setengah interval
TRANSCRIPT
METODE SETENGAH INTERVAL
Metode ini adalah metode untuk menentukan titik nol f bila f kontinu. Metode ini
sangat sederhana tetapi konvergennya lambat metode setengah interval didasarkan pada
teorima nilai antara fungsi kontinu, yaitu bahwa suatu selang [ a b ] harus mengandung sutu
titik nol f bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda misalnya dan hal ini
menyarankan metode pengulangan metode setengah interval dan dalam setiap langkah
mengambil setengah langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan
tersebut.
Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal sebut a dan b ,a > b yang
harus memenuhi f(a) > f(b) < 0 selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-mula ditentukan
titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama panjang, sebut titik tenghanya w
dua selang baru yang diperoleh yakni (a,w) dan (w,b) salah satu diantaranya pasti
mengandung akar. Berikut yang ditinjau adalah selang yang mengandung akar. Pembagi
duaan selang ini dialnjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil.
Gbr. Metode setengah interval
Penentuan setengah interval yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari
hasil kali atau
< 0, berarti akar pada ( a , w )
Halaman : 1 / 30
bw
),( )(wfw ),( )(bfb
akar
= 0, berarti akar = w
> 0, berarti akar pada ( w, b )
Dalam algoritma digunakan peubah-peubah :
a sebagai ujung kiri peubah
b sebagi ujung kanan peubah
w sebagai titik tengah
Algoritma metode setengah interval
1. masukkan
2. Interval atau (taksiran awal ) dapat dihitung sebagai berikut:
3. jika maka akar akar adalah
4. Apabila , maka jika tidak maka
5. ulangi langkah 2
Halaman : 2 / 30
ab
MULAI
a,b,t
ya
Gbr. Flow Chart Metode Setengah interval
Contoh Soal dan penyelesaian
Contoh 1
Persamaan : x3 + x2 - 4x - 2
batas error : 0.005
Interval [0:2]
========================
Halaman : 3 / 30
wfaf W adalah akarnya
Stop
tidak
Iterasi ke 1
Interval [0,2]
Nilai
Iterasi ke 2
Interval [1,2]
Nilai
= -2.375
Iterasi ke 3
Interval [1.5,2]
Halaman : 4 / 30
Iterasi ke 5
Interval [1.75,1875]
Nilai
= -0.01050
Iterasi ke 6
Interval [1.81250,0.875]
Nilai
= 0.29208
Halaman : 6 / 30
Iterasi ke 7
Interval [1.81250,1.8438]
Nilai
Iterasi ke 8
Interval [1.8125,1.8281]
Nilai 1.82032
)8281.18125.1(
2
)(7
baw
Iterasi ke 9
Halaman : 7 / 30
Interval [1.8125,1.8203]
Nilai
Karena
Maka akar persamaan adalah 1.8164
Contoh 2
Persamaan :
Batas error : 0.005
Interval : [1.2]
=======================================================
Iterasi ke 1
Interval [1.2]
nilai
Halaman : 8 / 30
Iterasi ke 4
Interval [1.625,1.75]
nilai
Iterasi ke 5
Interval [1.68750,1.75]
nilai
Halaman : 10 / 30
Iterasi ke 6
Interval [1.71875,1.75]
nilai
Iterasi ke 7
Interval [1.71875,1.7344]
nilai
Halaman : 11 / 30
Iterasi ke 8
Interval [1.7266,1.7344]
nilai
karena
akar persamaan adalah 1.7305
Contoh 3
Persamaan :
Batas error :0.05
Interval [1,2]
Iterasi ke 1
Interval [1,2]
Nilai
Halaman : 12 / 30
Iterasi ke 6
Interval [1.81250,1.84375]
Nilai
002689.0
13583.04)84375.1(384375.184375.1
