sequential procedure for simultaneous estimation of several percentiles

8/9/2019 Sequential Procedure for Simultaneous Estimation of Several Percentiles

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S e q u e n t i a l P r o c e d u r e f o r S i m u l t a n e o u s

E s t i m a t i o n o f S e v e r a l P e r c e n t i l e s

K i m m o E . E . R a a t i k a i n e n

U n i v e r s i t y o f H e l s i n k i , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

T e o l l i s u u s k a t u 2 3 , S F - 0 0 5 1 0 H e l s i n k i , F i n l a n d

e - m a i l : K i m m o . R a a t i k a i n e n @ H e l s i n k i . F I

T e l e f a x : + 3 5 8 0 7 0 8 4 4 4 1

A b s t r a c t

P e r c e n t i l e s a r e c o n v e n i e n t i n d i c e s t o c h a r a c t e r i z e t h e e n t i r e r a n g e o f t h e v a l u e s o f s i m u l a t i o n o u t p u t s .

H o w e v e r , t h e y h a v e o n l y s e l d o m b e e n u s e d i n s i m u l a t i o n s t u d i e s . O n e o f t h e r e a s o n h a s b e e n t h e l a c k

o f s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e s , w h i c h a r e n e e d e d t o o b t a i n e s t i m a t e s o f p r e d e n e d a c c u r a c y .

I n t h i s p a p e r w e i n t r o d u c e a s e q u e n t i a l p r o c e d u r e f o r e s t i m a t i n g s e v e r a l p e r c e n t i l e s s i m u l t a n e o u s l y .

T h e p r o c e d u r e u s e s t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m t o e s t i m a t e t h e p e r c e n t i l e s . T h e v a r i a n c e s o f t h e

p e r c e n t i l e - e s t i m a t e s a r e e s t i m a t e d u s i n g a s p e c t r a l m e t h o d . S i n c e t h e m e t h o d a p p l i e s a B o n f e r r o n i

i n e q u a l i t y , t h e c o v a r i a n c e s b e t w e e n t h e p e r c e n t i l e - e s t i m a t e s a r e n o t n e e d e d . T h e p r o c e d u r e i s s h o w n

t o p r o d u c e e s t i m a t e s h a v i n g t h e p r e d e n e d a c c u r a c y i n e i g h t q u e u e i n g n e t w o r k m o d e l s , r e p r e s e n t i n g

m u l t i p r o g r a m m e d a n d t i m e - s h a r e d c o m p u t e r s y s t e m s .

K e y w o r d s : P e r c e n t i l e E s t i m a t i o n , V a r i a n c e E s t i m a t i o n , R u n L e n g t h C o n t r o l

1 . I n t r o d u c t i o n

I n m o s t s i m u l a t i o n s t u d i e s t h e m e a n v a l u e s o f o u t p u t d a t a h a v e b e e n a n a l y z e d . H o w e v e r , i n m a n y

s i t u a t i o n s t h e m e a n s p r o v i d e a n i n s u c e n t o r e v e n a m i s l e a d i n g c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e o u t p u t

d a t a . O n t h e c o n t r a r y , a s u i t a b l y s e l e c t e d s e t o f p e r c e n t i l e s r e e c t s a l l t h e e s s e n t i a l d i s t r i b u t i o n a l

f e a t u r e s o f t h e p h e n o m e n o n a n a l y z e d b y s i m u l a t i o n . P e r c e n t i l e s h a v e o n l y s e l d o m b e e n u s e d i n

M a n u s c r i p t o f p a p e r p u b l i s h e d i n T r a n s a c t i o n s o f t h e S o c i e t y f o r C o m p u t e r S i m u l a t i o n 7 , 1 ( M a r c h 1 9 9 0 ) : 2 1 { 4 4



2 K i m m o E . E . R a a t i k a i n e n :

s i m u l a t i o n s t u d i e s . W e b e l i e v e t h a t t h e r e a s o n i s t h e c o m p l e x i t y o f p e r c e n t i l e e s t i m a t i o n . T h e

c a l c u l a t i o n o f e s t i m a t e s h a s b e e n r e g a r d e d a s a t o o c u m b e r s o m e t a s k i n d i s c r e t e e v e n t s i m u l a t i o n .

T h e a c c u r a c y e s t i m a t i o n i s n o t a s i m p l e t a s k s i n c e t h e o u t p u t s e q u e n c e i s , i n g e n e r a l , a u t o c o r r e l a t e d .

T h e r e f o r e , s o p h i s t i c a t e d a p p r o a c h e s a r e n e c e s s a r y t o o b t a i n a n e s t i m a t e o f t h e a c c u r a c y . O n l y a

f e w p a p e r s h a v e b e e n p u b l i s h e d a b o u t t h e e s t i m a t i o n o f p e r c e n t i l e s i n s i m u l a t i o n c o n t e x t . M e t h o d s

o f e s t i m a t i n g a s i n g l e p e r c e n t i l e a n d i t s v a r i a n c e h a v e b e e n i n t r o d u c e d i n 9 , 1 5 , 2 0 , 2 1 , 7 ] . A l l

t h e s e m e t h o d s a r e b a s e d o n a x e d , p r e d e n e d l e n g t h o f o u t p u t s e q u e n c e .

O n e o f t h e b a s i c p r o b l e m s i n s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n o f p e r c e n t i l e s i s t h a t t h e w h o l e o u t p u t

s e q u e n c e m u s t b e s t o r e d a n d ( a t l e a s t p a r t i a l l y ) s o r t e d i f t h e e s t i m a t e s a r e b a s e d o n t h e o r d e r

s t a t i s t i c s . T h e P

2

a l g o r i t h m 1 0 ] s o l v e s t h e p r o b l e m i f a s i n g l e p e r c e n t i l e i s t o b e e s t i m a t e d .

T h e a l g o r i t h m e s t i m a t e s s i n g l e p e r c e n t i l e s w i t h o u t s t o r i n g a n d s o r t i n g t h e o b s e r v a t i o n s . I n 1 7 ]

w e i n t r o d u c e d t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m t h a t e s t i m a t e s s e v e r a l p e r c e n t i l e s s i m u l t a n e o u s l y . T h e

e x t e n s i o n i s i m p o r t a n t s i n c e a s i n g l e p e r c e n t i l e e s t i m a t e i s s u c i e n t o n l y i n a f e w s p e c i c s i t u a t i o n s .

T h e u s e o f s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e s w h e r e t h e l e n g t h o f a s i m u l a t i o n r u n i s n o t p r e -

d e n e d i s o f p r a c t i c a l i m p o r t a n c e . E s t i m a t e s p r o d u c e d b y a s i m u l a t i o n u s u a l l y h a v e a n a c c u r a c y

r e q u i r e m e n t d e t e r m i n e d b y t h e a p p l i c a t i o n . T h e a n a l y s t w a n t s t o o b t a i n e s t i m a t e s , w h i c h m e e t

h i s o r h e r a c c u r a c y r e q u i r e m e n t . R u n n i n g t h e s i m u l a t i o n l e s s t h a n i t i s n e c e s s a r y t o s a t i s f y t h e

a c c u r a c y r e q u i r e m e n t w o u l d n o t p r o v i d e t h e i n f o r m a t i o n n e e d e d . O n t h e o t h e r h a n d , l o n g e r r u n s

w o u l d b e a w a s t e o f c o m p u t i n g t i m e ; s e e a l s o t h e c o n c l u s i o n s i n 1 4 ] .

I n o n e - d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n s t h e a c c u r a c y r e q u i r e m e n t i s u s u a l l y g i v e n a s t h e m a x i m u m r e l -

a t i v e h a l f - w i d t h o f t h e c o n d e n c e i n t e r v a l . I n 1 8 ] w e p r o p o s e d a s e q u e n t i a l p r o c e d u r e f o r s i m u l -

t a n e o u s e s t i m a t i o n o f s e v e r a l p e r c e n t i l e s . T h e r e w e g e n e r a l i z e d t h e r e l a t i v e h a l f - w i d t h c r i t e r i o n t o

m u l t i d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n s u s i n g a r e l a t i v e E u c l e d i a n d i s t a n c e . I n t h i s p a p e r w e w i l l i n t r o d u c e

a n o t h e r s e q u e n t i a l p r o c e d u r e b a s e d o n a n o t h e r a c c u r a c y r e q u i r e m e n t .

W h e n a o n e - d i m e n s i o n a l e s t i m a t e

̂

s a t i s e s t h e g i v e n m a x i m u m r e l a t i v e h a l f - w i d t h c r i t e r i o n

o f t h e c o n d e n c e i n t e r v a l ( " ; ) , w e h a v e a c o n d e n c e o f a t l e a s t 1 ? t h a t t h e t r u e , u n k n o w n v a l u e

l i e s i n t h e i n t e r v a l ( 1 ? " )

̂

; ( 1 + " )

̂

] . I n m a n y s i t u a t i o n s t h e c o m p o n e n t s o f a m u l t i d i m e n s i o n a l

e s t i m a t e ,

̂

= (

̂

1

; : : : ;

̂

m

)

0

, a r e o f i n t e r e s t b o t h a s s i n g l e i n d e p e n d e n t v a l u e s a n d a s a v e c t o r . I n

s u c h a s i t u a t i o n i t i s n a t u r a l t o r e q u i r e t h a t a l l t h e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r s a t i s f y s i m u l t a n e o u s l y

a r e l a t i v e h a l f - w i d t h c r i t e r i o n .

I n t h i s s t u d y w e a p p l y t h e f o l l o w i n g a c c u r a c y r e q u i r e m e n t : T h e e s t i m a t e

̂

i s a c c u r a c t e e n o u g h ,

i f w e h a v e a c o n d e n c e o f a t l e a s t 1 ? t h a t t h e c o m p o n e n t s o f t h e t r u e u n k n o w n v e c t o r a r e i n

t h e i n t e r v a l s ( 1 ? "

1

)

̂

1

; ( 1 + "

1

)

̂

1

; : : : ; ( 1 ? "

m

)

̂

m

; ( 1 + "

m

)

̂

m

] o r , i n o t h e r w o r d s

P r f

1

?

̂

1

"

1

̂

1

; : : : ;

m

?

̂

m

"

m

̂

m

g 1 ?

H e n c e , t h e a c c u r a c y r e q u i r e m e n t i s s p e c i e d b y ( "

1

; : : : ; "

m

; )



S e q u e n t i a l P r o c e d u r e f o r S i m u l t a n e o u s E s t i m a t i o n o f S e v e r a l P e r c e n t i l e s 3

T h e c u r r e n t p r o c e d u r e h a s t h r e e i m p o r t a n t a d v a n t a g e s o v e r t h a t g i v e n i n 1 8 ] , w h i c h w a s t o

b e s t o f o u r k n o w l e d g e t h e r s t s e q u e n t i a l p r o c e d u r e f o r s i m u l t a n e o u s e s t i m a t i o n o f s e v e r a l p e r -

c e n t i l e s . F i r s t , o n l y v a r i a n c e s o f t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s , n o t t h e c o v a r i a n c e s b e t w e e n t h e m , n e e d

t o b e e s t i m a t e d . T h i s i s d u e t o t h e a p p l i e d a c c u r a c y r e q u i r e m e n t a l l o w i n g t h e u s e o f a B o n f e r r o n i

i n e q u a l i t y . S e c o n d l y , t h e s e q u e n c e l e n g t h n e e d n o t b e d o u b l e b e t w e e n s u c c e s s i v e t e s t s o f t e r m i -

n a t i o n c o n d i t i o n , s i n c e w e u s e s e g m e n t a t i o n i n t h e v a r i a n c e e s t i m a t i o n . T h e t h i r d a d v a n t a g e i s

i n t h e a s s u m p t i o n s a b o u t t h e s t o c h a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e o u t p u t s e q u e n c e . T h e p r o c e d u r e g i v e n

i n 1 8 ] a s s u m e d t h a t t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s h a v e a m u l t i n o r m a l l i m i t i n g d i s t r i b u t i o n . T h e c u r -

r e n t p r o c e d u r e a s s u m e s o n l y t h a t e a c h m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n i s a s y m p t o t i c a l l y n o r m a l . H e n c e t h e

u s u a l - m i x i n g c o n d i t i o n , n o t a s t r o n g e r o n e , s h o u l d b e s a t i s e d . T h e m e t h o d o f e s t i m a t i n g t h e

p e r c e n t i l e s , a n d t h e i r v a r i a n c e s a n d e v a l u a t i n g t h e a c c u r a c y m e a s u r e a r e d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g

s e c t i o n .

T h e s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t s a r e r e p o r t e d i n t h e l a s t s e c t i o n . W e a n a l y z e d t h e r e s p o n s e t i m e

s e q u e n c e s f r o m s i m u l a t i o n s o f e i g h t d i e r e n t q u e u e i n g n e t w o r k m o d e l s . T h e a n a l y z e d m o d e l s a r e

n e t w o r k s o f 2 { 6 s e r v e r s t h a t r e p r e s e n t m u l t i p r o g r a m m e d a n d t i m e - s h a r e d c o m p u t e r s y s t e m s . T h e

e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d i n t h r e e p h a s e s . T h e r s t t w o o f t h e m w e r e i n i t i a l v e r i c a t i o n s o f t h e

e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a n d t h e m e t h o d o f e s t i m a t i n g t h e v a r i a n c e s . I n t h e l a s t p h a s e s w e a p p l i e d

t h e p r o p o s e d s e q u e n t i a l p r o c e d u r e t o e s t i m a t e t h e 5 0

t h

, 7 5

t h

, a n d 9 0

t h

p e r c e n t i l e o f t h e r e s p o n s e

t i m e s f r o m e a c h o f t h e e i g h t m o d e l s .

