seminário – lcs/lps

Seminário – LCS/LPS

Marcio Eisencraft

Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais

2

Sumário da apresentação

1. Introdução - Sinais caóticos

2. Modulação usando portadoras caóticas

3. Estimação de sinais caóticos

4. Espectro de sinais caóticos

5. Pesquisa e trabalhos atuais

Sinais caóticos: Limitados

Determinísticos

Aperiódicos

Dependência sensível com as condições iniciais

Características levam a aplicações de sinais caóticos

em diversas áreas tecnológicas

Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação,

codificação, criptografia entre outras3

1. Sinais Caóticos

4

1.1 Caos - Histórico• Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. • 1890 - Poincaré - Soluções muito complicadas• Década de 1960 - Assunto retomado:

– Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas.– Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais

• Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas

• Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas

• 1984 - Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua);• 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll• Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se:

– Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), .Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros

5

1.2 Equações de diferenças

1s n as n

n s1(n) s2(n)

0 1 5

1 2 10

2 4 20

3 8 40

4 16 80

5 32 160

• Modelo populacional exponencial

• Exemplo: a = 2

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

4

n

s[n

]

Modelo exponencial

s(0) = 1

s(0) = 5

• Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente

7


1 1s n as n s n

• Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais

• a = 2,8 n s1(n) s2(n)

0 0.4000 0.8000

1 0.6720 0.4480

2 0.6172 0.6924

3 0.6616 0.5963

4 0.6269 0.6740

5 0.6549 0.6628

6 0.6328 0.6258

7 0.6506 0.6557

0.6429 0.6429

8

• Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

s[n

]

Mapa logístico - a = 2.8

s

1(0) = .4

s2(0) = .8

9


1 1s n as n s n

• a = 3,3 n s1(n) s2(n)

0 0.1500 0.8000

1 0.4207 0.5280

2 0.8043 0.8224

3 0.5195 0.4820

4 0.8237 0.8239

5 0.4791 0.4787

6 0.8236 0.8235

7 0.4795 0.4796

0.82360.4794

0.82360.4794

10

•Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

s[n

]


s1(0) = .15

s2(0) = .8

11


1 1s n as n s n

• a = 3,5 n s1(n) s2(n)

0 0.1500 0.8000

1 0.4462 0.5600

2 0.8649 0.8624

3 0.4090 0.4153

4 0.8460 0.8499

5 0.4560 0.4465

6 0.8682 0.8650

7 0.4005 0.4088

0.87500.38280.82690.5009

0.87500.38280.82690.5009

12

• Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

s[n

]


s1(0) = 0.15

s2(0) = 0.8

13


1 1s n as n s n • a = 4

n s1(n) s2(n)

0 0.3000 0.3001

1 0.8400 0.8402

2 0.5376 0.5372

3 0.9943 0.9945

4 0.0225 0.0220

5 0.0879 0.0860

6 0.3208 0.3143

7 0.8716 0.8621

8 0.4476 0.4755

9 0.9890 0.9976

? ?

14

• Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais

• CAOS

0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

s[n

]

Mapa logístico - a = 4

s

1(0) = 0.3

s2(0) = 0.3001

15

Caos em Sistemas Discretos

• Mapa Logístico( )( 1) ( ) 1 ( )s n as n s n+ = -

16

1.3 Equações diferenciais

bzxyz

yrxxzy

yxx

17

• Propriedades interessantes dos sinais caóticos

para Telecomunicações:

– Ocupam largas faixas de freqüências;

– Função de autocovariância impulsiva;

– Função de covariância cruzada com outras órbitas

com valores muito baixos.

• Propriedades desejadas para modulações

spread spectrum.

1.4 Propriedades interessantes

18







19

2.1 Sistema de Wu e Chua

• Sincronismo de sistemas caóticos

• Mensagem inserida na geração do sinal

20

Exemplos - Sistema de Wu e Chua

21

2.2 Influência da Limitação em Banda

m(t) = sen(2500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB

22

2.2 Influência da Limitação em Banda

fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02

• Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido.EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000.

