozemo koristitiindukcijsku pretpostavku za terme t1, t2, . . . , tn, pa imamo:

tM[τ1] = fM(tM1 [τ1], tM2 [τ1], . . . , t

Mn [τ1]) =

= fM(tM1 [τ2], tM2 [τ2], . . . , t

Mn [τ2]) = tM[τ2]

sto smo i trebali dokazati.

�Oznaka:

Neka je τ : X → M neka valuacija modela M, x ∈ X neka promenljiva ia ∈ M neki element iz modela. Sa τ(a/x) cemo obelezavati valuaciju kojase od τ razlikuje eventualno za promenljivu x, za koju ima vrednost a, tj.


• τ(a/x)(x) = a

• za sve y ∈ X takve da je y = x vazi τ(a/x)(y) = τ(y).

Definisimo sada relaciju vazenja |= izmedu modela i formula:

Definicija 2.8 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih,M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L, a τ : X →M neka valuacijamodelaM. Relaciju |=τ cemo definisati indukcijom po slozenosti formula:

• ako je ρ(t1, t2, . . . , tn) neka elementarna formula onda

M |=τ ρ(t1, t2, . . . , tn) akko vazi ρM(tM1 [τ ], tM2 [τ ], . . . , tMn [τ ])

• ako su A i B neke formule, ondaM |=τ A ∧B akkoM |=τ A iM |=τ B,M |=τ A ∨B akkoM |=τ A iliM |=τ B,M |=τ A⇒ B akko (izM |=τ A slediM |=τ B),M |=τ A⇔ B akko (M |=τ A akkoM |=τ B),M |=τ ¬A akko nijeM |=τ A.

• ako je A neka formula, x ∈ X ondaM |=τ (∀x)A akko za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) A ,M |=τ (∃x)A akko postoji a ∈M tako da jeM |=τ(a/x) A.

Primer 2.1 ...

U sledecoj teoremi cemo dokazati da vazenje formule A u nekom mod-elu za datu valuaciju zavisi samo od vrednosti onih promenljivih koje suslobodne u formuli A.

Teorema 2.2 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih,M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L, a τ1 i τ2 dve valuacije modelaM tako da je τ1(x) = τ2(x) za sve one promenljive x ∈ X koje su slobodneu formuli A. Tada je

M |=τ1 A akkoM |=τ1 A.

Dokaz: Indukcijom po slozenosti formule A:


• Neka jeA neka elementarna formula ρ(t1, t2, . . . , tn). Zbog pretpostavketeoreme imamo da se valuacije τ1 i τ2 poklapaju na svim promenlji-vama koje ucestvuju u termovima t1, t2, . . . , tn. Tada zbog prethodneteoreme imamo da je vrednost tih termova ista o valuacijama τ1 i τ1,prema tome imamo:

M |=τ1 ρ(t1, t2, . . . , tn) akko vazi ρM(tM1 [τ1], tM2 [τ1], . . . , t

Mn [τ1])

akko vazi ρM(tM1 [τ2], tM2 [τ2], . . . , t

Mn [τ2])

akkoM |=τ2 ρ(t1, t2, . . . , tn).

• Pretpostavimo da tvrdenje vazi za formule A i B. Tada se lakodokazuje da tvrdenje vazi i za formulu A ∧ B. Ako se valuacije τ1i τ2 poklapaju na svim slobodnim promenljivama formule A∧B, ondase one poklapaju i pojedinacno na svim slobodnim promenljivama for-mule A odnosno B, pa mozemo iskoristiti indukcijsku hipotezu:

M |=τ1 A ∧B akko (M |=τ1 A iM |=τ1 B)

akko (M |=τ2 A iM |=τ2 B) akkoM |=τ2 A ∧B.

Slicno se dokazuje da tvrdenje vazi i za formule A∨B, A⇒ B, A⇔ B,¬A.

• Pretpostavimo sada da tvrdenje vazi za formulu A i dokazimo da tadatvrdenje vazi za formule (∀x)A i (∃x)A. Ako se valuacije τ1 i τ2 pokla-paju na svim slobodnim promenljivama formule (∀x)A, tada se te dvevaluacije poklapaju i na svim slobodnim promenljivama formule A,sem eventualno na promenljivoj x. No, vrednost te promenljive i nijebitna. Naime, za svaki fiksirani element a ∈ M imamo da ce se val-uacije τ1(a/x) i τ2(a/x) poklapati na svim slobodnim promenljivamaformule A, pa cemo zbog indukcijske hipoteze imati:

M |=τ1 (∀x)A akko za sve a ∈M vaziM |=τ1(a/x) A

akko za sve a ∈M vaziM |=τ2(a/x) A

akkoM |=τ2 (∀x)A.

Slicno se dokazuje da ce tvrdenje vaziti iz za formulu (∃x)A.

�Pema tome, za zatvorene formule A imamo da ce one vaziti na nekom

modelu za neku valuaciju akko vaze za svaku valuaciju.


Primer 2.2 ...

Definicija 2.9 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih, M = ⟨M, I⟩ neki model jezika L, i A neka formula na jezikuL.

• Kazemo da formula A vazi na modeluM, u oznaci

M |= A

ako jeM |=τ A za sve valuacije τ : X →M .

• Kazemo da je formula A valjana, u oznaci |= A, ako za sve modeleM jezika L vaziM |= A.

Primer 2.3 ...

2.4 Operatori Mod i Th, semanticke posledice

Mnogi problemi u matematici spadaju u sledece dve siroke (i nejasno defin-isane) grupe problema:

1. Data je neka klasa matematickih struktura K, i zadatak je opisati (nanekom jeziku) osobine tih struktura.

2. Dat je ”opis” Σ nekih osobina (na nekom jeziku), i trazimo klasumatematickih struktura K koje imaju te osobine.

U slucaju da je jezik na kome ”radimo” neki jezik prvog reda, ove dve vrsteproblema opisuju operatori Th i Mod. Operator Th svakoj klasi modela Knekog jezika prvog reda L dodeljuje skup svih formula Th(K) koje vaze nasvakom od tih modela, a operator Th ”radi” obrnuto, svakom skupu formulaΣ dodeljuje klasu onih struktura Mod(Σ) koje zadovoljavaju sve formule izskupa Σ.

Definicija 2.10 Neka je L = C ∪R∪F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih.

• Ako je K neka klasa modela jezika L, A ∈ FormL(X), onda

K |= A akko za sveM∈ K vaziM |= A.

2.4. Operatori Mod i Th, semanticke posledice 67

• Ako je Σ ⊆ FormL(X),M neki modela jezika L, onda

M |= Σ akko za sve A ∈ Σ vaziM |= A.

• Ako je K neka klasa modela jezika L, Σ ⊆ FormL(X), onda

K |= Σ akko za sve A ∈ Σ va vi K |= A.

• Ako je K neka klasa modela jezika L, onda

ThX(K) = {A ∈ FormL(X) : K |= A}.

• Ako je Σ ⊆ FormL(X), onda

Mod(Σ) = {M ∈ModL :M |= Σ}

gde smo sa ModL obelezili klasu svih modela jezika L.

Dogovor: Ako je skup promenljivih X unapred fiksiran, onda se umestoThX pise samo Th.

Primer 2.4 ...

U sledecoj teoremi je opisan medusobni odnos operatora Mod i Th. Zapar operatora koji zadovoljavaju osobine analogne osobinama koje su opisanesledecom teoremom kaze se da formiraju Galoisovu vezu.

Teorema 2.3 Neka je L = C ∪ R ∪ F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih, Σ1,Σ2,Σ ⊆ FormL(X), K1,K2,K ⊆ModL. Tada vazi:

• Ako je Σ1 ⊆ Σ2 onda Mod(Σ2) ⊆ Mod(Σ1).

• Ako je K1 ⊆ K2 onda Th(K2) ⊆ Th(K1).

• Σ ⊆ Th(Mod(Σ)).

• K ⊆ Mod(Th(K)).

• Mod(Th(Mod(Σ))) = Mod(Σ).

• Th(Mod(Th(K))) = Th(K).


Dokaz. Slicno kao u slucaju iskazne logike.�

Najvazniji semanticki koncept u predikatskoj logici je, kao i u iskaznojlogici, koncept semanticke posledice.

Definicija 2.11 Neka je L neki jezik prvog reda, X neki skup promenljivih,Σ ⊆ FormL(X) i A ∈ FormL(X). Kazemo da je formula A semantickaposledica skupa formula Σ, u oznaci

Σ |= A

ako za sve modeleM tipa L vazi

akoM |= Σ ondaM |= A.

Primer 2.5

2.5 Valjane formule

Kao sto smo rekli, formula A je valjana, u oznaci |= A, ako vazi u svakommodeluM (odgovarajuceg jezika L), tj. M |= A.

Primer 2.6 Neka su A i B proizvoljne formule predikatske logike. Tada jelako uvideti da su recimo formule

A⇒ (B ⇒ A), (A⇒ B)⇒ (¬B ⇒ ¬A),¬(A ∧B)⇔ (¬A ∨ ¬B)

valjane.

U opstem slucaju, predikatsku formulu koju dobijamo iz neke tautologijezovemo izvod iz tautologije. Preciznije:

Definicija 2.12 Neka su A, B1, B2, . . . , Bn predikatske formule na nekomjeziku L. Za formulu A kazemo da je izvod iz tautologije C(p1, p2, . . . , pn)ako se formula A dobija kao rezultat zamene iskaznih slova pi sa formulomBi (i = 1, 2 . . . , n) u formuli C.

Tada imamo sledecu teoremu:

2.5. Valjane formule 69

Teorema 2.4 Svaka predikatska formula koja je izvod iz tautologije jestevaljana.

Dokaz. Jasno.�

Naravno, nisu sve valjane formule izvodi iz tautologija, kao sto mozemovideti u sledecem primeru:

Primer 2.7 Neka je L neki jezik prvog reda, X neki skup promenljivih,A neka formula na tom jeziku. Dokazimo da je formula (∃y)(∀x)A ⇒(∀x)(∃y)A valjana. Treba dokazati da za sve modeleM jezika L i sve valu-acije τ : X →M vazi

M |=τ (∃y)(∀x)A⇒ (∀x)(∃y)A.

Treba dokazati da ako je M |=τ (∃y)(∀x)A onda M |=τ (∀x)(∃y)A. Podefiniciji vazenja formule, treba dokazati da ako postoji neki element a ∈Mtakav da za sve elemente b ∈M vazi

M |=τ(a/y)(b/x) A,

onda za sve c ∈M postoji element d ∈M takav da

M |=τ(c/x)(d/y) A.

No, lako je videti da za trazeni element d mozemo stalno uzimati element a.

Primetimo da obrat formule iz prethodnog primera, medutim nije valjanaformula!

Primer 2.8 Dokazimo da formula (∀x)(∃y)A ⇒ (∃y)(∀x)A nije valjana.Tacnije, nadimo formulu A tako da navedena formula nije valjana. Nekajezik L od nelogickih simbola ima samo jedan binaran relacijski simbol ρ,neka su x, y neke promenljive i neka je formula A jednaka elementarnojformuli xρy. Interpretirajmo relacijski simbol ρ kao ”obicnu” relaciju ≤ naskupu prirodnih brojeva N i dokazimo da navedena formula ne vazi u modelu⟨N,≤⟩. Zaista, za sve A ∈ N postoji B ∈ N tako da je a ≤ b, medutim nepostoji c ∈ N tako da za sve d ∈ N vazi d ≤ c.

Pre nego sto krenemo sa ispitivanjem razlicitih tipova valjanih formula,primetimo da se ”valjanost” cuva prilikom zakljucivanja pomocu pravilaModus Ponens, kao i prilikom univerzalnog zatvaranja date formule:


Teorema 2.5 Za sve formule A i B predikatske logike vazi:

• Ako |= A i |= A⇒ B, onda |= B.

• Ako |= A onda |= (∀x)A.

Dokaz. Po definiciji relacije |=.�

Sledeca teorema govori o tome kako negacija utice na formule koje pocinjunekim od kvantifikatora i pokazuje da postoji neka vrsta dualnosti medukvantifikatorima ∀ i ∃.

Teorema 2.6 Za proizvoljnu predikatsku formulu A, sledece formule su va-ljane:

1. ¬(∀x)A⇔ (∃x)¬A,

2. ¬(∃x)A⇔ (∀x)¬A.

Dokaz. Neka je L proizvoljan jezika prvog reda, X neki skup promenljivih,M neki model tog jezika, a τ : X →M neka valuacija.

1. Po definiciji vazenja formule, imamo:

M |=τ ¬(∀x)A akko nijeM |=τ (∀x)Aakko nije za sve a ∈M,M |=τ(a/x) A

akko postoji a ∈M tako da nijeM |=τ(a/x) A

akko postoji a ∈M tako da jeM |=τ(a/x) ¬Aakko M |=τ (∃x)¬A.

2. Slicno kao 1.

�U sledecoj teoremi cemo videti da se kvantifikator ∀ ”slaze” sa konjunkci-

jom, a ∃ sa disjunkcijom:

Teorema 2.7 Za proizvoljne predikatske formule A i B vazi

1. |= (∀x)(A ∧B)⇔ (∀x)A ∧ (∀x)B,


2. |= (∃x)(A ∨B)⇔ (∃x)A ∨ (∃x)B.

Dokaz. Neka je L proizvoljan jezika prvog reda, X neki skup promenljivih,M neki model tog jezika, a τ : X →M neka valuacija.

1. Po definiciji vazenja formule, imamo: M |=τ (∀x)(A ∧B)

akko za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) (A ∧B)

akko za sve a ∈M vazi (M |=τ(a/x) A iM |=τ(a/x) B)

akko za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) A i za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) B

akko M |=τ (∀x)A iM |=τ (∀x)Bakko M |=τ (∀x)A ∧ (∀x)B.

2. Slicno.

�Sto se tice veze izmedu kvantifikatora ∀ i veznika ∨ odnosno izmedu ∃ i

∧, imamo da se oni ”slazu samo u jednom smeru”:

Teorema 2.8 Za proizvoljne predikatske formule A i B vazi

1. |= (∀x)A ∨ (∀x)B ⇒ (∀x)(A ∨B),

2. (∃x)(A ∧B)⇒ (∃x)A ∧ (∃x)B.

Dokaz. Neka je L proizvoljan jezika prvog reda, X neki skup promenljivih.

1. Pretpostavimo suprotno, da postoji modelM jezika L i valuacija τ :X →M tako da je

M |=τ (∀x)A ∨ (∀x)B ali da nijeM |= (∀x)(A ∨B).

To znaci da imamo:

za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) A ili za sve a ∈M vaziM |=τ(a/x) B.

S druge strane imamo: M |=τ ¬(∀x)(A ∨B)

akko M |=τ (∃x)(¬A ∧ ¬B)akko postoji c ∈M tako da vaziM |=τ(c/x) ¬A ∧ ¬Bakko postoji c ∈M tako da vaziM |=τ(c/x) ¬A iM |=τ(c/x) ¬B,

sto je kontradikcija.


2. Slicno.

�Vazno je primetiti da za formule iz prethodne teoreme ne vaze obrnuti

smerovi tj. formule

(∀x)(A ∨B)⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B

(∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧B)

nisu valjane!

Primer 2.9 Neka je L jezik prvog reda koji od nelogickih simbola sadrzisamo jedan unaran relacijski simbol ρ i neka je A = ρ(x), B = ¬ρ(x). Jasnoje da ce formula (∀x)(ρ(x) ∨ ¬ρ(x)) vaziti u svakoj interpretaciji. Neka jesadaM model ciji je nosac skup prirodnih brojeva N i u kome interpretacijurelacijskog simbola ρ definisemo tako da za sve n ∈ N,

ρM(n) akko je n paran .

Tada formula (∀x)ρ(x)∨ (∀x)¬ρ(x) nece vaziti u tom modelu. Prema tome,formula (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B nije valjana. Primetimo da se istimodel moze iskoristiti za dokaz da ni formula (∃x)A∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A∧B)nije valjana.

Kao i u iskaznoj logici, korisno je definisati tzv. ekvivalentnost predikatskihformula.

Definicija 2.13 Za predikatske formule A i B kazemo da su ekvivalentneako je formula A⇔ B valjana. U tom slucaju pisemo

A ≡ B.

U sledece dve teoreme cemo pokazati da (pod odredenim uslovima) kvan-tifikatore ”mozemo izvuci ispred formule”.

Teorema 2.9 Neka promenljiva x nije slobodna u formuli B. Tada vazi:

1. (∀x)A ∨B ≡ (∀x)(A ∨B),

2. (∀x)A ∧B ≡ (∀x)(A ∧B),


3. (∃x)A ∨B ≡ (∃x)(A ∨B),

4. (∃x)A ∧B ≡ (∃x)(A ∧B).

Dokaz. Dokazimo samo prvu formulu, tj. da je |= (∀x)A∨B ⇔ (∀x)(A∨B).Neka su A i B formule na jeziku prvog reda L, X skup promenljivih, Mmodel tog jezika, i τ : X → M neka valuacija. Razmotrimo prvo formulu(∀x)A ∨B:

M |=τ (∀x)A ∨B akko M |=τ (∀x)A iliM |=τ Bakko za sve a ∈M,M |=τ(a/x) A iliM |=τ B

S druge strane,M |=τ (∀x)(A ∨B)

akko za sve a ∈M,M |=τ(a/x) A ∨Bakko za sve a ∈M, (M |=τ(a/x) A iliM |=τ(a/x) B)

No, kako vazenje formule zavisi samo od vrednosti slobodnih promenljivih,sledi da je

M |=τ(a/x) B akkoM |=τ B,

iz cega sledi ekvivalencija.�

Teorema 2.10 Neka promenljiva x nije slobodna u formuli A. Tada vazi:

1. (A⇒ (∀x)B) ≡ (∀x)(A⇒ B),

2. (A⇒ (∃x)B) ≡ (∃x)(A⇒ B),

3. ((∀x)A⇒ B) ≡ (∃x)(A⇒ B),

4. ((∃x)A⇒ B) ≡ (∀x)(A⇒ B).

Dokaz.

1. Koriscenjem prethodne teoreme imamo sledece:

(A⇒ (∀x)B) ≡ (¬A ∨ (∀x)B)≡ (∀x)(¬A ∨B)≡ (∀x)(A⇒ B)

2. Slicno kao prethodni slucaj:

(A⇒ (∃x)B) ≡ (¬A ∨ (∃x)B)≡ (∃x)(¬A ∨B)≡ (∃x)(A⇒ B)


3. Kada je kvantifikator u antecedensu, prilikom ”izvlacenja” ispred for-mule, dolazi do promene:

((∀x)A⇒ B) ≡ (¬(∀x)A ∨B)≡ ((∃x)¬A ∨B)≡ (∃x)(¬A ∨B)≡ (∃x)(A⇒ B)

4. Slicno kao prethodna formula:

((∃x)A⇒ B) ≡ (¬(∃x)A ∨B)≡ ((∀x)¬A ∨B)≡ (∀x)(¬A ∨B)≡ (∀x)(A⇒ B)

�

2.6 Preneksna forma i skolemizacija

Dve korisne tehnike koje mozemo koristiti prilikom resavanja razlicitih prob-lema u predikatskoj logici jesu konstrukcija preneksne forme date formule,kao i tzv. skolemizacija. Kratko receno, formula F predikatske logike je upreneksnoj formi ako se svi kvantifikatori nalaze na pocetku formule, dokskolemizacija znaci oslobadanje od egzistencijalnih kvantifikatora, uvodenjemnovih simbola konstanti i funkcijskih simbola. Moze se dokazati da za svakupredikatsku formulu F postoji ekvivalentna formula koja je u preneksnojformi. Za skolemovu formu vazi slabije tvrdenje: za svaku formulu F predi-katskog racuna postoji formula FS koja je u skolemovoj formi, tako daformula F ima model ako i samo ako formula FS ima model. No, kada jezadatak da se utvrdi da li neka formula (ili skup formula) ima model, ondaje i ta slabija vrsta ekvivalencije dovoljna.

Definicija 2.14 Za formulu F predikatske logike kazemo da je u prenek-snoj formi ako je oblika

(Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn)A

gde su x1, x2, . . . , xn neke promenljive, Q1, Q2, . . . , Qn ∈ {∀, ∃}, a A for-mula bez kvantifikatora. Deo (Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn) zovemo prefiksom,a A matricom formule F . Ako je matrica A u konjunktivnoj normalnojformi, onda kazemo da je F u preneksnoj normalnoj formi. Preneksna

2.6. Preneksna forma i skolemizacija 75

(normalna) forma neke formule B je formula BP koja je u preneksnoj(normalnoj) formi i ekvivalentna je sa B. Smatracemo da je formula bezkvantifikatora takode u preneksnoj formi.

Prilikom nalazenja preneksne forme date formule koristicemo, naravno, Teo-reme 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, DeMorganove zakone, a ponekad je ce biti potre-bano izvrsiti preimenovanje promenljivih, da bismo mogli koristiti navedeneteoreme. Naime, neka je A(x) formula koja ima slobodnu promenljivu x ineka se promenljiva y ne javlja u formuli A(x). Tada vazi

(∀x)A(x) ≡ (∀y)A(y)

(∃x)A(x) ≡ (∃y)A(y)

gde smo sa A(y) oznacili formulu koja se dobija simultanom zamenom svihslobodnih pojavljivanja promenljive x u formuli A(x) sa y.

Primer 2.10 Neka jezik prvog reda sadrzi binaran relacijski simbol ρ iunaran relacijski simbol σ. Formula (∀x)(∃z)(∃y)((ρ(x, y)∨¬σ(z))∧ρ(y, z))je u preneksnoj normalnoj formi. Formula

(ρ(x, y)⇒ (∀y)ρ(y, z))

nije u preneksnoj formi, ali je ekvivalentna sa formulom

(ρ(x, y)⇒ (∀t)ρ(t, z))

koja je dalje ekvivalentna sa

(∀t)(ρ(x, y)⇒ ρ(t, z)).

Teorema 2.11 Za svaku predikatsku formulu F postoji ekvivalentna for-mula FP koja je u preneksnoj (normalnoj) formi.

Dokaz. Formalan dokaz je indukcijom po slozenosti formule F . U praksi,algoritam koji se koristi za nalazenje preneksne (normalne) forme date for-mule F ima sledece korake:

• oslobadamo se veznika ⇒ i ⇔ tako sto ih izrazavamo preko veznika∧,∨,¬,


• koristeci Teoremu 2.6, DeMorganove zakone, znak ¬ pomeramo doelementarnih formula (”uvlacimo negaciju unutra”)

• ukoliko postoje, oslobadamo se dvojnih (duplih) negacija

• ukoliko je neophodno, preimenujemo neke vezane promenljive, da bismomogli koristiti Teoreme 2.7, 2.8, 2.9,

• koristeci Teoreme 2.7, 2.8, 2.9 pomeramo kvantifikatore ispred formule- tako dobijamo formulu koja je u preneksnoj formi

• ako je potrebna preneksna normalna forma, onda jos matricni deoovako dobijene formule ”prebacimo” u konjunktivnu normalnu formu.

�

Primer 2.11 Neka su α, β, γ unarni relacijski simboli. Nadimo preneksnunormalnu formu za formulu

(∀x)α(x)⇒ ¬((∀x)β(x) ∨ (∃x)γ(x)).

(∀x)α(x)⇒ ¬((∀x)β(x) ∨ (∃x)γ(x)) ≡¬(∀x)α(x) ∨ ¬((∀x)β(x) ∨ (∃x)γ(x)) ≡(∃x)¬α(x) ∨ (¬(∀x)β(x) ∧ ¬(∃x)γ(x)) ≡(∃x)¬α(x) ∨ ((∃x)¬β(x) ∧ (∀x)¬γ(x)) ≡(∃x)¬α(x) ∨ ((∃x)¬β(x) ∧ (∀y)¬γ(y)) ≡(∃x)¬α(x) ∨ (∃x)(¬β(x) ∧ (∀y)¬γ(y)) ≡(∃x)(¬α(x) ∨ (¬β(x) ∧ (∀y)¬γ(y))) ≡(∃x)(∀y)(¬α(x) ∨ (¬β(x) ∧ ¬γ(y))) ≡(∃x)(∀y)((¬α(x) ∨ ¬β(x)) ∧ (¬α(x) ∧ ¬γ(y))).

Prelazimo sada na tzv, skolemizaciju - oslobadanje od egzistencijalnogkvantifikatora uvodenjem novih simbola konstanti i novih funkcijskih sim-bola. Pre formalne definicije, pogledajmo na jednom primeru glavnu ideju,da bismo dobili neku intuiciju.

Primer 2.12 Data je formula A(x, y, z, u, v, w) bez kvantifikatora, i posma-trajmo formulu

(∃x)(∀y)(∀z)(∃u)(∀v)(∃w)A(x, y, z, u, v, w).

2.6. Preneksna forma i skolemizacija 77

Postupak skolemizacije krece od prvog kvantifikatora (gledajuci sa leva nadesno) date formule, sto je u ovom slucaju (∃x). Brisemo taj kvantifika-tor, i u formuli A svuda umesto promenljive x stavljamo neki novi simbolkonstante, recimo c:

(∀y)(∀z)(∃u)(∀v)(∃w)A(c, y, z, u, v, w).

Sada trazimo sledeci egzistencijalni kvantifikator, sto je u nasem slucaju(∃u). Kako ispred tog kvantifikatora stoje (∀y)(∀z), to znaci da elementu zavisi od vrednosti promenljivih y i z, pa posle brisanja kvantifikatora(∃u) uvodimo novi binaran funkcijski simbol f i svuda u formuli A umestopromenljive u stavljamo f(y, z):

(∀y)(∀z)(∀v)(∃w)A(c, y, z, f(y, z), v, w).

Poslednji egzistencijalni kvantifikator je (∃w), ispred cega stoje univerzalnikvantifikatori (∀y)(∀z)(∀v), pa posle brisanja (∃w), uvodimo novi ternarnifunkcijski simbol g, i svuda umesto promenljive w stavljamo g(y, z, v):

(∀y)(∀z)(∀v)A(c, y, z, f(y, z), v, g(y, z, v)).

Poslednja formula je traena skolemova standardna forma.

Definicija 2.15 Neka je zatvorena formula F u preneksnoj normalnoj formi

(Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn)A.

Neka se uz promenljivu xr (1 ≤ r ≤ n) u prefiksu (Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn)nalazi kvantifikator ∃.

• Ako u prefiksu levo od (∃xr) ne stoji univerzalni kvantifikator, tada umatrici A sva pojavljivanja promenljive xr zamenimo novim simbolomkonstante c, a iz prefiksa izbacimo (∃xr).

• Ako je (∀xs1), (∀xs2), . . . , (∀xsm) spisak svih univerzalnih kvantifika-tora koji se javljaju levo od (∃xr), onda: izaberimo novi funkcijskisimbol f arnosti m i svako pojavljivanje promenljive xr u A zamenimotermom f(xs1 , xs2 , . . . , xsm) i uklonimo (∃xr) iz prefiksa.

Proces nastavljamo dok se ne izbace svi egzistencijalni kvantifikatori iz pre-fiksa. Poslednja formula naziva se skolemovom standardnom formom.Konstante i funkcijske simbole dobijene uklanjanjem kvantifikatora ∃ nazi-vamo skolemovim konstantama i funkcijama.


Teorema 2.12 Neka je FS skolemova standardna forma formule F . TadaF ima model akko formula FS ima model.

Dokaz. Indukcijom po slozenosti formule F .�

Primer 2.13 Neka jezik prvog reda L sadrzi tri unarna relacijska simbolaα, β, γ. Dokazimo da je formula F

((∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y))∧(∀x)(∃y)(β(x)⇒ γ(y)))⇒ (∀x)(∃y)(α(x)⇒ γ(y))

valjana. Pretpostavimo suprotno, da formula ¬F ima model. To znaci daformula

(∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y)) ∧ (∀x)(∃y)(β(x)⇒ γ(y)) ∧ ¬(∀x)(∃y)(α(x)⇒ γ(y))

ima model. Nadimo prvo preneksnu formu, a zatim skolemovu formu te for-mule. Prvo cemo ”uvuci negaciju” do elementarne formule a zatim preimen-ovati vezane promenljive tako, da mozemo bez problema da ”izvucemo” kvan-tifikatore ispred formule. Imamo redom sledece ekvivalentne formule (nekekorake smo spojili u jedan):

(∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y)) ∧ (∀z)(∃t)(β(z)⇒ γ(t)) ∧ (∃u)(∀v)(α(u) ∧ ¬γ(v))

(∃u)((∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y)) ∧ (∀z)(∃t)(β(z)⇒ γ(t)) ∧ (∀v)(α(u) ∧ ¬γ(v)))

(∃u)(∀x)(∃y)((α(x)⇒ β(y)) ∧ (∀z)(∃t)(β(z)⇒ γ(t)) ∧ (∀v)(α(u) ∧ ¬γ(v)))

(∃u)(∀x)(∃y)(∀z)(∃t)((α(x)⇒ β(y)) ∧ (β(z)⇒ γ(t)) ∧ (∀v)(α(u) ∧ ¬γ(v)))

(∃u)(∀x)(∃y)(∀z)(∃t)(∀v)((α(x)⇒ β(y)) ∧ (β(z)⇒ γ(t)) ∧ (α(u) ∧ ¬γ(v)))

Sada mozemo da predemo na skolemizaciju. Prvo brisemo kvantifikator(∃u) i zamenjujemo promenljivu u novim simbolom konstante c:

(∀x)(∃y)(∀z)(∃t)(∀v)((α(x)⇒ β(y)) ∧ (β(z)⇒ γ(t)) ∧ α(c) ∧ ¬γ(v))

Sada brisemo kvantifikator (∃y), uvodimo novi unaran funkcijski simbol f istavljamo f(x) umesto promenljive y:

(∀x)(∀z)(∃t)(∀v)((α(x)⇒ β(f(x))) ∧ (β(z)⇒ γ(t)) ∧ α(c) ∧ ¬γ(v))

2.7. Rezolucija u predikatskoj logici -Uvod 79

Na kraju uvodimo novi binaran funkcijski simbol g, brisemo kvantifikator(∃t) i zamenjujemo g(x, z) umesto promenljive t:

(∀x)(∀z)(∀v)((α(x)⇒ β(f(x))) ∧ (β(z)⇒ γ(g(x, z))) ∧ α(c) ∧ ¬γ(v))

Pretpostavimo da ova poslednja formula ima model M. Tada bismo dobilida specijalno za x = c, z = f(c), v = g(c, f(c)) u modeluM vaze formule

α(c)⇒ β(f(c), β(f(c))⇒ γ(g(c, f(c))), α(c),¬γ(g(c, f(c)))

sto je nemoguce.

2.7 Rezolucija u predikatskoj logici -Uvod

Kao sto smo rekli u Sekciji 13 (Rezolucija u iskaznoj logici), metod rezolu-cije je postupak za dokazivanje da je neka (iskazna ili predikatska) formula(ne)zadovoljiva, a koji se lako moze implementirati na racunaru. Preciznije,u slucaju predikatske logike, metod rezolucije ima za cilj da dokaze da nekiskup formula, koje su u pogodnom obliku, nema model (tj. nezadovoljivaje). Specijalno, ako zelimo da ispitamo da li je neka (zatvorena) predikatskaformula F valjana, onda ekvivalentno, mozemo dokazati da je njena negacijanezadovoljiva. Takode, metod rezolucije mozemo koristiti za dokazivanje daje neka formula B semanticka posledica nekog skupa formula A1, A2, . . . , An,jer je to ekvivalentno sa uslovom da skup formula A1, A2, . . . , An,¬B nemamodel.

Glavna ideja metoda rezolucije u slucaju predikatske logike je analognaonoj koju smo izneli u slucaju iskazne logike. Formula F za koju zelimoda dokazemo da nema model prvo mora biti u tzv. klauzalnoj formi, kojase zatim ”razbija” na konacan skup klauzula. Svaka klauzula je (implic-itno) univerzalno kvantifikovana disjunkcija literala. Pravilo rezolucije seprimenjuje na klauzule C1 i C2 koje u sebi sadrze suprotne literale, tako stodobijamo novu klauzulu, koja nastaje brisanjem suprotnih literala a zatim”spajanjem” preostalih literala iz C1 i C2. Pravilo rezolucije cuva zado-voljivost, pa ako posle uzastopne primene pravila rezolucije dobijemo praznuklauzulu [], koja je nezadovoljiva, zakljucujemo da je i polazni skup klauzulabio nezadovoljiv, sto znaci da je i formula F nezadovoljiva. Metod rezolu-cije za predikatski racun je pouzdan, tj. ako se tim metodom dobije praznaklauzula, onda je pocetna formula zaista nezadovoljiva. Takode, taj metodje i kompletan, sto znaci da ako je pocetna formula nezadovoljiva, metod


rezolucije ce u konacno mnogo koraka izvesti praznu klauzulu. Medutim,metod rezolucije ipak nije algoritam odlucivanja da li je neka predikatskaformula zadovoljiva ili nije (jer takav metod (dokazano) ne postoji!): moze dase desi da je formula zadovoljiva, a da se metod rezolucije ne zaustavlja (nedobija se prazna klauzula, a metod rezolucije daje sve nove i nove klauzule).

Razlika izmedu rezolucije u iskaznoj i predikatskoj logici je u tome, stoklauzule u predikatskoj logici nisu ”fiksirane”, nego se na njih mogu pri-meniti razne supstitucije. Da bismo dobili suprotne literale u klauzulama,”dozvoljeno” je primenjivati razne supstitucije slobodnih promenljivih, svedok ne dobijemo suprotne literale (taj postupak se zove unifikacija). Takode,u slucaju predikatske logike, ”predpripreme” koje moramo odraditi da bismometod rezolucije mogli primeniti na neku formulu su malo duze: konstrukcijapogodne, tzv. klauzalne forme podrazumeva da sve kvantifikatore ”izvucemoispred formule” (tj. dobijemo preneksnu formu formule), da se osobodimoegzistencijalnih kvantifikatora (tj. uradimo skolemizaciju) i da deo formulekoji je bez kvantifikatora (tzv. matrica) bude u obliku konjunktivne nor-malne forme (tj. da je konjunkcija nekih disjunkcija literala).