2 . D e s c r i p t i o n o f t h e M e t h o d

W e a p p l y t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m t o e s t i m a t e s e v e r a l p e r c e n t i l e s s i m u l t a n e o u s l y . I n t h i s s e c t i o n

w e d e s c r i b e h o w t h e v a r i a n c e s o f p e r c e n t i l e e s t i m a t e s c a n b e e s t i m a t e d . I n a d d i t i o n , w e g i v e a n

a c c u r a c y r e q u i r e m e n t f o r m u l t i d i m e n s i o n a l e s t i m a t e s , s u c h a s a s e t o f p e r c e n t i l e s . F i n a l l y w e s h o w

h o w a m e c h a n i s m t o c o n t r o l t h e r u n l e n g t h o f s i m u l a t i o n c a n b e e s t a b l i s h e d u s i n g t h e e s t i m a t e d

v a r i a n c e s a n d a B o n f e r r o n i i n e q u a l i t y . B e f o r e t h e s e t o p i c s w e g i v e a s h o r t d e s c r i p t i o n o f t h e e x t e n d e d

P

2

a l g o r i t h m . T h e d e t a i l e d a l g o r i t h m i s g i v e n i n 1 7 ] .

E s t i m a t i n g P e r c e n t i l e s w i t h t h e E x t e n d e d P

2

A l g o r i t h m

A s t r a i g h t f o r w a r d m e t h o d o f e s t i m a t i n g p e r c e n t i l e s i s b a s e d o n s o r t i n g ( a t l e a s t p a r t i a l l y ) t h e

o b s e r v a t i o n s . S u p p o s e t h a t a s e q u e n c e o f N o b s e r v a t i o n s f X

j

g

N

1

i s a v a i l a b l e . L e t X

( j )

d e n o t e

t h e j

t h

o b s e r v a t i o n i n t h e o r d e r e d s e q u e n c e ; X

( 1 )

X

( 2 )

X

( N )

. I n o t h e r w o r d s , X

( j )

i s

t h e j

t h

o r d e r s t a t i s t i c . B a s e d o n t h e o r d e r s t a t i s t i c s t h e e s t i m a t e o f t h e 1 0 0 p

t h

p e r c e n t i l e , x

p

, i s

X

( 1 + ( N ? 1 ) p )

, w h e r e ] d e n o t e s r o u n d i n g t o t h e n e a r e s t i n t e g e r .




n

i ? 1

n

i

n

i + 1

a c t u a l p o s i t i o n

m a r k e r i - 1 m a r k e r i

u p d a t e d

m a r k e r i

m a r k e r i + 1

h e i g h t

q

i + 1

q

i

q

i ? 1

d e s i r e d

p o s i t i o n o f

m a r k e r i

l i n e a r a d j u s t -

m e n t n e c e s s a r y

i f n

i

+ 1 a n d d

i

i n t h i s i n t e r v a l

F i g u r e 1 : E x a m p l e o f M a r k e r U p d a t e

S i n c e d

i

n

i

? 1 , n

i

i s d e c r e a s e d b y 1 a n d n e w q

i

i s e v a l u a t e d .

I n s t e a d o f s t o r i n g a n d s o r t i n g t h e o b s e r v a t i o n s , t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a p p r o x i m a t e s t h e

i n v e r s e o f t h e e m p i r i c a l c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n b y a p i e c e w i s e - p a r a b o l a . T h e a p p r o x i m a -

t i o n i s d o n e b y m a i n t a i n i n g t h e ` m a r k e r i n f o r m a t i o n ' . E a c h m a r k e r h a s a h e i g h t , a n a c t u a l p o s i t i o n ,

a n d a d e s i r e d p o s i t i o n . E a c h m a r k e r i s a s s o c i a t e d w i t h t h e e s t i m a t i o n o f a s p e c i c p e r c e n t i l e .

S u p p o s e t h a t a m a r k e r i s u s e d t o e s t i m a t e t h e 1 0 0 p

t h

p e r c e n t i l e o f t h e s e q u e n c e f X

j

g

N

1

. N o w

t h e d e s i r e d p o s i t i o n o f t h e m a r k e r i s 1 + ( N ? 1 ) p . T h e a l g o r i t h m t r i e s t o k e e p t h e a c t u a l p o s i t i o n

o f t h e m a r k e r , n , c l o s e t o 1 + ( N ? 1 ) p ] . T h e h e i g h t a p p r o x i m a t e s t h e v a l u e o f X

( n )

a n d i s t h u s a n

e s t i m a t e o f x

p

S u p p o s e t h a t p e r c e n t i l e s x

p

1

; : : : ; x

p

m

a r e t o b e e s t i m a t e d . T h e a l g o r i t h m m a i n t a i n s m + 2 p r i n -

c i p a l m a r k e r s a n d m + 1 m i d d l e m a r k e r s . T h e p r i n c i p a l m a r k e r s a r e u s e d t o e s t i m a t e t h e m i n i m u m ,

t h e r e q u i r e d p e r c e n t i l e s , a n d t h e m a x i m u m . E a c h m i d d l e m a r k e r e s t i m a t e s t h e p e r c e n t i l e a t t h e

p o i n t m i d w a y b e t w e e n t w o a d j a c e n t p r i n c i p a l m a r k e r s . T h e o b j e c t i v e o f t h e m i d d l e m a r k e r s i s t o

s t a b i l i z e t h e u p d a t e s o f t h e m a r k e r i n f o r m a t i o n .

T h e m a r k e r s a r e u p d a t e d , i f n e c e s s a r y , a f t e r e a c h o b s e r v a t i o n . A f t e r N o b s e r v a t i o n s , t h e

a c t u a l a n d d e s i r e d p o s i t i o n s o f t h e m a r k e r s a t t h e m i n u m u m a n d a t t h e m a x i m u m a r e 1 a n d

N , r e s p e c t i v e l y . T h e i r h e i g h t s a r e t h e m i n i m u m a n d t h e m a x i m u m v a l u e s i n t h e s e q u e n c e . T h e




u p d a t i n g o f t h e a c t u a l a n d d e s i r e d p o s i t i o n s o f t h e o t h e r m a r k e r s i s s i m p l e . T h e a c t u a l p o s i t i o n o f

e a c h m a r k e r t h e h e i g h t o f w h i c h i s g r e a t e r t h a n t h e o b s e r v a t i o n i s i n c r e a s e d b y o n e . I f t h e a c t u a l

p o s i t i o n i s n o w o t o t h e l e f t o r t o t h e r i g h t o f i t s d e s i r e d p o s i t i o n b y m o r e t h a n o n e p o s i t i o n , t h e n

t h e h e i g h t a n d t h e a c t u a l p o s i t i o n a r e a d j u s t e d . T h e a d j u s t m e n t o f t h e m a r k e r h e i g h t i s d o n e u s i n g

e i t h e r a p i e c e w i s e - p a r a b o l i c o r a p i e c e w i s e - l i n e a r f o r m u l a . T h e p a r a b o l i c f o r m u l a i s p r e f e r a b l e b u t

s o m e t i m e s t h e l i n e a r f o r m u l a m u s t b e u s e d i n o r d e r t o k e e p t h e m a r k e r h e i g h t s i n a n o n d e c r e a s i n g

o r d e r . F i g u r e 1 d e m o n s t r a t e s t h e u p d a t i n g .

T h e p a r a b o l i c f o r m u l a a s s u m e s t h a t t h e c u r v e p a s s i n g t h r o u g h a n y t h r e e a d j a c e n t m a r k e r s

i s o f t h e f o r m q

i

= a n

2

i

+ b n

i

+ c , w h e r e q

i

i s t h e h e i g h t a n d n

i

i s t h e a c t u a l p o s i t i o n o f t h e

i

t h

m a r k e r . T h e m o v e m e n t o f t h e a c t u a l p o s i t i o n o f a m a r k e r i s a l w a y s o n l y o n e p o s i t i o n . T h e

p a r a b o l i c a d j u s t m e n t s a r e

q

i

q

i

+

d

n

i + 1

? n

i ? 1

( n

i

? n

i ? 1

+ d )

q

i + 1

? q

i

n

i + 1

? n

i

( 1 )

+ ( n

i + 1

? n

i

? d )

q

i

? q

i ? 1

n

i

? n

i ? 1

,

n

i

n

i

+ d ,

w h e r e d = 1 , i f t h e m o v e m e n t i s t o t h e r i g h t , a n d d = ? 1 , i f t h e m o v e m e n t i s t o t h e l e f t .

T h e l i n e a r a d j u s t m e n t s a r e

q

i

q

i

+ d

q

i + d

? q

i

n

i + d

? n

i

, ( 2 )

n

i

n

i

+ d

A l t h o u g h t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m p r o c e e d s o n l y o n e o b s e r v a t i o n a t a t i m e , w e c o l l e c t t h e

o b s e r v a t i o n s i n s e g m e n t s , e a c h o f l e n g t h N

b

. T h e r s t s e g m e n t i s u s e d t o i n i t i a l i z e t h e a l g o r i t h m .

T h e i n i t i a l i z a t i o n i s b a s e d o n t h e o r d e r s t a t i s t i c s . T h e a c t u a l p o s i t i o n s a r e i n i t i a l i z e d t o n

i

= d

i

,

w h e r e d

i

i s t h e d e s i r e d p o s i t i o n o f t h e i

t h

m a r k e r , i = 1 ; : : : ; 2 m + 3 . T h e n i t i s c h e c k e d t h a t t h e

a c t u a l p o s i t i o n s a r e s t r i c t l y i n c r e a s i n g . I f n o t , s o m e a d j u s t m e n t s m u s t b e m a d e . T h e h e i g h t s a r e

t h e n i n i t i a l i z e d t o q

i

= x

( n )

E s t i m a t i n g t h e V a r i a n c e o f P e r c e n t i l e E s t i m a t e s

A l t h o u g h o u r p e r c e n t i l e e s t i m a t e s a r e n o t b a s e d o n t h e o r d e r s t a t i s t i c s , w e u s e t h e a s y m p t o t i c

p r o p e r t i e s o f t h e o r d e r s t a t i s t i c s i n e s t i m a t i n g t h e v a r i a n c e s o f t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s . T h e

e m p i r i c a l r e s u l t s g i v e n i n 1 7 ] a n d t h i s p a p e r i n d i c a t e t h a t t h e b e h a v i o u r o f t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s

b a s e d o n t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a n d t h e o r d e r s t a t i s t i c s i s u s u a l l y v e r y s i m i l a r .




W h e n t h e o u t p u t s e q u e n c e f X

j

g

N

1

i s s t a t i o n a r y a n d s a t i s e s t h e - m i x i n g c o n d i t i o n , t h e p e r -

c e n t i l e e s t i m a t e ^ x

p

, b a s e d o n t h e o r d e r s t a t i s t i c , h a s a n o r m a l l i m i t i n g d i s t r i b u t i o n ( s e e A p p e n d i x

I ) . H e n c e , a s N b e c o m e s l a r g e , t h e v a r i a n c e o f ^ x

p

c a n b e a p p r o x i m a t e d b y

V a r ( ^ x

p

)

̂

h

p

( 0 )

.

?

N

̂

f ( ̂x

p

)

2

; ( 3 )

w h e r e

̂

f ( ̂x

p

) i s t h e e s t i m a t e d ( m a r g i n a l ) d e n s i t y o f t h e X

j

' s a t x

p

a n d

̂

h

p

( ! ) i s t h e e s t i m a t e d s p e c t r a l

d e n s i t y o f t h e b i n a r y p r o c e s s f I

j

( x

p

) g a t f r e q u e n c y ! :

I

j

( x

p

) =

(

1 , i f X

j

x

p

,

0 , i f X

j

> x

p

( 4 )

T h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a p p r o x i m a t e s t h e i n v e r s e o f t h e e m p i r i c a l c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n

f u n c t i o n b y a p i e c e w i s e - p a r a b o l a ,

̂

F

? 1

( y ) = a y

2

+ b y + c , i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f p . H e n c e t h e

d e n s i t y f u n c t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b y

̂

f ( x ) = ( b + 2 a

̂

F ( x ) )

? 1

i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f x

p

T h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e b i n a r y p r o c e s s f I

j

( x

p

) g h a s a c e n t r a l r o l e , w h e n t h e v a r i a n c e o f ^ x

p

i s e s t i m a t e d . T h e g e n e r a t i o n o f t h i s p r o c e s s r e q u i r e s t h a t t h e w h o l e s e q u e n c e f X

j

g i s a v a i l a b l e . T h e

p r o b l e m o f s t o r i n g t h e w h o l e s e q u e n c e i s a v o i d e d , w h e n f I

j

( x

p

) g i s a p p r o x i m a t e d b y t h e p r o c e s s

f

̂

I

j k

( ̂x

p

) g :

̂

I

j k

( ̂x

p

) =

(

1 , i f X

j k

̂x

p k

0 , o t h e r w i s e

; j = 1 ; : : : ; N

b

; k = 1 ; : : : ; K ; ( 5 )

w h e r e X

j k

i s t h e j

t h

i t e m i n t h e k

t h

s e g m e n t ( t h e j + ( k ? 1 ) N

b

t h

o b s e r v a t i o n ) , a n d ^ x

p k

i s t h e

e s t i m a t e o f x

p

b a s e d o n k s e g m e n t s ( k N

b

o b s e r v a t i o n s ) .

I n e a c h s e g m e n t w e e v a l u a t e t h e s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s ,

̂

h

k

( !

j

) , f o r j = 1 ; : : : ; n <

N

b

= ( 4 M + 2 ) b y a v e r a g i n g 2 M + 1 a d j a c e n t p e r i o d o g r a m v a l u e s o f t h e s e q u e n c e f

̂

I

j k

( ̂x

p

) g

N

b

j = 1

T h e o v e r a l l s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s a r e t a k e n a s

̂

̂

h

p

( !

j

) =

1

K

K

X

k = 1

̂

h

k

( !

j

) ; ( 6 )

w h e r e K i s t h e n u m b e r o f s e g m e n t s . F o r d e t a i l s , s e e A p p e n d i x I I .

