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Series de Fourier ∗
MP
19 janvier 2014
Table des matieres
1 Preliminaires et rappels 31.1 Fonctions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Polynomes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Le lemme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Le theoreme de Weierstrass trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Series de Fourier 72.1 L’espace prehilbertien des fonctions periodiques et continues . . . . . . . . . 72.2 Generalisation aux fonctions continues par morceaux , definition et pro-
prietes immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Series trigonometriques uniformement convergentes . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Coefficients de Fourier d’une derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Convergence en moyenne quadratique 143.1 Le theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Theoremes de convergence normale et de convergence simple 174.1 Convergence normale d’une serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Convergence simple d’une serie trigonometrique : theoreme de Dirichlet . . 184.3 Pour y voir plus clair, prenons de la hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Exercices et applications fondamentales 195.1 Noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Le phenomene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Calcul de sommes de series (classiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Equations differentielles, solutions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
∗Document disponible sur mpcezanne.fr ou univenligne.fr sous le nom SeriesFourier.pdf
1
6 Annexe 1 : fonctions de classe Ck par morceaux 33
7 Annexe 2 : demonstration du theoreme de convergence quadratique etcomplements 347.1 La demonstration du theoreme de convergence quadratique dans (C2π, <
| >) (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2 Que faire avec les fonctions continues par morceaux ? . . . . . . . . . . . . . 34
8 Annexe 3 : Resumons nous : 368.1 Les Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.2 Les theoremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Corriges de quelques exercices 38
2
On s’attache ici pour l’essentiel a l’etude du probleme suivant : une fonction periodiquepeut elle s’exprimer comme somme d’une serie trigonometrique
∑(an cosnωt+bn sinnωt)
ou, ce qui revient au meme, d’une serie∑
(cneinωt + c−ne
−inωt)?etudie par Fourier au debut du XIX ieme siecle dans sa recherche de solutions de l’equationde la chaleur (equation de diffusion), ce probleme conduit a une branche des mathematiquestoujours vivantes.Comme de bien entendu, dans la serie ”tout ce qu’on l’on fait a des implications pratiques”,nous vous proposons des exemples de resolution de l’equation des cordes vibrantes, del’equation de la chaleur : 34, 32.
1 Preliminaires et rappels
1.1 Fonctions periodiques
Vous vous impregnerez des observations suivantes :
1. Si f est une fonction 2π−periodique sur R, alors, la fonction g definie par
g(t) = f
(2π
Tt
)est T−periodique. On ramene ainsi l’etude des fonctions T−periodiques a celle desfonctions 2π−periodiques et la quasi-totalite des resultats que nous obtiendrons pourdes fonctions de periode 2π ont une traduction immediate pour des fonctions deperiode quelconque.
2. Si f est une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, a + 2π] et sif(a) = f(a + 2π), f admet un unique prolongement 2π−periodique a R, qui estdefini par
∀x ∈ R, f(x) = f(x− 2nxπ) avec nx = Ent
(x− a
2π
)et qui est encore continu par morceaux.
3. On observera enfin que les fonctions 2π periodiques sur R, a valeurs complexes, conti-nues ou continues par morceaux forment des C−espace vectoriels. Nous noteronspar la suite : C2π et CPM2π ces deux espaces.
Theoreme 1 integrale sur une periodeSi f est une fonction T−periodique et continue par morceaux sur R, a valeurs dansC, alors l’integrale ∫ a+T
af(t) dt
ne depend pas de a.
Demonstration : ci-dessous.
3
Exercice 1 demonstration du theoreme
1. Prouver le resultat de deux facons lorsque f est continue :– changement de variable ;– expression a l’aide d’une primitive ;
2. Ces preuves s’accommodent elles de l’hypothese f continue par morceaux ?
Rappeler les hypotheses des formules de changement de variables pour f continueet des intervalles compacts, pour f continue par morceaux ...
Exercice 2 derivees et primitives de fonctions periodiques
1. la derivee d’une fonction periodique derivable est-elle periodique ?
2. les primitives d’une fonction periodique continue (ou continues par morceaux) sontelles periodiques ?
3. les fonctions eikx, (a cos(kx)+b sin(kx)), ont elles toutes leurs primitives periodiques ?
4. Sauriez vous caracteriser, parmi les fonctions periodiques continues, celles dont lesprimitives sont periodiques ?
1.2 Polynomes trigonometriques
Definition 1
On appelle polynome trigonometrique complexe, de pulsation ω ∈ R, de periode T =2π
ω,
toute application U : R→ C telle qu’il existe une suite finie (cn)−N≤n≤N pour laquelle
∀t ∈ R, U(t) =
N∑n=−N
cneinωt
Remarque : Nous avons
U(t) =N∑
k=−Ncke
inωt (1.1)
=−1∑
k=−Nck(cos(ωkt) + i sin(ωkt)) + c0 +
N∑k=1
ck(cos(ωkt) + i sin(ωkt)) (1.2)
= c0 +N∑k=1
((ck + c−k) cos(ωkt) + i(ck − c−k) sin(ωkt)) (1.3)
Nous pouvons alors d’ecrire U(t) comme une combinaison lineaire de fonctions trigo-nometriques {cos(ωnt), sin(ωnt)}, de periodes multiples de T :
U(t) =a0
2+
N∑k=1
(an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)) (1.4)
avec les formules de passage (n ≥ 0) :
4
an = cn + c−n bn = i(cn − c−n)
cn =1
2(an − ibn) c−n =
1
2(an + ibn)
1.3 Le lemme de Riemann
Theoreme 2 lemme de Riemann pour les fonctions continues par morceauxPour toute fonction f, continue par morceaux sur l’intervalle [a, b], la suite des integrales∫ b
aeint f(t) dt
a pour limite 0.
Demonstration : c’est l’exercice ci-dessous ; on peut sauter la question 1 qui propose uncas particulier simple, mais qui n’est pas une etape de la demonstration generale.
Exercice 3 la demonstration :
1. Verifier le lemme de Riemann lorsque f est une fonction de classe C1 .
2. Verifier le lemme de Riemann lorsque f est une fonction en escaliers attachee a lasubdivision t0 = a < t1 < ... < tn = b.
3. * En deduire le resultat lorsque f est continue par morceaux.
On rappelle le theoreme d’approximation uniforme par les fonctions en escaliers :Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a,b]. Pour tout ε > 0, il existeune fonction en escalier definie sur [a,b] et telle que ||f − φ||∞ ≤ ε.
La demonstration du lemme de Riemann-Lebesgue est redigee dans les corrections du cha-pitre Approximations uniformes, cliquable ici
1.4 Le theoreme de Weierstrass trigonometrique
Theoreme 3 theoreme de Weierstrass trigonometriquePour toute application f continue et T−periodique sur R, a valeurs complexes, il existe
une suite de polynomes trigonometriques (Tn)n, qui converge uniformement vers f sur R.
Demonstration : hors programme.Attention : ce resultat n’est pas un resultat sur les series de Fourier, les po-lynomes dont il s’agit ici ne sont pas des sommes de Fourier. La serie de Fourier
5
d’une fonction continue ne converge pas toujours.
Le sujet de l’ecole de l’air 2003 en propose une demonstration (achevee a la question 11) ;
Exercice 4 consequences classiques (et a connaıtre)Soit f une fonction continue et 2π−periodique sur R.
1. On suppose que, pour tout n ∈ Z,∫
[0,2π] f(t)eint dt = 0.
(a) Montrer que pour tout polynome trigonometrique, p,∫[0,2π]
f(t)p(t) dt = 0.
(b) Justifier que pour toute suite de polynomes trigonometriques (pn)n qui convergeuniformement vers f sur R, la suite (f.pn)n converge aussi uniformement.
(c) Deduire de tout cela que f est nulle.
2. Montrer que si, pour tout n ∈ N,∫
[0,2π] f(t)eint dt = 0, alors f est une fonction avaleurs reelles.
3. Montrer que si, pour tout n ∈ N,∫
[0,2π] f(t) cos(nt) dt = 0, alors f est paire.
4. Montrer que si, pour tout n ∈ N,∫
[0,2π] f(t) sin(nt) dt = 0, alors f est impaire.
6
2 Series de Fourier
2.1 L’espace prehilbertien des fonctions periodiques et continues
– On considere C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π−periodiques a valeurscomplexes ;
– L’application
ψ(f, g) =1
2π
∫ 2π
0f(t) ¯g(t) dt
definit un produit scalaire complexe sur C2π, qui en fait un espace prehilbertien et unespace norme.
– On note || ||2 la norme associee a ce produit scalaire.– On note PN le sous-espace de C2π forme des polynomes trigonometriques engendre par
les fonctions(t→ eint)−N≤n≤N
ou par les fonctions
(t→ cos(nt))0≤n≤N , (t→ sin(nt))1≤n≤N .
Ces deux familles sont des bases orthogonales de PN qui permettent de definirles projections orthogonales sur les polynomes trigonometriques de degres≤ N :
Theoreme 4 sommes de Fourier exponentielles– la famille des fonctions (t→ eint)n∈Z est orthonormale dans (C2π, || ||2);– la projection orthogonale sur PN est l’application f ∈ C2π → SN (f) ou SN (f) est lanieme somme de Fourier de f definie par :
SN (f)(x) =
N∑k=−N
ck(f)eikx =
N∑k=−N
(1
2π
∫ 2π
0f(t)e−ikt dt
)eikx.
Theoreme 5 sommes de Fourier trigonometriques– la famille des fonctions (t → cos(nt))n∈N, (t → sin(nt))n∈N∗ , est orthogonale dans
(C2π, || ||2);– la projection orthogonale sur PN est l’application f ∈ C2π → SN (f) ou SN (f) est lanieme somme de Fourier de f definie par :
SN (f)(x) =a0(f)
2+
N∑k=1
(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx)),
ak =1
π
∫ 2π
0cos(kt)f(t) dt, bk =
1
π
∫ 2π
0sin(kt)f(t) dt.
7
Theoreme 6 inegalite de Bessel (fondamental, a lier a la formule de Parseval)Soit f ∈ C2π. Pour tout N ∈ N,
N∑k=−N
|ck|2 =1
4|a0|2 +
1
2
N∑k=1
(|ak|2 + |bk|2) ≤ ||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt.
2.2 Generalisation aux fonctions continues par morceaux , definition etproprietes immediates
Definition 2 A toute fonction 2π−periodique sur R et continue par morceaux surl’intervalle [0, T ], on associe ses sommes de Fourier definies par :
Sn(f)(x) =∑n
k=−n ck(f)eikx avec cn(f) =1
2π
∫ π−π f(t)e−int dt
Les coefficients ck(f) aussi notes f(k) sont les coefficients de Fourier de f, et Sn(f)(x) estla nieme somme de Fourier partielle de f au point x.