U praksi ponekad ”imamo srece”, pa je deo priprema vec uraden. Rec-imo, pocetna formula je vec u obliku konjunkcije, u svakom elementu kon-junkcije kvantifikatori su ”izvuceni ispred” formule, skolemizacija se uradi zasvaki konjunkt pojedinacno, pa do klauzalne forme dolazimo kracim putem(videti Primere 1-5). Naglasimo takode da je metod rezolucije prilagodenracunarima, koji nema intuiciju, pa samim tim neke tehnicke stvari koje suzgodne za racunare nisu zgodne za ljude i obrnuto. Na primer, da bismolakse pratili dokaze, mi cemo klauzule i dalje pisati u obliku disjunkcije liter-ala (umesto da ih predstavimo kao skupove literala), ispisacemo eksplicitnouniverzalne kvantifikatore ispred klauzula (umesto da ih podrazumevamo),pogodnu supstituciju necemo uvek traziti ”sistematicno”, ponekad se prostopogodna supstitucija ”vidi iz aviona” (sto se racunaru najverovatnije nikadanece desiti), i tako dalje.

2.8 Klauzalna forma i Erbranova teorema

Neka je L neki jezik prvog reda, koji sadrzi simbole konstanti, relacijske ifunkcijske simbole raznih arnosti, i X neki skup promenljivih. Zbog laksegsnalazenja, po pravilu, za simbole konstanti cemo korisiti simbole a, b, c, ...,za relacijske simbole α, β, γ, ..., za funkcijske simbole f, g, h, ..., a za promenljivesimbole x, y, z, u, v, .... Za term kazemo da je bazni ako nema promenljivih.

2.8. Klauzalna forma i Erbranova teorema 81

Bazna formula je formula koja nema promenljivih. Literal u predikatskojlogici je atomicna formula ili negacija atomicne formula. Klauzula je dis-junkcija literala. Naravno, bazna klauzula je klauzula koja nema promenljivih.Klauzula C ′ je bazna instanca klauzule C ako se moze dobiti iz C supstitu-cijom nekih baznih termova umesto promenljivih.

Definicija 2.16 Zatvorena formula je u klauzalnoj formi ako je u prenek-snoj normalnoj formi tako da prefiks sadrzi samo univerzalne kvantifikatore.

Podsetimo se da je neka formula u preneksnoj formi ako su svi kvan-tifikatori ispred matrice (dela formule bez kvantifikatora), a da je fromulau preneksnoj normalnoj formi ukoliko je matrica u konjunktivnoj normal-noj formi. U sekciji 6. smo videli da se za svaku zatvorenu formulu Fkoja je u preneksnoj normalnoj formi moze naci njena skolemova normalnaforma koja nema egzistencijalnih kvantifikatora, koja nije ekvivalentna sapocetnom formulom (jer je na drugom jeziku), ali koja ima model ako i samoako formula F ima model. Prema tome, zakljucujemo sledece:

Teorema 2.13 Za svaku zatvorenu formulu F postoji formula F ′ koja je uklauzalnoj formi tako da formula F ima model ako i samo ako formula F ′

ima model.

Metod rezolucije krece od formula koje su u klauzalnoj formi. Prema defini-ciji, ako je formula u klauzalnoj formi, onda je oblika

(∀x1)(∀x2) . . . (∀xn)(C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Ck),

gde su Ci neke klauzule. S obzirom da se univerzalni kvantifikator ”slaze”sa konjunkcijom, ta formula je ekvivalentna sa formulom u kojoj bi svakaklauzula bila pod uticajem svih kvantifikatora (∀x1)(∀x2) . . . (∀xn). Ponekadse univerzalni kvantifikatori ispred klauzula ne pisu eksplicitno, nego se po-drazumevaju. Pored toga, klauzule se pisu kao skupovi odgovarajucih liter-ala, a sama formula se zapisuje kao skup odgovarajucih klauzula. (Mi cemo,ravnopravno, koristiti i eksplicitan zapis klauzula, kao disjunkcije literala,najcesce ispisujuci i univerzalne kvantifikatore.)

Glavna ideja koja se krije iza metode rezolucije jeste svodenje pitanjazadovoljivosti skupa klauzula na ispitivanje jednog specificnog tipa mod-ela tzv. Erbanovih modela (engl. Herbrand models). Naime, za razliku odiskazne logike, u slucaju predikatske logike ne postoji algoritam za odlucivanje


da li je data formula zadovoljiva ili nije. Medutim, primenom Erbranoveteoreme, umesto da ispitujemo klasu svih mogucih modela datog jezika, do-voljno je utvrditi da li posmatrana formula ima model jednog specificnogtipa. Erbranova teorema, dokazana tridesetih godina XX veka postala jetemelj vise sistema za automatsko dokazivanje teorema, pa i metode rezolu-cije.

Definicija 2.17 Neka je S neki skup klauzula. Erbranov univerzum odS, u oznaci H(S), je skup svih baznih termova formiranih nad jezikomskupa klauzula S. Specijalno, ako ne postoje simboli konstanti u S, Erbranovuniverzum konstruisemo nad jednim dodatim simbolom konstante (najcesceozna-cenim sa a).

Primer 2.14 Ako je skup klauzula S = {α(x, f(x, a))∨¬β(a, y),¬α(f(x, x), z)},onda je Erbranov univerzum

H(S) = {a, f(a, a), f(a, f(a, a)), f(f(a, f(a, a)), f(a, a)), . . . }.

Naravno, Erbranov univerzum je ili konacan (kada nemamo funkcijske sim-bole) ili prebrojivo beskonacan.

Definicija 2.18 Neka je S skup klauzula, H(S) njegov Erbranov univerzum.Erbranova baza za S, u oznaci B(S), je skup svih bazih atomarnih formulakoji se mogu formirati od relacijskih simbola iz S i termova iz H(S).

Primer 2.15 Za skup klauzula S = {α(x, f(x, a))∨¬β(a, y),¬α(f(x, x), z)}Erbranova baza sadrzi recimo sledece atomarne formule:

α(a, a), α(f(a, a), a), β(a, f(a, f(a, a))), . . .

Neka je S neki skup klauzula, koji odreduje neki jezik prvog reda L.Erbranova interpretacija od S je svaki model tipa L, koji za nosac ima Er-branovu bazu H(S), pri cemu se svaki bazni term interpretira kao on sam,dok je interpretacija relacijskih simbola proizvoljna. Prema tome, svakopreslikavanje Erbranove baze B(S) u skup {⊤,⊥} odreduje jednu Erbra-novu interpretaciju. Erbranovu interpretaciju mozemo zadati i kao podskupErbranove baze, tj. kao skup onih atomarnih formula iz B(S) koje su tacne utoj interpretaciji. Ukoliko je Erbranova interpretacija H model za S (tj. sveklauzule iz S su tacne u toj interpretaciji), kazemo da je H Erbranov model

2.8. Klauzalna forma i Erbranova teorema 83

za S. Primetimo da za odredivanje da li je data Erbranova interpretacijaErbranov model za skup klauzula S, dovoljno je zadati interpretaciju (is-tinitosnu vrednost) onih atomarnih formula iz B(S) koje ucestvuju u S.

Primer 2.16 Jedan Erbranov model za skup klauzula

S = {α(x, f(a, a)), β(b, f(x, x)) ∨ ¬α(a, a)}

je zadat kao model sa nosacem H(S) u kome su tacne na primer sledeceatomarne formule:

α(a, f(a, a)), α(b, f(a, a)), α(f(a, a), f(a, a)), α(f(a, b), f(a, a)), . . . ,

..., β(b, f(a, a)), β(b, f(b, b)), . . .

Prva vazna teorema jeste:

Teorema 2.14 Neka je S skup klauzula. Tada S ima model ako i samo akoima Erbranov model.

Dokaz. Neka je M proizvoljan model za skup klauzula S. Erbranovuinterpretaciju HM definisemo na prirodan nacin: ukoliko je ρ neki relacijskisimbol arnosti n koji ucestvuje u S, t1, t2, . . . tn ∈ B(S) proizvoljni elementiErbranovog univerzuma, onda cemo staviti da u Erbranovoj interpretacijiHM vazi ρ(t1, t2, . . . , tn) akko je interpretacija te atomarne formule u modeluM tj. ρM(t1

M, t2M, . . . , tn

M), tacna u modeluM.

Dokazimo da je HM model od S. Kako je S univerzalno zatvorenjekonjunkcije nekih klauzula, koje su disjunkcije nekih literala, dovoljno jedokazati da za svaku valuaciju promenljivih u Erbranovom univerzumu, usvakoj klauzuli postoji bar jedan literal koji je tacan. Kako jeM model zaS, to znaci da za svaku valuaciju promenljivih, sve klauzule Ci iz S su tacne.Prema tome, za svaku klauzulu Ci postoji bar jedan literal Dij koji je tacan.No, po definiciji, tada ce isti taj Dij biti tacan u Erbranovoj interpretacijiHM, pa ce u tom modelu biti tacna klauzula Ci. Prema tome, HM je modelod S.

Obrnut smer je trivijalan.�

Prema tome, ispitivanje zadovoljivosti nekog skupa klauzula S smo svelina ispitivanje da li S ima Erbranov model. No, ako je Erbranov univerzum


beskonacan, ispitivanje da li postoji Erbranov model za S je i dalje zadatakkoji zahteva ispitivanje beskonacno mnogo razlicitih interpretacija baznihatomarnih formula iz Erbranove baze. Teorema kompaktnosti za iskaznulogiku, medutim omogucava da dokazemo sledecu teoremu:

Teorema 2.15 (Erbranova teorema) Skup klauzula S je nezadovoljiv akoi samo ako postoji konacan skup baznih instanci klauzula iz S koji je nezado-voljiv.

Dokaz. Jedan smer je trivijalan: ako postoji konacan skup baznih instanciklauzula iz S koji je nezadovoljiv, onda je i skup S nezadovoljiv. Obrnuto,ako je S nezadovoljiv, dokazimo da postoji konacan skup baznih instanciklauzula iz S koji je nezadovoljiv. Svakoj atomarnoj formuli koja je baznainstanca klauzula iz S dodelimo neko iskazno slovo. Neka je Σ tako dobijenskup iskaznih formula. Zbog teoreme o kompaktnosti iskazne logike znamoda Σ ima model akko svaki konacan podskup ima model. Znamo da je Snezadovoljiv, sto znaci da nema svoj Erbranov model, iz cega sledi da Σnema model. Prema tome, postoji neki konacan podskup od Σ koji nemamodel (tj. valuaciju takvu da su sve formule iz Σ tacne), pa odgovarajuciskup baznih instanci klauzula isto ne moze imati model (u predikatskojlogici).�

2.9 Rezolucija u predikatskoj logici

Na osnovu Teoreme Erbrana, pitanja zadovoljivosti nekog skup klauzula smosveli na pitanje zadovoljivosti skupa svih baznih instanci klauzula iz S (uoznaci S∗). Ako je skup S∗ nezadovoljiv, on je nezadovoljiv kao skup iskaznihformula, pa se za ispitivanje nezadovoljivosti moze koristiti, recimo, metodrezolucije za iskaznu logiku. Odgovarajuce pravilo se zove bazna rezolucija:

Neka su C1 i C2 bazne klauzule koje sadrze dva suprotna literala, l ∈ C1

i ¬l ∈ C2. Kazemo da se klauzule sudaraju na komplementarnim literalimal i ¬l. Rezolventa od C1 i C2 je klauzula

Res(C1, C2) = (C1 \ {l}) ∪ (C2 \ {¬l}).

Prema tome, bazna rezolucija je samo specijalno primenjeno pravilo rezolu-cije iz iskazne logike, pa prema tome, vazi sve sto znamo o njoj: ako se

2.9. Rezolucija u predikatskoj logici 85

posle uzastopne primene bazne rezolucije na skup baznih instanci skupa Sdobije prazna klauzula, onda je skup S∗ nezadovoljiv (pa je nezadovoljiv iskup klauzula S). I obrnuto, ako je skup S∗ nezadovoljiv, onda se poslekonacno mnogo primena bazne rezolucije na taj skup moze dobiti praznaklauzula. Naravno, ukoliko je skup S∗ zadovoljiv, moze da se desi da seprocedura primene pravila bazne rezolucije nastavi beskonacno, ne dajucinikakav odgovor.

No, ovako primenjeno pravilo bazne rezolucije na skup baznih instanciklauzula iz skupa S moze biti izuzetno neefikasno. Opsti metod rezolucijekoji je predlozio John Alan Robinson 1965. godine ispravlja ovu neefikas-nost, tako sto radi direktno sa klauzulama (koje ne moraju biti bazne).Integralni deo tog pravila je tzv. unifikacija, tj. nalazenje supstitucije kojacini da dva terma ili dve formule postanu iste.

Podsetimo se da je supstitucija u predikatskoj logici svako preslikavanjekoje promenljivama dodeljuje neke termove. Postoje razliciti nacini za zapi-sivanje neke supstitucije: vazno je da se navedu sve one promenljive i njihoveslike, koje se ne preslikavaju identicno. Tako, na primer, supstituciju σ kojasve promenljive preslikava identicno, sem promenljiva x, y, z, za koje vazi

σ(x) = t1, σ(y) = t2, σ(z) = t2

mozemo zadati zapisom

σ = {x← t1, y ← t2, z ← t3},

(ili sa strelicama → umesto ←), ili

σ = {t1/x, t2/y, t3/z}.

Ako je σ neka supstitucija, a E neki izraz (term, literal ili klauzula ili skupklauzula), onda rezultat Eσ primene supstitucije na E jeste izraz koji nastajesimultanom zamenom svih promenljivih x iz tog izraza svojim slikama σ(x).Kazemo i da je Eσ jedna instanca od E. Ako su σ i θ dve supstitucije, ondase rezultat primene njihove kompozicije σθ na izraz E definise kao izraz(Eσ)θ (tj. primena kompozicije dve supstitucije jeste njihova uzastopnaprimena).

Za dva izraza e1 i e2 kazemo da su unifikabilni ako postoji supstitucijaσ takva da je e1σ = e2σ. U tom slucaju kazemo da je σ njihov unifikator.Naravno, dva izraza ne moraju biti unifikabilni. S druge strane, za nekeizraze moze postojati i vise unifikatora.


Primer 2.17 ...

Za izraz e kazemo da je prost ako je term ili atomarna formula.

Definicija 2.19 Neka je X konacan skup prostih izraza. Supstituciju θzovemo unifikatorom skupa X ako je Xθ jednoclan skup. Ako skup X imaunifikator, kazemo da je unifikabilan. Unifikator θ je najopstiji unifikator(engl. most general unifier, MGU) skupa X ako za svaki unifikator σ skupaX postoji supstitucija µ takva da je σ = θµ.

Postoje razni algoritmi za unifikaciju, neki su efikasni a neki su manjeefikasni. Mnogi od njih su zasnovani na koriscenju pogodnih struktura po-dataka. Na primer, dva takva algoritma za nalazenje najopstijeg unifikatoradata su u knjizi [Ben Ari].

Sada smo spremni da formulisemo Opste pravilo rezolucije za predikatskulogiku. Ovo pravilo podrazumeva da klauzule na koje ga primenjujemonemaju zajednicke promenljive. S obzirom da su klauzule implicitno uni-verzalno kvantifikovane, taj tehnicki zahtev se moze lako ispuniti, jednos-tavnim preimenovanjem promenljivih, ne menjajuci pri tome zadovoljivostklauzula. Ako je l neki literal, sa lc oznacavamo njegov suprotni literal, aukoliko je L = {l1, l2, . . . , ln} neki skup literala, onda je Lc = {l1c, l2c, . . . , lnc}.

Definicija 2.20 (Opste pravilo rezolucije) Neka su C1 i C2 dve klauzulekoje nemaju zajednicke promenljive. Neka su

L1 = {l11, l12, . . . , l1n} ⊆ C1,

L1 = {l21, l22, . . . , l2m} ⊆ C2

skupovi literala tako da je skup L1 ∪ L2c unifikabilan, i neka je σ njegov

najopstiji unifikator. Kazemo da se C1 i C2 sudaraju na skupovima literalaL1 i L2. Rezolventa klauzula C1 i C2 je klauzula

Res(C1, C2) = (C1σ \ L1σ) ∪ (C2σ \ L2σ).

Primer 2.18 Neka je

C1 = {α(f(x), g(y)) ∨ β(x, y)}

C2 = {¬α(f(f(a)), g(z)) ∨ β(f(a), g(z))}.

2.9. Rezolucija u predikatskoj logici 87

Jedan najopstiji unifikator za skupove literala

L1 = {α(f(x), g(y))} i L2c = {α(f(f(a)), g(z))}

je σ = {f(a)/x, z/y}. Rezolventa je tada klauzula β(f(a), z)∨β(f(a), g(z)).

Kao u slucaju iskazne logike, metod rezolucije za predikatsku logiku sedefinise na sledeci nacin:

• Polazimo od konacnog skupa klauzula S. Konstruisemo niz skupovaklauzula na sledeci nacin: S0 = S, a Sn+1 se dobija iz Sn dodavanjemrezolvente nekih od klauzula iz Sn.

• Ako u jednom od koraka skup Sn sadrzi praznu klauzulu, procedurase zaustavlja, i vraca odgovor ”skup S nije zadovoljiv”.

• Ako se za neki n skupovi Sn i Sn+1 poklapaju, tj. ne postoje klauzuleu skupu Sn na koje bi se moglo primeniti pravilo rezolucije, tada seprocedura zaustavlja i vraca odgovor ”skup S je zadovoljiv”.

Kao sto smo ranije napomenuli, moze da se desi da se ovako opisana pro-cedura ne zaustavlja (taj slucaj ce se desiti svaki put kada skup klauzulaS ima samo beskonacne modele - videti Primer...), pa ova procedura nijealgoritam za odlucivanje zadovoljivosti konacnih skupova klauzula).

Dve najvaznije osobine metoda rezolucije za predikatsku logiku su pouz-danost (saglasnost) i kompletnost (za pobijanje zadovoljivosti).

Teorema 2.16 (Pouzdanost Metoda rezolucije) Ako se metodom re-zolucije iz konacnog skupa klauzula S izvede prazna klauzula, skup S nijezadovoljiv

Dokaz. Treba dokazati da pravilo rezolucije cuva zadovoljivost: ako suklauzule C1 i C2 bile (zajedno) zadovoljive, onda je zadovoljiva i njihovarezolventa. Prema tome, ako se dobije prazna klauzula, koja nije zadovoljiva,onda nije bio zadovoljiv ni pocetni skup klauzula. ...�

Teorema 2.17 (Kompletnost Metoda rezolucije) Ako je konacan skupklauzula S nezadovoljiv, onda se metodom rezolucije moze dobiti praznaklauzula.


Dokaz. Dokaz se oslanja na kompletnost metoda rezolucije za iskaznulogiku, i na tzv. Lifting lemu, koja kaze da se za svaku primenu baznerezolucije mogu pronaci klauzule, na koje se primenjuje opste pravilo re-zolucije... Preciznije: Neka su C1 i C2 dve klauzule sa baznim instancamaC ′1 i C ′

2 redom. Ako je C ′3 rezolventa klauzula C ′

1 i C ′2, onda postoji rezol-

venta klauzula C1 i C2 takva da je C ′3 bazna instanca klauzule C3.

�Primetimo da u opisu metoda rezolucije nije receno kao birati klauzule na

koje cemo primeniti pravilo rezolucije. Nacin na koji se biraju klauzule zarezolviranje je veoma bitno za efikasnost metoda rezolucije. Danas postojerazni metodi za optimizaciju rada metoda rezolucije (na primer, linearnarezolucija, prednost jedinicnim klauzulama, skup potpore, dodavanje pravilaparamodulacije ili grupisanje,...)

2.10 Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri

Primer 2.19 Neka su α i β unarni relacijski simboli. Metodom rezolucijedokazimo da je sledeca formula valjana:

(∀x)(α(x)⇒ β(x)) ∧ (∃x)α(x))⇒ (∃x)β(x).

Treba dokazati da formula

(∀x)(α(x)⇒ β(x)) ∧ (∃x)α(x)) ∧ ¬(∃x)β(x)

nema model. Ekvivalentno, treba dokazati da sledeci skup formula nemamodel:

• (∀x)(¬α(x) ∨ β(x)),

• (∀x)¬β(x),

• (∃x)α(x)).

Skolemove forme tih formula su

• (∀x)(¬α(x) ∨ β(x)),

• (∀x)¬β(x),

• α(a),

2.10. Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri 89

pa imamo sledece izvodenje:

1. (∀x)(¬α(x) ∨ β(x)) hipoteza2. (∀x)¬β(x) . . . . . . . . hipoteza3. α(a) . . . . . . . . . . . . . . hipoteza4. (¬α(a) ∨ β(a)) . . . . supst. a/x na 1.5. ¬β(a) . . . . . . . . . . . . supst. a/x na 2.6. ¬α(a) . . . . . . . . . . . . Res(4.5.)7. [] . . . . . . . . . . . . . . . . . Res(3.6)

Primer 2.20 Neka su C,W,R,Q unarni predikatski simboli. Dokazimo val-janost sledece formule metodom rezolucije:

(∀x)(C(x)⇒W (x) ∧R(x)) ∧ (∃x)(C(x) ∧Q(x))⇒ (∃x)(Q(x) ∧R(x)).

Treba dokazati da formula

(∀x)(C(x)⇒W (x) ∧R(x)) ∧ (∃x)(C(x) ∧Q(x)) ∧ ¬(∃x)(Q(x) ∧R(x))

nema model, a to je ekvivalentno sa dokazom da sledeci skup formula nemamodel:

• (∀x)(C(x)⇒W (x) ∧R(x)),

• (∃x)(C(x) ∧Q(x)),

• (∀x)(¬Q(x) ∨ ¬R(x)).

Posle skolemizacije dobijamo sledece formule:

• (∀x)(¬C(x) ∨W (x)),

• (∀x)(¬C(x) ∨R(x)),

• C(a),

• Q(a),

• (∀x)(¬Q(x) ∨ ¬R(x)).

sada imamo sledece izvodenje:


1. (∀x)(¬C(x) ∨W (x)) hipoteza2. (∀x)(¬C(x) ∨R(x)) . hipoteza3. C(a) . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza4. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza5. (∀x)(¬Q(x) ∨ ¬R(x)) hipoteza6. ¬C(a) ∨W (a) . . . . . . supst. a/x na 1.7. W (a) . . . . . . . . . . . . . . . Res(3.6.)8. ¬C(a) ∨R(a) . . . . . . . supst. a/x na 2.9. R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . Res(3.8)10. ¬Q(a) ∨ ¬R(a) . . . . . . supst. a/x na 5.11. ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . . Res(4.10.)12. [] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Res(9.11.)

Primer 2.21 Neka je A binaran relacijski simbol. Metodom rezolucije dokazimovaljanost formule

(∀x)(∀y)A(x, y)⇒ (∃x)(∀y)A(x, y).

Treba dokazati da formula (∀x)(∀y)A(x, y)∧¬(∃x)(∀y)A(x, y) nema model,tj. da skup formula

• (∀x)(∀y)A(x, y),

• (∀x)(∃y)¬A(x, y)

nema model. Posle skolemizacije dobijamo formule (∀x)(∀y)A(x, y) i (∀x)¬A(x, f(x)),gde je f novi unaran funkcijski simbol. Sada imamo sledece izvodenje:

1. (∀x)(∀y)A(x, y) hipoteza2. (∀x)¬A(x, f(x)) hipoteza3. ¬A(a, f(a)) . . . . supst. a/x na 2.4. (∀y)A(a, y) . . . . . supst. a/x na 1.5. A(a, f(a)) . . . . . supst. f(a)/x na 4.6. [] . . . . . . . . . . . . . . Res(3.5.)

Primer 2.22 Neka su α, β, γ unarni relacijski simboli. Metodom rezolucijedokazimo da je sledeca formula valjana:

(∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y)) ∧ (∀x)(∃y)(β(x)⇒ γ(y))⇒ (∀x)(∃y)(α(x)⇒ γ(y)).

Treba dokazati da sledeci skup formula nema model:

2.10. Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri 91

• (∀x)(∃y)(α(x)⇒ β(y)),

• (∀x)(∃y)(β(x)⇒ γ(y)),

• ¬(∀x)(∃y)(α(x)⇒ γ(y)).

Posle skolemizacije dobijamo

• (∀x)(¬α(x) ∨ β(f(x))),

• (∀x)(¬β(x) ∨ γ(g(x))),

• α(a),

• (∀y)¬γ(y).

Sada imamo sledece izvodenje:

1. (∀x)(¬α(x) ∨ β(f(x))) hipoteza2. (∀x)(¬β(x) ∨ γ(g(x))) hipoteza3. α(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . hipoteza4. (∀y)¬γ(y) . . . . . . . . . . . hipoteza5. ¬α(a) ∨ β(f(a)) . . . . . . supst. a/x na 1.6. β(f(a)) . . . . . . . . . . . . . . Res(3.5.)7. ¬β(f(a)) ∨ γ(g(f(a))) supst. f(a)/x na 2.8. γ(g(f(a))) . . . . . . . . . . . Res(6.7.)9. ¬γ(g(f(a))) . . . . . . . . . . supst. g(f(a))/y na 4.10. [] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Res(8.9)

Primer 2.23 Neka su A,B,C unarni predikatski simboli. Metodom rezolu-cije dokazimo da je sledeca formula valjana:

((∀x)(A(x)⇒ B(x)) ∧ (∀x)(∃y)(A(x) ∨ C(y)) ∧ (∃x)¬B(x))⇒ (∃x)C(x).

Treba dokazati da sledeci skup formula nema model:

• (∀x)(A(x)⇒ B(x)),

• (∀x)(∃y)(A(x) ∨ C(y)),

• (∃x)¬B(x)),

• ¬(∃x)C(x).


Kad odradimo skolemizaciju, lako mozemo ispisati sledece izvodenje:

1. (∀x)(¬A(x) ∨B(x)) . hipoteza2. (∀x)(A(x) ∨ C(f(x))) hipoteza3. ¬B(a)) . . . . . . . . . . . . . hipoteza4. (∀x)¬C(x) . . . . . . . . . . . hipoteza5. ¬A(a) ∨B(a) . . . . . . . supst. a/x na 1.6. ¬A(a) . . . . . . . . . . . . . . Res(3.5.)7. A(a) ∨ C(f(a)) . . . . . . supst. a/x na 2.8. C(f(a)) . . . . . . . . . . . . . Res(6.7.)9. ¬C(f(a)) . . . . . . . . . . . supst. f(a)/x na 4.10. [] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Res(8.9.)

2.11 Predikatski racun kao deduktivni sistem

Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski racun KLtipa L, prvo cemo se dogovoriti sta ce biti azbuka nad kojom radimo. Znamoda se svaka azbuka predikatske logike sastoji od dve vrste simbola: logickihsimbola (promenljive, simboli logickih veznika i pomocni simboli) i nelogickihsimbola (simboli konstanti, relacijski simboli i funkcijski simboli). Kao stosmo napomenuli ranije, ako unapred fiksiramo skup logickih simbola, ondaje jezik predikatske logike odreden kada se definise skup promenljivih Xi skup nelogickih simbola L, zajedno sa funkcijom arnosti ar. Naravno,postoje razliciti deduktivni sistemi koji opisuju predikatsku logiku, i onise, izmedu ostalog, mogu razlikovati u odabranom skupu logickih simbola.Mi cemo ovde prikazati tzv. Hilbertov deduktivni sistem za predikatskulogiku. U tom pristupu, od logickih veznika zadrzavamo samo ⇒ i ¬, a odkvantifikatora samo ∀, dok ostale logicke veznike i kvatifikator ∃ uvodimokasnije (kao skracene zapise nekih formula, tj. kao ”zamene za”).

Definicija 2.21 Neka je L = C ∪R∪F neki jezik prvog reda, X neki skuppromenljivih. Predikatski racun tipa L je deduktivni sistem

KL = ⟨L′ , FormL(X), Ax,R⟩

gde je

• L′ = L ∪X ∪ {⇒,¬, ∀, (, )},

• FormL(X) je skup predikatskih formula definisan nad skupom logicihsimbola {⇒,¬, ∀, (, )} ∪X,

2.11. Predikatski racun kao deduktivni sistem 93

• Ax = Ax1 ∪ Ax2 ∪ Ax3 ∪ Ax4, Ax5, gde su Ax1, Ax2, Ax3, Ax4, Ax5skupovi formula definisani pomocu tzv. sema aksioma (dakle, A,B,C ∈FormL(X)):Ax1 : A⇒ (B ⇒ A)Ax2 : (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Ax3 : (¬A⇒ ¬B)⇒ (B ⇒ A)Ax4 : (∀x)(A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ (∀x)B), ako promenljiva x ∈ X nijeslobodna u formuli A,Ax5 : (∀x)A(x) ⇒ A(t), ako je term t slobodan za promenljivu x uformuli A(x).

• R = {MP,Gen}, ( modus ponens odnosno generalizacija),

MP :A,A⇒ B

B, Gen :

A

(∀x)A

�Jedini pojam koji zahteva objasnjenje iz ove definicije je pojam term t

slobodan za promenljivu x u formuli A(x), koji se pojavljuje u aksiomi Ax5.

Oznake:

• U daljem cemo smatrati da smo fiksirali neki jezik prvog reda L i skuppromenljivih X i da su svi sintakticki objekti, sa kojima radimo, natom jeziku.

• Neka je x neka promenljiva a t neki term. Ako je A neka formula, ondace A = A(x) znaciti da formula A sadrzi x kao slobodnu promenljivu(pored x, formula A(x) moze imati i druge slobodne promenljive).Sa A(t) cemo obelezavati formulu koja nastaje od A(x) kada se svaslobodna pojavljivanja promenljive x u formuli A(x) simultano zamenetermom t.

• Uvodimo sledece skracene oznake:

(∃x)A je zamena za ¬(∀x)¬AA ∨B je zamena za ¬A⇒ BA ∧B je zamena za ¬(A⇒ ¬B)A⇔ B je zamena za (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

Primer 2.24 Neka je ≤ neki binarni relacijski simbol, + binaran funkcijskisimbol a 0 simbol konstante u jeziku L i neka je

A(x) = (∃y)x ≤ y ∨ (∀x)x+ x ≤ 0.


Ako je t1 = x+ y a t2 = z + 0, onda je

A(t1) = (∃y)x+ y ≤ y ∨ (∀x)x+ x ≤ 0

A(t2) = (∃y)z + 0 ≤ y ∨ (∀x)x+ x ≤ 0.

Definicija 2.22 Neka je t neki term, x promenljiva i A(x) neka formulana jeziku prvog reda L. Za term t kazemo da je slobodan za x u A(x)ako nijedno slobodno pojavljivanje promenljive x u A(x) nije pod uticajemkvantifikatora koji za promenljivu ima promenljivu terma t.

Primer 2.25 U prethodnom primeru term t1 nije slobodan za x u A(x), jerje slobodno pojavljivanje promenljive x pod uticajem kvantifikatora koji zapromenljivu ima y, a y je jedna promenljiva terma t1. Term t2 je slobodanza x u formuli A(x).

Primer 2.26 Primetimo da je term x uvek slobodan za promenljivu x usvakoj formuli A(x). Takode, ako term t nema slobodnih promenljivih (iz-graden je od simbola konstanti), onda je slobodan za x u svakoj formuli A(x).Ako formula A(x) nema kvantifikatore, onda je svaki term t slobodan za xu A(x).

Vratimo se sada aksiomi Ax5:

(∀x)A(x)⇒ A(t), ako je term t slobodan za promenljivu x u formuli A(x).

Sledeci primer dokazuje da bez dodatnog uslova formula (∀x)A(x) ⇒ A(t)nije valjana:

Primer 2.27 Neka je < neki binaran relacijski simbol nekog jezika L i nekaje A(x) = (∃y)x < y i neka jeM model tog jezika ciji je nosacskup prirodnihbrojeva i u kome se relacijski simbol < interpretira kao ”obicna” relacija <.Neka je sada t = y. Tada formula (∀x)A(x)⇒ A(t) ne vazi u tom modelu,jer dobijamo daM |= (∀x)(∃y)x < y aliM |= (∃y)y < y.

Nakon sto smo opravdali dodatni uslov u aksiomi Ax5, nastavimo raz-matranje deduktivnog sistema KL. Naravno, pojmovi dokaznog niza, teo-reme, sintakticke posledice su samo specijalni slucajevi odgovarajucih poj-mova definisanih u slucaju bilo kog deduktivnog sistema, pa nema potrebeda ovde te pojmove definisemo. Vazi takode i specijalan slucaj T 1.21 kojusmo dokazali za bilo koji deduktivni sistem:


Teorema 2.18 Neka je L neki jezik prvog reda, X neki skup promenljivih.U predikatskom racunu tipa L, za sve skupove formula Σ,Σ1,Σ2 ⊆ FormL(X)vazi:

1. Σ ⊆ Cons(Σ);

2. Ako je Σ1 ⊆ Σ2 onda Cons(Σ1) ⊆ Cons(Σ2);

3. Cons(Cons(Σ)) = Cons(Σ).

Takode, u predikatskom racunu vazi Teorema kompaktnosti, koju smo dokazaliu slucaju proizvoljnog deduktivnog sistema (videti T ??):

Teorema 2.19 (Teorema kompaktnosti) Neka je L neki jezik prvog reda,X neki skup promenljivih. U predikatskom racunu tipa L, za sve skupoveformula Σ ⊆ FormL(X) i za sve formule A vazi:

Σ ⊢ A akko postoji konacan Σ0 ⊆ Σ tako da je Σ0 ⊢ A.