A c o n v e n i e n t m e t h o d t o e s t i m a t e t h e s p e c t r a l d e n s i t y a t f r e q u e n c y 0 h a s b e e n d e v e l o p e d i n

8 ] . A l o w o r d e r p o l y n o m i a l i s t t e d t o t h e l o g a r i t h m s o f t h e s m o o t h e d p e r i o d o g r a m v a l u e s . W e

a p p l y a s i m i l a r r e g r e s s i o n a p p r o a c h t o c o n s t r u c t a n a p p r o x i m a t e l y u n b i a s e d e s t i m a t e o f h

p

( 0 ) ( s e e

A p p e n d i x I I I .




A c c u r a c y R e q u i r e m e n t f o r M u l t i d i m e n s i o n a l I n d e x

F o r a o n e - d i m e n s i o n a l i n d e x , s u c h a s t h e m e a n o r a s i n g l e p e r c e n t i l e p o i n t , t h e a c c u r a c y r e q u i r e -

m e n t i s u s u a l l y g i v e n a s t h e u p p e r b o u n d o f t h e r e l a t i v e h a l f - w i d t h " f o r t h e c o n d e n c e i n t e r v a l o f

l e v e l 1 ? . U s i n g t h i s r e q u i r e m e n t a n d a s y m p t o t i c n o r m a l i t y o f t h e e s t i m a t e

̂

t h e s i m u l a t i o n i s

c o n t i n u e d u n t i l

̂s =

̂

" = t

d

( 1 ? = 2 ) ; ( 7 )

w h e r e ^ s

2

i s t h e e s t i m a t e d v a r i a n c e o f

̂

w i t h d d e g r e e s o f f r e e d o m , a n d t

d

( 1 ? = 2 ) i s t h e 1 0 0 ( 1 ? = 2 )

t h

p e r c e n t i l e p o i n t o f S t u d e n t ' s t - d i s t r i b u t i o n w i t h d d e g r e e s o f f r e e d o m .

T h i s r e q u i r e m e n t c a n b e i n t e r p r e t e d a s P r f ?

̂

"

̂

g 1 ? . I n o t h e r w o r d s , w e h a v e a

c o n d e n c e o f a t l e a s t 1 ? t o t r u s t t h a t t h e t r u e v a l u e i s i n t h e i n t e r v a l ( 1 ? " )

̂

; ( 1 + " )

̂

A

n a t u r a l e x t e n s i o n t o m u l t i d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n s , w h e r e t h e i n d e x o f i n t e r e s t i s = (

1

; : : : ;

m

)

0

,

i s t o r e q u i r e t h a t w e h a v e a c o n d e n c e o f a t l e a s t 1 ? t o t r u s t t h a t e a c h o f t h e c o m p o n e n t s i s i n

t h e i n t e r v a l ( 1 ? "

j

)

̂

j

; ( 1 + "

j

)

̂

j

] , i . e .

P r f

j

?

̂

j

"

j

̂

j

; j = 1 ; : : : ; m g 1 ? ( 8 )

U s i n g a B o n f e r r o n i i n e q u a l i t y ( s e e e . g . 1 1 , p . 4 1 ] ) i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e r e q u i r e m e n t ( 8 ) i s

s a t i s e d , i f

P r f

j

?

̂

j

"

j

̂

j

g 1 ?

j

a n d

m

X

j = 1

j

( 9 )

S u p p o s e t h a t t h e e s t i m a t e s a r e

̂

j

a n d t h e i r e s t i m a t e d v a r i a n c e s ^ s

2

j

, e a c h w i t h d

j

d e g r e e s

o f f r e e d o m . U s i n g t h e c o n d e n c e i n t e r v a l s b a s e d o n n o r m a l a p p r o x i m a t i o n s , P r f

j

?

̂

j

̂s

j

t

d

j

( 1 ?

j

= 2 ) g = 1 ?

j

, t h e p r o b a b i l i t i e s t h a t

j

?

̂

j

"

j

̂

j

c a n b e s o l v e d :

j

= 2 F

d

j

( ? "

j

̂

j

= ̂s

j

) ; ( 1 0 )

w h e r e F

d

( t ) i s t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e S t u d e n t t - d i s t r i b u t i o n w i t h d d e g r e e s

o f f r e e d o m . H e n c e t h e c r i t e r i o n t o t e r m i n a t e t h e s i m u l a t i o n i s

P

j

. I f t h e c r i t e r i o n i s n o t

s a t i s e d , a d d i t i o n a l s e g m e n t s o f o b s e r v a t i o n s m u s t b e g e n e r a t e d i n o r d e r t o o b t a i n e s t i m a t e s o f

a c c e p t a b l e a c c u r a c y .

I t i s n o t n e c e s s a r y t o e v a l u a t e t h e t e r m i n a t i o n c r i t e r i o n a f t e r e a c h s e g m e n t . S i n c e t h e ^ s

j

' s a r e

p r o p o r t i o n a l t o 1 =

p

K N

b

, w e c a n o b t a i n a r o u g h p r e d i c t i o n f o r t h e n u m b e r o f s e g m e n t s , K

0

, w h i c h

i s r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e t e r m i n a t i o n c r i t e r i o n :

K

0

= K

q

X

j

= ; ( 1 1 )




w h e r e K i s t h e c u r r e n t n u m b e r o f s e g m e n t s , a n d t h e

j

' s a r e b a s e d o n c u r r e n t e s t i m a t e s ,

̂

j

; ̂s

2

j

; d

j

S i n c e K

0

i s o n l y a r o u g h p r e d i c t i o n , w e a c t u a l l y p e r f o r m t h e n e x t t e r m i n a t i o n t e s t a f t e r K

0 0

s e g -

m e n t s , w h e r e

K

0 0

= m i n f 2 K ; m a x f K + 2 ; K

0

g g ( 1 2 )

I m p l e m e n t a t i o n D e t a i l s

T h e m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e h a s s e v e r a l i n t e r n a l a n d e x t e r n a l p a r a m e t e r s . T h e e x t e r n a l p a r a m e t e r s ,

t h e "

j

' s a n d a r e u s e d t o c o n t r o l t h e a c c u r a c y o f t h e e s t i m a t e s . T h e p r o b l e m o f c h o o s i n g s u i t a b l e

v a l u e s i s a p p l i c a t i o n d e p e n d e n t . H o w e v e r , o u r e x p e r i e n c e i s t h a t v a l u e s g r e a t e r t h a n 0 . 1 5 w i l l n o t

p r o v i d e s t a b l e e s t i m a t e s , s i n c e t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s a r e b a s e d o n a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s .

T h e i n t e r n a l p a r a m e t e r s a r e N

b

, M , a n d n , i . e . t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t s , t h e d e g r e e o f ` l o c a l '

a v e r a g i n g , a n d t h e n u m b e r o f f r e q u e n c i e s i n t h e r e g r e s s i o n . T h e r s t t w o o f t h e m a e c t t h e v a r i a n c e

a n d t h e b i a s o f t h e s p e c t r a l e s t i m a t e s . O u r e x p e r i e n c e i s t h a t N

b

= 5 1 2 o r 1 0 2 4 i s a r e a s o n a b e

c h o i c e . T h e d e g r e e o f ` l o c a l ' a v e r a g i n g s h o u l d b e l o w , s a y M = 0 o r 1 = 2 . H i g h e r v a l u e s o f M w i l l

p r o d u c e s e r i o u s l y b i a s e d e s t i m a t e s , i f N

b

i s n o t i n c r e a s e d . W i t h M = 1 = 2 w e h a v e f o u n d t h a t n

s h o u l d b e 2 1 { 3 5 . I f M = 0 , n s h o u l d b e s o m e w h a t g r e a t e r , a b o u t 3 5 { 5 0 . I n t h e e x p e r i m e n t s , w e

u s e d t h e f o l l o w i n g v a l u e s : N

b

= 5 1 2 , M = 1 = 2 , a n d n = 3 1 .

3 . E x p e r i m e n t a l R e s u l t s

I n t h e s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t s w e a n a l y z e d t h r e e d i e r e n t q u e s t i o n s . O u r p r i m a r y i n t e r e s t i s t h e

s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n o f s e v e r a l p e r c e n t i l e s s i m u l t a n e o u s l y . H o w e v e r , b e f o r e w e s t u d i e d t h e r u n

l e n g t h c o n t r o l m e c h a n i s m , w e w a n t e d t o b e s u r e t h a t t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a n d t h e v a r i a n c e

e s t i m a t i o n m e t h o d d o n o t i n t r o d u c e s e r i o u s e r r o r s . H e n c e , w e r s t a n a l y z e d t h e b e h a v i o u r o f

t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m . T h e o b j e c t i v e w a s t o n d o u t , w h e t h e r t h e e s t i m a t e s b a s e d o n t h e

p r o p o s e d a l g o r i t h m h a v e s i m i l a r r s t - a n d s e c o n d - o r d e r c h a r a c t e r i s t i c s a s t h e o r d e r s t a t i s t i c s . I n

t h e s e c o n d p h a s e w e s t u d i e d t h e p r o p e r t i e s o f t h e v a r i a n c e e s t i m a t i o n m e t h o d . F i n a l l y w e a n a l y z e d

t h e m e c h a n i s m t o c o n t r o l t h e l e n g t h o f s i m u l a t i o n r u n s .

A n a l y z e d M o d e l s

S i n c e o u r p r i m a r y i n t e r e s t i s i n m o d e l l i n g c o m p u t e r s y s t e m s , w e s e l e c t e d m o d e l s , w h i c h r e p r e s e n t

t h e m . I n a l l t h e e x p e r i m e n t s w e a n a l y z e d p e r c e n t i l e s o f t h e r e s p o n s e t i m e s f r o m e i g h t d i e r e n t

m o d e l s . T h e m o d e l s a r e u s e d i n m a n y s i m u l a t i o n s t u d i e s , f o r e x a m p l e i n 1 2 , 1 3 , 1 9 , 8 ] . F i g u r e 2

c o n t a i n s a s u m m a r y o f t h e m o d e l s .

M o d e l s 1 { 4 a r e t h e s o c a l l e d B u z e n m o d e l s 5 ] . T h e y r e p r e s e n t a m u l t i p r o g r a m m e d c o m p u t e r

s y s t e m , w h e r e t h e n u m b e r o f a c t i v e t a s k s i s c o n s t a n t ( N ) . A l l t h e s e r v i c e t i m e s a r e e x p o n e n t i a l l y




M o d e l s 1 { 4

>

I O - 1

>

C P U

>

I O - 2

M o d e l 1 2 3 4

N 4 8 8 8

S

C P U

1 1 1 1

S

I O 1

2 2 2 . 2 2 0 . 5 6

S

I O 2

2 2 2 0 5

p

I O 1

0 . 5 0 . 5 0 . 9 0 . 9

p

I O 2

0 . 5 0 . 5 0 . 1 0 . 1

M o d e l 5 : P o p u l a t i o n 3 5

T T Y

<

u n n i s h e d j o b s

_

>

C P U

N o d e T y p e S e r v . R a t e

T T Y I S 0 . 0 4

C P U R R * 1 . 2 5

* q u a n t u m . 1 ; o v e r h e a d . 0 1 5

M o d e l 6 : P o p u l a t i o n 4 0

T T Y

<

>

C P U

>

I O

N o d e T y p e S e r v . D i s t r .

T T Y I S E x p ( 1 / 3 0 )

C P U P S H

2

( 0 3 ; 0 8 ; 1 2 5 )

I O I S E x p ( 2 )

M o d e l s 7 a n d 8

T T Y

<

>

I O - 1

>

I O - 2

̂

>

C P U

>

I O - 3

>

I O - 4

M o d e l 7 8

P o p u l a t i o n 2 5 2 5

S

T T Y

1 0 0 1 0 0

S

C P U

1 1

S

I O 1

= S

I O 2

1 . 3 9 5 . 5 6

S

I O 3

= S

I O 4

1 2 . 5 2 5

p

T T Y

0 . 2 0 . 2

p

I O 1

= p

I O 2

0 . 3 6 0 . 3 6

p

I O 3

= p

I O 4

0 . 0 4 0 . 0 4

F i g u r e 2 : A n a l y z e d M o d e l s



1 0 K i m m o E . E . R a a t i k a i n e n :

d i s t r i b u t e d w i t h m e a n s S

C P U

, S

I O 1

, a n d S

I O 2

. A f t e r c o m p l e t i o n o f s e r v i c e a t t h e C P U { n o d e t h e

t a s k e n t e r s e i t h e r o f t h e I O { n o d e s . T h e I O { n o d e i s s e l e c t e d a c c o r d i n g t o p r o b a b i l i t i e s p

I O 1

a n d

p

I O 2

. W h e n a t a s k l e a v e s a n I O { n o d e , a n e w t a s k s i m u l t a n e o u s l y e n t e r s t h e C P U { n o d e .

M o d e l s 5 { 8 r e p r e s e n t t i m e - s h a r i n g c o m p u t e r s y s t e m s . T h e c o l l e c t i o n o f u s e r t e r m i n a l s i s

m o d e l l e d a s a n i n n i t e s e r v e r ( T T Y { n o d e ) , w h e r e t h e w a i t i n g t i m e f o r t h e s e r v i c e i s a l w a y s z e r o .

I t s s e r v i c e t i m e r e p r e s e n t s t h e ` t h i n k i n g - t i m e ' b e t w e e n a t a s k c o m p l e t i o n a n d t h e a c t i v a t i o n o f t h e

n e x t o n e .

I n M o d e l 5 a l l t h e s e r v i c e t i m e s a r e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d . T h e s c h e d u l i n g p o l i c y i n t h e

C P U { n o d e i s r o u n d r o b i n : E a c h j o b r e c e i v e s s e r v i c e i n q u a n t u m s o f x e d s i z e . I f t h e s e r v i c e i s

n o t c o m p l e t e d i n a q u a n t u m , t h e j o b i s r e m o v e d i n t o t h e e n d o f t h e w a i t i n g q u e u e . T h i s m o d e l i s

t r e a t e d a n a l y t i c a l l y i n 1 ] . A d e t a i l e d s i m u l a t i o n s t u d y i s g i v e n i n 1 9 ] .

