rm22010

Upload: gabriel-ovidiu-belciug

Post on 19-Jul-2015

184 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Anul XII, Nr. 2

Iulie Decembrie 2010

RECREAII MATEMATICEREVIST DE MATEMATIC PENTRU ELEVI I PROFESORI

Universitatea Al. I. Cuza din Iai

(1860 2010)

e i = 1Asociaia Recreaii Matematice IAI - 2010

ale matematicii:

Semnificaia formulei de pe copert: i ntr-o form concis, formula e = 1 leag cele patru ramuri fundamentalereprezentat reprezentat reprezentat reprezentat de 1 de de i de e

ARITMETICA GEOMETRIA ALGEBRA ANALIZA MATEMATIC

Redacia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BTINEU-GIURGIU (Bucureti), Temistocle BRSAN, Dan BRNZEI, Alexandru CRUU, Constantin CHIRIL, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRCIUN (Pacani), Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucian-Georges LDUNC, Mircea LUPAN, Gabriel MRANU, Alexandru NEGRESCU (student, Iai), Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braov), Maria RACU, Neculai ROMAN (Mirceti), Ioan SCLEANU (Hrlu), Ioan ERDEAN (Ortie), Dan TIBA (Bucureti), Marian TETIVA (Brlad), Lucian TUESCU (Craiova), Adrian ZANOSCHI, Titu ZVONARU (Comneti)

COPYRIGHT 2010, ASOCIAIA RECREAII MATEMATICE Toate drepturile aparin Asociaiei Recreaii Matematice. Reproducerea integral sau parial a textului sau a ilustraiilor din aceast revist este posibil numai cu acordul prealabil scris al acesteia. Se consider c autorii materialelor trimise redaciei revistei sunt, n mod implicit, de acord cu publicarea lor, i asum responsabilitatea coninutului lor i cedeaz Asociaiei Recreaii Matematice dreptul de proprietate intelectual asupra acestora. TIPRIT LA BLUE SIM & Co IAI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel. 0332 111021, 0721 571705 E-mail: [email protected] ISSN 1582 - 1765

Anul XII, Nr. 2

Iulie Decembrie 2010

RECREAII MATEMATICEREVIST DE MATEMATIC PENTRU ELEVI I PROFESORI

e i = 1Revist cu apariie semestrial

EDITURA RECREAII MATEMATICE

IAI - 2010

.

Universitatea ieean la aniversare s aAnul curent este considerat ca ind cel de-al 150-lea an de existent a a Universitii Al.I. Cuza i este srbtorit prin mai multe actiuni academice, at s a a dedicate evenimentului. Desigur, chiar cu acceptarea ideii c anul 1860 este anul de natere al venerabilei a s institutii, universitatea ieean s a este tot cea mai veche din ar, t a iar progresul pe care l-a realizat este conrmat i de includerea ei s grupul Coimbra. Poate chiar n mai semnicativ dect aceast a a apartenent este faptul c mai a a multi tineri profesori ce i-au s nceput pe bncile ei ucenicia a sunt acum titulari de catedre universitare la unele universiti at de mare faim lume: Paris, a n Oxford, Brown (Providence), Berkeley (California), Stanford i altele. Situatia s mi este cunoscut numai pentru matematicieni i bnuiesc c i alte domenii pot da a s a a s exemple similare. Din trecut putem indica nume sonore, care au dus reputatia universitii ieene at s dincolo de hotarele Romniei. Istoricul A.D. Xenopol este primul romn care a fost a a ales membru al Academiei Franceze, dup Dimitrie Cantemir (acesta la Academia a Prusian de tiinte). Horia Hulubei, pe cnd era profesor la Iai, a devenit membru a s a s corespondent al Academiei Franceze. Alt zician de la Iai, Stefan Procopiu, a fcut s a un nume bun pentru universitatea din Iai, precum i Gheorghe Brtianu, ale crui s s a a lucrri sunt frecvent utilizate cercetarea istoric mondial contemporan. a n a a a Cu toate acestea, Universitatea din Iai, s nintat prin decret al domnitorului a Alexandru Ioan Cuza i purtnd semntura primului su ministru, s a a a Mihail Koglniceanu, fost proa fesor al Academiei Mihilene, nu a este prima institutie din rile ta romne care s-i poat apropria a as a titlul universitar. Ea este o a doua treapt evolutia Academiei a n Mihilene, a ntemeiat la 1835, a sub domnia lui Mihalache Sturza, cu aportul substantial al printelui educatiei moderne din a Moldova Gheorghe Asachi. In discursul pronuntat la deschiderea Academiei Mihilene, acesta a spunea c a nintarea acestei institutii are menirea de a ridica la un rang superior coala din Principatul Moldovei acord cu nivelul luminatei Europe. s n 93