Ce chapitre est consacre a l’etude de ces sommes. Nous pourrons nous ramener a dessommes de fonctions trigonometriques en posant
Sn(f)(x) =a0(f)
2+
n∑k=1
(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx)),
oua0(f)
2= c0(f) et si k ≥ 1 : ak(f) =
1
π
∫ 2π
0cos(k t)f(t) dt, bk(f) =
1
π
∫ 2π
0sin(k t)f(t) dt.
Definition 3 les coefficients ainsi definis sont les coefficients de Fourier trigonometriquesde f, la somme Sn(f)(x) apparaıt comme la nieme somme de partielle d’une serie dontterme general pour k ≥ 1 est
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) ou (ck(f)e−ikx + ck(f)eikx).
On retrouve ainsi une serie indexee sur N et nous pourrons etudier les series de fonctionsassociees.
8
Les relations entre les coefficients de Fourier complexes (exponentiels) et les coefficients
de Fourier trigonometriques, outre l’egalitea0(f)
2= c0(f), sont donnes par :
an(f) = [cn(f) + c−n(f)] bn(f) = i[cn(f)− c−n(f)]
cn(f) =1
2[an(f)− ibn(f)] c−n(f) =
1
2[an(f) + ibn(f)]
Theoreme 7 proprietes des coefficients de FourierSoit f une fonction 2π−periodique et continue par morceaux sur R, et cn(f), an(f), bn(f)
ses coefficients de Fourier ; Alors :
1. comme consequence du lemme de Riemann
limn→±∞
cn(f) = limn→+∞
an(f) = limn→+∞
bn(f) = 0;
2. si f est une fonction a valeurs reelles, ses coefficients de Fourier trigonometriquessont reels et cn(f) et c−n(f) sont conjugues.
3. si f est paire, pour tout n ∈ N∗, bn(f) = 0 et cn(f) = c−n(f);
4. si f est impaire, pour tout n ∈ N, an(f) = 0 et cn(f) = −c−n(f);
5. si f est la fonction definie par f(t) = f(−t), alors cn(f) = c−n(f), ce qui se traduitpar : an(f) = −an(f) et bn(f) = bn(f); 1
6. les coefficients de Fourier de la fonction translatee de f definie par τaf(x) = f(x−a),verifient
cn(τa) = e−inacn(f).
7. pour toute fonction g ∈ CM2π, qui differe de f en nombre fini de points sur [0, 2π],on a
cn(f) = cn(g), an(f) = an(g), bn(f) = bn(g)
et ces deux fonctions ont la meme serie de Fourier.
1. On retrouve cela avec le theoreme de Dirichlet par exemple.
9
Exercice 5 noyau de Dirichlet On garde les notations usuelles et precedentes pour lescoefficients de Fourier...
1. Regrouper ak cos(kωx) + bk sin(kωx) dans une seule integrale.
2. Montrer que
SN (f)(x) =1
2π
∫ π
−πf(t)
sin((2n+ 1) (x−t)2 )
sin( (x−t)2 )
dt
On appelle noyau de Dirichlet le prolongement par continuite de la fonction definiepar :
DN (u) =sin((2n+ 1)u2 )
sin(u
2)
.
3. Calculer l’integrale
1
2π
∫ π
−π
sin((2n+ 1) (t)2 )
sin( (t)2 )
dt
Figure 1 – noyau de Dirichlet, N=...
10
2.3 Series trigonometriques uniformement convergentes
Theoreme 8Deux fonctions continues qui ont la meme serie de Fourier sont egales.
Demonstration : c’est une consequence du theoreme de Weierstrass trigonometrique (seramener aux consequences etudiees dans l’exercice 4).
Question : y a-t-il un lien entre la somme d’une serie de Fourier convergente et lafonction dont elle est issue ?
Theoreme 9 serie de Fourier uniformement convergenteSoit f une fonction 2π−periodique et continue. Si la serie de Fourier de f convergeuniformement sur R, sa somme est egale a f.
Demonstration montrer que les coefficients de Fourier de la somme S, sont ceux de f ;ces deux fonctions etant continues, le theoreme 8 permet de conclure.
Exercice 6 application a des calculs de series
Soit f la fonction definie sur [0, π] par f(x) = π − x.1. Determiner la serie de Fourier trigonometrique de la fonction 2π−periodique et paire
qui prolonge f ;
2. En deduire les sommes suivantes :
∑∞n=0
1
(2n+ 1)2
∑∞n=0
1
(2n+ 1)4
3. On considere maintenant la fonction 2π−periodique et impaire qui prolonge f ; ya-t-il convergence normale de la serie de Fourier ? Determiner la serie de Fouriertrigonometrique de cette fonction.
Exercice 7 application a des calculs de series
Soit f la fonction definie sur [0, π] par f(x) = x(π − x).
1. Determiner la serie de Fourier trigonometrique de la fonction 2π−periodique et pairequi prolonge f ;
2. Determiner la serie de Fourier trigonometrique de la fonction 2π−periodique et im-paire qui prolonge f ;
11
3. En deduire les formules suivantes :
π2
6=∑∞
n=0
1
n2
π2
12=∑∞
n=0
(−1)n−1
n2
π3
32=∑∞
n=0
(−1)n−1
(2n− 1)3
12
2.4 Coefficients de Fourier d’une derivee
Nous donnons ici les relations entre les coefficients de Fourier d’une fonction continueet de classe C1 par morceaux et de sa fonction derivee, ce resultat est fondamental danstoutes les applications.
Theoreme 10 formule de derivationSoit f une fonction 2π−periodique , continue et de classe C1 par morceaux, alors
cn(f ′) = incn(f) an(f ′) = nbn(f) bn(f ′) = −nan(f)
En particulier si f est une fonction continue et de classe C1 par morceaux, la serie deFourier de f ′ ou d’une fonction continue par morceaux qui coıncide avec f ′ la ou elle estdefinie, s’ obtient en derivant terme a terme la serie de Fourier de f.
Demonstration integration par parties des fonctions continues et de classe C1 par mor-ceaux.
Lemme 11 Soit f, une fonction 2π−periodique definie sur R.– si f est continue et de classe C1 par morceaux, alors la suite de ses coefficients de Fourier
verifie
cn(f) =n→∞
o
(1
n
);
– si f est de classe Ck et de classe Ck+1 par morceaux, alors la suite de ses coefficientsde Fourier verifie
cn(f) =n→∞
o
(1
nk+1
);
Exercice 8 Demonstration
1. Prouver le resultat lorsque k = 0 (f continue et de classe C1 par morceaux) ; penserau lemme de Riemann.
2. recurrence ;
Remarque : le premier resultat ne suffit pas pour conclure que les series de Fourierdes fonctions continues, 2π−periodiques et de classe C1 par morceaux convergent. Nousprouverons pourtant que c’est le cas par d’autres moyens (theoreme 13).
13
3 Convergence en moyenne quadratique
3.1 Le theoreme
La convergence en moyenne quadratique des fonctions continues et 2π−periodiques est laconvergence pour la norme || ‖|2 dans l’espace prehilbertien qui nous a permis de definirles sommes de Fourier comme des projections orthogonales. Dans ce paragraphe on enonceque les sommes de Fourier des fonction 2π−periodiques , continues ou seulement continuespar morceaux, convergent en moyenne quadratique. Les points importants a retenir sontles theoremes 12 et 18 et la formule de Parseval.
Definition 4 convergence en moyenne quadratiqueSoit (fn)n une suite de fonctions numeriques definies sur R, continue par morceaux et2π−periodiques . On dit que (fn)n converge en moyenne quadratique vers f egalementcontinue par morceaux et 2π−periodique si
limN→∞
∫ 2π
0|fn − f |2 dt = 0.
Remarque Lorsque les fonctions (fn) et f sont continues, cela revient a dire que (fn)nconverge vers f dans l’espace vectoriel norme (C2π, || ||2).
Theoreme 12 convergence en moyenne quadratiquesi f est une fonction de CM2π, alors :– sa serie de Fourier converge en moyenne quadratique vers f, a savoir
limN→∞
∫ 2π
0|SN (f)− f |2 dt = 0;
– les coefficients de Fourier de f verifient l’egalite de Parseval :
||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt =
∞∑k=−∞
|ck|2
∞∑k=−∞
ck(f) ¯ck(g) =< f |g >=1
2π
∫ 2π
0f(t) ¯g(t) dt
||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt =
|a0(f)|2
4+
1
2
∞∑k=1
(|ak(f)|2 + |bk(f)|2)
Demonstration : hors programme. Elle repose sur le theoreme de Weierstrass trigo-nometrique (qu’il faut connaıtre toutefois), voir le theoreme 3
14
3.2 Exercices
Exercice 9 une demonstration nouvelle( ?)Soit f une fonction de periode 2π et continue par morceaux sur R.
1. On suppose que la serie de Fourier de f converge uniformement vers une fonction S.Montrer que les coefficients de Fourier de f et de S sont egaux.
2. En deduire que∫ 2π
0 |f − S|2dt = 0, puis que f − S n’est nulle sur aucun intervalle
non reduit a un point.
3. Montrer que si f est continue, alors S = f.
4. Cette demonstration dispense-t-elle de connaıtre le theoreme de Weierstrass trigo-nometrique ?
Exercice 10
1. Montrer que la serie de Fourier d’une fonction de classe C∞ periodique, dont lesderivees verifient toutes |f (p)(x)| ≤ 1, ne comporte que trois termes non nuls.
2. Parmi ces fonctions, quelles sont celles, a valeurs reelles, pour lesquelles f ′(0) = 1?
Exercice 11 inegalite isoperimetriqueOn considere un chemin ferme de longueur L = 2π dans le plan E = C, trajectoire de
la courbe de classe C1 :
γ : t ∈ [0, 2π]→ γ(t) = x(t) + iy(t) ∈ C
que l’on supposera verifier |γ′(t)| = 1 pour t ∈ [0, 2π].
1. Calculer la somme ∑n∈Z
(|cn(x′)|2 + |cn(y′)|2),
ou cn(f) designe le coefficient de Fourier de la fonction periodique f.
2. On rappelle la formule de Green-Riemann, pourK, reunion finie de compacts elementairesdu plan E, de frontiere orientee dans le sens direct :∫
γω =
∫γPdx+Qdy =
∫ ∫K
(∂P
∂y− ∂Q
∂x
)dx dy.
En deduire une expression de l’aire S delimitee par γ([0, 2π]) en fonction du produitscalaire
(x|y′) =1
2π
∫ 2π
0x(t)y′(t) dt.
dont vous donnerez une expression a l’aide des coefficients de Fourier de γ.
3. En deduire l’inegalite isoperimetrique pour une courbe fermee de longueur quel-conque :
4πS ≤ L2.