23

2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda

24

fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63

2.4 Resultados Obtidosfci =0,02, fli =0,05fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63

25

2.5 Diminuindo os efeitos do ruído

• Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal

• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes

• Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor

26

2.6 Modulações digitais• Símbolo transmitido como os coeficientes de

uma combinação linear de sinais caóticos

1

0

N

n

1mz nxm Circuito de decisão

1ˆmx ×

1

0

N

n

ns1̂

1mz nxm Circuito de

decisão

1ˆmx

• Transmissor – Nb=1 • Receptor coerente

• Receptor não-coerente0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.5

0

0.5

CO

OK

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

0

0.5

CS

K u

nip

ola

r Seqüência: {1,1,0,1,0,0,1,0}

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

0

0.5

n

CS

K b

ipola

r

27

2.7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying

• Modulador DCSK

• Demodulador diferencial

• CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos

1

2

N

Nn

1mz nxm Circuito de

decisão

mx̂

2

N

z

1Nn

Re

Parte real

( )* Conjugação

28

2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK

Modulador em

freqüência

s t

| 1 |

Magnitude-ângulo para complexo

02

Nn

NnN

2

1

N 2

N

z

s n

n2

mx n is n

11

m

bE

• Modificação do DCSK – energia por símbolo constante

• Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM

• Energia do sinal FM independe do sinal modulante

29

-10 -5 0 5 10 15 20 25 3010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R

Curvas de desempenho em canal AWGN

CSKCOOKDCSKFM-DCSKASKDPSK

2.9 SimulaçõesEISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-6.

30

2.10 Comparações entre os sistemasSistema Limiar Energia Sincronização Não uso

da dinâmica

CSK coerente X X

CSK não-coerente X X XDCSK X XFM-DCSK X

31







32

• Sistema dinâmico

• Seqüência observada

sendo r (n) AWGN com média nula• Determinar o menor mse que um estimador sem viés

de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB).

3.1 CRLB - Formulação do problema

0' , , 0 1s n s n s r n n N

1s n f s n

33

Sejam

Teorema 1 0' , , 0 1s n s n s r n n N

• uma órbita do sistema dinâmico

1s n f s n

• r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr

2

• o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita

Então,

0

2

0 211

1 0 ,

ˆmse

1

r

nN

n j s j s

sdfds

0,s n s

34

Teorema 2• Nas mesmas condições do Teorema 1, o

limite do CRLB quando N → ∞ é

• L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge

• Resultado válido para órbitas caóticas ou não.

2

20 2

1ˆmse s

1r N

L

L

EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits.

Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132-139, 2008.

35

3.2 O MLE

• MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ)

• Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993)

• Assintoticamente sem viés e eficiente.

• Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa fT(.)

4 1

3

N

G

36

0 20 40 60 800

20

40

60

80

100

120

Mapa fI(.) - = 0

SNRin

(dB)

Gd

B (

dB

)

N = 3N = 5N = 10N = 20

MLE – Estimação da condição inicial – fI(.)

37

3.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi

• Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um

processo de Markov que em cada instante assume

um de NS estados possíveis

• Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs

• Estado q(n) = j se

• Dedieu e Kisel (1999) partição uniforme

– Mapas com densidade uniforme

• Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição

não-uniforme

js n U

38

Exemplos de matrizes de transição de estados

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1

-0.5

0

0.5

1

s

Mapa tenda fT(.)

U1 U

2 U3 U

4 U5

-0.809 -0.309 0.309 0.809-1

-0.5

0

0.5

1

s

Mapa quadratico fQ

(.)

U1

U2 U

3U

4 U5

1A

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 2

1 2

0 0

1 0 0 02

1ij j ia P s n U s n U

39

Simulações - mapa quadrático fQ(.)

EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67-68.

40

3.4. MLE x Viterbi

-10 0 10 20 30 40-5

0

5

10

15

SNRin

(dB)

Gd

B (

dB

)

MLE - N = 2

MLE - N = 5

MLE - N = 10

MLE - N = 20Viterbi - N = 20, N

S = 100

MLE - N = 50

41

3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas

• (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)

• Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas

• Receptor 1 1 2 2m m mx n x s n x s n

Decodificador

de Viterbi

Decodificador

de Viterbi

Circuito de

decisão

Cálculo de

verossimilhança1A

2ACálculo de

verossimilhança

mx n

ˆ 1q

2q̂

1Nn

1Nn

1mz

2mz

1ˆmx

42

Como escolher mapas? (1/2)• Caso mapa tenda: proposta adaptada de

(Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)

2A

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1 3

0 1 2 1 2 0

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1

0 0

0 0

0

0 0

0 0 3

1 1A

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 2

1 2

0 0

1 0 0 02

43

1 1A

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 2

1 2

0 0

1 0 0 02

2A

0 1 2 1/2

0 0 0

1 0 0 0

0 0 0

0 0

1 0

0

1 0

0 20 0 1/2 1/

Ponto fixo Ponto fixo superatrator!superatrator!

• Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela

Como escolher o mapa? (2/2)

44

3.6 ML-CSK com um mapa

• Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base:

• Receptor:

1 1 11 21, ,m m b bx n x s n x E x E

Decodificador

de Viterbi

-1

Decodificador

de Viterbi

Circuito de

decisão

Cálculo de

verossimilhança1A

1ACálculo de

verossimilhança

mx n

ˆ 1q

2q̂

1Nn

1Nn

1mz

2mz

1ˆmx

45

3.7 Simulações computacionais

0 5 10 15 20 25 30

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N

0 (dB)

SE

R

ML-CSK - N = 10

2 mapas - fT(.)

2 mapas - fQ

(.)

1 mapa - fT(.)

1 mapa - fQ

(.)

COOK

46

3.8 Trabalhos futuros (1/2)A. Análise dos sistemas propostos para o caso M-

ário

B. Análise da complexidade computacional

C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional

D. Uso de modelos de canais mais complicados

E. Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos

F. Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK

47

G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK.

H. Multiplexação – sistemas multiusuários

3.8 Trabalhos futuros (2/2)

48







49

4.1 Aplicações - Caracterização Convencional

• Larga faixa de freqüências

• Seqüência de autocorrelação impulsiva

• Seqüência de correlação cruzada com valores baixos

• Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos

Objetivos:

• Verificar se caos implica banda larga

• Determinar a banda essencial de sinais caóticos

• Gerar sinais caóticos com banda pré-definida

50

4.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA

• Parâmetro determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda

2 1, 1

1 1( )2 1

, 11 1

I

s sf s

s s

( 1) ( ( ))Is n f s n

51

4.2 Mapas tenda inclinada fI (.)

2 1, 1 ( )

1 1( 1) ( )2 1

, ( ) 11 1

I

s n s ns n f s n

s n s n

-1

-0.5

0

0.5

1

s

f I(s)

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

n

s(n

,0)

-1 1 = 0,8

• Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-amostras

– Seqüência de Autocorrelação (SAC)

– Densidade Espectral de Potência (DEP)

– Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade Invariante

• Exemplo: Ruído Branco Gaussiano

52

4.3 Caos como processo estocástico

DEP FDP

53

*

1( )

2p s 23( )

2p s s

4.4 Densidade Invariante

54

4.5 Seqüência de Autocorrelação

(( )) ()s nR E s n kk

• Para facilitar a notação, define-se

( )s n x e ( ) ( )kIs n k f x y

1 1 1

1 1 1

1( , )(

2( )) k

IR k E xy xy dxdy dx xy xfp x

• Assim

• A SAC R ( k ) para um fixo é definida por

55


Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

56


Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

• Substituindo as equações de reta em R (k)

12

2 2

1

1( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

12

k

k k k km

R k a m b m a m b m

• Iterando-se uma vez,

12

2 2

1

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )12

k

k k k km

R k a m b m a m b m

( 1) ( )R k R k

2 1 1(0) ( )

3 3kR E x R k

57

• Para positivos, a SAC decai monotonicamente

• Para negativos, a SAC decai de forma oscilatória

2 1( ) 1 ( )

kR k R k • para 1 = - 2


58


59

4.8 Densidade Espectral de Potência

•A DEP é dada pela TFTD de R(k)

2

2

1( )

3 1 2 cos( )S

KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105-108.

KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-5.

60


• Quanto maior | |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes

• Sinal de define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências

• Simetria com relação a α = 0.5

61


62

4.9 BANDA ESSENCIAL

• Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial

• A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)

0 0

( ) ( )B

S d p S d

12arctan tan

2 1

pB

63

4.9 BANDA ESSENCIAL

• | | 0: processo ruído branco uniforme

• | | 1: banda essencial extremamente estreita

64

410 Espectro - Conclusões parciaisCaracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

• Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos

• Resultados analíticos comprovam resultados numéricos

- Verificar se caos implica banda larga• Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas freqüências

- Determinar a banda essencial de sinais caóticos• Fórmula analítica para família tenda inclinada• Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov

65

- Gerar sinais caóticos com banda pré-definidaÉ possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada

• Existe unicidade?

Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante

4.10 Espectro - Conclusões parciais

66

Comportamento espectral de outros mapas

Propriedades espectrais são mantidas por conjugação?

Mapas multidimensionais

Estudo de características espectrais de esquemas de

modulação caóticos: CSK, DCSK

Novas aplicações empregando essa características

4.11 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros

67







68

A. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre

estimação

B. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre

espectro

C. Aplicação de conceitos de caos na análise de

séries temporais (quasar (CRAAM); voz)

D. Aplicações em seqüências para espalhamento

espectral

6.1 Trabalhos em andamento

69

Fim

[email protected]/~marcio

mailto:[email protected]

seminário – lcs/lps

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