La Academia Mihilean, a crei existent a fost marcat de evenimentele a a a a a politico-sociale ale timpului, a rostit Mihail Koglniceanu discursul su istoric, a a deschiderea primului curs inut vreodat la noi de Istorie National. Tot aici, n t a a Dimitrie Asachi, ul lui Gh. Asachi, a tiprit primul curs de topograe limba a n romn. El a fost i unul dintre primii romni care a fcut cercetare matematic a a s a a a original. a cartea amntul romnesc date de Mihai Bordeianu, fost director al In Invta a a n Bibliotecii Universitare Mihai Eminescu din Iai, i Petru Vladcovschi, cercettor, s s a se poate vedea pe baz de documente c Academia Mihilean a fost o institutie a a a a de rang universitar, comparabil cu multe alte institutii similare din Europa. Exist a a aceast lucrare o list detaliat a diferitelor discipline de amnt, cu indicatii n a a a nvta a asupra continutului cursurilor, care arat fr a a a ndoial faptul c aceast Academie a a a servea aceleai eluri ca i universitile europene din alte ri, avnd multi profesori s t s at ta a formati marile centre universitare apusene, ei ind att din Moldova ct i din n a a s Muntenia sau Transilvania. Inintarea universitii ieene, la un an dup Unirea Principatelor, a fost o simpl at s a a formalitate regizat de Mihail Koglniceanu. De fapt, drapelele mai multor faculti a a at existente Muzeul n universitii sunt daat tate cu multi ani nainte de 1860. Mai mult, studentii ce existau la Academia Mihilean, ct i a a a s un mare numr dina tre profesorii si, a au devenit automat studenti sau profe sori ai acesteia. Aa s at, la un an dup nc a nintare, Universi tatea a putut acorda prima diplom din istoria sa trunchiat. a a Primii profesori ai universitii, cea mai mare parte fr titlu de doctor, i-au at n aa propus lui Simion Brnutiu, cu doctorat la Viena, s devin primul rector. Acesta a a a a declinat politicos oferta, invocnd faptul c este cetean al Imperiului Austriac. a a at Simion Brnutiu provenea de la Academia Mihilean, unde predase cursuri de nivel a a a european. Trebuie mentionat faptul c anul 1935, a fost srbtorit de ctre universi a n a a a tarii ieeni Centenarul Universitii Mihilene. Printre profesorii din acea vreme s at a se numrau personaliti ca: Alexandru Myller, Grigore Moisil, Octav Mayer, Stefan a at Procopiu, Petre Andrei, Iorgu Iordan, Petru Caraman, Ioan Plcinteanu, Mihai Ralea, a I. Borcea, a cror oper tiintic se bucura de recunoatere international. a as a s a Peste 25 de ani, anul 1960, s-a srbtorit din nou centenarul universitii n a a at ieene, rete, prin ignorarea sau minimalizarea rolului Academiei Mihilene, prin s s a nerecunoaterea acesteia ca prim universitate a rii cu limba de predare romna. s a ta a 94

