s.i.5 s.i.6 s.i.7(rlc serie,rlcparalel,echivalentayz)

8/15/2019 S.I.5 S.I.6 S.I.7(RLC Serie,RLCparalel,EchivalentaYZ).

1/11

S.I.5. Circuitul R, L, C serie în r.p.s. Impedanţa. Rezonanţa de tensiuni

Fie circuitul reprezentat în fig.1.a, obţinut prin conectarea în serie aelementelor ideale liniare, rezistor, bobină şi condensator, de parametri R, L şi C şi a unei surse o ideale de t.e.m. sinusoidală, având la borne tensiunea u.

Curentul i prin toate elementele înseriate ale circuitului este acelaşi şi se considerăcunoscut, cu formă de undă sinusoidală, având următoarea expresie a valoriiinstantanee

!.sin"# it I i γ ω += "1!

$resupunând cunoscute valorile parametrilor R, L, C şi curentul i , în celece urmează se determină valorile instantanee ale tensiunii u la bornele circuituluişi ale căderilor de tensiune u R, u L şi uC la bornele elementelor notate prescurtat R,

L, respectiv C . %n acest scop se aplică legea conducţiei generalizată "legea lui&'m generalizată sau teorema lui (oubert! sau teorema a ))*a a lui +irc''off în

circuitul dat şi se obţine relaţiaC L R uuuu ++= "#!

în care, aşa cum s*a arătat anterior "Curs#! căderile de tensiune la borneleelementelor de circiut au expresiile următoare

−+==

++==

+==

∫ .!#sin"#d1

,!#sin"#d

d

,!sin"#

π γ ω

π γ ω

γ ω

iC C

i L L

i R

t I X t iC

u

t I X t

i Lu

t RI Riu

"-!

ubstituind "-! în "#! rezultă pentru circuitul analizat o ecuaţie integro*diferenţială liniară, cu coeficienţi constanţi, de forma

∫ ++= t iC t i

L Riu d1

d

d , "/!

a cărei soluţie, dificil de obţinut direct "în valori instantanee!, se poate determinasimplu prin aplicarea metodei de reprezentare simbolică în complex simplificat"0.C..!. Rezolvare utilizând reprezentarea analitică în complex simplificat (RCS

Fig. 1.


2/11

e adoptă fazorul polar "valoarea efectivă comlplexă! a curentului i, mărime

cunoscută, "rel."1!! pe care o alegem ca referinţă, de forma următoarei j Ie I i

γ =⇔ "!

%nlocuind "! în "/! şi aplicând corespondenţa operaţiilor, ecuaţia integro*diferenţială a circuitului se transformă într*o ecuaţie al!e"rică, în valori efectivecomplexe "v.e.c.!

( ) [ ] I Z I X X j R I

C j I L j I RU C L =−+=++= !"

1!"

ω

ω

I Z U = ,

"2!

în care

Z jC L

e Z jX R X X j R Z ϕ=+=−+= !"

"3!

se numeşte impedanţa complexă a circuitului R, L, C serie şi este caracterizată prin modulul Z "numit simplu impedanţă, mărime măsurată în &'mi! şi

argumentul Z ϕ "rad!

±=−

==

Ω=+=−+=

rad.4#56786arg

486!" ####

Z C L

Z

C L

R

X X arctg Z

Z X R X X R Z

ϕ ϕ "9!

Fig. #

Impedanţa complexă Z a circuitului RLC serie se

reprezintă geometric în planul complex prin afixul şivectorul său de poziţie "fig.#!. $artea reală aimpedanţei este rezistenţa circuitului, R, iar parteaimaginară este constituită de reactanţa totală acircuitului RLC serie, X : X L - X C , conformrelaţiilor

≤≥ϕ=

≥ϕ=

.7sin

,7cos

sau Z X

Z R

Z

Z ";!