Quel est le cas d’egalite ?
15
Exercice 12 l’espace prehilbertien des suites de carres sommablesOn considere l’ensemble l2(Z,C) note plus simplement l2, des suites de complexes (cn)n∈Ztelles que
∑Z |cn|2 converge.
∞∑−∞|cn|2
1. Montrer que l2 est un C−espace vectoriel ;
2. Montrer que l’on definit un produit scalaire sur l2 en posant
< u|v >=∞∑−∞
unvn;
3. Soit F l’applicationFf ∈ D2π → (cn(f))n ∈ l2.
Montrer que F est une isometrie. En deduire que si deux fonctions continues et2π−periodiques ont la meme serie de Fourier, elles sont egales.
16
4 Theoremes de convergence normale et de convergencesimple
Nous reprenons ici l’etude de la section 2.4 avec les outils que sont les (in-)egalites deBessel et Parseval.
4.1 Convergence normale d’une serie de Fourier
Theoreme 13 convergence normale des series de Fourier des fonctions continues et declasse C1 par morceaux
Si f est une fonction 2π−periodique , continue et de classe C1 par morceaux, alors– sa serie de Fourier converge normalement– sa somme est egale a f.
Demonstration :Nous savons que la serie numerique de terme general |cn(f ′)|2 + |c−n(f ′)|2 est convergentepuisque les sommes de Fourier convergent en moyenne quadratique vers la regularisee def ′ qui est continue par morceaux (voir le corollaire 19 et la formule de Parseval). Parailleurs, cn(f ′) = incn(f), ce qui donne
|cn(f)| = 1
n|cn(f ′)|.
Comme chacun sait, pour tous reels positifs a, b, 2ab ≤ a2 + b2, ainsi, pour tout n ∈ Z,
|cn(f)| = 1
n|cn(f ′)| ≤ 1
2
(1
n2+ |cn(f ′)|2
).
La convergence absolue des series∑|cn(f)| et
∑|c−n(f)| est donc assuree. On en deduit
(avec des arguments deja vu pour le corollaire ??) que la serie de Fourier de f est norma-lement convergente et que sa somme est egale a f..
Theoreme 14 derivation terme a termeSi f est une fonction 2π−periodique , de classe Cn et de classe Cn+1 par morceaux, alors
– les series de Fourier f et de ses derivees f (k) pour 1 ≤ k ≤ n, convergent normalement,– on obtient la serie de Fourier de f (k) en derivant terme a terme la serie de Fourier de f.
Demonstration :– On rappelle que cn(f ′) = incn(f) et que les sommes partielles de la serie de Fourier def ′ sont les derivees des sommes partielles de la serie de F de f ;
– recurrence sur n :Applications de ce dernier theoreme : voir equations differentielles 5.4, et equationsaux derivees partielles 5.5.
17
4.2 Convergence simple d’une serie trigonometrique : theoreme de Di-richlet
Theoreme 15 theoreme de DirichletSoit f une fonction 2π−periodique , de classe C1 par morceaux (non necessairement
continue), alors– le serie de Fourier de f est simplement convergente sur R;
– sa somme est la regularisee de f definie par f(x) =1
2(f(x+) + f(x−));
On exprime donc
c0(f) +∑
n≥1(cn(f)eint + cn(f)e−int =1
2(f(x+) + f(x−));
1
2a0(f) +
∑n≥1(an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt) =
1
2(f(x+) + f(x−));
Demonstration : non faite ; repose sur les proprietes du noyau de Dirichlet (ex 5, ex 13),assez technique. Preuve et generalisation dans le sujet CCP-2004.
4.3 Pour y voir plus clair, prenons de la hauteur
On sait que la serie de FOURIER d’une fonction continue converge vers cette fonctionsous certaines hypotheses :• il suffit, par exemple, que cette fonction soit continue et de classe C1 par morceaux,nous dit le theoreme 13, que nous appelons theoreme de convergence normale.• il suffit, par exemple, que cette fonction soit a variation bornee, nous dit le problemeCCP 2004 (il s’agit du theoreme de Jordan- hors programme).
• ce meme probleme nous donne un exemple de fonction continue dont la serie de Fouriern’est pas simplement convergente.• Pourtant, le cours nous fait admettre que toute fonction continue et periodique est li-mite d’une suite de polynomes trigonometriques (c’est le theoreme de Weierstrass trigo-nometrique 3). Ce resultat nous sert a prouver le theoreme 13 et aussi le theoreme deconvergence quadratique.• Quelle suites convergent donc vers f, si ce n’est pas le cas de la suite des sommesde Fourier, me direz vous ? Le theoreme de Fejer (hors programme), nous donne UNEreponse :Les moyennes des sommes de Fourier d’une fonction f continue et periodique convergentuniformement vers f sur R.Ce resultat est etabli dans le probleme de l’ecole de l’Air 2003.
18
5 Exercices et applications fondamentales
5.1 Noyaux
Exercice 13 noyaux de Dirichlet et de FejerOn considere une fonction f de periode 2π et continue par morceaux sur R. On noteSN (f) ses sommes de Fourier definies par
SN (f)(x) =N∑
k=−Nck(f)eikx, avec ck(f) =
1
2π
∫ 2π
0f(t)e−ikt dt.
en est la fonction definie par en(t) = eint, n ∈ Z.1. (a) Exprimer simplement en fonction des en la fonction DN telle que
SN (f)(x) =1
2π
∫ 2π
0DN (x− t)f(t) dt
(b) Montrer que DN (x) =sin((N + 1
2)x)
sin(x2
) .
2. On associe a la fonction f la moyenne de ses sommes de Fourier :
σN (f) =1
N
N−1∑n=0
Sn(f).
(a) Exprimer simplement comme combinaison lineaire des en, NKN ou KN est lafonction telle que
σN (f)(x) =1
2π
∫ 2π
0KN (x− t)f(t) dt.
(b) Calculer∫ 2π
0 KN (t) dt;
3. (a) Montrer que KN est proportionnelle a
(sin(Nx2
)sin(x2
) )2
.
(b) Soit δ ∈]0, π], montrer que
limN→+∞
∫ π
δKN (t) dt = 0.
(c) On suppose dorenavant que f est continue
i. Montrer que
σN (f)(x) =1
2π
∫ 2π
0KN (x− t)f(t) dt =
1
2π
∫ π
−πKN (u)f(x− u) du.
ii. Montrer que (σN (f))N converge uniformement versf.
voir corrige en 9.1
19
5.2 Le phenomene de Gibbs
Exercice 14On se propose d’etudier la serie ∑
k
sinnx
n.
1. Une telle serie de fonctions est elle normalement convergente ?
2. En tracant des sommes partielles
fn(x) =n∑k=1
sin kx
k
sur l’intervalle [−π, π], pour n = 3, 7, 18, ... que peut on conjecturer ?
sommes partielles pour n=7,47 :
3. Verifier que cette serie est la serie de Fourier d’une fonction de periode 2π sur R etaffine sur ]0, π[. etudier sa convergence simple, en deduire
∞∑k=1
sinn
n.
4. (a) etudier les variations de fn. Determiner le nombre de ses maximums locaux sur[0, π]. Verifier sur votre graphique.
(b) On note an le premier point x ∈]0, π[ en lequel la derivee de fn s’annule. Calculer
lim fn(an) (on fera apparaıtre des sommes de Riemann attachees a x→ sin 2x
x).
(c) Y-a-t-il convergence uniforme sur tout compact de ]0, π[ par exemple ?
voir corrige en 9.2
Exercice 15 phenomene de Gibbs :
Soit f 2π−periodique et impaire, telle que ∀t ∈]0, π[, f(t) =π
4. On se propose d’etudier
la convergence sur ]0, π[ de sa serie de Fourier.
20
Figure 2 – le phenomene de Gibbs
1. Etudier la serie de Fourier en sin et cos de f ;
2. On note Sn(x) la somme partielle
Sn(x) = sinx+sin 3x
3+ · · ·+ sin(2n− 1)x
2n− 1.
(a) Montrer que Sn(x) =1
2
∫ x0
sin 2nt
sin tdt
(b) Rechercher le premier maximum local de Sn(x) sur [0, π].
(c) Preciser la limite de l’abscisse et de l’ordonnee du sommet correspondant.
3. Y a-t-il convergence uniforme sur le segment [α, π − α]? et sur ]0, π[?
5.3 Calcul de sommes de series (classiques)
Exercice 16Soit f 2π−periodique et impaire, telle que ∀t ∈]0, π[, f(t) = 1.
1. Calculer sa serie de Fourier. En deduire une expression de π comme somme d’uneserie.
2. Que donne la formule de Parseval ?
3. Calculer∞∑n=0
1
(2p+ 1)2,
∞∑n=1
1
n2et
∞∑n=1
(−1)n
n2.
Exercice 17 Soit f 2π−periodique et impaire, telle que ∀t ∈]0, π[, f(t) = t.
1. Etudier sa serie de Fourier trigonometrique (en sin, cos) ;
2. Tirer profit du theoreme de Parseval.
voir corrige en
21
Exercice 18 Soit f la fonction 2π−periodique definie par f(x) = | cos(x)|.1. Calculer sa serie de Fourier, preciser sa convergence.
2. En deduire les sommes des series∑n≥1
1
4n2 − 1,∑n≥1
(−1)n
4n2 − 1et∑n≥1
1
(4n2 − 1)2.
voir corrige en 9.3
Exercice 19 Exercice propose a l’ENSAM, avec MAPLE :Soit f, definie par
f(x) = sup(sin(x)3, 0),
une fonction 2π−periodique .
1. Determiner ses coefficients de Fourier en cos et en sin.
2. Comparez les graphes de f et de ses sommes de Fourier d’ordre 3, d’ordre 12.
3. Calculer les sommes
∞∑n=2
1
(2n− 3) (2n+ 3) (2n− 1) (2n+ 1)
∞∑n=2
(−1)n
(2n− 3) (2n+ 3) (2n− 1) (2n+ 1)
Exercice 20 Noyau de PoissonSoient fr et gr les fonctions definies sur R par
fr(t) =1− r cos t
1− 2r cos(t) + r2et gr(t) =
r sin t
1− 2r cos(t) + r2
pour r reel tel que |r| < 1.
1. Calculer simplement fr(t) + igr(t).
2. Donner les developpements de Fourier trigonometriques de ces deux fonctions ;
3. Calculer les integrales
In(r) =
∫ 2π
0fr(t) cos(nt) dt
Jn(r) =
∫ 2π
0gr(t) sin(nt) dt
4. Donner une primitive de hr = fr + igr et calculer les integrales
An(r) =
∫ 2π
0Fr(t) cos(nt) dt
Bn(r) =
∫ 2π
0Gr(t) sin(nt) dt
ou Gr(t) =1
2ln(1− 2r cos(t) + r2), Fr(t) =
r sin(t)
1− r cos(t).