13583.04)82813.1(382813.182813.1
0.006457
13583.04)82813.1(382813.182813.1
005.003125.084375.181250.1
13583.0484375.1384375.184375.1
198.0481250.1381250.181250.1
)()(
23)84375.1(
23)82813.1(
)82813.1()81250.1()()(
23)82813.1()(
23)84375.1(
23)81250.1(
ba
wa
w
ff
f
f
ffff
ff
ba
f
f
Halaman : 15 / 30
Iterasi ke 7
Interval [1.82813,1.84375]
Nilai
Iterasi ke 8
Interval [1.84375,1.83594]
Nilai
karena
Halaman : 16 / 30
Akar persamaan adalah : 1.839845
Contoh 4
Persamaan :
batas error : 0.005
Interval [0,1]
========================================
Iterasi ke 1
Interval [0:1]
Nilai
Iterasi ke 2
Interval [0.5,1]
Halaman : 17 / 30
Nilai
Iterasi ke 5
Interval [0.68750,0.75]
Nilai
Iterasi ke 6
Interval [0.68750,0.7188]
Halaman : 19 / 30
Nilai
Iterasi ke 7
Interval [0. 7031,0.7188]
Nilai
Iterasi ke 8
Interval [0. 7109,0.7188]
Halaman : 20 / 30
Nilai
Karena
Akar persamaan adalah 0.7114
Contoh 5
Persamaan :
batas error : 0.005
Interval [1:2]
========================================
Iterasi ke 1
Interval [1,2]
Nilai
Halaman : 21 / 30
Iterasi ke 4
Interval [1.125,1.25]
Nilai
Iterasi ke 5
Interval [1.125,1.18750]
Nilai
Halaman : 23 / 30
Iterasi ke 6
Interval [1.15625,1.18750]
Nilai
Iterasi ke 7
Interval [1.15625,1.17188]
Halaman : 24 / 30
Nilai
Iterasi ke 8
Interval [1.15625,1.1641]
Nilai
Karena
Akar persamaan adalah 1.160175
Penyelesaian dengan menggunakan program MatLab adalah sebagai berikut :
Listing Program :
%metode setengah interval
clear;
a=input('masukan a = ');
b=input('masukan b = ');
err=0.005;
Halaman : 25 / 30
w0=0;
eps=1;
i=0;
clc;
disp('Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval');
fprintf('Rentang awal [%5.4f,%5.4f] \n',a,b);
fprintf('Dengan tingkat kesalahan %7.5f \n\n',err);
disp('========================================================
======');
disp('Iterasi setengah interval error Interval
');
disp('========================================================
======');
while eps>=err
i=i+1;
f1=feval('ps',a);
w=(a+b)/2;
% disp(w);
f2=feval('ps',w);
if f1*f2 ==0
disp('w adalah akarnya');
elseif f1*f2<0
b=w;
else
a=w;
f1=f2;
end
fprintf('%2d %6.4f %5.4f [ %6.4f ;
%6.4f ]\n',i,w,eps,a,b);
eps=abs(w0-w);
w0=w;
Halaman : 26 / 30
end
disp('========================================================
==');
fprintf('akarnya adalah = %6.4f \n',w);
Dimana ps adalah fungsi persamaan yang dicari akarnya, misal :
Contoh Soal dan Penyelesaian Akar Persamaan Dari :
Contoh 1
Persamaan : x3 + x2 - 4x – 2 = 0
Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval
Rentang awal [0.0000,2.0000]
Dengan tingkat kesalahan 0.00500
==============================================================
Iterasi setengah interval error Interval
==============================================================
1 1.0000 1.0000 [ 1.0000 ; 2.0000 ]
2 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]
3 1.7500 0.5000 [ 1.7500 ; 2.0000 ]
4 1.8750 0.2500 [ 1.7500 ; 1.8750 ]
5 1.8125 0.1250 [ 1.8125 ; 1.8750 ]
6 1.8438 0.0625 [ 1.8125 ; 1.8438 ]
7 1.8281 0.0313 [ 1.8125 ; 1.8281 ]
8 1.8203 0.0156 [ 1.8125 ; 1.8203 ]
9 1.8164 0.0078 [ 1.8125 ; 1.8164 ]