M o d e l 6 i s a v a r i a t i o n o f t h e ` s t a n d a r d ' q u e u e i n g n e t w o r k , w h e r e s e r v i c e t i m e s h a v e h i g h

v a r i a b i l i t y , s e e e . g . 2 5 ] . I n t h e C P U { n o d e s e r v i c e t i m e s a r e h y p e r e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d . A

h y p e r e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n , H

2

( ;

1

;

2

) , i s a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l C o x i a n d i s t r i b u t i o n .

T h e s e r v i c e t i m e i s a m i x t u r e o f t w o e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n s : E x p (

1

) w i t h p r o b a b i l i t y , a n d

E x p (

2

) w i t h p r o b a b i l i t y 1 ?

M o d e l s 7 a n d 8 a r e s o c a l l e d c e n t r a l s e r v e r m o d e l s a n a l y z e d i n 8 ] . A l l t h e s e r v i c e t i m e s a r e

e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n s S

C P U

, S

T T Y

, S

I O 1

, S

I O 2

, S

I O 3

, a n d S

I O 4

, r e s p e c t i v e l y .

A f t e r t h e c o m p l e t i o n o f s e r v i c e a t t h e C P U { n o d e t h e t a s k e i t h e r e n t e r s o n e o f t h e I O { n o d e s o r

l e a v e s t h e s y s t e m ( e n t e r s t h e T T Y { n o d e ) . T h e n o d e i s c h o s e n a c c o r d i n g t o p r o b a b i l i t i e s p

I O 1

,

p

I O 2

, p

I O 3

, p

I O 4

, a n d p

T T Y


P r o p e r t i e s o f t h e E x t e n d e d P

2

A l g o r i t h m

I n t h e r s t p h a s e o f t h e e x p e r i m e n t s , w e c o m p a r e d t h e r s t - a n d s e c o n d - o r d e r p r o p e r t i e s o f t h e

e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m t o t h o s e o f t h e o r d e r s t a t i s t i c s . W e g e n e r a t e d 1 0 1 i n d e p e n d e n t s e q u e n c e s

o f r e s p o n s e t i m e s u s i n g e a c h o f t h e e i g h t m o d e l s . T h e s e q u e n c e l e n g t h s w e r e 6 5 5 3 6 . I n e a c h

s e q u e n c e t h e 5

t h

, 1 0

t h

, 2 5

t h

, 5 0

t h

, 7 5

t h

, 9 0

t h

, a n d 9 5

t h

p e r c e n t i l e w e r e e s t i m a t e d w i t h t h e e x t e n d e d

P

2

a l g o r i t h m a n d t h e o r d e r s t a t i s t i c s u s i n g t h e r s t 1 0 2 4 , 2 0 4 8 , 4 0 9 6 , 8 1 9 2 , 1 6 3 8 4 , a n d 3 2 7 6 8

o b s e r v a t i o n s i n t h e s e q u e n c e a n d t h e n u s i n g t h e w h o l e s e q u e n c e . T h e i n i t i a l s t a t e w a s c o n s t r u c t e d

u s i n g t h e s t e a d y - s t a t e l o a d d i s t r i b u t i o n . I n a d d i t o n , a w a r m - u p p e r i o d o f r a n d o m l e n g t h ( u n i f o r m

i n 1 0 2 5 ; 2 0 4 8 ] ) w a s u s e d t o r e d u c e t h e i n i t i a l i z a t i o n b i a s .

T h e c o m p a r i s o n o f t h e r s t - o r d e r p r o p e r t i e s i s b a s e d o n p a i r e d d i e r e n c e s . W e c o n s t r u c t e d

t h e 9 0 % c o n c e n c e i n t e r v a l s f o r t h e d i e r e n c e s . T h e s e i n t e r v a l s i n d i c a t e s t h a t u s u a l l y t h e e s t i m a t e s

o b t a i n e d b y t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m a r e c l o s e t o t h o s e g i v e n b y t h e o r d e r s t a t i s t i c s . O n l y i n

t e n c a s e s ( o u t o f 8 7 7 = 3 9 2 ) z e r o d o e s n o t b e l o n g t o t h e i n t e r v a l . T h e s e c a s e s a r e t h e 9 0

t h



S e q u e n t i a l P r o c e d u r e f o r S i m u l t a n e o u s E s t i m a t i o n o f S e v e r a l P e r c e n t i l e s 1 1

p e r c e n t i l e i n M o d e l s 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , a n d 8 ; a n d t h e 9 5

t h

p e r c e n t i l e i n M o d e l s 1 , 5 , 7 , a n d 8 . T h e r u n

l e n g t h w a s 6 5 5 3 6 i n e a c h o f t h e s e c a s e s . T h e d i e r e n c e s a r e n o t o f p r a c t i c a l i m p o r t a n c e s i n c e t h e

m i d p o i n t s o f t h e c o n d e n c e i n t e r v a l a r e l e s s t h a n 0 . 5 % o f t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e c o r r e s p o n d i n g

p e r c e n t i l e .

I n a d d i t i o n t o t h e c o n d e n c e i n t e r v a l s , w e c o n s i d e r e d t h e m e a n r e l a t i v e d i e r e n c e s ,

n

X

i = 1

y

i

? x

i

=

n

X

i = 1

x

i

; ( 1 3 )

w h e r e t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s b a s e d o n P

2

a l g o r i t h m a r e d e n o t e d b y t h e y

i

' s a n d o n t h e o r d e r

s t a t i s t i c s b y t h e x

i

F i g u r e 3 v i s u a l i z e s t h e m e a n r e l a t i v e d i e r e n c e s . T h e g u r e i n d i c a t e s t h a t i n M o d e l s 3 a n d 8

t h e r e l a t i v e d i e r e n c e i n a s i n g l e p e r c e n t i l e e s t i m a t e m a y b e q u i t e l a r g e , w h e n t h e s e q u e n c e i s s h o r t .

B u t t h e o v e r a l l c o n c l u s i o n i s t h a t u s u a l l y t h e r e a r e n o d i e r e n c e o f p r a c t i c a l s i g n i c a n c e b e t w e e n

t h e e s t i m a t e s b a s e d o n t h e P

2

a l g o r i t h m a n d t h e o r d e r s t a t i s t i c s .

I n M o d e l s 3 a n d 8 , w h e r e t h e m a x i m u m r e l a t i v e d i s t a n c e s a r e c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n i n

t h e o t h e r m o d e l s , t h e I O { n o d e s a r e t h e ` b o t t l e n e c k s ' o f t h e s y s t e m . T h i s m e a n s t h a t t h e r e s p o n s e

t i m e s a r e d o m i n a t e d b y t h e t i m e s p e n t a t t h e I O { n o d e s . B o t h t h e m o d e l s h a v e t w o t y p e s o f I O {

n o d e s : f a s t e r a n d s l o w e r o n e s . T h e r a t i o s o f t h e s e r v i c e r a t e s a r e 1 : 9 i n M o d e l 3 a n d 1 : 4 5 i n

M o d e l 8 . H e n c e t h e r e s p o n s e t i m e d i s t r i b u t i o n i n M o d e l 3 i s e s s e n t i a l l y a m i x t u r e o f t w o q u i t e

d i e r e n t d i s t r i b u t i o n s . I n M o d e l 8 t h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d , s i n c e a t a s k c a n v i s i t t h e

I O { n o d e s s e v e r a l t i m e s . T h e r e s p o n s e t i m e d i s t r i b u t i o n i n t h i s c a s e i s a m i x t u r e o f s e v e r a l d i e r e n t

d i s t r i b u t i o n s , s o m e o f w h i c h a r e q u i t e d i e r e n t f r o m e a c h o t h e r .

S i n c e t h e e s t i m a t e d p e r c e n t i l e s w e r e b a s e d o n t h e s a m e s e q u e n c e s , t h e s t a n d a r d t e s t o f e q u a l

c o v a r i a n c e m a t r i c e s c a n n o t b e u s e d . I n s t e a d , w e t e s t e d t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e c o v a r i a n c e m a t r i x

o f t h e P

2

e s t i m a t e s i s e q u a l t o a g i v e n m a t r i x t h a t i s t h e s a m p l e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e e s t i m a t e s

b a s e d o n t h e o r d e r s t a t i s t i c s . T h e t e s t i s d e s c r i b e d i n 2 , p . 2 6 4 { 2 6 7 ] .

I n f o u r c a s e s ( o u t o f 8 7 = 5 6 ) t h e h y p o t h e s i s o f e q u a l c o v a r i a n c e m a t r i c e s w a s r e j e c t e d

a t t h e s i g n i c a n c e l e v e l 0 . 1 0 . T h e s e c a s e s w e r e M o d e l 3 r u n l e n g t h s b e i n g 4 0 9 6 a n d 1 6 3 8 4 , a n d

M o d e l 4 r u n l e n g t h s b e i n g 1 0 2 4 a n d 2 0 4 8 . T h e s e c a s e s w e r e e x a m i n e d i n d e t a i l s . I t t u r n e d o u t

t h a t i n M o d e l 4 t h e r e j e c t i o n s w e r e d u e t o o n e o r t w o o u t l i e r s . I n M o d e l 3 t h e s i t u a t i o n t u r n e d

o u t t o b e q u i t e c o m p l i c a t e d . W e a n a l y z e d t h e v a r i a n c e s a n d c o e c i e n t s o f c o r r e l a t i o n s s e p a r a t e l y .

W e o b s e r v e d t h a t t h e 9 0

t h

p e r c e n t i l e c a u s e d t h e r e j e c t i o n s . W h e n t h e h y p o t h e s i s o f t h e c o v a r i a n c e

m a t r i c e s b e i n g e q u a l w a s t e s t e d w i t h o u t t h e 9 0

t h

p e r c e n t i l e , t h e h y p o t h e s i s w a s n o t r e j e c t e d .

T h e 9 0

t h

p e r c e n t i l e i s p r o b l e m a t i c i n M o d e l 3 . S i n c e b o t h t h e I O { n o d e s a r e t h e ` b o t t l e n e c k s '

o f t h e s y s t e m , t h e r e s p o n s e t i m e d i s t r i b u t i o n i s e s s e n t i a l l y a m i x i t u r e o f t w o q u i t e d i e r e n t d i s t r i -

b u t i o n s , a n d t h e ` m i x i n g p r o b a b i l i t y ' h a p p e n s t o b e 0 . 9 . I n s i x c a s e s t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m




Model 1

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 5

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 2

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 6

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 3

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 7

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 4

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

Model 8

Q u a

n t i l e

R u n l e n g t h

.0 5 .1 0

.2 5 .5 0

.7 5 .9 0

.9 5

1 0 2 4

2 0 4 8

4 0 9 6

8 1 9 2

1 6 3 8

4

3 2 7 6

8

6 5 5 3

6

.0 2 . 0 4

.0 6

. 0 8

.1 0

F i g u r e 3 : M e a n R e l a t i v e D i e r e n c e s B e t w e e n E s t i m a t e d Q u a n t i l e s




p r o d u c e d e s s e n t i a l l y g r e a t e r e s t i m a t e s o f t h e 9 0

t h

p e r c e n t i l e t h a n t h e o r d e r s t a t i s t i c s . W h e n t h e s e

s e q u e n c e s w e r e e x a m i n e d , w e o b s e r v e d t h a t t h e i n i t i a l i z a t i o n o f t h e e x t e n d e d P

2

a l g o r i t h m w a s t h e

k e y p r o b l e m : T h e o r d e r s t a t i s t i c e s t i m a t e s o f h i g h p e r c e n t i l e s w e r e f a r a w a y f r o m t h e i r e x p e c t a -

t i o n s . S i n c e t h e u p d a t e s o f t h e P

2

e s t i m a t e s a r e s t a b i l i z e d b y t h e ` m i d d l e - m a r k e r s ' , t h e a l g o r i t h m

r e q u i r e s a l o n g s e q u e n c e t o r e c o v e r f r o m t h e i n i t i a l e r r o r d u e t o o r d e r s t a t i s t i c e s t i m a t e s .

D e s p i t e t h e s i g n i c a n t d i e r e n c e s i n q u i t e a f e w s e q u e n c e s , o u r o v e r a l l c o n c l u s i o n i s t h a t t h e

s e c o n d - o r d e r p r o p e r t i e s o f t h e P

2

e s t i m a t e s a r e u s u a l l y v e r y c l o s e t o t h o s e o f t h e e s t i m a t e s b a s e d o n

o r d e r s t a t i s t i c s . H e n c e , t h e v a r i a n c e e s t i m a t i o n m e t h o d c a n b e b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c v a r i a n c e s

o f s a m p l e p e r c e n t i l e s .

P r o p e r t i e s o f V a r i a n c e E s t i m a t e s

I n t h e s e c o n d p h a s e o f t h e e x p e r i m e n t s w e a n a l y z e d t h e p r o p e r t i e s o f t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s . W e

w e r e i n t e r e s t e d i n t h e a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y o f t h e e s t i m a t e d v a r i a n c e s . W e g e n e r a t e d 1 0 1 n e w

i n d e p e n d e n t s e q u e n c e s o f r e s p o n s e t i m e s f r o m t h e e i g h t m o d e l s . U s i n g s e q u e n c e l e n g t h s o f 1 0 2 4 ,

2 0 4 8 , 4 0 9 6 , 8 1 9 2 , 1 6 3 8 4 , 3 2 7 6 8 , a n d 6 5 5 3 6 w e e s t i m a t e d t h e 5

t h

, 1 0

t h

, 2 5

t h

, 5 0

t h

, 7 5

t h

, 9 0

t h

, a n d

9 5

t h

p e r c e n t i l e t o g e t h e r w i t h t h e i r v a r i a n c e s .