22
Exercice 21
1. Soit f une fonction continue par morceaux et de periode 2π sur R, dont les sommesde Fourier trigonometriques sont de la forme
FN (f, x) =N∑n=1
bn sin(nx).
Montrer que la fonction
F : x→∫ x
0f(t) dt
est periodique, et que la serie de terme generalbnn
est absolument convergente.
2. On considere maintenant la serie trigonometrique∑n
sin(nx)
lnn(5.1)
(a) En posant Sn =∑n
k=1 sin kx, et en remplacant lorsque c’est possible, sin(nx)
par Sn − Sn−1, dans (5.1), montrer que∑
n
sin(nx)
lnnconverge pour tout x.
(b) S’agit-il de la serie de Fourier d’une fonction continue par morceaux et deperiode 2π ?
voir corrige en 9.4
23
Exercice 22 un premier pas vers le theoreme de Shannon (echantillonnage)
On veut montrer que pour tout signal signal g de la forme g(t) =∑N
k=0 akeiωkt, un
echantillonnage de frequence fe =1
T> 2 sup |fk| (avec fk =
ωk2π
) permet de recons-
tituer le signal g comme somme d’une serie de fonctions.
On notera s le prolongement a R de la fonction x→ sinx
x.
1. Soient λ ∈ R,, T > 0 et fλ la fonction 2π−periodique qui coıncide avec x→ eiλx sur[−π, π[.
(a) Donner une representation graphique de Im(fλ) sur [−5π, 5π] pour λ = 1/2,λ = 9/10...
(b) Calculer la serie de Fourier de fλ et etudier avec soin sa convergence. Onprecisera en particulier la somme en les points x = 0, π.
En deduire une expression de1
sinxpuis de de cotan x comme somme d’une
serie.
2. Soient (a0, a1, ..., aN ) une suite de complexes et (ω0, ω1, ..., ωN ) une suite de reels.
(a) Montrer que la fonction g definie par
g(t) =N∑k=0
akeiωkt
verifie la formule d’interpolation :
g(t) =∑n∈Z
s((t/T − n)π)g(nT )
des que T appartient a un intervalle que l’on precisera.On commencera par etablir le resultat pour un terme eiωkt...
3. Peut on donner des conditions sur une fonction f : R → R, qui assurent la conver-gence de la serie
f(0) s
(πt
T
)+∑n≥1
(f(nT ) + f(−nT )) s
(πt
T− nπ
)?
corrige en 9.5
Exercice 23 centrale MPOn considere la fonction f, paire, de periode 2π , definie sur [0, π] par f(x) =
√x.
1. Cette fonction est elle continue, de classe C1 par morceaux ? Les theoremes du courss’appliquent ils ?
2. Exprimer les coefficients de Fourier trigonometriques de f en fonction d’integralesde la forme
F (x) =
∫ x
0sin(t2) dt.
24
3. Montrer que l’integrale ∫ ∞0
sin(t2) dt
a un sens et en deduire que la serie de Fourier de f est normalement convergente.Quelle est sa somme ?
4. Donner des valeurs de n pour lesquelles on a
||f −Fn(f)||∞ ≤ 10−8.
Fn(f) designe la somme de Fourier d’ordre n de f .
voir corrige en annexe 9.6
Exercice 24Dans ce qui suit,pour n ∈ N∗, on note fn la fonction 2π−periodique qui coıncide avecx → chnx sur [−π, π[, et gn la fonction 2π−periodique qui coıncide avec x → shnx sur[−π, π[.
1. (a) Que peut on dire quant aux modes de convergence des series de Fourier de cesdeux fonctions ?
(b) Calculer les series de Fourier de chacune d’elles. Representer graphiquement cessommes partielles.
2. (a) En deduire une expression de la somme de chacune des series
∞∑k=1
1
n2 + k2et
∞∑k=1
(−1)n
n2 + k2.
ecrire un programme pour verifier ces formules numeriquement.
Voir corrige en 9.7
Exercice 25On considere la suite des fonctions
un(θ) = (−1)n+1 n
sh(nπ)ch(nθ).
1. etudier la convergence simple de la serie∑un.
2. Justifier qu’elle converge normalement sur l’intervalle [−π + α, π − α].
3. ecrire un programme permettant le calcul et la visualisation des sommes partielles decette serie. Que peut on observer quant au comportement de la somme aux bornesde l’intervalle de convergence ?
4. etudier de facon analogue la serie de fonctions de terme generalv0(θ) =
1
2π,
vn(θ) = (−1)nn
sh(nπ)cos(nθ), si n ≥ 1.
Que peut on conjecturer quant a ces deux series ?
25
5. On notera S =∑∞
n=1 un et T =1
2π+∑∞
n=1 vn. Le but des questions qui suivent est
de prouver l’egalite de ces fonctions sur ]− π, π[.
(a) On considere les fonctions
S2(x) =∞∑n=1
(−1)n−1 ch(nx)
nsh(nπ)et T2(x) =
∞∑k=1
(−1)k−1 cos(kx)
ksh(kπ).
Montrer qu’elles sont de classe C2 sur ] − π, π[ et sur R et que leurs deriveessont egales a S et T respectivement...
(b) A l’aide des resultats de l’exercice 24, et en particulier de la formule
ch(nx) =2nsh(nπ)
π
(1
2n2+
K∑k=1
(−1)k
n2 + k2cos kx
),
comparer ces deux fonctions.
(c) En deduire l’egalite :
Voir corrige en 9.8
26
5.4 Equations differentielles, solutions periodiques
Exercice 26On se propose de resoudre l’equation differentielle
y” + 9y =
∞∑k=1
1
k2sin kt (E)
1. Determiner les solutions de l’equation
y” + 9y = sin(nt);
2. Montrer que les solutions de (E) sont de classe C2 . Justifier l’existence d’une solutionsomme d’une serie trigonometrique.
Exercice 27
1. Resoudre l’equation differentielle
y”(t) + y(t) = cos(nt);
2. Soit∑an, une serie absolument convergente. On considere l’equation differentielle
y”(t) + y(t) =∞∑n=0
an cos(nt);
Montrer que toutes les solutions sont de classe C2 . Exprimer les solutions.
3. On suppose maintenant que la suite (an)n est formee de reels positifs et decroıt vers0.
(a) Montrer que la fonction∑∞
n=0 an cos(nt) est correctement definie et continuesur ]0, π[;Indication : poser Sn =
∑nk=0 cos kx, et remplacer lorsque c’est possible, cos(nx)
par Sn − Sn−1, dans la serie...
(b) Discuter l’equation lorsque an =1
lnn.
Exercice 28Soit l’equation differentielle
y”(t) + ay′(t) + by(t) = f(t)
ou a et b sont des complexes et f une fonction 2π−periodique et de classe Ck par morceaux.
1. Montrer qu’une solution est de classe Ck+2 par morceaux. Est-elle necessairementperiodique ?
2. Soit y une solution periodique de cette equation, que dire de sa serie de Fourier ?
3. Determiner les solutions 2π−periodiques de cette equation.
Exercice 29
27
Rechercher les solutions 2π−periodiques de l’equation differentielle lineaire
y”(t) + (a+ be2it)y(t) = 0.
Exercice 30 Une equation differentielleOn se propose d’etudier l’equation differentielle
y′′ + ay′ + by = f(t)
ou f est la fonction de periode 2π continue et de classe C1 par morceaux dont la restrictiona l’intervalle ]− π, π[ est f(t) = π − |x|.
1. Montrer que si y(t) est une solution de cette equation, elle est de classe C3 parmorceaux. Toutes les solutions sont elles periodiques ?
2. En raisonnant par analyse synthese, determiner les fonctions de periode 2π qui sontsolutions de cette equation. En deduire toutes les solutions.
Exercice 31
On note f la fonction de periode 2π paire telle que f(t) = π − t sur [0, π];
1. Preciser la convergence de sa serie de Fourier, en calculer les coefficients.
2. On se propose de resoudre l’equation differentielle y”(t) + ω2y(t) = f(t).
(a) Monter que toute solution est de classe C2 et de classe C3 par morceaux.
(b) Soit y(t) =∑
k≥0 ck cos(kt), une fonction de classe C2 et de classe C3 parmorceaux. Que peut on dire des series de Fourier de ses derivees ?
(c) Pour quelles valeurs de ω existe-t-il des solutions de la forme
y(t) =∑k≥0
ck cos(kt)?
voir commentaire 9.9
28
5.5 Equations aux derivees partielles
Joseph Fourier
Exercice 32 equation de la chaleur
On considere ici l’equation∂2
∂x2u(x, t) = C
∂
∂tu(x, t),
dans laquelle u(x, t) est definie sur [0, L]× [0,∞[ et de classe C2 . On suppose que u(x, t)verifie les conditions aux limites :
(1) u(0, t) = u(L, t) = 0,
et la condition initiale(2) u(x, 0) = h(x)
avec h de classe C2 sur [0, L].
1. Rechercher les solutions de la forme F (x) ×G(t) verifiant les conditions conditionsaux limites (1). Ceci conduit a un probleme
F”(x)− λF (x) = 0 avec F (0) = F (L) = 0
(il s’agit d’un probleme de Sturm-Liouville), qui n’admet des solutions non nullesque pour certaines valeurs de λ que l’on precisera.
2. On suppose que h(x) est un polynome trigonometrique de periode 2L :
h(x) =
n∑k=1
Hk sin
(kπx
L
).
Le systeme (E), (1), (2) admet-il une solution ?
29
3. On suppose que h est de classe C3 sur [0, L] et prolongeable en une fonction de declasse C2 et de classe C3 par morceaux, impaire et 2L periodique que l’on notera h.On pose
h(x) =∞∑k=1
Hksin
(kπ
Lx
)
u(x, t) =∞∑k=1
Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)lorsque cela a un sens.
(a) Que dire des series de coefficients∑
k |Hk|,∑
k k|Hk| et∑
k k2|Hk|?
(b) Montrer que la somme des fonctions de la variable x :
x→ uk(x, t) = Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
est une fonction de classe C2 et preciser∂2
∂x2u(x, t).
(c) Montrer que la somme des fonctions de la variable t,
t→ uk(x, t) = Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
est une fonction de classe C1 et preciser∂
∂tu(x, t).
(d) Montrer qu’il existe une solution u(x, t) du probleme que l’on exprimera enfonction des coefficients de Fourier de h.
voir corrige en 9.10
30
Exercice 33 TP MAPLE & equation de la chaleurOn pourra decider de travailler avec L = π...
1. Les outils pour ecrire des sommes de Fourier (partie commune a la plupart des exer-cices) :
(a) Definir une fonction Maple qui prend comme arguments, un entier k, une fonc-tion cpm 2L−periodique et impaire f, et retourne
bk =2
L
∫ L
0sin(kπt/L)f(t) dt.