Acest prejudiciu adus, ultim instant, primei universiti romneti, nu poate n a a at a s acoperit de manifestarea oarecum pompoas, presrat cu alocutiuni pronuntate a a a ntr-un veritabil limbaj de lemn de multi vorbitori. Rectorul Universitii V.I. at Lenin din Chiinu ne-a salutat la sfritul mesajului su rostit limba rus cu s a as a n a Triasc Univerzitetul din Iai, aceasta limba romn. Ca participant la desa a s n a a chiderea acestor solemniti, mi-au procurat adevrate satisfactii mesajele rostite, at a ntr-o limba romn de a a nalt calitate, de Alf Lombard (Suedia) i Carlo Tagliavini a s de la Universitatea din Padova. Argumentul invocat de cei ce au hotrt repetitia srbtoririi Centenarului Uniaa a a versitii din Iai se reduce, fond, la faptul c Mihalache Sturza a emis, 1841, un at s n a n decret de desintare a Academiei, probabil ngrijorat de activitatea studentilor care erau sub inuenta ideilor re volutionarilor de la 1848, ca peste tot Europa. Faculn tile acesteia iat s au pstrat totui a s existenta, devenind apoi prti compoa nente ale Universitii ieene. at s Intreruperi i alte diculti au aprut i la alte institutii s at a s similare din alte ri. Cu toate acestea, multe institutii de amnt superior i-au ta nvta a s pstrat identitatea i continuitatea. De ce s-a petrecut altfel la noi, contrar prerii a s a lui A.D. Xenopol, gur de prim rang istoria universitii ieene? Cred c valul a n at s a sovromculturii, dominant acea perioad a contribuit la aceast situatie oarecum a n a a anormal, contrar traditiilor academice i intereselor noastre culturale. a s Lund consideratie Academia Mihilean i rolul ei de a promova aa n a a s nvta mntul superior din Moldova limba romn, trebuie s concludem c anul 2010 a n a a a a n srbtorim cea de a 175-a aniversare a primei universiti romneti. a a at a s Cu ocazia Centenarului Seminarului Matematic Al. Myller, organizat la Iai s n zilele de 21-26 iunie 2010, s-au putut constata progresele realizate acest sector al n cunoaterii. Firete, acest lucru a fost posibil datorit faptului c anul 1835, apoi s s a a n anul 1860, oameni luminati au pus bazele necesare construirii unui viitor fecund n educatiei superioare a tinerilor.

Constantin CORDUNEANU University of Texas, Arlington

95

Centenarul Societii de Stiinte Matematice din Romnia at a vara anului 1909, la via lui Ion Ionescu de la Valea Clugreasc, a avut loc o In a a a edint a redactorilor Gazetei Matematice care s-a hotrt s a n a a nintarea unei societi at pentru ndeplinirea unor forme legale, adic a unei societi care s dea o acoperire a at a juridic a ntregii activiti desfurate jurul revistei mentionate mai sus. at as n O comisie format din Vasile Cristescu, Andrei Ioachimescu, Ion Ionescu, Traian a Lalescu, I.D. Teodor i Gheorghe Titeica s-a ocupat de redactarea documentelor neces sare recunoaterii ociale a noii societi. Proiectul depus i apoi votat camerele s at s n parlamentului devine lege. cuvntul luat Senat, de sprijin pentru noua sociIn a n etate, Spiru Haret spune: A contribuit mai mult dect orice alt institutiune pentru a a dezvoltarea i arirea amntului matematic. Regele Carol I promulg legea s nt nvta a a prin Decretul 3798 din 18 decembrie 1910. Aceasta este data nintrii Societii a at Gazeta Matematic. a Societatea este administrat de o Delegatie compus din doi membri alei pentru a a s doi ani, fr dreptul de a realei imediat, i un casier ales pentru cinci ani, care poate aa s s reales. Prin delegati erau coordonate diversele activiti: delegat pentru aritmetic, at a delegat pentru examinarea notelor i articolelor etc. De mentionat, Gh. Titeica a fost, s pn la sfritul vietii sale, delegat pentru a a as ntocmirea rapoartelor. 1924, ca urmare In a Legii persoanelor juridice, se aduc modicri statutului, iar societatea trece sub a tutela Ministerului Instructiunii, Cultelor i Artelor. s anul 1935 este inaugurat Casa Gazetei Matematice, rezultat al unor contriIn a butii particulare felurite (teren de amplasare, executia lucrrii, donatii etc.) i spri a s jinului statului. (Acest local a fost conscat abuziv 1949 de puterea comunist i n as nici astzi lucrurile nu s-au claricat.) Tot 1935 a fost organizat un mare jubileu la a n 40 de ani de la aparitia Gazetei Matematice. Semicentenarul acesteia a fost srbtorit a a 1945, conditiile grele de dup rzboi. n n a a Cu instalarea puterii comuniste, s-a instaurat ar o atmosfer apstoare de n t a a aa nesigurant i abuzuri; o serie de membri marcanti ai Societii Gazeta Matematic a s at a sunt arestati i sfresc s as n nchisori, iar Societatea ai dispare. locul ei este nss In nintat Societatea de Stiinte Matematice i Fizice din R.P.R., iar revista Gazeta a s Matematic devine Gazeta Matematic i Fizic. Au urmat i alte schimbri a a s a s a n structura organizatoric a noii societi i a publicatiei (publicatiilor) tutelate. a at s 1964, prin separarea sectiei de matematic de cea de zic, ia int Societatea In a a a de Stiinte Matematice, care public Gazeta Matematic doua serii: A i B. a a n s Vor mai urma i alte schimbri i rationalizri ... s a s a Din anul 1980, a fost reluat Concursul Gazetei Matematice sub numele de Concursul anual al rezolvitorilor. S.S.M.R. este partener, alturi de Ministerul amna Invta a tului i Cercetrii organizarea olimpiadelor pentru elevi, nationale i internationale. s a n s 1995, o ampl manifestare a fost dedicat Centenarului Gazetei Matematice. In a a Statul Romn a conferit, anul 2005, Ordinul Meritul Cultural grad de a n n Oter revistei Gazeta Matematic. a