==============================================================
akarnya adalah = 1.8164
Halaman : 27 / 30
function f=ps(x)
f=x^3+x^2-4;
Contoh 2
Persamaan : x3 + x2 - 3x – 3 = 0
Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval
Rentang awal [1.0000,2.0000]
Dengan tingkat kesalahan 0.00500
==============================================================
Iterasi setengah interval error Interval
==============================================================
1 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]
2 1.7500 1.5000 [ 1.5000 ; 1.7500 ]
3 1.6250 0.2500 [ 1.6250 ; 1.7500 ]
4 1.6875 0.1250 [ 1.6875 ; 1.7500 ]
5 1.7188 0.0625 [ 1.7188 ; 1.7500 ]
6 1.7344 0.0313 [ 1.7188 ; 1.7344 ]
7 1.7266 0.0156 [ 1.7266 ; 1.7344 ]
8 1.7305 0.0078 [ 1.7305 ; 1.7344 ]
==============================================================
akarnya adalah = 1.7305
Contoh 3
Persamaan : x3 + x2 - 3x – 4 = 0
Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval
Rentang awal [1.0000,2.0000]
Dengan tingkat kesalahan 0.00500
==============================================================
Iterasi setengah interval error Interval
==============================================================
1 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]
2 1.7500 1.5000 [ 1.7500 ; 2.0000 ]
3 1.8750 0.2500 [ 1.7500 ; 1.8750 ]
4 1.8125 0.1250 [ 1.8125 ; 1.8750 ]
Halaman : 28 / 30
5 1.8438 0.0625 [ 1.8125 ; 1.8438 ]
6 1.8281 0.0313 [ 1.8281 ; 1.8438 ]
7 1.8359 0.0156 [ 1.8281 ; 1.8359 ]
8 1.8320 0.0078 [ 1.8281 ; 1.8320 ]
==============================================================
akarnya adalah = 1.8320
Contoh 4
Persamaan : x2 + 2.1x – 2 = 0
Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval
Rentang awal [0.0000,1.0000]
Dengan tingkat kesalahan 0.00500
==============================================================
Iterasi setengah interval error Interval
==============================================================
1 0.5000 1.0000 [ 0.5000 ; 1.0000 ]
2 0.7500 0.5000 [ 0.5000 ; 0.7500 ]
3 0.6250 0.2500 [ 0.6250 ; 0.7500 ]
4 0.6875 0.1250 [ 0.6875 ; 0.7500 ]
5 0.7188 0.0625 [ 0.6875 ; 0.7188 ]
6 0.7031 0.0313 [ 0.7031 ; 0.7188 ]
7 0.7109 0.0156 [ 0.7109 ; 0.7188 ]
8 0.7114 0.0078 [ 0.7109 ; 0.7114 ]
==============================================================
akarnya adalah = 0.7114
Contoh 5
Persamaan : x2 + 4x – 6 = 0
Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval
Halaman : 29 / 30
Rentang awal [1.0000,2.0000]
Dengan tingkat kesalahan 0.00500
==============================================================
Iterasi setengah interval error Interval
==============================================================
1 1.5000 1.0000 [ 1.0000 ; 1.5000 ]
2 1.2500 1.5000 [ 1.0000 ; 1.2500 ]
3 1.1250 0.2500 [ 1.1250 ; 1.2500 ]
4 1.1875 0.1250 [ 1.1250 ; 1.1875 ]
5 1.1563 0.0625 [ 1.1563 ; 1.1875 ]
6 1.1719 0.0313 [ 1.1563 ; 1.1719 ]
7 1.1641 0.0156 [ 1.1563 ; 1.1641 ]
8 1.1602 0.0078 [ 1.1602 ; 1.1641 ]
==============================================================
akarnya adalah = 1.1602
--ooOoo--
Halaman : 30 / 30