sed apostila v30

Coronel Fabriciano

Fevereiro de 2012

Professor: Aloísio de Castro Gomes Júnior Versão 3.0

Unileste 2

Notas de aula – Simulação a Eventos Discretos Prof. Aloísio Gomes Jr.

Capítulo 1: Introdução

1.1. Pesquisa Operacional (PO)

Utilizada pela primeira vez durante a 2ª Guerra Mundial, quando equipes de

pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver problemas de

operações militares.

A PO é uma metodologia cujo arcabouço teórico agrega quatro ciências

fundamentais para o processo de preparação, análise e tomada de decisões: a

economia, a matemática, a estatística e a informática.

Conceito: “PO é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para

auxiliar no processo de tomada de decisões, tais como projetar, planejar e operar

sistemas em situações que requerem alocações eficientes de recursos escassos.”

O Enfoque Gerencial da PO:

Enfoque Clássico: busca da solução ótima.

Enfoque Atual: uso do modelo para identificação do problema certo - “procurar

a questão certa a ser respondida ao invés da resposta certa”.

Identificação

do problema

Informações

Necessárias

Modelagem

e Solução

Resultado

Ótimo

Experiência

e Intuição

Aceitar ou

Recusar

Identificação

do problema

Informações

Necessárias

Modelagem

e Solução

Resultado

Ótimo

Experiência

e Intuição Aceitar ou

Rejeitar

Problema Certo?

Informações são

relevantes?

Novas

Percepções

Unileste 3


Técnicas de PO usadas na resolução de problemas:

Programação Linear

Programação Dinâmica

Programação Não-Linear

Programação Inteira Mista

Teoria das Filas

Simulação

Teoria dos Jogos

Fases de um estudo de PO:

Definição do Problema

Construção do Modelo

Solução do Modelo

Verificação e Validação do Modelo

Implementação dos resultados obtidos

Avaliação Final

1.2. Modelagem

Modelo: “Um modelo é a representação externa e explicativa de parte da realidade

vista pelas pessoas que desejam usá-la para entender, mudar, gerenciar e controlar

parte da realidade.” (Pidd, 2004)

Tipos de Modelo:

Modelos de Otimização;

Modelos de Simulação.

Sistema Real

Existente

Sistema

Reduzido às

Variáveis

Principais

Modelo

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Modelos de Otimização:

Adequado quando as variáveis do sistema são determinísticas;

Seleção de uma única alternativa via análise matemática;

A alternativa selecionada é considerada ótima sob um determinado aspecto.

Modelos de Simulação:

Adequado quando o sistema apresenta variáveis estocásticas;

Alto grau de liberdade/flexibilidade;

Permite criação de cenários futuros;

Análise de perguntas do tipo: “E se?”.

Modelos de Otimização x Simulação

Sempre que possível usar modelos de otimização;

As maiorias dos sistemas encontrados na prática, não complexos, envolvem

variáveis aleatórias e não possuem soluções analíticas.

Na simulação a análise é feita por métodos numéricos e não analíticos.

Na simulação os modelos são “rodados” e analisados, e não solucionados

analiticamente.

Processo de decisão com Modelos de Otimização

Processo de decisão com Modelos de Simulação

Modelo de Otimização

Representação do Sistema

Critério de seleção alternativa

Dados e Informações

do Sistema Solução Ótima Decisão

MODELO DE

SIMULAÇÃO

Hipótese 1 PROCESSO DE

ESCOLHA DA MELHOR DECISÃO

Solução

Escolhida

Critérios de Escolha

Hipótese 2

Hipótese 3

Solução 1

Solução 2

Solução 3

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1.3. Simulação

Simulação = Imitação da Realidade

Simulação = “É a técnica de solução de um problema pela análise de um modelo

que descreve o comportamento do sistema usando um computador digital” (Prado,

2004)

A simulação envolve a construção de um modelo aproximado da realidade, o qual

será operado muitas e muitas vezes, analisando-se então seus resultados para que

ele possa ser mais bem compreendido, manipulado e controlado.

IDÉIA BÁSICA: analisar um sistema para tornar possível responder perguntas do

tipo: “E se o sistema operasse desta ou daquela forma?”.

Origem: 2ª Guerra Mundial → Estudo da difusão de nêutrons → construção da

bomba atômica.

Simulação vs. Experimentação Direta

Custos: O custo da experimentação direta pode inviabilizar a realização do

projeto. Exemplo: Imagine que se deseja descobrir o impacto da inclusão de

um novo produto na linha de produção. Teríamos que variar o layout, contratar

funcionários, comprar novos equipamentos, tudo isso sem saber se essas

mudanças iriam funcionar. Talvez seja necessária a montagem de uma linha

totalmente nova, ou talvez as máquinas disponíveis sejam suficientes. Sendo

assim a simulação pode evitar um grande desperdício de dinheiro.

Tempo: Após o modelo de simulação ter sido construído, pode-se manipular o

tempo da forma que mais convém e fazer análises verificando se o sistema

estará pronto para abastecer as demandas futuras. Pode-se também simular

vários meses de operações do sistema em pouco tempo.

Replicação: Podemos testar o modelo várias vezes, avaliando a conseqüência

de cada mudança.

Segurança: Através do modelo, não corremos riscos de acidentes ou

inconvenientes, como paradas de produção, atrasos, etc.

Legalidade: Através da simulação podem-se ignorar leis trabalhistas.

MODELO DE

SIMULAÇÃO

Entradas

Políticas

Saídas

Respostas

Interação e Experimentação

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Principais Vantagens da Simulação

Novas políticas e procedimentos operacionais podem ser testados sem

interrupção do sistema real.

Determinação de gargalos do sistema.

Determinação de como o sistema realmente opera ao invés de como as pessoas

pensam que ele opera.

Análise de cenários futuros (“E se?”).

Fases de um estudo de Simulação

Formulação do Problema e

Coleta de dados

Identificação das Variáveis e das

Condições do sistema

Construção do Modelo

Validação dos Modelos com

Dados Históricos

Modelo

Aprovado?

Elaboração do Programa

Computacional

Realização dos Experimentos

Análise dos Resultados

Não

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1 - Formulação do Problema e Coleta de Dados:

- Devem ser explicitamente definidos os objetivos da simulação, a amplitude e a

profundidade que se quer da análise e os recursos disponíveis. É evidente que essa

definição inicial do problema pode ser alterada durante a realização do processo de

simulação.

- A coleta de dados é um processo de recolhimento dos fatos e informações

disponíveis que serão processados quando houver necessidade.

- Os dados devem ser coletados observando os seguintes cuidados:

Deve haver uma quantidade suficiente de dados;

Os dados devem ser qualitativamente confiáveis;

Os dados devem ser significativos para o processo de tomada de decisão.

2 – Identificações das Variáveis e das Condições do Sistema

- A escolha do conjunto de variáveis é muito importante para a qualidade do modelo.

É fundamental que todas as variáveis importantes sejam incluídas de modo que os

resultados do modelo sejam confiáveis.

- É importante definir também as relações entre variáveis, as condições e restrições

do sistema, de modo possibilitar a construção de um modelo que represente, o mais

fielmente possível, sua operação no mundo real.

3 – Construção do Modelo

- Essa talvez seja a parte mais difícil do processo de simulação e que deve ser

realizada com mais cuidado. A dificuldade parte do fato de que, na construção do

modelo, é exigida tanto arte quanto técnica, para que eles representem bem os

sistemas, levando em conta todas as relações importantes.

4 – Validação do Modelo

- Uma vez construído o modelo, é necessário saber se ele atende aos objetivos da

simulação, representando corretamente o sistema em estudo. Os testes com o modelo

devem abranger também os dados, de modo a se verificar sua consistência.

- O primeiro teste que normalmente se faz é a operação do modelo com dados

históricos e condições conhecidas, com o objetivo de ser conseguir reproduzir o

desempenho do sistema obtido na realidade.

5 – Elaboração do Programa Computacional

- Nesta fase pode-se utilizar softwares já desenvolvidos especificamente para

simulação de sistemas, tais como ARENA, AUTOMOD, PROMODEL, etc, ou pode-se

desenvolver um simulador próprio utilizando alguma linguagem de computação de

propósito geral.

- Com o programa pronto devem ser executados testes para verificação de erros de

programação, consistência e conceituação.

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- Para Validação do programa podem ser simuladas, por exemplo, situações simples

cujos resultados sejam possíveis de acompanhamento, ou simular cenários passados

e compará-los com seus registros.

6 – Experimentos e Análise dos Resultados

- Com o sistema validado, resta realizar os devidos experimentos e analisar os dados

de saída, podendo assim estudar o funcionamento do sistema simulado e as

alternativas para o novo sistema.

Aplicações de Simulação

Linhas de produção: Modificações em um sistema existente (expansão da

produção atual, troca de equipamentos, adição de novos produtos) pode-se

antecipar onde serão formados gargalos; planejamento de um setor de

produção totalmente novo; obtenção da melhor política de estoque.

Sistema de Transporte: Operação de ferrovias, rodovias, aeroportos, portos,

controladores de tráfego, etc.

Área da Saúde: Estudo de sistemas de triagem em grandes hospitais, Análise

de alternativas operacionais de setores de emergência.

Área Militar: Simulação de operações de guerra

Comunicação: Informação sobre o tempo de resposta e chamadas perdidas.

Dimensionamento da quantidade de atendimentos em Call Centers (Tele

Atendimento).