Redactia 96

Strofoida cteva proprieti elementare a atTemistocle B IRSAN 1Abstract. In this note, some elementary properties of the strophoid are given. The whole content is accessible to highschool students and section 1 can be understood by junior highschool students as well. Keywords: strophoid, ellipse, hyperbola, parabola. MSC 2000: 53A04.

Scopul propus este de a prezenta, limitele cunotintelor de geometrie dobndite n s a cursul colii, n s ncepnd cu cele din clasa a VI-a, cteva proprieti ale strofoidei. a a at mod necesar, selectia acestora a fost sever, dar sperm c faptele retinute sunt In a a a suciente pentru introducerea cititorului universul fascinant al strofoidei. n Nume ilustre sunt legate de studiul acestei curbe: E. Torricelli (1645), G.P. Roberval (1645), I. Barrow (1970), Jean Bernoulli, A.L.J. Qutelet (1910) .a. Denumirea e s de strofoid i-a fost dat de E. Montucci 1846 ( oo (strophos)=cordon/sfoar a a n a rsucit(), o (eidos)=aspect). Alte denumiri: pteroides torricellana, logociclica, a a focala lui Qutelet. e 1. Fie date un punct A i o dreapt care nu-l contine. Fie O proiectia s a D punctului A pe . O dreapt variabil d ce trece prin A ina a d tersecteaz P. Vom numi strofoid locul geometric al a n a S punctelor S i S situate pe d i vericnd conditia P S = P S = s s a P S P O. Punctul A se va numi vrful strofoidei, O-centrul su, iar a a O -axa sa (g. 1). Cnd d variaz astfel at P parcurge axa A a a nc de sus jos, punctul S descrie ramura de strofoid indin a cat de sgetile pline, iar S descrie ramura indicat de sgetile a a a a ntrerupte; S se ndreapt ctre A, iar S pornete din A (vom a a s stabili riguros forma curbei sectiunea 2). n Evident, conditia P S = P S = P O implic faptul c O, S, S a a Fig. 1 se a pe cercul cu centrul P i tangent la OA. Ca urmare, are loc a n s Propozitia 1. Strofoida este locul geometric al intersectiilor cercurilor tangente D O la OA cu diametrii lor care trec prin vrful A. n a M S Vom utiliza mai jos notatiile CA i CO pentru cercurile s S C(A, AO) i C(O, OA). O nou caracterizare a strofoidei va s a decurge imediat din lema urmtoare (demonstratia creia a a O A utilizeaz relatia a ntre unghiurile cu laturile perpendiculare): Lem. Fie M intersectia perpendicularelor A pe AS a n i O pe OS. Atunci, S satisface conditia P S = P O dac i s n as M numai dac M CA . Armatie similar relativ la punctele a a a Fig. 2 S i M (g. 2). s1 Prof.

