Sistemi dinamici 2:il caso continuo

Progetto Lauree scientifiche per la Matematica 2009Liceo Scientifico StataleP. Paleocapa

Rovigo

Sommario

In queste note, destinate a quegli studenti che hanno deciso di proseguireil loro impegno nel Progetto Lauree Scientifiche per la Matematica, inten-diamo affrontare lo studio dei sistemi dinamici continui. La presentazione,contrariamente a quanto fatto per il caso discreto, dovra` giocoforza risultarein qualche momento euristica, tuttavia, grazie allesperienza che i ragazzi sisono gia` formati nello studio dei sistemi discreti, risultera` possibile affrontareargomenti molto interessanti anche dal punto di vista culturale, in vista dellaloro preparazione allEsame di Stato. Si vorrebbero fornire agli studenti deglispunti di riflessione con cui affrontare e sviluppare tematiche pluridisciplinariper la loro preparazione a questo importante appuntamento!

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Indice

1 Perche proprio i sistemi dinamici continui? 4

2 Che cose` un sistema dinamico? 5

3 Sistema dinamici discreti: il conto in banca 6

4 Sistema dinamici continui: esempi dalla fisica 74.1 Una palla lanciata verticalmente verso lalto . . . . . . . . . . 74.2 Loscillatore armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinamici continui lineari enon lineari 95.1 Il diagramma nello spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Dimensione e linearita`; dipendenza esplicita dal tempo. . . . . 11

6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali 126.1 Lapproccio geometrico: interpretazione di unequazione diffe-

renziale come campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Analisi della stabilita` 14

8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali 168.1 Carica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Avete notato qualche ripetizione? . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3 La crescita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Ricerca degli zeri di una funzione 20

10 Come ottenere un sistema dinamico discreto da uno continuoe viceversa 2210.1 Un esempio di soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11 Il metodo delle fasi per loscillatore armonico lineare 2511.1 Il ritratto di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.2 Lapproccio geometrico per sistemi in 2 dimensioni . . . . . . . 26

12 Dipendenza da parametri: biforcazioni e catastrofi 27

13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-dimensionali 2913.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

13.3 Analisi geometrica delliterazione di una funzione: il diagram-ma a ragnatela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

13.4 Comportamento di un sistema lineare discreto 1-dimensionale . 3213.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale non lineari . . . . . . 34

14 La nostra attivita` di laboratorio 3514.1 Lequazione logistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Elenco delle tabelle

1 Comportamento asintotico del sistema discreto 1-dimensionalexn = axn1 + b, e condizione iniziale x0, in dipendenza deiparametri reali a e b. Nel caso in cui una casella e` vuota siintende nessuna ulteriore condizione. . . . . . . . . . . . . . 33

Elenco delle figure

1 Loscillatore armonico semplice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Esempio di rappresentazione del sistema dinamico 1-dimensionale

x = sinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Ritratto di fase per il sistema dinamico nonlineare di Fig. 2. . . . . . 154 Carica di un condensatore e grafico per lo studio del processo. . . . . 185 Quantita` di carica Q presente sulle armature di un condensatore in

funzione del tempo t durante il processo di carica. . . . . . . . . . . 196 Metodo di Eulero: soluzione esatta ed approssimata a confronto. . . 237 Campo delle pendenze per il modello logistico continuo (a sinistra) e

soluzione ottenuta col metodo di Runge-Kutta con passo h = t =0.1, per diverse condizioni iniziali (a destra). . . . . . . . . . . . . . 25

8 Ritratto di fase per loscillatore armonico semplice. . . . . . . . . . 269 Fasi del moto delloscillatore armonico semplice. . . . . . . . . . . . 2710 Interpretazione geometrica per il campo di fase delloscillatore armonico. 2811 Un esempio di catastrofe nella percezione visiva. . . . . . . . . . . . 2912 Il diagramma a ragnatela per la funzione F = x1/2. . . . . . . . . 3113 Un esempio di soluzione aperiodica dellequazione logistica per a = 3.9. 3714 Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica per valori del

parametro di controllo 3.4 < a < 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715 Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica per valori del

parametro di controllo 3.847 < a < 3.857. . . . . . . . . . . . . . . 38

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1 Perche proprio i sistemi dinamici conti-

nui?

Perche sono quelli che piu` frequentemente ricorrono nella modellizzazione ma-tematica della realta`, non solo in fisica, ma anche in altre scienze, come la di-namica delle popolazioni, lo studio dellinsorgenza e diffusione delle malattiee in molte applicazioni tecnologiche.

Al giorno doggi la dinamica e` un argomento interdisciplinare, anche seessa era originariamente una parte della fisica, e come tale viene studiata nelterzo e quarto anno del Liceo Scientifico.

La dinamica si occupa di tutto cio` che e` soggetto ad un cambiamento,tratta sistemi che evolvono nel tempo. Per stabilire se il sistema in questionesi dispone allequilibrio, ripete il proprio comportamento in cicli o fa qualcosadi piu` complicato, e` necessaria la dinamica.

Esistono due tipi di sistemi dinamici: quelli la cui evoluzione e` descritta dauna variabile tempo continua, e quelli per cui il cambiamento avviene in tappe,divise luna dallaltra da intervalli di tempo finiti. I primi sono rappresentatida equazioni differenziali (equazioni che hanno come incognite funzioni e/oderivate di funzioni), i secondi vengono studiati attraverso lazione ripetuta(detta iterazione) di mappe, dette anche equazioni alle differenze.

Nella prima parte dei laboratori matematici sui sistemi dinamici ci siamooccupati del caso discreto, sviluppando e facendo esperienza di molte idee estrumenti matematici interessanti, come lalgebra lineare, lutilizzo dei vet-tori e delle matrici. E` stato inoltre possibile parlare di questioni cruciali ecomplicate, come quella di comportamento caotico.

In effetti, fu proprio un matematico, Poincare, che per primo, con un ap-proccio geometrico, intu` la possibilita` dellinsorgere del caos, cioe` il fatto cheun sistema, in particolari condizioni, dimostri un comportamento aperiodicodipendente in modo sensibile dalle condizioni iniziali, e tale da rendere per-tanto impossibile qualsiasi previsione a lungo termine. Lidea di caos rimasein secondo piano per tutta la prima meta` del 900, fino a che, con lavven-to dei primi calcolatori, gia` dagli anni 50 fu possibile fare esperienze conequazioni che prima di allora erano inaffrontabili. Negli anni 60 gli studidi Lorenz [1] sui moti convettivi nellatmosfera portarono allormai ben notaconoscenza sulla impossibilita` di predire il tempo atmosferico al di la` di pochigiorni. Lorenz fu il primo a rendersi conto che se le soluzioni caotiche dellesue equazioni venivano rappresentate in 3 dimensioni, esse si disponevano suun insieme di punti a forma di farfalla; il caos aveva quindi una sua strutturageometrica, che oggi chiameremmo frattale. Anche persone poco appassio-nate di matematica risultano attratte dalla infinita regolarita` di schemi che

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appare nei frattali. In realta`, caos e frattali1 sono una parte di un argomentopiu` esteso noto oggi col nome di dinamica. Gli anni del boom per lo studiodel caos furono gli anni 70 dello scorso secolo. Nacquero teorie sullinsorge-re della turbolenza nei fluidi (Ruelle e Takens); si scoprirono esempi di caosnelle mappe iterate che nascono nella dinamica delle popolazioni in biologia[3] (May), poi un fisico (Feigenbaum) scopr` che esistono certe leggi universaliche governano la transizione di un sistema da un comportamento regolare aduno caotico. Successivamente, Mandelbrot codifico` e rese popolari i frattali;con essi produsse bellissimi esempi di grafica computerizzata [5] e dimostro`come potessero venire impiegati in una grande varieta` di situazioni.

I sistemi dinamici quindi rappresentano un terreno ideale nel quale anchenoi possiamo fare esperienze di matematica, aiutati anche dal calcolatore e daopportuni softwares orientati alla matematica2.

In questa dispensa desideriamo richiamarti alla memoria alcune conoscenzeche hai certamente acquisito nel corso dei tuoi studi. Cercheremo tuttavia diriordinarlee di ripensarle in unaltra ottica. Dove possibile, cercheremo (anchecol tuo aiuto) di completarli coi riferimenti ai tuoi testi in adozione e di fornirtiuna bibliografia essenziale.

2 Che cose` un sistema dinamico?

Come possiamo definire un sistema dinamico? Un modo potrebbe essere quellodi affermare che un sistema dinamico e` una funzione che ha un certo modo dicomportarsi, una sua condotta3. Potremmo anche affermare che un sistemadinamico sa sempre quello che sta per fare. Direte che le definizioni datefinora sono vaghe: in effetti cio` e` dovuto al fatto che, almeno in linea diprincipio, qualsiasi cosa evolva puo` essere pensata come un sistema dinamico.Cercheremo allora di illustrare degli esempi che vi possono essere familiari,attirando la vostra attenzione sugli elementi fondamentali che costituisconoun sistema dinamico. Anticipiamo che sono essenzialmente due:

a): Un vettore di stato che descrive completamente lo stato del sistema.

b): Una funzione, cioe` una legge, che ci dica, dato lo stato del sistema inun certo istante, quale sara` lo stato del sistema negli istanti di temposuccessivi.

1Il prof. Giancarlo Benettin dellUniversita` di Padova terra` su questo argomento una conferenzaper la Settimana Scientifica al Liceo Paleocapa, gioved` 26 marzo 2009.