Bancos, Supermercados e Escritórios: Dimensionamento dos números de

caixas, avaliação do uso de caixas especiais e do uso de fila única.

Mineração: Dimensionamento de pátios, determinação de pontos de carga e

descarga de minérios

Abordagens para um estudo de simulação

- Pontos a serem considerados:

Manipulação do Tempo

Durações determinísticas ou estocásticas

Trocas de estado

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A – Manipulação do tempo

- Uma das vantagens de simulação é a possibilidade de controlar a velocidade com

que as alterações no estado do modelo se processam.

- A essência da simulação é que as trocas de estado do sistema são modeladas

através do tempo. Assim, é importante considerar como o fluxo de tempo deve ser

manuseado ao longo da simulação.

- Formas de manipulação do tempo:

Divisão do tempo em intervalos regulares: o modelo é atualizado a cada

intervalo constante de tempo.

Técnica do Próximo Evento: O modelo é atualizado a intervalos variáveis de

tempo. Assim, o modelo só é atualizado quando se tem certeza que alguma

mudança ocorrerá. Estas trocas de estado são chamadas eventos.

B – Durações determinísticas ou estocásticas

- Um sistema é dito determinístico, quando seu comportamento pode ser

perfeitamente previsível e estocástico quando as variáveis que o constituem tem seu

comportamento descrito por distribuições de probabilidade.

C – Trocas de Estado

- As variáveis incluídas em um modelo de simulação podem trocar seus valores de

forma discreta ou contínua.

Eventos Contínuos: é uma ação que não cessa. Ele continua ininterruptamente

em relação ao tempo. A temperatura da água em um lago subindo e caindo

durante o dia, o fluxo de óleo em um tanque e conversões químicas são

exemplos simples.

Eventos Discretos: é uma ação instantânea que ocorre em um único momento.

Um avião aterrizando em um aeroporto, um caminhão chegando numa doca de

entrega, um cliente entrando em um banco e uma máquina terminando em um

ciclo são exemplos de eventos discretos.

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Capítulo 2: Simulação à Eventos Discretos

2.1. Generalidades

Emprega a técnica do próximo evento para controlar o comportamento do modelo.

Trabalha com sistemas que envolvem filas (obvias ou não).

2.2. Terminologia

A) Entidades

- Elementos individuais do sistema cujo comportamento se deseja analisar. Exemplo:

Em um banco se quisermos estudar o comportamento das filas a entidade a ser

estudada será o cliente.

- Tipos de Entidades:

Permanentes: permanecem no sistema durante toda a simulação;

Temporárias: permanecem no sistema apenas parte da simulação;

Ativas: trabalham em conjunto com outras entidades e as “retêm” durante

algumas operações do sistema;

Passivas: trabalham em conjunto com outras entidades e são retidas por elas

durante algumas operações do sistema.

- Organização das Entidades:

Classes: grupos permanentes de entidades idênticas ou similares;

Conjuntos: grupos temporários de entidades idênticas ou similares, por

exemplo, um grupo de entidades em fila;

Atributo: são itens que informam determinadas características de uma

entidade. Servem para 2 propósitos: distinguir membros de uma mesma classe

de entidades, controlar o comportamento das entidades.

- Operações Relacionadas às Entidades:

Eventos: são os instantes de tempo o qual alguma troca significativa de estado

ocorre no sistema.

Atividades: são as operações e procedimentos que são iniciados em cada

evento.

Processo: às vezes, é usual agrupar uma seqüência de eventos na ordem

cronológica que eles acontecem. Tal seqüência é conhecida como processo, é

utilizado para representar parte ou toda “vida” de uma entidade dentro do

sistema.

Relógio de simulação: representa o instante corrente da simulação.

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B) Recursos

- Elementos individuais do sistema que não são modelados separadamente. Um

recurso consiste em itens idênticos e o programa mantém um controle sobre quantos

itens estão disponíveis a cada momento. O recurso é o que a entidade necessita para

realizar alguma atividade. No exemplo do banco, podemos considerar os caixas como

sendo um tipo de recurso, o gerente como outro tipo, etc.

2.3. Diagrama de Ciclos de Atividades (DCA)

Para construir um modelo de simulação à eventos discretos, é necessário:

1. Identificar as classes de entidades envolvidas;

2. Considerar as atividades em que estas entidades estão engajadas;

3. Interligar e relacionar estas atividades.

O DCA é uma forma de representar graficamente um modelo de simulação. O DCA

representa as interações existentes entre as diversas entidades de compõem o

sistema e é muito prático na representação de sistemas com uma forte estrutura de

filas. O DCA normalmente está associado à abordagem de simulação baseada em

atividades ou no método das três fases que serão vistos posteriormente.

O DCA é constituído de três elementos básicos: entidades, filas e atividades.

Entidades: representam as classes de entidades físicas do sistema são

representadas por linhas. O primeiro passo na construção de um DCA é a

definição das entidades do sistema e no caso das permanentes, também as

suas respectivas quantidades. A cada entidade podem ser associados atributos

que servem para registrar determinados dados da simulação.

Atividades: São os estados onde entidades participam de alguma operação. São

representadas por um retângulo. De cada atividade podem participar uma ou

mais entidades. A duração de cada atividade pode ser constante ou seguir uma

distribuição de probabilidade pré-definida. Durante a execução de uma

atividade, as entidades nela envolvidas ficam indisponíveis. Cada entidade que

participa da atividade define uma entrada e uma saída do retângulo.

Filas: representam estados passivos de entidades que aguardam o atendimento

das condições de início de uma atividade, para dela participarem. A condição

básica de início de uma atividade é a existência de entidades nas filas que a

precedem. Assim, no início da atividade as entidades são retiradas das filas que

a precedem, ficando indisponíveis até o término daquela atividade. Ao término

da atividade as entidades são colocadas nas filas subseqüentes a ela. Isto

implica que, um DCA, é obrigatório a existência de alternância entre filas e

atividades. Outra conseqüência desta alternância é que o tempo de

permanência numa fila não é determinado, visando acordo com o andamento

Unileste 12


da simulação. Entre obrigatoriedade de alternância entre filas e atividades,

muitas vezes torna necessária a definição de filas artificiais, onde a espera

nunca acontece. As filas são representadas por um círculo.

Um DCA é composto de um conjunto de subdiagramas que constituem os ciclos de

vida de cada entidade. O ciclo de vida de cada entidade, por sua vez, é o conjunto de

atividades e filas percorridas pela entidade ao longo do sistema

Fontes / Nascedouros / Sumidouros: servem para representar o mundo exterior ao

sistema. Um nascedouro pode ser visto como uma fila de capacidade infinita. São

representados por dois círculos sobrepostos. A mesma representação serve para o

sumidouro, que representa a saída de entidades do sistema.

Outros elementos: Prioridade de execução de atividades; Desvios condicionais;

Disciplinas de filas (FIFO – primeiro que entra, primeiro que sai; LIFO – último que

entra, primeiro que sai; Prioridade – uma característica da entidade define sua

prioridade de atendimento); Duração das atividades.

Regras básicas de um DCA:

1. Alternância obrigatória entre atividades e filas;

2. Filas são exclusivas de uma única classe de entidades;

3. Entidades permanentes devem ter a sua quantidade e localização (filas) no

início da simulação explicitada

4. Atividades devem ser explicitadas suas durações;

5. Entidades temporárias devem ser geradas e destruídas na mesma fonte.

6. Desvios condicionais devem ter suas regras explicitadas.

Exemplo 1: Em um banco, clientes chegam há um intervalo médio de 3 minutos

segundo uma distribuição exponencial. Ao chegarem 20% dos clientes se dirigem ao

caixa comum, 15% ao gerente e o restante aos caixas eletrônicos. O atendimento no

caixa comum segue uma distribuição normal com média de 5 minutos e desvio padrão

de 1 minuto. O atendimento no caixa eletrônico segue uma distribuição triangular com

moda de 4 minutos, mínimo de 3 minutos e máximo de 6 minutos e desvio padrão de

1 minuto. O atendimento no gerente segue uma distribuição normal com média de 12

minutos e desvio padrão de 2 minutos. Posto isto, construir o DCA do problema

anterior.

Exemplo 2: Uma empresa de mineração opera 7 escavadeiras. As escavadeiras

trabalham em operação contínua, interrompendo seu funcionamento apenas para

manutenção corretiva. O tempo entre falhas é descrito por uma distribuição

exponencial negativa com média de 7 dias. A manutenção é feita por uma única

equipe e sua duração também é exponencialmente distribuída com média de 1 dia.

Deseja-se simular este problema para avaliar o tempo que as escavadeiras ficam

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paradas por falta de manutenção. Também deseja-se estimar a ocupação média da

equipe de manutenção e avaliar o impacto do aumento do número de equipe para

duas.

Exemplo 3: O problema do Bar

Num bar, os clientes chegam da rua para tomar chope, numa quantidade que varia

aleatoriamente em função da sede de cada um. Os intervalos entre chegadas

consecutivas são exponencialmente distribuídos com média de 10 minutos. A

quantidade de copos que cada cliente toma é definida quando da sua chegada,

através do atributo SEDE. A SEDE de um cliente varia de acordo com uma distribuição

inteira uniforme com um mínimo de 1 e um máximo de 4 copos. Chegando ao bar, um

cliente aguardará sua vez de ser servido. Uma vez servido, atividade cuja duração

segue uma distribuição normal com média de 6 minutos e desvio padrão de 1 minuto,

o cliente beberá seu copo a seguir. O tempo para beber um copo distribui-se

uniformemente com valores inteiros entre 5 e 8 minutos. Este ciclo irá se repetir até

que o cliente tenha sua sede saciada. Dois garçons são responsáveis pelo atendimento

dos clientes e pela lavagem dos copos usados. O atendimento, além do cliente, exige

também que um copo limpo esteja disponível. A lavagem dos copos tem duração

constante e igual a 2 minutos. Supõe-se ainda que o bar dispõe de 70 copos. Pede-se

desenvolver um modelo utilizando o DCA para representação do sistema.