S i n c e t h e t r u e v a r i a n c e s o f t h e e s t i m a t e s a r e u n k n o w n , w e c o m p a r e t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s

b a s e d o n t h e p r o p o s e d m e t h o d t o t h e s a m p l e v a r i a n c e s o f t h e i n d e p e n d e n t r e p l i c a t i o n s . T h e r a t i o s

o f t h e m e a n s o f e s t i m a t e d v a r i a n c e s t o t h e r e p l i c a t i o n v a r i a n c e s a r e g i v e n i n T a b l e 1 . W i t h t h e

e x c e p t i o n o f M o d e l s 3 a n d 6 t h e p r o p o s e d v a r i a n c e e s t i m a t i o n m e t h o d s e e m s t o p r o d u c e r e a s o n a b l e

e s t i m a t e s o f v a r i a n c e s . I n M o d e l 3 t h e v a r i a n c e s o f a l l t h e p e r c e n t i l e s , b u t t h e 9 0

t h

o n e , a r e s e r i o u s l y

u n d e r e s t i m a t e d .

I n M o d e l 6 t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s b a s e d o n o u r m e t h o d a r e c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n t h e

r e p l i c a t i o n v a r i a n c e s , e s p e c i a l l y w h e n t h e s e q u e n c e b e c o m e s l o n g e r . W e f o u n d t h a t t h e r e p l i c a t i o n

v a r i a n c e s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e 9 5

t h

p e r c e n t i l e , a r e a l m o s t e q u a l f o r a l l t h e s e q u e n c e l e n g t h s .

W e a l s o f o u n d t h a t t h e p a r a m e t r i c a n d n o n p a r a m e t r i c c o n d e n c e i n t e r v a l s o f 9 0 % f o r t h e e s t i m a t e d

p e r c e n t i l e s o v e r l a p . T h e p a r a m e t r i c c o n d e n c e i n t e r v a l i s x 1 6 6 s , w h e r e x i s t h e r e p l i c a t i o n m e a n

a n d s

2

i s t h e r e p l i c a t i o n v a r i a n c e . T h e n o n p a r a m e t r i c c o n d e n c e i n t e r v a l i s ( x

( 6 )

; x

( 9 6 )

) . T h i s m a y

i n d i c a t e t h a t M o d e l 6 d o e s n o t s a t i s f y t h e - m i x i n g c o n d i t i o n .

T h e s t a b i l i t y o f t h e v a r i a n c e e s t i m a t e s i s m e a s u r e d u s i n g t h e i r c o e c i e n t o f v a r i a t i o n ( s t a n d a r d

d e v i a t i o n d i v i d e d b y m e a n ) , w h i c h a r e g i v e n i n T a b l e 2 . W i t h t h e e x p e c t i o n o f t h e 9 0

t h

p e r c e n t i l e

i n M o d e l 3 t h e c o e c i e n t s o f v a r i a t i o n s a r e n o t ( s t a t i s t i c a l l y ) s i g n i c a n t l y g r e a t e r t h a n t h o s e o f t h e

c o r r e s p o n d i n g

2

- d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s .




R u n L e n g t h

M o d e l P e r c e n t i l e 1 0 2 4 2 0 4 8 4 0 9 6 8 1 9 2 1 6 3 8 4 3 2 7 6 8 6 5 5 3 6

5 1 . 1 2 3 4 1 . 1 1 1 3 1 . 1 8 9 3 1 . 0 4 0 3 1 . 2 3 3 2 1 . 1 9 4 7 1 . 0 0 9 1

1 0 1 . 1 7 0 8 1 . 0 2 1 4 . 8 8 8 3 . 9 5 8 2 1 . 0 2 6 0 . 8 3 9 3 . 9 1 2 7

2 5 1 . 2 1 3 4 1 . 0 4 6 5 . 9 9 1 4 . 9 3 9 2 . 9 7 4 4 . 7 5 7 1 . 9 6 1 1

1 5 0 . 9 8 9 1 . 9 7 2 7 . 8 6 0 7 . 8 6 9 6 . 9 4 6 9 . 8 4 6 1 . 9 5 5 3

7 5 . 9 7 5 5 1 . 2 9 4 3 1 . 0 2 9 5 1 . 1 3 5 0 1 . 0 8 2 1 . 9 6 5 3 . 9 6 1 1

9 0 . 9 0 4 6 1 . 0 0 2 4 1 . 0 9 2 7 1 . 0 2 1 0 1 . 0 8 5 3 1 . 1 8 9 7 1 . 0 9 4 7

9 5 1 . 1 1 6 5 1 . 2 3 6 8 1 . 2 9 8 0 1 . 2 7 4 6 1 . 2 8 6 5 1 . 2 6 4 3 1 . 2 2 5 9

5 1 . 4 3 7 8 1 . 0 6 9 2 1 . 3 5 0 8 1 . 3 4 4 9 . 9 6 1 8 1 . 0 9 9 9 1 . 2 0 9 3

1 0 1 . 2 0 3 7 1 . 0 2 8 3 1 . 3 7 5 8 1 . 3 4 4 9 1 . 1 4 2 9 1 . 2 5 8 5 1 . 1 4 4 8

2 5 1 . 1 9 4 4 1 . 0 2 6 8 1 . 3 1 6 7 1 . 3 3 8 8 1 . 3 8 9 1 1 . 8 7 6 9 1 . 6 9 4 9

2 5 0 1 . 2 9 2 6 1 . 1 1 2 3 1 . 2 5 9 6 1 . 2 7 7 6 1 . 5 2 6 8 1 . 5 6 5 5 1 . 5 5 9 6

7 5 1 . 3 0 7 4 1 . 5 1 2 4 1 . 3 4 9 6 1 . 3 9 8 9 1 . 7 0 8 7 1 . 5 4 6 3 1 . 9 8 7 9

9 0 1 . 1 5 4 6 1 . 3 7 9 0 1 . 5 3 5 8 1 . 4 2 3 2 1 . 4 0 7 1 1 . 4 2 6 8 1 . 5 0 9 9

9 5 1 . 4 3 9 0 1 . 3 7 7 2 1 . 4 0 3 8 1 . 5 0 1 0 1 . 4 8 4 5 1 . 4 6 2 1 1 . 3 4 2 9

5 . 2 4 4 0 . 3 4 0 9 . 3 7 1 0 . 3 4 7 9 . 4 4 3 3 . 3 3 0 7 . 3 3 2 1

1 0 . 2 1 2 8 . 3 1 8 6 . 3 1 3 4 . 2 6 7 3 . 3 1 3 3 . 2 6 0 0 . 2 5 9 2

2 5 . 2 2 0 6 . 2 7 7 9 . 2 5 0 0 . 1 9 1 1 . 1 9 8 5 . 1 8 1 7 . 1 8 5 7

3 5 0 . 2 6 4 2 . 3 1 2 4 . 2 7 9 6 . 2 0 9 8 . 2 0 0 3 . 1 9 0 1 . 1 9 6 2

7 5 . 4 8 3 0 . 5 7 1 2 . 5 0 8 2 . 4 1 9 6 . 4 1 4 1 . 4 2 4 6 . 4 2 8 8

9 0 . 5 6 7 5 . 6 7 4 1 1 . 4 4 2 4 2 . 1 9 7 9 2 . 9 1 0 1 3 . 0 4 3 2 2 . 6 8 9 3

9 5 . 3 7 0 6 . 4 0 8 6 . 3 3 6 2 . 2 4 3 4 . 2 8 7 3 . 2 9 0 2 . 2 4 2 5

5 . 5 8 9 7 . 6 1 8 1 . 7 6 5 4 . 6 8 4 8 . 6 5 3 4 . 5 5 8 1 . 5 9 8 4

1 0 . 6 6 8 3 . 7 2 8 0 . 6 9 6 3 . 7 1 5 1 . 7 1 3 1 . 5 4 8 7 . 6 1 4 9

2 5 . 7 8 6 8 . 9 0 2 1 . 8 6 2 8 . 9 2 6 0 . 8 5 2 2 . 6 2 8 0 . 7 7 1 8

4 5 0 . 8 8 6 3 . 9 0 2 8 1 . 0 3 6 7 . 9 7 5 6 . 8 8 5 7 . 7 0 6 0 . 9 2 9 4

7 5 1 . 1 4 6 9 1 . 0 0 6 2 1 . 3 4 0 7 1 . 2 4 3 7 1 . 1 5 5 2 1 . 0 0 3 0 1 . 2 6 2 9

9 0 1 . 0 1 8 6 . 7 6 8 3 . 9 3 5 0 1 . 0 0 7 4 1 . 2 2 0 6 1 . 2 2 5 3 1 . 2 6 5 4

9 5 . 8 2 3 2 1 . 1 6 7 6 1 . 2 4 1 8 1 . 1 3 2 1 1 . 3 0 9 4 1 . 2 3 7 0 1 . 3 6 1 3

5 1 . 0 0 0 5 . 9 2 8 8 . 8 2 7 1 . 8 2 1 0 . 8 5 9 3 . 8 1 8 2 1 . 0 4 5 5

1 0 . 9 8 0 3 . 8 0 6 7 . 8 1 1 0 . 7 0 8 7 . 6 9 9 6 . 7 1 9 8 . 7 8 3 9

2 5 . 8 8 8 2 . 8 1 8 5 . 7 3 0 2 . 6 8 9 6 . 7 5 2 6 . 7 0 6 8 . 6 9 3 7

5 5 0 . 9 3 5 5 . 8 8 6 5 . 7 4 1 8 . 7 1 9 5 . 7 8 6 5 . 7 1 2 6 . 7 4 8 4

7 5 . 7 9 1 2 . 7 6 4 1 . 6 9 5 1 . 6 9 1 3 . 7 7 8 0 . 6 8 9 1 . 6 1 4 3

9 0 . 6 6 5 2 . 6 1 3 4 . 6 6 3 8 . 6 5 7 5 . 6 2 5 1 . 5 4 6 7 . 5 4 5 3

9 5 . 7 4 4 1 . 6 3 9 2 . 7 2 3 8 . 7 5 0 9 . 4 9 7 3 . 5 5 5 8 . 5 3 8 1

5 . 7 1 3 0 . 6 7 0 0 . 3 8 6 3 . 2 4 6 7 . 1 5 0 4 . 0 8 3 7 . 0 4 5 8

1 0 . 7 1 0 8 . 5 9 2 6 . 3 7 8 3 . 2 6 1 5 . 1 4 2 1 . 0 7 7 7 . 0 4 3 0

2 5 . 7 2 3 8 . 4 5 3 3 . 3 4 6 9 . 2 3 4 5 . 1 2 0 0 . 0 6 5 3 . 0 3 3 6

6 5 0 . 8 9 8 8 . 6 6 3 2 . 5 0 0 3 . 2 9 3 4 . 1 5 1 9 . 0 8 9 5 . 0 4 7 4

7 5 1 . 0 4 5 4 1 . 1 2 9 2 1 . 1 7 7 6 . 8 9 9 5 . 6 6 8 3 . 5 3 1 4 . 4 2 6 9

9 0 1 . 1 6 2 8 1 . 0 1 0 1 1 . 0 8 7 0 . 9 1 4 1 . 7 2 8 8 . 6 1 8 2 . 3 9 9 0

9 5 1 . 2 7 7 8 1 . 2 2 2 1 1 . 0 8 4 9 1 . 0 4 6 8 1 . 0 3 6 0 1 . 0 8 5 8 . 9 0 6 8

5 . 9 7 5 7 . 9 8 6 3 . 8 4 6 7 . 8 7 6 1 . 9 8 2 7 1 . 1 4 0 6 . 9 2 2 9

1 0 . 8 4 7 3 . 9 9 3 6 . 8 1 7 1 . 8 7 8 1 . 8 3 0 7 . 9 4 1 0 . 8 9 2 3

2 5 . 7 8 9 9 . 9 8 5 3 1 . 0 1 3 8 1 . 0 8 5 8 . 9 9 9 7 . 9 7 1 8 . 8 6 4 1

7 5 0 . 8 7 5 1 1 . 0 8 1 2 . 9 5 7 7 . 9 0 2 3 . 9 3 4 0 . 8 6 4 1 . 9 6 8 2

7 5 . 7 4 9 5 . 9 8 5 4 . 9 2 5 5 . 8 9 5 6 . 9 2 6 3 . 9 3 1 4 . 9 8 5 9

9 0 . 7 7 3 1 . 9 6 2 7 . 7 5 2 7 . 8 9 5 4 . 8 3 5 6 . 9 3 0 3 . 8 5 4 7

9 5 1 . 0 0 3 0 1 . 1 1 8 0 . 7 9 5 7 . 9 1 9 2 . 9 0 6 0 . 8 6 0 8 . 8 5 4 7

5 . 9 5 8 8 1 . 1 1 8 3 . 9 9 0 3 1 . 3 4 7 2 1 . 2 5 9 2 1 . 1 6 8 9 1 . 1 7 7 7

1 0 1 . 6 8 0 2 1 . 5 8 8 1 1 . 3 7 3 9 1 . 3 8 2 3 1 . 3 3 2 7 1 . 7 7 1 3 1 . 5 0 6 9

2 5 . 5 8 8 4 . 7 5 9 4 . 6 8 9 8 . 5 8 6 0 . 5 8 7 2 . 5 6 7 1 . 7 4 6 0

8 5 0 . 7 5 7 6 . 8 0 5 2 1 . 0 8 6 2 1 . 1 4 9 4 1 . 1 2 1 9 . 9 5 0 5 1 . 1 2 1 2

7 5 . 8 4 9 1 . 6 9 0 7 . 9 3 7 4 1 . 0 4 0 6 . 8 6 5 8 . 7 8 3 5 . 9 1 4 2

9 0 1 . 0 0 5 0 . 8 1 9 5 . 9 6 5 1 1 . 0 0 4 7 . 8 9 5 6 . 8 1 2 9 . 9 3 7 9

9 5 1 . 0 2 5 3 . 7 3 2 9 1 . 0 4 8 0 . 9 6 3 4 . 8 7 7 1 . 7 9 6 3 1 . 0 0 0 6

T a b l e 1 : R a t i o s o f t h e M e a n s o f E s t i m a t e d V a r i a n c e s t o R e p l i c a t i o n V a r i a n c e s