2Utilizzeremo due software di libero dominio, facenti parte del mondo Open Source, Maxima eGeogebra!

3In lingua inglese diremmo una funzione con una certa attitude.

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3 Sistema dinamici discreti: il conto in ban-

ca

Riprendiamo alcune cose che abbiamo gia` esaminato lo scorso anno, giustoper rinfrescarci le idee! Consideriamo il caso del vostro conto in banca. Se cipensate, lo stato di questo sistema dinamico e` determinato da un solo numero,il valore del saldo, oggi espresso in Euro. Diremo allora che il vettore di statoe` 1-dimensionale, od anche, che e` un vettore ad una sola componente. Perconoscere lo stato del vostro conto in banca e` poi necessario conoscere la regolacon cui tale stato cambia col tempo. Supponiamo che la capitalizzazione degliinteressi del vostro conto avvenga a scadenza annuale4. E` chiaro che perquesto sistema il tempo deve essere considerato una variabile discreta, cioe`una successione di istanti, separati luno dallaltro da un intervallo di un anno.Noto linteresse annuo del nostro conto, diciamolo r%, e` facile scrivere comela funzione di evoluzione agisce sullo stato. Indicando con xk x(k), k N,il saldo allistante k, abbiamo subito il saldo allistante successivo:

xk+1 =(1 +

r

100

)xk . (1)

Quindi, per completare la descrizione del sistema, oltre allequazione (1),serve la condizione iniziale del conto, quella relativa allistante t = 0, cheindicheremo con:

x0 = D , (2)

dove avrete capito che D e` il vostro deposito iniziale.In questo semplice esempio e` facile calcolare lammontare del saldo alla

fine delln-esimo anno. Sara` sufficiente iterare (cioe` ripetere) lazione dellafunzione di evoluzione (1) a partire dallo stato inziale (2); si ottiene:

x1 =(1 +

r

100

)D ;

x2 =(1 +

r

100

)x1 =

(1 +

r

100

)2D ;

x3 =(1 +

r

100

)x2 =

(1 +

r

100

)3D ;

. . . . . .

xn =(1 +

r

100

)nD ; (3)

Avrete riconosciuto che in questo modo i saldi xi sono una successione defi-nita per ricorrenza, e che lultima espressione ottenuta fornisce la soluzionedellequazione di evoluzione del nostro conto in banca.

4Nel nostro esempio, per semplicita` non teniamo conto delle spese, del bancomat, delle carte dicredito, delle imposte ecc.

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4 Sistema dinamici continui: esempi dalla

fisica

I conti in banca sono esempi tipici di sistemi dinamici in cui il tempo procede apassi, in modo discreto. Tuttavia, molti sistemi dinamici sono descritti megliosupponendo che il tempo trascorra in modo continuo. E` il caso dei sistemidella fisica classica, tra cui, una palla lanciata verticalmente verso lalto eloscillatore armonico semplice.

4.1 Una palla lanciata verticalmente verso lalto

Il suo stato ad un certo istante e` in questo caso descritto da una coppia di nu-meri reali, che costituiscono un vettore 2-dimensionale. Si tratta dellaltezzah (ad esempio) dal suolo e della componente v della velocita` della palla in di-rezione verticale ascendente, che quindi assumiamo come positiva se loggettosta allontanandosi da terra.

Supponendo che voi conosciate da quale altezza h(0) lanciate la palla econ quale velocita` iniziale v(0), ora e` evidente che non ha senso chiedersicosa avviene allistante successivo v(1), poiche la variabile tempo qui scorrein modo continuo. La fisica allora ci viene in aiuto, definendo i concetti divelocita` istantanea v(t) e accelerazione istantanea a(t).

La prima grandezza e` definita come

v(t) = limt0

ht

= h(t) ,

la seconda in modo matematicamente analogo:

a(t) = limt0

vt

= v(t) .

Dalla seconda legge di Newton possiamo scrivere, per le componenti dellaforza risultante e dellaccelerazione lungo lasse verticale ascendente:

F = P = ma(t) ,

dove la componente della forza peso P puo` essere scritta come P = mg, doveg = 9, 8 ms2 e` il ben noto valore per laccelerazione di gravita`.

La legge che regola il sistema dinamico e` pertanto:{h(t) = v(t)v(t) = g

{h(0) = h0v(0) = v0

. (4)

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Sempre dalla Fisica, conosciamo la soluzione dellequazione di evoluzione, datada: {

h(t) = h0 + v0t 12gt2 ,

v(t) = v0 gt .(5)

Esercizio 1: Rappresentate nel piano cartesiano il luogo di punti descrittodalle equazioni parametriche (5) considerando x1 = h per lasse delle ascissee x2 = v per lasse delle ordinate. Di che curva si tratta?

4.2 Loscillatore armonico semplice

Vogliamo ora ricordare uno dei sistemi dinamici piu` importanti per la fisi-ca5: si tratta delloscillatore armonico semplice. Consideriamo una massa m,appoggiata su un piano orizzontale, privo di attrito, ed attaccata ad una pa-rete da una molla ideale, di costante elastica k. Supponiamo che quando lacoordinata orizzontale x e` nulla, la molla risulti a riposo.

Figura 1: Loscillatore armonico semplice.

Se il blocco viene spostato verso destra rispetto alla sua posizione di equi-librio (x > 0), la molla risultando allungata, lo richiama verso sinistra. Vice-versa, se il blocco e` posto a sinistra della sua posizione di equilibrio (x < 0),allora la molla e` compressa e spinge il blocco verso destra. In entrambi i casipossiamo scrivere la componente lungo lasse x della forza dovuta alla molla:Fx = kx. Dalla seconda legge della dinamica, possiamo ricavare la compo-nente dellaccelerazione lungo x: ax = k

mx. Indicando con v = ax il ritmo

di variazione della velocita` e con x = v la velocita`, otteniamo lanalogo delle

equazioni di evoluzione ottenute per la palla nel parag. 4.1; posto 2 = km

5Dal corso di fisica avrete visto come gli stessi atomi possono, in molti casi, essere schematizzaticome degli oscillatori armonici lineari. Va anche ricordato che loscillatore armonico e` uno deipochi sistemi la cui descrizione quantistica ammette una soluzione analitica esatta, che non fa usodi metodi perturbativi.

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si ha, infatti: {x(t) = v(t)v(t) = 2x(t)

{x(0) = x0v(0) = v0

, (6)

dove =2piT

= 2pi e` la pulsazione del moto armonico, essendo T il periodoe la frequenza.

Anche in questo caso sono note le soluzioni di queste equazioni:{x(t) = x0 cost+

v0sint ,

v(t) = v0 cost x0 sint .(7)

5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinami-

ci continui lineari e non lineari

Considerate una particella di massa m, connessa da una molla ideale di lun-ghezza trascurabile e costante elastica k allorigine di un sistema di riferimen-to, e in moto lungo lasse x, soggetta ad una forza di attrito viscoso linear-mente proporzionale alla sua velocita`. E` facile rendersi conto che la secondalegge della dinamica ~F = m~a, una volta proiettata lungo lasse x diventa:vx kx = max, dove e` un coefficiente che, nel Sistema internazionale diunita` di misura e` espresso in kg/s. Se indichiamo con x e x rispettivamentele componenti della velocita` istantanea vx e dellaccelerazione istantanea ax,otteniamo:

mx+ x+ kx = 0 ; (8)

tale equazione si dice differenziale ordinaria del secondo ordine, poiche contie-

ne come incognite la funzione x(t) e le sue derivate x(t) =dx

dte x(t) =

d2x

dt2,

tutte dipendenti dal tempo t, pensato come variabile continua.Pensate ora ad un pendolo semplice; si tratta di una particella di massa

m, connessa da un filo inestensibile di massa trascurabile e lungo L ad unpunto O, ed in grado di muoversi in un piano verticale, soggetta alla forzapeso ~P = m~g ed alla tensione ~T della fune. Proiettando la seconda legge delladinamica lungo un versore tangente alla traiettoria della particella stessa,indicato con x langolo che il filo forma con la verticale, si ottiene lequazione:mg sinx = ma . Ricordando che a = Lx si ricava lequazione:

x+g

Lsinx = 0 . (9)

Esercizio 2: Lequazione di evoluzione per il pendolo semplice puo` essereanche determinata usando la seconda equazione cardinale della dinamica, che

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collega la variazione istantanea del momento angolare di una particella al mo-mento risultante delle forze agenti sulla particella stessa. Sapresti ottenerla?Magari ti e` utile ricordare che il modulo del momento angolare di una par-ticella in moto rotatorio puo` essere scritto come L = I, essendo I = ml2 ilmomento di inerzia della particella stessa.

Qual e` la differenza tra le equazioni (8) e (9)? Per coglierla e` utile rappre-sentarle geometricamente grazie ad un semplice espediente: introduciamo duenuove funzioni x1 = x(t) e x2 = x(t); ricordando6 che x2 = x(t), otteniamo laseguente forma equivalente per loscillatore armonico smorzato:{

x1 = x2

x2 = mx2 k

mx1

, (10)

per il pendolo semplice invece si ha:{x1 = x2x2 = g

Lsinx1

. (11)

Il sistema (10) e` detto lineare, poiche tutte le equazioni di destra appaionoalla potenza 1, mentre il sistema (11) e` detto nonlineare. Normalmente, ilpendolo semplice viene affrontato al Liceo introducendo lapprossimazione di

piccolo angolo x. Dal limite fondamentale7 limx0sinxx

= 1 si deduce che,

per piccoli angoli x (espressi in radianti) e` lecito sostituire sinx con x edottenere lequazione del pendolo linearizzata. Il difetto di tale trattazione e` chedescrive le piccole oscillazioni del pendolo attorno alla posizione di equilibrio.Non e` tuttavia in grado di fornire una trattazione di moti nei quali la massam raggiunga la sommita` della sua traiettoria. In realta` il pendolo semplicepuo` essere risolto analiticamente in modo esatto (lo vedrete allUniversita`).Tuttavia deve esserci una via piu` semplice ... dopo tutto e` facile descrivere ilmoto di un pendolo: a bassa energia si hanno oscillazioni avanti ed indietro,mentre ad alta energia possono esserci volteggi per il punto piu` alto.