Exemplo 4: Problema do Bilheteiro de Teatro

Durante o dia o bilheteiro de um teatro se encarrega da venda de ingressos e do

atendimento a consultas por parte do público. As consultas pessoais têm prioridade

sobre as chamadas telefônicas que, graças a um sofisticado sistema eletrônico, são

colocadas numa fila e atendidas na ordem de chegada. O público é educado e muito

paciente, nunca indo embora ou desligando o telefone sem que tenha sido atendido. O

intervalo entre a chegada de duas consultas pessoais consecutivas segue uma

distribuição exponencial com média de 12 unidades de tempo. O intervalo entre a

chegada de duas chamadas telefônicas consecutivas também é exponencialmente

distribuído com média 10 unidades de tempo. Um atendimento pessoal leva em média

6 unidades de tempo, seguindo uma distribuição exponencial. Uma chamada

telefônica leva em média 5 unidades de tempo, distribuindo-se também segundo uma

exponencial. Deseja-se simular este problema para estimar a taxa de ocupação do

bilheteiro e o tempo de espera das pessoas.

Refazer o problema supondo que a central telefônica não retenha chamadas (uma

chamada encontrando o sistema ocupado ou não sendo atendida – bilheteiro ocupado

– é perdida). Também simular os dois casos, supondo a existência de dois bilheteiros.

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2.3.1. Lista de Exercícios – Diagrama de Ciclo de Atividade

Exercício 1: Banco → Caixas com Atendimento Especial

Construir o DCA de um sistema bancário que opera com 2 caixas. Neste Banco, os

clientes chegam de acordo com uma distribuição exponencial com média de 4

minutos. E o atendimento nos caixas leva em média 5 minutos com desvio padrão de

30 segundos, segundo uma distribuição normal. O atendimento à pessoas idosas e

gestantes (clientes especiais) tem prioridade sobre o atendimento aos demais

clientes. 10% dos clientes que chegam ao banco são idosos e gestantes. Os clientes

especiais nunca desistem, mas os demais clientes quando encontram mais de 10

clientes na fila voltam para a casa.

Exercício 2:

Uma central telefônica, recebe chamadas a intervalos aleatórios segundo uma

distribuição exponencial negativa com intervalo médio entre chamadas de 4

segundos. A duração média da conversação é de 120 segundos, também seguindo

uma distribuição exponencial negativa. A central tem uma capacidade limitada de

atendimento correspondente ao número de troncos disponíveis que é igual a 30. Uma

chamada, encontrando o sistema congestionado (todos os troncos ocupados), é

perdida. Posto isto, pede-se construir o diagrama de ciclo de atividades para este

sistema, pois deseja-se construir um programa de simulação para estimar o número

médio de troncos ocupados e o percentual de chamadas perdidas. Além disso,

sabendo-se que o percentual de chamadas perdidas deve ser limitado a 5%, deseja-

se saber qual deveria ser o número de troncos necessários para atender a este nível

de serviço e qual seria, neste caso, a ocupação média da central.

Exercício 3:

Refazer o problema anterior supondo que uma chamada, encontrando o sistema

congestionado (todos os troncos ocupados), pode ser perdida, fato que ocorre com

30% de probabilidade, ou então, voltar a ser efetivada (retorno) dentro de 10

segundos. Não há limite preestabelecido para o número de retornos que uma

chamada pode ter.

Exercício 4:

Refazer o problema anterior supondo que uma chamada, encontrando o sistema

congestionado (todos os troncos ocupados), é direcionada para uma central auxiliar

com outros 10 troncos de capacidade. Caso a central auxiliar também esteja

congestionada, a chamada será perdida (não há retorno neste caso).

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Exercício 5:

Um porto de embarque de minério opera da seguinte forma: Os navios chegam ao

porto em intervalos de tempo que seguem uma distribuição exponencial negativa com

média de 6 dias. A capacidade dos navios varia da seguinte forma: 75% são de

100.000 t, 15% são de 200.000 t e 10% de 150.000 t. Chegando ao porto, os navios

encontrando o píer vago (o porto só possui um píer) e desde que haja minério no

estoque, começam a ser carregados a uma taxa de 1200 t/h. Caso o estoque de

minério termine antes do navio ser completamente carregado, o navio aguardará no

píer a chegada de minério, ou seja, ele só deixa o píer quando estiver completamente

carregado. O minério chega ao porto via ferrovia, sendo que cada trem é composto de

80 vagões com capacidade de 100 t cada um. Os trens chegam ao porto, em média, a

cada 7 horas, seguindo uma distribuição normal, com desvio padrão de 1 hora. Os

trens, chegando ao porto, têm seus vagões descarregados um a um, por um único

virador de vagões. O tempo de descarga de cada vagão segue uma distribuição

normal com média de 2,5 minutos e desvio padrão de 0,3 minutos. Ao fim da

descarga de cada vagão, obviamente, o estoque de minério do porto aumenta em 100

t. Posto isto, pede-se construir o diagrama de ciclo de atividades para o sistema.

Exercício 6:

Um consultório médico opera da seguinte forma (todos os valores de tempo estão em

minutos): os clientes chegam a intervalos que seguem uma distribuição triangular

com média de 30, mínimo de 23 e máximo de 35. Ao chegarem, são atendidos por

uma secretária que preenche um formulário eletrônico contendo informações sobre o

paciente. O tempo deste atendimento segue uma distribuição normal com média de 2

e desvio padrão de 0,5. Preenchido o formulário, o cliente aguarda pela consulta com

o médico, cuja duração segue uma distribuição normal com média de 20 e desvio

padrão de 5. Após a consulta 10% dos pacientes são submetidos a algum exame no

próprio consultório, enquanto os demais vão embora. O exame é realizado logo após a

consulta e feito pelo próprio médico, tendo uma duração exponencialmente distribuída

com média igual a 5. Após isso, os clientes deixam o consultório. A secretária além de

preencher os formulários, também atende o telefone, cujas chamadas chegam a

intervalos que seguem uma distribuição exponencial com média de 5. A duração da

conversa telefônica é exponencialmente distribuída com média igual a 3. O

atendimento telefônico, quando a secretária está disponível, é prioritário. Quando ela

está atendendo algum paciente, ela termina o atendimento antes de atender o

telefone. Posto isto, construir o diagrama de ciclo de atividades representativo deste

sistema explicitando todos os seus elementos e condições.

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Exercício 7:

Uma empresa usa matérias primas do tipo A e B. Ambas são transportadas por

caminhões, de mesma capacidade, que chegam à empresa segundo uma distribuição

exponencial negativa de média de 25 minutos. Sabe-se que 30% desses caminhões

trazem matéria prima do tipo A e o restante do tipo B. Ao chegarem à empresa os

caminhões têm sua carga checada por um funcionário da portaria, que preenche um

formulário e encaminha o caminhão para uma das docas de descarga, atividade que

possui duração exponencialmente distribuída com média de 5 minutos. Existe uma

doca (Doca A) para descarga de caminhões que transportam mercadorias do tipo A e

duas docas para aqueles que transportam mercadorias do tipo B (Doca B1 e Doca B2).

O tempo de descarga dos caminhões que transportam mercadoria do tipo A segue

uma distribuição normal com média de 30 minutos e desvio padrão de 6 minutos. O

tempo de descarga dos caminhões que transportam mercadoria do tipo B segue uma

distribuição triangular com moda de 38, mínimo de 30 e máximo de 50 minutos. Os

caminhões com mercadorias do tipo B são encaminhados para a doca que tiver menor

fila (B1 ou B2). Após a descarga, os caminhões seguem para outro setor da empresa

onde entregam as notas fiscais e os recibos de descarga. Neste setor, os caminhões

são atendidos por um funcionário, que preenche um formulário de liberação do

veículo. O tempo gasto pelo funcionário para realização deste serviço segue uma

distribuição normal com média de 7 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Após

receberem o formulário de liberação, os caminhões se dirigem à portaria da empresa,

onde o mesmo funcionário que os recebeu faz uma vistoria de segurança nos

caminhões, para certificar se eles não estão saindo com nada da empresa, e os libera

em seguida. O tempo gasto nesta atividade é exponencialmente distribuído com

média de 4 minutos. O funcionário da portaria prioriza o atendimento de chegada de

caminhões em relação à vistoria de saída. Posto isto, construir o diagrama de ciclo de

atividades representativo deste sistema.

Exercício 8:

Uma oficina de automóveis realiza serviços de manutenção mecânica, manutenção

elétrica e lanternagem. Para tanto, esta oficina conta com 4 equipes, duas para

manutenção mecânica, uma para manutenção elétrica e uma para lanternagem. Os

carros, ao chegarem à oficina, passam por uma triagem inicial, realizada por um único

funcionário, e são encaminhados para realização dos serviços, sendo que 45% deles

necessitam de manutenção mecânica, 25% de manutenção elétrica, 18% de

lanternagem e 12% de manutenção mecânica e lanternagem. Os carros que

necessitam de lanternagem e manutenção mecânica (12%) são atendidos

primeiramente no serviço que apresentar a menor fila de espera e após sua realização

são, então, encaminhados ao outro serviço, tendo prioridade de atendimento sobre os

veículos que porventura estiverem na fila de espera para realização daquele serviço.