(b) Definir une fonction Fourier qui prend comme arguments un entierN, une fonc-tion f, cpm, impaire et 2L−periodique et retourne la N ieme somme de Fourierdefinie ci-dessus, comme expression en x. On choisira d’utiliser l’integrale inerteInt.Tester en calculant pour une fonction 2−periodique et impaire telle que
h(x) = 64x3(1− x)3
sur [0, 1], ses sommes de Fourier et en comparant leurs graphes a celui de h.
2. On a montre que lorsque h admet un prolongement 2L-periodique de classe C2 etde classe C3 par morceaux, impair, alors la fonction
u(x, t) =
∞∑k=1
Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)est une solution de l’equation de la chaleur verifiant les relations (1) et (2) surR× [0,∞[.Donner une representation graphique de u(x, t) pour t decrivant la liste des valeurst0 = 0, ...tk = 25/k...
Exercice 34 equations des ondes, au final nous voulons une animation...
1. Soit f la fonction definie sur [0, π] par f(t) = 64t3 (π − t)3
π6.
(a) En la prolongeant convenablement, justifier qu’elle est somme d’une serie
f(x) =∞∑k=0
bk sin (kx)
dont on calculera les coefficients.
(b) Programmer une fonction qui prend en arguments N et x et retourne la N ieme
somme partielle de cette serie. Realiser un trace graphique a titre de verification.(Le but est de tracer les solutions de l’equation qui suit, on aura donc interet as’organiser proprement).
2. On considere l’equation aux derivees partielles∂2
∂t2u(x, t)− c2 ∂
2
∂x2u(x, t) = 0
u(0, t) = u(π, t) = 0 pour t ≥ 0.
(5.2)
31
(a) Verifier que pour tout k ∈ Z, la fonction a variables separables
(x, t)→ cos(ckt+ φ) sin(kx)
est solution particuliere de ce systeme.
(b) Montrer qu’il existe une solution de (5.2) qui verifie en outre les conditionsinitiales
u(x, 0) = f(x) et∂
∂tu(x, 0) = 0,
la fonction f etant definie dans la premiere question.
(c) Representer graphiquement les fonctions x→ u(x, t) pour plusieurs valeurs det. Creer une animation pour visualiser en fonction du temps le comportementdes solutions.
32
6 Annexe 1 : fonctions de classe Ck par morceaux
Definition 5 On considere ici des fonctions definies sur des intervalles de R a valeursdans F, un espace norme de dimension finie sur R ou C.
1. On dit que f definie sur un segment [a, b] de R est continue par morceaux s’il existeune subdivision (aO = a, a1, ..., an = b) de ce segment telle que chaque restriction def a ]ai, ai+1[ soit prolongeable en une fonction continue sur [ai, ai+1].
2. On dit que f definie sur un segment [a, b] de R est de classe C1 par morceaux s’ilexiste une subdivision de ce segment telle que chaque restriction de f a ]ai, ai+1[soit prolongeable en une fonction de classe C1 sur [ai, ai+1]. Une fonction de classeC1 par morceaux peut ne pas etre continue.
3. On dit que f definie sur un segment [a, b] de R est de classe Ck par morceaux s’ilexiste une subdivision de ce segment telle que chaque restriction de f a ]ai, ai+1[soit prolongeable en une fonction de classe Ck sur [ai, ai+1].
4. les derivees successives de f sont definies sur [a, b] rive d’un nombre fini de points,on les note Djf.
5. On dit que f, definie sur un intervalle quelconque de R est de classe Ck parmorceaux, si sa restriction a tout segment est de classe Ck par morceaux sur cesegment.
Theoreme 16 proprietes des fonction de classe C1 par morceauxsi f est continue et de classe C1 par morceaux sur [a, b], a valeurs dans F norme,
1. f est constante ssi Df = 0.
2. pour x ∈ [a, b], f(x)− f(a) =∫ xa Df(t) dt.
3. si ||Df ||F ≤ λ, alors ||f(b)− f(a)||F ≤ λ|b− a|.4. si g satisfait aux memes hypotheses que f, alors∫ b
aDf(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]ba =
∫ b
af(t)Dg(t)dt.
Demonstration : voir l’exercice ci-dessous, ou l’on comparera avec ce qui advient lorsquel’hypothese de continuite tombe.
Exercice 35 a regarder absolumentReprendre chacune des proprietes ci-dessus et etablir les formules correspondantes lorsquef est supposee de classe C1 par morceaux sur [a, b] avec α comme seul point de discontinuiteeventuel. Pour la troisieme on pourra prendre g eventuellement discontinue en β.Regarder le cas ou les limites a droite et a gauche en α sont egales.
33
7 Annexe 2 : demonstration du theoreme de convergencequadratique et complements
7.1 La demonstration du theoreme de convergence quadratique dans(C2π, < | >) (HP)
Remarque et avertissement on ne confondra pas une suite de polynomes trigonometriques :
PN (x) =a
(N)0
2+
N∑n=1
(a(N)n cos(ωnt) + b(N)
n sin(ωnt))
avec les sommes partielles d’une serie de la forme
SN (x) =a0
2+
N∑n=1
(an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)),
telles les sommes de Fourier 2. Le theoreme de Weierstrass trigonometrique ne permet en rien dededuire que la serie de Fourier d’une fonction f, continue et periodique, converge uniformement versf. Cela est d’ailleurs faux (les premiers contre-exemples datent d’ailleurs de Weierstrass). Par contrece theoreme permet de montrer, si f est continue, le theoreme de convergence quadratique 12 :La demonstration est facile, la voici :
– On sait que SN (f) somme de Fourier de f continue est la projection orthogonale de f sur PNdans l’espace prehilbertien des fonctions continues et de periode 2π muni du produit scalaireusuel...
– On sait que pour tout couple de fonctions continues (f, g) :
||f − g||22 =1
2π
∫ 2π
0
|f(t)− g(t)|2 dt ≤ ||f − g||2∞...
– Fixons ε > 0, le theoreme de Weierstrass trigonometrique nous dit qu’il existe un polynometrigonometrique P tel que
||f − P ||∞ ≤√ε.
Notons N son degre, comme SN est aussi de degre N, on a
||f − SN (f)||22 ≤ ||f − P ||22 ≤ ||f − P ||2∞ ≤ ε.
7.2 Que faire avec les fonctions continues par morceaux ?
Sur l’espace CPM2π des fonctions continues par morceaux et de periode 2π , on peut encoreconsiderer la forme bilineaire
< f |g >=
∫ 2π
0
f(t)g(t) dt,
mais il ne s’agit plus d’un produit scalaire et nous ne pouvons faire un espace norme de CPM2π avec< f |f >1/2 . Il suffit, pour s’en convaincre de considerer une fonction en escaliers, 2π−periodique, nulle sur [0, 2π], sauf en un nombre fini de points de discontinuite en lesquels f(α) 6= 0.Nous allons voir comment contourner cette difficulte pour etudier la convergence en moyennequadratique des series de Fourier des fonctions continues par morceaux .
2. au fait, ou est la difference ?
34
Definition 6 A toute fonction f continue par morceaux et 2π−periodique on associe la fonctionegalement continue par morceaux et 2π−periodique , definie par
f(x) =f(x+) + f(x−)
2= limh→0
f(x+ h) + f(x− h)
2,
Cette fonction coıncide avec f en ses points de continuite. On l’appelle regularisee de f.On note D2π l’espace des fonctions continues par morceaux egales a leur regularisee.
Proposition 17 Soit f une fonction de CPM2π.– f ∈ D2π;
–∫ 2π
0f(t)g(t) dt =
∫ 2π
0f(t)g(t) dt pour toute fonction continue g;
– cn(f) = cn(f) pour tout n ∈ Z et les series de Fourier de f et de f sont les memes.
Theoreme 18– la forme bilineaire
(f, g)→< f |g >=
∫ 2π
0
f(t)g(t) dt,
definit un produit scalaire sur D2π;– la famille des fonctions (eikx)−N≤k≤N forme une base orthogonale de PN , sous-espace de D2π;– l’application qui a f ∈ D2π associe sa nieme somme de Fourier est la projection orthogonale deD2π sur le sev PN ;
– pour toute fonction 2π−periodique et continue par morceaux , la serie de Fourier de f et de fconverge vers f dans cet espace prehilbertien (elle converge donc en moyenne quadratique versla regularisee de f et vers f).
– les formules de Parseval s’expriment :
∞∑k=−∞
|ck|2 = ||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0
|f(t)|2 dt,
Corollaire 19 si f est une fonction de CM2π, alors :– sa serie de Fourier converge en moyenne quadratique vers la regularisee de f mais on a aussi
limN→∞
∫ 2π
0
|SN (f)− f |2 dt = 0;
– les coefficients de Fourier de f verifient l’egalite de Parseval :
∞∑k=−∞
|ck|2 = ||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0
|f(t)|2 dt,
35
8 Annexe 3 : Resumons nous :
8.1 Les Formules
A toute fonction 2π−periodique sur R et continue par morceaux sur l’intervalle [0, 2π], onassocie ses sommes de Fourier definies par :
Sn(f)(x) =∑n
k=−n ck(f)eikx avec cn(f) =1
2π
∫ π−π f(t)e−int dt
Sn(f)(x) = a0(f)2 +
∑nk=1(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx))
a0(f)
2= c0(f) ak(f) = 1
π
∫ 2π0 cos(k t)f(t) dt bk(f) = 1
π
∫ 2π0 sin(k t)f(t) dt
an(f) = [cn(f) + c−n(f)] bn(f) = i[cn(f)− c−n(f)]
cn(f) =1
2[an(f)− ibn(f)] c−n(f) =
1
2[an(f) + ibn(f)]
8.2 Les theoremes
Theoreme 20 convergence en moyenne quadratiquesi f est une fonction de CM2π, alors :– sa serie de Fourier converge en moyenne quadratique vers la regularisee de f, a savoir
limN→∞
||SN (f)− f ||22 = limN→∞
∫ 2π
0|SN (f)− f |2 dt = 0,
mais on a aussi
limN→∞
∫ 2π
0|SN (f)− f |2 dt = 0;
– les coefficients de Fourier de f verifient l’egalite de Parseval :
||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt =
∞∑k=−∞
|ck|2
∞∑k=−∞
ck(f) ¯ck(g) =< f |g >=1
2π
∫ 2π
0f(t) ¯g(t) dt
||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt =
|a0(f)|2
4+
1
2
∞∑k=1
(|ak(f)|2 + |bk(f)|2)
36
Theoreme 21 theoreme de convergence normaleSi f est une fonction 2π−periodique , continue et de classe C1 par morceaux, alors– sa serie de Fourier converge normalement– sa somme est egale a f.