Ono sto takode lako mozemo uvideti jeste da predikatski racun kao de-duktivni sistem na neki nacin ”sadrzi u sebi” iskazni racun H. Naime, prvetri aksiome predikatskog racuna se upravo tri aksiome iz iskaznog racuna.Pored toga, jedino pravilo izvodenja iz iskaznog racuna, Modus Ponens,imamo i u predikatskom racunu. Prema tome, sve sto mozemo dokazatiu iskaznom racunu H, mozemo dokazati i u predikatskom racunu KL. Sobzirom na kompletnost iskaznog racuna, prema kome je iskazna formulatautologija ako i samo ako je teorema iskaznog racuna H, ,mozemo odmahzakljuciti da vazi sledeca teorema:

Teorema 2.20 Svaki izvod iz tautologije jeste teorema predikatskog racunaKL.

Evo sada jedan primer izvodenja u predikatskom racunu koji nema svojeanalogone u iskaznom racunu. Kao i u iskaznom racunu, mozemo izostavitizagrade {, } kod nabrajanja hipoteza, pa umesto {A1, A2, . . . , An} ⊢ B piatisamo A1, A2, . . . , An ⊢ B.

Primer 2.28 Dokazimo da za sve formule A(x), B(x) (na proizvoljnomjeziku prvog reda) vazi:

(∀x)(A(x)⇒ B(x)), (∀x)A(x) ⊢ (∀x)B(x).


1. (∀x)(A(x)⇒ B(x)) hipoteza2. (∀x)A(x) hipoteza3. (∀x)(A(x)⇒ B(x))⇒ (A(x)⇒ B(x)) Ax5, za t = x4. A(x)⇒ B(x) pravilo MP na 1.3.5. (∀x)A(x)⇒ A(x) Ax5, za t = x6. A(x) pravilo MP na 2.5.7. B(x) pravilo MP na 4.6.8. (∀x)B(x) pravilo Gen na 7.

Da bismo mogli koristiti i sva izvedena pravila iz iskaznog racuna (kaosto je, na primer, pravilo tranzitivnosti TRANZ ili dvojne negacije DN1ili DN2), moramo dokazati da se Teorema dedukcije koju smo koristili uiskaznom racunu za dokazivanje tih izvedenih pravila, moze koristiti i uslucaju predikatskog racuna. Teorema dedukcije u najopstijem obliku nevazi za predikatski racun - medutim, za dokazivanje analogona izvedenihpravila iskaznog racuna dovoljna je ona verzija teoreme dedukcije koju cemodokazati.

Primer 2.29 Neka je ρ unaran relacijski simbol nekog jezika prvog reda L,x neka promenljiva. Tada je jasno da imamo

ρ(x) ⊢ (∀x)ρ(x).

Medutim, formula ρ(x)⇒ (∀x)ρ(x), koja bi se dobila ”prebacivanjem prekorampe” formule ρ(x) nije teorema kvantifikatorskog racuna. Naime, kaosto cemo dokazati u sledecoj sekciji, predikatski racun je pouzdan, pa svakaizvedena teorema je valjana formula. Nije tesko uveriti se da formula ρ(x)⇒(∀x)ρ(x) nije valjana. Dovoljno je posmatrati neki model jezika L u komese relacijski simbol ρ interpretira nekom unarnom relacijom koja je makarza jedan element nosaca netacna i makar za jedan element tacna.

Teorema 2.21 (Teorema dedukcije za predikatski racun) Neka je Lneki jezik prvog reda, X skup promenljivih i neka je Σ ⊆ FormL(X), A,B ∈FormL(X).

1. Ako je Σ ⊢ A⇒ B onda Σ ∪ {A} ⊢ B.

2. Neka je Σ∪ {A} ⊢ B i neka postoji takav dokaz formule B iz hipotezaΣ∪ {A} u kome nema generalizacije po slobodnim promenljivama for-mule A. Tada je Σ ⊢ A⇒ B.


Dokaz.

1. Neka je Σ ⊢ A⇒ B i neka je A1, A2, . . . , An odgovarajuci dokazni nizza A⇒ B iz hipoteza Σ. Tada je

A1, A2, . . . , An = A⇒ B,A,B

dokaz za B iz hipoteza Σ ∪ {A}.

2. Neka je Σ∪{A} ⊢ B i neka je A1, A2, . . . , An = B odgovarajuci dokazniniz. Dokazimo da je tada Σ ⊢ A⇒ B, indukcijom po n.

• Neka je n = 1. Tada dokazni niz ima samo jednu formulu, B.Tada je B ili aksioma ili pripada skupu hipoteza Σ ili je B = A.Ako je B aksioma ili ako B ∈ Σ onda imamo Σ ⊢ B ⇒ (A⇒ B),pa je Σ ⊢ A ⇒ B. Ako je B = A, onda je Σ ⊢ A ⇒ A (dokazformule A⇒ A iz praznog skupa hipoteza je isti kao u iskaznomracunu).

• Neka je sada tvrdenje tacno za sve formule koje imaju dokaznenizove duzine manje od n i neka sada formula B ima dokazni nizduzine n,

A1, A2, . . . , An = B

Posebno, neka je to bas dokaz u kome nema generalizacije po slo-bodnim promenljivama formuleA. Tada imamo cetiri mogucnosti.Prve dve mogucnosti su da je B aksioma ili da pripada skupuhipoteza Σ, ali onda je jasno, Σ ⊢ B ⇒ (A⇒ B), pa je Σ ⊢ A⇒B.

Neka sada formula B sledi po pravilu MP iz nekih ranijih formulaAi i Ai ⇒ B u dokaznom nizu. Tada se Σ ⊢ A ⇒ B dokazujepotpuno isto kao u iskaznom racunu. Naime, za formule Ai iAi ⇒ B vazi indukcijska hipoteza, pa za njih imamo

Σ ⊢ A⇒ Ai, i Σ ⊢ A⇒ (Ai ⇒ B)

pa koristeci Ax2 dobijamo Σ ⊢ A⇒ B.

Ostao nam je slucaj kada se formula B dobija iz neke ranije for-mule u nizu, recimo Ai, po pravilu Gen. To znaci da je B =(∀x)Ai. Zbog uslova da u dokazu nemamo generalizaciju poslobodnim promenljivama formule A, odmah zakljucujemo da


promenljiva x nije slobodna u formuli A. Za formulu Ai vazi in-dukcijska hipoteza, pa je Σ ⊢ A ⇒ Ai, pa dakle i Σ ⊢ (∀x)(A ⇒Ai). No, sada primenom Ax4, koja kaze u ovom slucaju da je

⊢ (∀x)(A⇒ Ai)⇒ (A⇒ (∀x)Ai

dobijamo Σ ⊢ A⇒ (∀x)Ai, sto smo i trebali dokazati.

�Kao specijalan slucaj, dobijamo da se Teorema dedukcije moze primeniti

recimo ako je formula A zatvorena.

Posledica 2.1 Neka je L neki jezik prvog reda, X skup promenljivih i nekaje Σ ⊆ FormL(X), A,B ∈ FormL(X) i neka je formula A zatvorena. Tadaje

Σ ⊢ A⇒ B akko Σ ∪ {A} ⊢ B.

�Takode, kao posledicu Teoreme dedukcije dobijamo da se teorema de-

dukcije moze primeniti svaki put kada u odgovarajucim dokazima uopstenemamo primenu pravila generalizacije - to je slucaj recimo u svim dokaz-ima izvedenih pravila iskaznog racuna. Prema tome, u predikatskom racunumozemo primenjivati sva izvedena pravila iskaznog racuna.

Primer 2.30 Dokazimo da za sve formule A(x), B(x) (na proizvoljnomjeziku prvog reda) vazi:

(∀x)A(x) ∨ (∀x)B(x) ⊢ (∀x)(A(x) ∨B(x)).

Prvo cemo se ”osloboditi” simbola ∨ koji nije u nasem formalnom sistemu:

¬(∀x)A(x)⇒ (∀x)B(x) ⊢ (∀x)(¬A(x)⇒ B(x)).

1. ¬(∀x)A(x)⇒ (∀x)B(x) hipoteza2. (∀x)B(x)⇒ B(x) Ax5, za t = x3. ¬(∀x)A(x)⇒ B(x) pravilo TRANZ na 1.2.4. ¬B(x)⇒ ¬¬(∀x)A(x) pravilo KP2 na 3.5. ¬¬(∀x)A(x)⇒ A(x) pravilo DN16. ¬B(x)⇒ A(x) pravilo TRANZ na 4.5.7. ¬A(x)⇒ ¬¬B(x) pravilo KP2 na 6.8. ¬¬B(x)⇒ B(x) pravilo DN19. ¬A(x)⇒ B(x) pravilo TRANZ na 7.8.10. (∀x)(¬A(x)⇒ B(x)) pravilo Gen na 9.

2.12. Pouzdanost i kompletnost predikatskog racuna 99

2.12 Pouzdanost i kompletnost predikatskog racuna

Glavni cilj predikatskog racuna kao deduktivnog sistema jeste da se se-mantcki definisani koncepti valjane formule i semanticke posledice datogskupa formula formalizuju, i to tako da je pojam valjane formule potpunopokriven pojmom teoreme, a pojam semanticke posledice potpuno opisanpojmom sintakticke posledice. U sirem smislu, ako deduktivni sistem imaove navedene osobine, kazemo da je on kompletan u odnosu na dati se-manticki sistem. Dokaz kompletnosti nekog deduktivnog sistema se uveksastoji iz dva dela: prvo, treba dokazati da je deduktivni sistem pouzdantj. da sve sto se sintakticki moze izvesti iz datog skupa hipoteza - jeste isemanticka posledica tog skupa (specijalno, ako je skup hipoteza prazan, toznaci da je svaka teorema deduktivnog sistema ujedno i valjana formula).Obratno, treba dokazati da je deduktivni sistem kompletan (u uzem smislu):ako je neka formula semanticka posledica nekog skupa hipoteza, onda se taformula moze izvesti iz tog skupa hipoteza u deduktivnom sistemu.

Prema pravilu, pouzdanost deduktivnog sistema se lakse dokazuje negonjegova kompletnost. U slucaju predikatskog racuna, taj dokaz podrazumevasledece: treba dokazati da su sve aksiome predikatskog racuna valjane for-mule i da pravila izvodenja MP i Gen ”cuvaju valjanost”.Ovo drugo smodokazali ranije (videti T 2.5). Dalje, prave tri aksiome predikatskog racuna,kao izvodi iz tautologija, jesu valjane formule. Valjanost Ax4 smo takodedokazali ranije (videti T 2.10). Prema tome, ostaje nam da dokazemo val-janost Ax5.

Lema 2.1 Neka je L jezik prvog reda, X skup promenljivih, M model togjezika, A(x) formula a t term na tom jeziku. Neka je term t slobodan zapromenljivu x u formuli A(x) i neka je τ : X → M proizvoljna valuacijamodelaM. Tada vazi

M |=τ A(t) akkoM |=τ(b/x) A(x)

gde je b = tM[τ ].

Dokaz. Neka je Y skup svih promenljivih terma t. Kako je term t slobodanza x u formuli A(x), to znaci da nijedno slobodno pojavljivanje promenljivex u A(x) nije pod dejstvom kvantifikatora (∀y), gde je y ∈ Y . No, nekepromenljive iz Y mogu biti vezane u formuli A(x) - te vezane promenljivezamenimo novim promenljivama, kojih nema ni u termu t ni u formuli A(x).


Tako dobijenu (ekvivalentnu) formulu oznacimo sa A∗. Tada je jasno da

M |=τ A(t) akkoM |=τ A∗(t)

M |=τ(b/x) A(x) akkoM |=τ(b/x) A∗(x)

pa je dovoljno dokazati da je

M |=τ A∗(t) akkoM |=τ(b/x) A

∗(x).

Da bi se dokazala ta ekvivalentnost, dovoljno je, indukcijom po slozenostiformule A∗ dokazati da za sve podformule B formule A∗ vazi

M |=τ B(t) akkoM |=τ(b/x) B(x).

�Sada je lako dokazati da je i Ax5 valjana formula.

Teorema 2.22 Neka je L jezik prvog reda, t neki term a A(x) neka formulana tom jeziku. Ako je term t slobodan za promenljivu x u formuli A(x), ondaje formula (∀x)A(x)⇒ A(x) valjana.

Dokaz. Neka je M model tipa L i τ : X → M proizvoljna valuacija togmodela. Treba dokazati da je

M |=τ (∀x)A(x)⇒ A(x).

To znaci da treba dokazati da ako M |=τ (∀x)A(x) onda M |=τ A(t). Sobzirom na prethodnu Lemu, treba dokazati da iz M |=τ (∀x)A(x) slediM |=τ(b/x) A(x), za b = tM[τ ]. No, to je jasno, jer ako za sve a ∈ M vazi

M |=τ(a/x) A(x), onda samo treba uzeti specijalno da je a = tM[τ ].�

Sada smo spremni da dokazemo pouzdanost predikatskog razuna:

Teorema 2.23 (Pouzdanost predikatskog racuna) Neka je L neki jezikprvog reda, X skup promenljivih i neka je Σ ⊆ FormL(X), A ∈ FormL(X).Tada

ako Σ ⊢ A onda Σ |= A.

Dokaz. Dokaz cemo sprovesti indukcijom po duzini dokaza n formule A izhipoteza Σ.


• Ako je dokaz duzine 1, to znaci da je formula A aksioma ili da pripadaskupu hipoteza Σ. U prvom slucaju znamo da je A valjana formula,pa je Σ |= A. U drugom slucaju trivijalno Σ |= A.

• Pretpostavimo da je tvrdenje tacno za sve formule ciji je dokaz iz Σduzine manje od n. Neka sada formula A ima dokaz duzine n i nekaje A1, A2, . . . , An taj dokazni niz. Tada je An = A i postoje cetirimogucnosti: mozda je A aksioma, mozda A ∈ Σ, ili A sledi iz ranijihformula u nizu po pravilu MP ili Gen. Prva dva slucaja su kao u baziindukcije.

Neka formula A sledi po pravilu MP iz formula Ai i Ai ⇒ A. Znamoda tada za formule Ai i Ai ⇒ A vazi indukcijska hipoteza, pa imamoda je

Σ |= Ai i Σ |= Ai ⇒ A.

Tada je jasno Σ |= A.

Na kraju, neka formula sledi po pravilu Gen iz formula Ai. Tada zaformulu Ai vazi indukcijska hipoteza, pa Σ |= Ai. No, tada se lakovidi da vazi i Σ |= (∀x)Ai, sto smo i trebali dokazati.

�Specijalno, ako je skup hipoteza Σ prazan, dobijamo:

Posledica 2.2 Svaka teorema predikatskog racuna je valjana formula tj. zasve formule A,

ako ⊢ A onda |= A.

�Prelazimo sada na dokazivanje kompletnosti predikatskog racuna. Prvo,

pojam konzistentnosti nekog skupa predikatskih formula je isti kao u slucajuiskazne logike:

Definicija 2.23 Za skup predikatskih formula Σ kazemo da je konzisten-tan (ili neprotivrecan) ako ne postoji formula A tako da je

Σ ⊢ A i Σ ⊢ ¬A.

U suprotnom kazemo da je Σ nekonzistentan (ili protivrecan).


Primetimo da sto se tice izvodivosti predikatskih formula, mozemo se ogranicitina zatvorene formule (formule koje nemaju slobodne promenljive). Naime,formula A se moze izvesti iz skupa formula Σ ako i samo ako se moze izvestinjeno univerzalno zatvorenje tj. formula (∀x)A, gde je (∀x) oznaka za prefikskoji sadrzi sve kvantifikatore (∀y), gde je y slobodna promenljiva formule A.

Teorema 2.24 Neka je L neki jezik prvog reda, X skup promenljivih i nekaje Σ ⊆ FormL(X), A ∈ FormL(X) neka zatvorena formula. Tada

Σ ⊢ A akko Σ ∪ {¬A} nije konzistentan.

Dokaz. Isti kao u slucaju iskaznog racuna (videti T 1.28).�

Pojammaksimalno konzistentnog skupa formula je isti kao slucaju iskaznogracuna:

Definicija 2.24 Za konzistentan skup predikatskih formula Σ kazemo da jemaksimalno konzistentan ( ili maksimalno neprotivrecan) ako nijesadrzan ni u jednom konzistentnom skupu razlicitim od sebe tj. ako je Γkonzistentan skup i Σ ⊆ Γ onda mora Σ = Γ.

Kao i u slucaju iskaznog racuna, jedna od najvaznijih koraka ka dokazuteoreme kompletnosti predikatskog racuna je tzv. Lema Lindenbauma:

Teorema 2.25 (Lindenbaum) Svaki konzistentan skup predikatskih for-mula je sadrzan u nekom maksimalno konzistentnom skupu formula.

Dokaz. Analogan kao u slucaju iskaznog racuna, videti 1.31.�

Druga kljucna teorema potrebna za dokaz kompletnosti predikatskogracuna, a ciji dokaz na ovom mestu ne dajemo, jeste sledeca:

Teorema 2.26 Svaki konzistentan skup predikatskih formula ima model.

Dokaz. Kao u slucaju iskazne logike, umesto da konstruisemo model zadati skup formula Σ, prvo koristimo Lemu Lindenbauma, koja kaze da seskup Σ sadrzi u nekom maksimalno konzistentnom skupu formula Γ, a zatimse konstruise model za skup formula Γ. Za kompletan dokaz videti recimo...�


Teorema 2.27 (Kompletnost predikatskog racuna) Neka je L neki jezikprvog reda, X skup promenljivih i neka je Σ ⊆ FormL(X), A ∈ FormL(X)neka formula. Tada

ako Σ |= A onda Σ ⊢ A.

Dokaz. Analogno kao u slucaju iskaznog racuna: Neka je Σ |= A i pret-postavimo da Σ ⊢ A. Tada zbog Teoreme 2.24 sledi da je skup Σ ∪ {¬A}konzistentan. Prema Teoremi 2.26 sledi da skup formula Σ ∪ {¬A} imamodel, oznacimo ga sa M. No, tada bi M |= Σ i M |= ¬A, pa bi zbogΣ |= A imali daM |= A, kontradikcija. Prema tome, mora Σ ⊢ A.�

Prema tome sada imamo:

Teorema 2.28 (Velika teorema kompletnosti za predikatski racun)Za svaki skup Σ predikatskih formula i svaku predikatsku formulu A vazi


Specijalno, ako je skup Σ prazan, dobijamo:

Posledica 2.3 Za svaku predikatsku formulu A vazi da je A teorema predikatskogracuna akko je A valjana formula.

Sada se lako dokazuje (tzv. semanticka verzija) Teoreme kompaktnostiza predikatsku logiku:

Posledica 2.4 (Teorema kompaktnosti za predikatsku logiku) Skuppredikatskih formula Σ ima model ako i samo ako svaki konacan podskupΣ0 ⊆ Σ ima model.

Dokaz. Jedan smer je trivijalan: ako Σ ima model, onda svaki podskupod Σ ima model. Pretpostavimo sada da Σ nema model. Zbog T 2.26zakljucujemo da je Σ protivrecan skup formula, pa postoji formula A takoda je Σ ⊢ A ∧ ¬A. No, tada bi postojao konacan Σ0 ⊆ Σ tako da jeΣ ⊢ A ∧ ¬A. To bi znacilo da Σ |= A ∧ ¬A, pa Σ0 ne bi imao model,kontradikcija.�


2.13 Predikatska logika sa jednakoscu

Umnogim vaznim matematickim teorijama prvog reda koristimo jednu posebnubinarnu relaciju - relaciju jednakosti ”=”. Prema definiciji jezika prvog reda,svi relacijski simboli imaju ”isti tretman” - u modelima se mogu interpreti-rati kao relacije na nosacu modela, jedino sto se mora ”paziti” jeste da searnost tih relacija poklapa sa unapred zadatim arnostima relacijskih sim-bola. Prirodno je, medutim, da za relaciju jednakosti ne zelimo takvu slo-bodu - jednostavno zelimo da se simbol ”=” uvek interpretira kao obicnarelacija jednakosti. Da bi se to postiglo, modifikovacemo predikatski racuntako sto simbol jednakosti necemo vise tretirati kao relacijski simbol, negokao logicki simbol, koji u svim modelima ima istu interpretaciju. Ta mod-ifikacija predikatske logike se zove predikatska logika sa jednakoscu ililogika prvog reda sa jednakoscu. Odgovarajuci deduktivni sistem seobicno naziva predikatski racun sa jednakoscu ili jednakosna logika.

Da bismo izbegli mogucu konfuziju zbog razlicitih tumacenja simbola”=”, koristicemo poseban simbol ≈ u sintaksi logike, dok cemo oznaku ”=”zadrzati u meta-teoriji - on ce oznacavati ”bas-bas jednakost” medu objek-tima.

Definicija 2.25 Neka je L jezik prvog reda. Logika prvog reda sa jed-nakoscu tipa L ili predikatska logika sa jednakoscu tipa L, u oznaciL≈, se razlikuje od obicne logike prvog reda tipa L po sledecem:

• ima dodatni logicki simbol ≈

• ima dodatni tip elementarnih formula, izraze oblika t1 ≈ t2, gde sut1, t2 proizvoljni termi na jeziku L,

• ako jeM model tipa L, τ : X →M neka valuacija tog modela, onda sevazenje elementarne formule t1 ≈ t2 u modelu M definise na sledecinacin:

M |=τ t1 ≈ t2 akko tM1 [τ ] = tM2 [τ ].

Primer 2.31 ...

Deduktivni sistem koji odgovara predikatskoj logici sa jednakoscu zovemopredikatski racun sa jednakoscu ili jednakosna logika. On se od obicnogpredikatskog racuna razlikuje po tome, sto ima dodatne logicke aksiome,

2.13. Predikatska logika sa jednakoscu 105

koje opisuju osobine jednakosti: refleksivnost, simetricnost, tranzitivnost,slaganje sa funkcijskim i relacijskim simbolima.

Definicija 2.26 neka je L = C ∪R∪F neki jezik prvog reda. Predikatskiracun sa jednakoscu tipa L (ili jednakosna logika tipa L), u oznaciK≈

L , se od obicnog predikatskog racuna tipa L razlikuje po tome sto imasledece dodatne logicke aksiome (tzv. aksiome jednakosti):

(E1) t ≈ t, za sve terme t

(E2) t ≈ s⇒ s ≈ t, za sve terme t, s

(E3) t ≈ s ∧ s ≈ u⇒ t ≈ u, za sve terme s, t, u

(E4) za sve n ≥ 1, sve funkcijske simbole f ∈ Fn, i sve termove t1, t2, . . . , tn, s1, s2, . . . , tnvazi:

akot1 ≈ s1t2 ≈ s2

. . .tn ≈ sn

ondaf(t1, t2, . . . , tn) ≈ f(s1, s2, . . . , sn)

(E5) za sve n ≥ 1, sve relacijske simbole ρ ∈ Rn, i sve termove t1, t2, . . . , tn, s1, s2, . . . , tnvazi:

akot1 ≈ s1t2 ≈ s2

. . .tn ≈ sn

ondaρ(t1, t2, . . . , tn) ⇔ ρ(s1, s2, . . . , sn)

Svi ostali pojmovi iz obicnog predikatskog racuna (kao sto je pojmovi sin-takticke posledice, teoreme, operatori Cons, Mod, itd.) se prenose u predikatskiracun sa jednakoscu bez promene, jedino sto sada imamo siri skup logickihaksioma.

Primer 2.32 ...


Teorema 2.29 (Teorema kompletnosti za predikatski racun sa jednakoscu)Svaka logika prvog reda sa jednakoccu tipa L je kompletna tj. za sve skupoveformula Σ i sve formule A tipa L vazi:


Dokaz. Videti recimo ...�

Kao i ranije, svaki skup formula Σ u predikatskom racunu sa jednakoscutipa L zovemo teorija (prvog reda) sa jednakoscu (tipa L). Za skupformula ∆ kazemo da je skup aksioma za teoriju Σ ako imaju isti skupsintaktickih posledica.

Teorema 2.30 U svakom predikatskom racunu sa jednakoscu, skup formula∆ je skup aksioma za teoriju prvog reda Σ akko Mod(Σ) = Mod(∆).

Dokaz. Po definiciji, koriscenjem Teoreme kompletnosti za predikatskiracun sa jednakoscu.�

Na kraju, navedimo primere nekih teorija prvog reda sa jednakoscu.

Primer 2.33 (Teorija parcijalnog uredenja) Jezik teorije parcijalnog uredenjaima jedan jedini nelogicki simbol, binaran relacijski simbol koji se najcesceobelezava sa ≤. Ova teorija ima sledece aksiome:

(P1) x ≤ x,

(P2) x ≤ y ∧ y ≤ x⇒ x ≈ y,

(P3) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Modele te teorije zovemo parcijalno uredeni skupovi. U teoriji parcijalnihuredenja se mogu definisati pojmovi minimalnog (maksimalnog) elementa,donjeg (gornjeg) ogranicenja, infimuma (supremuma), i tako stici do pojmamrezno uredenog skupa kao parcijalno uredenog skupa u kome za svaka dvaelementa postoji njihov supremum i infimum.

Primer 2.34 (Teorija mreza) U prethodnom primeru smo mrezno uredeneskupove definisali kao specijalne uredene skupove. Drugi, u sustini ekvi-valentan, pristup teoriji mreza polazi od jezika prvog reda sa jednakoscu

2.13. Predikatska logika sa jednakoscu 107

L koji od nelogickih simbola ima dva binarna funkcijska simbola, koji senajcesce obelezavaju sa ∨,∧ i ne treba ih pobrkati sa odgovarajucim logickimveznicima! (U slucaju da se u praksi moraju koristiti i logicki veznici kon-junkcije i disjunkcije, oni se obelezavaju drugim simbolima.) Aksiome teorijemreza su:

(L1) x ∧ x ≈ x,

(L1’) x ∨ x ≈ x,

(L2) x ∧ y ≈ y ∧ z,

(L2’) x ∨ y ≈ y ∨ z,

(L3) (x ∧ y) ∧ z ≈ x ∧ (y ∧ z),

(L3’) (x ∨ y) ∨ z ≈ x ∨ (y ∨ z),

(L4) x ∧ (x ∨ y) ≈ x,

(L4’) x ∨ (x ∧ y) ≈ x.

Primer 2.35 (Teorija grupa) Postoji nekoliko ekvivalentnih definicija po-jma grupe, od kojih su neki i na razlicitim jezicima. Na primer, mozemouzeti da jezik teorije grupa od nelogickih simbola ima jedan binaran funkci-jski simbol ·, jedan unaran ′ i jedan simbol konstante e. Aksiome teorijegrupa su:

(G1) x · (y · z) ≈ (x · y) · z,

(G2) x · e ≈ x,

(G3) x · x′ ≈ e.

Ukoliko dodamo aksiomu(G4) x · y ≈ y · xdobijamo teoriju Abelovih (komutativnih) grupa.

Primer 2.36 (Formalna aritmetika ili Teorija brojeva) Jezik formalnearitmetike sadrzi dva binarna funkcijska simbola +, ·, jedan unaran funkci-jski simbol S i jedan simbol konstante 0, i ima sledece aksiome:

(B1) ¬S(x) ≈ 0,


(B2) S(x) ≈ S(y)⇒ x ≈ y,

(B3) x+ 0 ≈ x,

(B4) x+ S(y) ≈ S(x+ y),

(B5) x · 0 ≈ 0,

(B6) x · S(y) ≈ (x · y) + x,

(B7) Za svaku formulu A(x) vazi

(A(0) ∧ (∀x)(A(x)⇒ A(S(x))))⇒ (∀x)A(x).

Naravno, jedan model te teorije je skup prirodnih brojeva sa uobicajenimoperacijama + i ·, gde je S(x) = x + 1, i taj model zovemo standardnimodel formalne aritmetike. Moze se dokazati da Formalna aritmetika imai nestandardne modele. Takode, ova teorija igra kljucnu ulogu u Godelovimrezultatima o nepotpunosti (o cemu ce biti reci kasnije).

Glava 3

Temporalne logike

3.1 Uvod

Predikatska logika je dovoljno bogata da se u njoj mogu izraziti i resavatikako problemi iz teorijske matematike tako i prakticni problemi. Ipak, cestoje korisno definisati sisteme logika koji su vise prilagodeni nekim specificnimnamenama. Temporalne logike su logike koje opisuju rezonovanja u kojimaje ukljuceno i vreme. Temporalne logike imaju sve znacajniju primenu uracunarstvu, jer se ponasanje hardwera i softwera opisuje u zavisnosti odprotoka vremena: rad operativnih sistema, funkcionisanje konkurentnih sis-tema (paralelno programiranje), verifikacija korektnosti algoritama itd.

U temporalnim logikama srecemo razlicit izbor dodatnih operatora, isamim tim one opisuju razlicite modele vremena. Dakle, ne postoji jednatemporalna logika, nego citava lepeza razlicitih logickih sistema, koje sve naneki nacin opisuju fenomene koji su povezani sa vremenom. Naravno, svakatemporalna logika ima klasicne logicke veznike, a najcesci operatori koji sedodaju su

� (”always”)

♢ (”eventually”)

⃝ (”next”)

Temporalne logike se mogu shvatiti kao specijalne modalne logike. Modalnelogike su izucavali jos Stari Grci, a njihovu formalizaciju dao je Kripke 1965.

109

110 Glava 3. Temporalne logike

godine. Operatoru ”necessarily true” iz modalne logike odgovara operator”always” u temporalnim logikama, a operatoru ”possibly true” odgovaraoperator ”eventually”. Mi cemo se u daljem baviti temporalnom iskaznomlogikom (”propositional temporal logics”), u oznaci PTL.

3.2 Sintaksa i semantika PTL

Pocecemo sa verzijom temporalne iskazne logike u kojoj imamo samo dvadodatna operatora, pa cemo kasnije jezik prosiriti dodavajuci i treci opera-tor.

Definicija 3.1 Neka je P neki skup iskaznih slova. Formule logike PTLdefinisemo na sledeci nacin:

(1) Svaka iskazno slovo p ∈ P je formula;

(2) Ako su A i B formule, onda su to i

(A ∧B), (A ∨B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

(3) Ako je A neka formula, onda su to i �A i ♢A.

(4) Formule se dobijaju iskljucivo konacnom primenom pravila (1), (2) i(3).

Kao i u klasicnoj iskaznoj logici, vaze dogovori o brisanju spoljnih zagradakao i o prioritetu operacija, sa dodatkom da novi operatori imaju isti prior-itet kao negacija.

Primer 3.1 Neka je P = {p, q, r}. Tada su sledeci izrazi formule logikePTL:

�p ∧ ♢q, ��p⇔ �p, ¬p ∨ ¬♢r ⇒ �(♢p ∨�p)

Semantika PTL daje interpretaciju ne samo za iskazna slova, nego i zaprotok vremena. Da bi se zadala jedna interpretacija potrebno je da sedefinisu stanja tj. valuacije iskaznih slova kao i prelazi iz jednog stanja udrugo (kao kod konacnih automata). Pre nego sto damo formalnu definicijuinterpretacije odnosno vrednosti formule u datoj interpretaciji, pogledajmojedan primer.

3.2. Sintaksa i semantika PTL 111

Primer 3.2 Data je formula A = �p∨�q, i neka je jedna interpretacija Idata pomocu sledeceg diagrama:

• Formula A je tacna u stanju s0: iz s0 mozemo stici do stanja s1 i s2.Kako je q tacno u oba stanja, onda je �q tacno u stanju s0. Prematome, i formula �p ∨�q je tacna u stanju s0.

• Formula A nije tacna u stanju s1: iz stanja s1 mozemo stici u stanjas1, s2, s3, i bar u jednom od tih stanja formula p (odnosno q) ”propada”.Tako, niti je formula �p niti je formula �q tacna u stanju s1, pa for-mula �p ∨�q nije tacna u stanju s1.

• Slicnim rezonovanjem vidimo da je formula A tacna u stanju s2, alida nije tacna u stanju s3.

Kao i u klasicnoj iskaznoj logici, ako je A neka formula, onda zapisA = A(p1, p2, . . . , pn) znaci da su sva iskazna slova formule A u skupu{p1, p2, . . . , pn}

Definicija 3.2 Neka je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka PTL formula. Inter-pretacija te formule je svaki ureden par I = (S, ρ), gde je S skup svih val-uacija s : {p1, p2, . . . , pn} → {⊤,⊥}, tzv. stanja, a ρ ⊆ S2 binarna relacijana skupu stanja (tzv. funkcija prelaska).

Ako je I = (S, ρ) neka interpretacija formule A, onda cemo umesto (s1, s2) ∈ρ pisati takode i s2 ∈ ρ(s1).

Definicija 3.3 Neka je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka PTL formula, I = (S, ρ)neka interpretacija formule A, i s ∈ S. Tada definisemo vI,s(A) ∈ {⊤,⊥},tzv. vrednost formule A za interpretaciju I, u stanju s, na sledeci nacin:

1. Ako je p ∈ P onda vI,s(p) = s(p),

2. vI,s(¬B) = ⊤ akko vI,s(B) = ⊥,

3. vI,s(B ∨ C) = vI,s(B) ∨ vI,s(C),

4. vI,s(B ∧ C) = vI,s(B) ∧ vI,s(C),

5. vI,s(B ⇒ C) = vI,s(B)⇒ vI,s(C),


6. vI,s(B ⇔ C) = (vI,s(B)⇔ vI,s(C)),

7. vI,s(�B) = ⊤ akko vI,t(B) = ⊤, za sve t ∈ ρ(s),

8. vI,s(♢B) = ⊤ akko vI,t(B) = ⊤, za neki t ∈ ρ(s).

Ukoliko je vI,s(A) = ⊤, pisemo I, s |= A ili samo s |= A. U suprotnompisemo I, s |= A.

Ako je iz konteksta jasno o kojoj interpretaciji je rec, onda umesto vI,s(A)pisemo samo vs(A).

Primer 3.3 ...