dr., Catedra de matematic, Univ. Tehnic Gh. Asachi, Iai a a s

97

Propozitia 2. Strofoida este locul punctelor S cu proprietatea c perpendicularele a A i O pe dreptele AS i respectiv OS se intersecteaz pe CA . n s s a Propozitia 3. Strofoida (de vrf A i centru O) este locul ortocentrelor H ale a s triunghiurilor M AO, unde M este un punct mobil pe CO . Demonstratie. Dac M CO i H este ortocentrul triunghiului M AO, a s atunci OL este ax de simetrie a triunghiului isoscel OAM a D M i avem AHL M HL. Rezult c P HO P OH sau s a a P H P O, adic H este pe strofoid. a a L P Invers, dac H este un punct pe strofoid (pe arcul sua a H perior al buclei g. 3), notm cu M intersectia paralelei A n a O prin H la axa a strofoidei. Se arat, pe cale invers, c a a a s a a P H HO implic AHL M HL i apoi c AHO M HO (cazul LLU !) i se obtine c OL AM. Cum i s a s M H AO (prin constructia punctului M ), rezult c H a a Fig. 3 este ortocentru M AO, ceea ce n ncheie demonstratia. Propozitia 4. Dreptele i trec prin punctele O i respectiv A i sunt per s s s pendiculare pe AO. Fie M mobil i N = pr M . Locul geometric al simetricelor s punctelor N fat de dreapta AM este strofoida de vrf A i centru O. a a s Demonstratie. Fie {P } = ASOM (g. 4). Dac S se obtine din M ca enunt, a n D atunci triunghiurile AN S i P AM sunt isoscele i avem AS = D s s AN = M O i AP = M P. Deci P S = AS AP = M O M P = N s M P O, adic P S = P O i punctul P apartine strofoidei. a s Invers, dac S este pe strofoid, e M punctul obtinut ina a tersectnd cu paralela prin A la OS. Din P S = P O i a s S P SO P AM deducem AP = M P i apoi AS = OM. s P Dac N = pr M , urmeaz c triunghiul AN S este isoscel. a a a Din AM OS i rezult uor c (AM este bisectoarea s a s a deci i mediatoarea segmentului [N S], adic S O A unghiului N AS, s a este simetricul lui N fat de AM i demonstratia este complet. a s a Fig. 4 Cititorul va putea rezolva, cu mijloacele la fel de elementare, problemele: Problema 1. Fie date punctele A i O i e , perpendicularele O i s s n s respectiv A pe AO. Se consider un punct M mobil i e S punctul care a s n dreapta OM retaie cercul de centru A ce trece prin M. Artati c locul punctului S a a este strofoida de vrf A i centru O. a s Problema 2. Fie B punctul diametral opus lui A cercul CO i M CO mobil. n s Artati c strofoida de vrf A i centru O este locul punctelor S de intersectie a a a a s perpendicularei prin M pe AO cu paralela prin O la M B. Problema 3. Artati c, dac M este un punct mobil pe CO , atunci locul centrului a a a cercului nscris triunghiul M AO este bucla strofoidei de vrf O i centru A. n a s 2. Unele proprieti ale strofoidei necesit cunotinte de geometrie mai avansate. at a s Vom prezenta cteva dintre acestea, cu grija de a rmne limitele programelor. a a a n 98

Propozitie 5. Transformata strofoidei prin inversiune fat de cercul CA este a curba ai. nss Demonstratie. S artm c punctele S i S (g. 1) sunt inverse raport cu a aa a s n CA . Intr-adevr, punctele A, S i S sunt coliniare i avem AS AS = (AP + P S) a s s (AP P S ) = (AP + P O) (AP P O) = AP 2 P O2 = AO2 , deci AS AS = AO2 . continuare, vom abandona abordarea sintetic a problemelor, prefernd utiIn a a lizarea metodei coordonatelor. Vom lua originea axelor de coordonate punctul n O-centrul strofoidei (g.1), dreapta AO cu sensul de parcurs de la A la O ca ax a a x-lor i ca ax a y-lor. Considernd AO = a, avem A(a, 0). Ca parametru s a a lum ordonata t a punctului variabil P , adic P (0, t), t R. Fie S(x, y) pe dreapta a a t AP : y = (x + a). Conditia P S = P O se scrie x2 + (y t)2 = |t|. Sistemul acestor a ay dou ecuatii se mai scrie: x2 + y 2 2yt = 0 i t = a s . Introducnd t prima a n x+a ecuatie, obtinem, dup cteva calcule simple, ecuatia cartezian a strofoidei: a a a (1) sau, form explicit, n a ar

x(x2 + y 2 ) = a(y 2 x2 )

(2)

y = x

a+x , ax

x [a, a).