Theoreme 22 theoreme de DirichletSoit f une fonction 2π−periodique , de classe C1 par morceaux (non necessairementcontinue), alors– le serie de Fourier de f est simplement convergente sur R;– sa somme est la regularisee de f definie par
f =1
2(f(x+) + f(x−));
On exprime donc
c0(f) +∑
n≥1(cn(f)eint + cn(f)e−int =1
2(f(x+) + f(x−));
1
2a0(f) +
∑n≥1(an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt) =
1
2(f(x+) + f(x−));
Theoreme 23 series de Fourier des deriveesSi f est une fonction 2π−periodique , de classe Cn et de classe Cn+1 par morceaux, alors– les series de Fourier de f et de ses derivees successives, f (k) pour 1 ≤ k ≤ n, convergent
normalement,– on obtient la serie de Fourier de f (k+1) en derivant terme a terme la serie de Fourier def. En particulier
cn(f ′) = incn(f) an(f ′) = nbn(f) bn(f ′) = −nan(f)
37
9 Corriges de quelques exercices
CO n 9.1 Corrige de l’exercice 13
1. Calcul de DN
(a)
SN (f)(x) =1
2π
∫ 2π
0
N∑n=−N
ein(x−t)f(t) dt
on a donc DN (x) =∑N−N e
inx = e−iNx∑2N
k=0 einx.
(b) Lorsque einx 6= 1, nous avons
DN (x) = e−iNx1− ei(2N+1)x
1− eix(9.1)
= e−iNxei(2N+1)x/2
eix/2sin((2N + 1)x/2)
sin(x/2)(9.2)
=sin((2N + 1)x/2)
sin(x/2)(9.3)
2. Calcul de KN
(a)
NσN (f) =N−1∑n=0
Sn(f) =1
2π
∫ 2π
0
N−1∑n=0
n∑k=−n
eik(x−t)f(t) dt.
Ainsi,
NKN (x) =N−1∑n=0
(n∑
k=−neikx
)=
N−1∑n=−N−1
(N − |n|)eikx
en effet, dans cette somme,
i. e0 = 1 figure N fois,
ii. e1 et e−1 figurent N-1 fois (ils ne figurent pas dans S0(f),
iii. e2 et e−2 figurent N-2 fois (ils ne figurent pas dans S0(f), S1(f),
iv. ...
(b)∫ 2π
0 KN (t) dt = N/N = 1 puisque dans la somme
N−1∑n=−N−1
(N − |n|)∫ 2π
0eikx dx
toutes les integrales sont nulles sauf une...
3. (a)
NKN (x) =
N−1∑n=0
(n∑
k=−neikx
)=
N−1∑n=0
Dn(x)
et lorsque eix 6= 1, on a
38
NKN (x) =∑N−1
n=0
sin((2n+ 1)x/2)
sin(x/2)(9.4)
=1
sin(x/2)
∑N−1n=0 sin((2n+ 1)x/2) (9.5)
=1
sin(x/2)=(∑N−1
n=0 ei(2n+1)x/2
)(9.6)
=1
sin(x/2)=(eix/2
∑N−1n=0 e
inx)
(9.7)
=1
sin(x/2)=(eix/2
1− eiNx
1− eix
)(9.8)
=
(sin(Nx/2)
sin(x/2)
)2
(9.9)
(b)
∫ π
δNKN (t) dt =
∫ π
δ
(sin(Nx2
)sin(x2
) )2
dt ≤ 1/N
∫ π
δ
1
sin2(δ)dt ≤ π
N sin2(δ).
(c) On ecrira la difference sous forme d’integrale :
1
2π
∫ π
−πKN (x− t)f(t) dt− f(x)× 1
=1
2π
∫ π
−πKN (x− t)(f(t)− f(x)) dt =
1
2π
∫ π
−πKN (s)(f(x− s)− f(x)) ds,
puis comme somme de trois integrales :[∫[−π,−δ]
+
∫[−δ,δ]
+
∫[δ,π]
]KN (s)(f(x− s)− f(x)) ds.
– |∫
[−δ,δ]KN (s)(f(x − s) − f(x)) ds| est majoree par Kδ puisque |f(x − s) −f(x)| ≤ Kδ et
∫[−π,π]Kn = 1.
– on majore chacune des deux autres par 2||f ||∞∫
[δ,π]KN ...– Pour tout ε etc...
(d) Une fonction periodique et continue est uniformement continue. On ecrit commeprecedemment,
1
2π
∫ π
−πKN (x− t)f(t) dt− f(x)
=
[∫[−π,−δ]
+
∫[−δ,δ]
+
∫[δ,π]
]KN (s)(f(x− s)− f(x)) ds.
39
On se donne ε > 0, on choisit δε tel que
|x− x′| ≤ δε ⇒ |f(x)− f(x′)| ≤ ε;
Cela permet d’obtenir la majoration :
|∫
[−δ,δ]KN (s)(f(x− s)− f(x)) ds| ≤ Kε
puisque |s| ≤ δε|f(x − s) − f(x)| ≤ ε et∫
[−π,π]Kn = 1. On majore comme
precedemment chacune des deux autres integrales par 2||f ||∞∫
[δ,π]KN ...
Pour tout ε il existe donc un rang N a partir duquel,...
CO n 9.2 correction de l’exercice 14
1. Nous avons ||un|| = 1/n, la serie des normes est la serie harmonique et diverge.
La figure qui suit nous dit tout quand a la convergence simple, c’est limpide avec lessommes partielles pour n=7,47 :
2. On conjecture sans peine : notre serie est la serie de Fourier de la fonction de periode2π et impaire egale a 1
2(π − x) sur l’intervalle ]0, π[;
Une verification
bn =2
π
∫ π
0sinnt× π − t
2dt =
π n− sin (π n)
π n2=
1
n.
Merci MAPLE.
Comme notre fonction est de classe C1 par morceaux, sa serie de Fourier convergesimplement vers sa regularisee. En particulier, au point 1 nous aurons∑
n≥1
sinn
n=
1
2(π − 1).
40
3. (a) Sur ]0, π[,
f ′n(x) =n∑k=1
cos kx = Re () =cos(
(n+1)x2
)sin(nx2
)sin x
2
.
Sur ]0, π[, les zeros sont de la forme(2k + 1)π
n+ 1et
2kπ
n
(b)
(c)
41
CO n 9.3 correction de l’exercice 18Soit f la fonction 2π−periodique definie par f(x) = | cos(x)|.
1. Cette fonction est continue (valeur absolue d’une fonction continue) et de classe C1
par morceaux (avec des points anguleux en x = kπ, k ∈ Z). D’apres le theoreme deconvergence normale (theoreme 13), sa serie de Fourier converge normalement et sasomme est f elle-meme.
Calculons ses coefficients de Fourier trigonometriques en observant que comme f estpaire les bn sont nuls et que
an =1
π
∫ π
−π| cos t| cos(nt) dt =
2
π
∫ π
0| cos t| cos(nt) dt
=2
π
(∫ π/2
0cos(t) cos(nt) dt−
∫ π
π/2cos(t) cos(nt) dt
).
On part de cos(t) cos(nt) =1
2(cos((n+ 1)t) + cos((n− 1)t)) que l’on integre en
separant le cas n = 1 du cas generique : a1 = 0, et pout n ∈ N∗ \ {1},
an =1
π
[sin(n+ 1)t
n+ 1+
sin(n− 1)t
n− 1
]π/20
− 1
π
[sin(n+ 1)t
n+ 1+
sin(n− 1)t
n− 1
]ππ/2
=2
π
(sin(n+ 1)π/2
n+ 1+
sin(n− 1)π/2
n− 1
).
Ainsi, an = 0 lorsque n est impair, alors que pour n = 2p on a :
a2p =2(−1)p
π
(1
2p+ 1− 1
2p− 1
)=
4
π
(−1)p+1
(4p2 − 1).
Bilan : la serie de Fourier de f est
2
π+
4
π
∞∑p=1
(−1)p+1
(4p2 − 1)cos(2px) = | cos(x)|.
2. Calcul des trois sommes :∑n≥1
1
4n2 − 1,∑n≥1
(−1)n
4n2 − 1et∑n≥1
1
(4n2 − 1)2,
Nous avons
f(0) = 1 =2
π+
4
π
∞∑p=1
(−1)p+1
(4p2 − 1)d′ou
∑n≥1
(−1)n
4n2 − 1=
1
2− π
4,
f(π/2) = 0 =2
π− 4
π
∞∑p=1
1
(4p2 − 1)d′ou
∑n≥1
1
4n2 − 1=
1
2
42
La derniere formule enfin, decoule de la formule de Parseval (12) :
||f ||22 =1
2π
∫ 2π
0|f(t)|2 dt =
|a0(f)|2
4+
1
2
∞∑k=1
(|ak(f)|2 + |bk(f)|2),
Soit :1
2π
∫ 2π
0cos2 t dt =
1
2=
4
π2+
8
π2
∞∑k=1
1
(4p2 − 1)2
∞∑k=1
1
(4p2 − 1)2=π2
16− 1
2.
CO n 9.4 corrige de l’exercice 21
1. On observe que∫ 2π
0 f(t) dt = 0 (puisque a0 = 0) et que
F (x+ 2π) =
∫ x
0f(t) dt+
∫ x+2π
xf(t) dt.
Le deuxieme terme de cette somme est nul (puisque egal a∫ 2π
0 f(t) dt = 0, f etantperiodique), le tour est joue : F est periodique.
On a en integrant par parties
πbn =
∫ 2π
0f(t) sin(nt) dt = [F (t) sin(nt)]2π0 − n
∫ 2π
0F (t) cos(nt) dt.
Ainsibn(f)
n= an(F ) est le coefficient de Fourier d’une fonction de classe C1 par
morceaux et continue. D’apres le theoreme de convergence normale (theoreme 13),la serie de Fourier de F est normalement convergente. On en deduit que
∑bn/n
est absolument convergente (la serie des normes est ||an(F ) cosnt||∞ = |an(F )| =bn(f)
n.)
2. C’est une suite de Cauchy : Nous avons, comme de bien entendu,
M∑n=N
sinnx
lnn=
M∑n=N
Sn − Sn−1
lnn(9.10)
=
M−1∑n=N
(1
lnn− 1
ln(n+ 1)
)Sn +
SMlnM
− SN−1
lnN(9.11)
Comme (Sn)n est bornee (on peut en effet verifier que Sn(t) = 0 si eit = 1 etsinnt/2
sin t/2sin((n + 1)t/2), sinon), on obtient une majoration par une suite qui ne
depend que de N, de limite 0.
3. Ce ne peut etre la serie de Fourier d’un fonction continue par morceaux car∑ 1
n lnn
diverge. On le verifie en comparant a l’integrale∫ 1
t ln tdt...