6Costruendo il grafico Gv della velocita` in funzione del tempo, e` facile rendersi conto che lacce-lerazione e` costruita, o meglio, derivata da tale grafico. Infatti, laccelerazione ad un certo istantet coincide con la pendenza della retta tangente a Gv nel punto di coordinate (t, v(t)).

7Nei vostri studi di geometria e trigonometria probabilmente avrete riflettuto sul fatto che, inuna circonferenza di raggio unitario, se un angolo al centro x viene misurato in radianti, allora essofornisce anche la lunghezza dellarco corrispondente. Tale valore si confonde con la misura dellacorda intercettata da x se langolo al centro e` molto piccolo.

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5.1 Il diagramma nello spazio delle fasi

Lidea base e` abbastanza semplice: supponiamo di conoscere una soluzionedel sistema pendolo per una particolare condizione iniziale8. Tale soluzionesarebbe costituita da una coppia di funzioni x1(t) e x2(t) che rappresentanola posizione e la velocita` del pendolo ad ogni istante successivo. Se rappre-sentiamo in uno spazio astratto, detto Spazio delle fasi tali coppie (x1, x2) divalori dipendenti dal parametro tempo t, otterremo una particolare traiettorianello spazio delle fasi. E` facile anche rendersi conto che tale spazio e` comple-tamente riempito di traiettorie, poiche ciascun punto puo` rappresentare unacondizione iniziale e quindi linizio di un moto possibile.

In realta` limportanza dellutilizzo dello spazio delle fasi e` che vedremocome, dato il sistema, sia possibile disegnare le traiettorie e da queste trarreinformazioni sulla natura della soluzione dellevoluzione.

5.2 Dimensione e linearita`; dipendenza esplicita daltempo.

Osserviamo infine che gli esempi (10) e (11), il primo lineare e il secondonon lineare, sono entrambi 2-dimensionali, in quanto lo spazio delle fasi e`descritto da coppie di numeri reali (posizione e velocita` della particella). Unultimo esempio particolarmente istruttivo e` quella delloscillatore armonicoforzato; si tratta di una situazione simile a (8), in cui e` presente una forzache, dallesterno, stimola il sistema; nel caso periodico si ha:

mx+ x+ kx = F cost , (12)

dove = 2piext e` la pulsazione esterna forzante.Anche in questo caso, si puo` ottenere una descrizione nello spazio delle fasi,

al prezzo dellintroduzione di una nuova funzione x3 = t. Il corrispondentesistema (detto non autonomo) diventa:

x1 = x2

x2 = mx2 k

mx1 +

F

mx3

x3 =

, (13)

In questo modo la traiettoria nello spazio delle fasi (questa volta 3dimensio-nale), risulterebbe non dipendere dal tempo. Ora le condizioni iniziali sonotre numeri x, x e t, necessari a predire il (lo stato) futuro del sistema dal (lostato) presente (iniziale).

8Per condizione iniziale intendiamo lo stato iniziale rappresentato dal vettore 2-dimensionale(x1(0), x2(0)).

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Ma a cosa e` dovuto il vantaggio dei sistemi lineari su quelli non lineari? Isistemi lineari possono essere divisi in parti; ciascuna parte puo` essere risoltaseparatamente e le soluzioni possono essere combinate per avere la rispostafinale. Tuttavia, quando parti di un sistema interferiscono o cooperano ocompetono9, nascono interazioni non lineari. In Fisica la non linearita` e` vitalenel funzionamento di un laser, nella formazione della turbolenza in un fluido,o nelle superconduttivita` in una giunzione Josephson.

Durante il Liceo tu hai studiato o studierai, per la maggior parte, siste-mi lineari. In ottica ondulatoria ed in elettromagnetismo sentirai parlare diprincipio di sovrapposizione degli effetti. Il fondamento matematico di taleprincipio risiede nella linearita` dei sistemi dinamici che descrivono i fenome-ni elettromagnetici. Vedremo che sistemi lineari in n = 1 dimensioni mani-festano crescita o decadimento o equilibrio. Sono necessari sistemi lineari inalmeno n = 2 dimensioni per avere oscillazioni, come vedremo nel parag. 11.

Anticipiamo anche che, nel caso discreto di mappe iterate, vedremo purecasi non lineari, che evidenzieranno fenomeni ancor piu` interessanti.

6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali

Consideriamo il sistema dinamico descritto dalla seguente equazione differen-ziale:

x = f(x) , (14)

in cui x(t) e` una funzione a valori reali del tempo t, e f(x) e` una funzione liscia(i.e. continua e derivabile quanto si vuole) a valori reali di x. Tale sistemadinamico viene detto 1-dimensionale. Per evitare confusioni, si ricordi cheper noi la parola sistema verra` intesa sempre nel senso di sistema dinamico.Pensiamo inoltre che il nostro sistema sia autonomo, cioe` che la funzione f(x)non dipenda esplicitamente dal tempo.

6.1 Lapproccio geometrico: interpretazione di une-quazione differenziale come campo vettoriale

Cerchiamo ora di condurre per mano il lettore verso uninterpretazione geome-trica dellequazione (14); allinizio forse qualcuno avra` limpressione si trattidi una costruzione artificiosa. In realta`, siamo convinti che se il nostro let-tore avra` un po di pazienza, dopo poco si rendera` conto dei vantaggi di talecostruzione. Questo e` uno di quei casi in cui un disegno e` molto piu` utiledi una formula per capire come vanno le cose (nel nostro caso, quali siano

9Cio` avviene anche in dinamica delle popolazioni, quando due specie, di tipo preda-predatorevivono in uno stesso territorio; abbiamo studiato tale situazione nel nostro laboratorio.

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le caratteristiche della soluzione del nostro sistema). Illustriamo questo fattocon un semplice esempio: consideriamo come funzione f(x) la funzione nonlineare sinx. Studiamo cioe` il sistema

x = sinx . (15)

In effetti il nostro esempio e` motivato dal fatto che si tratta di uno dei pochicasi non lineari che possono essere risolti direttamente; la soluzione x(t) checorrisponde alla condizione iniziale x = x0 per t = 0 e` abbastanza complicata:

t = lncscx0 + cotx0cscx+ cotx

; (16)certamente, tale soluzione e` di interpretazione non immediata. Labbiamoscritta non per far spaventare il nostro lettore, ma per cercare di convincerloche forse vale la pena che continui a leggere le nostre note e vedere che ce`una via piu` conveniente (che si applica anche nei casi in cui non e` affattoimmediato o addirittura impossibile ricavare lanalogo di (16)).

Pensiamo allora a t come al tempo, ad x come la posizione di una im-maginaria particella in moto lungo lasse reale omonimo allistante t, ad xcome la velocita` di tale particella al medesimo istante. In questo caso diremoche lequazione (15) fornisce un campo vettoriale sulla retta: esso determinainfatti il vettore velocita` x in ogni punto x. Per avere unidea del campo vet-toriale, possiamo allora fare il grafico di x in funzione di x, e tracciare dellefrecce sullasse delle x per rappresentare il vettore velocita` in ciascun punto x.Naturalmente, le frecce punteranno verso destra quando x > 0 e verso sinistraquando x < 0.

Figura 2: Esempio di rappresentazione del sistema dinamico 1-dimensionale x = sinx.

Lo stesso campo vettoriale puo` essere introdotto anche con unanalogiache ci viene dalla fisica: pensate ad un fluido ideale in regime stazionario, chescorre lungo lasse x con una velocita` che varia da punto a punto, secondo lalegge (15). Nei punti in cui la velocita` si annulla, non ce` flusso; tali punti sonodetti allora punti fissi per il campo vettoriale10. E` facile rendersi conto che

10Abbiamo gia` incontrato e la riprenderemo, nel caso di sistema dinamico discreto, la definizionedi punto fisso per unequazione di evoluzione nel parag. 13.2.

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nel nostro caso si hanno due tipi di punti fissi: i punti fissi stabili (detti ancheattrattori o pozzi), e i punti fissi instabili (detti anche repulsori o sorgenti); ladifferenza diviene manifesta guardando al verso delle frecce nella figura 2.

Adesso che abbiamo a disposizione questa visione geometrica o fisica delsistema, possiamo capire la natura delle soluzioni di (15). Bastera` pensare allaposizione iniziale x0 di una particella di fluido ed immaginare come essa siatrascinata dalla corrente descritta dal nostro campo vettoriale. Se alliniziola nostra particella ha velocita` positiva, cioe` se si ha per t = 0 la condizionex > 0, allora si sposta a destra e per tempi lunghi (diremo asintoticamente)si avvicina al piu` vicino punto fisso stabile. Allo stesso modo, se a t = 0 siha x < 0, la particella si avvicina al piu` vicino punto fisso stabile alla suasinistra. Se invece x = 0, allora la particella resta nella posizione x. La formaqualitativa delle soluzioni del sistema dinamico dato, corrispondente a diversecondizioni iniziali e` riassunta nella figura 3.