R u n L e n g t h

M o d e l P e r c e n t i l e 1 0 2 4 2 0 4 8 4 0 9 6 8 1 9 2 1 6 3 8 4 3 2 7 6 8 6 5 5 3 6

5 . 2 2 5 2 3 . 1 4 9 6 4 . 1 1 1 5 0 . 0 7 5 9 3 . 0 5 7 4 6 . 0 4 0 3 7 . 0 2 8 0 5

1 0 . 2 0 1 5 5 . 1 5 2 1 9 . 1 1 2 3 6 . 0 7 9 0 4 . 0 5 6 2 0 . 0 4 1 0 8 . 0 2 5 1 4

2 5 . 1 8 5 0 3 . 1 2 9 8 5 . 0 9 5 3 5 . 0 7 1 3 4 . 0 4 9 2 8 . 0 3 0 5 5 . 0 2 0 5 4

1 5 0 . 1 7 8 9 2 . 1 1 2 7 2 . 0 7 6 9 7 . 0 5 1 9 2 . 0 3 7 4 4 . 0 2 6 5 9 . 0 1 9 4 0

7 5 . 1 8 5 7 9 . 1 1 7 3 2 . 0 7 4 5 0 . 0 6 5 3 4 . 0 4 4 2 6 . 0 3 0 3 1 . 0 2 2 0 0

9 0 . 2 4 3 9 4 . 1 7 6 0 1 . 1 2 5 3 7 . 0 8 6 6 3 . 0 6 0 3 9 . 0 4 1 4 5 . 0 2 7 1 0

9 5 . 3 0 4 7 0 . 2 4 7 1 6 . 1 6 5 0 9 . 1 4 9 9 1 . 0 9 9 7 0 . 0 6 9 7 1 . 0 5 2 3 9

5 . 2 3 2 9 1 . 1 5 1 5 7 . 1 1 0 7 9 . 0 7 9 7 1 . 0 5 8 8 3 . 0 4 4 5 3 . 0 3 0 0 9

1 0 . 2 5 0 8 6 . 1 7 3 5 2 . 1 1 0 3 9 . 0 7 9 1 9 . 0 5 7 9 4 . 0 4 0 8 2 . 0 2 6 1 3

2 5 . 1 9 5 5 6 . 1 2 6 2 5 . 0 8 3 5 5 . 0 5 9 8 8 . 0 4 5 5 4 . 0 3 3 3 4 . 0 2 2 9 0

2 5 0 . 1 6 5 8 8 . 1 2 0 1 2 . 0 7 9 0 3 . 0 5 4 7 7 . 0 3 8 6 8 . 0 3 0 6 2 . 0 2 2 5 6

7 5 . 1 9 3 4 7 . 1 4 4 3 7 . 0 9 5 7 1 . 0 7 1 6 3 . 0 4 8 1 5 . 0 3 6 6 0 . 0 2 5 4 5

9 0 . 3 0 1 2 7 . 2 2 0 1 1 . 1 6 0 4 7 . 1 1 0 3 7 . 0 7 8 9 1 . 0 5 9 9 8 . 0 4 1 3 2

9 5 . 4 2 7 9 4 . 3 6 7 4 4 . 2 8 0 9 7 . 1 7 9 3 8 . 1 1 1 3 0 . 0 9 8 8 4 . 0 5 8 1 1

5 . 4 4 5 9 0 . 3 2 2 6 1 . 2 5 0 8 1 . 1 8 5 8 0 . 1 3 9 8 8 . 1 0 1 1 0 . 0 7 6 6 3

1 0 . 3 6 9 3 9 . 2 6 5 1 2 . 1 9 5 6 7 . 1 5 2 4 3 . 1 1 0 8 0 . 0 8 1 4 3 . 0 5 5 0 3

2 5 . 2 3 3 8 8 . 1 7 5 4 9 . 1 2 6 2 1 . 1 0 1 8 4 . 0 7 0 9 0 . 0 5 0 3 2 . 0 3 6 1 8

3 5 0 . 2 0 1 7 0 . 1 3 7 7 9 . 0 9 5 4 4 . 0 6 4 4 9 . 0 4 4 6 6 . 0 3 4 9 3 . 0 2 4 4 4

7 5 . 3 1 9 5 8 . 2 1 0 1 4 . 1 3 5 7 4 . 1 0 3 0 2 . 0 7 2 0 0 . 0 5 1 5 0 . 0 3 8 4 3

9 0 . 6 2 1 6 1 . 5 3 9 0 9 . 4 7 6 6 1 . 3 7 1 9 9 . 2 6 6 7 9 . 1 9 3 7 1 . 1 5 6 6 3

9 5 . 3 7 9 8 8 . 2 7 4 0 0 . 2 3 1 6 6 . 1 7 2 7 6 . 1 0 6 6 1 . 0 8 1 2 3 . 0 6 7 5 4

5 . 4 1 4 4 8 . 3 1 3 9 8 . 2 5 8 7 1 . 1 9 8 6 5 . 1 5 6 6 5 . 0 9 4 0 6 . 0 6 6 6 2

1 0 . 3 0 1 8 6 . 2 3 1 8 4 . 1 7 1 9 8 . 1 2 6 2 5 . 0 9 3 7 0 . 0 6 1 0 8 . 0 4 3 7 1

2 5 . 1 9 4 7 3 . 1 4 1 0 4 . 0 9 8 7 3 . 0 7 7 7 7 . 0 5 1 6 8 . 0 3 6 7 2 . 0 2 8 3 9

4 5 0 . 1 7 3 0 1 . 1 2 3 2 8 . 0 9 2 9 8 . 0 6 1 8 0 . 0 4 2 8 5 . 0 3 0 1 2 . 0 2 3 1 3

7 5 . 2 2 0 3 4 . 1 5 7 4 2 . 1 1 4 6 1 . 0 7 7 9 9 . 0 5 7 3 2 . 0 3 7 5 7 . 0 2 4 2 2

9 0 . 2 6 9 5 9 . 2 0 5 7 9 . 1 7 4 2 4 . 1 1 0 1 9 . 0 9 0 0 9 . 0 6 2 2 5 . 0 4 4 5 5

9 5 . 5 2 7 4 9 . 3 5 6 5 7 . 2 7 5 6 0 . 2 1 6 6 8 . 1 8 9 1 0 . 1 2 7 1 0 . 0 8 1 2 9

5 . 2 6 7 3 5 . 2 2 2 9 2 . 1 6 1 0 3 . 1 2 1 3 8 . 0 8 6 4 2 . 0 6 3 5 6 . 0 4 7 7 3

1 0 . 2 5 4 1 1 . 1 7 9 1 6 . 1 1 8 9 8 . 0 9 4 5 5 . 0 6 2 3 4 . 0 4 3 8 0 . 0 3 1 9 4

2 5 . 1 9 7 4 6 . 1 4 7 1 3 . 1 0 0 6 5 . 0 7 0 3 5 . 0 4 7 3 0 . 0 3 5 7 1 . 0 2 8 4 0

5 5 0 . 1 6 4 5 8 . 1 1 0 4 7 . 0 7 3 7 7 . 0 5 4 3 6 . 0 3 5 5 9 . 0 2 9 1 9 . 0 2 1 6 8

7 5 . 1 8 2 5 6 . 1 2 4 4 7 . 0 8 6 4 6 . 0 6 3 3 9 . 0 4 7 2 7 . 0 3 7 4 5 . 0 2 3 0 4

9 0 . 2 5 6 0 8 . 2 0 7 7 6 . 1 4 4 2 8 . 0 9 3 6 8 . 0 8 0 0 9 . 0 5 3 5 0 . 0 3 7 9 8

9 5 . 3 6 9 2 5 . 3 0 2 8 1 . 2 5 6 1 6 . 1 6 7 2 8 . 1 4 8 9 4 . 1 1 7 1 0 . 0 8 6 8 1

5 . 2 1 1 3 6 . 1 4 1 2 7 . 1 1 9 7 9 . 0 8 9 7 4 . 0 7 9 5 8 . 0 7 0 3 0 . 0 6 5 1 9

1 0 . 2 2 7 7 9 . 1 6 9 6 3 . 1 1 2 6 7 . 0 8 0 5 0 . 0 7 1 3 2 . 0 6 1 1 5 . 0 5 0 4 9

2 5 . 1 8 5 0 6 . 1 3 6 4 8 . 0 8 7 2 1 . 0 7 1 2 6 . 0 5 4 6 5 . 0 4 8 3 9 . 0 4 1 7 9

6 5 0 . 1 6 5 7 4 . 1 1 7 9 5 . 0 7 7 0 3 . 0 5 9 3 8 . 0 4 7 3 9 . 0 3 8 2 5 . 0 3 1 4 1

7 5 . 1 8 4 8 1 . 1 4 1 1 8 . 1 0 1 8 5 . 0 6 9 8 6 . 0 4 8 5 8 . 0 3 8 7 8 . 0 3 1 7 0

9 0 . 2 4 1 9 9 . 1 8 3 0 8 . 1 3 8 5 4 . 1 0 9 4 6 . 0 9 6 8 0 . 0 8 3 2 8 . 0 8 4 0 2

9 5 . 3 3 1 5 8 . 2 6 6 0 1 . 2 1 3 9 8 . 1 5 0 7 9 . 1 0 8 2 6 . 0 7 6 1 3 . 0 6 4 3 1

5 . 3 1 2 0 3 . 2 0 3 4 2 . 1 4 3 7 0 . 1 0 2 1 9 . 0 8 1 9 2 . 0 5 5 7 0 . 0 4 0 3 0

1 0 . 2 2 3 5 2 . 1 8 2 8 4 . 1 4 6 8 2 . 0 9 4 3 9 . 0 6 7 5 2 . 0 4 5 7 9 . 0 3 2 9 4

2 5 . 2 0 5 0 5 . 1 3 1 9 7 . 0 9 2 6 1 . 0 5 9 7 5 . 0 4 6 5 1 . 0 3 3 7 2 . 0 2 4 5 1

7 5 0 . 1 9 6 4 4 . 1 2 6 4 7 . 0 8 6 4 1 . 0 5 7 5 7 . 0 4 3 0 6 . 0 2 8 7 0 . 0 2 2 0 6

7 5 . 1 8 7 2 0 . 1 3 1 6 8 . 1 0 2 8 6 . 0 6 9 6 7 . 0 5 1 0 8 . 0 3 1 7 1 . 0 2 5 9 4

9 0 . 2 8 7 7 1 . 2 0 2 8 9 . 1 4 6 3 8 . 0 9 7 4 8 . 0 6 1 2 7 . 0 4 6 2 3 . 0 3 2 4 3

9 5 . 3 0 2 0 3 . 2 8 3 8 7 . 2 2 7 3 4 . 1 4 2 6 4 . 1 1 0 8 9 . 0 8 1 0 0 . 0 5 8 8 3

5 . 2 1 4 1 1 . 1 4 7 8 0 . 1 0 5 8 2 . 0 7 9 6 7 . 0 5 4 8 8 . 0 3 9 5 5 . 0 2 8 2 6

1 0 . 2 3 7 5 7 . 1 6 8 6 8 . 1 2 0 1 4 . 0 9 9 3 2 . 0 7 1 5 5 . 0 4 4 1 0 . 0 2 7 8 1

2 5 . 2 1 8 6 4 . 1 3 8 4 7 . 0 9 3 5 7 . 0 6 9 8 1 . 0 5 2 5 3 . 0 3 7 6 3 . 0 2 4 4 0

8 5 0 . 1 8 3 2 1 . 1 1 9 4 7 . 0 7 5 7 4 . 0 5 5 3 0 . 0 3 9 9 4 . 0 2 7 9 0 . 0 1 8 3 4

7 5 . 2 1 1 8 7 . 1 3 5 2 6 . 0 9 0 8 2 . 0 6 6 0 7 . 0 5 3 6 4 . 0 3 7 8 7 . 0 2 2 5 1

9 0 . 2 3 8 9 9 . 1 7 5 4 1 . 1 1 8 6 6 . 0 8 0 9 7 . 0 6 2 8 0 . 0 4 3 4 5 . 0 3 0 6 3

9 5 . 2 7 8 0 2 . 2 1 4 1 3 . 1 6 2 9 0 . 1 3 3 6 3 . 1 0 2 4 5 . 0 6 3 8 2 . 0 4 7 2 3

T a b l e 2 : C o e c i e n t s o f V a r i a t i o n t o E s t i m a t e d V a r i a n c e s




M o d e l 1 2 3 4 5 6 7 8

R u n L e n g t h

M e a n 1 1 2 5 1 6 4 2 1 3 0 7 9 1 7 4 4 8 0 7 0 2 8 7 9 6 3 6 7 3 4 4 7

S t . d e v i a t . 3 0 6 5 6 0 6 5 1 3 5 8 6 6 9 5 1 0 0 5 2 0 3 5 9 5 2

C o v e r a g e . 9 4 . 9 5 . 8 7 . 9 9 . 9 0 . 9 1 . 9 6 . 9 4

F r a c t i o n o f o u t l i e r s

i n a l l d i m e n s i o n s 0 0 0 0 . 0 2 0 0 0

i n t w o d i m e n s i o n s . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 4 . 0 1 0 0

i n o n e d i m e n s i o n . 0 5 . 0 5 . 1 1 . 0 1 . 0 4 . 0 8 . 0 4 . 0 6

T a b l e 3 : S u m m a r y o f S e q u e n t i a l E s t i m a t i o n R u n s

S e q u e n t i a l E s t i m a t i o n o f S e v e r a l P e r c e n t i l e s

I n t h e l a s t p h a s e o f t h e e x p e r i m e n t s w e e s t i m a t e d t h e 5 0

t h

, 7 5

t h

, a n d 9 0

t h

p e r c e n t i l e o f t h e r e s p o n s e

t i m e f r o m t h e e i g h t m o d e l s u s i n g t h e p r o p o s e d s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e . T h e a c c u r a c y

r e q u i r e m e n t w a s " = 0 1 f o r e a c h p e r c e n t i l e a n d = 0 1 . A h e u r i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e u s e d

r e q u i r e m e n t i s t h a t t h e r e l a t i v e e r r o r s o f a l l t h e e s t i m a t e s a r e l e s s t h a n 1 0 % w i t h a p r o b a b i l i t y n o t

l e s s t h a n 0 . 9 0 . T h e m i n i m u m r u n l e n g t h w a s 1 0 2 4 .