43
CO n 9.5 correction de l’exercice 22
1. (a) Figure avecRf :=(L,x) − > sin(L*x) :plot(Rf(0.9,x-2*Pi*floor(x/(2*Pi)+1/2) ),x=-5*Pi..5*Pi, discont=true) ;
Figure 3 – Im(f0.9)
(b) si λ ∈ Z, c’est clair : tous les coefficients cn(f) sont nuls sauf cλ et la fonctionest sa propre somme de Fourier des que n ≥ |λ|.Sinon
cn(f) =1
2π
∫ 2π
0eiλxe−inx dx =
1
2π
[ei(λ−n)
i(λ− n)
]π−π
= s((λ− n)π).
La fonction fλ est de periode 2π et de classe C1 par morceaux. Sa serie deFourier converge simplement vers sa regularisee. Cela donne
fλ(x) =
∞∑n=−∞
s((λ− n)π)einx, x ∈ R/π(2Z + 1),
fλ(x+) + fλ(x−)
2= cos(λπ) =
∞∑n=−∞
sin(λπ)
(λ− n)π, si x = (2k + 1)π.
De cela on deduit avec y = λπ :
cot(y) =1
y+ 2
∑n≥1
y
y2 − n2π2.
2. Considerons la fonction de periode 2π dont la restriction a ]− π, π], est f(t) = eiλx.Sa serie de Fourier en un point de continuite x ∈]− π, π[ est :
eiλx =∑n∈Z
s((λ− n)π)einx (9.12)
On en deduit la formule de Shannon
eiωkt =∑n∈Z
s((t/T − n)π)einωkT ,
44
en posant x = ωkT et λ = t/T :
eiλx = eiωkt =∑n∈Z
s((t/T − n)π)einωkT .
Ou encoreg(t) =
∑n∈Z
s((t/T − n)π)g(nT ).
On prendra garde au fait que |x| = |ωk|T impose T ≤ π
|ωk|=
1
2|fk|.
Enfin, lorsque g est comme dans l’enonce combinaison lineaire de fonctions de ce
type, il vient encore, pour tout T tel que 0 < T <π
sup |ωk|, et pour t ∈ R, la formule
de Shannon (convergence simple)
g(t) =∑n∈Z
s((t/A− n)π)g(nA).
3. Arrive la, en principe on est grand(e) :– On peut supposer que
∑f(nA) et
∑f(−nA) sont AC pour un certain T > 0, ou
pour tout T tq 0 < A < A0, d’ou– la convergence normale sur R de la serie de tg cnun(t) = cns(πt/A− nπ);– la convergence normale de la serie des derivees
u′n(t) = cns′(π(t/A− n));
– Ce qui etablit que la somme de la serie est de classe C1 ;– On peut se demander si la somme de cette serie reconstitue f...
45
CO n 9.6 correction de l’exercice 23
1. La fonction f, paire, de periode 2π , definie sur [0, π] par f(x) =√x, est continue sur
R (comme tout prolongement pair et periodique d’une fonction continue sur [0, π]...)
Le graphe est obtenu avec le code MAPLE que voila :
f:=proc(X)
local k;
k:=floor(X/Pi);
if k mod 2 = 0
then sqrt(X-k*Pi);
else sqrt(-X+(k+1)*Pi);
fi;
end:
plot(f,-6*Pi..6*Pi,thickness=3,color=black, numpoints=300);
Par contre, elle n’est pas de classe C1 par morceaux : en effet la limite de son tauxde variation en 0+ est +∞. Sa restriction a ]0, π[ n’admet pas de prolongementderivable.
Remarque : les points anguleux visibles en kπ pour k impair rappellent que la fonc-tion n’est pas derivable en ces points mais ne seraient pas un obstacle a son caracterede classe C1 par morceaux.
Les theoremes de convergence ponctuelle du cours ne s’appliquent pas ici. Le theoremede convergence normale comme le theoreme de Dirichlet (selon la terminologie ducours) supposent les fonctions au moins de classe C1 par morceaux. Ce n’est pas lecas ici. Seul le theoreme de convergence quadratique (et donc la formule de Parseval)voit ses hypotheses satisfaites.
2. Exprimons les coefficients de Fourier trigonometriques de f en fonction d’integralesde la forme
F (x) =
∫ x
0sin(t2) dt.
Comme f est paire les bn sont nuls et nous avons :
an(f) =1
π
∫ 2π
0f(t) cosnt dt =
2
π
∫ π
0
√t cosnt dt.
• Considerons tout d’abord, n ≥ 1, et effectuons le changement de variable : nt = u2
ou u =√nt, dt =
2
nu du...
46
Il vient alors :
an(f) =2
π
∫ π
0
√t cosnt dt =
4
πn3/2
∫ √nπ0
u2 cos(u2) du
On choisit d’integrer par parties ce qui semble conduire a une integrale impropre :
an(f) =2
πn3/2
∫ √nπ0
u×(2u cos(u2)) du =2
πn3/2
([u sinu2
]√nπ0−∫ √nπ
0sinu2 du
)
On obtient enfin :
an(f) =−2
πn3/2
∫ √nπ0
sin(u2) du =−2F (
√nπ)
πn3/2si n ≥ 1 et a0(f) =
4√π
3.
3. **Montrons que l’integrale∫∞
0 sin(t2) dt est convergente ; on procede classiquementen deux etapes :
- un changement de variable x = t2, dt =dx
2√x
donne :
F (X) =
∫ X
0
sinx
2√xdx,
- la fonctionsinx
2√x
est integrable sur [0, 1] (elle y admet un ppc),
- quant a l’integrale sur [1, X[, une integration par parties montre qu’elle est sommed’une partie toute integree qui admet une limite et de l’integrale d’une fonctionintegrable sur [1,+∞[.......
Ainsi an(f) ∼ C
n3/2et la serie de Fourier de f est normalement convergente (en effet
son terme general est un(t) = an(f) cosnt avec ||un|| = |an(f)| ∼ |C|n3/2
).
D’apres le theoreme 9, elle converge vers f qui est continue.
4. Il s’agit de determiner un rang a partir duquel les sommes de Fourier de f realisentune approximation uniforme de f a 10−8 pres. Pour cela, observons que
||f −Fn(f)||∞ = ||∞∑n+1
un||∞ ≤∞∑n+1
A
n3/2.
Estimation de A : on remarque que∫ √nπ
0 sin(u2) du est somme partielle de la seriealternee ∑∫ √(n+1)π
√nπ
sin(u2) du,
qui verifie le critere special( preuve par changement de variable), on majore donc lessommes par le premier terme :
|an(f)| =
∣∣∣∣∣ −2
πn3/2
∫ √nπ0
sin(u2) du
∣∣∣∣∣ ≤ 2/π
n3/2
∫ √π0
sin t2dt ≤ 2/√π
n3/2
47
Il suffit de choisir n1 tel que
∞∑n=n1
1
n3/2≤∫ ∞n1−1
t−3/2 dt ≤ 108√π/2...
48
CO n 9.7 correction de l’exercice 24
1. (a) Le prolongement de fn est pair, continu, de classe C1 par morceaux, sa seriede Fourier converge normalement vers fn.Le prolongement de gn est impair, non continu, de classe C1 par morceaux, saserie de Fourier converge simplement vers la regularisee de gn.
(b) Serie de Fourier de fn. Avec l’aide de MAPLE pour les calculs d’integrales(premiere ligne), on obtient :
ak(fn) =2
π
∫ π
0ch(nx) cos(kx) dx = 1/2
(−2n+ 2n e2nπ
)e−nπ (−1)k
π (n2 + k2)
ak(fn) =2nsh(nπ)
π
(−1)k
n2 + k2
Les sommes de Fourier de cette fonction sont donc :
SK(fn)(x) =2nsh(nπ)
π
(1
2n2+
K∑k=1
(−1)k
n2 + k2cos kx
).
Serie de Fourier de gn. On obtient cette fois :
bk(gn) =2sh(nπ)
π(−1)k+1 k
n2 + k2
Les sommes de Fourier de cette fonction sont donc :
SK(gn)(x) =2sh(nπ)
π
K∑k=1
((−1)k+1 k
n2 + k2sin kx
).
Verifications graphiques
assume(n,integer);
assume(k,integer);
2/Pi*Int(cosh(n*x)*cos(k*x),x=0..Pi);
A:=unapply(value(%),(n,k));
F:=proc(N,n,x)
local s,k;
s:=A(n,0)/2;
for k from 1 to N do
s:=s+A(n,k)*cos(k*x)
od;
s;
end:
p:=4;
plot({cosh(p*x),F(5,p,x)},x=-4*Pi..4*Pi,-1..cosh(p*Pi), numpoints=200);
F1:=%:
49
(c) Les formules : on les obtient en faisant x = 0, puis x = π dans la serie deFourier de fn :
∞∑k=1
1
n2 + k2=
π
2ncothnπ − 1
2n2;
∞∑k=1
(−1)k
n2 + k2=
π
2nshnπ− 1
2n2.
Verification numerique :
S:=proc(K,n)
local k,s;
s:=0;
for k from 1 to K do
s:=s+ 1/(n^2+k^2);
od;
s
end:
p:=5;
evalf(S(12000,p));
evalf(Pi/(2*p)* coth(p*Pi)-1/(2*p^2));
p := 5
0.2940759355
0.2941592654
50
CO n 9.8 correction de l’exercice 25
1. • pour 0 < |θ| < π, on observe que
|un(θ)| = n
sh(nπ)ch(nθ) ∼
n→+∞ne−n(π−|θ|).
C’est la le terme general d’une serie convergente.
• Pour θ = 0,|un(0)| = ∼
n→+∞2ne−nπ.
C’est encore le terme general d’une serie convergente.
• Pour |θ| ≥ π, la serie numerique∑un(θ) diverge grossierement ;
2. Convergence normale sur l’intervalle |θ| < π − α :On observe que
|un(θ)| = n
sh(nπ)ch(nθ) ≤ n
sh(nπ)ch(n(π − α))
||un|| ∞[−π+α,π−α]
=n
sh(nπ)ch(n(π − α)) ∼
n→+∞ne−nα
3. > U:=(n,theta)->(-1)^(n+1)*n*cosh(n*theta)/sinh(n*Pi);
>
> S:=proc(N,t)
> local k,s;
> s:=0;
> for k from 1 to N do
> s:=s+U(k,t)
> od;
> s;
> end:
>
> Digits:=20;
> alpha:=0.001;
> plot({seq(S(N,t),N=12..23)},t=-Pi+alpha..Pi-alpha,-1..1);
51
4. La convergence normale de le serie∑vn est immediate, puisque
||vn||∞R ≤n
sh(nπ)∼
n→+∞2ne−nπ.