Definicija 3.4 Neka je A neka PTL formula. Tada:

1. Kazemo da je A zadovoljiva ako postoji interpretacija I = (S, ρ) za Ai neko stanje s ∈ S tako da je vI,s(A) = ⊤ tj. I, s |= A.

2. Ako je I = (S, ρ) i postoji s ∈ S tako da je I, s |= A, onda kazemo daje I model za A i pisemo

I |= A.

3. Formula A je PTL-valjana ako za sve interpretacije I = (S, ρ) i svastanja s ∈ S, vazi I, s |= A. U tom slucaju pisemo |= A.

Primer 3.4 U prvom primeru, gde je A = �p∨�q, I je model za A jer jeI, s0 |= A. Formula A nije valjana jer recimo I, s1 |= A.

Primer 3.5 Lako je videti da je formula �p ⇒ (�q ⇒ �p) PTL-valjana.Ta formula nije klasican tautologija, ali se dobija iz klasicne tautologijepogodnom supstitucijom.

Za formulu A kazemo da je izvod iz (klasicne) tautologije ako postoji tau-tologija B klasicnog iskznog racuna tako da se A dobija pogodnom supstitu-cijom od B. Direktnom primenom definicije PTL-valjanosti lako dobijamoda vazi:

Teorema 3.1 Svaki izvod iz tautologije je PTL-valjana formula.

3.3. Linear time propositional temporal logic 113

U sledece dve teoreme cemo dokazati PTL-valjanost dve formule kojenisu izvodi iz tautologija.

Teorema 3.2 (dulanost) Formula �p⇔ ¬♢¬p je PTL-valjana.

Dokaz. Neka je I = (S, ρ) neka interpretacija formule �p ⇔ ¬♢¬p i nekaje s ∈ S neko stanje. Pretpostavimo da je

s |= �p i s |= ♢¬p.

Tada postoji stanje s′ ∈ ρ(s) takvo da je s′ |= ¬p. No, kako je s |= �p, ondaza sva stanja t ∈ ρ(s) vazi t |= p, pa specijalno mora i s′ |= p, kontradikcija.Dakle, s |= ¬♢¬p. Kako su I i s proizvoljni, dokazali smo

|= �p⇒ ¬♢¬p.

Slicno se dokazuje i smer ⇐.

Teorema 3.3 (distributivnost) Formula |= �(p ⇒ q) ⇒ (�p ⇒ �q) jePTL-valjana.

Dokaz. Pretpostavimo da formula |= �(p⇒ q)⇒ (�p⇒ �q) nije valjanai neka je I = (S, ρ) neka interpretacija, s ∈ S neko stanje tako da je

s |= �(p⇒ q) ali s |= �p i s |= ¬�q.

Zbog prethodne teoreme imamo da s |= ¬�q znaci s |= ♢¬q, tj. postojistanje s′ ∈ ρ(s) tako da je s′ |= ¬q. Ali abog pretpostavki imamo

s′ |= p⇒ q i s′ |= p

pa zbog semantike veznika ⇒ sledi s′ |= q.

3.3 Linear time propositional temporal logic

Mi smo do sada posmatrali proizvoljne interpretacije I = (S, ρ) temporalnihlogika, i videli smo primere nekih formula koje vaze u svim interpretacijama.Ako stavimo neke uslove koje treba da zadovoljava relacija ρ koja predstavljaprotok vremena, dobicemo razlicite vrste temporalnih logika tj. razlicitemodele vremena. Za pocetak, evo dva primera:


Primer 3.6 Za interpretaciju I = (S, ρ) kazemo da je refleksivna ako jerelacija ρ reflesivna. Lako je videti da u tim interpretacijama vazi formula�A ⇒ A. Zaista, ako je s ∈ S, onda s |= �A ⇒ A, jer ako s |= �A, ondaza sve s′ ∈ ρ(s) vazi s′ |= A, a kako je s ∈ ρ(s) onda s |= A.

Primer 3.7 U svim tranzitivnim interpretacijama I = (S, ρ) vazi formula�A ⇒ ��A. Zaista, neka je s ∈ S i neka s |= �A. Tada za sve s′ ∈ ρ(s)vazi s′ |= A. Dokazimo da je s |= ��A. Po definiciji, s |= ��A akko zasve q ∈ ρ(s), q |= �A tj. akko za sve q ∈ ρ(s) i sve r ∈ ρ(q) vazi r |= A.Kako je (s, q) ∈ ρ i (q, r) ∈ ρ, a relacija ρ je tranzitivna, onda (s, r) ∈ ρ, tj.r ∈ ρ(s), pa r |= A.

U nekim konkretnim problemima potrebno je napraviti razliku izmedutrenutka koji odmah sledi i ostalih trenutaka u buducnosti. U tu svrhu,potrebno je modifikovati sintaksu i semantiku temporalne logike, uvodenjemnovog operatora ⃝ (”next”). Sto se tice sintakse, skup formula prosirenePTL logike (oznacimo je sa PTL’) se dobija na prirodan nacin, dodavanjemunarnog operatora ⃝, pored operatora � i ♢. Zbog dualnosti koja vazimedu operatorima � i ♢ (videti T2), mozemo u jezik PTL’ logike ubacitisamo operatore � i ⃝ (i smatrati da je formula ♢A zamena za formulu¬�¬A). Semantika logike PTL’ precizirana je u sledecoj definiciji:

Definicija 3.5 Neka je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka PTL’ formula.

• Interpretacija formule A je svaki ureden par I = (S, τ), gde je S skupsvih valuacija s : {p1, p2, . . . , pn} → {⊤,⊥}, tzv. stanja, a τ ⊆ S2

binarna relacija skupa S, a relacija ρ = τ∗ refleksivno-tranzitivnozatvorenje relacije τ .

• Neka je I = (S, τ) neka interpretacija formule A, i s ∈ S. Tadadefinisemo vI,s(A) ∈ {⊤,⊥}, tzv. vrednost formule A za interpretacijuI, u stanju s, na sledeci nacin:

1. Ako je p ∈ P onda vI,s(p) = s(p),

2. vI,s(¬B) = ⊤ akko vI,s(B) = ⊥,3. vI,s(B ∨ C) = vI,s(B) ∨ vI,s(C),4. vI,s(B ∧ C) = vI,s(B) ∧ vI,s(C),5. vI,s(B ⇒ C) = vI,s(B)⇒ vI,s(C),

3.3. Linear time propositional temporal logic 115

6. vI,s(B ⇔ C) = (vI,s(B)⇔ vI,s(C)),

7. vI,s(�B) = ⊤ akko vI,t(B) = ⊤, za sve t ∈ ρ(s),8. vI,s(⃝B) = ⊤ akko vI,s′ = ⊤, za neki s′ ∈ τ(s).

• Ukoliko je vI,s(A) = ⊤, pisemo I, s |= A ili samo s |= A. U suprotnompisemo I, s |= A.

• Ukoliko je relacija τ takva da za sve s ∈ S postoji tacno jedan s′ ∈S tako da je (s, s′) ∈ τ , kazemo da je odgovarajuca interpretacijalinearna. Ako zahtevamo da sa su sve interpretacije linearne, govorimoo ”linear time temporal” logikama. U suprotnom, logika je ”branchingtime temporal”.

Mi cemo u daljem tekstu da ispitujemo linearne interpretacije PTL’logike.

Teorema 3.4 U svim linearnim interpretacijama PTL’ logike vazi formula⃝A⇔ ¬⃝¬A.

Dokaz. Neka je I = (S, τ) data linearna interpretacija formule A, i s ∈ S.Treba dokazati da je s |=⃝A⇔ ¬⃝¬A.(⇒). Neka je s |=⃝A, treba dokazati s |= ¬⃝¬A. Imamo da za s′ = τ(s)vazi s′ |= A. Pretpostavimo da je s |=⃝¬A. To znaci da vazi s′ |= ¬A, stoje kontradikcija.(⇐). Neka je s |= ¬⃝¬A, treba dokazati s |=⃝A. Imamo da je s |=⃝¬A,tj. da nije s |=⃝¬A. To znaci da za s = τ(s) nije s′ |= ¬A, tj. da s′ |= A,sto smo i trebali dokazati.

Teorema 3.5 U svim linearnim interpretacijama PTL’ logike vazi formula⃝(A⇒ B)⇒ (⃝A⇒⃝B).

Dokaz. Neka je I = (S, τ) data linearna interpretacija formule A, s ∈ S is |= ⃝(A ⇒ B). Tada za s′ = τ(s) vazi s′ |= A ⇒ B. Treba dokazati daje s |= ⃝A ⇒ ⃝B, tj. ako je s |= ⃝A onda s |= ⃝B. No, iz zbog uslovas′ |= A⇒ B i iz relacije s′ |= A dobijamo s′ |= B, sto znaci s |=⃝B.

Teorema 3.6 U svim linearnim interpretacijama PTL’ logike vazi formula�A⇒ (A ∧⃝A ∧⃝�A).


Dokaz. Neka je I = (S, τ) data linearna interpretacija formule A, s ∈ S, iρ = τ∗. Pretpostavimo da je s |= �A tj. za sve s′ ∈ ρ(s) vazi s′ |= A. Kakoje relacija ρ refleksivna, sledi da s |= A. Kako je τ ⊆ τ∗ = ρ, onda s |=⃝A.Jos treba dokazati da je s |= ⃝�A. Neka je q ∈ τ(s), treba dokazati da jeq |= �A, tj. da za sve r ∈ τ∗, r |= A. Imamo da je sτq, qτ∗r, pa je sτ∗r, tj.r ∈ τ∗(s) = ρ(s). prema tome, imamo r |= A.

Teorema 3.7 U svim linearnim interpretacijama PTL’ logike vazi formula�(A⇒⃝A)⇒ (A⇒ �A).

Dokaz. Neka je I = (S, τ) data linearna interpretacija formule A i ρ = τ∗.Pretpostavimo da postoji s ∈ S tako da je

s |= �(A⇒⃝A) ∧A ∧ ¬�A.

Dakle, s |= A i za sve s′ ∈ τ∗(s) vazi s′ |= A ⇒ ⃝A. Specijalno, za s′ = simamo da s |= A⇒⃝A. Kako je s′ ∈ τ∗(s), onda sτ∗s′, pa postoji konacanniz stanja s1, s2, . . . , sk tako da je

s = s1τs2τs3 . . . sk−1τsk = s′.

Sada imamo s |= A ⇒ ⃝A, s |= A, pa zbog linearnosti mora s2 |= A.Dalje, s2 |= A ⇒ ⃝A, i s2 |= A pa mora s3 |= A, i tako dalje. Na krajudobijamo da za sve s′ ∈ τ∗(s) vazi s′ |= A. Ako bi bilo s |= ¬�A, onda nebi vazilo s |= �A, pa bi postojao neki s′′ ∈ τ∗(s) tako da je s′′ |= A, sto jekontradikcija.

3.4 Deduktivni sistem za linear time propositionaltemporal logic

Definicija 3.6 Deduktivni sistem LT-PTL ima sledece aksiome:

1. Sve tautologije klasicnog iskaznog racuna

2. �(A⇒ B)⇒ (�A⇒ �B)

3. ⃝A⇔ ¬⃝¬A

4. ⃝(A⇒ B)⇒ (⃝A⇒⃝B)

3.4. Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 117

5. �A⇒ (A ∧⃝A ∧⃝�A)

6. �(A⇒⃝A)⇒ (A⇒ �A)

Pravila izvodenja su Modus Ponens(MP) i Generalizacija(Gen):

MP :A,A⇒ B

BGen :

A

�A.

Na osnovu T3, T4, T5, T6 i T7 vidimo da su sve aksiome LT-PTL sistemavaljane u svim linearnim interpretacijama. S obzirom da pravila izvodenjacuvaju osobinu valjanosti u (linearnim) interpretacijama, zakljucujemo davazi sledeca teorema:

Teorema 3.8 Deduktivni sistem LT-PTL je pouzdan u svim lineranim in-terpretacijama logike PTL’.

Kao i u klasicnoj iskaznoj logici, na osnovu aksioma dedultivnog sistemamozemo formulisati odgovarajuca izvedena pravila deduktivnog sistema:

Gen1 :A⇒ B

�A⇒ �B Gen2 :A⇒ B

⃝A⇒⃝BInd :

A⇒⃝AA⇒ �A

Exp1 :�AA

Exp2 :�A⃝A

Exp3 :�A⃝�A.

Kao i u klasicni iskaznom racunu, izvodenja cemo pisati korak po korak, a sadesne strane svakog koraka cemo pisati obrazlozenje za taj korak, navodeciu zagradi broj koraka u dokazu na koji je pravilo primenjeno. U slucajuda koristimo aksiomu 1 (tj. ako smo koristili neku klasicnu tautologiju iliizvedeno pravilo iz klasicnog iskaznog racuna, kao obrazlozenje cemo pisatisamo ”PC” (”propositional calculus”).

Primer 3.8 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokazimo formulu ��A⇔ A(tranzitivnost):

1. ��A⇒ �A Exp12. �A⇒⃝�A Exp33. �A⇒ ��A Ind(2.)4. �A⇔ ��A PC(1.3.)


Primer 3.9 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokazimo formulu

⃝(p ∧ q)⇔ (⃝p ∧⃝q) (distributivnost).

1. p ∧ q ⇒ p PC2. ⃝(p ∧ q)⇒⃝p Gen2(1.)3. p ∧ q ⇒ q PC4. ⃝(p ∧ q)⇒⃝q Gen2(3.)5. ⃝(p ∧ q)⇒ (⃝p ∧⃝q) PC(2.4.)6. ⃝(p⇒ ¬q)⇒ (⃝p⇒⃝¬q) Ax27. ¬(⃝p⇒⃝¬q)⇒ ¬⃝ (p⇒ ¬q) PC(6.)8. (¬⃝ p ∨⃝¬q) ∨ ¬⃝ (p⇒ ¬q) PC(7.)9. (¬⃝ p ∨ ¬⃝ q) ∨ ¬⃝ (p⇒ ¬q) Ax3(8.)10. (⃝p ∧⃝q)⇒⃝(p ∧ q) PC(9.)11. (⃝p ∧⃝q)⇔⃝(p ∧ q) PC(5.10.)

Primer 3.10 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokazite (sami!) formulu

�(p ∧ q)⇒ (�p ∧�q).

Primer 3.11 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokazimo formulu

p ∧⃝�p⇒ �p.

1. �p⇒ (p ∧⃝�p) Ax5.2. ⃝�p⇒⃝(p ∧⃝�p) Gen2(1.)3. p ∧⃝�p⇒⃝(p ∧⃝�p) PC(2.)4. p ∧⃝�p⇒ �(p ∧⃝�p) Ind(3.)5. �(p ∧⃝�p)⇒ (�p ∧�⃝�p) Primer(prethodni)6. p ∧⃝�p⇒ (�p ∧�⃝�p) PC(4.5.)7. p ∧⃝�p⇒ �p PC(6.)

Za vezbu, citalac moze naci izvodenja za sledece formule:

1. (�p ∧�q)⇒ �(p ∧ q)

2. (�p ∨�q)⇒ �(p ∨ q)

3. ⃝(p ∨ q)⇒ (⃝p ∨⃝q)

4. �⃝ p⇔⃝�p

3.4. Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 119

5. (p⇒ ♢p) ∧ (⃝p⇒ ♢p) ∧ (�p⇒ ♢p)

6. ♢(p ∨ q)⇔ (♢p ∨ ♢q)

(Za resenja videti knjigu M. Ben-Ari: Mathematical Logic for ComputerScience, Springer, 2001, str 259-260.)

Glava 4

Skupovi, ordinali, kardinali

O paradoksima u matematici

Najsire shvaceno, paradoks (ili antinomija) je rasudivanje koje vodi uprotivurecnost, iako izgleda da su polazne postavke tacne, a pravila ra-sudivanja ispravna. Krajem XIX veka otkriveni su neki paradoksi u naivnojteoriji skupova, koji u pocetku nisu smatrani previse ozbiljnim. No, kadaje Bertrand Russell 1902. godine obavestio matematicare i filozofe svogvremena o otkrivanju jednog paradoksa, koji lezi na pocetnim stepenicamateorije skupova, doslo je do prave krize matematike. Naime, potrebne susamo male izmene u formulaciji Russellovog paradoksa, da bi se dobila kon-tradikcija koja se moze formulisati na jeziku vecine logickih pojmova.

Sigurno da Russellov paradoks nije bio prvi koja se pojavio u mate-matici. Jos su se stari Grci suocavali sa nekim paradoksima koji su dovelido pravih kriza u matematici. No, njihovim razresavanjem uvek je, pre ilikasnije, dolazilo do kvalitativnog razvoja odredene matematicke discipline.Setimo se samo da je fenomen nesamerljive dijagonale inspirisao tadasnjematematicare tako jako, da se izradila citava jedna teorija, tzv. teorija pro-porcija (sadrzana u V i X knjizi Euklidovih elemenata), a iz te teorije jekasnije izrasla teorija iracionalnih brojeva. Slicno, teorija ekshaustijeje bila inspirisana jednim paradoksom koji ima vise oblika, a sustina jeuvek u tome da se jedna konacna velicina ne moze izgraditi od beskonacnomnogo beskonacno malih velicina. Na primer, taj paradoks je sustina priceo trci Ahila i kornjace. U teoriji ekshaustije su sadrzani, u stvari, ele-menti integralnog racuna. Pocetkom XIX veka do krize matematike je

121

122 Glava 4. Skupovi, ordinali, kardinali

ponovo dovela neogranicena, bezobzirna i nepazljiva primena beskonacnomalih velicina. Izlaskom iz te krize (pre svega radovima Cauchyja i Weier-strassa) matematicka analiza je postavljena na sigurnije temelje.

Otkrivanje paradoksa u teoriji skupova krajem XIX veka dovelo je donaglog razvoja matematicke logike, sto je svakako uticalo kako na modernumatematiku, tako i na logiku kao filozofsku disciplinu. Da ilustrujemo kakoi zasto je (pre svega) Russellov paradoks toliko uzdrmao osnove matematikei logike, navedimo nekoliko paradoksa, koji imaju analognu strukturu kaoRussellov paradoks, a formulisani su u veoma jednostavnim terminima.

• Paradoks lazovaNajstarija verzija tog paradoksa je cuvena recenica kritskog filozofaEpimenida ”Svi Kricani lazu”, koja (bez dodatnih pojasnjenja) jos nedovodi do kontradikcije, ali se moze lako prepraviti u recenicu kojavec krije u sebi protivurecnost. Na primer, danas je izvesni Pera Pericnapisao jednu jedinu recenicu: ”Jedina recenica, koju je Pera Pericdanas napisao, jeste netacna.” Ili, jos jednostavnije, ”Ova recenica jelazna.” Da li je ta recenica tacna ili ne?

• Paradoks briceBilo jednom jedno selo koje je imalo svog bricu. Brica je brijao tacnoone ljude u selu koji se ne briju sami. Pitanje je da li se brica sambrije ili ne?

• Richardov paradoks (1905)Richardov paradoks je, u stvari, karikatura Cantorovog dijagonalnogpostupka. Naime, posmatrajmo one realne brojeve izmedu 0 i 1 koji semogu okarakterisati recenicom konacne duzine. Jasno, ovakvih brojevaima prebrojivo mnogo. Poredajmo ih nekako u niz i neka je r broj saosobinom ”Na i-tom decimalnom mestu u zapisu broja r stoji 1, akoi-ti broj u tom nizu na i-tom decimalnom mestu ima cifru razlicituod 1; inace, (ako i-ti broj u tom nizu na i-tom decimalnom mestuima cifru 1) neka r na i-tom decimalnom mestu ima cifru 2.” Tada ristovremeno i mora biti na tom spisku a i ne moze biti na tom spisku.

• Grellingov paradoks (1908)U ovom paradoksu razmatra se tzv. ”samoprimenjivost” reci. Prime-timo, naime, da neke reci imaju istu osobinu koju oznacavaju. Naprimer, rec ”srpski” je srpska rec, ”viseslozno” je viseslozna rec, ”ap-straktno” je apstraktna rec, itd. Neke druge reci, pak, nemaju tu

123

osobinu, na primer: ”plavo”, ”daleko”, ... Nazovimo te reci hetero-gene. Pitanje je, da li je rec ”heterogeno” heterogena ili ne?

Sta su zajednicke osobine svih ovih paradoksa? To je pre svega nekavrsta ”samopozivanja” (”self-reference”); dalje, kljucni pojam se definisepomocu neke totalnosti kome i on sam pripada i u svim paradoksima imamoneko kruzenje u argumentaciji. No, izbaciti iz rezonovanja sve takvepojmove mozda bi bio suvise jak lek – mozda bi ”zajedno sa vodom izbacilii dete iz korita”.

Kada su se paradoksi ovog tipa pojavili i u teoriji skupova, matema-ticari tog vremena su razlicito reagovali. Neki su se brzo trgli posle pr-vog soka, zakljucivsi da su svi ti paradoksi vestacki (kao sto su vestackei sve neprekidne funkcije koje nigde nemaju izvod) i da na polja pravihmatematickih istrazivanja (na analizu i geometriju) ovi paradoksi ne uticudirektno. No, drugi su se ozbiljno zabrinuli, pre svega zato sto se paradoksjavio u osnovama matematike. Takode, sama logika je dovedena u pitanje.Tesko je povuci granicu izmedu matematike i logike pa ako vec moramopraviti restrikcije u primeni logike u matematici, onda je bolje te restrikcijeformulisati eksplicitno, nego zazmuriti i nadati se da valjda nece doci dohaosa.

Naivna teorija skupova i paradoksi

Teorija skupova bila je stvorena radovima matematicara XIX veka kojisu hteli da razrade osnove matematicke analize, i prvi radovi iz te oblasti(Bolzano, Dedekind) su bili posveceni skupovima brojeva i skupovima funk-cija. Za oca teorije skupova se smatra Georg Cantor. On je prvi poceoda razmatra skupove sa proizvoljnim elementima. U periodu 1871–1883 onje postavio temelje teorije dobro uredenih skupova i objavio prve radove okardinalnim i ordinalnim brojevima.

Cantorova otkrica iz tzv. apstraktne teorije skupova u pocetku su sesuocavala sa nepoverenjem i cak sa otvorenim protivljenjem vecine mate-maticara, dok su filozofi uglavnom bili nezainteresovani. Tek se pocetkomdevedesetih godina teorija skupova pocinje naglo i siroko primenjivati u ana-lizi i geometriji. Medutim, bas u trenutku kada je teorija skupova trebala dadosegne svoj vrhunac, 1895. Cantor srece prvi paradoks u svojoj teoriji. Onga saopstava Hilbertu 1896. ali ga ne publikuje. Naime, problem se pojaviou prilicno tehnickom delu teorije dobro uredenih skupova i postojala je nada


da bi male revizije u dokazima teorema, koje pripadaju tom delu, popravilesituaciju. Godinu dana kasnije Burali–Forti ponovo otkriva taj paradoks,pubikuje ga i danas je on poznat pod imenom Burali–Fortijev paradoks.

• Burali–Fortijev paradoks (1897)Po jednoj teoremi, dobro ureden skup W svih ordinala ima veci ordinalod svih elemenata od W . No, to bi znacilo da je W veci od svihordinala, pa i od samog sebe.

Dve godine kasnije Cantor otkriva slican paradoks u teoriji kardinala(publikuje ga tek 1932):

• Cantorov paradoks (1899)Po Cantorovoj teoremi, skup P(S) ima veci kardinal od S. Posmatra-jmo sada skup svih skupova, u oznaci U . Tada P(U) ima veci kardinalod U , sto je nemoguce jer P(U) ⊆ U.

U junu 1901. godine Russell zapaza isti fenomen i posle analize dokazaCantorove teoreme konstruise novi paradoks, koji je mnogo elementarniji– ne trebaju nam ni podskupovi ni partitivni skupovi ni pojam kardinala.Podsetimo se dokaza Cantorove teoreme. Da bi se dokazalo da P(X) imaveci kardinalni broj od skupa X, pretpostavi se suprotno tj. krene se odpretpostavke da postoji injekcija φ : P(X)→ X, pa se za skup

A = {φ(S) : φ(S) ∈ S, S ⊆ X}

dobija zakljucak

φ(A) ∈ A⇔ φ(A) ∈ A.

Posto smo dosli do kontradikcije, nasa polazna pretpostavka nije tacna, tj.ne postoji injekcija φ : P(X)→ X.

• Russellov paradoks (1903)Posmatrajmo skup S = {X : X ∈ X} tj. skup svih skupova koji nisuelementi samog sebe. Da li je S element od S ili nije? Odgovor na topitanje je kontradiktoran, jer po definiciji skupa S,

S element od S ⇔ S nije element od S.

125

Russell obavestava Fregea pismom o svom otkricu, i publikuje paradoks1903. godine. Istovremeno a nezavisno od Russella, taj isti paradoks raz-matra grupa matematicara, sa Zermelom na celu, u Gottingenu.

Za razliku od prva dva paradoksa, Russellov je bio pravi sok za onematematicare koji su u to vreme bili okupirani problemima fundamenata.Tako, Dedekindov esej (1888) o prirodi i smislu brojeva bazira teorijubrojeva na relaciji pripadanja i koristi pojam skupa u Cantorovom smislu.Zbog Russellovog paradoksa Dedekind je zaustavio neko vreme publikovanjesvog eseja. Jos neprijatnije se iznenadio Frege. On je tada bas bio stavioposlednje crte na svoj glavni rad o formalnim sistemima, kada mu je Russellpisao o svom otkricu. U prvim recenicama apendiksa Frege priznaje daje Russellov paradoks poljuljao fundamente njegovog rada. Takode, vodecimatematicar tog vremena, Poincare, koji je u pocetku propagirao primenuteorije skupova, posle Russellovog otkrica se jednostavno okrenuo protiv teteorije.

Russellov paradoks nas podseca na pricu o ”selu i brici.” No, prica o”selu i brici” ima jasno resenje: prosto, nas brica je samokontradiktoran,pa se jednostavno zakljucuje da takvo selo ne moze da postoji. Medutim,u slucaju skupa S iz Russellovog paradoksa nije uopste jasno zasto on nebi postojao i zasto je on samokontradiktoran? I ako jeste (a jeste), koji josskupovi nose u sebi slicnu kontradikciju?

Iako nije mogao da resi Russellov paradoks, sam Cantor nije ni za trenu-tak izgubio veru u svoju teoriju. Cinjenica, da se i dalje cesce govori oparadoksima ili antinomijama a ne o kontradikcijama, pokazuje davecina matematicara, ipak, ”ne zeli da bude izgnana iz raja u koji nas jeCantor uveo” (Hilbert, 1926).

Kako izbeci paradokse u teoriji skupova?

Analiza paradoksa u naivnoj teoriji skupova je dovela pocetkom XX veka dorazlicitih planova za njihovo odstranjivanje. Napomenimo, da u to vremenije bilo jasno, sta bi mogla biti baza za eliminaciju Russellovog paradoksa.Osetila se potreba za skretanjem od uobicajenog misljenja kako u logici takoi u matematici, ali nije bilo jasno gde uciniti to skretanje.

Vecina pokusaja izgradnje sigurnije baze za teoriju skupova moze sepodeliti u tri grupe: to su logicisticki, intuicionisticki i aksiomatskipristup.


• Logicisticki pristupLogicisti su smatrali da je matematika deo logike i da za ”poprav-ljanje” osnova matematike pre svega treba intervenisati u logici. Uokviru logicistickog pristupa izdvojimo Russellovu opstu teoriju klasa(tzv. teoriju tipova). U toj teoriji Russell je ogranicavao formulekoje koristimo: naime, svakom objektu je dodelio nenegativan ceo broj(”tip” objekta) i formula x ∈ y ima smisla samo ako je tip od y zajedan veci od tipa od x. U tako dobijenoj teoriji se zaista ne javljajuuoceni paradoksi, no, strogim prihvatanjem teorije tipova mnogi rezul-tati teorije skupova (i matematike) postaju nepotrebno slozeni. Quineje u svojoj knjizi New Foundation for Mathematical Logic (1937) dora-dio i modifikovao Russellovu teoriju tipova. Ta teorija skupova se kas-nije nazvala New Foundation (NF), ali zbog svojih cudnih osobina(na primer nesaglasnosti sa Aksiomom izbora), ta teorija nikad nijepostala opste prihvacena. U logicisticki pristup modifikacije Cantoroveteorije spada jos i Hilbertov pokusaj uvodenja tzv ε−operatora kao ismestanje teorije skupova u okvire visevrednosnih logika (u kojima,na primer, iskaz p⇔ ¬p ne mora biti nuzno netacan).

• Intuicionisticki pristupZajednicka odlika svih do sada navedenih nacina resavanja problemazasnivanja matematike jeste nastojanje da se paradoksi izbegnu sa”sto manje bola” i da se sacuvaju svi postojeci rezultati Cantoroveteorije skupova. Za razliku od toga, intuicionisticki pristup uk-lanja paradokse tako sto radikalno menja logiku i time dovodi u pi-tanje citave grane klasicne matematike. Ideje intuicionizma prvi put suglasno izrekli Kronecker i njegovi saradnici (1870-1880), oglasavajucise protiv metoda Weierstrassa. Nov podstrek su dobili 1904. go-dine, kada je dokazana teorema o dobrom uredenju, tako da je 1907.Brouwer eksplicitno definisao teze intuicionizma, dok Heyting daje ak-siome te teorije 1930. godine. Osnovna odlika intuicionista jeste stooni ne priznaju univerzalni karakter nekih osnovnih zakona logike itvrde da se postojanje u matematici poklapa sa konstruktibilnoscu.Na primer, po intuicionistickom rezonu, zakon o iskljucenju treceg(P ili ne P) doduse vazi za konacne skupove, ali nema nikakvog oprav-danja preneti ga na beskonacne skupove. Takode, intuicionisti ne priz-naju tzv. indirektne i egzistencijalne dokaze: tvrdenje ”nije istinada za svako x vazi P (x)” ne dokazuje postojanje objekta x sa osobi-nom ¬P (x). Ovakvo rezonovanje, po njima, moze biti samo povodza trazenje konstruktivnog dokaza. Drugim recima, intuicionisti ce

127

priznati postojanje doticnog objekta x samo ako imamo nacin za nje-govu konstrukciju.

• Aksiomatski pristupPrvi aksiomatski sistem teorije skupova dao je Zermelo, 1908. go-dine. Posle je Fraenkel dopunio taj sistem, tako da se on danas zoveZF sistem aksioma, i mi cemo ga u daljem tekstu detaljno izloziti.Pored ZF sistema, u upotrebi je jos i tzv. NBG sistem aksioma.Tu teoriju je prvobitno uveo von Neumann (1925, 1928), a zatim suga dopunili R. Robinson (1937), P. Bernays (1937-1954) i K. Godel(1940). Von Neumannova ideja je bila da do kontradikcije u Can-torovoj teoriji skupova ne dolazi zbog velikih ”nezgodnih” skupova,nego zato sto su ti veliki skupovi neciji elementi. Tako, on je nekimobjektima zabranio da budu elementi nekog drugog objekta – te ob-jekte zovemo klase. Objekte koji su elementi nekog drugog objektaon zove skupovi. Za razliku od ZF teorije, NBG teorija ima konacnomnogo aksioma. No, iako se ZF teorija moze smatrati za podteorijuNBG teorije, sto se tice protivurecnosti, one su ravnopravne. Naime,moze se dokazati da je ZF teorija neprotivurecna ako i samo ako jeneprotivurecna NBG teorija. Naravno ni u jednoj teoriji se ne moguizvesti poznati paradoksi iz Cantorove teorije skupova.

Malo filozofije

Aksiomatske teorije se u matematici ne konstruisu samo kada se u nekojteoriji pojavi paradoks. Kod mnogih bogatih matematickih teorija (kao stosu recimo geometrija, matematicka analiza, matematicka logika ili teorijaskupova) semantika jeste prilicno nejasna i nosi delom filozofski karakter.Ako se oslonimo samo na intuiciju, lako dolazimo do raznih nejasnoca inesporazuma prilikom opisa konkretnih modela tih teorija.

Za izucavanje ovakvih bogatih matematickih teorija, sa slozenom i nejas-nom semantikom, veliki matematicar David Hilbert je pocetkom dvadesetogveka predlozio tzv. metod formalizacije. Metod se sastoji u tome, daumesto da radimo sa nepreciznom, maglovitom, intuitivnom teorijom T ,konstruisemo formalnu aksiomatsku teoriju T , koja opisuje semantickezahteve neformalne teorije T . To znaci da se prvo dogovorimo sta su nampolazni pojmovi (koje ne definisemo eksplicitno), polazne pretpostavke otim pojmovima (tzv. aksiome teorije T ) i pravila izvodenja, pomocu ko-


jih iz aksioma izvodimo tvrdenja u teoriji T . Naravno, pri tome se trudimoda aksiome i pravila izvodenja od T budu ”sto blize” neformalnoj teoriji T .Ako smo sve dobro odabrali, onda stavovi koje izvodimo formalno iz ak-sioma teorije T , (zaboravljajuci na znacenje) jesu sadrzajno tacne sa tackegledista teorije T i izrazavaju makar neki fragment teorije T . Ako je tajfragment zadovoljavajuce veliki i ako obuhvata sve interesantne crte teorijeT , onda formalnu teoriju T mozemo podvrgnuti preciznom matematickomispitivanju i na taj nacin suditi o semantici neformalne teorije T .

Naravno, aksiomatske teorije su se u matematici pojavljivale i pre Hil-bertovog programa o formalizaciji matematike. Prvi primer formalno-aksi-omatskog metoda u matematici mozemo pronaci jos kod Euklidovih ele-menata. U njima je pre svega aksiomatizovana geometrija (mada su nekeod tih knjiga posvecene aritmetici). Euklidov aksiomatski sistem nije biobez mana (na primer, u njemu nalazimo ”definicije” osnovnih pojmova kaosto su tacka, prava, a nedostaju aksiome neprekidnosti,...) ali predstavljaveliki korak u razvoju matematike uopste. Geometrija je dala bar jos dvaznacajna doprinosa afirmaciji formalno-aksiomatskog metoda. Prvi je razvojneeuklidskih geometrija, koji je krenuo kada su se, posle puno neuspelihpokusaja dokaza V Euklidovog postulata o paralelama, stvari pocele posma-trati iz drugog ugla: konstruisani su modeli u kojima taj stav ne vazi. Toje verovatno i prvi dokaz nezavisnosti nekog stava od neke teorije. Drugi(odnosno treci) veliki doprinos geometrije aksiomatskoj metodi predstavljaHilbertov sistem aksioma za geometriju, koji je i dan-danas jedan od naj-lepsih primera aksiomatske teorije u matematici.