O intervalo entre chegadas de carros segue uma distribuição exponencial negativa

com média de 2 h. O tempo de triagem segue uma distribuição normal com média de

0,17 h e desvio padrão de 0,02 h. O tempo de manutenção mecânica segue uma

distribuição exponencial negativa com média de 3,8 h. O tempo de manutenção

elétrica segue uma distribuição exponencial negativa com média de 2.5 h. O tempo de

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lanternagem segue uma distribuição exponencial negativa com média de 5 h.

Construir o DCA representativo do sistema, explicando detalhadamente os desvios

condicionais existentes.

Exercício 9:

A Empresa XYZ Ltda. pretende simular todo o seu processo produtivo com a finalidade

de testar novas políticas operacionais e a inserção de novos equipamentos. Hoje, a

empresa possui três setores: montagem das peças (2 máquinas), acabamento final (3

máquinas) e inspeção (10 funcionários). Existe um pequeno estoque entre cada um

destes setores. As peças necessárias para a confecção do produto chegam na linha de

montagem a intervalos que seguem distribuição exponencial com média de 5 minutos.

A linha de montagem é totalmente automatizada e o processo de montagem tem

duração segundo uma distribuição normal com média de 12 minutos e desvio padrão

de 3 minutos. Após a montagem o produto é transportado até o estoque da linha

seguinte. O processo de acabamento tem duração que segue uma distribuição normal

com média de 10 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Após o acabamento final o

produto é encaminhado ao setor de inspeção. O processo de inspeção tem duração

que segue uma distribuição exponencial com média de 3 minutos. A inspeção é feita

por dois funcionários da empresa. A empresa dispõe de 10 funcionários para este

setor. Após a inspeção, os produtos que estão de acordo com todas as normas de

qualidade (85% do total) são enviados para o estoque de produto acabado da

empresa. Os produtos não-conformes (15%) passam por um processo de

reaproveitamento das peças. Este processo de reaproveitamento tem duração média

de 2 minutos segundo uma distribuição exponencial negativa. Este processo é feito

pelos funcionários da inspeção. Apenas 20% dos produtos são reaproveitados e estes

são enviados ao setor de montagem. A atividade de reaproveitamento tem prioridade

sobre a atividade de inspeção. Posto isso, construir o DCA do sistema explicando

detalhadamente todos os desvios, atribuições e condições.

Obs.: Considere a entidade peças = entidade produto.

Exercício 10:

Uma agência bancária opera da seguinte forma: os clientes chegam a intervalos que

seguem uma distribuição exponencial com média de 3,5 minutos. Ao chegarem 40%

deles se dirigem aos caixas eletrônicos (a agência possui dois), 30% ao caixa comum

(a agência possui apenas um), 10% ao gerente, 12% aos caixas eletrônicos e em

seguida ao gerente e 8% ao caixa comum e em seguida ao gerente. O tempo gasto

no caixa eletrônico é exponencialmente distribuído com média de 2 minutos. O tempo

de atendimento no caixa comum segue uma distribuição normal, com média de 3

minutos e desvio padrão de 0,8 minutos. O tempo de atendimento pelo gerente segue

uma distribuição lognormal com média de 6 minutos e desvio padrão de 1,5 minutos.

Posto isso, construir o DCA do sistema explicando detalhadamente todos os desvios,

atribuições e condições.

Unileste 18


Exercício 11:

Uma empresa deseja estudar a compra de novos equipamentos para seu setor

de usinagem. Para saber quantos equipamentos de cada tipo ela deve comprar, ela

encomendou um estudo de simulação.

As Peças chegam à fábrica segundo uma distribuição exponencial com média de

4,5 minutos. Ao chegarem, as peças são distribuídas de acordo com três possíveis

seqüências de usinagem. Sabe-se que 30% das peças necessitam da usinagem do

tipo 1, 20% das peças necessitam da usinagem do tipo 2 e as demais peças

necessitam da usinagem do tipo 3. A seqüência de operações de cada tipo de

usinagem são descritas na tabela a seguir. Nesta tabela são apresentadas as

máquinas pelas quais cada peça deve passar.

Tipo de Usinagem Máquinas

1 Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3

2 Maq. 3 Maq. 2

3 Maq. 3 Maq. 2 Maq. 1

As operações na máquina 1 duram em média 12 minutos segundo uma

distribuição exponencial negativa. Já as operações na máquina 2 duram em média 10

minutos, com desvio padrão de 2 minutos segundo uma distribuição normal. E as

operações na máquina 3 têm duração segundo uma distribuição normal com média de

6 minutos e desvio padrão de 0,5 minutos.

Assim que são usinadas as peças são encaminhadas para o setor responsável

pela entrega da mesma ao cliente.

Posto isto, construir o DCA da situação atual da empresa explicando

detalhadamente todos os desvios, atribuições e condições.

Sugestão: Crie um atributo “TUSI” que representa a seqüência de máquinas pela

qual as peças vão passar.

Unileste 19


2.4 Abordagens Usadas em Simulação

Tipos de Abordagens existentes:

Abordagem das três fases – Ideal para o DCA; Abordagem por Eventos – Mais rápida, porém mais complexa;

Abordagem por Atividades – Muito lento, por isso não é muito utilizado

recentemente; Abordagem por Processos – Mais usada pelos softwares de simulação.

2.4.1 Método das Três Fases

É uma das formas de estruturação de programas de simulação a eventos

discretos. Foi apresentado por Tocher em 1963. Suas principais características são descritas a seguir.

a) Conceitos de evento e relógio de simulação:

Um evento pode ser entendido como uma mudança no estado do sistema

em processo de simulação. Toda atividade está delimitada por dois eventos, o primeiro que caracteriza seu início e o segundo seu término.

O relógio da simulação corresponde ao instante corrente da mesma. O relógio

sempre avança para o instante em que ocorrerá o evento mais próximo, o que implica em um avanço a intervalos quase sempre variáveis. Sendo assim, o

programa de simulação deve dispor de recursos para descobrir quando ocorrerá o próximo evento e avançar o relógio da simulação até ele.

b) Tipos de eventos

Existem dois tipos de eventos associados ao método das três fases: os

eventos que caracterizam o início e aqueles que caracterizam o fim da atividade. Tais eventos são conhecidos como eventos do tipo C (início da

atividade) e eventos do tipo B (fim da atividade). Todo evento C é tido como condicional, pois para uma atividade ter início uma ou mais condições sempre

devem ser satisfeitas. A cada atividade está associado um único evento C, que está condicionado à existência de entidades nas filas e/ou fontes que precedem

a atividade. Como a duração de cada atividade é determinada antes de seu

início, através de amostragem ou deterministicamente, os eventos B têm seus inícios ou ocorrências predeterminados. Para cada entidade participante da

atividade é definido um evento B distinto. Assim, a cada atividade está associado um único evento C e tantos eventos B quantas forem as entidades

que dela participam. O evento B libera as entidades que participaram da atividade a ele relacionada para as filas subsequentes àquela atividade.

c) As fases A, B e C

As três fases que caracterizam o método são:

Fase A:

Unileste 20


Corresponde ao avanço do relógio da simulação. Nesta fase o relógio é

avançado para o instante quando se dará o término da próxima atividade. Para tanto, o programa consulta a lista de eventos B e encontra aquele que ocorrerá

em primeiro lugar.

Fase B:

Termina a atividade e executa todos eventos B programados para aquele momento, liberando as entidades para as filas subsequentes.

Fase C:

Executa a verificação das condições de início de todas as atividades do

sistema. Inicia as atividades cujas condições foram satisfeitas, calculando sua duração e programa os eventos B a elas associados. O início de cada atividade

é caracterizado pela saída das entidades das filas que a precedem. Uma

atividade é iniciada quantas vezes sua condição de início for satisfeita. A ordem de checagem das condições de início das atividades segue a ordem suas

prioridades predefinidas. Quando todas as atividades passíveis são iniciadas termina a fase C e retorna-se à fase A até a interrupção do programa e/ou seu

término.

Como pode ser notado no início da simulação, ou seja, quando o relógio está no instante zero, nenhum evento B acontece, pois não existe nenhuma

atividade em andamento. Sendo assim, o sistema deve ser modelado de tal forma que no instante zero possa ocorrer o início de pelo menos uma

atividade. Por isto as entidades permanentes são colocadas em filas adequadas antes do início da simulação. Para as entidades temporárias não existe esta

preocupação.

Uma última e importante consideração sobre a estruturação dos

programas diz respeito ao tempo de aquecimento. Grande parte dos sistemas simulados necessitam de um tempo de simulação inicial, onde não se coletam

dados estatísticos, para saírem do regime transiente e entrarem no regime estável de execução. Este intervalo de tempo é denominado tempo de

aquecimento do sistema. Isto é alcançado com uso de atividades especiais que geram eventos B programados com esta finalidade.

A figura a seguir apresenta a estrutura de um programa baseado no Método

das 3 fases.

Unileste 21


Exemplo: Problema das Sondas

A seguir é apresentado o DCA do problema das Sondas.

A seguir é apresentada a tabela com a simulação usando o método das 3 fases até o instante de tempo 4,5 h.

