CONCURSUL NAIONAL LA COALA CU CEAS Ediia a XIII-a Rmnicu Vlcea, 19.03.2010

CLASA A V-a 1.Se consider numerele naturale a1, a2, , a102 astfel nct0 < a1 < a2 < ...< a102 < 307. a) Cte valori distincte poate lua suma a1+ a2 + + a102 ? b) Efectund toate diferenele a oricror dou numere vecine, ak+1 - ak, artai c una dintre aceste diferenese repet de cel puin 21 de ori. Prof. Dumitru Dobre, Rm. Vlcea 2. Fie mulimea M = {1; 2; 3; ..; 2010}. a) Putem alege 1008 elemente din mulimea M astfel nct aezate pe un cerc, suma oricror dou numere vecine s fie divizibil cu 3? Justificai! b) Putem alege 1008 elemente din mulimea M astfel nct aezate pe un cerc, suma oricror dou numere vecine sa fie divizibil cu 4? Justificai! Prof. Sorana i Rzvan Dinu, Slobozia 3. a) S se arate c 999999 este divizibil cu 142857; b) S se determine cel mai mic numar natural cu suma cifrelor egala cu 2010; c) S se determine restul mpririi la 14 a numrului determinat la subpunctul b . Prof. Beatrice i Emil Ciolan, Slatina 4. Fie A = {1, 2, 3, .., 2010}. O mulime B A are proprietatea P dacB = {a, b, c, d} cu a, b, c, d divizibile cu 134 i a + b + c + d = 2010. a)Dai un exemplu de mulime B cu proprietatea P; b)Determinai toate mulimile B care au proprietatea P; c)Demonstrai c reuniunea tuturor mulimilor B care au proprietatea P se poate scrie caoreuniunedetreimulimidisjunctedouctedou,avndsumaelementelor fiecreia aceeai. Prof.Constantin Brscu i Marin Mazilu, Rm. Vlcea Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES ! www.mategl.com CONCURSUL NAIONAL LA COALA CU CEAS Ediia a XIII-a Rmnicu Vlcea, 19.03.2010

CLASA A VI-a 1.a) S se determine numrul raional N pentru care este adevrat egalitatea : 6 6 4 6 4 2 6;5 5 3 5 3 1 5N + + = b) S se calculeze suma 2010 2010 2008 2010 2008 2006 2010 2008 .... 4 2....2009 2009 2007 2009 2007 2005 2009 2007 .... 3 1S = + + + + . Prof. Cecilia Deaconescu, Piteti Prof. Dumitru Dobre, Rm. Vlcea 2. Se consider mulimea. } ,....., , , {2010 3 2 1N = a a a a M Dac 3 122a a a = ,4 223a a a = , ..., 2010 200822009a a a = i 1001100110110110 , 10 = = a a , calculai 2010a . Prof. Rzvan Dinu , Slobozia Prof. Daniela Mihalache, Slobozia 3. n triunghiul ABC, [BD] este nlimea din B, iar [BP este bisectoarea unghiului ABD ) , ( AC P D . Dac

45 ) ( = PBC mdemonstrai c triunghiul ABC este isoscel. Prof. Gabriel Popa, Iai 4. Fie 2011 puncte distincte cu proprietatea c oricare trei sunt necoliniare. a)Care este numrul de drepte determinate de aceste puncte ? Dac unim arbitrar punctele ntre ele astfel nct prin fiecare punct s treac cel puin o dreapt, demonstrai c : b)Exist cel puin un punct prin care trec un numr par de drepte; c)Numrul punctelor prin care trec un numr par de drepte este impar. Prof. Constantin Brscu, Rm. Vlcea Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES ! www.mategl.com CONCURSUL NAIONAL LA COALA CU CEAS Ediia a XIII-a Rmnicu Vlcea, 19.03.2010