Pentru ramura strofoidei cu + avem: lim y = + (dreapta x = a este asimpxa x2 + ax + a2 a tot), y = a cu x0 = (1 5) singura ei rdcin [a, a) i a a a n s 2 x2 2 (a x) a tabelul de variatie a x a 0 a (1 5) 2 y - 0 + 1 + + y 0 0, 3a 0 + Gracul strofoidei este compus din gracul acestei ramuri i al simetricului su s a fat de axa x-lor (g. 1). a Tangentele origine la strofoid sunt bisectoarele axelor de coordonate. n a a+x Pentru calculul ariei buclei de strofoid avem (cu substitutiile a = t i s ax t = tg u) succesiv: A1 = 2Z 0 r

= 8a

a Z 2

|x| 4

a+x dx = 8a2 ax

Z 1

0

t2 (t2 1) dt = (t2 + 1)3 2 a . 2

sin2 u cos 2u du = 2

0

Pentru aria domendiului cuprins ntre strofoid i asimptota sa obtinem, urma unui as n 2 a . Aria total a domeniului mrginit de strofoid i a a as calcul similar, A2 = 2 + 2 2 asimptota sa este A=A1 +A2 =4a , adic de patru ori aria ptratului de latur AO. a a a Intersectnd strofoida dat prin (1) cu dreapta y = tx dus prin nodul ei, obtinem a a a 99

y

ecuatiile parametrice: (3) x=a 1 t2 , 1 + t2 y=a t(1 t2 ) ; 1 + t2

P

A

O

x

tot din (1) se obtine i ecuatia polar a strofoidei s a (4) (2 =x2 +y 2 =a = a cos 2 cos Fig. 5

y 2 x2 sin2 cos2 cos 2 =a =a ). x cos cos

Proprietile urmtoare indic legturi ale strofoidei cu curbele de ordinul doi at a a a familiare: parabola, elipsa i hiperbola. s Propozitia 6. Fie P o parabol de vrf A i O intersectia axei cu directoarea sa. a a s Locul proiectiilor lui O pe tangentele la P ntr-un punct mobil al ei este strofoida de vrf A i centru O. a s Demonstratie. Alegem O ca origine, axa parabolei ca axa x-lor i directoarea s ca ax a y-lor. Atunci P are ecuatia y 2 = 4a(x + a). Fie (, ) P un punct a mobil. Impunnd conditiile din enunt obtinem ecuatiile: 2 = 4a( + a) punctul a (, ) P, y = 2a(x + a + + a) ecuatia tangentei (, ) i y = n s x 2a ecuatia perpendicularei O pe tangent. Eliminm i din sistemul acestor n a a s 2ay y2 ecuatii: = se introduce a doua ecuatie i se obtine + a = n s +x+a . x x Inlocuind acestea prima ecuatie, vom gsi ca ecuatie a locului tocmai ecuatia n a cartezian (1) a strofoidei. a Observatie. Date o curb i un punct x A, se numete podara curbei fat a s s a de polul A curba descris de proiectia lui A pe tangenta la a ntr-un punct mobil al ei. Proprietatea perecedent se poate enunta astfel: podara parabolei fat de punctul a a de intersectie a directoarei cu axa sa este strofoid cu centrul acest punct i vrful a n s a vrful parabolei. n a Propozitia 7. Curba invers a hiperbolei echilatere de vrfuri O i A fat de a a s a cercul CO este strofoida de vrf A i centru O. a s a Demonstratie. Cum A(a, 0) (g. 1), centrul hiperbolei este punctul , 0 , 2 a 2 a2 2 2 2 iar ecuatia ei este x + y = sau x y + ax = 0. 2 4 2 Fie H(, ) pe hiperbol, deci 2 + a = 0 (*). Inversul acestui punct, a e el S(x, y), este coliniar cu O i H i satisface relatia OS OH = a2 (cercul CO s s s a avnd raza OH = a). Aadar, avem y = x i (x2 + y 2 )(2 + 2 ) = a4 . Rezolvnd a s a2 x a2 y sistemul acestor dou ecuatii i , obtinem = 2 a n s ,= 2 . Scriind c a 2 x +y x + y2 (, ) veric ecuatia hiperbolei echilatere, adic introducnd (*) aceste expresii, a a a n 100

