seccion doblemente reforzada

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ESTUDIO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS Con frecuencia la altura de la sección de las vigas está limitada por razones tales como altura total del edificio, espacio libre necesario para la circulación dentro del Edificio y otras. Esto ocasiona que en algunos casos la sección no sea suficiente para soportar el momento y requiera de la utilización de refuerzo adicional superior o inferior en compresión. La colocación de refuerzo en ambos bordes no debe confundirnos porque en diseños prácticos se acostumbra prolongar tanto el refuerzo negativo como positivo por razones constructivas o reglamentarias, como se muestra en la figura. Pág. 1

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Page 1: Seccion Doblemente Reforzada

ESTUDIO DE SECCIONES RECTANGULARES

DOBLEMENTE REFORZADAS

Con frecuencia la altura de la sección de las vigas está limitada por

razones tales como altura total del edificio, espacio libre necesario

para la circulación dentro del Edificio y otras.

Esto ocasiona que en algunos casos la sección no sea suficiente

para soportar el momento y requiera de la utilización de refuerzo

adicional superior o inferior en compresión.

La colocación de refuerzo en ambos bordes no debe confundirnos

porque en diseños prácticos se acostumbra prolongar tanto el

refuerzo negativo como positivo por razones constructivas o

reglamentarias, como se muestra en la figura.

Pág. 1

Page 2: Seccion Doblemente Reforzada

ANÁLISIS DE SECCIONES DOBLEMENTE

REFORZADAS

A continuación mostramos el estudio “exacto” de una sección

rectangular doblemente reforzada en el que asumiremos que el

refuerzo en compresión esta en fluencia, suposición que

comprobaremos, modificándola en caso sea necesario.

Las fuerzas internas resultantes son

Compresión en el concreto:

(1)

Compresión en el acero:

(2)

Tracción en el acero:

Pág. 2

Page 3: Seccion Doblemente Reforzada

(3)

Del equilibrio de fuerzas horizontales:

(4)

(1) (2) y (3) en (4):

(5)

(6)

Se debe verificar que las áreas de acero están en fluencia, esto

ocurre si su deformación es igual o excede a la deformación :

Del diagrama de deformaciones:

Pág. 3

Page 4: Seccion Doblemente Reforzada

(7)

(8)

Si (9)

Si (10)

Si se mantienen estas condiciones, es correcta la suposición que

ambas áreas de acero están fluyendo.

El Momento Resistente Nominal estará dado por:

El Momento Resistente Nominal Reducido estará dado por:

En la que “a”, se obtiene de (6):

Si la comparación de (9) y (10), indica que el acero no está en

fluencia, el valor de “a”, obtenido de la ecuación (6), es incorrecto

Pág. 4

Page 5: Seccion Doblemente Reforzada

y se debe calcular el valor real de “a”, partiendo de la ecuación de

equilibrio, en consecuencia se tendrá:

En la que :

ó

ó

El Momento Resistente Nominal estará dado por:

El Momento Resistente Nominal Reducido estará dado por:

Ejemplo:

Determinar el Diagrama de Momentos Resistentes de la viga

mostrada.

Pág. 5

Page 6: Seccion Doblemente Reforzada

En la sección A-A:

As= 5 (5.10) = 25.50 cm2 A´s = 3 (1.97)= 5.91 cm2

Pág. 6

Page 7: Seccion Doblemente Reforzada

1. Consideramos y

Asumimos que el acero en compresión y en tracción están en fluencia:

Cc= 0.85 (210) a (25) = 4462.5 a kg

Cs= 5.91 (2800) = 16548 kg

T = 25.50 (2800) = 71400 kg

Se cumple:

Por lo tanto:

La deformación de fluencia es :

Pág. 7

Page 8: Seccion Doblemente Reforzada

Verificamos los esfuerzos en As y A’s , empleando el Diagrama de

Deformaciones.

As y A’s están en fluencia tal como se asumió.

2. Consideramos: y

Asumimos que el acero en compresión y en tracción está en fluencia:

Cc = 0.85 (350) a 25 = 7437.5 a kg

Cs = 5.91 (2800) = 16548 kg

T = 25.50 (2800) = 71400 kg

Pág. 8

Page 9: Seccion Doblemente Reforzada

La deformación de fluencia es

Se deduce que el acero en compresión no alcanza la fluencia y que

el acero en tracción si está en fluencia.