Pored geometrije, danas mozemo naci primere aksiomatski zasnovanihteorija u svim oblastima matematike: od matematicke logike (formalni is-kazni racun, formalni kvantifikatorski racun, razne neklasicne logike, teorijeskupova), preko topologije do algebre i teorije kategorija. Pri tome mozemoprimetiti da postoji dva sustinski razlicita pristupa aksiomatizaciji. Odlikaprvog pristupa jeste kategoricnost: trudimo se da prilikom aksiomatizacijeuhvatimo sto vise od neformalne teorije T , i da je sto tacnije opisemo (tj.da modeli od T budu jedini modeli formalne teorije T ). Za razliku odtoga, u drugom pristupu glavni naglasak je na sveobuhvatnosti: zelimoda formalna teorija T obuhvati sto vise ”svetova” razlicite prirode tj. daotkrijemo zajednicke osobine sto vise neformalnih teorija (kao sto jeslucaj u univerzalnoj algebri, algebarskoj logici ili teoriji kategorija).

Sta su dobre strane aksiomatskog metoda uopste? Najvaznija dobraosobina formalnih aksiomatskih teorija jeste sto se stavovi u njima izvode

129

formalno iz aksioma, i sto se upotreba intuicije (sto moze biti izvor ne-preciznosti) svodi na neizbezan minimum. Drugim recima, za razumevanjerelacije formalne izvodivosti (T ⊢ φ) nema potrebe ulaziti u mozdaslozenu i nejasnu semantiku teorije T . Da bi ustanovili da li je φ teoremateorije T (tj. da li T ⊢ φ) dovoljno je konstruisati neko drvo izvodenjatj. opisati jednostavan sintakticki objekat sastavljen od simbola po strogimpravilima. Ako formalna teorija T ukljucuje logiku prvog reda, onda mozemoprecizirati pojmove kao sto su neprotivurecnost, potpunost teorije T , kao ito kada je neki stav saglasan odnosno nezavisan od T . Naime, kazemo daje teorija T neprotivurecna ako ne postoji recenica φ (na odgovarajucemjeziku) takva da T ⊢ φ i T ⊢ ¬φ Teorija T je potpuna ako za svakurecenicu φ vazi T ⊢ φ ili T ⊢ ¬φ. Recenica φ je saglasna sa T ako izneprotivurecnosti T sledi neprotivurecnost teorije T + φ (koja se dobija odT dodavanjem φ kao nove aksiome). Recenica φ je nezavisna od T ako sui φ i ¬φ saglasni sa T .

No, sada za trenutak moramo zastati i priznati nesto. Tacno je da za kon-strukciju izvodenja u teoriji T nema potrebe ulaziti u semantiku. Medutim,za izucavanje same teorije T (”spolja”), na primer, za dobijanje rezultatao nezavisnosti, takode je neophodna neka matematika. Ta matematika se uodnosu na proucavanu teoriju T zove metamatematika. Naravno, da je zarezultate o samoj teoriji T veoma znacajno pomocu kakve metamatematikesu dobijeni. Prema vec spomenutom Hilbertovom programu o osno-vama matematike, zahteva se da metamatematika bude sto siromasnija,sto ubedljivija i pre svega da koristi samo konacnost (tzv. ”zahtev strik-tne finitnosti”). Ovo se pokazalo kao suvise optimisticki zahtev. Naime, K.Godel je 1931. godine dokazao da se ”neprotivurecnost svake dovoljno bo-gate i efektivno aksiomatizovane teorije ne moze dokazati sredstvima samete teorije”. Za dokaz nam trebaju sredstva koja su s jedne strane dovoljnoprihvatljiva i ubedljiva, a s druge strane van okvira te teorije. Kako je teorijaskupova ”dovoljno bogata” teorija, to objasnjava i opravdava cinjenicu dase zasad ni za jednu aksiomatsku teoriju skupova (kao sto su ZF ili NBG)ne zna da li su neprotivurecne! Jedino sto nam je na raspolaganjuza dokaz neprotivurecnosti takvih mocnih teorija jeste klasican metod in-terpretacije (tj. ”brigo moja predi na drugoga”). Pomocu te metode sepitanje o neprotivurecnosti jedne teorije svede na pitanje neprotivurecnostidruge teorije.

Sto se tice potpunosti formalnih teorija, stvari ni ovde ne stoje sja-jno. Naime, prema drugom rezultatu K. Godela, ”svaka neprotivurecna,dovoljno bogata i efektivno aksiomatizovana formalna teorija jeste nuzno


nepotpuna”. Na primer, ZF teorija skupova je dovoljno bogata i, nadamose, neprotivurecna, pa je prema tome ”nepopravljivo” nepotpuna.

Da li ovi rezultati pokazuju, u stvari, nemoc formalno-aksiomatskogmetoda u matematici? Odgovor zavisi od toga, kakav nam je opsti filozof-ski pristup matematici. Prema nekim strogim formalistima, matematikutreba shvatiti samo kao jednu igru simbolima. Nema semantike, nema pi-tanja o sustinskoj istinitosti matematickih tvrdenja, jer mi ne opisujemorealan svet. Dok dokazujemo matematicka tvrdenja, mi se u stvari samo”igramo” konacnim nizovima simbola. Prema tzv. finitistima, u realnomsvetu postoje samo konacni objekti, tako da sva prica o beskonacnim ob-jektima je besmislena, bez znacaja i predstavlja samo igru maste. Najvecioptimisti u tom smislu su tzv. Platonisti. Oni smatraju da (”idealni”)matematicki objekti postoje van nas samih, i nasa misija je da otkrijemoistine o osobinama tih objekata. Ponekad u tome imamo vise uspeha, aponekad su nam, nazalost, metode otkrivanja istine nedovoljno mocne.

ZF sistem aksioma za teoriju skupova

U literaturi se mogu naci razliciti spiskovi aksioma koji nose naziv ZF sis-tem aksioma. Razlog za to lezi u cinjenici da ni u jednom od tih sistemanisu sve aksiome nezavisne, pa uglavnom zavisi samo od licnog ukusa autorakoju aksiomu (i u kom obliku) ce staviti, a koju ce izostaviti sa spiska.

Zermelov aksiomatski sistem je prezentiran 1908 godine, i on je bio prviaksiomatski sistem za teoriju skupova. Kasnije je taj sistem aksioma dopu-nio Fraenkel i tako dobijen spisak aksioma danas zovemo ZF-sistem ak-sioma za teoriju skupova, (i odgovarajucu formalnu teoriju ZF teorijaskupova).

ZF teorija skupova je teorija prvog reda sa jednakoscu. Podsetimo se daje u takvim teorijama ”=” logicki simbol, pri cemu se x = y uvek interpretirakao jednakost objekata. Jedini nelogicki simbol ZF teorije jeste binarnirelacijski simbol ”∈”. Po dogovoru, umesto ¬x ∈ y pisemo x ∈ y.

U daljem cemo uporedo, korak po korak, navoditi semanticki zahtev kojiopisuje intuitivan pojam skupa i odgovarajucu aksiomu formalne teorije,koja bi trebala da pokriva taj zahtev. Po dogovoru, u aksiomama cemopodrazumevati univerzalne kvantifikatore po svim slobodnim promenljivama(tako da su sve aksiome univerzalno zatvorene).

131

O jednakosti skupova

1. Ako dva skupa Ax1. Aksioma ekstenzionalnostiimaju iste elemente, (∀z)(z ∈ x⇔ z ∈ y)⇒ x = y

oni su jednaki

Primetimo da (zbog same prirode logickog simbola =) u Aksiomi eksten-zionalnosti smer⇐ uvek vazi. Nekada se umesto navedene formule, za Ax1.uzima formula

(∀z)(x ∈ z ⇔ y ∈ z)⇒ x = y,

sto na kraju daje ekvivalentan sistem aksioma.

O praznom skupu

2. Postoji skup Ax2. Aksioma praznog skupakoji nema (∃u)(∀x)x ∈ uelemente

Lako se moze dokazati (na osnovu Ax1.) da je takav skup u, ciju egzisten-ciju obezbeduje Ax2, jedinstven. Uobicajeno je da se obelezava sa ∅, i zoveprazan skup. U daljem se koristi jezik, koji je prosiren ovim novouve-denim simbolom, naravno imajuci u vidu da je novi simbol otklonjiv u svimformulama na tako prosirenom jeziku.

O skupu sa dva elementa

3. Ako su x i y Ax3. Aksioma paraskupovi, onda postoji (∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ (z = x ∨ z = y))skup z koji sadrzi

tacno x i y kao elemente.

Rutinski, koristeci samo Ax1, moze se dokazati da je skup u iz Ax3.jedinstven; obelezavamo ga sa {x, y}. Po dogovoru, umesto {x, x} pisemo{x}.

O uniji

4. Ako je x skup, Ax4. Aksioma unijeonda postoji skup (∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ (∃v)(v ∈ x ∧ z ∈ v))y koji sadrzisve elemente

elemenata od x.


Skup u iz Ax4. je jedinstven i obelezavamo ga sa∪x. U slucaju da je

x = {u, v}, umesto∪x pisemo u ∪ v. Primetimo da na osnovu prve cetiri

aksiome mozemo dokazati egzistenciju, na primer, sledecih skupova:

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .

Uvedimo oznaku z ⊆ x za formulu (∀t)(t ∈ z ⇒ t ∈ x). Kako je novouvedenisimbol otklonjiv, u daljem ga mozemo slobodno koristiti, a da sustinski ne”pokvarimo” formalnu teoriju ZF. Ako je z ⊆ x, kazemo da je z podskupod x.

O partitivnom skupu

5. Ako je x skup, Ax5. Aksioma partitivnog skupaonda postoji skup (∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ z ⊆ x)u koji sadrzi svepodskupove skupa

x.

Kao i ranije, skup u iz Ax5. je jedinstven i obelezavamo ga sa P(x).

Primetimo da Ax5. govori samo o postojanju skupa svih podskupova nekogskupa x, a ne omogucuje da se dokaze postojanje nekog specijalnog pod-skupa od x, koji bi sadrzao one elemente iz x koji imaju neku zajednicku”osobinu”. Naravno, upravo ovakvo izdvajanje (ili ”skupljanje”) objekata naosnovu neke njihove zajednicke osobine cini sustinu pojma skupa, pa svakaformalna teorija, koja ima za cilj da opise intuitivnu teoriju skupova, moraizrazavati ovaj semanticki zahtev. S druge strane, nekriticna i previse slo-bodna primena tog zahteva nas je i dovela do poznatih paradoksa u naivnojteoriji skupova. Pomirenje ta dva suprotna kriterijuma u ZF teoriji je sadr-zano u tzv. Aksiomi podskupa (komprehenzije, izdvajanja).

O slobodi formiranja skupa

6. Imati ”sto vise”, Ax6. Aksioma podskupaskupova ali izbeci (∃u)(∀x)(x ∈ u⇔ (x ∈ z ∧ φ(x)))(bar poznate) para- gde je φ(x) proizvoljna formula

dokse u teoriji jezika ZF, koja ne sadrzi slob.skupova. prom. u.

Naravno, za svaku takvu formulu φ(x) imamo po jednu aksiomu, pa se zaAx6. kaze da je ”sema aksioma”. Kako je za sve odgovarajuce formule

133

φ(x) skup u iz Ax6 jedinstven, uvodimo oznaku: {x : x ∈ z ∧ φ(x)} ili{x ∈ z : φ(x)}. Dakle, Ax6. nam omogucava da, (pod uslovom da je z nekiskup), izdvojimo u skup one elemente iz z koji imaju osobinu φ. Kako se”univerzalni skup” tj. kolekcija ovih skupova ne moze formirati na osnovuAx6, time smo izbegli sve ranije navedene paradokse koji su se javljali unaivnoj teoriji skupova.

Na osnovu Ax1−Ax6. mozemo definisati pojmove kao sto su: presek, ra-zlika, direktan proizvod skupova, relacije, funkcije, ordinali, kardinali ... Bezpreterivanja, sve sto koristimo u ”svakodnevnom radu” u matematici. No,vazno je primetiti da zasad nemamo obezbedenu egzistenciju beskonacnogskupa. Svi skupovi, koji se mogu konstruisati na osnovu aksioma Ax1−Ax6su konacni. Beskonacnost ”ulazi” u nas formalni sistem pomocu tzv. Ak-siome beskonacnosti

O beskonacnom skupu

7. Postoje beskona- Ax7. Aksioma beskonacnosticni skupovi. (∃u)(∅ ∈ u ∧ (∀z)(z ∈ u⇒ z ∪ {z} ∈ u))

Kasnije cemo detaljno razmatrati pitanje da li i u kojoj meri Ax7. pokrivaodgovarajuci semanticki zahtev. Na ovom mestu napomenimo samo da skupu iz Ax7 sadrzi, kao svoje elemente sledece skupove:

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .

i da ti skupovi imaju redom 0, 1, 2, 3, . . . elemenata. Drugim recima, skupu iz Ax7, u stvari, u nasem formalnom sistemu pokriva intuitivan pojamskupa prirodnih brojeva.

Na kraju su nam ostale dve bitne aksiome, koje imaju za zadatak dajos vise prilagode formalni sistem odgovarajucoj intuitivnoj teoriji. Prvaod njih sluzi da prosiri domen modela formalne teorije, a druga da je malo”skrati”.

O slikama skupova

8. Funkcija preslikava Ax8. Aksioma zameneskup na skup (∀a)((∀x ∈ a)(∃!y)ϕ(x, y)⇒

(∃z)(∀x ∈ a)(∃y ∈ z)ϕ(x, y))za sve formule ϕ(x, y) koje nemaju

slob. prom. y.


Naravno, i Ax8 je sema aksioma (kao Ax6). Ovu aksiomu je Zermelovomsistemu dodao Fraenkel, i mi cemo je kasnije tokom rada nekoliko putakoristiti.

Kao sto smo rekli, aksioma koja sledi ”oduzima” od slobode formalnogsistema. Naime, ona sluzi da iskljuci takve ”patoloske” skupove u kojima bivazilo, na primer, x ∈ x ili x ∈ y ∧ y ∈ x.

O zabrani losih skupova

9. Ne postoje skupovi Ax9. Aksioma fundacijesa osobinama x = ∅ ⇒ (∃y ∈ x)(∀t)¬(t ∈ x ∧ t ∈ y)

x ∈ xx ∈ y, y ∈ x

x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ · · · ∋ xn ∋ . . .

Nije tesko dokazati da Ax9 zaista ”postize svoj cilj” tj. iskljucuje postojanjemnogih ”patoloskih” skupova. No, moguce je dokazati mnoge stvari i bezAx9 – cesto se prilikom izlaganja rezultata ZF teorije zeli posebno naglasiti,da su dobijeni bez Ax9. Formalni sistem koji se oslanja samo na Ax1−Ax8obelezava sa ZF−. Napomenimo, da se u teorijskom racunarstvu cesto javl-jaju fenomeni koji imaju prirodan opis u ZF−. Ax1−Ax9 cine aksiomatskisistem za ZF teoriju skupova.

Operacije sa skupovima

Sad, kada smo postavili ”temelje” ZF teorije skupova, matematicke pojmovemozemo uvoditi postepeno, korak po korak. Pri svakom koraku, u principu,moze se ostati strogo u okvirima jezika ZF teorije. No, u praksi, to jenepotrebno i zamarajuce. Zbog toga, svaki put kada se uvede novi pojam,dogovaramo se o skracenom zapisivanju (obelezavanju) odredenih formulaiz ZF teorije, dajemo imena novim pojmovima, i tako omogucavamo vecupreglednost i itljivost. Takode, sto je jako vazno, na taj nacin ne gubimokontakt sa nasom matematickom intuicijom, bez koje bi izgradivanje bilokoje formalne matematicke teorije bilo mehanicko i bez lepote.

Uobicajeno je da izgradnja novih pojmova u ZF teoriji krene od definicijaraznih operacija sa skupovima. Prvo, Aksioma unije ZF teorije garantujepostojanje unije skupa A :∪

A = {x : (∃y ∈ A)x ∈ y}.

135

U slucaju da je A = {X,Y }, onda umesto∪A pisemo X ∪ Y , a ako je

A = {Xi : i ∈ I} onda uniju skupa A obelezavamo i sa∪

i∈I Xi ili∪i∈I

Xi.

Neka je F ⊆ P(A). Presek skupa F definisemo sa∩F = {x ∈ A : (∀y ∈ F )x ∈ y}.

Lako se vidi da je u slucaju F = ∅, skup∩F nezavisan od skupa A, dok je∩

∅ = A. U slucaju da je F = {X,Y }, onda umesto∩F pisemo X ∩ Y , a

ako je F = {Xi : i ∈ I} onda presek skupa F obelezavamo i sa∩

i∈I Xi ili∩i∈I

Xi.

Skupovi X i Y su disjunktni ako je X ∩ Y = ∅. Za skupove A i Bnjihovu razliku definisemo sa

A \B = {x ∈ A : x ∈ B}.

Ako je B ⊆ A, umesto A \ B pisemo i CA(B) i za taj skup kazemo da jekomplement skupa B u odnosu na A. Ukoliko se iz konteksta skup Apodrazumeva, umesto CA(B) pisemo i samo B.

Ureden par elemenata a i b, u oznaci ⟨a, b⟩ jeste skup {{a}, {a, b}}. Zaelement a kazemo da je prva komponenta a za b druga komponentauredenog para ⟨a, b⟩.

Direktan proizvod skupova A i B se definise kao

A×B = {⟨a, b⟩ : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Pojam uredene n−torke, za n ≥ 1, se definise na sledeci nacin:1) ⟨a1⟩ = a1,2) ⟨a1, . . . , an⟩ = ⟨⟨a1, . . . , an−1⟩, an⟩, za n > 1.

Direktan proizvod skupova A1, . . . , An jeste

A× · · · ×An = {⟨a1, . . . , an⟩ : (∀i)(1 ≤ i ≤ n⇒ ai ∈ Ai)}.

Specijalno, ako je A1 = · · · = An = A, onda umesto A1 × · · · × An pisemoAn, i taj skup zovemo n−ti (direktan) stepen skupa A.

Relacije

Pojam direktnog stepena skupa nam omogucava da uvedemo sledeci vazanpojam u matematici: pojam relacije.


Neka je n ≥ 1 neki prirodan broj i A neki skup. n-arna relacija na Ajeste bilo koji podskup od An. Ako je ρ n−arna relacija na A i B ⊆ A, ondarestrikcija od ρ na B jeste relacija ρ|B = ρ ∩ Bn. Ako nema opasnostiod zabune, onda cemo indeks izostaviti i umesto ρ|B pisati samo ρ. 2–arnerelacije zovemo binarne relacije. Za binarnu relaciju ρ, umesto ⟨a, b⟩ ∈ ρmozemo koristiti jedan od sledecih ekvivalentnih zapisa:

ρ(a, b), aρb, a ≡ b(modρ), a ≡ρ b.

Dijagonalna relacija △A skupa A jeste

△A = {⟨a, a⟩ : a ∈ A},

dok relacijuA2 zovemo puna relacija na A. Relacija ρ ⊆ A2 je refleksivnana A ako je △A ⊆ ρ, a irefleksivna ako ρ ∩ △A = ∅. Inverzija relacijeρ ⊆ A2 jeste relacija ρ−1 ⊆ A2 definisana sa

⟨a, b⟩ ∈ ρ−1 ⇔ ⟨b, a⟩ ∈ ρ.

Relacija ρ ⊆ A2 je simetricna ako je ρ = ρ−1, a antisimetricna akoρ ∩ ρ−1 ⊆ △A.

Proizvod ρ ◦ δ binarnih relacija ρ i δ na A jeste definisan sa

⟨a, b⟩ ∈ ρ ◦ δ ⇔ (∃c ∈ A)(⟨a, c⟩ ∈ ρ ∧ ⟨c, b⟩ ∈ δ).

Za svaki prirodan broj n mozemo definisati relaciju ρn na sledeci nacin:

ρ0 = △A, ρn+1 = ρn ◦ ρ.

Relacija ρ je tranzitivna ako je ρ2 ⊆ ρ. Tranzitivno zatvorenje binarnerelacije ρ ⊆ A2 je relacija ρt =

∪{ρn : n ≥ 1}. Nije tesko videti da je ρt

najmanja (u odnosu na ⊆) tranzitivna relacija na A koja sadrzi ρ.

Za relaciju ρ na A kazemo da je relacija ekvivalencije na A ako je ρrefleksivna na A, simetricna i tranzitivna. U tom slucaju, klasa (ekviva-lencije) elementa x ∈ A je skup x/ρ = {y ∈ A : xρy}. Skup svih klasaekvivalencije je kolicnicki skup (po modulu ρ), i obelezavamo ga sa A/ρ.Za ρ kazemo da je konacnog indeksa ako je skup A/ρ konacan. Primetimoda je za relaciju ekvivalencije ρ na A, skup A/ρ jedna particija skupa A tj.A =

∪A/ρ i za razlicite X,Y ∈ A/ρ, X ∩ Y = ∅. Obratno, svaka particija

137

skupa A je jednaka sa A/ρ, za neku pogodnu relaciju ekvivalencije ρ na A.Skup svih relacija ekvivalencije na A obelezavamo sa EqvA.

Parcijalno uredenje (ili poredak ili uredenje) skupa A jeste binarnarelacija ρ ⊆ A2 koja je refleksivna na A, antisimetricna i tranzitivna. Naprimer, uobicajena relacija ”≤” na skupu prirodnih (ili celih, racionalnih,realnih) brojeva jeste uredenje. Takode, relacija ”⊆” na nekom skupu A ⊆P(S) jeste uvek uredenje na A. Uredenje najcesce obelezavamo simbolom ≤(bez obzira da li ono ima ili nema veze sa uobicajenim uredenjem na nekomskupu brojeva).

Za relaciju ρ ⊆ A2 kazemo da je striktno uredenje na A, ako je onairefleksivna, antisimetricna i tranzitivna.

Detaljniji pregled pojmova u vezi relacija uredenja dajemo u Glavi 2.

Funkcije

Sledeci fundamentalan pojam cije strogo zasnivanje, u principu, mozemouraditi unutar ZF teorije jeste pojam funkcije. Kao i do sada, citalac moze,radi vezbe, za svaki novi pojam ispisati odgovarajucu formulu na jeziku ZFteorije.

Funkcija (preslikavanje) iz A u B je podskup od A × B, takav daza svaki a ∈ A postoji tacno jedan b ∈ B tako da je ⟨a, b⟩ ∈ f. Skup svihfunkcija iz A u B obelezavamo sa BA. Ako je f funkcija iz A u B, ondakazemo da je A domen, B kodomen i pisemo f : A → B. U slucaju da⟨a, b⟩ ∈ f, pisemo f(a) = b ili fa = b ili f : a 7→ b. Na taj nacin,

f = {⟨a, f(a)⟩ : a ∈ A}.

Prema tome, u slucaju, kada je A = B tj. kada f : A → A, funkcijaf je (specijalna) binarna relacija skupa A. Dijagonalna relacija ∆A jestefunkcija, i zovemo je identicna funkcija skupa A; obelezavamo je sa 1A iliidA. Ako je f : A → B i X ⊆ A, restrikciju funkcije f na X definisemokao f|X : X → B, tako da za sve x ∈ X , f|X(x) = f(x).

Neka je f : A→ B. Funkcija f je

• injektivna (ili ”1–1”) ako za sve x, y ∈ A vazi: ako f(x) = f(y) ondax = y;


• sirjektivna (ili ”na”) ako za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da jef(x) = y;

• bijektivna (ili je bijekcija) ako je injektivna i sirjektivna.

Ako f : A → B i g : B → C, onda funkciju g ◦ f definisemo kaog ◦ f : A→ C, tako da za sve x ∈ A

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Ako je data neka funkcija f : A → B, kazemo da je funkcija g : B → Ainverzna za f ako vazi:

f ◦ g = 1B, g ◦ f = 1A.

Moze se lako dokazati da funkcija ima najvise jednu inverznu funkciju. In-verznu funkciju od f , ako postoji, obelezavamo sa f−1.

Svaka funkcija f : A → B indukuje dve funkcije koje preslikavaju P(A)u P(B), odnosno P(B) u P(A), na sledeci nacin: ako je X ⊆ A i Y ⊆ Bonda

f(X) = {f(x) : x ∈ X}

f−1(Y ) = {x ∈ A : f(x) ∈ Y }

Za skup f(X) kazemo da je f -slika skupa X. Skup f(A) obelezavamo i sarang(f). Skup f−1(Y ) je kompletna inverzna slika skupa Y (u odnosuna preslikavanje f). Kao sto vidimo, oznaka f−1 se koristi u dve razlicitesvrhe, tako da se pravo znacenje mora zakljuciti iz konteksta.

Jezgro funkcije f : A→ B je binarna relacija ker f na A definisana sa

⟨x, y⟩ ∈ ker f ⇔ f(x) = f(y).

Nije tesko videti da je jezgro proizvoljne funkcije f : A → B jedna relacijaekvivalencije skupa A. U opstem slucaju, ako je ρ neka relacija ekvivalencijeskupa A, onda preslikavanje skupa A u kolicnicki skup A/ρ, koje proizvoljanelement a ∈ A preslikava u klasu a/ρ, zovemo prirodno preslikavanje ioblelezavamo sa nat(ρ).

(Indeksiran) sistem F = ⟨Fi : i ∈ I⟩ (indeksiran skupom I) je funkcijaF sa domenom I, tako da je F (i) = Fi. Ova notacija ce se koristiti kada

139

je naglasak na nabrajanju elemenata iz {Fi : i ∈ I} (mozda i sa ponavl-janjima), a ne na skupu I. Primetimo da je svaki skup A kodomen nekogindeksiranog sistema, naime sistema ⟨a : a ∈ A⟩.

Ako je ⟨Ai : i ∈ I⟩ neki sistem skupova (tj. Ai je skup za sve i ∈ I),onda ∏

⟨Ai : i ∈ I⟩ ili∏i∈I

Ai

obelezava skup svih funkcija f sa domenom I tako da je f(i) ∈ Ai, za svei ∈ I. Skup

∏i∈I Ai se zove (direktan ili Dekartov) proizvod sistema

⟨Ai : i ∈ I⟩. Postoji prirodna bijekcija izmedu direktnog proizvoda A0 ×· · · × An−1 i skupa A =

∏⟨Ai : i ∈ {0, . . . , n − 1}⟩, pri kojoj se uredena

n−torka ⟨a0, . . . , an−1⟩ preslikava na funkciju a ∈ A za koju je a(i) = ai,za 0 ≤ i ≤ n − 1, pa je uobicajeno da se ne pravi razlika izmedu skupovaA0 × · · · × An−1 i

∏⟨Ai : i ∈ {0, . . . , n− 1}⟩. Shodno tome, u slucaju da je

I = {0, . . . , n − 1}, necemo praviti razliku izmedu skupa BI (svih funkcijaf : I → B) i direktnog stepena Bn.

Aksioma izbora

Slika 1.

Neka je ⟨Bi : i ∈ I⟩ sistemnepraznih skupova. Da li je di-rektan proizvod B =

∏⟨Bi : i ∈

I⟩ takode neprazan? Jasno, akofamilija F = {Bi : i ∈ I} ima samokonacno mnogo elemenata, recimoF = {B0, . . . , Bn−1}, onda biran-jem po jednog elementa bi iz svakognepraznog skupa Bi dobijamo da⟨b0, . . . , bn−1⟩ ∈ B. No, ako je rec obeskonacno mnogo nepraznih sku-

pova Bi, i ∈ I, da li je moguce odabrati istovremeno po jedan element izsvih Bi?

Mozemo postaviti i sledece (na prvi pogled specijalnije) pitanje: Akoje X skup medusobno disjunktnih nepraznih skupova, da li postoji skup S(tzv. selekcioni ili izborni skup) koji sadrzi tacno po jedan element izsvih tih nepraznih skupova? Tvrdenje koje kaze da ”izborni skup” uvekpostoji, danas je poznato pod imenom Aksioma izbora:


• Aksioma izbora (AC)Neka je X skup nepraznih skupova. Tada postoji skup S (tzv. se-lekcioni ili izborni skup) koji sadrzi tacno po jedan element iz svihelemenata skupa X.

Mnogi matematicari, ukljucujuci i Cantora, koristili su neki oblik Ak-siome izbora jos krajem XIX veka, ali je nisu eksplicitno navodili. Prvi putje eksplicitno navodi G. Peano, 1890 godine, jer je pri dokazu jedne teoremeu teoriji obicnih diferencijalnih jednacina naisao na problem koji je zahtevaorezonovanje koje je izrazeno u AC. Beppo Levi je 1902. godine pokazao dase ne moze dokazati da je unija disjunktnih nepraznih skupova koji cine skupX vece ili jednake moci (kardinalnost) nego skup X, i da se dokaz moze datisamo u slucaju da mozemo da istaknemo po jedan element iz svakog skupaiz X. B. Russell je Aksiomu izbora 1906. godine formulisao ovako:

• Multiplikativna aksioma Ako je X skup disjunktnih nepraznih skupova,onda je

∏X = ∅.

Zermelo je Multiplikativnu aksiomu formulisao u opstem slucaju, takoda skupovi u X ne moraju biti disjunktni.

Prema tome, ako prihvatimo princip o postojanju izbornog skupa, nasemformalnom sistemo ZF treba dodati sledecu aksiomu:

O postojanju izbornog skupa

10. Za svaki skup Ax10. Aksioma izbora (AC)X disjunktnih nepraz- (∀x, y ∈ X)(x = ∅ ∧ (x = y ⇒ x ∩ y = ∅))⇒nih skupova postoji (∃S)(∀t ∈ X)(∃!u)u ∈ t ∩ S

izborni skup.

Teoriju ZF+AC, u kojoj je aksiomama ZF teorije dodata Aksioma izbora,obelezavamo sa ZFC.

Prilikom pokusaja dokaza AC pronadeni su mnogi ekvivalenti te ak-siome (danas je poznato vise od 100 takvih ekvivalenata). Tek je poslepronalazenja ekvivalenata Aksiome izbora postala sumnjiva njena ”jednos-tavnost i ociglednost”. Tako, mnogi matematicari su poceli da odbacujuAC tek posle dokaza da je AC ekvivalentna sa tzv. Aksiomom o dobromuredenju, prema kojoj se svaki skup (pa recimo i skup realnih brojeva)moze dobro urediti (vidi Glavu 2.).

141

Pitanje ”sumnjivosti” AC u odnosu na ostale aksiome ZF teorije razresioje 1939. godine K. Godel. On je dokazao da je AC saglasna sa ZF teorijomtj. ako je ZF neprotivrecna teorija, onda je neprotivrecna i ZF teorija kojojje dodata Aksioma izbora. Tezim se pokazalo pitanje da li se AC mozeizvesti iz aksioma ZF. Zbog ”jednostavnosti i ociglednosti” Aksiomeizbora, preovladujuci osecaj u vezi sa njom bio je da se verovatno mozeizvesti iz aksioma ZF teorije. Medutim, 1963. godine Cohen je dokazao dase, u odnosu na ZF, Aksioma izbora ponasa kao Aksioma o paralelama ugeometriji: AC je nezavisna od ZF teorije tj. ako je ZF neprotivrecna, ondaje neprotivrecna i ZF teorija kojoj je dodata negacija Aksiome izbora.

Koliko god ove teoreme formalno u potpunosti razresavaju status ACu odnosu na ZF teoriju, dopustamo da ce neki citaoci i dalje ostati u dilemi:”Pa, dobro, da li je AC, u stvari, tacna ili ne?” Ova dilema, naravno,ima pre svega filozofski karakter. Pitanje istinitosti AC je najzanimljivijeza matematicare koji su najblizi filozofiji Platonista. Zaista, ako van naspostoji ”idealan svet skupova”, onda u tom svetu AC ili vazi ili ne vazi.S druge strane, za finitiste to pitanje ima trivijalan pozitivan odgovor, jeroni rade samo sa konacnim familijama konacnih skupova, a u tom slucajuAC naravno vazi. Prema formalisticnom stavu, pitanje ”tacnosti” AC nemasmisla. Naime, ZF teorija opisuje zamisljene objekte, skupove, koje nikonigde u stvari nije video. Ako se dogovorimo da je ”svet skupova” ono stoopisuje ZF, onda je taj opis nepotpun. Prosto, AC je takva formula, da seni ona ni njena negacija ne moze izvesti iz aksioma ZF teorije. Prema tome,postoje ”svetovi” (tj. modeli ZF teorije) u kojima je AC tacna, a postoje i”svetovi” u kojima AC ne vazi.

Uredeni skupovi - Osnovne definicije

Podsetimo se da za binarnu relaciju ρ skupa A kazemo da je relacijauredenja (ili samo uredenje) ako je ρ refleksivna, antisimetricna i tranz-itivna relacija. Na primer, uobicajena relacija ”≤” na skupu prirodnih (ilicelih, racionalnih, realnih) brojeva jeste uredenje. Takode, relacija ”⊆” nanekom skupu A ⊆ P(S) jeste uvek uredenje na A. Uobicajeno je da seuredenje obelezava simbolom ≤.

Ako je dato neko uredenje ≤ na nepraznom skupu A, onda par ⟨A,≤⟩zovemo ureden skup, sa nosacem A. Ponekad se kaze samo ”ureden skupA”, i podrazumeva da je relacija uredenja oznacena sa ≤.