Tale ragionamento puo` naturalmente essere esteso a qualsiasi sistema delprimo ordine con campo delle velocita` f(x). Il fluido immaginario e` dettofluido di fase e lasse delle x, lo spazio delle fasi. Il flusso va verso destrase f(x) > 0, verso sinistra se f(x) < 0. Per trovare la soluzione di (14) apartire dalla condizione iniziale x0, basta porre una particella immaginaria(che diremo punto di fase) in x0 e guardare come viene trasportata dallacorrente. Al passare del tempo, il punto fase si muove lungo lasse x secondola funzione x(t), che diremo traiettoria con punto base x0.

Una figura come la (3), che mostra tutte le traiettorie qualitativamentedifferenti del sistema, verra` detta ritratto di fase. Laspetto del ritratto di fasee` controllato dai punti fissi del campo vettoriale x, definiti dalla condizionef(x) = 0. In termini della equazione differenziale di partenza, tali punti fissirappresentano soluzioni allequilibrio, poiche se allinizio la particella si trovain x = x, allora restera` sempre in tale posizione: x(t) = x , t > 0.

Un punto di equilibrio si dice stabile se perturbazioni sufficientemente pic-cole a partire dallo stesso tendono a smorzarsi nel tempo. Viceversa, gliequilibri instabili sono tali per cui, col passare del tempo, tali perturbazionidivengono sempre maggiori. Notiamo che la definizione appena data ha unanatura locale, poiche si riferisce a perturbazioni abbastanza piccole. Se le per-turbazioni a partire da un punto di equilibrio tendono comunque a smorzarsi,indipendentemente da quanto grandi siano, allora il punto di equilibrio si dira`globalmente stabile.

7 Analisi della stabilita`

Dobbiamo ammettere che lanalisi geometrica che abbiamo appena cercato diesporre fornisce solo un buon quadro qualitativo dellandamento di un sistema

14

Figura 3: Ritratto di fase per il sistema dinamico nonlineare di Fig. 2.

2 4 t

-2

-

3 2

-

-

2

2

3 2

2 x

dinamico. Non ci dice ad esempio, listante in cui la velocita` e` maggiore,oppure la scala di tempo caratteristica in cui avviene un fenomeno di crescitao di calo, come quello descritto nel ritratto di fase della Fig. 3.

Tuttavia, con semplici ragionamenti che fanno uso delle derivate, e` possi-bile capire come vanno le cose11.

Consideriamo un punto fisso x per il campo vettoriale f(x), definito, comeabbiamo visto, dalla condizione f(x) = 0. Ci chiediamo se e` possibile capiredallandamento della Fig. 2 se tale punto fisso e` stabile oppure instabile peril sistema. Seguendo lanalogia idrodinamica che abbiamo spiegato, forse visiete accorti che nelle vicinanze di un pozzo (punto fisso stabile, pallino neroin figura) il grafico e` decrescente, mentre vicino ad una sorgente (punto fissoinstabile, pallino bianco in figura) il grafico e` crescente. Da cio` segue subitoche in tali punti fissi, la derivata prima di f(x) e` rispettivamente negativa opositiva12.

11Per i ragazzi del Quarto anno: non spaventatevi! Siamo sicuri che anche voi sarete in gradodi capire le idee che vi stiamo proponendo.

12Sempre per i ragazzi di Quarta: la derivata prima di una funzione reale di variabile reale f(x),calcolata in un punto x del suo dominio, e` la pendenza della retta tangente al grafico della funzione

15

Questa informazione puo` essere utilizzata per studiare il comportamentodella soluzione dellequazione (14) nelle vicinanze di un suo punto fisso x.Indichiamo con z = xx una piccola perturbazione attorno a x; se deriviamorispetto al tempo otteniamo subito13

z =dz

dt=d(x x)

dt= x .

Allora lequazione (14) puo` essere scritta come:

z = x = f(x) = f(x + z) . (17)

A questo punto facciamo unapprossimazione, che sara` tanto piu` buona quantostiamo vicini al punto fisso x o, equivalentemente, tanto piu` piccolo rimanez. Sostituiamo la nostra funzione f(x) con una nuova funzione g(x) che abbiala proprieta` di avere per grafico la retta tangente al grafico di f(x) nel puntoP . Tale funzione e` proprio:

g(x) = f(x) + f (x)(x x) . (18)

Riesprimendo lequazione sopra in termini della variabile z che rappresenta laperturbazione, otteniamo allora14:

g(z) = f(x) + f (x)z = f (x)z , (19)

dove lultima uguaglianza deriva dal fatto che x e` punto fisso per il sistema.Finalmente, siamo in grado di riscrivere lequazione (14) sostituendo f con g:

z = f (x)z . (20)

Abbiamo ottenuto unequazione lineare; vedremo nel paragrafo successivoesempi di tali sistemi dinamici lineari, alcuni dei quali siamo sicuri avetestudiato o studierete qui al Liceo.

8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali

Durante lo studio della meccanica i ragazzi incontrano, gia` a partire dal Ter-zo anno, il caso del moto di caduta di un grave soggetto alla forza peso. Seil modello viene solo di poco complicato per tener conto dellazione dellat-mosfera, normalmente si introduce una forza di attrito viscoso, direttamente

nel punto P (x, f(x)). In un sistema monometrico, la pendenza e` la tangente trigonometricadellangolo formato tra tale retta tangente e il semiasse positivo delle x.

13Infatti la derivata della funzione costante x e` nulla.14Per i pignoli: abbiamo chiamato la funzione della nuova variabile con un nome diverso, g.

16

proporzionale alla velocita` delloggetto durante la caduta. In quel caso, dalla

seconda legge della dinamica, ~F = m~a = md~v

dtproiettata lungo un asse x,

diretto come la verticale discendente, si ottiene:

mg v = mv , (21)dove, come gia` ricordato, g = 9, 8 ms2 e` laccelerazione di gravita` e e`una costante, dipendente dal mezzo (aria) in cui si muove il corpo e dalla suaforma15. Lequazione (21) puo` facilmente essere posta nella forma:

v = mv + g . (22)

Vi invitiamo ora a verificare che il sistema ha un unico punto fisso stabilev =

mg

. Se preferite esprimere il tutto in termini di perturbazioni rispetto

a tale punto fisso, ponendo z = v v ottenete lequazione (lanaloga della(20)):

z = z, =

m

; (23)

dove abbiamo introdotto la costante di tempo che descrive la frenata del motodel grave dovuta allatmosfera. La soluzione dellequazione corrispondente allacondizione iniziale di grave abbandonato con velocita` iniziale nulla ci e` notadalla fisica16:

v(t) = v

1 e t . (24)

A questo punto invitiamo i lettori a ricercare, nel ritratto di fase del si-stema non lineare mostrato in figura 3, un andamento simile a questo; sara`interessante confrontare la condizione iniziale di quel caso con quella di velo-cita` nulla, in riferimento alla posizione del piu` vicino punto fisso stabile perla funzione sinx.

8.1 Carica di un condensatore

Proseguiamo con un esempio che tutti i ragazzi dovranno studiare attenta-mente al quinto anno: il processo di carica di un condensatore. Vi diciamoche un condensatore e` un sistema fisico in cui si realizza il fenomeno dellin-duzione elettrostatica completa17 ; serve ad immagazzinare in entrambe le

15Tale modello potrebbe essere utile a comprendere il funzionamento di un paracadute!16In Quinta potrete facilmente verificare che si tratta della soluzione giusta. Va comunque

sottolineato che per comprendere il messaggio che vorremmo dare, questi sono solo dettagli tecnici.17Si tratta di una coppia di conduttori affacciati carichi di una quantita` di carica elettrostatica

uguale in modulo e di segno opposto.

17

armature una certa quantita` di carica elettrica, il cui modulo indichiamo conQ. Quando il condensatore e` carico, ai suoi capi si realizza una differenzadi potenziale18, che indichiamo con V . La capacita` C di un condensatore e`

data dal rapporto costante C =Q

V. Per caricare un condensatore, esso viene

normalmente collegato in serie ad una resistenza e ad una batteria, in gradodi fornire un d.d.p. costante V0, detta forza elettromotrice (f.e.m.). Il circuitoe` rappresentato in figura 4, assieme con il grafico che descrive lanalisi geome-trica del sistema dinamico. Notate che il processo di carica avviene chiudendolinterruttore.

Figura 4: Carica di un condensatore e grafico per lo studio del processo.

Q .

R

C V0 Q

Scrivendo lequazione per lunica maglia (cioe` percorso chiuso) di cui e`costituito il circuito otteniamo:

V0 +RI + QC

= 0 . (25)

Poiche durante la carica del condensatore, ad un certo istante t, la corrente chefluisce nel circuito e` uguale alla variazione istantanea della carica accumulatasulle armature, vale la relazione

I(t) = limtt

Q(t)Q(t)t t = Q(t) , (26)

e` facile ottenere lequazione che descrive la dinamica del sistema, in terminidella funzione Q(t):

Q = 1RC

Q+V0R f(Q) . (27)

18Lunita` di misura del potenziale e` il Volt, in onore di Alessandro Volta. Sicuramente avreteusato tale termine tante volte, allacquisto di una batteria per la vostra radio, macchina fotograficaecc. La forza elettromotrice di una batteria, cioe` la capacita` di spingere gli elettroni di conduzionedei resistori che chiudete su di essa, dipende da quanto piu` grande e` la d.d.p. tra i suoi capi,espressa in Volt.