Unileste 22


Exercício:

O setor de manutenção de uma empresa de manufatura opera como descrito no DCA

abaixo. Utilizando as tabelas de variáveis aleatórias, faça uma simulação manual deste processo usando o Método das Três Fases até o instante T=15. As atividades têm sua duração descrita em dias. Obs.: Para o desvio após a inspeção considere que

x <=0,20 a máquina não passou na inspeção e x > 0,20 a máquina passou na inspeção.

Unileste 23


Uniforme (0,1) Exp(5) N(3; 0,5) N(0,5; 0,1)

0,2 0,4

0,5 0,1

0,3 0,8 0,7

0,5 0,6

0,9

2,9 2,7

5,2 4,2

7,2 8,8 5,1

4,8 6,2

4,9

2,5 2,9

3,0 3,5

3,3 2,9 3,0

3,1 2,7

3,4

0,4 0,6

0,5 0,5

0,4 0,6 0,4

0,6 0,5

0,6

2.4.2 Abordagem por Eventos

Usada desde a década de 60 devido a ampla utilização da linguagem de

simulação SIMSCRIPT (originada do trabalho de Markowitz et al em 1963).

Enquanto na abordagem pelo método das três fases temos blocos B’s e C’s, na abordagem por eventos as partições dos eventos são conhecidas como Rotinas

de Eventos, que são um conjunto de declarações que expressam toda as

conseqüências lógicas que podem ter origem a partir de um evento.

No caso do problema do bilheteiro de teatro tem-se 4 rotinas de eventos:

1 – Chegada de pessoas

2 – Chegada de chamadas telefônicas 3 – Fim do atendimento pessoal

4 – Fim da conversa telefônica

Pelo método das três fases seriam necessários 4 eventos B e 2 eventos C para expressar somente as atividades de atendimento. Na abordagem por eventos

as rotinas incluem eventos tipo B e C na mesma rotina.

Assim, o fim de atendimento pessoal e a chegada de pessoas poderiam ser

expresso pelo seguinte pseudocódigo:

Liberar a pessoa n

Se Tamanho da fila (Ag_Atd_Pessoal) >0 então: Pega a pessoa n+1 da fila Amostra o tempo de atendimento pessoal

Programa fim de atd. pessoal n+1 p/ ocorrer após o tempo de atendimento Senão se Tamanho da fila (Ag_Atd_Tel)>0 então:

Pega a próxima chamada na fila Amostra o tempo de conversa telefônica Programa o fim de atd. telefônico p/ ocorrer após o tempo de conversa

Senão libera o bilheteiro para a fila (Bilhet_Disponível) Amostra o tempo de chegada da pessoa n+1

Programa a chegada da pessoa n+1 Se Tam. da fila (Ag_Atd_Pessoal) =0 e Tam. da fila (Bilht_Disponível) então:

Unileste 24


Pega o bilheteiro na fila

Pega a pessoa n

Amostra o tempo de atendimento pessoal Programa fim de atd. pessoal n+1 p/ ocorrer após o tempo de atendimento

Senão coloca a pessoa n na fila (Ag_Atd_Pessoal)

Processamento de uma simulação baseada na abordagem por eventos:

1 – Exame do calendário de eventos para encontrar o próximo evento a

ocorrer e mover o relógio da simulação para este ponto. Move o(s) evento(s) que ocorrerá (ão) neste tempo para a lista de eventos correntes.

2 – Mantém o relógio parado e executa todas as rotinas de eventos que estão

na lista de eventos correntes.

Este ciclo se repete até o fim da simulação.

OBS: Na abordagem por eventos a simulação se processa mais rapidamente porque o programa não precisa testar, a cada passo, todos eventos C’s. Ao

invés disso, todas as conseqüências lógicas de um evento são previstas nas

rotinas de eventos. Por outro lado, a programação de modelos mais complexos fica mais difícil e a possibilidade de desenvolvimento modular fica mais

complexa.

2.4.3 Abordagem por Atividades

Foi a base original do método das três fases. Nos EUA, muitos estudiosos confundem estas duas abordagens. Surgiu na Inglaterra e foi usada na

linguagem CSL (Buxton & Laski, 1962), desenvolvida pela Esso e IBM. A base desta abordagem são atividades. Os eventos B e C são expressos por

atividades. Assim, para o problema do bilheteiro de teatro, teríamos as seguintes atividades:

1 – Chegada de pessoas

2 – Início do atendimento pessoal

3 – Fim do atendimento pessoal 4 – Chegada de chamadas

5 – Início da conversa telefônica 6 – Fim da conversa telefônica

Processamento de uma simulação baseada na abordagem por atividades:

1 – Exame do calendário de eventos para encontrar o próximo evento a

ocorrer e mover o relógio da simulação para este ponto.

2 – Varre repetitivamente todas as atividades, fazendo seus testes de execução, para descobrir aquelas que podem ser executadas no instante

corrente.

Este ciclo é repetido até a simulação terminar.

Unileste 25


Obs: Este tipo de simulação é mais lenta, pois a varredura de todas as

atividades deve acontecer a cada avanço do relógio.

2.4.4 Abordagem por Processos

Usado primeiramente no sistema SIMULA (Dahl & Nygaard, 1966).

Para modelar um sistema usando as abordagens anteriores, é necessário que o analista considere o processo (ou ciclo de vida) de cada classe de

entidades e quebrá-lo em partes fundamentais. Na abordagem por processos, o bloco básico de construção do modelo é o processo de cada classe de

entidades. Um processo é definido como uma seqüência de operações através das quais uma entidade deve passar durante sua vida no sistema. Cada classe

de entidades tem seu próprio processo. Assim, uma simulação baseada em

processos consiste num conjunto de processos, pelo menos um para cada entidade. Durante a simulação, entidades serão criadas como membros dessas

classes e seguirão o processo previsto para a classe. O programa executivo controla, a cada instante da simulação, o movimento dessas entidades pelos

processos. O progresso no movimento da entidade pode ser suspenso por duas condições:

Retardos incondicionais: retardos cujos tempos são determinados a

priori, normalmente por amostragem. Este tipo de retardo acontece quando uma entidade participa de uma atividade.

Retardos condicionais: retardos cujos tempos não são determinados a

priori. Isto ocorre quando as entidades tem seu movimento suspenso devido à espera de atendimento de condições para prosseguir seu processo (espera em

filas). No caso do bilheteiro de teatro teríamos, por exemplo, o seguinte

processo para a classe de entidades pessoas:

1 – Pessoa n chega 2 – Amostra o tempo de chegada da próxima pessoa 3 – Cria o processo para a pessoa n+1

4 – Retarda pessoa n+1 até sua chegada 5 – Pessoa n espera até chegar ao início da fila e o bilheteiro estar livre

6 – Pega o bilheteiro 7 – Pega a pessoa n na fila

8 – Amostra o tempo de atendimento 9 – Retarda a pessoa n até o atendimento ser finalizado

10 – Libera o bilheteiro

11 – Libera a pessoa n

Processamento de uma simulação baseada na abordagem por processos:

Unileste 26


Teoricamente um processo é uma lista de operações cronologicamente

ordenada. O programa executivo precisa saber em quais pontos uma entidade

pode ter seu curso suspenso por retardos condicionais e incondicionais. Desta forma, cada processo deve conter pontos de reativação, nos quais as entidades

suspensas retornam ao processo. Um programa executivo deve manter um registro para cada entidade que contenha dois campos: seu tempo de

reativação e seu próximo ponto de reativação. O programa executivo deve então manter duas listas destes registros:

1 – Lista de eventos futuros: lista contendo uma seqüência cronológica de

registros daquelas entidades cujo progresso está suspenso incondicionalmente.

2 – Lista de eventos correntes: a qualquer instante da simulação, esta lista contém registros de dois tipos de entidades. Primeiro aquelas cujo progresso

está suspenso incondicionalmente e cujas reativações devem ocorrer no instante corrente da simulação. Segundo aquelas entidades cujo progresso

está suspenso condicionalmente.

O programa executivo a cada instante realiza as seguintes fases:

1 – Varre a lista de eventos futuros para determinar o tempo do próximo

evento. Avança o relógio da simulação até este instante.

2 – Move as entidades, cujo tempo de reativação é igual ao tempo corrente, da lista de eventos futuros para a lista de eventos correntes.

3 – Varre a lista de eventos correntes e move as entidades que apresentarem

condições, ao longo de seu processo, até o mesmo ser completado ou ser suspenso por retardos condicionais ou incondicionais. Se o retardo for

incondicional, a entidade terá seus registros movidos para a lista de eventos futuros. O programa registra seu próximo ponto de reativação.

Este ciclo é repetido até a simulação terminar.

2.5 Geração de Números Aleatórios e Método do Monte Carlo

1 – Números verdadeiramente aleatórios:

Exemplos de geradores: > Roleta

> Dados

Nota: ambos são geradores muito lentos

Simuladores necessitam de longas seqüências de números aleatórios, o que dificulta o uso dos geradores exemplificados.

Podem ser usados equipamentos eletrônicos e radioativos para este fim. Este tipo de equipamento mede o número de partículas emitidas num curto

Unileste 27


intervalo de tempo. Um aparelho semelhante a um contador Geiger é usado

para contar essas partículas em cada intervalo de tempo e os resultados

obtidos são convertidos em números aleatórios. Por razões óbvias, um contador deste tipo não poderia ser usado em um simulador.

2 – Números pseudo-aleatórios:

A importância de se produzir seqüências idênticas de números aleatórios

reside na garantia que as condições de teste de cada cenário sejam idênticas e que seja possível a repetição da simulação.