Neka je ⟨A,≤⟩ neki ureden skup. Na skupu A definisemo relaciju < nasledeci nacin:

x < y akko x ≤ y i x = y.

Tako dobijena relacija < ce biti irefleksivna, antisimetricna i tranzitivna,tj. bice relacija striktnog uredenja. Kazemo da je relacija < striktnouredenje indukovano sa ≤. Obratno, neka je sada ρ neko striktno uredenjena A. Ako relaciju ρ′ na A definisemo sa:

xρ′y akko xρy ili x = y,

onda je relacija ρ′ jedno uredenje na A. Primetimo da se striktno uredenjeindukovano sa ρ′ poklapa sa polaznom relacijom ρ. Slicno ce se desiti akokrenemo od relacije uredenja ≤, pa indukovanu relaciju striktnog uredenja< dopunimo do odgovarajuce relacije uredenja <′ – ponovo cemo dobitipolaznu relaciju ≤. Na taj nacin, postoji potpuna paralela izmedu poj-mova ”uredenja” i ”striktnog uredenja”. U daljem tekstu, ako je dato nekostriktno uredenje ” < ”, odgovarajuce (indukovano) uredenje obelezavamosa ” ≤ ”, i obratno.

Slika 2.

Konacne (a i neke ”lepe” bes-konacne) uredene skupove je zgodnograficki predstaviti pomocu tzv. Has-seovih dijagrama. Na tim di-jagramima se crta relacija nepos-rednog pokrivanja ≺ definisanana sledeci nacin: x ≺ y akko

x < y ∧ (¬∃z ∈ A)x < z < y.

Ako je x ≺ y, onda y predstavljamo kao tacku ”iznad” x i spajamo ihcrtom. Na primer, na Slici 2. prikazan je Hasseov dijagram uredenog skupa⟨P(S),⊆⟩, gde je S proizvoljan troelementni skup.

Primetimo da se u opstem slucaju isti ureden skup moze na razlicitenacine predstaviti Hasseovim dijagramom. Na pimer, Slika 3. odnosnoSlika 4. predstavljaju Hasseove dijagrame istog uredenog skupa.

143

Slika 3. Slika 4.

U daljem tekstu navodimo osnovne pojmove u vezi sa uredenim skupovima.

Neka je A = ⟨A,≤⟩ ureden skup.

• Restrikcija uredenja ≤ je ponovo uredenje tj. ako je ∅ = B ⊆ A, ondaje i ⟨B,≤|B⟩ ureden skup. Po ranijem dogovoru, umesto ≤|B najcescepisemo samo ≤.

• Na skupu A definisimo relaciju ≥ sa:

x ≥ y akko y ≤ x,

Onda je i Ad = ⟨A,≥⟩ ureden skup (tzv. dual od A).

• Za elemente x, y ∈ A kazemo da su uporedivi ako je x ≤ y ili y ≤ x.

• Ako su svaka dva elementa iz A uporediva, za ⟨A,≤⟩ kazemo da jelinearno (ili totalno) ureden skup ili da je lanac. Ako u uredenomskupu nema razlicitih uporedivih elemenata, ureden skup je anti-lanac.

• Ako je C ⊆ A i ⟨C,≤⟩ lanac, kazemo da je C lanac u ⟨A,≤⟩. U slucajuda je C = {x1, x2, ..., xn, ...} ⊆ A i vazi x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ ...,kazemo da je C opadajuci lanac u ⟨A,≤⟩. Dualno se definise pojamrastuceg lanca.

• Ako je C = {c0, c1, ..., cn} lanac u A, duzina lanca C jeste n (prime-timo da C ima n+ 1 element).

• Donji segment uredenog skupa A jeste podksup S ⊆ A takav da vazi

(∀s ∈ S)(∀a ∈ A)(a ≤ s⇒ a ∈ S).


Dualno se definise gornji segment. Sa O(A) obelezavamo skup svihdonjih segmenata uredenog skupa A. Koristicemo takode sledece oz-nake: ako je Q ⊆ A, i x ∈ A onda

↓ Q = {a ∈ A : (∃x ∈ Q)a ≤ x},

↑ Q = {a ∈ A : (∃x ∈ Q)a ≥ x},

↓ x = {y ∈ A : y ≤ x},

↑ x = {y ∈ A : y ≥ x}.

• Neka je C ⊆ A. Za element c ∈ A kazemo da je gornje ogranicenjeza C ako je x ≤ c, za sve x ∈ C. Dualno se definise donje ogranicenjeza C. Skup svih gornjih ogranicenja od C obelezavamo sa Cu, a skupsvih donjih ogranicenja sa C l.

• Ako je element a ∈ A gornje ogranicenje za ceo skup A, zovemo ganajveci u A. Dualno se definise najmanji element uredenog skupa.

• Maksimalni element od A jeste svaki element m ∈ A za koji ne pos-toji x ∈ A takav da je m < x. Dualno se definise pojam minimalnogelementa.

Primetimo da dok u datom uredenom skupu maksimalnih (odnosno min-imalnih) elemenata moze biti i nekoliko, najvecih (odnosno najmanjih) mozebiti najvise jedan.

Neka su A = ⟨A,≤1⟩ i B = ⟨B,≤2⟩ dva uredena skupa.

• Kazemo da su A i B izomorfni (u oznaci A ∼= B) ako postoji bijekcijaf : A→ B tako da za sve x, y ∈ A vazi:

x ≤1 y akko f(x) ≤2 f(y).

Za preslikavanje f u tom slucaju kazemo da je izomorfizam iz A uB.

• Kazemo da se A potapa u B ako postoji injekcija f : A → B takvada vazi uslov

x ≤1 y akko f(x) ≤2 f(y).

U tom slucaju za f kazemo da je potapanje A u B.

145

• Za funkciju f : A → B kazemo da cuva poredak (ili da je mono-tona) ako za sve x, y ∈ A vazi

x ≤1 y ⇒ f(x) ≤2 f(y).

Uobicajeno je da se (radi preglednosti) za razlicite uredene skupove relacijauredenja obelezava istim simbolom ≤. Ponekad, kad zelimo da naglasimo okom uredenju je rec, kazemo recimo ”x ≤ y u P” odnosno ”x ≤ y u Q”.

Svi pojmovi definisani za uredene skupove se direktno prenose na striktnouredene skupove. Tako, ako je A = ⟨A,<⟩ striktno ureden skup i relaciju >na A definisemo sa

x > y akko y < x,

onda je i Ad = ⟨A,>⟩ striktno ureden skup (tzv. dual od A). Za svaki ∅ =B ⊆ A, restrikcija <B relacije < na B jeste striktno uredenje na B. Dalje, zaelemente x, y ∈ A kazemo da su uporedivi elementi striktno uredenog skupa⟨A,<⟩ ako su oni uporedivi kao elementi odgovarajuceg uredenog skupa⟨A,≤⟩ tj. ako x ≤ y ili y ≤ x. Tako, ⟨A,<⟩ je lanac ako je ⟨A,≤⟩ lanac. Zaskup C ⊆ A kazemo da je lanac u ⟨A,<⟩ ako je ⟨C,<C⟩ lanac. U slucajuda je C = {x1, x2, . . . , xn, . . . } ⊆ A, onda je C opadajuci lanac u ⟨A,<⟩ako je on opadajuci lanac u ⟨A,≤⟩. Ako su pri tome svi nabrojani elementirazliciti, za C kazemo da je striktno opadajuci lanac u ⟨A,<⟩.

Na potpuno isti nacin se sa uredenog skupa ⟨A,≤⟩ na striktno uredenskup ⟨A,<⟩ prenose i ostali pojmovi. Na primer, ako je C ⊆ A, za elementc ∈ A kazemo da je gornje ogranicenje za C u ⟨A,<⟩ ako je c gornjeogranicenje za C u ⟨A,≤⟩. Analogno se definisu pojmovi donjeg ogranicenja,najveceg i najmanjeg elementa, maksimalnog i minimalnog elementa u strik-tno uredenom skupu, itd.

Neka su A = ⟨A,<1⟩ i B = ⟨A,<2⟩ dva striktno uredena skupa. Kazemoda su oni izomorfni (u oznaci A ∼= B) ako postoji bijekcija f : A→ B takoda za sve x, y ∈ A vazi

x <1 y akko f(x) <2 f(y).

Za preslikavanje f u tom slucaju kazemo da je izomorfizam izmedu Ai B. Primetimo da vazi:

⟨A,<1⟩ ∼= ⟨B,<2⟩ akko ⟨A,≤1⟩ ∼= ⟨B,≤2⟩,


tj. dva striktno uredena skupa su izomorfna akko su izomorfni odgovarajuciindukovani uredeni skupovi.

Za striktno ureden skup A kazemo da se potapa u striktno ureden skupB ako postoji injekcija f : A→ B takva da vazi uslov (1). U tom slucaju zaf kazemo da je potapanje A u B.

U slucaju striktno uredenih skupova ⟨A,<1⟩ i ⟨B,<2⟩ za funkciju f :A→ B kazemo da cuva striktno uredenje (ili da je striktno monotona)ako za sve x, y ∈ A vazi

(2) ako x <1 y onda f(x) <2 f(y).

Nekad se za funkciju f : A → B koja zadovoljava uslov (2) kaze da jestrogo monotona funkcija uredenog skupa ⟨A,≤1⟩ u ureden skup ⟨B,≤2⟩.

Induktivnost i uredeni skupovi

Jedna od najlepsih osobina (uredenog) skupa prirodnih brojeva N jestesvojstvo da se u njemu mnogi dokazi mogu sprovesti tzv. matematickomindukcijom. Prirodno je postaviti pitanje, da li postoje mozda i drugiuredeni skupovi (neizomorfni sa ⟨N,≤⟩) u kojima vazi princip matematickeindukcije? Da!

Naravno, ako zelimo razmatrati princip matematicke indukcije u struktu-rama u kojima nije definisana operacija analogna sabiranju u skupu prirod-nih brojeva, onda je od nekoliko ekivalentnih oblika indukcije najpogodnijitzv. ”potpuna matematicka indukcija”: Neka je ϕ neka osobina prirodnihbrojeva. Neka iz uslova (pretpostavke) da svi prirodni brojevi strogo manjiod nekog broja n imaju osobinu ϕ sledi da i sam broj n ima tu osobinu. Tadasvi prirodni brojevi imaju osobinu ϕ. U slucaju proizvoljnog uredenog skupaanalognu osobinu formulisimo na sledeci nacin:

• Uslov induktivnostiZa ureden skup A = ⟨A,≤⟩ kazemo da zadovoljava uslov induk-tivnosti ako za proizvoljan B ⊆ A vazi sledece: Neka za sve a ∈ A,

ako {x : x ∈ A ∧ x < a} ⊆ B onda a ∈ B.

Tada je A = B.

147

Naravno, ureden skup ⟨N,≤⟩ zadovoljava uslov induktivnosti, a recimoureden skup ⟨Z,≤⟩ ne. Navedimo dva jednostavna kriterijuma koji su ekvi-valentni uslovu induktivnosti:

• Uslov minimalnostiZa ureden skup A = ⟨A,≤⟩ kazemo da zadovoljava uslov minimal-nosti ako svaki neprazan podskup od A ima minimalni element.

Na primer, svaki konacan ureden skup zadovoljava uslov minimalnosti.No, postoje i beskonacni uredeni skupovi sa uslovom minimalnosti, koji nisulanci (pa nisu izomorfni sa ⟨N,≤⟩).

• Uslov prekida opadajucih lanacaUreden skup A zadovoljava uslov prekida opadajucih lanaca akoje svaki opadajuci lanac u A je konacan.

U literaturi ovaj uslov se najcesce obelezava saDCC (DescendingChainCondition). Dualan uslov se zoveUslov prekida rastucih lanaca iliACC(Ascending Chain Condition).

Teorema 4.1 Neka je A = ⟨A,≤⟩ ureden skup. Sledeci uslovi su ekviva-lentni:

(1) uslov minimalnosti za A,

(2) uslov induktivnosti za A,

(3) uslov prekida opadajucih lanaca u A.

Dokaz.(1)⇒ (2). Pretpostavicemo da vazi (1) ali ne vazi (2), i neka je C = A\B =∅. Zbog uslova minimalnosti, C mora imati bar jedan minimalan element,oznacimo ga sa c. Kako je

{x : x ∈ A ∧ x < c} ⊆ B,

onda mora c ∈ B. No, to je kontradikcija jer c ∈ C = A \B.

(2) ⇒ (3). Neka je B skup svih elemenata a ∈ A sa osobinom da su sviopadajuci lanci u A, koji pocinju elementom a (tj. u kojima je a najveci),


konacni. Jasno, ako svi elementi x koji su strogo manji od a pripadaju skupuB, onda i sam element a mora pripadati skupu B. Tako, A = B, sto znacida je svaki opadajuci lanac u A konacan.

(3) ⇒ (1). Pretpostavimo da vazi uslov (3) i da postoji neprazan pod-skup X od A koji nema minimalan element. Kako je X neprazan, postojix1 ∈ X, koji nije minimalan, pa postoji element x2 takav da je x2 < x1.Kako ni x2 nije minimalan, postoji x3 takav da je x3 < x2, itd. Prematome, koristeci Aksiomu izbora, zakljucujemo da postoji skup elemenata{x1, x2, . . . , xn, . . . } iz X koji formiraju beskonacan opadajuci lanac u A,sto je u kontradikciji sa uslovom (3).�

Kako se pojmovi kao sto su ”uslov minimalnosti”, ”uslov induktivnosti”,”uslov prekida opadajucih lanaca” direktno prenose sa uredenog skupa naodgovarajuci striktno ureden skup, onda je jasno da Teorema 2.4 o ekviva-lentnosti ta tri uslova vazi i za slucaj striktno uredenih skupova.

Medu uredenim skupovima koji zadovoljavaju uslov induktivnosti posebnomesto zauzimaju tzv. dobro uredeni skupovi, koje cemo izucavati unarednoj sekciji.

Dobro uredeni i striktno dobro uredeni skupovi

Definicija 4.1. Za ureden skup ⟨A,≤⟩ kazemo da je dobro ureden akosvaki neprazan podskup od A ima najmanji element. Ako je ⟨A,≤⟩ dobroureden skup, za relaciju ≤ kazemo da je dobro uredenje na A ili da dobroureduje A. Za striktno ureden skup ⟨A,<⟩ kazemo da je striktno dobroureden skup ako je ⟨A,≤⟩ dobro ureden skup.

Na primer, svaki konacan lanac je dobro ureden skup. Dalje, skup prirod-nih brojeva sa uobicajenom relacijom poretka jeste dobro ureden. Naravno,postoje beskonacni dobro uredeni skupovi neizomorfni strukturi ⟨N,≤⟩.

Striktno dobro uredeni skupovi se nekad ekvivalentno definisu pomocutzv. uslova trihotomije. Za relaciju σ ⊆ A2 kazemo da zadovoljava uslovtrihotomije (na A) ako za sve x, y ∈ A vazi tacno jedan od sledecih uslova:

xσy ili x = y ili yσx.

Primetimo da je relacija koja zadovoljava uslov trihotomije uvek irefleksivna.

149

Teorema 4.2. Neka je A = ∅, i < binarna relacija na A. Sledeci uslovi suekvivalentni:

(1) ⟨A,<⟩ je striktno dobro ureden skup;

(2) Relacija < je tranzitivna i zadovoljava uslove trihotomije i minimal-nosti.

Dokaz.(1)⇒ (2). Neka je ⟨A,<⟩ striktno dobro ureden skup. Onda je ⟨A,≤⟩ dobroureden. To pre svega znaci da relacija ≤ zadovoljava uslov minimalnosti naA, pa prema tome isto vazi i za relaciju <. Naravno, < je irefleksivnai tranzitivna. Konacno, relacija < zadovoljava uslov trihotomije. Naime,relacija ≤ dobro ureduje skup A, pa je ⟨A,≤⟩ lanac, tj. za sve x, y ∈ A vazix ≤ y ili y ≤ x. Znaci, bar jedan od uslova

x < y, x = y, y < x

je zadovoljen. S druge strane, zbog antisimetricnosti i irefleksivnosti relacije< ne mogu istovremeno vaziti dva (ili vise) od tih uslova.

(2) ⇒ (1) Da bi dokazali da je ⟨A,<⟩ striktno dobro ureden skup, trebadokazati da je < striktno uredenje i da je ⟨A,≤⟩ dobro ureden skup. Premapretpostavci, < je irefleksivna na A i tranzitivna, a uslov trihotomije namdaje i antisimetricnost relacije <. Tako, ⟨A,≤⟩ je striktno ureden skup.Kako relacija < zadovoljava uslov minimalnosti, to znaci da svaki neprazanpodskup X od A ima minimalni element. No, on je zbog uslova trihotomije(za <) uporediv sa svim ostalim elementima iz X, sto znaci da je najmanjiu X. Prema tome, ⟨A,≤⟩ je dobro ureden skup, sto po definiciji znaci da je⟨A,<⟩ striktno dobro ureden skup.�

Definicija 4.2 Neka je A = ⟨A,≤⟩ ureden skup i a ∈ A. pocetni segmentod A (odreden elementom a jeste skup predA(a) skup svih elemenata izA koji su strogo manji od a tj.

predA(a) = {x ∈ A : x < a}.

Jasno, ⟨predA(a),≤⟩ je takode ureden skup, koga cemo takode zvatipocetni segment od A (odreden elementom a). Analogno, ako je Astriktno ureden skup, smatracemo da njegovi pocetni segmenti nasleduju


striktni poredak sa A. Lako se vidi da su pocetni segmenti (ssstriktno)dobro uredenih skupova ponovo (strikno) dobro uredeni skupovi. Ako seiz konteksta vidi o kom (strikto) uredenom skupu A se radi, onda umestopredA(a) pisemo samo pred(a).

Sledece dve teoreme govore o dve jednostavne osobine striktno dobrouredenih skupova.

Teorema 4.3 Za svako monotono preslikavanje φ : A → A striktno dobrouredenog skupa ⟨A,<⟩ u sebe vazi

a ≤ φ(a), za sve a ∈ A.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno tj. da je skup X = {x ∈ A : x > φ(x)}neprazan. Zbog uslova minimalnosti za ⟨A,<⟩ sledi daX ima neki minimalnielement, recimo c. Iz c ∈ X imamo c > φ(c), sto zbog monotonosti funkcijeφ daje φ(c) > φ(φ(c)). Prema definiciji skupa X dobijamo da φ(c) ∈ X, stoje kontradikcija sa pretpostavkom da je c minimalan element u X.�

Teorema 4.4 Striktno dobro ureden skup ne moze biti izomorfan svom po-cetnom segmentu.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno i neka je striktno dobro ureden skup⟨A,<⟩ izomorfan svom pocetnom segmentu ⟨predA(a), <⟩. Ako je φ : A →predA(a) taj izomorfizam, onda je on naravno i monotono preslikavanjestriktno dobro uredenog skupa ⟨A,<⟩ u sebe. Prema prethodnoj teoremi,imamo da je a ≤ φ(a), sto je nemoguce jer je φ(a) ∈ predA(a) tj. φ(a) < a.�Sledecu teoremu cemo iskazati i dokazati za striktno dobro uredene skupove,ali zbog ranije diskutovane paralele izmedu striktno dobro uredenih skupovai dobro uredenih skupova, analogna teorema vazi i za dobro uredenen skupove.

Teorema 4.5 Neka su A = ⟨A,<1⟩ i B = ⟨B,<2⟩ striktno dobro uredeniskupovi. Tada postoji najvise jedan izomorfizam izmedu A i B.

Dokaz. Neka su φ : A → B i ψ : A → B dva izomorfizma. Tada su iη = ψ−1 ·φ : A → A i η−1 : A → A izomofizmi. Prema Teoremi ??? imamo

151

da za sve a ∈ A vazi

a ≤ η(a) i a ≤ η−1(a).

No, tada dobijamo

η(a) ≤ η(η−1(a)) = a,

pa je η(a) = a, za sve a ∈ A. Prema tome, η je identicko preslikavanje iφ = ψ.�

Prirodno je postaviti pitanje, koliko vrsta sustinski razlicitih (strik-tno) dobro uredenih skupova postoji ? U sledecem poglavlju cemo uvestijedna novi pojam, pojam ordinala i pokazati da klasa svih ordinala jeste”predstavnicki dom” svih mogucih (striktno) dobro uredenih skupova. Posletoga cemo pokazati kako se, koristeci ordinale, pojam kardinalnog brojamoze strogo uvesti u ZF teoriji skupova.

Uredeni skupovi i Aksioma izbora

Neka je ≤ uobicajeni poredak medu celim brojevima. Jasno, ⟨Z,≤⟩ nijedobro ureden skup. No, nije tesko definisati dobro uredenje ≼ na Z. Naprimer,

0 ≼ 1 ≼ −1 ≼ 2 ≼ −2 ≼ ... ≼ n ≼ −n ≼ ...

Skup realnih brojeva R u odnosu na uobicajeni poredak takode ne zadovo-ljava uslov minimalnosti pa ⟨R,≤⟩ nije dobro ureden skup. Za razliku odskupa celih brojeva, sada bas i nije jasno kako naci relaciju na R koja bi gadobro uredila. U opstem slucaju, prirodno je postaviti pitanje, da li se svakiskup moze dobro urediti? Godine 1904. Zermelo je dokazao teoremu, pokojoj se svaki skup moze dobro urediti. Rezultat je za mnoge matematicarebio pomalo cudan. Kako je u dokazu te teoreme sustinski koristio tzv.”princip izbora”, od tog trenutka neki su ozbiljno poceli da sumnjaju u,do tada ocigledan, princip: ako imamo familiju nepraznih skupova X, ondapostoji skup, koji sadrzi tacno jedan element iz svih elemenata familije X. Ustvari, Zemelo je dokazao da je Aksioma izbora ekvivalentna tzv. Principudobrog uredenja:


• Zermelov princip dobrog uredenjaSvaki skup se moze dobro urediti.

Upravo ova ekvivalentnost Aksiome izbora sa Principom dobrog uredenjaje navela mnoge matematicare da ne prihvate Aksiomu izbora kao principkoji se ugraduje u osnove matematike.

Drugi ekvivalent Aksiome izbora, a koji se vrlo cesto koristi u matematiciuopste, jeste sledece tvrdenje:

• Lema ZornaNeka je A proizvoljan ureden skup. Ako u A svaki lanac ima gornjeogranicenje, tada A ima bar jedan maksimalni element.

Posmatrajmo sada skup L svih lanaca u nekom uredenom skupu A.Naravno, skupovna inkluzija ”⊆” jeste jedno uredenje na L. Maksimalnielement od ⟨L,⊆⟩, ako postoji, zovemo maksimalni lanac u A. Prirodnoje postaviti pitanje, da li se svaki lanac u A moze ”prosiriti” do nekogmaksimalnog. Haussdorff je dokazao da je sledece tvrdenje ekvivalentnoAksiomi izbora:

• Hausdorffov princip maksimalnostiNeka je A proizvoljan ureden skup. Tada je svaki lanac u A sadrzanu nekom maksimalnom lancu.

Pored ova tri ekvivalenta Aksiome izbora, pronadeno je preko sto tvrdenjakoja su ekvivalentna sa AC, a pripadaju razlicitim oblastima matematike.Ispostavilo se da se Aksioma izbora sustinski koristi, na primer, prilikomdokaza sledecih tvrdenja:

• Svaki vektorski prostor ima bazu.

• Teorema Sylowa u teoriji grupa

• Svaki prsten sa jedinicom ima maksimalni ideal.

• Svako polje ima algebarsko zatvorenje.

• Teorema kompaktnosti u teoriji modela.

• Proizvod kompaktnih prostora je kompaktan.

153

• Svaka kolekcija podskupova koja ima svojstvo konacnog preseka sadrzanaje u nekom ultrafiltru.

• Ekvivalentnost definicije neprekidnosti funkcija preko okolina i prekogranicne vrednosti.

• Hahn-Banachova teorema (Funkcionalna analiza)

• Egzistencija nemerljivog skupa u R

• Teoreme Bairea (Topologija)

• Paradoks Banacha-Tarskog (Topologija)

U daljem tekstu mi cemo se truditi da svaki put naglasimo kada koristimoneki od ekvivalenata Aksiome izbora.

Definicija ordinala i osnovne osobine

Pojam ordinala uveo je G. Cantor u jednom svom radu iz 1883. godine, kaotip uredenja dobro uredenih skupova. Pristup ordinalima slican onom kojicemo mi koristiti, prvi put je primenio von Neumann 1923. godine. Premaovom pristupu, ordinali su specijalni skupovi koji mogu sluziti kao istaknutipredstavnici klase svih mogucih dobro uredenih skupova.

Definicija 4.3. Za skup A kazemo da je tranzitivan ako za sve x ∈ A vazix ⊆ A.

Drugim recima, skup A je tranzitivan ako za sve skupove x vazi imp-likacija

a ∈ x ∈ A⇒ a ∈ A.Na primer skupovi

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .

su tranzitivni. U opstem slucaju, nije tesko videti da ako je skup A tranzi-tivan, onda je tranzitivan i skup A ∪ {A}.

Neka je A neki skup. Definisimo relaciju ∈A skupa A na sledeci nacin:

∈A= {⟨x, y⟩ ∈ A×A : x ∈ y}.

Neka je x∈Ay akko x ∈A y ili x = y.


Definicija 4.4. Za skup A kazemo da je ordinal ako je tranzitivan i relacija∈A jeste striktno dobro uredenje na A.

Primetimo da ako je A ordinal, onda je ∈A dobro uredenje na A. Napo-menimo da mi podrazumevamo da svi skupovi sa kojima radimo zadovol-javaju sve ZF aksiome, pa i Aksiomu regularnosti. To znaci da je relacija∈A irefleksivna za sve skupove A. Prema tome, ako nam je dat neki skupα, onda da bi α bio ordinal, treba proveriti da li ima sledece osobine:

(i) za sve x ∈ α vazi x ⊆ α;

(ii) za sve x, y, z ∈ α vazi: ako x ∈ y, i y ∈ z onda x ∈ z;

(iii) za sve x, y ∈ α vazi tacno jedna od sledecih relacija:

x ∈ y ili x = y ili y ∈ x;

(iv) svaki neprazan skup B ⊆ α ima minimalni element, tj.

(∃x ∈ B)¬(∃y ∈ B)y ∈ x.

Na primer, sledeci skupovi su ordinali:

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ...

Primetimo da svi ovi navedeni ordinali (sem ∅ ) imaju ”istu strukturu” tj.svi oni su oblika β ∪ {β}, za neki ordinal β.

Definicija 4.5 Za ordinal α kazemo da je naredni ako za neki ordinal β

α = β ∪ {β}.

U tom slucaju pisemo i α = β+ ili α = β + 1. Ako α = ∅ i α nije naredni,kazemo da je α granicni ordinal.

Napomenimo, da se oznaka β+1 uklapa u opstiju pricu o sabiranju ordinala,kojom se mi ovde necemo baviti. Pitanje egzistencije granicnih ordinala raz-motricemo na kraju ove sekcije. Tako, dokazacemo da je najmanji granicniordinal upravo skup prirodnih brojeva.

U narednim teoremama obuhvacene su osnovne osobine ordinala.

Teorema 4.6. Presek dva ordinala je ordinal.

155

Dokaz. Neka su α i β ordinali. Lako je videti da je skup α∩ β tranzitivan.Dalje, relacija ∈α∩β je restrikcija relacije striktnog dobrog uredenja ∈α naα ∩ β ⊆ α, pa je i ona striktno dobro uredenje na α ∩ β.�

Teorema 4.7. Svaki element ordinala je ordinal.

Dokaz. Neka je α neki ordinal i x ∈ α. Dokazimo prvo da je x tranzitivanskup. Neka je y ∈ x, treba dokazati da je y ⊆ x. Drugim recima, za svez ∈ y treba dokazati z ∈ x. Kako imamo

z ∈ y ∈ x ∈ α⇒ y ∈ α ∧ z ∈ α

onda sledi z ∈α y i y ∈α x pa zbog tranzitivnosti relacije ∈α sledi z ∈α x, stosmo i trebali dokazati. S druge strane relacija ∈x treba da je sriktno dobrouredenje na x. Zbog tranzitivnosti skupa α imamo da iz x ∈ α sledi x ⊆ αi relacija ∈x je restrikcija relacije ∈α na x, iz cega sledi da je i ∈x striktnodobro uredenje na x.�

Teorema 4.8. Neka je α neki ordinal i B ⊆ α,B = α. Tada su sledeciuslovi ekvivalentni:

(i) B je pocetni segment od ⟨α,∈α⟩,

(ii) B je tranzitivan skup.

Dokaz.

(i) ⇒ (ii) Neka je B = pred(a), za neki a ∈ α. Treba dokazati da akox ∈ B onda x ⊆ B. Neka je y ∈ x. Tada imamo

y ∈ x ∈ B ⇔ y ∈ x ∈ pred(a)⇒ y ∈ x ∈ a ∈ α

pa zbog tranzitivnosti skupa α sledi

x ∈ α i y ∈ α

tj. y ∈α x ∈α a pa zbog tranzitivnosti relacije ∈α, sledi y ∈α a. Time smodobili y ∈ pred(a).

(ii)⇒ (i) Neka je sada B tranzitivan skup. Treba dokazati da je Bpocetni segment od α tj. B = pred(a), za neki a ∈ α. Kako je B = α, onda


je X = α \ B = ∅. Skup ⟨α,∈α⟩ zadovoljava uslov minimalnosti, pa X imaminimalni element. α je striktno dobro ureden skup, pa X ima tacno jedanminimalni element, recimo c. Dokazimo da je B = pred(c).

Prvo, neka je x ∈ B, dokazimo da je x ∈ pred(c) tj. x ∈α c. Pret-postavimo suprotno. Onda zbog uslova trihotomije vazi x = c ili c ∈ x. Akobi bilo x = c, onda bi imali

x = c ∈ X = α \B,

tj. x ∈ B, sto je kontradikcija. Ako bi bilo c ∈ x, onda bi bilo

c ∈ x ∈ B ⇒ c ∈ B

zbog tranzitivnosti skupa B, ali opet dobijamo kontradikciju jer c ∈ X =α \B. Time smo dokazali da je B ⊆ pred(c).

Neka je sada x ∈ pred(c). Tada x ∈ c ∈ α, pa je x ∈ α i c ∈ α. Odatledobijamo x ∈α c. Treba dokazati da x ∈ B. Pretpostavimo suprotno, onda

x ∈ α \B = X i x ∈α C

sto je kontradikcija jer je c minimalan u X. Time smo dokazali B = pred(c).�

Teorema 4.9. Neka je B tranzitivan podskup ordinala α. Tada je

B ∈ α ili B = α.

Dokaz. Primetimo da ne mogu vaziti obe relacije istovemeno, jer bi dobiliα ∈ α tj. α ∈α α, sto je kontradikcija sa irefleksivnoscu relacije ∈α .Pretpostavimo da B = α. Tada je B ⊆ α, pa prema prethodnoj teoremi Bje neki pocetni segment od α. Neka je B = pred(a), za neki a ∈ α. Dokazimoda je B = a tj. a = pred(a). Neka je x ∈ B. Tada x ∈α a pa B ⊆ a. Obratno,ako x ∈ a ∈ α, onda x ∈ α pa x ∈α a, sto znaci x ∈ pred(a) = B.�

Premo tome, svaki ordinal sadrzi ∅.

Teorema 4.10. Svaki tranzitivan podskup ordinala α jeste i sam ordinal.

Dokaz. Prema prethodnoj teoremi, ako je B tranzitivan podskup ordinalaα, onda B ∈ α ili B = α. U prvom slucaju treba samo primeniti osobinu daje svaki element ordinala ordinal.�

157

Osobine klase svih ordinala

Po definiciji ordinala, osobina ”biti ordinal” je osobina prvog reda u ZFteoriji skupova, tj. postoji formula prvog reda, koja znaci: ”α je ordinal”.Po dogovoru, neka je

α ∈ ON

skraceni zapis te formule. Intuitivno, ON jeste, u stvari, oznaka za klasusvih ordinala. Citalac koji zeli da ostane strogo u okviru ZF teorije skupova(u kome klase ne postoje), moze svuda gde naide na oznakuON da je zamenisa odgovarajucom formulom prvog reda. Na primer, oznaka

A ⊆ ON

znaci, u stvari(∀x)(x ∈ A⇒ x je ordinal ),

Po dogovoru, u daljem cemo za ordinale α i β umesto α ∈ β pisati α < β.Intuitivno, to mozemo shvatiti kao da smo u klasi ON definisali ”relaciju”< na sledeci nacin:

α < β akko α ∈ β.

No, < nije u strogom smislu relacija. Naime, binarne relacije smo definisalikao podskupove skupova oblika A × A, a kasnije cemo videti da klasa ONnije skup. Ipak, koristicemo rec ”relacija”, da bi pomogli nasoj intuiciji.Prirodno, pisacemo:

α ≤ β akko α < β ili α = β.

Teorema 4.11. Na klasi ON relacija < ima sve osobine striktnog dobroguredenja, tj. za sve α, β, γ ∈ ON vazi

(i) ¬α < α;

(ii) (α < β ∧ β < γ)⇒ α < γ;

(iii) Vazi tacno jedna od sledecih relacija:

α < β ili α = β ili β < α;

(iv) Svaka neprazna klasa ordinala ima minimalni element u odnosu na< . Drugim recima, neka je ϕ neka osobina koja je definisana za sve ordinale,takva da bar jedan ordinal ima osobinu ϕ; tada postoji ordinal β sa osobinomϕ takav da ne postoji nijedan ordinal γ sa osobinom ϕ za koji bi vazilo γ < β.


Dokaz.

(i) Pretpostavimo suprotno tj. α ∈ α. Tada bi bilo α ∈α α, sto je nemogucejer je relacija ∈α irefleksivna.

(ii) Ako je α ∈ β ∈ γ, onda zbog tranzitivnosti skupa γ sledi α ∈ γ.