18

In Fig. 4 si vede a destra il diagramma che rappresenta levoluzione temporaledel sistema.

Vi invitiamo ora a verificare che il sistema ha un unico punto fisso stabileQ = CV0. Se preferite esprimere il tutto in termini di perturbazioni rispettoa tale punto fisso, ponendo z = Q Q ottenete lequazione (lanaloga della(20)):

z = z

= RC ; (28)

dove abbiamo introdotto quella che i fisici chiamano la costante di tempo delcircuito. La soluzione dellequazione corrispondente alla condizione iniziale dicarica nulla (Q0 = 0) ci e` nota dalla fisica19:

Q(t) = Q

1 e t , (29)

ed e` rappresentata nella figura 5.

Figura 5: Quantita` di carica Q presente sulle armature di un condensatore in funzione del tempot durante il processo di carica.

t

Q

A questo punto invitiamo i lettori a ricercare, nel ritratto di fase del sistemanon lineare mostrato in figura 3, un andamento simile a quello della carica delcondensatore; sara` interessante confrontare la condizione iniziale di quel casocon quella di condensatore scarico, in riferimento alla posizione del piu` vicinopunto fisso stabile per la funzione sinx.

8.2 Avete notato qualche ripetizione?

La stessa costruzione geometrica che abbiamo fatto per la caduta di un gra-ve si applica alla carica del condensatore. Anche qui trovate un diagramma

19In Quinta potrete facilmente verificare che si tratta della soluzione giusta. Va comunquesottolineato che per comprendere il messaggio che vorremmo dare, questi sono solo dettagli tecnici.

19

lineare, con un punto fisso stabile. Questo e` un esempio di come, studian-do due fenomeni apparentemente molto distanti (uno di meccanica, laltrodi elettromagnetismo), linterpretazione in termini del linguaggio matematicodei sistemi dinamici (continui) consente una migliore comprensione. Consen-te inoltre la scoperta di inaspettate analogie. Usando la matematica comelinguaggio della natura, stiamo facendo quello che avevano tentato i grandistudiosi di biologia, nel costruire una classificazione degli esseri viventi!20

8.3 La crescita di una popolazione

In effetti, non e` neppure necessario studiare la fisica per trovare esempi disistemi dinamici lineari del primo ordine. Partiamo da lontano: vi siete maichiesti perche il numero e di Nepero e` cos` caro ai matematici? Provate ariprendere in mano il vostro testo del quarto anno e cercate di vedere comee` introdotto tale numero. I ragazzi di quinta sapranno gia` la definizione piu`rigorosa di limite di una successione:

e = limn>

(1 +

1n

)n. (30)

Tutto molto bello... ma come e` possibile inventarsi una cosa tanto strana ...Non diamo volutamente la risposta qui, perche vorremmo che foste voi a farviunidea della questione. Tuttavia richiamiamo un problema molto famoso inbiologia, che studieremo anche nel nostro laboratorio. Si tratta del modellopiu` semplice possibile per la crescita di una popolazione di organismi21, di cuivogliamo studiare il numero N (che chiameremo popolazione come funzionedel tempo t). Detto r il ritmo di crescita, il sistema dinamico e` descrittodallequazione:

N(t) = rN(t) . (31)

Ormai avrete capito che questo modello predice una crescita esponenziale.Dal punto di vista della biologia, si tratta di un approccio assolutamente nonsoddisfacente, ma vedremo nel corso del nostro laboratorio come si possonomigliorare le cose.

9 Ricerca degli zeri di una funzione

In questo paragrafo, intendiamo costruire un sistema dinamico discreto a par-tire da un problema molto interessante, che si affronta in qualche misura anche

20Sara` questa la chiave di lettura, il filo rosso delle conferenze della XIX Settimana scientificapresso il nostro Istituto.

21Diamo qui la versione a tempo continuo del problema; nelle dispense abbiamo trattato laversione discreta lo scorso anno.

20

nei corsi tradizionali di Liceo scientifico. Si tratta della soluzione numerica ap-prossimata di unequazione, col metodo delle tangenti di Newton. Partiamo,come sempre, da un esempio: risolvere nel campo reale lequazione

x cosx = 0 . (32)

In effetti, anche i ragazzi delle Quarte sono in grado di dare uninterpretazionegrafica del problema. Tuttavia, per determinare le coordinate (in particolarelascissa) dellintersezione tra il grafico della prima bisettrice y = x e dellafunzione y = cosx, il metodo grafico e` decisamente insoddisfacente.

Poniamo allora la questione in modo generale. Intendiamo cercare gli zericontenuti in un intervallo I = [a, b] R di unequazione del tipo:

g(x) = 0 , (33)

essendo g una funzione reale di variabile reale, che soddisfa allipotesi g(x) 6=0, per tutti gli x I22.

Il metodo inizia cercando di indovinare una soluzione per lo zero dellafunzione23: sia x0 il nostro primo tentativo per fornire la soluzione dellequa-zione (33). Nel caso fossimo incredibilmente fortunati, potremmo trovare24

g(x0) = 0 e il nostro lavoro sarebbe finito. In caso contrario, possiamo usareuna ben precisa procedura per trovare una soluzione migliore. Noto x0,abbiamo calcolato g(x0) 6= 0. Costruiamo la retta tangente al grafico dellafunzione g nel punto P0 di coordinate (x0, g(x0)). Troviamo lequazione:

y = g(x0) + g(x0) (x x0) ; (34)

notate che il coefficiente angolare della tangente e` uguale al valore della deri-vata prima della funzione g, calcolata nel punto di tangenza. Sappiamo beneche, sfortunatamente, la curva si discosta dalla tangente (34), tuttavia pos-siamo trovare lintersezione di tale retta con lasse delle x, di equazione y = 0.Ricaviamo allora il valore

x1 = x0 g(x0)g(x0)

. (35)

Se ora consideriamo questa una migliore scelta per la nostra soluzione, pos-siamo ripetere la costruzione della retta tangente al grafico di g, questa volta

22Sara` interessante studiare le condizioni a cui deve soddisfare g affinche la soluzione dellequa-zione esista e sia unica. Con riferimento ad I, considerate per ora che sia g(a)g(b) < 0 e g(x) 6= 0,x I.

23In lingua inglese si dice un guess, una supposizione.24Ma cio` e` decisamente improbabile!

21

nel punto P1 di coordinate (x1, g(x1)). La intersezione della nuova tangentecon lasse delle x e` ora:

x2 = x1 g(x1)g(x1)

. (36)

Credo ora sia chiaro che in questo modo abbiamo costruito un sistemadinamico discreto, con funzione di evoluzione X cos` definita:

xn+1 = xn g(xn)g(xn)

xn +X(xn) . (37)

Osserviamo inoltre che x e` uno zero per g se e solo se x e` un punto diequilibrio per il sistema dinamico discreto25 che abbiamo costruito tramite ilmetodo delle tangenti di Newton.

10 Come ottenere un sistema dinamico di-

screto da uno continuo e viceversa

Ritorniamo ora al sistema dinamico continuo 1-dimensionale, descritto dal-lequazione di evoluzione (14), e supponiamo che sia noto lo stato inizialex(t0) = x0 . Se decidiamo di calcolare le sue soluzioni in modo approssimato,possiamo sostituire alla variabile continua indipendente t R una variabilediscreta n Z. Fissiamo ora un incremento finito, abbastanza piccolo h = tdella variabile tempo. Possiamo allora definire per ricorsione la successione

xn+1 xnh

= f(xn) , x0 = x0 . (38)

Ricordiamo ora che si puo` pensare che lequazione (14) si riferisca al motostazionario di un fluido lungo lasse x, con velocita` pari a f(x) nel punto x delcondotto. Immaginiamo ora di viaggiare assieme ad un punto dello spazio dellefasi, trasportati dalla corrente. Se inizialmente ci troviamo in x0, e la velocita`locale e` f(x0), se ci muoviamo per un breve intervallo di tempo h = t,ci sposteremo approssimativamente di una distanza f(x0)t. Naturalmentestiamo facendo unapprossimazione, perche e` ragionevole che, seppur di poco,la velocita` cambi durante lo spostamento. Tuttavia, per h piccoli, la nostraapprossimazione e` buona, per cui avremo per la nuova posizione raggiunta:

x(t0 + h) x1 = x0 + f(x0)h . (39)

A questo punto basta ripetere il ragionamento. Lapprossimazione ci ha con-dotto ad una nuova posizione x1; la nostra nuova velocita` e` qui f(x1); un

25Per la definizione di punto di equilibrio per un sistema discreto, si veda il parag. 13.2.

22

nuovo spostamento in avanti, per un tempo nuovamente uguale ad h ci fara`avanzare a x2 = x1 + f(x1)h, e cos` via. Abbiamo cos` esposto il piu` sempli-ce schema di integrazione numerica dellequazione differenziale (14). Esso e`noto anche col nome di metodo di Eulero. Visualizziamo il metodo di Eulerorappresentando in grafico x verso t.

Figura 6: Metodo di Eulero: soluzione esatta ed approssimata a confronto.