Se cumple que: , por lo tanto:

Pág. 9

Page 10: Seccion Doblemente Reforzada

Despejando “a” , se tiene la ecuación de 2º grado:

Resolviendo en a, se tiene:

El esfuerzo en el acero en compresiones:

Las resultantes de las compresiones en el acero y el concreto

Verificamos:

Pág. 10

Page 11: Seccion Doblemente Reforzada

DISEÑO DE SECCIONES DOBLEMENTE REFORZADAS

Asumiendo que tanto As como A’s , están en fluencia, el Momento

Resistente de Diseño está dado por :

(1)

en la que: (2)

Teniendo en cuenta que: (3)Reemplazando (3) en (1) se tiene:

(4)

Pág. 11

Page 12: Seccion Doblemente Reforzada

En las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se asume que el acero en

compresión está en fluencia, lo que verificaremos mediante el

diagrama de deformaciones.

(4’)

Esto requiere que:

(5)

Reemplazando (2) en (5):

Si en la expresión anterior hacemos

y reemplazamos : ,

Pág. 12

Page 13: Seccion Doblemente Reforzada

Obtenemos:

(6)

Esta expresión nos da el menor valor de tal que el acero en

compresión fluye.

Si el acero A’s no está en fluencia se puede hallar el esfuerzo en él

en términos de “a”. En la Ecuación (4) para A’s se debe utilizar f’s

en lugar de fy .

De (4’) tendremos:

(7)

La ecuación (1) modificada será:

en la que :

en donde: f’s , esta dado por la Ecuación (7)

Pág. 13

Page 14: Seccion Doblemente Reforzada

CUANTÍA BALANCEADA PARA SECCIONES

RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS

Del Diagrama de Deformaciones

Pág. 14

Page 15: Seccion Doblemente Reforzada

(8)

Por equilibrio de fuerzas horizontales:

Si hacemos y reemplazamos en (8’):

(9)

En consecuencia para una falla balanceada, la Ecuación (7), nos da

f’s para a = y reemplazándolo tenemos:

Igualando (8) y (9) y se tiene:

Pág. 15

(10)

Page 16: Seccion Doblemente Reforzada

La Norma N.T.E. E060-89 y el ACI 318-11, establecen:

Diagrama para la secuencia de verificación de secciones de vigas doblemente reforzadas.

Pág. 16

No

Si

No Si

No Si

Inicio

Dados : b, d, d’, As , A’s, f ’c , fy

bd'A

''bd

A ss

y

cmin f

'f7.0

La sección no es satisfactoria: aumente

>min

yy

c1

f60006000

df'd'f85.0'

entointprimerelPara

fdf)'('d'f85.016000'f y

y

1cs

El acero en compresión alcanza la falla, f ’s = fy

yy

c1b f6000

6000f

'f85.0

La sección no es satisfactoria:

aumente la sección

'dd'f'A2a

d'f'AfAM

b'f85.0'f'AfA

a

ssssysu

c

ssys

Fin

y

sb f

'f'75.0

Page 17: Seccion Doblemente Reforzada

ANÁLISIS POR FLEXIÓN DE VIGA DOBLEMENTE

REFORZADA

Determinar el momento resistente nominal Mn de la sección

doblemente reforzada que se muestra en la figura, considerar:

f’c = 350 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

d’ = 6 cm

Solución

Pág. 17

Page 18: Seccion Doblemente Reforzada

Para revisar si el acero de compresión está en fluencia, utilizamos la ecuación:

El valor ( - ’) = 0.01708 < 0.02138.

Por lo tanto, el acero de compresión no fluye y f’s es menor que fy.

En los casos que el acero de compresión no está en fluencia, usando

f’s = fy , tendremos como valor inicial para “a”.

FIGURA: Geometría y distribución de esfuerzos y deformaciones de la

sección transversal doblemente reforzada: (a) sección transversal; (b) Pág. 18

Page 19: Seccion Doblemente Reforzada

deformaciones; (c) parte 1 sección; (d) parte 1 fuerzas; (e) parte 2

fuerzas:

Una mejor aproximación para “a” se obtendrá de:

con este valor de “a” mejorado se halla un nuevo f’s:

al que consideramos valor final por ser 1.76% mayor que el valor

inicial.

El porcentaje máximo permisible de refuerzo establecido por la norma NTE E060-89 es:

Comparando tenemos que se cumple:

0.02156 < 0.02907

Pág. 19

Page 20: Seccion Doblemente Reforzada

Determinamos el Momento resistente nominal

valor de “a” , que es sensiblemente igual al anterior (a = 13.08)

Pág. 20