(iii) Primetimo da zbog (i) i (ii) ne mogu vaziti dve relacije istovremeno.Pretpostavimo sada da je α = β i dokazimo da α ∈ β ili β ∈ α. Znamo daje skup α ∩ β ordinal pa je on tranzitivan podskup ordinala α i β. Premajednoj od prethodnih teorema sledi

(α ∩ β ∈ α ∨ α ∩ β = α) ∧ (α ∩ β ∈ β ∨ α ∩ β = β).

To znaci da imamo ukupno 4 mogucnosti. Lako se vidi da se ne moze desiti

α ∩ β = α i α ∩ β = β

niti

α ∩ β ∈ α i α ∩ β ∈ β.

Ostaje

α ∩ β ∈ α i α ∩ β = β

ili

α ∩ β = α i α ∩ β ∈ β,

sto redom daje β ∈ α odnosno α ∈ β.

(iv) Neka ordinal α ima osobinu ϕ (sto zapisujemo sa ϕ(α)). Posmatrajmoskup

A = {x ∈ α : ϕ(x)}.

(Skup A je dobro definisan, jer su svi elementi od α ponovo ordinali i osobinaϕ je definisana za sve x ∈ α.) Ako je A = ∅, onda je α trazeni minimalniordinal sa osobinom ϕ. Neka je A = ∅. Kako je A ⊆ α, a ureden skup ⟨α,∈α⟩ima osobinu minimalnosti, onda A ima minimalni element u odnosu na ∈α .Lako je videti da je (zbog (iii)) taj minimalni element jedinstven. Oznacimoga sa β i dokazimo da je upravo β trazeni ordinal. Zaista, β ima osobinu ϕ(i jeste ordinal jer β ∈ α); dalje, ako je γ ordinal sa osobinom ϕ takav daγ < β onda bi imali

γ ∈ β ∈ α⇒ γ ∈ α,

pa bi γ ∈ A, sto je kontradikcija.�

159

Primetimo da u prethodnoj teoremi u (iv) mozemo iskazati i jace tvrdenje.Naime: Svaka neprazna klasa ordinala ima najmanji element u odnosu narelaciju ≤ .

Teorema 4.12. Tranzitivan skup ordinala je ordinal.

Dokaz. Neka je A tranzitivan skup ordinala. Da bi A bio ordinal, relacija∈A treba da je striktno dobro uredenje na A, a to sledi iz prethodne teoreme.�

Teorema 4.13. Neka je A neki skup ordinala i α =∪A. Tada je α

najmanji ordinal koji je veci ili jednak od svih ordinala iz A. ( Pisemoα = supA.)

Dokaz. Jasno, α je tranzitivan skup ordinala, pa prema T18. α je ordinal.Dalje, ako β ∈ A, onda β ⊆

∪A = α, pa β ≤ α. Konacno, ako je γ takav

ordinal da je β ≤ γ za sve β ∈ A, onda imamo da je∪A ⊆ γ, pa α ≤ γ.

�

Teorema 4.14. Klasa ON nije skup.

Dokaz. Pretpostavimo da je ON skup. Kako je element ordinala ponovoordinal onda imamo

α ∈ β ∈ ON⇒ α ∈ ON,

tj. ON je tranzitivan skup ordinala. Prema prethodnoj teoremi, ON jeordinal, pa mora

ON ∈ ON,

sto je nemoguce, jer nijedan ordinal nije sam sebi element. Dakle, ON nijeskup.�

Da je ON skup, mogli bi reci da ⟨ON,≤⟩ zadovoljava uslov minimal-nosti, pa bi u njemu vazio i uslov induktivnosti, koji omogucava sprovodenjedokaza unutar ON koristeci indukciju analognu matematickoj indukciji uskupu prirodnih brojeva. No, ON je prava klasa. Ipak, i u klasi ON svihordinala mozemo koristiti princip koji je analogan principu matematicke in-dukcije. To je tzv. princip transfinitne indukcije. On se zasniva nasledecoj teoremi.


Teorema 4.15. Neka je ϕ neka osobina koja je definisana za sve ordinale.Pretpostavimo da za svaki ordinal α vazi:

(∗) Ako svi ordinali β < α imaju osobinu ϕ, onda i α ima osobinu ϕ.

Tada osobinu ϕ imaju svi ordinali.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno tj. da je klasa

A = {γ ∈ ON : ¬ϕ(γ)}

neprazna i neka je γ0 (jedinstven) minimalni element u A. Tada za sve β < γ0vazi da imaju osobinu ϕ, sto zbog uslova (∗) povlaci ϕ(γ0), kontradikcija.Dakle, A = ∅ tj. za sve α ∈ ON vazi ϕ(α).�

Ordinalni tip dobro uredenog skupa

U ovom delu cemo dokazati glavnu teoremu o (striktno) dobro uredenimskupovima. Dokazacemo, naime, da su ordinali pravi predstavnici svihmogucih tipova (striktno) dobro uredenih skupova. Radi lakseg pisanja, uovom delu cemo uvesti jednostavnije oznaku za pocetne segmente ordinala:recimo umesto predα(γ) pisacemo samo [γ).

Lema 4.1. Neka su α i β ordinali. Tada

⟨α,<α⟩ ∼= ⟨β,<β⟩ ⇒ α = β.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da α ∼= β i α = β. Zbog trihotomijeimamo α ∈ β, ili β ∈ α. Neka je α ∈ β. Zbog tranzitivnosti skupa α vaziα ⊆ β. No, ranije smo dokazali da ako je α tranzitivan podskup od β i α = βonda je α pocetni segment od β tj.

α = [γ) ∼= β.

To daje kontradikciju, jer znamo da nijedan striktno dobro ureden skup nemoze biti izomorfan svom pocetnom segmentu.�

161

Teorema 4.16. (O tipu striktno dobro uredenog skupa) Neka je A =⟨A,<⟩ striktno dobro ureden skup. Tada postoji tacno jedan ordinal α takavda je

A ∼= ⟨α,∈α⟩.

Dokaz. Prema prethodnoj lemi, izomorfni ordinali su uvek jednaki, papostoji najvise jedan takav ordinal. Neka je

A′ = {x ∈ A : (∃β ∈ ON)⟨[x), <⟩ ∼= ⟨β,∈β⟩}.

Tada je A′ = ϕ, jer za najmanji element m od A, [m) = ∅, i

⟨[m), <⟩ ∼= ⟨∅,∈∅⟩.

Dalje, za svaki x ∈ A′, postoji tacno jedan ordinal β takav da je [x) ∼=β pa cemo ga oznaciti sa βx. Dalje, izmedu [x) i βx postoji tacno jedanizomorfizam, oznacimo ga sa φx. Dakle, φx : [x)→ βx je izomorfizam. Nekaje

α = {βx : x ∈ A′}.

Zbog Aksiome zamene, α je skup. Dokazacemo da je α bas trazeni ordinal.Dokaz cemo sprovesti u nekoliko koraka:

Korak 1. Neka je x ∈ A′. Tada za sve y < x vazi da je

y ∈ A′, βy ∈ βx i φx(y) = βy.

Korak 2. α je ordinal.

Korak 3. ⟨A′, <⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩.

Korak 4. A′ = A.

Naravno, posle poslednjeg koraka imamo da je

⟨A,<⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩.

Korak 1. Neka je x ∈ A′. Dokazimo da za sve y < x vazi y ∈ A′, βy ∈βx i φx(y) = βy. Kako je x ∈ A′, onda je φx : [x) → βx izomorfizam.Zbog y < x imamo y ∈ [x), pa je φx(y) ∈ βx. Oznacimo sa γ ordinalφx(y) i dokazimo da je [y) ∼= γ tj. da je γ = βy i y ∈ A′. Zaista, trazeniizomorfizam je restrikcija preslikavanja φx na [y). Naime: φx|[y) jeste ”1-1”jer je restrikcija od φx.


• φx|[y) jeste ”na” γ jer

φx|[y)([y)) = γ.

•Kako je φx|[y) restrikcija monotnog preslikavanja, onda je i φx|[y) monotono.

Korak 2. Dokazimo da je α ordinal. Videli smo da je (zbog Aksiomezamene i Aksiome podskupa) α skup. Znamo da je tranzitivan skup ordinalaopet ordinal, pa je dovoljno dokazati da je α tranzitivan.

Neka je γ ∈ βx ∈ α. Treba dokazati da je γ ∈ α. Znamo da je φx : [x)→βx izomorfizam. Kako je φx ”na” i γ ∈ βx, onda postoji y ∈ [x) takav daje φx(y) = γ. Dakle, postoji y < x takav da je φx(y) = γ. Zbog Koraka 1.imamo da je φx(y) = βy ∈ βx tj. γ ∈ α.

Korak 3. Dokazimo ⟨A′, <⟩ ∼= ⟨α,∈⟩. Definisimo preslikavanje φ : A′ →α sa

φ(x) = βx, za sve x ∈ A′.

Tada se lako vidi da je φ dobro definisano, da je ”na” α, da je ”1-1” i da jemonotono.

Korak 4. Dokazimo A′ = A. Pretpostavimo suprotno i neka je X = A\A′ = ∅. TadaX ima najmanji element x0.Koristeci Korak 1, lako se dokazujeda je tada A′ = [x0). No, u Koraku 3 smo dokazali da je ⟨A′, <⟩ ∼= ⟨α,∈A⟩tj.

⟨[x0), <⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩,

iz cega ce slediti, po definiciji skupa A′, da x0 ∈ A′, sto je kontradikcija.Tako, A = A′ i

⟨A,<⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩,

sto je i trebalo dokazati.�

Definicija 4.6. Za striktno dobro ureden skup A = ⟨A,<⟩ sa type(A)oznacimo jedinstven ordinal α sa osobinom A ∼= ⟨α,∈α⟩. Ordinal type(A)zovemo ordinalni tip od A.

Neka je type(⟨A, <⟩) = α. Naravno, tada je ⟨A,≤⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩. Obratno,ako je ⟨A,≤⟩ dobro ureden skup i ⟨A,≤⟩ ∼= ⟨β,∈β⟩ onda je i ⟨A,<⟩ ∼= ⟨β,∈β⟩pa je type(⟨A,<⟩) = β. Tako, za svaki dobro ureden skup A = ⟨A,≤⟩ postojitacno jedan ordinal α takav da je ⟨A,≤⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩. Pisemo po dogovorutype(A) = α.

163

Teorema 4.17. Za sve (striktno) dobro uredene skupove A i B vazi

A ∼= B akko type(A) = type(B).

Dokaz. (⇒) Neka je A ∼= B. Kako je A ∼= type(A) i B ∼= type(B) ondatype(A) ∼= type(B). No, izomorfni ordinali su jednaki (L1.), pa type(A) =type(B).

(⇐) Iz A ∼= type(A) = type(B) ∼= B dobijamo A ∼= B.�

Primetimo da kao neposrednu posledicu ove teoreme imamo da se svaki(striktno) dobro ureden skup ⟨A,<⟩ moze ”indeksirati” po nekom ordinaluα. Naime, ako je α ordinal takav da je ⟨A,<⟩ ∼= ⟨α,∈α⟩, onda je A = {aβ :β < α}, gde je aβ = aδ za sve β = δ. Jednostavno, ako je φ : A → αizomorfizam izmedu ⟨A,<⟩ i ⟨α,∈α⟩, treba uzeti aβ = φ−1(β), za sve β < α.Ako jos prihvatimo AC, dobijamo da se svaki skup moze indeksirati ponekom ordinalu α.

Prirodni brojevi kao ordinali

U ovom delu cemo prirodne brojeve definisati kao specijalne ordinale. Intu-itivno, ordinal α ce biti prirodan broj akko se α moze dobiti od ∅ konacnomprimenom operacije +. Dokazacemo da je kolekcija svih prirodnih brojevaskup i da zadovoljava sve Peanove aksiome. Ta cinjenica moze da posluzikao dokaz da nasa formalna definicija prirodnog broja pokriva intuitivan po-jam prirodnog broja. Na kraju cemo dokazati da je skup prirodnih brojevanajmanji granicni ordinal.

Definicija 4.7. Za ordinal α kazemo da je prirodan broj ako

(∀β ≤ α)(β = ∅ ∨ β je naredni ordinal).

Na primer, ordinali ∅, {∅}, {∅, {∅}} su prirodni brojevi.

Teorema 4.18. Elementi prirodnog broja su opet prirodni brojevi.

Dokaz. Neka je α prirodan broj i β ∈ α. Treba dokazati

(∀γ ≤ β)(γ = ∅ ∨ γ je naredni ordinal).


Kako imamo γ ≤ β < α, sledi γ < α, sto daje da je γ = ∅ ili da je γ naredniordinal.�

Teorema 4.19. Ako je α prirodan broj, onda je i α ∪ {α} prirodan broj.

Dokaz. Neka je β ≤ α∪{α}. Ako je β = α∪{α}, onda je β naredni ordinal.Ako je β < α ∪ {α} onda je β ∈ α ili β = α, iz cega sledi β ≤ α. No, kakoje α prirodan broj, onda je β = ∅ ili je β naredni ordinal.�

Uvedimo redom sledece oznake:

0 = ∅, 1 = 0+ = {0}, 2 = 1+ = 1 ∪ {1} = {0, 1},

3 = 2+ = 2∪{2} = {0, 1, 2}, . . . , n+1 = n+ = n∪{n} = {0, 1, ..., n}, . . .

Prema T25, svi ti ordinali su prirodni brojevi.

Definicija 4.8. Za skup A kazemo da je induktivan ako ∅ ∈ A i za svex ∈ A vazi x ∪ {x} ∈ A.

Prema tome, Aksioma beskonacnosti tvrdi da postoji bar jedan induktivanskup.

Teorema 4.20. Neka je I proizvoljan induktivan skup. Svi prirodni brojevipripadaju skupu I.

Dokaz. Znamo da svaka neprazna klasa ordinala ima najmanji element.Pretpostavimo da je

K = {α : α je prirodan broj i α ∈ I} = ∅,

i neka je α0 najmanji ordinal u K. Jasno, α0 = ∅. Dakle, α0 je naredniordinal. Neka je α0 = β ∪ {β}. Onda je β ∈ α0 takode prirodan broj iβ < α0, pa mora β ∈ I. Iz toga sledi β+ ∈ I sto daje α0 ∈ I, kontradikcija.�

Teorema 4.21. Klasa svih prirodnih brojeva jeste skup.

165

Dokaz. Zbog Aksiome podskupa znamo da je

{α ∈ I : α je prirodan broj }

sigurno skup, za bilo koji induktivan skup I. No, prema Teoremi 26, to jetacno skup svih prirodnih brojeva.�

Definicija 4.9. Sa ω cemo obelezavati skup svih prirodnih brojeva.

Teorema 4.22. Skup ω zadovoljava sve Peanove aksiome, tj.

1. ∅ ∈ ω

2. n ∈ ω ⇒ n+ ∈ ω

3. n = m⇒ n+ = m+

4. (∀X ⊆ ω)((∅ ∈ X ∧ (∀n ∈ X)n+ ∈ X)⇒ X = ω).

Dokaz.

(1) i (2) su evidentni.

(3) Neka je n = m. Ako bi bilo n ∪ {n} = m ∪ {m}, dobili bi

(n ∈ m ∨ n = m) ∧ (m ∈ n ∨ m = n).

Zbog n = m dobijamo n ∈ m i m ∈ n tj. n ∈ n, sto je kontradikcija.

(4) Pretpostavimo suprotno, da je ω \ X = ∅. Kako je to neprazanskup ordinala, ima najmanji. Oznacimo ga sa n0. Onda je n0 = ∅, pa jen0 = m ∪ {m}, za neki m ∈ ω. Odatle sledi m ∈ n0 tj. m < n0 pa moram ∈ X. No, tada bi m+ ∈ X, sto je kontradikcija.�

Teorema 4.23. ω je najmanji granicni ordinal.

Dokaz. Znamo da je svaki tranzitivan skup ordinala ponovo ordinal. Kakoiz α ∈ β ∈ ω sledi α ∈ ω, dobijamo da je ω tranzitivan, pa je ω ordinal.

Pretpostavimo da je ω naredni ordinal tj. ω = α ∪ {α} za neki α. Tadaje α ∈ ω pa i α+ ∈ ω, sto daje ω ∈ ω kontradikcija. Dakle, ω je granicniordinal. Na kraju, ω je najmanji granicni ordinal, jer svaki α < ω jesteprirodan broj, pa je ili α = ∅ ili je α naredni ordinal.�


Ekvipotentni skupovi

Pre nego sto predemo na definiciju kardinala kao specijalnog ordinala, pod-setimo se nekih cinjenica, na koje se pomisli kada se pomene pojam kardi-nalnog broja. Naime, prvi i najpoznatiji pristup pojmu kardinalnog brojajeste preko tzv. ekvipotentih skupova, tj. skupova izmedu kojih postojibijekcija. Prema tom pristupu, svaka klasa ekvipotentnih skupova jestekardinalni broj (koji odgovara tim skupovima). No, kako mi zelimo da os-tanemo (koliko god je to moguce) u okviru ZF teorije skupova, usvojicemopristup po kome su svi objekti sa kojima radimo (pa dakle i kardinali)skupovi. Prema tom pristupu kardinali ce biti neki specijani ordinali; dalje,pod uslovom da usvojimo Aksiomu izbora, svakom skupu na jednoznacannacin odgovara neki kardinalni broj, i dva skupa ce imati isti kardinalnibroj ako i samo ako su oni ekvipotentni. Prema tome, sve cinjenice kojesmo ranije (tokom skolovanja) dokazivali za ekvipotentne skupove mozemoiskoristiti i u ovom pristupu.

Definicija 4.10 Za skupove A i B kazemo da su ekvipotentni, (u oznaciA ≈ B), ako postoji bijekcija iz A na B. Za skupove A i B koji nisuekvipotentni pisemo A ≈ B. Pisacemo A ≼ B ako postoji injekcija iz A uB, dok cemo oznaku A ≺ B koristiti u slucaju da je A ≼ B i nije B ≼ A.

U sledecoj teoremi su sadrzane neke jednostavne osobine koje se odnosena upravo definisane pojmove.

Teorema 4.24. Neka su A,B,C proizvoljni skupovi. Tada:

1) A ≼ B i B ≼ C onda A ≼ C.

2) a) A ≈ A,

b) A ≈ B onda B ≈ A,

c) A ≈ B i B ≈ C onda A ≈ C.

Dokaz. Direktno po definiciji, koristeci osobine injekcija odnosno bijekcija.�

Teorema 4.25. (Cantor, 1892.) Za svaki skup X, X ≺ P(X).

167

Dokaz. Jasno, postoji injekcija iz X u P(X). Treba dokazati da ne postojiinjekcija iz P(X) u X. Pretpostavimo suprotno i neka je f : P(X) → Xneka injekcija. Tada je skup

A = {f(S) : S ⊆ X, f(S) ∈ S}

dobro definisan. No, tada bi dobili da

f(A) ∈ A⇔ f(A) ∈ A,

sto je kontradikcija. Prema tome, ne postoji injekcija iz P(X) u X, sto smoi trebali dokazati.�

Teorema 4.26. Za svaki skup A,P(A) ≈ {0, 1}A.

Dokaz. Trazenu bijekciju f : P(A) → {0, 1}A definisimo na sledeci nacin:za sve B ⊆ A,

f(B) = χB,

gde je χB ∈ {0, 1}A karakteristicna funkcija skupa B u A, tj.

χB(x) = 1 akko x ∈ B.

�Da bi dokazali poznatu teoremu Schroder-Bernsteina, dokazacemo jedan

specijalan slucaj teoreme Tarskog o fiksnoj tacki.

Lema 4.2. Neka je f monotono preslikavanje uredenog skupa ⟨P(A),⊆⟩ usebe. Tada postoji Z ⊆ A takav da je f(Z) = Z.

Dokaz. Neka je B = {X ⊆ A : X ⊆ f(X)} i Z = ∪B. Jasno, za sve X ∈ Bvazi X ⊆ Z, pa zbog monotonosti funkcije f imamo f(X) ⊆ f(Z). Tako,

Z =∪{X : X ∈ B} ⊆

∪{f(X) : X ∈ B} ⊆ f(Z) ,

pa Z ⊆ f(Z). No, odatle sledi f(Z) ⊆ f(f(Z)), sto zbog definicije skupa Bdaje f(Z) ∈ B. Prema tome, f(Z) ⊆ Z.�


Teorema 4.27. (Schroder - Bernstein, 1897.)Za sve skupove A i B vazi: ako A ≼ B i B ≼ A onda A ≈ B.

Dokaz. Neka su f : A → B i g : B → A injekcije. Definisimo pomocnopreslikavanje h : P(A)→ P(A) na sledeci nacin:

h(X) = A \ g(B \ f(X)),

za sve X ⊆ A. Tada je h monotono preslikavanje uredenog skupa ⟨P(A),⊆⟩u sebe. Prema pethodnoj lemi postoji Z ⊆ A takav da je Z = h(Z). Prematome, Z = A \ g(B \ f(Z)), pa je skup A disjunktna unija dva skupa: Z ig(B \ f(Z)). Definisimo funkciju F : A→ B na sledeci nacin:

F (x) =

{f(x), za x ∈ Z,g−1(x), inace.

Tada je F trazena bijekcija izmedu A i B.�

Teorema 4.28 Neka su A1, A2, B1, B2 skupovi takvi da je A1 ≈ B1 i A2 ≈B2. Tada vazi:

a) Ako je A1 ∩A2 = B1 ∩B2 = ∅ onda A1 ∪A2 ≈ B1 ∪B2.

b) A1 ×A2 ≈ B1 ×B2,

c) AA21 ≈ B

B21 .

Dokaz. Neka su φ1 : A1 → B1 i φ2 : A2 → B2 bijekcije.

a) Definisimo preslikavanje φ : A1 ∪ A2 → B1 ∪ B2 tako sto je φ(x) =φ1(x), za sve x ∈ A1 i φ(x) = φ2(x), za sve x ∈ A2. Tada je φ dobrodefinisano preslikavanje koje je bijekcija iz A1 ∪A2 u B1 ∪A2.

b) Preslikavanje φ : A1 × A2 → B1 × B2 definisemo kao φ(⟨x, y⟩) =⟨φ1(x), φ2(y)⟩. Tada je φ trazena bijekcija.

c) Preslikavanje φ : AA21 → BB2

1 definisemo na sledeci nacin: ako jef : A2 → A1, onda φ(f) = φ1 ◦ f ◦ φ2

−1. Nije tesko videti da je φbijekcija.

�

169

Teorema 4.29 Neka su A,B,C proizvoljni skupovi. Tada vazi:

a) AC ×BC ≈ (A×B)C ,

b) AB×C ≈ (AB)C ,

c) Ako su B i C disjunktni skupovi, tada AB ×AC ≈ AB∪C .

Dokaz.

a) Preslikavanje ψ : AC × BC → (A × B)C definisemo na sledeci nacin:ako je f ∈ AC , g ∈ BC , onda ψ(⟨f, g⟩) = h, gde h : C → A × B takoda je h(c) = ⟨f(c), g(c)⟩. Tada je preslikavanje ψ bijekcija.

b) Preslikavanje ψ : AB×C → (AB)C definisemo na sledeci nacin: Akoje f : B × C → A, onda ψ(f) : C → AB tako da za sve c ∈ C,(ψ(f))(c) = hc, gde hc : B → A, i za sve b ∈ B, hc(b) = f(b, c). Tadaje ψ bijekcija.

c) Bijekciju ψ : AB × AC → AB∪Cdefinisemo na sledeci nacin: ako jef : B → A, g : C → A, onda neka je ψ(⟨f, g⟩) = h, h : B ∪ C → A,tako da je h(x) = f(x) za sve x ∈ B, i h(x) = g(x) za sve x ∈ C.

Kardinal kao specijalni ordinal

Kao sto smo ranije dokazali, prema Teoremi o tipu striktno dobro uredenogskupa (T3.11), za svaki striktno dobro ureden skup (A,<) postoji ordinal αkoji je izomorfan sa (A,<). Dakle, klasa ordinala α takvih da je A ≈ α jesigurno neprazna. S druge strane, svaka neprazna klasa ordinala ima naj-manji element. Te dve cinjenice nam omogucavaju da, u slucaju da se skupA moze dobro urediti, kardinalnost skupa A, (u oznaci |A|), definisemona sledeci nacin:

Definicija 4.11 Neka se skup A moze dobro urediti. Kardinalnost skupaA, (u oznaci |A|) jeste najmanji ordinal α takav da je α ≈ A.

Ako prihvatimo Aksiomu izbora, onda se svaki skup moze dobro urediti,pa je kardinalnost |A| definisana za svaki skup A. Primetimo da u slucajuordinala, AC nije potrebna: svaki ordinal α ima svoju kardinalnost |α|.Prema tome, pojam kardinala mozemo definisati korektno i bez pozivanjana AC. Naime:


Definicija 4.12 Za ordinal α kazemo da je kardinal ako je

α = |α|.

Naravno, za svaki skup A, |A| jeste kardinal. Naime, ako bi postojaoordinal β < |A| takav da je β ≈ |A|, onda zbog |A| ≈ A bi dobili β ≈ A, stoje suprotno sa definicijom |A|.

Sledeca teorema je, u stvari, samo preformulacija definicije kardinala, alice se u daljem radu pokazati kao korisna.

Teorema 4.30. Ordinal α je kardinal akko (∀β < α)β ≈ α.

Dokaz.(⇒) Neka je |α| = α. To znaci da je α najmanji ordinal ekvipotentan sa α.(⇐) kako je α ≈ α onda uslov (∀β < α)β ≈ α znaci po definiciji da je|α| = α.�

U sledece dve teoreme cemo pokazati kakav je odnos izmedu ekvipoten-cije, relacije ≼ i kardinalnosti. Po dogovoru cemo, kad god se u daljemtekstu pojavi oznaka |A|, podrazumevati da se doticni skup A moze dobrourediti.

Teorema 4.31. Za sve skupove A,B vazi

A ≈ B ⇐⇒ |A| = |B|.

Dokaz.(⇒) Neka je A ≈ B. Tada zbog A ≈ |A| i B ≈ |B| zakljucujemo A ≈|B| i B ≈ |A|. Po definiciji kardinalnosti skupova sada sledi |A| ≤ |B|odnosno |B| ≤ |A|. No, kako je relacija ≤ (definisana na klasi svih ordinala)antisimetricna, sledi |A| = |B|.(⇐) Neka je |A| = |B|. Onda A ≈ |A| = |B| ≈ B, pa je A ≈ B.�

Teorema 4.32. Za sve skupove A i B vazi:

|A| ≤ |B| ⇐⇒ A ≼ B.

171

Dokaz.(⇒) Neka je |A| = α, |B| = β i α ≤ β. Tada je α ⊆ β, pa postoji potapanjei : α→ β (i(γ) = γ, za sve γ ∈ α). Oznacimo sa f bijekciju iz A u α, a sa gbijekciju iz B u β. Tada je h = g−1 ◦ i ◦ f : A→ B injekcija, pa je A ≼ B.(⇐) Neka je |A| = α, |B| = β i A ≼ B. Oznacimo sa h injekciju iz A u B.Pretpostavimo da nije α ≤ β. Tada je β < α tj. β ⊂ α. Neka je i : β → αidenticno potapanje β i α. Neka su f : A → α i g : B → β bijekcije, iposmatrajmo funkciju φ = f−1◦i◦g. Tada φ : B → A jeste injekcija. PremaTeoremi Schroder-Bernstein sada iz A ≼ B i B ≼ A zakljucujemo A ≈ Bsto prema prethodnoj teoremi implicira |A| = |B| tj. α = β, kontradikcija.�

Prema tome, ako su α i β kardinali, onda

α ≈ β akko α = β,

iα ≼ β akko α ≤ β.

Teorema 4.33. Unija proizvoljnog skupa kardinala je kardinal.

Dokaz. Neka je S neki skup kardinala i∪S = α. Znamo od ranije (T19)

da je α ordinal i da je α = supS. Pretpostavimo da α nije kardinal. Ondapostoji β < α takav da je β ≈ α. Po definiciji unije, tada postoji η ∈ S, takavda je β ∈ λ, tj. β ⊂ λ. Kako je α ≈ β i β ≼ λ onda α ≼ λ. S druge strane,i λ ≼ α (jer je α = supS i λ ∈ S). Prema teoremi Schroder-Bernstein, sledida je α ≈ λ, pa zbog β ≈ α dobijamo β ≈ λ. No, to je nemoguce jer β < λi λ je kardinal.�

Operacije sa kardinalima

Neka su κ i λ kardinali. Podsetimo se da smo sa κ × λ obelezili Dekartovproizvod κ i λ (kao skupova), a sa κλ skup svih funkcija f : λ → κ. No,privremeno, da bismo izbegli dvosmislenost, skup svih funkcija f : λ → κcemo obelezavati sa λκ.

Definicija 4.13 Na klasi svih kardinala cemo definisemo sledece tri op-eracije, sabiranje, mnozenje i stepenovanje na sledeci nacin:

κ⊕ λ = |κ× {0} ∪ λ× {1}|,


κ⊗ λ = |κ× λ|

κλ = |λκ|

Teorema 4.34 Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada:

a) Ako A ∩B = ∅, onda |A ∪B| = |A| ⊕ |B|,

b) |A×B| = |A| ⊗ |B|,

c) |AB| = |A||B|.

Dokaz. Primetimo da za proizvoljan skup A i kardinal λ takav da je A ≈ λvazi da je |A| = λ. Korscenjem te cinjenice, ako i T... i T... dobijamosledece:

a) Kako je A ≈ |A| ≈ |A| × {0}, i B ≈ |B| ≈ |B| × {1}, onda imamo daje A∪B ≈ |A| × {0}∪ |B| × {1} ≈ ||A| × {0}∪ |B| × {1}|, iz cega sledi|A ∪B| = |A| ⊕ |B|.

b) Kako je A ≈ |A| i B ≈ |B|, onda sledi A×B ≈ |A| × |B| ≈ ||A| × |B||,pa A×B ≈ |A| ⊗ |B|, iz cega sledi |A×B| = |A| ⊗ |B|.

c) Iz A ≈ |A| i B ≈ |B| dobijamo

AB ≈ |B||A| ≈ ||B||A|| = |A||B|,

sledi AB ≈ |A||B|, pa |AB| = |A||B|.

Teorema 4.35 Neka su κ, λ, µ kardinali. Tada vazi:

a) κ⊕ λ = λ⊕ κ,

b) κ⊗ λ = λ⊗ κ,

c) (κ⊕ λ)⊕ µ = κ⊕ (λ⊕ µ),

d) (κ⊗ λ)⊗ µ = κ⊗ (λ⊗ µ).

Dokaz.

173

a) Za proizvoljne skupove A i B vazi A∪B = B∪A, pa |A∪B| = |B∪A|.Ako su A i B disjunktni, dobijamo |A| ⊕ |B| = |B| ⊕ |A|. Specijalno,ako je A = κ × {0}, B = λ × {1}, dobijamo |A| = |κ × {0}| = κ,|B| = |λ× {1}| = λ, tj. κ⊕ λ = λ⊕ κ.

b) Za proizvoljne skupove A i B vazi A×B ≈ B×A, pa |A×B| = |B×A|,iz cega sledi |A| ⊗ |B| = |B| ⊗ |A|. Specijalno, za A = κ, B = λdobijamo κ⊗ λ = λ⊗ κ.

c) Za sve skupove A, B i C vazi (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), pa

|(A ∪B) ∪ C| = |A ∪ (B ∪ C)|.

Ako suA, B i C disjunktni skupovi tj. A∩B = A∩C = B∩C = ∅, ondasledi (|A|⊕|B|)⊕|C| = |A|⊕(|B|⊕|C|). Specijalno, ako je A = κ×{0},B = λ× {1}, C = µ× {2}, dobijamo (κ⊕ λ)⊕ µ = κ⊕ (λ⊕ µ).

d) Navedeni identitet dobijamo polazeci od cinjenice da za sve skupoveA, B, C vazi (A×B)× C ≈ A× (B × C).

�


κ⊗ (λ⊕ µ) = (κ⊗ λ)⊕ (κ⊗ µ).

Dokaz. Za sve skupove A, B, C vazi A× (B ∪C) = (A×B)∪ (A×C), pa|A× (B ∪ C)| = |(A× B) ∪ (A× C)|. Ako vazi B ∩ C = ∅, onda dobijamo|A| ⊗ (|B| ⊕ |C|) = (|A| ⊗ |B|) ⊕ (|A| ⊗ |C|). Na kraju treba uzeti da jeA = κ, B = λ× {0}, C = µ× {1}.�

Dogovor o oznakama: Ako je na primer f : A × B → C, to znaci dafunkcija f svakom uredenom paru ⟨a, b⟩ ∈ A × B dodeljuje neki elementc ∈ C, pa bi u tom slucaju trebalo pisati f(⟨a, b⟩) = c. No, umesto toga,uobicajeno je da se pise samo f(a, b) = c.

Teorema 4.37 Neka su κ, λ, µ kardinali. Tada:

a) (κ⊗ λ)µ = κµ ⊗ λµ,

b) κλ⊗µ = (κλ)µ,


c) κλ⊕µ = κλ ⊗ κµ.

Dokaz. Posledica T6.24.�

Teorema 4.38 Neka su κ, λ, µ kardinali. Tada:

a) κ ≤ λ ⇒ κ⊕ µ ≤ λ⊕ µ,

b) κ ≤ λ ⇒ κ⊗ µ ≤ λ⊗ µ.