5. Un programme quasi-identique au precedent nous donne :
> V:=(n,theta)->(-1)^(n)*n*cos(n*theta)/sinh(n*Pi);
> T:=proc(N,t)
> local k,s;
> s:=1/(2*Pi);
> for k from 1 to N do
> s:=s+V(k,t)
> od;
> s;
> end:
> plot({seq(T(N,t),N=1..12)},t=-2*Pi..2*Pi,-1..1):
> display({%,S123});
La conjecture est immediate : les deux series ont la meme somme sur ]− π, π[ et deplus la fonction S admet une limite en ±π ce qui n’etait pas evident a priori.
52
CO n 9.9 Corrige de l’exercice 31f de periode 2π , paire, telle que f(t) = π − t sur [0, π];
1. La fonction f est de periode 2π paire continue et de classe C1 par morceaux. Saserie de Fourier est normalement convergente, de somme f.
Comme f est paire les coefficients bn sont nuls et
an(f) =1
π
∫ 2π
0f(t) cosnt dt =
2
π
∫ π
0(π − t) cosnt dt.
Le calcul donne a0(f) = π et, pour n ≥ 1, an(f) = −2−1 + (−1)n
n2π. Ainsi,
a0 = π, a2p = 0 pour p ≥ 1 et
a2p+1 =4/π
(2p+ 1)2.
2. On se propose de resoudre l’equation differentielle y”(t) + ω2y(t) = f(t).
(a) Si y est une solution, elle est par definition deux fois derivable et sa deriveeseconde est y”(t) = −ω2y(t)+f(t) qui est continue et de classe C1 par morceaux(comme f puisque y′ est de classe C1 ).
(b) y′ et y” sont continues et de classe C1 par morceaux. Leurs series de Fouriersont normalement convergentes et ce sont les series de Fourier derivees de cellede y.
(c) • Analyse :si y(t) =
∑k≥0 ck cos(kt) est une solution, c’est une fonction de classe C2 et
de classe C3 par morceaux. La serie de Fourier de y” est donc normalementconvergente. Cette serie de Fourier s’ecrit :
y”(t) =∑k≥1
−k2ck cos(kt).
L’equation differentielle s’ecrit alors :∑k≥1
−k2ck cos(kt) + ω2∑k≥0
ck cos(kt) =π
2+
4
π
∞∑p=0
cos(2p+ 1)t
(2p+ 1)2.
Cela conduit a c0 =π
2ω2, c2k = 0 lorsque k ≥ 1 et les termes d’indices impairs
verifient
(w2 − (2p+ 1)2)c2p+1 =4
π(2p+ 1)2.
Une condition necessaire est donc que ω ne soit pas un entier impair.
• Supposons que ω ne soit pas un entier impair. Posons
φ(t) =π
2ω2+∑k≥0
4
π(w2 − (2p+ 1)2)(2p+ 1)2cos((2p+ 1)t).
La serie∑up, de somme φ est normalement convergente de meme que
∑u′p,∑
u”p. On en deduit que φ est une fonction de classe C2 do t les derivees sontles sommes
∑u′p et
∑u”p. Le calcul qui precede montre que φ est solution...
53
CO n 9.10 Corrige de l’exercice 32
1. On considere une fonction de la forme u(x, t) = F (x)×G(t) verifiant l’equation
∂2
∂x2u(x, t) = C
∂
∂tu(x, t)
sur [0, L]× [0,∞[ ainsi que la condition aux bords (1) u(0, t) = u(L, t) = 0.
• Le systeme devient :{F”(x)G(t) = CF (x)G′(t) pour x ∈ [0, L] et t ≥ 0
F (0)G(t) = F (L)G(t) = 0 pour tout t ≥ 0
• On suppose pour la suite que u n’est pas la fonction nulle (F et G ne sont doncpas identiquement nulles).
• Etude de F. Fixons t1 en lequel G(t1) 6= 0, il vient :F”(x) = CG′(t1)
G(t1)F (x) = λF (x) pour x ∈ [0, L] et t ≥ 0
F (0) = F (L) = 0
Ceci conduit au probleme
F”(x)− λF (x) = 0 avec F (0) = F (L) = 0
(il s’agit d’un probleme de Sturm-Liouville (HP) et pas d’un probleme de Cauchy(in P)). Distinguons selon le parametre λ.
(a) Lorsque λ = 0, F (x) = ax+ b ne verifie les conditions F (0) = F (L) = 0 que sielle est nulle ;
(b) Lorsque λ > 0, ; F (x) = a e√λx + b e−
√λx ne s’annule en 0 et L que si elle est
nulle (ecrire le systeme en a et b).
(c) Lorsque λ = −ω2 < 0, F (x) = α cos(ωx) + β sin(ωx) est nulle en 0 et L ssiα = 0 et β sin(ωL) = 0. Pour qu’il existe des solutions non nulles, il faut et ilsuffit que ωL ≡ 0[π], soit
ω =kπ
Let λ =
−k2π2
L2
• Retour a G lorsque λ =−k2π2
L2, k ∈ N
On reprend l’equation F”(x)G(t) = CF (x)G′(t) en un point x1 tel que F (x1) 6= 0.Il vient
G′(t) =F”(x1)
CF (x1)G(t) =
−k2π2
C L2G(t) et G(t) = γe
−k2π2
C L2t.
• Conclusion : les solutions non nulles a variables separables sont de la forme
u(x, t) = e
−k2π2
C L2tsin
(kπ x
L
)
54
2. Soit h(x) =∑n
k=1Hk sin
(kπx
L
). En posant
u(x, t) =n∑k=0
uk(x, t) =n∑k=0
Hke
−k2π2
C L2tsin
(kπx
L
),
on a clairement une solution de l’equation qui verifie les conditions u(x, 0) = h(x)et u(0, t) = u(L, t) = 0.
3. Passons aux series : On suppose que h est de classe C3 sur [0, L] et prolongeableen une fonction de classe C2 et de classe C3 par morceaux, impaire et 2L periodiqueque l’on notera h.
u(x, t) =
∞∑k=1
Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)lorsque cela a un sens.
(a) Comme h est au moins continue et de classe C1 par morceaux, sa serie deFourier converge normalement et sa somme est h. On a donc
h(x) =
∞∑k=1
Hksin
(kπ
Lx
)
et∑
k |Hk| converge (|Hk| = ||x→ Hksin
(kπ
Lx
)||∞).
De la meme facon, la serie de Fourier de h′ converge normalement et les termesgeneraux de cette serie s’obtiennent en derivant ceux de h :
h”(x) =
∞∑k=1
Hkkπ
Lcos
(kπ
Lx
)
On en deduit la convergence de∑
k k|Hk| pour les memes raisons que precedemment.
Enfin, la serie de Fourier de h′ qui est continue et de classe C1 par morceauxconverge normalement et
∑k k
2|Hk| est convergente.
(b) On note fk := x→ uk(x, t) = Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπL x). On a :
f ′k(x) = Hkkπ
Le−( kπL )
2 tC cos
(kπ
Lx
)
f”k(x) = −Hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)i. Chaque fonction fk est de classe C2 ;
ii. la serie∑fk(x) converge en un point (0 par exemple) ; il y a meme conver-
gence normale sur R;
55
iii. la serie∑f ′k(x) converge en un point ; il y a meme convergence normale
sur R;
iv. la serie∑f”k(x) converge uniformement sur tout compact de R. Il y a
meme convergence normale sur R;
D’apres le theoreme de derivation d’une serie de fonction∑fk est de classe C2
et on obtient ses derivees en derivant terme a terme ce qui donne :
u(x, t) =∞∑k=0
Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
∂
∂xu(x, t) =
∞∑k=0
Hkkπ
Le−( kπL )
2 tC cos
(kπ
Lx
)
∂2
∂x2u(x, t) = −
∞∑k=0
Hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)(c) On demontre de la meme facon que la somme des fonctions de la variable t,
t→ um(x, t) = Hke−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)est une fonction de classe C1 et que la derivee de sa somme est
∂
∂tu(x, t) =
−1
C
∞∑k=0
Hkk2π2
L2e−( kπL )
2 tC sin
(kπ
Lx
)
(d) u(x, t) satisfait a l’equation car∂2
∂x2u(x, t) = C
∂
∂tu(x, t) comme on peut le
verifier en regardant les deux series, u(x, t) est nulle si x = 0 ou L; enfin,u(x, 0) = h(x).
L’idee de base etait que l’on peut prolonger une fonction quelconque par impa-rite et 2L periodicite pour l’ecrire comme somme d’une serie trigonometrique.
56
Index
Abeltransformation, 22
belle
formule∑ 1
n2= π2/6, 12
Besselinegalite de, 8
coefficientsde Fourier, 8
derivation, 13proprietes, 9relations, 9
convergencemoyenne quadratique, 14normale
serie d’exponentielles complexes, 11serie trigonometrique, 11series de Fourier, 16
simplevers la regularisee, 17
derivationcoefficients
de Fourier, 13de fonctions periodiques, 4terme a terme, 17
Dirichletnoyau de, 10theoreme, 17
equationdes cordes vibrantes, 31
equationde la chaleur, 29differentielle, 27, 28
espaceD2π (regularisees), 34des fonctionsCPM2π, 3C2π, 3
prehilbertien C2π, 7prehilbertien D2π, 34
formule
de derivation, 13de Green-Riemann, 15de Parseval, 15jolie, 25
Fourierprojection orthogonale, 7serie de, 23somme d’exponentielles, 7sommes de, 8sommes trigonometriques, 7
Gibbs, 20phenomene de, 19
Green-Riemannformule de, 15
inegalitede Bessel, 8isoperimetrique, 15
integralesur une periode, 3
lemmede Riemann, 5
normeN2, 7
noyaude Fejer, 18de Poisson, 21
periodiquesfonctions, 3
phenomenede Gibbs, 20
phenomenede Gibbs, 19
Poissonnoyau, 21
polynometrigonometrique, 4, 7
primitivede fonctions periodiques, 4
projection orthogonale, 7
57
regulariseed’une fonction cpm, 34
Riemannlemme de, 5
serietrigonometrique
convergence uniforme, 11series
de Fourier, 7trigonometriques, 11
series numeriquescalcul des sommes, 12
seriede Fourier, 15
Shannonformule de, 23
Sturm-Liouvilleprobleme de, 29
Theoremede Shannon, 23
theoremecond. suffisante de convergence normale,
16cond. suffisante de derivation terme a
terme, 17convergence moyenne quadratique, 14convergence uniforme
series trigo., 11derivation des coefficients
de Fourier, 13de Dirichlet, 17de Weierstrass
trigonometrique, 5Dirichlet-Jordan, 41serie de Fourier d’une fonction continue,
11
CPM2π, 3, 7C2π, 3D2π, 34
58