a2 x a2 y a3 x + 2 = 0, de x2 + y 2 x2 + y 2 x + y2 unde x(x2 + y 2 ) = a(y 2 x2 ) strofoida de vrf A i centru O. a s Intr-un plan considerm punctele A i O i dreapta ce trece prin O i este a s s s perpendicular pe AO. Notm cu C cilindrul de rotatie de a a ax ce trece prin A. a Propozitia 8. Locul focarelor elipselor de sectiune a B F cilindrului C cu planele care trec prin A i sunt perpendics P ulare pe este strofoida situat i avnd vrful A i a n s a a s F centrul O. q Demonstratie. Notm cu unghiul pe care-l face un A a O plan oarecare (ce ndeplinete cerintele propozitiei) cu cel al s sectiunii circulare. De asemenea, notm AB axa mare a elip a Fig. 6 sei de sectiune rezultate, F i F focarele i P centrul s s ei. Evident, P F = P F i rmne s artm c P O = P F. triunghiul dreptunghic s a a a aa a In a a . Elipsa de sectiune avnd semiaxele a i s OAP avem P O = a tg i AP = s cos cos a 2 a2 = a2 tg2 . Ca urmare, P F = a tg = P O, ceea ce a, rezult c P F 2 = a a cos ncheie demonstratia. 4. Aducnd modicri elementelor de temelie ale strofoidei: A (vrful), a a a O (centrul) i (axa) privinta pozitiei sau s n formei lor, se vor obtine generalizri importante. a d S Fie date o curb i dou puncte A i O. a s a s P Curba strofoidal a curbei relativ la punctele a S A i O este locul geometric al punctelor S i S s s ale unei drepte variabile d ce trece prin A i care A s O G ndeplinesc conditia P S = P S = P O, unde P este Fig. 7 un punct de intersectie (altul dect A) al dreptei a d cu curba . Dac este o dreapt, notat d, O d i AO d, vom obtine stroa a a s foida dreapt (pe scurt, strofoida), curb la care ne-am referit sectiunile precedente. a a n Renuntnd la conditia AO d, obtinem strofoida oblic, cu proprieti asemntoare a a at a a cu ale strofoidei drepte. Dac este un cerc, O este centrul su i A se a pe cerc, se a a s a obtine melcul trisector. Dac este o dreapt, O nu-i apartine i A este la innit, a a s curba strofoidal corespunztoare este hiperbol. a a a obtinem ecuatia locului punctului S:

2

.. .

. . . . .

Bibliograe 1. C. Climescu - Strofoida (Logociclica), Recreatii Stiintice, 2(1884), 141-143. 2. I. Creang i colab. - Curs de geometrie analitic, Ed. Tehnic, Bucureti, 1951. as a a s 3. R. Ferrol - Stropho droite (ou strophoide de Newton), http://www.mathcurve.com/ e de courbes2d/strophoiddroite/strphoiddroite.shtml. 4. R. Ferrol - Courbe stropho e dale, http://www.mathcurve.com/courbes2d/ strophoidale/strophoidale.shtml. 5. J. Lemaire - Hyperbole quilat`re et courbes drives, Vuibert, Paris, 1927. e e e e 101

O generalizare a teoremei lui Conit s a Ion PATRASCU 1 Omagiu adus lui Cezar Conit, s a la centenarul naterii sale s Abstract. This note is a tribute to the memory of the Romanian mathematician Cezar Conit, as this year there are 100 years since his birth. A theorem of concurrence published s a by C. Conit in 1941 is extended. s a Keywords: Conit point, Kariya point, barycentric coordinates. s a MSC 2000: 51M04.

luna octombrie, 2010, se In mplinesc 100 de ani de la naterea profesorului unis versitar Cezar Conit (1910-1962). Nota de fat este dedicat acestui eveniment s a a a i contine generalizarea unei teoreme ce apartine lui C. Conit. s s a Teorema lui Conit. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC i s a s A1 , B1 , C1 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor BOC, COA, respectiv AOB. Atunci dreptele AA1 , BB1 , CC1 sunt concurente [4]. Punctul de concurent a dreptelor AA1 , BB1 , CC1 se numete punctul lui Conit. a s s a Teorem. Fie P un punct planul triunghiului ABC, nesituat pe cercul circuma n scris sau pe laturile acestuia, A B C triunghiul podar al lui P i A1 , B1 , C1 puncte s astfel at P A P A1 = P B P B1 = P C P C1 = k, k R . Atunci dreptele nc AA1 , BB1 , CC1 sunt concurente. Demonstratie. Fie , , coordonatele baricentrice ale lui P . Din = aria(P BC), 2 ak avem P A = i din P A P A1 = k, gsim P A1 = s a (am considerat P n a 2 interiorul triunghiului ABC, vezi gura). Notm cu D i respectiv P1 a s proiectiile ortogonale ale lui A1 pe AD i P pe A1 D. Deoarece P A1 D ABC s (unghiuri cu laturile perpendiculare) ak avem: A1 P1 = P A1 cos B = cos B. 2 Din = aria(P AB), rezult c a a 2 PC = i A1 D = A1 P1 + P1 D = s c 2 ak cos B + . Notm A1 (1 , 1 , 1 ) a 2 c kac cos B + 4 i avem: 1 = s , 1 = 4 1 a2 k 42 aria(A1 BC) = BC A1 A = i, analog ca calculul lui 1 , 1 = s n 2 4 kab cos C + 4 . Adic a 41 Profesor,