Números aleatórios podem ser gerados e depois armazenados de alguma

forma, como por exemplo, em tabelas (Rand Corporation, 1955). O problema é que números armazenados dessa forma deixam de ser

aleatórios a partir do momento que pode-se prever o próximo número observando a tabela!

Números pseudo-aleatórios são produzidos por geradores baseados em regras matemáticas bem conhecidas. As seqüências produzidas passam em

testes idênticos àqueles usados em seqüências verdadeiramente aleatórias.

Tipos de geradores: Congruenciais Congruenciais multiplicativos

3 – Geradores Congruenciais:

Proposto primeiramente por Lehmer (1951). A seqüência é obtida da seguinte

relação:

Xi é a seqüência de inteiros no intervalo (0, m-1)

c, a e m são constantes, onde a é chamado de multiplicador, c de incremento

ou constante aditiva e m de módulo.

X0 é o valor inicial da seqüência, também chamado de semente.

mod m é o resto da divisão por m. No caso, o resto da divisão de (Xi + c) por m.

Exemplo: seja X0=4, a=3, c=0 e m=5

i Xi

0 4

1 2

2 1

)(mod1 mcaXX ii

Unileste 28


3 3

4 4

5 2

Obs: 1 - O valor máximo de Xi=m-1 2 – Existe periodicidade

Assim, caso se queira produzir valores no intervalo (0,1) deve-se dividir o

resultado obtido para Xi por m.

Ui=Xi/m Xi (0,m - 1) e Ui(0,1)

Requisitos gerais para estes geradores:

A escolha dos valores de a, c e m é fundamental para determinar se os

números gerados terão uso prático. Em geral, deseja-se garantir as seguintes características aos geradores:

Os números produzidos deverão ser uniformemente distribuídos no

intervalo (0,1), ou seja, todos os valores dentro desta faixa deverão ocorrer com igual freqüência.

Os números gerados deverão ser independentes um do outro.

Comprimento do ciclo deve ser o maior possível.

Devido aos simuladores exigirem um grande número de valores, o processo de geração deve ser rápido para garantir a eficiência da simulação.

4 – Geradores congruenciais multiplicativos:

Neste caso, c=0 e X0 0

Para garantir um período completo dentro do intervalo (0, m –1), o valor da

semente X0 e do módulo m devem ser primos entre si. A melhor maneira de garantir esta condição é encontrar o maior número primo possível para o

módulo. Um gerador muito utilizado que tem boa aceitação estatística usa a=16.807 e m=231-1=2.147.483.647. Fishman (1978) sugeriu

a=630.360.016 e m=2.147.483.647. Groenendaal (1992) sugeriu a=397.204.094 e m=950.706.376. Ambos tiveram boas características

estatísticas.

)(mod1 maXX ii

Unileste 29


5 – Amostragem aleatória simples

Método de Monte Carlo: O método de Monte Carlo baseia-se num conceito estatístico simples:

Seja x uma variável aleatória com as seguintes características:

1 – Função de distribuição de probabilidades f(x)

2 – Função cumulativa de probabilidades F(x)

Se y=F(x), então y tem uma distribuição uniforme sobre o intervalo fechado (0,1). Assim, como a função cumulativa de probabilidades representa as

características aleatórias da variável em questão, a função y=F(x) é uma relação entre duas variáveis:

Variável x, com distribuição aleatória própria;

Variável y, com distribuição uniforme, entre 0 e 1.

O método de Monte Carlo consiste nos seguintes passos:

1 – Dada a função cumulativa de probabilidades da variável em simulação,

sorteia-se um número (através de um gerador de números aleatórios) no intervalo (0,1).

2 – Usando a função cumulativa de probabilidades, determinar o valor da

variável x que corresponde ao número aleatório gerado.

Assim, pode-se definir o Método de Monte Carlo como sendo uma forma de transformar um conjunto de números aleatórios (distribuição original) em

outro conjunto de números (variáveis aleatórias), com a mesma distribuição da variável considerada.

Unileste 30


3 Teoria das Filas

3.1 O que são filas?

Um sistema com fila é qualquer processo onde os usuários oriundos de uma determinada população chegam para receber um serviço pelo qual

esperam, se for necessário, saindo do sistema assim que o serviço é complentado.

Exemplos:

Descontar um cheque em um banco;

Pagar compras em um supermercado;

Comprar um ingresso num cinema;

Pagar pedágio na estrada;

Lingotes aquecidos, esperando serem laminados em uma aciaria;

Caminhões em uma mineradora, esperando junto a uma carregadeira, a

vez de serem carregados com minério;

Entre outras várias situações...

Filas não são simpáticas

Lei de Murphy:

“a fila que anda é a outra, mas não adianta trocar de fila pois a fila que

anda é a outra.”

Filas são Dispendiosas

Filas em equipamentos de produção podem ocasionar aumentos no ciclo de produção, tendo como conseqüência aumento nos custos e atrasos nos

pedidos dos clientes.

Estrutura Básica de um sistema com Fila

Um sistema com fila é composto fisicamente por usuários, por canais

ou posto de serviço/atendimento e por um espaço designado para a espera.

Unileste 31


3.2 Características de uma Fila

A) Clientes e Tamanho da População

População infinita – chegadas independentes: a chegada de um novo cliente não afeta a taxa de chegada dos clientes subseqüentes.

População Finita ou pequena – a chegada um novo cliente afeta a taxa

de chegada dos clientes subseqüentes. Por exemplo: Numa Mineração, na qual existem 3 caminhões.

B) Processo de Chegada

Não basta fornecer valores médios, é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média, i.e., qual distribuição de

probabilidades rege o processo.

Exemplo: Pedágio. 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a cada 3 segundos.

= Ritmo (taxa) de Chegada e IC = Intervalo entre chegadas.

Obs: Intervalos regulares - processos altamente automatizados.

C) Processo de Atendimento

Exemplo: Pedágio. Atendente atende 6 veículos por minuto ou gasta 10 segundo para atender um veículo.

= Ritmo ou taxa de atendimento e TA = Tempo de atendimento.

D) Número de Servidores Quantidade de servidores que atendem aos clientes.

E) Disciplina da Fila

FIFO = First in, first out;

LIFO = Last in, first out

Prioridade = Uma característica do cliente define sua prioridade de

atendimento.

Randômico = Atendimento aleatório.

F) Tamanho Médio da Fila

Se e são constantes => o tamanho da fila oscila em torno de um

valor médio. Se < a fila aumentará indefinidamente.

Unileste 32


G) Tamanho Máximo da Fila

Os clientes devem aguardar em uma área de espera que deve ser dimensionada de acordo com o tamanho máximo esperado para a fila.

H) Tempo Médio de Espera na Fila

O tempo médio de espera depende dos processos de chegada e

atendimento.

3.3 Dinâmica de uma Fila

Exemplo: Um banco

Chegada:

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2

Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30

IC = 2,5 minutos (média)

= 24 clientes por hora

Atendimento:

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3

TA = 2 minutos (média) = 30 clientes por hora

Dinâmica do Funcionamento

Ate

ndim

ento

Fila

Unileste 33


Tempo Médio na Fila

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tempo

na Fila 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2

Total de Clientes Atendidos: 12

Tempo Médio na Fila (TF) = (3+4+3+1+3+2)/12 = 16/12 = 1,33 minuto Número médio de clientes na fila (NF) = (3+4+3+1+3+2)/35 = 0,46 cliente

Sistemas Estáveis

Fluxo médio de entrada () constante.

Ritmo médio de atendimento () constante.

>

Dimensionando filas

Um estudo sobre um sistema estável, apresentará sempre os mesmos resultados desde que adequadamente analisado.

O tamanho da amostra é fundamental.

3.4 Tipos de Filas

Uma fila e um único servidor

Uma única fila e diversos servidores

População Fila Atendimento

Servidor

Clientes

População Fila

Atendimento

Clientes

Servidor

Servidor

Servidor

Unileste 34


Unileste 35


Diversas filas e os correspondentes servidores

Sistemas Complexos de Fila

Filas Especiais

Ex.: Caixa rápido em supermercados

3.5 Variáveis Aleatórias Fundamentais

Variáveis referentes ao sistema:

TS = tempo médio de permanência no sistema

NS = número médio de clientes no sistema

Variáveis referentes ao processo de chegada:

= ritmo médio de chegada

IC = intervalo entre chegadas

por definição: IC = 1/

Variáveis referentes à fila:

TF = tempo médio de permanência na fila

NF = número médio de clientes na fila

População

Filas Atendimento

Clientes

Servidor

Servidor

Servidor

População Fila

Atendimento 1

Clientes Servidor

Servidor

Servidor

Servidor

Servidor

Atendimento 2

Unileste 36


Variáveis referentes ao processo de atendimento:

TA = tempo médio de atendimento ou serviço

c = quantidade de atendentes ou servidores

NA = número médio de clientes que estão sendo atendidos

= ritmo médio de atendimento de cada atendente

por definição: TA = 1/

Relações básicas:

NS = NF + NA

TS = TF + TA

Pode-se demonstrar também que:

NS = NF + / = NF + TA/IC

Taxa de utilização dos atendentes:

Para 1 fila e 1 servidor: = /

Para 1 fila e c servidores: = /(c )

Assim, representa a fração média de tempo em que cada servidor

está ocupado.

Para sistemas estáveis, tem-se que : < 1.