Nella figura 6, la curva mostra la soluzione esatta x(t), i pallini bianchii valori x(tn) = xn, calcolati ai tempi discreti tn = t0 + nh, mentre i pal-lini neri sono i valori approssimati ottenuti dal metodo di Eulero. Come sivede, in poco tempo lapprossimazione peggiora, a meno che h sia molto pic-colo. In effetti, esistono diverse versioni migliorate del metodo di Eulero; cio`nonostante, il caso semplice che abbiamo esposto contiene gia` le idee essen-ziali dellapprossimazione numerica. Le formule normalmente utilizzate sonotuttavia piu` complicate. A titolo di esempio, riportiamo solo la successioneottenuta col metodo di RungeKutta; dopo aver definito le seguenti quantita`:

k1 = f(xn)h ,

k2 = f(xn +

12k1

)h ,

k3 = f(xn +

12k2

)h ,

k4 = f(xn +

12k3

)h ,

23

un buon valore (anche per h = t non troppo piccoli) di xn+1 e` dato da:

xn+1 = xn +16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) . (40)

Concludiamo il paragrafo, riconsiderando la discretizzazione (38) delle-quazione (14). Sia un qualche cambiamento (sufficientemente regolare)della variabile tempo t, cioe` s = (t). Il cambio di variabile trasforma la(14) in unequazione del tipo x = f(x), con > 0. Se siamo solo interessatiai valori della x che determinano la successione (38), non e` restrittivo alloraporre, fin dallinizio, h = 1. A questo punto, se data la funzione reale divariabile reale26 g(x) dalla quale abbiamo scritto la successione di Newton(37), ci poniamo il problema di trovare il campo f(x) di cui la successione e`la riduzione discreta, e` sufficiente scegliere:

fNEW(x) = g(x)g(x)

. (41)

Da cio` si vede che x e` uno zero per g se e solo se x e` un punto di equilibrioper il campo vettoriale fNEW.

10.1 Un esempio di soluzione numerica

Un esempio di sistema dinamico continuo 1-dimensionale che esamineremonella sua variante discreta (la mappa logistica) e` dato dallequazione nonlineare:

x = x(1 x) . (42)Per determinare numericamente la soluzione, possiamo rappresentare il campodelle pendenze del sistema nel piano (t, x).

In figura 7, a sinistra, si vede un modo nuovo di interpretare lequazione

(42): per ogni punto (t, x), lequazione fornisce la pendenzadx

dtdella soluzione

del moto che passa per quel punto; tali pendenze sono rappresentate da piccolisegmenti. La determinazione della soluzione si riduce allora al problema didisegnare la curva che e` localmente sempre tangente al campo delle penden-ze. Nella figura 7 si vedono alcune possibili soluzioni che partono da diversecondizioni iniziali nel piano (t, x).

26Tali risultati si estendono al caso di funzioni g : Rm Rm, o a campi vettoriali f in n > 1dimensioni, ma qui non li tratteremo.

24

Figura 7: Campo delle pendenze per il modello logistico continuo (a sinistra) e soluzione ottenutacol metodo di Runge-Kutta con passo h = t = 0.1, per diverse condizioni iniziali (a destra).

2 4 6 8 10t0.5

11.5

2x

2 4 6 8 10t0.5

11.5

2x

11 Il metodo delle fasi per loscillatore ar-

monico lineare

11.1 Il ritratto di fase

Ritorniamo allesempio da noi introdotto nel paragrafo 4.2. In quel caso, e`nota la forma analitica delle soluzioni; pertanto il problema di determinareil ritratto di fase del sistema, si riduce a rappresentare la curva parametricadescritta dalle (7) nel piano (x, v). Lasciamo a voi come esercizio di ricavarelequazione cartesiana per la curva; si trova:

2 x2 + v2 = 2 x02 + v02 , (43)

che riconoscerete essere unellisse, rappresentata in figura 8, per v0 = 0 ex0 < 0.

Dalle figure 9 e 8 e` facile convincersi che quando x ha valore minimo(negativo) x0 , corrispondente alla situazione iniziale di massima compressionedella molla, la velocita` e` nulla. Nellistante successivo, mentre il punto di faseviaggia lungo lorbita, la massa m e` portata in punti dove x aumenta e lavelocita` v e` ora positiva: la massa e` spinta verso la sua posizione di equilibrio.Ma quando la la massa raggiunge x = 0, essa ha la massima velocita` positiva(posizione b in figura), per cui la oltrepassa (x > 0). La massa ora rallenta e siarresta nellistante in cui raggiunge laltra estremita` delloscillazione, dove x e`massima e v = 0. A questo punto la massa e` tirata nuovamente verso sinistrae completa il ciclo. Lasciamo a voi ora di rispondere alle seguenti domande:Esercizio 3: Supponete che il vostro oscillatore armonico ad un certo punto

25

Figura 8: Ritratto di fase per loscillatore armonico semplice.

x

v

HcLHaL

HbL

HdL

inizi a dissipare energia, si comporti cioe` come un sistema reale. Cosa viaspettate per il suo ritratto di fase?Esercizio 4: Forti della interpretazione fisica data nellesercizio precedente,dimostrate che la condizione 2 x2+v2 = 2 x02+v02 = costante e` equivalentealla conservazione dellenergia meccanica.

11.2 Lapproccio geometrico per sistemi in 2 di-mensioni

A questo punto qualche lettore forse si chiedera` se e` possibile utilizzare lap-proccio geometrico introdotto nel paragrafo 6.1 per sistemi dinamici 2-dimensionali,come loscillatore armonico. Cio` risulta fondamentale per studiare i sistemidinamici 2-dimensionali non lineari, per i quali in generale non esistono solu-zioni analitiche come nel caso delloscillatore armonico semplice. Tale esempiotuttavia ci e` ancora molto utile, per cercare di dare la risposta.

Anche nel caso 2-dimensionale, e` utile visualizzare il campo vettoriale intermini del moto di un fluido ideale immaginario. Sara` sufficiente considerareil caso di un fluido in moto stazionario sul piano di fase, con velocita` vettorialeavente componenti (x, v) = (v,2x). Allora, per trovare la traiettoria cheparte dallo stato iniziale (x0, v0), basta porre una particella immaginaria opunto di fase e guardare come e` trasportata dalla corrente. La situazione e`descritta in figura 10.

La corrente, come si vede, gira attorno allorigine; questo e` un puntoparticolare, che assomiglia allocchio di un ciclone: un punto di fase postoin quella posizione vi rimarrebbe per sempre, poiche (x, v) = (0, 0) quando(x, v) = (0, 0). Pertanto lorigine e` un punto fisso. Cio` nonostante, un puntodi fase che partisse da qualsiasi altra posizione, si metterebbe a girare attornoallorigine e ritornerebbe ad un certo momento nella posizione iniziale. Tali

26

Figura 9: Fasi del moto delloscillatore armonico semplice.

traiettorie formano delle cosiddette orbite chiuse. Ma che relazione ce` tra leorbite chiuse e i punti fissi e il problema fisico di partenza, cioe` la massa attac-cata ad una molla ideale? La risposta e` semplice. I punti fissi corrispondonoad punti di equilibrio statico per il sistema; le orbite chiuse corrispondono amoti periodici, cioe` ad oscillazioni della massa.

12 Dipendenza da parametri: biforcazioni

e catastrofi

Con lesempio appena studiato abbiamo visto che aumentando le dimensionidello spazio delle fasi la dinamica del campo vettoriale diventa piu` ricca, ap-paiono infatti soluzioni periodiche, che abbiamo chiamato cicli. Nel caso di

27

Figura 10: Interpretazione geometrica per il campo di fase delloscillatore armonico.

x

v

sistemi dinamici continui in una dimensione27, come abbiamo visto, o le solu-zioni si dispongono allequilibrio o tendono a . Cio` nonostante, i sistemi1-dimensionali risultano interessanti non appena il campo vettoriale dipendeda dei parametri. In particolare, i punti fissi possono essere creati o distruttio cambiare la loro stabilita`. In altre parole, cambiando la struttura del cam-po vettoriale, varia la natura qualitativa della soluzione del nostro problemadinamico, cioe` il tipo di moto che si determina a partire da un certo statoiniziale28. Nello studio della dinamica, molto spesso appaiono dei parametri,che hanno una precisa interpretazione fisica. Un fenomeno molto interessante,noto col nome di biforcazione od anche catastrofe si ha quando una variazionecontinua del parametro determina un cambiamento repentino e discontinuodelle proprieta` del sistema. Per darvi unidea di questo fenomeno guardate lafigura 11. Essa contiene una serie di 8 famose29 figure sviluppate da Fisher(1967) (si veda ad esempio [9], pag. 11), legate ad un repentino cambiamentonella percezione visiva. La prima figura in alto a sinistra rappresenta una fac-cia, mentre lultima in basso a destra si riferisce certamente ad una donna. Seguardiamo le figure una dopo laltra da sinistra e destra e dallalto in basso,

27Facciamo qui riferimento a situazioni generiche, strutturalmente stabili; non consideriamo icasi marginali corrispondenti al passaggio tra regimi dinamici differenti; si veda, a proposito, ilparagrafo 13.5.

28In effetti, nel vostro corso di studi avete certamente studiato esempi di problemi di secondogrado (di geometria sintetica od analitica) dipendenti da un parametro. Tipicamente, allora eravateinteressati a contare le soluzioni reali del problema, al variare di un parametro, che descriveva unaclasse di casi geometricamente possibili.

29Lavoro originale: G.H. Fisher, Preparation of ambiguous stimulus material in Perception andPsychophysics, 2 pag. 421422, 1967.

28

Figura 11: Un esempio di catastrofe nella percezione visiva.

ci accorgiamo che, pur cambiando di poco, ad un certo momento la nostrapercezione cambia allimprovviso: da faccia a donna.