0evenind la fazorul polar al tensiunii,U , prin identificarea relaţiei "2! cuforma normală a v.e.c. a tensiunii,

!" i Z i Z j j j e ZI e I e Z U γ ϕ γ ϕ +

== ,

u jeU U γ =

"17!

rezultă următoarea caracterizare a f.p.c. tensiune U : ZI * modulul fazorului U " valoarea efectivă a tensiunii u!,

u : γ i < Z ϕ * argumentul fazorului U "faza iniţială a tensiunii u!


3/11

şi se deduce Z i u ϕ=γ −γ =ϕ , [ ]#67 π±∈ϕ *defaza=ul dintre tensiune şi curent

0elaţiile I Z U = şi U : ZI constituie le!ea conducţiei (le!ea lui #$m scrisă cu valori efective complexe,respectiv cu valori efective pentru un circuit dipol pasiv RLC serie .

>aloarea instantanee a tensiunii, u se obţine din fazorul U , aplicând regulatrecerii inverse

!.tsin"#?)!tsin"#@

ee#me#mu

iu

t =t =

Z

j uU U

ϕ γ ω γ ω

γ ω ω

++=+=

=ℑ=ℑ="11!

A %azorii căderilor de tensiune pe elementele înseriate, RU , LU , C U , în

funcţie de curent şi parametrii R, X L , X C rezultă din forma fazorială a ecuaţiei de

tensiuni, "#! a circuitului RLC serie,C L R U U U U ++= . "1#!

Bermenii sumei sunt fazorii căderi de tensiune pe elementele înseriate, de forma

U RI e RI

U X I e jX I

U X I e jX I

R

j

L L j

L

C C j

C

i

i

i

= =

= =

= = −

+

−

γ

γ π

γ π

,

,

,

" !

" !

#

#

"1-!

iar ecuaţia de tensiuni "1#! este reprezentată fazorial în planul complex, prindia!rama fazorială din fig.1.b. $entru simplitate, de regulă, curentul i "comun

tuturor elementelor RLC nseriate! se adoptă ca mărime origine de fază " i : &!.Dvident, în acest caz, diagrama fazorială trasată în fig.1.b se roteşte în sens orar

cu ung'iul i , iar u : , "ca în fig.-.a, .b, .c!

• Briung'iul #' al v.e.c. ale tensiunilor "fig.1.b!, permite scrierea

fazorului tensiunii la borne U cu a=utorul componentelor activă )i reactivă,sub forma

U U U U jU a r a r

= + = + , "1/!în care

U a : U R : RI = U cos ϕ "1!

U U U X X I XI U r L C L C

= − = − = =" ! sinϕ "12!constituie * modulul componentei active "în fază cu curentul I ! , respectiv

* modulul componentei reactive "în cuadratură cu I ! ale tensiunii U .

$rin împărţirea laturilor ∆*lui #' cu I se obţine triun!$iul impedanţei

complexe Z a circuitului RLC serie "fig. #!.


4/11

A %n funcţie de ponderea reactanţelor X L şi X C , în circuitele RLC serie se pot

realiza următoarele trei situaţii a! X L E X C , respectiv : u * i E &6 caracter preponderent inductiv,

b! X L X C , respectiv : u * i &* caracter preponderent capacitiv,

c! X L : X C , respectiv : u * i : & 6 rezonanţa tensiunilor (serie.

@ : ?

)

)

G : G * G E7H C

C C@ : *=G )

ϕE7

ϕ


5/11

R X X R Z C L =−+=

#

77

#

7 !" : min. "#7! -. >aloarea efectivă a intensităţii I 0 curentului prin circuit devine maximă,

I U

Z

U

R7

7

= = : max.."#1!

/. Căderile de tensiune reactive " pe bobină şi condensator! U L0 şi U C0 auvalorile efective egale, şi fiind în opoziţie de fază se anulează reciproc

777777 I X U I X U

C C L L === , şi 7=+ C L U U " u L


6/11

e consideră cunoscuţi parametrii R, L, C şi trebuie determinaţi curenţii i R,i L, i C şi i . Beorema )*a a lui +irc''off aplicată în nodul / furnizează relaţia

C L R iiii ++= , "#!