CLASA A VII-a 1. S se determine toate perechile de numere naturale (d; n), d 2, n 2 cu proprietatea d | (n - 1)2 + 1 id | (n + 1)2 1. Prof. Maria i Vasile Pop, Cluj 2. Pentru fiecare numr naturaln 2 , notm n! = 1 . 2 . 3 ...... . n.Considerm mulimea )`=*)! 1 (N pppF , unde p este numr prim. a) Artai c mulimea F i mulimea numerelor naturale sunt disjuncte. b)Artai c suma unui numr finit de elemente diferite ale lui F nu este numr natural. Prof. Gabriela i Constantin Bue, Timioara 3. Fie dreptunghiul ABCD, cu m( DAC) = 60, iar (AS bisectoarea unghiului DAC,S (DC). Dac {E} = AS BC, {O} = AC BD, {L} = AD OS, s se arate c: a) SM || CL, unde {M} = CO BL; b) patrulaterul ACEL este romb. Prof. Manea Cosmin i Petric Drago, Piteti 4. Fie triunghiul ABC cu

120 ) ( = A mi AB = 10 cm.Se consider punctele E (AB), F (AC) astfel nct CF = BE = 4 cm.Dac M i N sunt mijloacele segmentelor [BC], respectiv [EF], calculai: a)) ( BIM munde AB MN = {I}; b)lungimea segmentului [MN]. Prof.Constantin Brscu, Rm. Vlcea Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES !www.mategl.com CONCURSUL NAIONAL LA COALA CU CEAS Ediia a XIII-a Rmnicu Vlcea, 19.03.2010

CLASA A VIII-a 1.a) Demonstrai c 2 24 1 2 ( 1) p q p q + + > +pentru orice p, qb) Determinai cel mai mare a R astfel nct 2 24 1 2 ( 1) p q ap q + + + ,, . p q Rc) Determinai cel mai mare b Rastfel nct 2 24 1 2 ( 1) p q bp q + + + ,, . p q Zprof. Vasile Gorgot, Rm. Vlcea 2.Sumaa2nnumerenaturaledistincteestemaimicdect3n2.Ssearatecprintre acestea exist dou din ele cu suma 2n + 1. Prof. Maria i Vasile Pop, Cluj 3. Fie BCD un triunghi cu BC = 6 cm, CD = 12 cm i m

90 ) ( = B . Pe ipotenuza (CD) se considerunpunctEastfelnctBE2=CE .ED.Peplanultriunghiuluiseridico perpendicular n B pe care se consider un punct A astfel nct AB = 6 3cm. Fie F i G proieciile lui B pe AC i respectiv AE. a) S se afle distana de la punctul D la dreapta AC. b) Stabilii dac D, G i F sunt coliniare. Prof. tefan Smrndoiu, Rm. Vlcea 4. Ptratul ABEF de latur a i dreptunghiul ABCD sunt situate n plane perpendiculare. Demonstrai c

60 )) , ( (3) , ( = = AC BF maBF AC d . Prof.Constantin Brscu i Florin Smeureanu, Rm. Vlcea Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. SUCCES !