W i t h e a c h o f t h e e i g h t m o d e l s w e c a r r i e d o u t 1 0 1 i n d e p e n d e n t r e p l i c a t i o n s . S i n c e t h e t r u e

v a l u e s o f p e r c e n t i l e s a r e u n k n o w n , w e u s e d t h e m e a n s o f t h e o r d e r s t a t i s t i c e s t i m a t e s ( p h a s e o n e o f

t h e e x p e r i m e n t s ) a s t h e ` e x a c t ' v a l u e s .

A s u m m a r y o f t h e s e s e q u e n t i a l s i m u l a t i o n r u n s i s g i v e n i n T a b l e 3 . T h e t a b l e c o n t a i n s t h e

m e a n s a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e r u n l e n g t h s , c o v e r a g e s , a n d f r a c t i o n s o f o u t l i e r s . W i t h t h e

e x c e p t i o n o f M o d e l 3 , t h e r u n l e n g t h s a r e q u i t e s h o r t a n d s t a b l e .

T h e c o v e r a g e i s t h e f r a c t i o n o f r u n s , w h e r e a l l t h e e s t i m a t e s a r e a c c u r a t e e n o u g h , i . e .

j

?

̂

j

"

̂

j

f o r a l l j , w h e r e t h e

̂

j

' s a r e t h e e s t i m a t e d p e r c e n t i l e s a n d t h e

j

' s a r e t h e i r ` e x a c t ' v a l u e s .

O n l y i n M o d e l 3 t h e o b s e r v e d c o v e r a g e i s l e s s t h a n 0 . 9 , i . e . 1 ? . H o w e v e r , i f w e r e p e a t a B e r n o u l l i

t r i a l , w h e r e t h e p r o b a b i l i t y o f s u c c e s s i s 0 . 9 , 1 0 1 t i m e s , 8 8 i s n o t a s t a t i s t i c a l l y e x c e p t i o n a l r e s u l t .

I n f a c t , t h e 9 5 % c o n d e n c e i n t e r v a l f o r t h e n u m b e r o f s u c c e s s e s i s 8 5 ; 9 7 ] .

T h e f r a c t i o n s o f o u t l i e r s a r e c l a s s i e d i n t o t h r e e c a t h e g o r i e s . T h e y c o r r e s p o n d t o t h e n u m b e r

o f d i m e n s i o n s , i n w h i c h t h e e s t i m a t e s d o n o t s a t i s f y t h e g i v e n a c c u r a c y r e q u i r e m e n t . O n l y i n M o d e l

5 t h e r e a r e e s t i m a t e s , w h i c h a r e o u t l i e r s i n a l l o f t h e t h r e e d i m e n s i o n s .

F i g u r e s 4 a a n d 4 b g i v e a v i s u a l i z a t i o n o f t h e o b t a i n e d p e r c e n t i l e e s t i m a t e s . T h e t h r e e -

d i m e n s i o n a l e s t i m a t e s a r e p r o j e c t e d o n t h e f a c e s o f a c u b e . O n e a c h o f t h e t h r e e v i s i b l e f a c e s

a t w o - d i m e n s i o n a l ( m a r g i n a l ) s c a t t e r - p l o t i s p a s t e d . ( F o r d e t a i l s , s e e 2 3 ] . ) T h e p l o t a r e a s a r e




Model 1

4.24

5.3

ˆ x0.5 6.36

6.32

7.9

9.48

8.8

11

ˆ x0.9

13.2

6.32

ˆ x0.75

7.9

9.48

6.36

5.3

4.2413.2

11

8.8

Model 2

7.36

9.2

ˆ x0.5 11.04

10.4

13

15.6

13.6

17

ˆ x0.9

20.4

10.4

ˆ x0.75

13

15.6

11.04

9.2

7.3620.4

17

13.6

Model 3

8.8

11

ˆ x0.5 13.2

13.6

17

20.4

21.6

27

ˆ x0.9

32.4

13.6

ˆ x0.75

17

20.413.2

11

8.832.4

27

21.6

Model 4

5.76

7.2

ˆ x0.5 8.64

7.68

9.6

11.52

10.4

13

ˆ x0.9

15.6

7.68

ˆ x0.75

9.6

11.528.64

7.2

5.7615.6

13

10.4

F i g u r e 4 a : E s t i m a t e d P r e r c e n t i l e s




Model 5

4.08

5.1

ˆ x0.5 6.12

8.8

11

13.2

16

20

ˆ x0.9

24

8.8

ˆ x0.75

11

13.2

6.12

5.1

4.0824

20

16

Model 6

0.44

0.55

ˆ x0.5 0.66

0.96

1.2

1.44

2

2.5

ˆ x0.9

3

0.96

ˆ x0.75

1.2

1.44

0.66

0.55

0.443

2.5

2

Model 7

17.6

22

ˆ x0.5 26.4

41.6

52

62.4

76.8

96

ˆ x0.9

115.2

41.6

ˆ x0.75

52

62.426.4

22

17.6115.2

96

76.8

Model 8

80

100

ˆ x0.5 120

192

240

288

344

430

ˆ x0.9

516

192

ˆ x0.75

240

288120

100

80516

430

344

F i g u r e 4 b : E s t i m a t e d P r e r c e n t i l e s




j

2 0 % . E s t i m a t e s , w h i c h a r e o u t o f t h e p l o t a r e a , a r e s h o w n a s b u l l e t s ( ) o n t h e f r a m e s . T h e

p a r a l l e l o g r a m s o n t h e f a c e s c o r r e s p o n d t o

j

1 0 % . W i t h t h e e x c e p t i o n o f M o d e l 3 , t h e r e a r e n o

s e r i o u s d e p a r t u r e s f r o m t h e ` e x a c t ' v a l u e s o f p e r c e n t i l e s . I n M o d e l 3 , t h e e s t i m a t e d m e d i a n s e x c e e d

t h e i r e x p e c t a t i o n b y m o r e t h a n 2 0 % i n t h r e e c a s e s .

4 . C o n c l u s i o n s

T h e o v e r a l l c o n s l u s i o n f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s i s t h a t t h e p r o p o s e d s e q u e n t i a l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e

p r o v i d e s t h e p e r c e n t i l e e s t i m a t e s w i t h i n t h e r e q u i r e d a c c u r a c y . W e h a v e r e p o r t e d v a r i o u s d i c u l t i e s

i n o n e o f t h e e i g h t m o d e l s . W e h a v e n o t t r i e d t o u s e a n y o t h e r m e t h o d t o a n a l y z e t h a t s y s t e m .

H o w e v e r , o u r i n t u i t i v e b e l i e f i s t h a t t h e m o d e l w o u l d b e d i c u l t a l s o t o o t h e r m e t h o d s , s i n c e i t s

r e s p o n s e t i m e d i s t r i b u t i o n i s e s s e n t i a l l y a m i x t u r e o f t w o q u i t e d i e r e n t d i s t r i b u t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 ] A d i r i , I . a n d B . A v i - I t z h a k . 1 9 6 9 . \ A T i m e - S h a r i n g Q u e u e w i t h a F i n i t e N u m b e r o f C u s -

t o m e r s " . J o u r n a l o f t h e A C M 1 6 , n o . 2 ( A p r . ) : 3 1 5 { 3 2 3 .

2 ] A n d e r s o n , T . W . 1 9 5 8 . I n t r o d u c t i o n t o M u l t i v a r i a t e S t a t i s t i c a l A n a l y s i s . W i l e y , N e w Y o r k ,

N . Y .

3 ] B a r t l e t t , M . S . a n d D . G . K e n d a l . 1 9 4 6 . \ T h e S t a t i s t i c a l A n a l y s i s o f V a r i a n c e H e t e r o g e n e i t y

a n d t h e L o g a r i t h m i c T r a n s f o r m a t i o n " . S u p p l e m e n t t o t h e J o u r n a l o f t h e R o y a l S t a t i s t i c a l

S o c i e t y 8 , n o . 1 : 1 2 8 { 1 3 8 .

4 ] B l a c k m a n , R . B . a n d J . W . T u k e y . 1 9 5 9 . T h e M e a s u r e m e n t o f P o w e r S p e c t r u m f r o m t h e P o i n t

o f V i e w o f C o m m u n i c a t i o n s E n g i n e e r i n g . D o v e r , N e w Y o r k , N . Y .

5 ] B u z e n , J . P . 1 9 7 1 . Q u e u e i n g N e t w o r k M o d e l s o f M u l t i p r o g r a m m i n g . P h . D . D i s s e r t a t i o n , D i -

v i s i o n o f E n g i n e e r i n g a n d A p p l i e d P h y s i c s , H a r v a r d U n i v e r s i t y , C a m b r i d g e , M a s s .

6 ] C o x , D . R . a n d D . V . H i n k l e y . 1 9 7 4 . T h e o r e t i c a l S t a t i s t i c s . C h a p m a n a n d H a l l , L o n d o n , U . K .

7 ] H e i d e l b e r g e r , P . a n d L e w i s , P . A . W . 1 9 8 4 . \ Q u a n t i l e E s t i m a t i o n i n D e p e n d e n t S e q u e n c e s " .

O p e r a t i o n s R e s e a r c h 3 1 , n o . 1 ( J a n . - F e b . ) : 1 8 5 { 2 0 9 .

8 ] H e i d e l b e r g e r , P . a n d P . D . W e l c h . 1 9 8 1 . \ A S p e c t r a l M e t h o d f o r C o n d e n c e I n t e r v a l G e n e r a t i o n

a n d R u n L e n g t h C o n t r o l i n S i m u l a t i o n s " . C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M 2 4 , n o . 4 ( A p r . ) : 2 3 3 {

2 4 5 .

9 ] I g l e h a r t , D . L . 1 9 7 6 . \ S i m u l a t i n g S t a b l e S t o c h a s t i c S y s t e m s , V I : Q u a n t i l e E s t i m a t i o n " . J o u r n a l

o f t h e A C M 2 3 , n o . 2 ( A p r . ) : 3 4 7 { 3 6 0 .




1 0 ] J a i n , R . a n d I . C h l a m t a c . 1 9 8 5 . \ T h e P

2

A l g o r i t h m f o r D y n a m i c C a l c u l a t i o n o f Q u a n t i l e s a n d

H i s t o g r a m s w i t h o u t S t o r i n g O b s e r v a t i o n s " . C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M 2 8 , n o . 1 0 ( O c t . ) :

1 0 7 6 { 1 0 8 5 .

1 1 ] K l e i j n e n , J . P . C . 1 9 8 7 . S t a t i s t i c a l T o o l s f o r S i m u l a t i o n P r a c t i t i o n e r s . M a r c e l D e k k e r , N e w

Y o r k , N . Y .

1 2 ] L a w , A . M . a n d J . S . C a r s o n . 1 9 7 9 . \ A S e q u e n t i a l P r o c e d u r e f o r D e t e r m i n i n g t h e L e n g t h o f a

S t e a d y - S t a t e S i m u l a t i o n " . O p e r a t i o n s R e s e a r c h 2 7 , n o . 5 ( S e p . - O c t . ) : 1 0 1 1 { 1 0 2 5 .

1 3 ] L a w , A . M . a n d W . D . K e l t o n . 1 9 8 2 . \ C o n d e n c e I n t e r v a l s f o r S t e a d y - S t a t e S i m u l a t i o n s , I I :

A S u r v e y o f S e q u e n t i a l P r o c e d u r e s " . M a n a g e m e n t S c i e n c e 2 8 , n o . 5 ( M a y ) : 5 5 0 { 5 6 2 .

1 4 ] L a w , A . M . a n d W . D . K e l t o n . 1 9 8 4 . \ C o n d e n c e I n t e r v a l s f o r S t e a d y - S t a t e S i m u l a t i o n s : I . A

S u r v e y o f F i x e d S a m p l e S i z e P r o c e d u r e s " . O p e r a t i o n s R e s e a r c h S c i e n c e 3 2 , n o . 6 ( N o v . - D e c . ) :

1 2 2 1 { 1 2 3 9 .

1 5 ] M o o r e , L . W . 1 9 8 0 . Q u a n t i l e E s t i m a t i o n M e t h o d s i n R e g e n e r a t i v e P r o c e s s e s . P h . D . D i s s e r t a -

t i o n , D e p t . o f S t a t i s t i c s , U n i v . o f N o r t h C a r o l i n a , C h a p e l H i l l , N . C .

1 6 ] O l s h e n , R . A . 1 9 6 7 . \ A s y m p t o t i c P r o p e r t i e s o f t h e P e r i o d o g r a m o f a D i s c r e t e S t a t i o n a r y

P r o c e s s " . J o u r n a l o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y 4 , n o . 4 ( D e c . ) : 5 0 8 { 5 2 8 .

1 7 ] R a a t i k a i n e n , K . E . E . 1 9 8 7 a . \ S i m u l t a n e o u s E s t i m a t i o n o f S e v e r a l P e r c e n t i l e s " . S i m u l a t i o n 4 9 ,

n o . 4 ( O c t . ) : 1 5 9 { 1 6 4 .

1 8 ] R a a t i k a i n e n , K . E . E . 1 9 8 7 b . \ R u n L e n g t h C o n t r o l f o r S i m u l t a n e o u s E s t i m a t i o n o f S e v e r a l

P e r c e n t i l e s i n D e p e n d e n t S e q u e n c e s " . I n P r o c e e d i n g s o f t h e C o n f e r e n c e o n M e t h o d o l o g y a n d

V a l i d a t i o n , 1 9 8 7 ( S i m u l a t i o n S e r i e s , V o l 1 9 , n o . 1 ) . S o c i e t y f o r C o m p u t e r S i m u l a t i o n , S a n

D i e g o , C a l i f . : 5 4 { 5 9 .