în care , conform celor stabilite anterior, expresiile curenţilor funcţie de tensiunesunt

++==

−+==

+==

∫

.!#5LKsin"#d

d

,!#5LKsin"#d1

,!LKsin"#

u

C

C

u

L

L

u R

t X

U

t

u

C i

t X

U t u

Li

t R

U

R

ui

"#.1!

ubstituind "#.1! în "#!, rezultă pentru circuitul R L C derivaţie analizat oecuaţie integro*diferenţială liniară, cu coeficienţi constanţi, de forma

∫ ++= t u

C t u L R

ui

d

dd

1 .

"-!Ca şi anterior, rezolvarea ecuaţiei "-! se poate efectua uşor prin utilizarea

simbolurilor "v.e.c. f.p.c.! din reprezentarea în complex simplificat "0C!.

Rezolvare folosind reprezentarea sim"olică în complex simplificat (RCS

e adoptă v.e.c. a tensiunii cunoscute u, "rel."1!!, de formau jeU U

γ = . "/!

ubstituind "/! în ecuaţia integro*diferenţială "-! a circuitului şi aplicândcorespondenţa operaţiilor se obţine

U C j L j

U

R

U I ω

ω

++="!

e introduc următoarele notaţii"2!

R

G 1

= * conductanţa rezistorului ideal, R 6

L

L X

B1

= - susceptanţa inductivă a bobinei ideale, L 6

B X

C

C

= 1

- susceptanţa capacitivă a condensatorului

ideal,C 6

C L B B B −= * susceptanţa rezultantă "totală! a circuitului .


7/11

Mstfel, ecuaţia "! devine

[ ] I G j B B U G jB U YU L C = − − = − =" ! " ! , "3!unde

Y jeY jBGY ϕ =−= "9!

se numeşte admitanţa complexă a circuitului RLC derivaţie. Jodulul şi argumentul admitanţei Y sunt date de relaţiile

[ ]

−=−−

==

+=−+=

.#...7...#,!"

!arg"

,!"####

π π ϕ ϕ C L

Y

C L

G

B Barctg Y

BG B BGY

";!

0riun!$iul admitanţei complexe Y a circuitului RLC derivaţie "Fig. #!,furnizează relaţiile pentru partea reală şi cea imaginară

=

>=

.7sin

,7cos

sauY B

Y G

Y

Y

ϕ

ϕ "17!

Y N modulul admitanţei complexe, mărime numită admitanţa circuitului, precumşi G! BC şi B L se măsoară în Siemens, 1:1 Ω .

e obţine v.e.c. " fazorul polar! a curentului necunoscut, I şi se identifică cuforma sa normală pentru a evidenţia modulul şi argumentul curentului total ,necunoscut

!" uY uY j j j eYU eU eY I γ ϕ γ ϕ +

==

i j

e I I

γ

= din care"11!

I YU = * modulul curentului I "valoarea efectivă pentru i,!

Y ui ϕ+γ =γ * argumentul curentului I ,faza iniţială pentru ! iar

Y iu ϕ−=γ −γ =ϕ 6 [ ]#67 π±∈ϕ * defaza=ul dintre U şi I "

Fig. #


8/11

0elaţiile I YU = şi U Y I = exprimă le!ea conducţiei (#$m în valoriefective, respectiv în valori efective complexe, pentru un circuit R, L, C derivaţie.Mlicând regula trecerii inverse de la imagine la valoarea instantanee, rezultă

{ } !sin"##m#m#

!"Y u

jt j

jt jt j

t YU eYU e

e I e I emi

Y u

i

ϕ γ ω ϕ γ ω

γ ω ω

++==ℑ=

=⋅ℑ=⋅ℑ=+

"1#!

Dcuaţia "! a circuitului RLC derivaţie, exprimată în valori efective complexe,

este reprezentată în planul complex, în fig.1.b.respectiv LC R

I I I I ++= , "1-!