www.mategl.com BAREME CLASA a V-a Problema 1 Se consider numerele naturale a1, a2, , a102 astfel ca 0< a1< a2< < a102 < 307. a) Cte valori distincte poate lua suma a1+ a2 + + a102 ? b) Efectund toate diferenele a oricror dou numere vecine ak+1 - ak, artai c una dintre aceste diferenese repet de cel puin 21 de ori. Barem: a) Cea mai mic valoare a sumei este 1 + 2 + 3 + + 102 = 103.51.................................... 1p Cea mai mare sum este 205 + 206 + + 306 = 511.51................................................... 1p Cum toate valorile intermediare acestor sume pot fi obinute,n total sunt51.(511 - 103) + 1 = 51.408 + 1 = 20809 valori diferite................................... 1p b) Calculnd suma tuturor diferenelor obinemS = (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (a102 - a101) = a102 - a1 < 307 1 = 306 (1) ............................ 1p Dac toate diferenele ar aprea de cel mult 20 de ori, calculnd suma celor mai mici 101 dintre acestea obinem valoarea minim 20.(1+2+3+4+5) + 6 = 306 (contradicie cu (1)) ........... 2p Deci mcar o diferen apare de cel puin 21 de ori......................................................... 1p www.mategl.com CLASA a V-a Problema 2 Fie mulimea M = {1; 2; 3; ..; 2010}. a) Putem alege 1008 elemente din mulimea M astfel nct aezate pe un cerc, suma oricror dou numere vecine s fie divizibil cu 3? Justificai! b) Putem alege 1008 elemente din mulimea M astfel nct aezate pe un cerc, suma oricror dou numere vecine sa fie divizibil cu 4? Justificai! Barem: a)Mulimea { }33, 6, 9,..., 2010 M M = are 670 elemente Mulimea( ) { }31 1, 4, 7,..., 2008 M M + = are 670 elemente Mulimea( ) { }32 2, 5, 8,..., 2009 M M + = are 670 elemente .............................................2p I.Daca unul din elementele alese ar fi multiplu de 3 atunci conform conditiilor problemei toate celelalte elemente ar fi multiplii de 3. Nu avem 1008 astfel de elemente..................................................................................................................0,5p II.Daca unul din elemente ar fi de forma31 M+ , ar trebui sa alegem 504 elemente de forma 31 M+si alte 504 elemente de forma 32 M+ . Se poate face o astfel de alegere.Se poate da un exemplu.......................................................................................... 1p b) Mulimea{ }44, 8,12,...2008 M M =are 502 elemente Mulimea( ) { }41 1, 5, 9,..., 2009 M M + =are 503 elemente Mulimea( ) { }42 2, 6,10,..., 2010 M M + =are 503 elemente ..................................... 1,5p I.Daca unul din elemente e de forma 4Matunci conform conditiilor problemeitoate celelalte elemente ar fi de aceeasi forma, in total 1008 elemente.Nu avem 1008 multiplii de 4.........................................................................................................0,5p II.Daca unul din elementele alese e de forma 41 M+ , ar trebui sa alegem 504elemente de forma 41 M+si 504 elemente de forma 43 M+ . Nu avem decat 503 elemente de fiecare fel......................................................................................... 0,5p III.Daca unul din elemente este de forma 43 M+se procedeaza analog................. 0,5p IV.Daca unul din elemente este de forma 42 M+se procedeaza analog................. 0,5p www.mategl.com CLASA a V-a Problema 3 a)S se arate c 999999 este divizibil cu 142857. b)S se determine cel mai mic numr natural cu suma cifrelor egal cu 2010. c)S se determine restul mpririi celui mai mic numr natural cu suma cifrelor egal cu 2010 la 14. Barem: a)Prin mprire se constat c 999999=142857 7........................................................1p b)Pentru ca numrul s fie ct mai mic trebuie s aib ct mai putine cifre, deci va trebui s conin ct mai multe cifre de 9.Cum 2010 = 9 223 + 3 deducem c acesta va fi egal cu .......................................................................................................1p c)...............................................................................................1p Este evident c restul mpririi numrului dat la 2 este egal cu 1............................1p Determinm restul mpririi acestuia la 7.Conform punctului a) rezult c 999999 este multiplu al lui 7. De asemenea, 399 este divizibil cu 7 (mprire direct) si putem scrie: + 9999900000+99999.Conform observaiilor anterioare, restul cerut va fi egal cu restul pe care 99999 l d prin mprirea la 