SEMÂNTICA

Roteiro Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.

Revisão O que é lógica?

Estudo do raciocínio Começou com Aristóteles Argumento

Proposições e premissas Consequência Lógica

Revisão

Revisão Objetivo: descobrir se o argumento

é válido Argumento dedutivo

Conclusão a partir das premissas Indutivo

Probabilidade

Revisão Alfabeto – Lógica Proposicional

Símbolos de pontuação: ( ) , Símbolos de verdade: true, false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S,

P1, Q1, P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v,^, ,

Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu

significado Existe um mundo sintático e um mundo

semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas

(consideradas apenas como concatenações de símbolos)

Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre

um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

[Gaiarsa]

Semântica P (símbolo sintático) representa

“Está chovendo”

Q representa“A rua está molhada”

Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

Interpretação

Interpretação

Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma

interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo

proposicional, I[E]=I[P] Se H é uma fórmula e E=H, então

I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T

Interpretação de fórmulas (cont.)

Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]= I[G]

Interpretação de uma fórmula

Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T

I[H] = True

Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = ((P)^Q)(RvP1) e

H=(EP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F I[H]=?

True J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F J[H]=?

False

Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia (ou é

válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T

H é factível ou satisfazível se existe uma interpretação I tal que I[H]=T

H é contraditória ou insatisfazível se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F

H é Falsificável se existe uma interpretação I tal que I[H]=F

Propriedades semânticas básicas (cont.) Dados H e uma interpretação I, I

satisfaz H se e somente se I[H]=T Dadas 2 fórmulas H e G,HG para

toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T

Dadas H e G,HG para toda interpretação I ser satisfazível, I[H]=I[G]

Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia,

pois toda I[H]=T I[H]=T I[PvP]=T

I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F

aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)

Exemplo de Satisfatibilidade A fórmula H=(PvQ) é satisfazível,

pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.

H é tautologia? Por quê?

Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista

I[H]=T I[H]=T I[P^P]=T

I[P]=T e I[P]=T I[P]=T e I[P]=F

Exercícios Quais das fórmulas abaixo são

tautologias, satisfazíveis ou contraditórias?

H1=P1^P2^QQ Tautologia

H2=P1^P2^QQ Satisfatível

H3=(PvP)(Q^Q) Contraditória

Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ)

E G? E H? H G? H E? G H? G E?

Exercício Prove que se temos as fórmulas

proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G

Se H=F, G=? Tabela Verdade Se I[H] = T

Equivalência Exemplo (Lei de Morgan)

H=(P^Q) e G=(PvQ) Temos que demonstrar que, para

toda interpretação I, I[H]=I[G] Casos I[H]=T e I[H]=F

(P^Q) (PvQ) ? Caso I[H]=TI[H]=T I[P^Q]=T I[P]=T e I[Q]=T I[P]=F e I[Q]=F I[PvQ]=F I[(PvQ)]=T I[G]=T I[H]=T I[H]=I[G]

Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas

verdade das 2 fórmulas

Relações entre as Propriedades Semânticas Validade e factibilidade

H é válida H é contraditória H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível H é

contraditória