População

Atendimento

Servidor

Servidor

Servidor

Sistema

Clientes na fila Cliente que está sendo atendido

Saída Chegada Fila

Sistema

TF NF IC c TA NA

TS NS

Unileste 37


Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes:

i = | / | = |TA/IC|

i é o próximo valor inteiro que se obtém pela divisão / .

Assim, i representa o número mínimo de atendentes necessário

para atender a um dado fluxo de tráfego. Unidade de i = erlangs

(em homenagem A. K. Erlang).

Fórmulas de Little (J. D. C. Little):

NF = . TF

NS = . TS

Postulados básicos:

1 - Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo

que sai.

2 - Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas

diversas seções do sistema.

3 - Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas. 3 = 1 + 2

4 - Em um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente.

...

A B C

A

C B

A 1

2

1

2 3

A

B

C 1 =20

2 =4 20%

80%

3 =16 3 =16

2 =4

Unileste 38


Resumo das Fórmulas

Nome Fórmula

Intervalo entre chegadas /1IC

Tempo de Atendimento /1TA

Taxa de Utilização dos Atendentes c/

Intensidade de Tráfego |IC/TA||/|i

Relações entre fila, sistema e atendimento NANFNS

IC/TANF/NFNS

TATFTS

c/NA

Fórmulas de Little TS.NS

TF.NF

Ciclo TFSTSCiclo

/)populaçãoda.tam(Ciclo

Exemplo 1:

Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que =20

clientes / hora, =25 clientes por hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho

médio da fila.

Para o mesmo exemplo calcular o número médio de clientes no sistema (NS) e número médio de clientes sendo atendidos (NA).

3.6 Modelos de Filas

3.6.1 Notação de Kendall

Fila A/B/c/K/m/Z

onde:

A = distribuição dos intervalos entre chegadas

B = distribuição dos tempos de serviço

c = quantidade de servidores (atendentes)

K = capacidade máxima do sistema

m = tamanho da população

Z = disciplina da fila

A notação condensada A/B/c é muito usada e se supõe que não há limite

para o tamanho da fila, a população é infinita e a disciplina é FIFO. Para A e B, quando a distribuição for exp. Negativa, usa-se M (Marcoviana).

Unileste 39


3.6.2 O Modelo M/M/1

Tanto as chegadas quanto o atendimento seguem a distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa (ou marcovianos).

Medidas de Desempenho:

Medida de Desempenho Fórmula

Taxa de Ocupação: 𝜌 =𝜆

𝜇

Número Médio de Usuários na Fila: 𝑁𝐹 =𝜌2

(1 − 𝜌)=

𝜆2

𝜇(𝜇 − 𝜆)

Tempo Médio de espera na fila: 𝑇𝐹 =𝜌

(𝜇 − 𝜆)=

𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆)

Número Médio de Usuários no sistema: 𝑁𝑆 =𝜌

(1 − 𝜌)=

𝜆

(𝜇 − 𝜆)

Tempo médio de permanência no sistema: 𝑇𝑆 =1

𝜇 − 𝜆

Probabilidade de não encontrar ninguém no

sistema: 𝑃0 = 1 − 𝜌

Probabilidade de Encontrar 𝒏 elementos no

sistema: 𝑃𝑛 = 1 − 𝜌 (𝜌)𝑛

Probabilidade do tempo de espera na fila ser maior que um tempo 𝒕 > 0:

𝑃 𝑇𝑞 > 𝑡 = 𝜌𝑒− 𝜇−𝜆 𝑡

Taxa de Utilização

1)(NF

22

População Fila Atendimento

Servidor

Clientes

Unileste 40


Quando tende p/ 1 a fila tende a aumentar infinitamente.

Exemplo: A cabine telefônica

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedeçam a lei de

Poisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que siga a distribuição exponencial negativa.

Pede-se:

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar?

b) Qual o número médio de pessoas na fila?

c) Qual o número médio de pessoas no sistema?

d) Qual o número médio de clientes usando o telefone?

e) Qual o tempo médio de fila?

f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de

espera na fila seria de 3 minutos?

g) Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

Unileste 41


3.6.3 O Modelo M/M/c

Tanto as chegadas quanto o atendimento seguem a distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa (ou marcovianos) e o sistema possui 𝑐 servidores.

Medidas de Desempenho:

Medida de Desempenho Fórmula

Taxa de Ocupação: 𝜌 =𝑟

𝑐; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 =

𝜆

𝜇

Número Médio de Usuários na Fila: 𝑁𝐹 = 𝑃0 𝑐 𝑟𝑐+1

𝑐! 𝑐 − 𝑟 2

Tempo Médio de espera na fila: 𝑇𝐹 = 𝑃0 𝑟𝑐𝜇

(𝑐 − 1)! 𝑐𝜇 − 𝜆 2

Número Médio de Usuários no sistema: 𝑁𝑆 = 𝑟 + 𝑃0 𝑐 𝑟𝑐+1

𝑐! 𝑐 − 𝑟 2

Tempo médio de permanência no sistema: 𝑇𝑆 =1

𝜇+ 𝑃0

𝑟𝑐𝜇

(𝑐 − 1)! 𝑐𝜇 − 𝜆 2

Probabilidade de não encontrar ninguém

no sistema: 𝑃0 = 𝑟𝑛

𝑛!

𝑐−1

𝑛=0

+𝑐 𝑟𝑐

𝑐! (𝑐 − 𝑟)

−1

Probabilidade de Encontrar 𝒏 elementos no

sistema: 𝑃𝑛 =

𝑃0

𝑟𝑛

𝑛!, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑛 < 𝑐

𝑃0

𝑟𝑛

𝑐𝑛−𝑐𝑐!, 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 𝑐

Probabilidade do tempo de espera na fila

ser maior que um tempo 𝒕 > 0: 𝑃 𝑇𝑞 > 𝑡 = 𝑃0

𝑟𝑐

𝑐! (1 − 𝜌) 𝑒− 𝑐𝜇−𝜆 𝑡

População Fila

Atendimento

Clientes

Servidor

Servidor

Servidor

Unileste 42


Exemplo: O fechamento de várias agências bancárias ao redor da agência X,

provoca nesta uma taxa de chegada de 0,60 clientes por minuto. Como ela

possuía apenas um caixa, ela não pode atender satisfatoriamente os clientes com um único servidor. O gerente deve, então, colocar caixas de atendimento

em paralelo. Considerando que a taxa de atendimento seja de 0,50 clientes por minuto, faça o que se pede:

a) Analise o comportamento do sistema, se o gerente colocar mais dois

caixas.

b) Dependendo dos resultados obtidos no item a, proponha modificações e analise o comportamento do novo sistema.

Unileste 43


3.7 Lista de Exercícios – Teoria das Filas

(1) Em uma mineração cada caminhão efetua um ciclo em que é carregado de minério por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para o descarregamento e retorna às carregadeiras. Verificou-se que o tempo médio (TS) dos caminhões junto

ao britador é de 12 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) no setor.

a) Qual a taxa de chegada de caminhões? (R.: 0,5 chegadas por minuto) b) No mesmo sistema acima, existindo um total de 30 caminhões em serviço, qual a duração de um ciclo? (R.: 60 minutos)

c) No mesmo sistema acima, qual o tempo médio para o processo completo de carregamento (ou TFS: Tempo Fora do Sistema)? (R.: 48 minutos)

(2) Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, em média, 4 entregadores

pó minuto para pegar o produto a ser entregue. Sabe-se, ainda, que o número médio de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS).

a) Qual o tempo médio no sistema? (R.: 1,5 minutos) b) No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo médio da

entrega (TFS)? (R.: 8,5 minutos)

(3) Em um sistema de computação temos 21 terminais. O tempo médio de resposta do computador (TS) é de 2 segundos e existem, em média, 6 transações (NS) dentro

do sistema. Pede-se:

a) Qual a taxa de chegada de transações? (R.: 3)

b) Qual a duração de um ciclo? (R.: 7)

c) Qual o “tempo médio de pensar e fornecer dados” (TFS) ? (R.: 5)

(4) No desenho seguinte, representativo do fluxo de peças em um setor de uma

fábrica, calcule o fluxo de chegada em cada equipamento. (R.: λA=10, λB=20,

λC=10, λD=30, λE=9, λF=21)

(5) Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora, em média, 16 minutos.

a)Qual o tempo médio de espera na recepção? (R.: TF= 1,07h) b) E no sistema? (R.: TS=1,33h)

c) Qual a probabilidade de existirem 3 clientes esperando?

A

B

C

D

E

F 70%

λ = 20

30%

λ = 10

Unileste 44


(6) Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O

tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, tempo médio de espera e a fração de tempo em que a bilheteria não trabalha. (R.:

NF=4,16 e TF=0,167 (tempo ocioso=17%)). Determine também a probabilidade de existirem 2 clientes na fila do teatro.

(7) Em um sistema de filas seqüenciais (ver figura), no qual as peças fluem pela linha

de produção, temos: λ1=10, λ2=5, µ1=15, µ2=30, µ3=20

Calcule:

a) NF, TF, NS e TS para cada servidor RESPOSTA:

Servidor λ µ NF TF NS TS

1 10 15 1,33 0,13 0,20 2

2 5 30 0,03 0,007 0,04 0,2

3 15 20 2,25 0,15 0,20 3

b) NS e TS para o sistema como um todo. (R.: NS=5,2; TS1=0,40 e TS2=0,24) (8) Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para

receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um profissional qualificado.

Os produtos que passam na inspeção vão para o outro setor da fábrica e os que são rejeitados (20%) vão para uma área de reparo existente no próprio setor. Atualmente

os dados são os seguintes (distribuição exponencial):

A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor;

O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes; O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado;

O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários; Os tempos de deslocamentos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto.