1 9 ] S a r g e n t , R . G . 1 9 7 6 . \ S t a t i s t i c a l A n a l y s i s o f S i m u l a t i o n O u t p u t D a t a " . I n P r o c e e d i n g s o f t h e

S y m p o s i u m o n t h e S i m u l a t i o n o f C o m p u t e r S y s t e m s ( B o u l d e r , C o l o r a d o , A u g 1 0 { 1 2 , 1 9 7 6 ) .

A s s o c i a t i o n f o r t h e C o m p u t i n g M a c h i n e r y , N e w Y o r k , N . Y . : 3 9 { 5 0 .

2 0 ] S e i l a , A . F . 1 9 8 2 a . \ A B a t c h i n g A p p r o a c h t o Q u a n t i l e E s t i m a t i o n i n R e g e n e r a t i v e S i m u l a -

t i o n s " . M a n a g e m e n t S c i e n c e 2 8 , n o . 5 ( M a y ) : 5 7 3 { 5 8 1 .

2 1 ] S e i l a , A . F . 1 9 8 2 b . \ E s t i m a t i o n o f P e r c e n t i l e s i n D i s c r e t e E v e n t S i m u l a t i o n " . S i m u l a t i o n 3 9 ,

n o . 6 ( D e c . ) : 1 9 3 { 2 0 0 .

2 2 ] S e n , P . K . 1 9 7 2 . O n t h e B a h a d u r R e p r e s e n t a t i o n o f S a m p l e Q u a n t i l e s f o r S e q u e n c e s o f - m i x i n g

R a n d o m V a r i a b l e s " . J o u r n a l o f M u l t i v a r i a t e A n a l y s i s 2 , n o . 1 ( M a r . ) : 7 7 { 9 5 .




2 3 ] T u k e y , P . A . a n d J . W . T u k e y . 1 9 8 1 . \ P r e p a r a t i o n ; P r e c h o s e n S e q u e n c e s o f V i e w s " . I n I n t e r -

p r e t i n g M u l t i v a r i a t e D a t a . E d . V . B a r n e t t . W i l e y , C h i c h e s t e r , U . K . : 1 8 9 { 2 1 3 .

2 4 ] W e l c h , P . D . 1 9 6 1 . \ A D i r e c t D i g i t a l M e t h o d o f P o w e r S p e c t r u m E s t i m a t i o n " . I B M J o u r n a l

o f R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t 5 , n o . 2 ( A p r . ) : 1 4 1 { 1 5 6 .

2 5 ] Z a h o r j a n , J . , E . D . L a z o w s k a , a n d R . L . G a r n e r . 1 9 8 3 . \ A D e c o m p o s i t i o n A p p r o a c h t o M o d -

e l l i n g H i g h S e r v i c e T i m e V a r i a b i l i t y . " P e r f o r m a n c e E v a l u a t i o n 3 , n o . 1 ( F e b . ) : 3 5 { 5 4 .

I A s y m p t o t i c P r o p e r t i e s o f O r d e r S t a t i s t i c

T h e f o l l o w i n g r e s u l t i s g i v e n i n 2 2 ] .

L e t f X

i

g

1

i = ? 1

b e a s t a t i o n a r y s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s d e n e d o n a p r o b a b i l i t y s p a c e

( ; A ; P ) . L e t M

j

? 1

a n d M

1

j + n

b e t h e - e l d s g e n e r a t e d b y f X

i

g

j

i = ? 1

a n d f X

i

g

1

i = j + n


S u p p o s e t h a t E

1

2 M

j

? 1

, E

2

2 M

1

j + n

. I f f o r a l l j ( ? 1 < j < 1 ) a n d n 1

P ( E

2

E

1

) ? P ( E

2

)

( n ) ;

1 ( 1 ) ( 2 ) : : : ; l i m

n ! 1

( n ) = 0 , a n d

1

X

n = 1

( n )

1 = 2

< 1 ;

t h e n t h e s e q u e n c e f X

i

g s a t i s e s t h e - m i x i n g c o n d i t i o n .

L e t F ( x ) b e t h e ( m a r g i n a l ) d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f X

i

. L e t ^ x

p

b e t h e s a m p l e p - q u a n t i l e ( 1 0 0 p

t h

p e r c e n t i l e s ) ; ^ x

p

= X

( d n p e )

. U n d e r t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s ^ x

p

( 0 < p < 1 ) h a s a s y m p t o t i c n o r m a l

d i s t r i b u t i o n :

1 F ( x ) i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s i n s o m e n e i g h b o u r h o o d o f x

p

,

2 . t h e d e n s i t y f u n c t i o n f ( x ) i s c o n t i n u o u s , p o s i t i v e , a n d n i t e i n s o m e n e i g h b o u r h o o d o f x

p

,

a n d

3 f X

i

g s a t i s e s t h e - m i x i n g c o n d i t i o n .

F u t h e r m o r e , ^ x

p

i s a s y m p t o t i c a l l y u n b i a s e d , a n d l i m f n V a r ( ^ x

p

) g = h

p

( 0 ) = f ( x

p

)

2

a s n ! 1 , w h e r e

h

p

( w ) i s t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f b i n a r y s e q u e n c e f I

j

( x

p

) g a t f r e q u e n c y w :

I

j

( x ) =

(

1 , i f X

j

x ;

0 , i f X

j

> x




I I E s t i m a t i n g S p e c t r a l D e n s i t i e s

M o s t o f t h e m e t h o d s f o r e s t i m a t i n g s p e c t r a l d e n s i t i e s h ( ! ) a r e b a s e d o n t h e p e r i o d o g r a m . T h e

p e r i o d o g r a m , f I ( n = N ) g , o f s e q u e n c e f z

j

g

N

j = 1

i s d e n e d b y

I ( n = N ) =

1

N

N ? 1

X

j = 0

z

j + 1

e x p ( ? i 2 j n = N )

2

T h e p e r i o d o g r a m c a n b e e c i e n t l y c o m p u t e d u s i n g t h e f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m , e s p e c i a l l y w h e n N

i s a p o w e r o f t w o . U n d e r v e r y g e n e r a l c o n d i t i o n s ( s e e e . g . 1 6 ] ) t h e p e r i o d o g r a m o r d i n a t e s h a v e t h e

f o l l o w i n g a p p r o x i m a t e p r o p e r t i e s :

E I ( n = N ) h ( n = N ) 0 < n < N = 2 ;

V a r I ( n = N ) h ( n = N )

2

0 < n < N = 2 ;

C o v I ( n = N ; m = N ) 0 0 < n 6= m < N = 2

A s y m p t o t i c a l l y p e r i o d o g r a m o r d i n a t e s a r e d i s t r i b u t e d a s m u l t i p l e s o f i n d e p e n d e n t

2

r a n d o m

v a r i a b l e s w i t h t w o d e g r e e s o f f r e e d o m . H e n c e t h e v a r i a n c e s o f p e r i o d o g r a m o r d i n a t e s d o n o t d e c r e a s e

a s N i n c r e a s e s . T h e r e a r e t w o m a i n a p p r o a c h e s t o r e d u c e t h e v a r i a n c e o f s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s .

T h e r s t o n e i s b a s e d o n l o c a l , u s u a l l y w e i g h t e d a v e r a g i n g , a n d t h e s e c o n d o n e o n a v e r a g i n g o v e r

t i m e s e g m e n t s .

I n a v e r a g i n g o v e r t i m e s e g m e n t s , t h e s e q u e n c e i s d i v i d e d i n t o n o n - o v e r l a p p i n g s u b s e q u e n c e s ,

e a c h o f l e n g t h N

b

. L e t z

j k

; j = 1 ; : : : ; N

b

; ; k = 1 ; : : : ; K d e n o t e t h e j + ( k ? 1 ) N

b

t h

o b s e r v a t i o n i n t h e o r i g i n a l s e q u e n c e . I n e a c h s e g m e n t

p e r i o d o g r a m s a r e e v a l u a t e d :

I

k

( n = N

b

) =

1

N

b

N

b

? 1

X

j = 0

z

j + 1 k

e x p ( ? i 2 j n = N

b

)

2

T h e s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s a r e t h e n

̂

h ( n = N

b

) =

1

K

K

X

k = 1

I

k

( n = N

b

) , 0 < n < N

b

= 2

I n 2 4 ] i t i s s h o w n t h a t t h e v a r i a n c e s a r e r e d u c e d b y t h e f a c t o r K i n p r a c t i c a l s i t u a t i o n s . T h e

s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s a t d i e r e n t f r e q u e n c i e s r e m a i n a p p r o x i m a t e l y u n c o r r e l a t e d . H e n c e i f w e

a v e r a g e 2 M + 1 a d j a c e n t s p e c t r a l d e n s i t y e s t i m a t e s

̂

h ( ( n ? M ) = N

b

) ; : : : ;

̂

h ( ( n + M ) = N

b

) , w e o b t a i n

v a r i a n c e r e d u c t i o n b y f a c t o r K ( 2 M + 1 ) . I f o n l y t h e n o n - o v e r l a p p e d a v e r a g e s a r e u s e d , t h e e s t i m a t e s

a r e s t i l l a p p r o x i m a t e l y u n c o r r e l a t e d .




S i n c e t h e o r d e r o f a v e r a g i n g s d o e s n o t c h a g e t h e e s t i m a t e s , w e c a n r s t e v a l u a t e t h e a v e r a g e d

s p e c t r a l e s t i m a t e s i n e a c h s e g m e n t

̂

h

k

( !

j

) =

1

2 M + 1

M

X

m = ? M

I

k

( !

j

+ m = N

b

) ;

!

j

=

j ( 2 M + 1 ) ? M

N

b

; j = 1 ; : : : ; n < N

b

= ( 4 M + 2 )

a n d t h e n t h e a v e r a g e s o f s e g m e n t s

̂

̂

h ( !

j

) =

1

K

K

X

k = 1

̂

h

k

( !

j

)

A c o m m o n p r a c t i c e , e s t a b l i s h e d i n 4 ] , i s t o c o n s i d e r

̂

̂

h ( !

j

) = h ( !

j

) a s a m u l t i p l e o f a

2

v a r i a b l e .

T h e d e g r e e s o f f r e e d o m i s t a k e n a s 2 E

2

f

̂

̂

h ( !

j

) g = V a r f

̂

̂

h ( !

j

) g , w h i c h i n o u r c a s e i s 2 K ( 2 M + 1 ) .

I I I D e r i v a t i o n o f A p p r o x i m a t e l y U n b i a s e d R e g r e s s i o n E s t i m a t e s

W e b a s e o u r e s t i m a t e o f h ( 0 ) o n t h e r e g r e s s i o n m o d e l y = X + " , w h e r e

y

j

= l o g f

̂

̂

h ( !

j

) g +

1

, X =

0

B

B

@

1 !

1

!

1

2

1 !

n

!

n

2

1

C

C

A

;

a n d t h e " ' s a r e i n d e p e n d e n t l y a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d : E ( " ) = 0 , a n d E ( "

k

) =

k

; k > 1

W h e n

̂

̂

h ( !

j

) = h ( !

j

) i s c o n s i d e r e d a s a m u l t i p l e o f a

2

r a n d o m v a r i a b l e w i t h d d e g r e e s o f

f r e e d o m , t h e r s t f o u r ' s a r e t h e n ( s e e 3 ] ) :

1

1 = d + 1 = ( 3 d

2

) ;

2

2 = ( d ? 1 ) ;

3

? 4 = ( d ? 1 )

2

; a n d

4

8 = ( d ? 1 )

3

+ 1 2 = ( d ? 1 )

2

T h e l e a s t s q u a r e e s t i m a t e o f i s g i v e n b y ̂ = C y = + C " ; w h e r e C = ( X

0

X )

? 1

X

0

. H e n c e

E f ( ̂

0

?

0

)

k

g =

k

P

c

1 j

k

=

0

k

O u r p a r a m e t e r o f i n t e r e s t i s e x p (

0

) , w h o s e n a t u r a l e s t i m a t e i s e x p ( ^

0

) . I n g e n e r a l g (

̂

T ) i s a

b i a s e d e s t i m a t e o f g ( T ) , b u t t h e b i a s c a n b e r e d u c e d ( s e e e . g . 6 , p . 2 6 0 ] ) . U s i n g T a y l o r e x p a n s i o n

e x p ( ^

0

) c a n b e w r i t t e n a s

e x p ( ^

0

) = e x p (

0

)

1

X

k = 0

( ̂

0

?

0

)

k

k !




H e n c e a n a p p r o x i m a t e l y u n b i a s e d e s t i m a t e o f h ( 0 ) i s o b t a i n e d a s

̂

h ( 0 ) = e x p ( ^

0

) = ( 1 +

0

2

= 2 +

0

3

= 6 +

0

4

= 2 4 )

W h e n a c o n d e n c e i n t e r v a l i s c o n s t r u c t e d u s i n g n o r m a l a p p r o x i m a t i o n , t h e d e g r e e s o f f r e e d o m i n

t h e v a r i a n c e e s t i m a t e i s n e e d e d . A c o m m o n l y u s e d m e t h o d i s t o c o n s i d e r

̂

h ( 0 ) = h ( 0 ) a s a m u l t i p l e

o f a

2

v a r i a t e . T h e d e g r e e s o f f r e e d o m i s t h e n t a k e n a s 2 E f

2

g

2

= V a r (

2

) . S i n c e

̂

h ( 0 ) = h ( 0 ) =

(

P

( ̂

0

?

0

)

k

= k ! ) = ( 1 +

0

2

= 2 +

0

3

= 6 +

0

4

= 2 4 ) , t h e d e g r e e s o f f r e e d o m i s a b o u t 3 = ( 3

0

2

+ 2

0

3

+

0

4

)

sequential procedure for simultaneous estimation of several percentiles

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