Dokaz.

a) Neka su A, B, C skupovi takvi da je A ∩ C = B ∩ C = ∅ i |A| ≤ |B|.Kako je tada A ≈ |A| ≼ |B| ≈ B, zakljucujemo da je A ≼ B, izcega sledi A ∪C ≼ B ∪C, odnosno |A ∪C| ≤ |B ∪C|. Sada zbog T...dobijamo |A|⊕|C| ≤ |B|⊕|C|. Na kraju treba uzeti da je A = κ×{0},B = λ× {1}, C = µ× {2}, i dobijamo trazenu implikaciju.

b) Krenimo od skupova A i B za koje vazi |A| ≤ |B|. Onda, kao pod a),zakljucujemo da vazi A ≼ B, iz cega sledi A × C ≼ B × C odnosno|A × C| ≤ |B × C|. Na osnovu T... dobijamo |A| ⊗ |C| ≤ |B| ⊗ |C|.Trazenu implikaciju dobijamo kada uzmemo da je A = κ, B = λ,C = µ.

�


a) κ ≤ λ ⇒ κµ ≤ λµ,

b) κ ≤ λ ⇒ µκ ≤ µλ.

Dokaz. Koristeci T..., slicno kao dokaz prethodne teoreme.�

175

Konacni kardinali

Definicija 4.14 Za skup A kazemo da je konacan ako je ekvipotentan sanekim prirodnim brojem tj.

(∃n ∈ ω) n ≈ A.

U suprotnom, A je beskonacan.

U ovom delu cemo dokazati da su konacni kardinali tacno prirodni brojevi.

Naravno, svi prirodni brojevi su konacni ordinali. Da dokazemo da susvi prirodni brojevi i kardinali, potrebna nam je sledeca lema.

Lema 4.3. Nijedan prirodan broj nije ekvipotentan svom pravom podskupu.

Dokaz. Neka je A = {n ∈ ω : (∀f : n1−1→ n) rang(f) = n}. Potrebno i

dovoljno je dokazati da je A = ω. Da bi to dokazali, dovoljno je uveriti seda je A induktivan.

(i) ∅ ∈ A, trivijalno.

(ii) Pretpostavimo da je n ∈ A, dokazimo da je n+ ∈ A. Neka je f :

n+1−1→ n+. Treba dokazati da je rang (f) = n+. Posmatrajmo funkciju

f|n : n1−1→ n+.

Imamo dva slucaja:

• I slucaj: rang(f|n) ⊆ n. Tada je jasno f|n : n1−1→ n, pa je rang(f|n) =

n. Prema tome, mora f(n) = n, i rang(f) = n ∪ {n} = n+.

• II slucaj: rang(f|n) ⊆ n. Tada postoji k ∈ n takav da je f(k) = n if(n) = r ∈ n. Definisimo novu funkciju g : n ∪ {n} → n ∪ {n} na sledecinacin:

g(n) = n

g(k) = r

g(ℓ) = f(ℓ), za sve ℓ =, n, k.

Jasno, rang(f) = rang(g). S druge strane, rang(g|n) ⊆ n, pa imamo da

g|n : n1−1→ n. Zbog indukcijske hipoteze (tj. n ∈ A) dobijamo da rang(g|n) =

n, pa jerang(g) = n ∪ {n} = n+,


sto zbog rang(g) = rang(f) daje rang(f) = n+.�

Teorema 4.40. Svi prirodni brojevi su kardinali.

Dokaz. Neka je n ∈ ω. Treba dokazati da za sve k < n, k ≈ n. No, k < nznaci k ∈ n tj. k ⊂ n, pa prema prethodnoj lemi dobijamo k ≈ n.�

Lema 4.4. Nijedan konacan skup nije ekvipotentan svom pravom podskupu.

Dokaz. Neka je A konacan skup, i neka je A ≈ n. Neka je B ⊂ A. Pret-

postavimo suprotno, neka je f : A1−1−→na B. Ako sa g oznacimo bijekciju koja

preslikava n na A onda imamo da g−1 ◦f ◦g : n1−1−→na g

−1(B). No, g−1(B) ⊂ n,sto je kontradikcija sa Lemom 1.

ng−→

1−1,naA

1−1na

yfn ⊂ f−1(B)

1−1,na←−g−1 B ⊂ A

�

Teorema 4.41. Svi konacni ordinali su prirodni brojevi tj.

(∀α ∈ ON)(∀n ∈ ω)(α ≈ n⇒ α = n).

Dokaz. Neka je α ≈ n, i pretpostavimo da je α = n. Kako su i α i nordinali, onda mora α < n ili n < α. Ako bi bilo α < n onda α ⊂ n, sto jekontradikcija sa Lemom. Ako bi bilo n < α onda n ⊂ α, a to je kontradikcijasa Lemom 2.�

Naravno, kako su svi prirodni brojevi kardinali, dobijamo da su konacnikardinali tacno prirodni brojevi.

177

Beskonacni kardinali

Teorema 4.42. ω je najmanji beskonacan kardinal.

Dokaz. Da je ω beskonacan skup sledi iz cinjenice da je ekvipotentansvom pravom podskupu (na primer, f : n 7→ n+ je bijekcija izmedu ω iω \ {∅}), a znamo (L2) da nijedan konacan skup nije ekvipotentan svompravom podskupu. Naravno, ω je i kardinal, jer za sve β < ω vazi β ≈ ω.(Naime β < ω znaci β ∈ ω tj. β je prirodan broj pa ω ne moze bitiekvipotentan prirodnom broju jer je beskonacan.) I na kraju, ω je najmanjibeskonacan kardinal, jer svi ordinali β < ω su prirodni brojevi, a oni sukonacni.�

Znamo da je ω granicni ordinal. To mozemo dokazati za sve beskonacnekardinale.

Lema 4.5. Za svaki ordinal β ≥ ω vazi

|β| = |β+|.

Dokaz. Definisemo funkciju φ : β+ → β na sledeci nacin

φ(β) = ∅

φ(γ) = γ ∪ {γ}, za γ < ω

φ(γ) = γ, za ω ≤ γ < β

Nije tesko proveriti da je φ bijekcija.�

Teorema 4.43. Svaki beskonacan kardinal je granicni ordinal.

Dokaz. Neka je κ neki beskonacan kardinal. Tada κ ≥ ω. Pretpostavimoda je κ = α+ = α ∪ {α}, za neki ordinal α. Onda je α ≥ ω (jer bi inace biloα ∈ ω i α+ ∈ ω tj. κ < ω). No, ako ω ⊆ α, onda je lako napraviti bijekcijuizmedu α i α∪{α}, pa bi bilo α ≈ α∪{α} = κ. To bi znacilo α ≈ κ i α < κ,sto je kontradikcija sa cinjenicom da je κ kardinal.�


Definicija 4.15 Za skup A kazemo da je prebrojiv ako je |A| ≤ ω. A jeneprebrojiv ako nije prebrojiv.

Imajuci u vidu Cantorovu teoremu, ako prihvatimo AC, odmah dobijamoda postoje neprebrojivi skupovi.

Teorema 4.44. (AC) Postoji neprebrojiv skup (kardinal).

Dokaz. Kako je za sve skupove S, S ≺ P(S) tj. S ≼ P(S) i S ≈ P(S),onda specijalno za S = ω dobijamo

ω ≼ P(ω) i ω ≈ P(ω)

tj. ω < |P(ω)|. Dakle, P(ω) je neprebrojiv skup, (a |P(ω)| neprebrojivkardinal).�

No, postojanje neprebrojivih kardinala, kao i postojanje proizvoljno ve-likih kardinala mozemo dokazati i bez AC. Prvo, podsetimo se da |β| postojiza svaki ordinal β, bez obzira na AC.

Teorema 4.45. (bez AC) Za svaki ordinal α, postoji kardinal κ takav da jeκ > α.

Dokaz. Tvrdenje je, naravno, tacno za α < ω, jer je α ∪ {α} > α i svakiprirodan broj je kardinal. Neka je α ≥ ω. Definisimo

W = {R ∈ P(α× α) : R je relacija striktnog dobrog uredenja na α}.

Onda je W = ∅, i W je skup (jer je W ⊆ P(α× α)). Tada je i

S = {type⟨α,R⟩ : R ∈W}

skup, zbog Aksiome zamene. Neka je βR = type ⟨α,R⟩. Onda je

S = {βR : R ∈W}.

• Dokazimo da jeS = {β ∈ ON : β ≈ α}.

Ako sa S1 oznacimo {β ∈ ON : β ≈ α}, treba dokazati S = S1

(⊆) Ako βR ∈ S onda ⟨α,R⟩ ∼= ⟨βR,∈⟩ pa je α ≈ βR i βR ∈ S1.

179

(⊇) Neka je β ∈ S1. Onda β ≈ α. Treba dokazati da je β = βR zaneki R ∈W. Oznacimo sa φ bijekciju koja postoji izmedu α i β. Definisemorelaciju R na α :

γ1Rγ2 ⇔ φ(γ1) ∈β φ(γ2), za sve γ1, γ2 ∈ α.

Tada je φ izomorfizam izmedu striktno dobro uredenog skupa ⟨β,∈β⟩ i⟨α,R⟩. Tako, type ⟨α,R⟩ = β, pa je β = βR i β ∈ S.

• Neka je κ = ∪S. Znamo da je κ = supS (vidi T ). Dokazimo daκ ∈ S. Ako pretpostavimo da κ ∈ S, onda je κ ≈ α ≥ ω pa na osnovu Lemedobijamo

κ+ ≈ α+ ≈ α

tj. κ+ ≈ α, sto daje κ+ ∈ S. No, to je kontradikcija jer je κ = supS aκ+ > κ.

• Dokazimo sada da je α < κ. Kako je α ∈ S onda je α ≤ supS = κ.Kako κ ∈ S, onda α = κ. Dakle, α < κ.

• Dokazimo na kraju da je κ kardinal. Pretpostavimo suprotno, dapostoji γ ∈ κ takav da je γ ≈ κ. To znaci

(∃γ ∈ ∪S)γ ≈ κ ⇔ (∃β ∈ S)(γ ∈ β ∧ γ ≈ κ)⇔ (∃β ∈ S)(γ ⊂ β ∧ γ ≈ κ).

S druge strane, α ≈ β ⊃ γ ≈ κ povlaci κ ≼ α. S obzirom da je i α ≼ κ,dobijamo κ ≈ α tj. κ ∈ S, sto je kontradikcija.�

Teorema 4.1. Za svaki kardinal λ, postoji kardinal κ, takav da je κ > λ.

Teorema 4.2. Klasa svih kardinala nije skup.

Dokaz. Pretpostavimo da je {λ : λ je kardinal} skup. Kako je unijaproizvoljnog skupa kardinala ponovo kardinal, onda je ∪{λ : λ je kardinal} =α kardinal. Prema prethodnom tvrdenju, postoji kardinal κ > α. No, α jesupremum skupa {λ : λ je kardinal}, pa bi bilo κ ≤ α, sto je kontradikcija.�

Primetimo da sada mozemo zakljuciti da ni klasa svih beskonacnih kar-dinala Card∞ nije skup. Naime, klasa konacnih kardinala ω jeste skup, paako bi i Card∞ bio skup, dobili bi da je klasa svih kardinala skup.


Alefi

Kratko receno, cilj ovog dela je da se pokaze da se beskonacni kardinali mogu”poredati u niz”

ℵ0,ℵ1, . . . ,ℵα, . . . (α ∈ ON),

tako da za α < β vazi ℵα < ℵβ,ℵα+1 jeste najmanji kardinal veci od ℵα, aza granicni ordinal α,

ℵα = ∪β<αℵβ.

Neka je F (x, y) formula prvog reda na jeziku {∈}. Neka je dalje K nekaklasa ordinala pri cemu vazi

(∀α ∈ K)(∃β ∈ ON)F (α, β).

Kazemo da je F funkcionalna relacija na K ako je

(∀α ∈ K)(∃!β ∈ ON)F (α, β).

U tom slucaju cemo pisati F (α) = β i F : K → ON. Prirodno, za F cemoreci da je ”1-1” ako za sve α, β ∈ K vazi

F (α) = F (β)⇒ α = β,

da je ”na” ako(∀β ∈ ON)(∃α ∈ K)F (α) = β,

i da je monotona ako za sve α, β ∈ K vazi

α < β ⇒ F (α) < F (β).

Neka je K klasa ordinala. Kazemo da je ⟨K,<⟩ izomorfno sa ⟨ON, <⟩ akopostoji funkcionalna relacija F : K → ON koja je ”1-1”, ”na” i monotona.Primetimo da u tom slucaju imamo za sve α, β ∈ K

α < β ⇔ F (α) < F (β).

Teorema 4.46. Neka je Card∞ klasa svih beskonacnih kardinala. Tada su⟨Card∞, <⟩ i ⟨ON, <⟩ izomorfni.

Dokaz. • Za sve x ∈ Card∞, sa Sx oznacimo pocetni segment u Card∞odreden sa x tj.

Sx = {y ∈ Card∞ : y < x}.

181

Kako je Sx ⊆ x i x je skup, sledi da je Sx skup za sve x ∈ Card∞. Jasno,⟨Sx, <⟩ je striktno dobro ureden skup.

• Neka je F (x, α) formula prvog reda na jeziku {∈} koja kaze:

”α je ordinal izomorfan sa ⟨Sx, <⟩”.

Jasno, F (x, α) je funkcionalna relacija na Card∞. Dokazimo da je F :Card∞ → ON ”1-1”, ”na” i da je monotona.

• F je ”1-1”. Zaista, ako je F (x) = α = F (y) onda je

Sx ∼= α ∼= Sy ⇒ Sx ∼= Sy,

pa ako bi, na primer, bilo x < y, onda bi Sx bio pocetni segmet od Sy, a toje nemoguce, jer smo ranije dokazali (T ) da nijedan striktno dobro uredenskup nije izomorfan svom pocetnom segmentu.

• F je monotona. Neka je x < y, treba dokazati F (x) < F (y). Neka jeF (y) = α. Tada je Sy ∼= α. Neka je φ : Sy → α taj izomorfizam. Kako jex ∈ Sy onda φ(x) ∈ α. Neka je β = φ(x). Tada je φ|Sx

: Sx → β izomorfizampa je Sx ∼= β tj. β = F (x), pa zbog β ∈ α dobijamo F (x) < F (y).

• Oznacimo sa A klasu F (Card∞) tj.

A = {α ∈ ON : (∃x ∈ Card∞)F (x) = α}.

Nije tesko videti da ako β < α i α ∈ A onda i β ∈ A.

•F je ”na”. Treba, u stvari, dokazati da je A = ON. Pretpostavimosuprotno tj. A = ON. Tada klasa ordinala X = ON\A ima najmanjielement α0. Tada se lako dokazuje da je A = [α0). Zaista,

(⊆) Neka je α ∈ A. Pretpostavimo da α ≥ α0. Za α = α0 dobijamoα0 ∈ A, sto je kontradikcija. Za α > α0, zbog α ∈ A dobijamo ponovoα0 ∈ A, kontradikcija. Prema tome, mora α < α0 tj. α ∈ [α0).

(⊇) Neka je α ∈ [α0) tj. α < α0. Tada α ∈ X, jer je α0 najmanji u X, paprema tome α ∈ A. Dakle, A = [α0) pa je A skup. Kako je F ”1-1”, ondana osnovu Aksiome zamene zakljucujemo i da je F−1(A) = Card∞ takodeskup, sto je kontradikcija. Prema tome, A = ON i F : Card∞ → ON je”na”.�

Neka je F : Card∞ → ON izomorfizam izmedu ⟨Card∞, <⟩ i ⟨ON, <⟩definisan u prethodnoj teoremi. Za α ∈ ON, beskonacni kardinal F−1(α)


obelezavamo sa ℵα (alef-alfa). Prema tome, definisali smo niz beskonacnihkardinala

ℵ0,ℵ1, ...,ℵα, ..., (α ∈ ON).

Naravno, ℵ0 je najmanji beskonacan kardinal, tj. ω. Uobicajeno je da se tajniz kardinala, kada se posmatraju kao ordinali, obelezava sa

ω0, ω1, ..., ωα, ..., (α ∈ ON).

Direktno iz prethodne teoreme dobijamo:

Teorema 4.3. (1) Za svaki beskonacan kardinal κ postoji ordinal α takavda je κ = ℵα .

(2) Za sve ordinale α, β vazi: ako α < β onda ℵα < ℵβ .

Teorema 4.47.

(1) Za svaki α ∈ ON kardinal ℵα+1 je najmanji kardinal veci od ℵα.

(2) Ako je α granicni ordinal, onda

ℵα = ∪β<αℵβ.

Dokaz. (1) Naravno, zbog α < α+1 sledi ℵα < ℵα+1. Ako bi bilo ℵα < ℵβonda α < β pa α+ 1 ≤ β, iz cega sledi ℵα+1 ≤ ℵβ.(2) Znamo da je

∪β<αℵβ = sup{ℵβ : β < α}.Znaci, treba dokazati da je

ℵα = sup{ℵβ : β < α}.Jasno, ℵα je gornje ogranicenje od {ℵβ : β < α}. Dokazimo da je ℵα naj-manje gornje ogranicenje. Neka je

ℵβ ≤ δ, za sve β < α.

Mozemo pretpostaviti da je δ beskonacan kardinal, pa postoji γ ∈ ON,takav da

δ = ℵγ .Treba dokazati da je ℵα ≤ ℵγ . Pretpostavimo suprotno tj. ℵγ < ℵα. Tadabi bilo γ < α, pa kako je α granicni ordinal, onda γ + 1 < α i

ℵγ+1 < ℵγ ,jer je ℵγ gornje ogranicenje za sve ℵβ, β < α. No, ovo je u kontradikciji sa(1).�

183

Operacije sa beskonacnim kardinalima

Teorema 4.48 a) ℵ0 ⊕ ℵ0 = ℵ0;

b) ℵ0 ⊗ ℵ0 = ℵ0.

c) Za sve prirodne brojeve n vazi: n⊕ ℵ0 = ℵ0;

d) Za sve prirodne brojeve n ≥ 1 vazi: n⊗ ℵ0 = ℵ0;

Dokaz.

a) Neka je A = {0, 2, 4, . . . }, B = {1, 3, 5, . . . }. Tada je ℵ0 = |A ∪ B| =|A| ⊕ |B| = ℵ0 ⊕ ℵ0.

b) Jasno, |N| = |{1, 2, 3, . . . }| = ℵ0. Definisimo preslikavanje φ : N →ω × ω na sledeci nacin: ako je n ∈ ω onda

φ(n) = ⟨r, s, ⟩ akko n = 2r(2s ∗ 1).

Nije tesko videti da je φ dobro definisano preslikavanje koje je bijekcija.Prema tome, ℵ0 = |N| = |ω × ω| = |ω| ⊗ |ω| = ℵ0 ⊗ ℵ0.

c) Koristici monotonost operacije ⊕ (T...) imamo da za n < ω vazin ⊕ ℵ0 ≤ ℵ0 ⊕ ℵ0 = ℵ0. S druge strane, imamo da je 0 ≤ n, paℵ0 = 0⊕ ℵ0 ≤ n⊕ ℵ0 ≤ ℵ0, iz cega sledi n⊕ ℵ0 = ℵ0.

d) Koristeci monotonost operacije ⊗ (T...) i 1 ≤ n ≤ ℵ0 dobijamo:

ℵ0 = 1⊗ ℵ0 ≤ n⊗ ℵ9 ≤ ℵ0 ⊗ ℵ0 = ℵ0,

pa sledi n⊗ ℵ0 = ℵ0.

�

Teorema 4.49 a) Direktan proizvod konacno mnogo prebrojivih skupovaje prebrojiv.

b) Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv.

Dokaz.


Teorema 4.50. Za svaki beskonacan kardinal κ vazi

κ⊗ κ = κ.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno i neka je κ ≥ ω najmanji kardinal za kojine vazi κ ⊗ κ = κ. Primetimo da je onda κ < |κ × κ| (jer κ ≼ κ × κ, paκ ≤ |κ× κ| i κ = |κ× κ| ).

Korak 1. Dokazimo prvo da za sve α < κ vazi

|α× α| < κ.

Jasno, ako je α < ω, onda |α× α| < ω ≤ κ, pa |α× α| < κ. Neka je α ≥ ω.Kako je κ najmanji kardinal sa osobinom da ne vazi κ⊗κ = κ, onda imamosledece:

|α× α| = ||α| × |α|| = |α| ⊗ |α| = |α| ≤ α < κ.

Korak 2. Neka je P = κ×κ.Dakle, po pretpostavci, |P | > κ. Definisimojednu particiju {Pξ : ξ < κ} skupa P na sledeci nacin:

Pξ = {⟨α, β⟩ ∈ κ× κ : max(α, β) = ξ}.

Na svakom Pξ neka je <ξ tzv. antileksikografski poredak tj.

⟨α, β⟩ <ξ ⟨γ, δ⟩ akko β < δ ili (β = δ i α < γ).

Tada su sve relacije<ξ striktna dobra uredenja na odgovarajucim skupovimaPξ.

Korak 3. Na celom skupu P =∪{Pξ : ξ < κ} definisimo relaciju <∗ na

sledeci nacin: ako su x, y ∈ P takvi da je x ∈ Pα i y ∈ Pβ, onda

x <∗ y akko α < β ili (α = β i x <α y).

Tada se lako vidi da je <∗ striktno dobro uredenje na P .

Korak 4. Neka je δ = type ⟨P,<∗⟩. Kako je P ≈ δ, onda |P | = |δ|, paimamo

κ < |P | = |δ| ≤ δ,

tj. κ < δ.

Korak 5. Neka je φ : P → δ izomorfizam izmedu ⟨P,<∗⟩ i ⟨δ,∈δ⟩.Posto je κ ∈ δ, onda postoji ⟨α0, β0⟩ ∈ P tako da je φ(⟨α0, β0⟩) = κ. Kako

185

je φ izomorfizam, onda je pocetni segment P⟨α0,β0⟩ od ⟨P,<∗⟩ odreden sa⟨α0, β0⟩ izomorfan sa κ. Prema tome,

|P⟨α0,β0⟩| = |κ| = κ.

Korak 6. Kako je P =∪{Pξ : ξ < κ}, onda ⟨α0, β0⟩ ∈ Pξ0 , za neko ξ0 < κ.

Dokazimo da jeP⟨α0,β0⟩ ⊆ (ξ0 + 1)× (ξ0 + 1).

Znamo da je max(α0, β0) = ξ0, pa je α0 < ξ0 + 1 i β0 < ξ0 + 1. Ako⟨α, β⟩ <∗ ⟨α0, β0⟩, onda max(α, β) ≤ max(α0, β0), pa α < ξ0+1, i β < ξ0+1,sto je i trebalo dokazati.

Korak 7. Znamo da uvek vazi:

A ⊆ B ⇒ |A| ≤ |B|,

pa je|P⟨α0,β0⟩| ≤ |(ξ0 + 1)× (ξ0 + 1)|.

Posto je κ granicni ordinal (jer je svaki beskonacni kardinal granicni ordinal,vidi T43), onda iz ξ0 < κ sledi ξ0 + 1 < κ. No, u Koraku 1. smo videli daza sve α < κ vazi

|α× α| < κ,

pa imamo|P⟨α0,β0⟩| ≤ |(ξ0 + 1)× (ξ0 + 1)| < κ,

sto je kontradikcija, jer smo u Koraku 5. dokazali

|P⟨α0,β0⟩| = κ.

�

Teorema 4.51. Za sve kardinale κ, λ ≥ ω vazi

κ⊕ λ = κ⊗ λ = max(κ, λ).

Dokaz. Neka je κ ≤ λ. Jasno, λ ≼ κ× {0} ∪ λ× {1}, iz cega sledi

(1) λ ≤ κ⊕ λ.

Kako je κ× {0} ∪ λ× {1} ≼ λ× {0} ∪ λ× {1}, imamo

(2) κ⊕ λ ≤ λ⊕ λ.


Dalje, 2× λ ≈ λ× {0} ∪ λ× {1} i 2× λ ≼ λ× λ, pa je

(3) λ⊕ λ = 2⊗ λ ≤ λ⊗ λ = λ.

Tako iz (1), (2) i (3) dobijamo λ ≤ κ⊕ λ ≤ λ, pa je κ⊕ λ = λ. Analogno,

λ ≤ κ⊗ λ ≤ λ⊗ λ = λ,

iz cega sledi κ⊗ λ = λ.�

Kontinuum hipoteza

Znamo da za svaki skup X vazi

2X ≈ P(X) i |P(X)| > |X|.

Prema tome, znamo da je2ℵ0 > ℵ0.

Kako je ℵ1 najmanji kardinal veci od ℵ0, onda je

ℵ1 ≤ 2ℵ0 .

No, da li je ℵ1 = 2ℵ0? Da li je 2ℵ0 najmanji kardinal posle ℵ0 ? Poznatoje da je kardinalnost skupa realnih brojeva bas 2ℵ0 , pa se taj kardinalnibroj zove i kontinuum i obelezava sa c. Prema tome, nase pitanje mozemoformulisati i ovako: Da li postoje beskonacni skupovi koji nisu prebrojivi,a cija kardinalnost je manja od kontinuuma? Problem koji pita Koliko jeℵ1? zove se Problem kontinuuma. Tvrdenje da je ℵ1 = 2ℵ0 zove seKontinuum hipoteza (CH). Slicno, za svaki ordinal α imamo da je

2ℵα > ℵαi da je ℵα+1 ≤ 2ℵα . Uopsteni problem kontinuuma pita Koliko je2ℵα+1? Tvrdenje da je ℵα+1 = 2ℵα se zoveUopstena kontinuum hipoteza(GCH). Status Kontinuum hipoteze odnosno Uopsene kontinuum hipoteze jeslican statusu Aksiome izbora. Naime, u okvirima ZF se niti mogu dokazati,niti se mogu oboriti.

Teorema 4.52. (Godel, 1939) GCH je saglasna sa teorijom ZF, tj. akoje ZF neprotivrecna, onda je i ZF +GCH neprotivrecna.

Teorema 4.53. (Cohen, 1963) Ako je ZF neprotivrecna onda je i ZF +¬CH neprotivrecna. Prema tome, CH je nezavisna od ZF teorije.

Literatura

[1] G. Birkhoff, On the combination of subalgebras, Proc. Cambridge Phi-los. Soc. 29 (1933), 441–464.

[2] G. Birkhoff, On the structure of abstract algebras, Proc. CambridgePhilos. Soc. 31 (1935), 433–454.

[3] G. Birkhoff, Combinatorial relations in projective geometries, Ann.Math. 47 (1935), 743–748.

[4] G. Birkhoff, Lattice theory, First Edition, Colloquium Publications, Vol.25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1940.

[5] G. Birkhoff, Lattice theory, Second Edition, Colloquium Publications,Vol. 25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1948.

[6] G. Birkhoff, Lattice theory, Third Edition, Colloquium Publications,Vol. 25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1967.

[7] G. Birkhoff, O. Frink, Representations of lattices by sets, Trans. Amer.Math. Soc. 64 (1948), 299–316.

[8] G. Boole, An investigation of the laws of thought, Walton and Mabrly,London, 1854.

[9] S. Burris, H. P. Sankappanavar, A course in universal algebra, GraduateTexsts in Mathematics, Springer–Verlag, New York, 1981.

[10] C. C. Chang, H. J. Keisler, Model theory, Studies in Logic and the Foun-dations of Mathematics, Vol 73, North–Holland Publ. Co., Amsterdam–London, 1973.

[11] P. M. Cohn, Universal algebra, Harper and Row, New York, 1965.

187

188 Literatura

[12] P. Crawley, R. P. Dilworth, Algebraic theory of lattices, Prentice–Hall,Englewood Cliffs, 1973.

[13] S. Crvenkovic, I. Dolinka, R. Sz. Madarasz Odabrane teme opste al-gebre: grupe, prsteni, polja, mreze, Univ. u Novom Sadu, Prirodno-matematicki fakultet, Novi Sad, 1998.

[14] A. DeMorgan, Formal logic, Taylor and Walton, London, 1847.

[15] B. A. Davey, H. A. Pristley, Introduction to Lattices and Order, Cam-bridge University Press, 1990.

[16] R. Dedekind, Uber Zerlegungen von Zahlen durh ihre grossten gemein-samen Teiler, Festschrifte Techn. Hoch. Braunschweig, 1897.

[17] R. Dedekind, Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Math.Ann. 53 (1900), 371–403.

[18] R. P. Dilworth, Lattices with unique complements, Trans. Amer. Math.Soc. 57 (1945), 123–154.

[19] K. Denecke, S. L. Wismath, Universal Algebra and Applications in The-oretical Computer Science, Chapman and Hall/CRC, 2002.

[20] R. P. Dilworth, The structure of relatively complemented lattices, Ann.Math. 51(2) (1950), 348–359.

[21] Ersov, Paljutin, Matematicka Logika (na ruskom), Nauka, Moskva,1979.

[22] A.A. Fraenkel, Y. Bar–Hillel, Foundations of Set Theory, North–Holland, 1958.

[23] R. Freese, Free modular lattices, Trans. Amer. Math. Soc. 261 (1980),81–91.

[24] R. Freese, R. McKenzie, Commutator Theory for congruence modularvarieties, London Math. Soc. Lecture–Note Series, ???

[25] N. Funayama, T. Nakayama, On the distributivity of a lattice of lattice–congruences, Proc. Imp. Acad. Tokyo 18 (1942), 553–554.

[26] G. Gratzer, General lattice theory, Pure and Applied Mathematics,Vol. 75, Academic Press, New York, Mathematische Reiche, Band 52,Birkhauser Verlag, Basel; Akademie Verlag, Berlin, 1978.

Literatura 189

[27] G. Gratzer, Universal algebra, Second Edition, Springer–Verlag, NewYork, 1979.

[28] G. Gratzer, E. T. Schmidt, Charatcterizations of congruence lattices ofabstract algebras, Acta Sci. Math. (Szeged) 24 (1963), 34–59.

[29] H. P. Gumm, Geometrical methods in congruence modular algebras,Memoirs of the Amer. Math. Soc., Vol. 45, no. 286, 1983.

[30] A. Hajnal, Halmazelmelet, Tankonyvkiado, Budapest, 1983.

[31] P. Halmos, Naive set theory, D. Van Nostrand, Princeton, 1960.

[32] C. Herrmann, Affine algebras in congruence modular varieties, ActaSci. Math. (Szeged) 41 (1979), 119–125.

[33] C. Herrmann, On the word problem for the modular lattice with fourgenerators, Math. Ann. 165 (1983), 513–527.

[34] B. Jonsson, On the representation of lattices, Math. Scand. 1 (1953),193–206.

[35] B. Jonsson, Lattice–theoretic approach to projective and affine geom-etry, The axiomatic method with special reference to geometry andphysics (Henkin, Suppes and Tarski, Eds.), North–Holland, Amster-dam, (1959), 188–203.

[36] B. Jonsson, Algebras whose congruence lattices are distributive, Math.Scand. 21 (1967), 110–121.

[37] B. Jonsson, Topics in universal algebra, Lecture Notes in Mathematics,Vol. 250, Springer–Verlag, New York, 1972.

[38] A.N. Kolmogorov, A.G. Dragalin, Matematicka logika, Dopunske glave(na ruskom), Moskovski Univerzitet, Moskva, 1984.

[39] J.L. Krivine, Aksiomaticka teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb,1978.

[40] K. Kunen, Set Theory – An Introduction to Independence Proofs,North–Holland, 1980.

[41] K. Kuratowski, A. Mostowski, Set Theory, North–Holland, 1967.

[42] A. I. Maltsev, Algebraic ssystems, Grundlehren der mathematischenWisseenschaften, Vol. 192, Springer–Verlag, New York, 1973.

190 Literatura

[43] R. McKenzie, D. Hobby, The structure of finite algebras (tame congru-ence theory), Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., Provi-dence, R.I., ???

[44] R. N. McKenzie, G. F. McNulty, W. F. Taylor, Algebras, Lattices, Ver-ieties, I, Wadsworth and Brooks, Monterey, 1987.

[45] E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand,1964.

[46] K. Menger, New foundations of projective and affine geometry, Ann.Math. (2)37 (1936), 456–482.

[47] S. Milic, Elementi matematicke logike i teorije skupova, Institut zamatematiku, Novi Sad, 1990.

[48] J. B. Nation, Finite sublattices of a free lattice, Trans. Amer. Math.Soc. 269 (1982), 311–337.

[49] O. Ore, On the foundations of abstract algebra I, Ann. Math. 36 (1935),405–437.

[50] O. Ore, On the foundations of abstract algebra II, Ann. Math. 37 (1936),265–292.

[51] P. P. Palfy, P. Pudlak, Congruence lattices of finite algebras and inter-vals in subgroup lattices of finite groups, Algebra Universalis 11 (1980),22–27.

[52] C.S. Peirce, On the algebra of logic, Amer. J. Math. 3 (1880), 15–57.

[53] A. F. Pixley, Distributivity and permutability of congruences in equa-tional classes of algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 105–109.

[54] E. L. Post, The two–valued iterative systems of mathematical logic, An-nals of Math. Studies, no. 5., Princeton University Press, N.J.,1941.

[55] S. Presic, Elementi matematicke logike, Zavod za udzbenike i nastavnasredstva, Beograd, 1983.

[56] P. Pudlak, A new proof of the congruence lattice characterization theo-rem, Algebra Universalis 6 (1976), 269–275.

[57] P. Pudlak, J. Tuma, Every finite lattice can be embedded into a finitepartition lattice, Algebra Universalis 10 (1980), 74–95.

Indeks 191

[58] E. Schroder, Vorlesungen uber die Algebra der Logik (exacte Logik),edited in part by E. Muller and B. G. Teubner, Leipzig, Published in 4volumes, Chelsea Publ. Co., Bronx, New York, 1890.

[59] P. H. Stone, The theory of representations for Booelan algebras, Trans.Amer. Math. Soc. 40 (1936), 37–111.

[60] S. Vujosevic, Matematicka logika – O mogucnostima formalnog metoda,Podgorica, 1996.

[61] P. M. Whitman, Free lattices, Ann. Math. 42(2) (1941), 325–330.

[62] P. M. Whitman, Free lattices II, Ann. Math. 43(2) (1942), 104–115.

[63] P. M. Whitman, Lattices, equivalence relations, and subgroups, Bull.Amer. Math. Soc. 52 (1946), 507–522.

skripte iz matematičke logike

Documents