7, adic 4........................................................................................................1p n continuare, putem scrie, conform teoremei mpririi cu rest: ..............................................................................................1p Rezult c b este impar, deci, deci restul este egal cu 11......................................................................................................................1p www.mategl.com CLASA a V-a Problema 4 Fie{1, 2, 3,....., 2010} A = . O mulime are proprietatea P dac{ , , , } B a b c d =cu a, b, c, d divizibile cu 134 i2010 a b c d + + + = . d)Dai un exemplu de mulime B cu proprietatea P; e)Determinai toate mulimile B care au proprietatea P; f)Demonstrai c reuniunea tuturor mulimilor B care au proprietatea P se poate scrie ca o reuniune de trei mulimi disjuncte dou cte dou, avnd suma elementelor fiecreia aceeai. Barem: Avem 2010 = 134 . 15 Pentru { , , , } B a b c d =cu, , , 134 a b c di2010 a b c d + + + =avema = a1 . 134, b = b1 . 134, c = c1 . 134, d = d1 . 134 i a1 + b1 + c1 + d1 = 15. a)Exemplu: a1 = 1, b1 = 2 , c1 = 3 d1 = 9 B = {1 134, 2 134, 3 134, 9 134} ,cuB A i B are proprietatea P. Pentru orice alegere a numerelor a1 , b1, c1, d1 diferite, care s respecte condiia de mai sus se obine un exemplu de mulime B.......................................................................... 3p b)Numrul mulimilor B cu proprietatea P este egal cu numrul mulimilor{ a1 , b1, c1, d1}, cu a1 , b1, c1, d1 N*, cu a1 + b1 + c1 + d1 = 15............... 1p Acestea sunt {1, 2, 3, 9}, {1, 2, 4, 8}, {1, 2, 5, 7}, { 1, 3, 4, 7}, {1, 3, 5, 6}, {2, 3, 4, 6} Deci {1 . 134, 2 . 134, 3 . 134, 9 . 134}, {1 . 134, 2 . 134, 4 . 134, 8 . 134}, {1 . 134, 2 . 134, 5 . 134, 7 . 134}, { 1 . 134, 3 . 134, 4 . 134, 7 . 134}, {1 . 134, 3 . 134, 5 . 134, 6 . 134}, {2 . 134, 3 . 134, 4 . 134, 6 . 134} sunt mulimile cutate.................................................................................................... 1p c)Dac facem reuniunea mulimilor determinate la subpuncul b) se obinemulimea {1 . 134, 2 . 134, 3 . 134, 4 . 134, 5 . 134, 6 . 134, 7 . 134, 8 . 134, 9 . 134}............. 1p Suma elementelor acestei mulimi este 134 . (1 + 2 + + 9) = 134 . 45. Mulimile cutate sunt C1 = {134 . 1, 134 . 2, 134 . 3, 134 . 4, 134 . 5}, C2 = {134 . 6, 134 . 9} i C3 = {134 . 7, 134 . 8}, fiecare mulime avnd suma elementelor 15 . 134.... 1p www.mategl.com CLASA a VI-a Problema 1 a) S se determine numrul raional N pentru care este adevarat egalitatea de mai jos: 6 6 4 6 4 2 6;5 5 3 5 3 1 5N + + = b) S se calculeze suma 2010 2010 2008 2010 2008 2006 2010 2008 .... 4 2....2009 2009 2007 2009 2007 2005 2009 2007 .... 3 1S = + + + + . Barem: a) 6 6 4 6 4 2 6 4 4 2 4 4 21 1 55 5 3 5 3 1 5 3 3 1 3 3 1N | |+ + = + + = + + = | \ ............................................ 3p b)Notm cu22 2 (2 2) 2 (2 2) (2 4) 2 (2 2) .... 4 2....2 1 (2 1) (2 3) (2 1) (2 3) (2 5) (2 1) (2 3) .... 3 1nn n n n n n n nSn n n n n n n n = + + + + 2 2 22 2 2 (2 2) (2 4) (2 2) .... 4 2 21 .... (1 )2 1 2 3 (2 3) (2 5) (2 3) .... 3 1 2 1n nn n n n n nS Sn n n n n n ( = + + + + = + ( ................ 1p Avem c 2221S = =Atunci 4 24 4(1 ) 3 43 3S S = + = = . Pentru 6 46 6(1 ) 5 65 5S S = + = = ................................................................................... 1p Calculnd analog celelalte sume obinem c 2 2 22 2(1 ) [1 (2 2)] 22 1 2 1n nn nS S n nn n= + = + = ................................................ 1p n concluzie 20102010 S = ................................................................................................................... 1p www.mategl.com CLASA a VI-a Problema 2 Se consider mulimea. } ,....., , , {2010 3 2 1N = a a a a M Dac 3 122a a a = ,4 223a a a = , ..., 2010 200822009a a a = i 1001100110110110 , 10 = = a a , calculai a2010. Barem: Avem 2 3 22 1 31 2a aa a aa a= = ; 2 3 43 2 42 3a aa a aa a= = ,....., 2 2009 20102009 2008 20102008 2009a aa a aa a= = ................3p Notm 2 3 22 1 3 2 1 4 3 11, ,at a a t a a t a t a a t a ta= = = = = = ,...,20092010 2009 1a a t a t = = ......................1p Deci 100101 1a a t = i 1000 101 1001001 1 110 a a t a t = = i 1001 1000110 a t = ..................................................1p mprind cele dou relaiiobinem 900 90010 10. t t = = .......................................................................1p