13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-

dimensionali

13.1 Premessa

Intendiamo ora riprendere i concetti che avete gia` studiato, sperimentandolinel nostro laboratorio di matematica, in occasione del vostro primo annodi attivita` nel PLS per la matematica. Lo scopo e` rivedere i ripensare aquanto abbiamo fatto, magari offrendo qualche ulteriore spunto di riflessionee vedendo i collegamenti tra lapproccio discreto e continuo.

Nel paragrafo 3 abbiamo parlato di sistemi dinamici discreti. Come sape-te bene, si tratta di casi in cui il tempo e` visto come una variabile discretaanziche continua. In alcuni contesti scientifici risulta naturale considerare iltempo discreto: si pensi ad esempio allelettronica digitale, ad alcune partidelle scienze economiche e delle finanze, e nello studio di certe popolazionianimali nelle quali le generazioni successive non si sovrappongono. In partico-lare, nel nostro laboratorio di matematica voi avete visto, tra laltro, modellimatematici (in particolare lequazione logistica) che si applicano allo studio

29

delle popolazioni. Per fare cio` abbiamo avuto bisogno solo di alcuni sempliciconcetti relativi alliterazione di mappe.

In effetti, lo studio delle mappe e` interessante in se, poiche le mappecostituiscono un formidabile laboratorio per analizzare fenomeni caotici. Lemappe sono capaci di comportamenti molto piu` imprevedibili delle equazionidifferenziali; negli ultimi 25 anni si sono fatti straordinari passi avanti nel lorostudio, grazie soprattutto alla crescente disponibilita` dei computer e dellagrafica computerizzata. Forse vi potra` sorprendere sapere il fatto che oggi,grazie allattrezzatura informatica del nostro Istituto, e` possibile ripercorrerecon relativa facilita` di calcolo alcune delle piu` affascinanti scoperte sul caosottenute da scienziati come May [3], Lorenz [1] od Henon [2].

13.2 Alcune definizioni

Considerate una mappa 1-dimensionale, cioe` una funzione continua F : R I I, di un sottoinsieme I della retta reale in se stessa. Possiamo definireuna successione nel modo seguente:{

x0 I (condizione iniziale)xn+1 = F (xn) , n 0 (legge di ricorrenza) (44)

Le successioni del tipo (44) si dicono definite per ricorrenza o induzionee la funzione F si chiama funzione generatrice. I punti della successione{x0, x1 = F (x0), x2 = F 2(x0), . . . , xn = Fn(x0), . . . ,

}costituiscono lorbita, (x0),

generata dal valore assegnato x0. Notiamo che con la scrittura Fn, intendiamoliterata n-esima della funzione F , cioe:

Fn = F F . . . F n volte

(45)

Per lo studio del sistema dinamico discreto risultano fondamentali gli elementix I che soddisfano allequazione:

F (x) = x ; (46)

essi si dicono punti fissi o di equilibrio della funzione F . Avrete gia` capito chela ragione del loro nome risiede nel fatto che lorbita generata da un puntofisso x, si riduce al punto stesso, cioe` (x0 = x) = {x}. Da un punto divista geometrico, le soluzioni dellequazione (46) possono essere interpretatecome le ascisse degli eventuali punti di intersezione tra il grafico di F e dellefunzione identita` y = x. Avendo in mente lanalogia col sistema continuooscillatore armonico, e` naturale ora definire la nozione di orbita periodicacome una successione del tipo:

x0 , x1 , x2 , . . . , xp1 , xp = x0 , x1 , x2 , xp1 , x0 , x1 . . . (47)

30

con x0 6= x1 6= . . . 6= xp1 e xp = x0. Lintero p si dice il (minimo) periododellorbita e i punti della stessa sono periodici di periodo p.Esercizio 5: Dimostrate che i punti x0, x1, . . . , xp, di unorbita periodica diperiodo p sono fissi per literata p-esima di F .

13.3 Analisi geometrica delliterazione di una fun-zione: il diagramma a ragnatela

Abbiamo anche studiato, nel caso di mappe 1-dimensionali, che e` possibilericorrere ad un metodo grafico molto utile, detto diagramma a ragnatela30,per studiare literazione. Consideriamo il grafico di F e, partendo da x0,ricaviamo x1. Esso e` lordinata del punto sul grafico di F che ha ascissa x0.Per trovare ora x2 e` necessario riportare sullasse delle ascisse tale valore. perfarlo, e` sufficiente muovere parallelamente allasse delle ascisse il punto delgrafico (x0, x1), fino ad incontrare la prima bisettrice. Individuato in figura ilpunto di coordinate (x1, x1) basta ora spostarlo parallelamente allasse delleordinate fino ad incontrare il grafico di F nel punto (x1, x2). A partire da tale

Figura 12: Il diagramma a ragnatela per la funzione F = x1/2.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

punto, ripetendo il procedimento appena descritto, possiamo ottenere x3, ecos` via. Osservate che nella figura la successione di punti sul grafico tende alpunto di intersezione tra la retta y = x e y = F (x).

30E` denominato cobweb diagram nei testi in lingua inglese.

31

Le equazioni del tipo (44) definiscono un sistema dinamico discreto 1-dimensionale. Come nel caso continuo, tale sistema si dira` lineare o nonlineare a seconda della natura della funzione F .

13.4 Comportamento di un sistema lineare discreto1-dimensionale

Abbiamo anche tentato di analizzare il comportamento di un generico sistemalineare discreto 1-dimensionale, di cui abbiamo fornito un esempio particolarenel paragrafo 3. Consideriamo il sistema la cui funzione di evoluzione e` f(x) =ax+ b, con a, b R. Dalla definizione ricorsiva:

xn+1 = axn + b , (48)

lasciamo a voi come esercizio31 ricordare come si poteva provare che il terminen-esimo della successione (di valore iniziale x0) puo` essere scritto come:

xn =

anx0 +(an 1a 1

)b se a 6= 1

x0 + nb se a = 1. (49)

Durante la nostra attivita` di laboratorio, avete avuto modo di intuiresperimentalmente, usando il calcolatore, qual e` il comportamento asintoticodi un sistema dinamico lineare come quello delleq. (49), cioe` il limite a cuitende xn per n +. Ora potreste magari porvi il problema di dimostrarei risultati32, che per tutti riassumiamo nella tabella 1, in cui risulta essenzialedistinguere tre casi, a seconda che sia |a| < 1, oppure |a| = 1, oppure |a| > 1.Nel risultato esposto, un ruolo particolare e` assunto dal punto x =

b

1 a . Sitratta del punto fisso per la funzione F (x), cioe` del valore per cui F (x) = x.Anche nel caso discreto vale quindi una nozione di stabilita` del tutto simile aquella introdotta nel paragrafo 6.1 per i sistemi dinamici continui. Ricordiamotuttavia che lunica differenza sta nel fatto che, nel caso di unequazione dievoluzione continua del tipo x = f(x), i punti fissi per il campo f(x) sonoquelli per cui f(x) = 0.

Naturalmente, la costruzione geometrica del diagramma a ragnatela siapplica anche al caso lineare. Potrete allora comprendere il contenuto dellatabella, applicando tale tecnica per il grafico di F , che, come ben sapete,rappresenta una retta nel piano cartesiano.

31Vi sara` utile ricordare lespressione della somma dei primi n termini di una progressionegeometrica di ragione a e termine iniziale 1.

32Arriverete molto avanti, ma sara` solo dopo aver appreso alla fine di questanno la nozione dilimite che potrete portare a termine il compito!

32

a b x0 Comportamento di xn per n +

|a| < 1 b1 a

|a| > 1 6= b1 a diverge

=b

1 a rimane fisso inb

1 a

a = 1 b 6= 0 diverge

b = 0 rimane fisso in x0

a = 1 6= b2

oscilla: x0, b x0, . . .

=b

2rimane fisso in

b

2

Tabella 1: Comportamento asintotico del sistema discreto 1-dimensionale xn =axn1+ b, e condizione iniziale x0, in dipendenza dei parametri reali a e b. Nel casoin cui una casella e` vuota si intende nessuna ulteriore condizione.

.

33

13.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale nonlineari

Nel paragrafo 7 avevamo trattato il problema della stabilita` nel caso 1-dimensionalecontinuo. Avevamo utilizzato una procedura di linearizzazione. Una tecni-ca analoga si puo` applicare anche nel caso discreto. Supponete che x sia unpunto fisso per F , cioe` che si abbia F (x) = x. E` ormai chiaro che se xn = x,allora lorbita rimarra` in x per tutte le successive iterazioni. Per studiare lastabilita` di x, consideriamo unorbita vicina, che indicheremo con xn = x+ne chiediamoci se tale orbita viene attratta o respinta da x. In altre parole, ladeviazione n aumenta o diminuisce al crescere di n? Bastera` sostituire:

x+ n+1 = xn+1 = F (x+ n) = F (x) + F (x)n +O(n2) , (50)

dove col simbolo O(n2) intendiamo33 che nello sviluppo in serie di Taylor dif trascuriamo i termini quadratici in . Ricordando che x e` un punto fisso, siottiene lequazione discreta linearizzata:

n+1 = F (x)n (51)

Se e` lecito trascurare i termini quadratici in , lequazione linearizzata dipendedal moltiplicatore (detto anche autovalore) = F (x), che rappresenta lapendenza della retta tangente al grafico di f nel suo punto fisso x. Si trattaallora di un sistema 1-dimensionale, per cui possiamo applicare lanalisi dellatabella 1 per a = e b = 0. Se || = |F (x)| < 1 allora n 0 per n ,e il punto fisso x e` linearmente stabile. Viceversa, se || = |F (x)| > 1 ilpunto fisso e` instabile. Sebbene queste conclusioni circa la stabilita` localesiano basate sulla linearizzazione, si potrebbe provare che valgono34 per lamappa non lineare F . E` comunque necessario osservare che la linearizzazionenon dice nulla a proposito del cos` detto caso marginale, per cui || = 1.Sono proprio i termini trascurati di tipo O(n2) che determinano la stabilita`locale35. Concludiamo il paragrafo introducendo unimportante definizione:dato un punto fisso attrattivo x per un sistema dinamico, diciamo bacino diattrazione linsieme delle condizioni iniziali x0 per le quali xn x se n.