Pede-se:

a) NF, NS, TF e TS para cada servidor. RESPOSTA:

Servidor λ µ NF TF NS TS(hora) TS(min)

1 1,5 2,4 1,04 0,69 1,67 1,1 66

2 1,5 12 0,02 0,01 0,14 0,09 5,4

3 0,3 6 0,002 0,009 0,05 0,18 10,8

b) NS e TS para o sistema como um todo. (R.: NS=1,86 e TS=75,76)

µ1

µ2 λ2

λ1

λ3

µ3

λ3

Unileste 45


(9) Em uma pedreira, caminhões chegam para descarregar em um britador, provenientes de 2 minas diferentes. O tempo médio para descarregar um caminhão é

de 2 minutos. Os caminhões chegam da mina 1 a intervalos médios de 3 minutos e da mina 2 a intervalos médios de 12 minutos. Supondo que os processos de chegada e

atendimento sejam marcovianos (modelo M/M/1), determinar qual espaço deverá ser disponibilizado na praça do britador (quantos caminhões a praça deve comportar) para que as operações sejam realizadas satisfatoriamente.

(10) A prefeitura de uma cidade deseja colocar um pedágio na entrada de uma ponte.

Ruas de mão única (sentido unidirecional) convergem para esta ponte como mostrado na figura abaixo. O pedágio será colocado no ponto P. Os carros passam pelo ponto A uma taxa 40 carros / hora. Chegando ao ponto B há uma divisão do fluxo de carros,

sendo que 25% se dirigem na direção do ponto E e 75% na direção do ponto F. O intervalo médio entre passagens de dois carros consecutivos pelo ponto D é de 4,7

minutos e pelo ponto C é de 3,5 minutos. Sabendo-se que o tempo médio gasto para o pagamento e liberação do pedágio é de 38 segundos, qual será o tempo médio de espera dos carros no ponto P e qual será o tamanho médio da fila naquele ponto, se

considerarmos a existência de um único caixa de atendimento. Calcule também a taxa de ocupação do caixa. Suponha que os processos de chegadas e atendimento sejam

Markovianos.

(11) Uma lanchonete está estudando a possibilidade de oferecimento de serviço de

atendimento expresso a motoristas de forma a otimizar o atendimento a clientes que querem levar seus lanches para casa. Neste serviço, os clientes fazem seus pedidos,

pagam e recebem suas mercadorias sem a necessidade de sair do carro. Ao chegarem a lanchonete os carros entram num corredor que possui três cabinas espaçadas umas

das outras. Ao passar pela primeira cabina um funcionário anota o pedido do cliente num terminal de computador e o encaminha para o setor de produção. O carro segue em frente e ao passar pela segunda cabina, o cliente efetua o pagamento do pedido.

Após o pagamento, o carro segue até a terceira cabina onde recebe o pedido devidamente empacotado. Assumindo que os processos de chegada e atendimentos

nas diversas cabinas sejam Marcovianos, determinar qual seria o espaço a ser reservado antes de cada cabina (suponha que cada carro ocupe um espaço médio de 5 metros) de forma que o fluxo de uma cabina não prejudique o funcionamento da

anterior e que o espaço antes da primeira cabina seja adequado à espera. Assuma que cheguem em média 16 carros por hora, que a cabina de pedidos consiga atender

em média 30 carros por hora e que a cabina de pagamentos e entrega consigam atender, cada uma, uma média de 24 carros por hora. Calcular também o tempo médio de permanência dos clientes no sistema.

Unileste 46


(12) Está sendo planejada a saída do estacionamento de um shopping Center onde é

pago, num único guichê, o ticket pela estadia dos carros. Os carros chegam ao guichê segundo um processo de Poisson com taxa de 60 veículos por hora e o tempo

necessário para se processar a cobrança e permitir a saída do veículo está exponencialmente distribuído com média de 10 segundos.

a) Qual a taxa de utilização do sistema? (R.: 16,67%) b) Qual o número de carros mais provável no sistema? (Sugestão: Calcule os

valores de 𝑃𝑛) (R.: Zero)

c) Qual é o espaço necessário (em número de carros) no sistema para que, com pelo menos 95% de certeza, os veículos aguardando liberação não interfiram

no resto da operação? (Sugestão: Calcule os valores de 𝑃𝑛 e vá somando-os até que o percentual seja superior a 95%) (R.: 1 carro)

d) Qual o tempo médio de espera na fila de um cliente qualquer? (R.: 2 segundos)

(13) Deseja-se determinar a taxa de chamadas que pode ser suportada por uma central telefônica com as seguintes características:

- duração média das chamadas de 3 minutos; - podem ser tolerados, no máximo, 3 minutos de tempo médio de espera na fila;

- o sistema pode ser modelado com um modelo M/M/1. (R.: 𝜆 ≤ 0,17 chamadas /

minuto)

(14) Qual é a taxa de atendimento que um empregado de supermercado deve manter para garantir com uma probabilidade de 90% que um cliente aguarde pelo

atendimento no máximo 12 minutos? Ele é o único empregado do supermercado e atende em tempos exponenciais os clientes que chegam segundo um processo de Poisson com parâmetro 15 clientes por hora.

(R.: 𝜇 ≥ 0,402 clientes por minuto)

(15) Uma companhia telefônica tem dois operadores para atender chamadas que chegam segundo uma distribuição de Poisson com taxa de 15 chamadas por hora. Os

tempos de atendimento de cada operador são exponencialmente distribuídos com média igual a 5 minutos. Calcule as medidas de desempenho do sistema e comente os

resultados. (R.: 𝑃0 = 0,23; 𝜌 =0,625; NF=0,80 chamadas; TF = 3,19 min.; NS= 2,05

chamadas; TS = 8,19 min.; Probabilidade de não ter que aguardar atendimento = 0,52)

(16) Clientes de uma padaria são atendidos por quatro balconistas, cada um deles

capaz de atender em média 360 fregueses por hora, estando seus tempos de atendimento idêntica e exponencialmente distribuídos. Os fregueses chegam à padaria de acordo com um processo de Poisson com taxa de 80 clientes por hora.

a) Determine a fração de tempo que um balconista qualquer está desocupado.

(R.: 94,44%) Sugestão: Faça 𝑃 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑐𝑜𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜 = 𝑃0 +3

4𝑃1 +

1

2𝑃2 +

1

4𝑃3.

b) Calcule a probabilidade de que existam mais de três fregueses no sistema. (R.: 0,1 %) Sugestão: Faça 𝑃 𝑁 > 3 = 1 − (𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3)

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(17) Em uma estação de trens há cinco telefones públicos. Pessoas chegam para

telefonar segundo um processo de Poisson com taxa de 30 usuários por hora. O tempo médio de uma chamada é de 36 segundos, sendo a duração das mesmas

idêntica e exponencialmente distribuída. Determine:

a) O valor esperado do tempo que uma pessoa deve aguardar por um telefone. (R.: ≈ 0)

b) A probabilidade de que esta espera exceda 1 minuto. (R.: ≈ 0)

c) O número esperado de pessoas usando ou esperando um telefone. (R.: ≈ 0,3 usuários)

d) E se houvessem três telefones apenas, como ficariam os resultados anteriores?

(18) Navios chegam a um porto com taxa de um navio por hora, estando o tempo entre chegadas sucessivas distribuídos exponencialmente. O tempo de permanência

de um navio qualquer no porto (carregando e/ou descarregando) está exponencialmente distribuído com média de 12 horas. Quantos berços o porto deve

ter para que o tempo médio de espera na fila não exceda 6 horas? (R.: 14 berços). (19) Uma oficina de reparo de aparelhos eletrodomésticos recebe itens para concerto

que chegam segundo um processo de Poisson de parâmetro três aparelhos por hora. Cada aparelho é consertado por um eletricista que leva um tempo médio de 40,

estando esse tempo exponencialmente distribuído. Quantos técnicos são necessários para que o número médio de aparelhos aguardando conserto não ultrapasse 15 unidades? (R.: 3 técnicos)

(20) Clientes chegam a um banco segundo um processo de Poisson de parâmetro 3

clientes por minuto. O tempo de atendimento de um caixa qualquer segue uma distribuição exponencial com média de 0,5 minutos. Qual o menor número de caixa para atendimento simultâneo que deve ser mantido, de forma que sejam satisfeitas as

duas condições a seguir:

a) A probabilidade de um cliente qualquer não aguardar por atendimento seja maior ou igual a 0,9;

b) O tempo médio de espera na fila de um cliente qualquer ser menor que a metade do tempo médio de serviço? (R.: 4 caixas)

Unileste 48


Bibliografia Utilizada

ANDRADE, E. L. Introdução a Pesquisa Operacional. 3. ed., Rio de Janeiro: LTC,

2004.

PRADO, D. Teoria das Filas e da Simulação. INDG Tecnologia e serviços Ltda.,

Coleção Pesquisa Operacional, Vol. 2, 2. ed., 2004.

CHWIF, L.; MEDINA, A. F. Modelagem e Simulação de Eventos Discretos. 2. ed.,

São Paulo: Editora dos autores, 2007.

PIDD, M. Computer Simulation in Management Science. John Wiley & Sons Ltda.,

5. ed., 2004.

FOGLIATTI, M. C.; MATTOS, N. M. C. Teoria das Filas. Rio de Janeiro: Interciência,

2007.

sed apostila v30

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