nlocuind ntr-una din relaiile anterioare deducem 110 a =i 2010201010 a = ...........................................1p www.mategl.com CLASA a VI-a Problema 3 n triunghiul ABC, [BD] este nlimea din B, iar [BP este bisectoarea unghiului ABD ( D, P AC ). Dac( ) m PBC 45 , =

demonstrai c triunghiul ABC este isoscel. Barem: Notm cu a, b, c msurile unghiurilor triunghiului.Deosebim trei cazuri, dup cum unghiul A este ascuit, drept sau obtuz............... 1p a) Dac unghiul A este ascuit, atunci D se afl pe semidreapta (AC, iar P este situat pe segmentul (AD). CumunghiulABDesteascuit,rezultc( ) m PBD 45 , 1 i x1, x2, ...., xk F astfel nctx1 + x2 + ....+ xk = a, cu a N(1) ........................................................................1p Fie xj =,)! 1 (jjpp cuk j 1i pj numr prim. nmulind egalitatea (1) cu P = p1 . p2 . ..... pk se obine: a p p ppkp pppp pppp pk kk k k = + + + .... p )! 1 (.... p... )! 1 (.... p)! 1 (.... p2 12 1222 1112 1...1p Cum p1 divide membrul drept, dar nu i pe cel stng se ajunge la o contradicie. Deci presupunerea fcut este fals.............................................................................. 1p www.mategl.com CLASA a VII-a Problema 3 Fie dreptunghiul ABCD, cu m( DAC) = 60, iar (AS bisectoarea unghiului DAC, S (DC). Dac {E} = AS BC, {O} = AC BD, {L} = AD OS, s se arate c: a) SM || CL, unde {M} = CO BL; b) patrulaterul ACEL este romb. Barem: a) Din ADC drepunghic n D, cu m( C) = 90o AC = 2AD ........0,5p nADC,aplicndteoremabisectoarei,cu[AS]bisectoare,avem: 21= =ACADSCDS......................................................................................0,5p nADC,aplicndteoremaluiMenelaus,cudreaptaOLtransversal,avem: 1DLALOACOSCDS= .......................................................................... 0,5p innd cont c 21SCDS=i CO = OA avem2DLAL= AD = DL ......0,5p Obinem c [CD] este median i nlime n ACL, deci AC = CL... 0,5p Cum AC = CL i m( CAL) = 60 ACL este echilateral............0,5p Vom obine astfel c S este centrul triunghiului ALC echilateral (*).............0,5p Avem D mijlocul lui (AL) AD = DL i cum AD = BC DL = BC.Dar DL || BC, care mpreun cu DL = BC ne d c DBCL este paralelogram...........0,5p Fie {Q} = BL CD DQ = QC i DO = OB sau [BQ], [CO] mediane n DBC. Cum BQ CO = {M}, vom obine c M este centrul de greutate al triunghiului BDC. Prin urmare, 21CMMO= , iar din (*), 21SLSO= ........................................................... 0,5p Avem c SLSOCMMO=Conform reciprocei teoremei lui Thales, rezult c SM || CL ..................................... 0,5p b) Comparnd ALP cu ECP, avem: LP = PC (din a)) i m( LAP) = m( CEP)= 30 (alterne interne) ALP ECP PA = PE......................................................................... 1p Din relaiile AP = PE, LP = PC i AE LC, obinem c ACEL este romb..............1p www.mategl.com A O S B L D M Q C P E CLASA a VII-a Problema 4 Fie triunghiul ABC cu

120 ) ( = A mi AB = 10 cm.Se consider punctele E (AB), F (AC) astfel nct CF = BE = 4 cm.Dac M i N sunt mijloacele segmentelor [BC], respectiv [EF], calculai: a)) ( BIM munde AB MN = {I}; b)lungimea segmentului [MN]. prof.Constantin Brscu, Rm. Vlcea Barem: Prelungim CA cu AB = AB = 10 cm i AE = AE = 6cm AEE iABB echilaterale .2pDac (ADeste bisectoarea lui BAC AD || EE || BB..1p Cum FC = EB = EB [BC] i [EF] au acelai mijloc P ......1p Avem P, M, N coliniare ...........................................................................1p Atunci: a)IM AD