==⇔−==⇔

==⇔

−

−

,

,

,

!#"

!#"

U jBeU B I i

U jBeU B I i

U GeGU I i

C

j

C C C

L

j

L L L

j

R R

u

u

u

π γ

π γ

γ

"1/!

$entru simplitate, de regulă, tensiunea u "comună elementelor RLC conectate n

derivaţie! se adoptă ca origine de fază " u : &!. Irept urmare, diagrama fazorială

din fig.1b se roteşte, n sens orar, cu ung'iul u "iar i : * !, ca în fig.-.a, .b,.c

• 0riun!$iul #' al fazorilor curenţi "Fig.1c!, în care

π±& 1* , , permite evidenţierea componentelor activă )i reactivă ale

curentului I o"ţinute prin proiecţia f.p. a curentului I pe direcţia tensiunii şi pe direcţia perpendiculară acesteia sub forma

I I I I jI a r a r = + = + , "1!

I I GU I a R= = = cosϕ , "12!

I I I B B U BU I r L C L C = − = − = =" ! sinϕ "13!unde I a * modulul componentei active "în fază cu tensiunea U !, iar

I r * modulul componentei reactive "în cuadratură cu U ! a curentului I

.Componenta activă I a a curentului prin admitanţa Y reprezintă curentul care

parcurge conductanţa G a circuitului, iar componenta reactivă, I r * corespundecurentului care străbate susceptanţa totală, B "diferenţa curenţilor capacitivminus inductiv! din circuit.

• %n funcţie de ponderea susceptanţelor B L şi BC , circuitele R, L, C derivaţie pot înregistra una din următoarele trei situaţii posibile


9/11


10/11


11/11

$entru ca două circuite , unul serie de impedanţă Z şi altul paralel de admitanţăY , să fie ec'ivalente, între cele două mărimi trebuie să existe relaţia

Z Y

Y Z

= =1 1

sau . "1!

%ntrucât Z : R < %X iar Y : G * %B, ţinând cont de "1!, între parametrii R şi X , respectiv G şi B, rezultă următoarele relaţii de ec'ivalenţă.

Iacă se cunoaşte impedanţa complexă a unui circuit atunci admitanţacomplexă se obţine cu relaţiile

Z : R < %X , ⇒ jBG Z

Y −== 1

⇒

G R

R X

R

Z B

X

R X

X

Z =

+ = =

+ =

# # # # # #6 "#!

şi respectiv invers dacă se cunoaşte admitanţa se poate deduce impedanţacomplexă a circuitului, după cum urmează

Y : G N %B, ⇒ jX RY

Z +== 1

⇒ RG

G B

G

Y X

B

G B

B

Y =

+ = =

+ =

# # # # # #6

"-!

(in "#! şi "-! se c'nstată că numai i#pe$anţa !o#ple&ă Z $i a$#itanţa

!o#ple&ă Y sunt mărimi in)erse una a%teia " Re&istenţa $i c'nductanţa!

respecti) reactanţa $i susceptanţa sunt mărimi in)erse numai *n ca&u% particu%ar

a% circuitu%ui cu un singur e%ement de circuit i$eal .Ie asemenea, trebuie reţinut că impedanţa complexă Z şi admitanţa

complexă Y nu constituie o reprezentare simbolică a raportului valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului, respectiv curentului şi tensiunii la bornedeoarece, în general, acest raport este o funcţie de timp.

Z şi Y sunt parametri complexi care intervin în ecuaţiile circuitelor caoperatori de înmulţire.

0elaţiile "#. şi "-! permit scrierea parametrilor R şi X , respectiv G şi B ai

elementelor reale de circuit pentru orice sc'emă ec'ivalentă serie, sau derivaţieadoptată şi transfigurarea ec'ivalentă între aceste sc'eme..

s.i.5 s.i.6 s.i.7(rlc serie,rlcparalel,echivalentayz)

Documents