33Si tratta sempre di approssimare il grafico della funzione con una retta, come descritto nelcaso continuo.

34E` necessario ipotizzare che la funzione F abbia derivata continua, sia cioe` di classe C1.35Anche nel caso continuo, la situazione in cui F (x) = 0 risulta determinata dalle derivate di

ordine successivo. Essa risulta significativa in teoria delle biforcazioni, quando il sistema dinamicodipende da un parametro di controllo. I casi marginali corrispondono a situazioni critiche, nellequali si ha un repentino cambiamento della dinamica del sistema; si veda il paragrafo 12.

34

14 La nostra attivita` di laboratorio

Vorremmo ora parlare delloggetto principale della nostra attivita` di labora-torio di matematica connessa al Progetto Lauree Scientifiche. Queste brevinote si proponevano, tra laltro, di farvi riflettere sui collegamenti che il temadei sistemi dinamici naturalmente instaura tra molti contenuti dei nostri corsiistituzionali di matematica e di fisica. Come avete visto, si va dalle appli-cazioni della seconda legge di Newton, alla dinamica dei fluidi ideali; dallesuccessioni definite in modo esplicito a quelle definite per ricorrenza; dallostudio di argomenti del calcolo differenziale, come derivate e limiti, a proble-mi di analisi numerica, come la determinazione approssimata degli zeri di unafunzione. Il filo rosso che collega tutte queste nozioni, apparentemente moltodiverse tra loro, e` lidea di evoluzione temporale di un sistema. Vorremmoconcludere questa dispensa riportando quanto scrisse Robert M. May nel suofamoso lavoro [3] pubblicato sulla rivista Nature36: In spite of the practicalproblems which remain to be solved, the ideas developed in this review haveobvious applications in many areas. [...] I would therefore urge that people beintroduced to, say, equation (3) early in their mathematical education. Thisequation can be studied phenomenologically by iterating it on a calculator, oreven by hand. Its study does not involve as much conceptual sophistication asdoes elementary calculus. Such study would greatly enrich the students intui-tion about nonlinear systems. I piu` attenti avranno subito pensato: ma cosaintendeva May con equazione (3)? Si tratta di una famosissima equazioneche descrive levoluzione di un sistema dinamico discreto, nota col nome diequazione logistica:

xt+1 = axt(1 xt) . (52)Forse non siamo riusciti a svelarvi tutto su di essa qui, pero` pensiamo valgadecisamente la pena riassumere alcuni risultati 37...

14.1 Lequazione logistica

La dinamica della popolazione di molte specie animali e` caratterizzata dalfatto che non vi e` sovrapposizione tra generazioni successive, cos` la crescita

36Ecco la nostra libera traduzione: A dispetto dei problemi pratici che rimangono da essere ri-solti, le idee sviluppate in questa rassegna hanno ovvie applicazioni in molte aree. Le applicazionipiu` importanti, tuttavia, possono essere nellinsegnamento. [...] Vorrei insistere affinche la gentefosse, diciamo, introdotta allo studio dellequazione (3) molto presto nella sua formazione mate-matica. Questa equazione puo` essere studiata fenomenologicamente iterandola su un calcolatore, operfino a mano. Il suo studio non richiede concetti cos` sofisticati come il calcolo differenziale. Untale studio arricchirebbe enormemente lintuizione dello studente sui sistemi non lineari.

37Questa breve introduzione e` ripresa dal paragrafo I moscerini della frutta e il caos in [8], pag.170.

35

della popolazione avviene in tappe discrete. Per gli organismi primitivi questetappe possono essere molto brevi, in tal caso un modello dinamico con tem-po continuo, puo` essere unapprossimazione ragionevole. Tuttavia, la duratadelle varie tappe puo` cambiare molto, da specie e specie. Per la nascita diun moscerino della frutta da una pupa basta un giorno, per delle cellule sonosufficienti delle ore, mentre per virus e batteri addirittura molto meno. Le-quazione (52) mette in relazione la popolazione allistante t+ 1-esimo con lapopolazione allistante precedente, t-esimo. Per semplicita`, assumiamo nellanostra descrizione che la popolazione venga descritta alla distanza temporaledi un anno.

Cio` porta ad un sistema dinamico discreto, in cui la funzione da iterare e`non lineare, cioe` proprio F (x) = ax(1x). In realta`, risulta piu` comodo pen-sare che un certo ambiente abbia una certe popolazione massima sostenibiledi una data specie, rappresentata dalla variabile adimensionale xt. Tale varia-bile rappresenta il rapporto tra la popolazione reale e la popolazione massimaalla t-esima generazione. Possiamo pertanto pensare che dobbiamo iterarela funzione F (x) sullintervallo [0, 1]. Il numero a denota il tasso di crescitarelativo della popolazione, che supponiamo non dipendere dal tempo. Essoviene chiamato capacita` biologica specifica. La forma della funzione F cheda` luogo allequazione logistica (52) si basa sullidea che, quando in un datoambiente la popolazione e` scarsa e non vi e` competizione per lo spazio vitaleo la ricerca del cibo, allora ogni generazione cresce rispetto alla precedentedi un fattore a, secondo una progressione geometrica. Tuttavia, al cresceredella popolazione, le risorse di cibo tendono ad esaurirsi, pertanto aumentala competizione, che riduce il tasso di crescita di una quantita` ax2, semprepiu` rilevante al crescere della popolazione. Nel 1976, lecologo matematico R.May osservo` che lapparente semplicita` della funzione F (x) e` ingannevole.

Essa presenta infatti ogni sorta di comportamento dinamico complicato,al variare della capacita` biologica specifica a. La dipendenza sensibile dellanatura della soluzione della (52) dal parametro a e` un esempio di biforca-zione, del tipo di quella che abbiamo descritto nel paragrafo 12. Nel nostrolaboratorio, esplorerete sperimentalmente tale varieta` di comportamenti. Inparticolare vi renderete conto, che per valori particolari del parametro a, na-sceranno orbite aperiodiche: cio` vorra` dire che, ad esempio, se in un certoanno la popolazione sara` piccola, i cinque anni seguenti sara` grande, seguira`poi un anno di popolazione media e quindi alcuni anni di popolazione piccola,seguita da un anno di boom demografico e via dicendo. Saremo di fronte asequenze arbitrarie di alti e bassi, senza alcuna regolarita` apparente, comequelli descritti in figura 13.

Questo e` un esempio di caos deterministico. Quel che sorprese May non fuil fatto che le popolazioni reali siano imprevedibili, ma il fatto che un modello

36

Figura 13: Un esempio di soluzione aperiodica dellequazione logistica per a = 3.9.

10 20 30 40 50t

0.2

0.4

0.6

0.8

xt

cos` semplice come lequazione logistica (dopo tutto la funzione F (x) = ax(1x) ha come grafico una parabola!) abbia un comportamento tanto selvaggio.I tipi di dinamica delle popolazioni che sono possibili nellequazione logisticasono descritti dal famoso diagramma di biforcazione, divenuto ormai uniconadel caos. Il diagramma riporta in ascissa i valori del parametro a ed in ordinataalcuni valori di x quando, per un numero abbastanza grande di iterazioni, ladinamica si stabilizza.

Figura 14: Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica per valori del parametro dicontrollo 3.4 < a < 4.

Riportiamo da ultimo due figure, dalle quali si puo` vedere che il diagram-ma di biforcazione ha inaspettate proprieta` di autosimilarita`. Osservate che

37

Figura 15: Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica per valori del parametro dicontrollo 3.847 < a < 3.857.

lo stesso diagramma per valori diversi del parametro di controllo a ha unastruttura che si ripete (Fig. 14 e 15).

A questo punto molte sono le domande che ci possiamo porre: come e`possibile che una semplice equazione di evoluzione come quella logistica, lacui natura e` intrinsecamente deterministica, non consenta di rispondere al-la domanda per la quale e` stata introdotta, cioe` risulti incapace di predirelandamento della popolazione della nostra specie?

Puo` avvenire qualcosa di simile in Fisica, nel senso che la seconda legge diNewton per la dinamica classica, pur essendo deterministica, possa risultarein taluni casi incapace di predire levoluzione del nostro sistema dinamico? Oposta altrimenti, esiste una dipendenza non banale dellevoluzione del sistemadallo stato iniziale dello stesso?

E che significato ha la struttura di autosimilarita` del diagramma di bifor-cazione esposto nelle due ultime figure? Si tratta di frattali?

Se siete di nuovo con noi e` perche forse siete tipi curiosi! sarebbe belloquestanno riuscire a fare con voi qualche ulteriore passo in avanti!

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Riferimenti bibliografici

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