60 ) ( = BIM m...................................................................................1pb)MN = PM PN = ' ' 10 622 2 2BB EE = =cm......1p Not: Pentru orice demonstraie corect se acord 4p la subpunctul a) i 3p la subpunctul b). www.mategl.com A P I F E B D N M B C E CLASA a VIII-a Problema 1 a) Demonstrai c 2 24 1 2 ( 1) p q p q + + > +pentru orice p, qd)Determinai cel mai mare a R astfel nct 2 24 1 2 ( 1) p q ap q + + + ,, . p q Re)Determinai cel mai mare b Rastfel nct 2 24 1 2 ( 1) p q bp q + + + ,, . p q ZBarem: a)Inegalitatea se restrnge la .. 3p b)Folosim inegalitilei. Avem cu egalitate pentru q = 1 i p =, deci a = ......................................................... 2p c)Pentru p = q = 1 avemb 4 6 Verificm c este convenabil, adic, (1) Este suficient de demonstrat pentru i q(1) adevrat pentru. Pentru(1)(adevrat) Pentru(1)(adevrat) Pentru (1)(adevrat) Deci este valoarea cutat ............................................................................. 2p www.mategl.com CLASA a VIII-a Problema 2 Sumaa2nnumerenaturaledistincteestemaimicdect3n2.Ssearatecprintre acestea exist dou din ele cu suma 2n + 1. Barem: Cele n perechi de numere naturale (1,2n), (2, 2n-1), (3, 2n-2), ....., (n, n+1) au suma elementelor 2n+1 .......................................................................................................... 1p Dac dintre cele 2n numere mai mult de jumtate sunt mai mici dect 2n + 1, atunci dou dintre ele se regsesc ntr-una dintre perechile formate (avnd suma 2n + 1), situaie cerezolv problema ........................................................................................................... 3p Dac nu, cel puin nnumere sunt mai mari sau egale cu 2n + 1. n acest caz, suma minim a tuturor celor 2n numere se obine pentru exact n numere mai mari sau egale cu 2n + 1 i aceasta ar fi egal cu:[(2n + 1) + (2n + 2) +.+ (2n + n)] + [1 + 2 + 3 +. + n] = 3n2 + n > 3n2, ceea ce contrazice ipoteza2p Finalizare ........................................................................................................................ 1p

www.mategl.com CLASA a VIII-a Problema 3 FieBCDuntriunghicuBC=6cm, CD=12cmim

90 ) ( = B .Peipotenuza(CD)seconsiderun punctEastfelnctBE2=CE .ED.PeplanultriunghiuluiseridicoperpendicularnBpecarese consider un punct A astfel nct AB = 6 3cm. Fie F i G proieciile lui B pe AC i respectiv AE. a) S se afle distana de la punctul D la dreapta AC. b) Stabilii dac D, G i F sunt coliniare. Barem: a)d(D,AC) = DF .. 1p DF = 15 3 cm ............................... 1p b)Din BE2 = CE . ED BE nlime ............................................................ 0,5p sau BE median ............................................................ 0,5pCazul 1. Dac BE nlimeAE CD .................................................................................................. 0,5p BG (ACD) . 0,5p GF AC ....................................................................................................0,5p n triunghiul ACD , cum GF AC i DF AC D, G, F coliniare .......0,5p Cazul 2. Dac BE median Fie BTCD Conform cazului 1, exist HAT astfel nct, BH(ACD) i D, H, F coliniare. HG AE ......................................... 1p Dac D, G , F ar fi coliniare atunci {G}=AEFD i triunghiul AFG ar avea dou unghiuri drepte (imposibil) n acest caz D, G, F nu sunt coliniare .................................................................. 1p www.mategl.com B A DC E F G H T CLASA a VIII-a Problema 4 Ptratul ABEF de latur a i dreptunghiul ABCD sunt situate n plane perpendiculare. Demonstrai c

60 )) , ( (3) , ( = = AC BF maBF AC d .Barem: Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDFEHG n care L = AD = b l = AB = a h = AF = a .1p Dar (*)..1p n isoscel de vrf A, , unde M este mijlocul lui (GC)cu AM GC.1p nlocuind n (*) avem = 2p Avem c 1p cub ..................................... 1p www.mategl.com C H G F A D E B M