Colegiul National Fratii Buzeti, Craiova s

102

A1

a2 k 42 kab cos C + 4 kac cos B + 4 , , 4 4 4

.

acelai mod am c In s a a

B1

kab cos C + 4 b2 k 4 2 kcb cos A + 4 , , 4 4 4 kab cos B + 4 kbc cos A + 4 c2 k 4 2 , , 4 4 4

,

C1

.

conformitate cu sectiunea 28 din [1] sau [2], cevienele AA1 , BB1 , CC1 sunt conIn curente dac i numai dac 2 3 1 = 3 1 2 . Cum cazul nostru aceast relatie se as a n a veric, dreptele AA1 , BB1 , CC1 sunt concurente. Teorema se demonstreaz mod a a n analog cazul cnd punctul P este exteriorul triunghiului ABC. n a n Vom numi punctul lor de concurent punctul generalizat al lui Conit. a s a Observatii. 1. Conditiile din enuntul teoremei au interpretarea geometric: a punctele A1 , B1 , C1 se a pe perpendicularele din P pe laturile triunghiului i sunt a s inversele punctelor A , B , C raport cu cercul de centru P i raz |k|. n s a R2 2. Teorema lui Conit se obtine cazul particular P = O i k = s a n s (O i s 2 R sunt centrul i respectiv raza cercului circumscris). s Intr-adevr, OA = R cos A a a i cu teorema sinusurilor aplicat BOC avem s a n = 2OA1 (A1 ind centrul sin 2A 2 R cercului circumscris BOC). De unde OA OA1 = ; analog gsim OB OB1 = a 2 2 R OC OC1 = . 2 3. Se veric uor c lund P = I (centrul cercului a s a a nscris) i k = r(r + a), a > 0 s dat, iar r raza cercului nscris, dreptele AA1 , BB1 , CC1 sunt concurente punctul n lui Kariya. Aadar, teorema prezentat este o generalizare i a teoremei lui Kariya s a s (vezi [4]). Bibliograe 1. C. Conit - Coordonnes barycentriques, Bucarest, Paris, Librairie Vuibert, 1941. s a e 2. C. Conit - Geometrie analitic coordonate baricentrice, Editura Reprograph, s a a n Craiova, 2005. 3. C. Barbu - Variatiuni pe tema punctului lui Conit, Gazeta Matematic nr. 4/2010, s a a 180-185. 4. C. Barbu - Teoreme fundamentale din geometria triunghiului, Editura Unique, Bacu a 2008.

103

Criteriu pentru calculul unor limite de functii Valentina BLENDEA1 , Gheorghe BLENDEA2Abstract. The theorems of Ces`ro-Stolz and Cauchy-d Alembert in the theory of sequences are a extended to the case of positive real functions. The results thus obtained are use to solve certain calculus problems. Keywords: Ces`ro-Stolz theorem, Cauchy-d Alembert theorem. a MSC 2000: 26A03.

Scopul acestei note este de a extinde unele rezultate din teoria limitelor de iruri s la limite de functii. acest sens vom aminti: In Teorem. a) (Ces`ro-Stolz). Fie (an )n1 i (bn )n1 dou iruri de numere reale a a s as an+1 an cu proprietile: i) 0 < bn +; ii) lim at = l R. Atunci exist a n bn+1 bn an lim = l. n bn b) (Cauchy-d Alembert). Dac (an )n1 este un ir de numere strict pozitive i a s s an+1 lim = l R, atunci exist lim n an = l. a n an n continuare prezentm o variant a teoremei de mai sus pentru functii i cteva In a a s a aplicatii. Propozitie. 1) Fie a i t > 0 i functiile f, g : [a, +) R, cu proprietile: s s at a) f este mrginit pe orice interval mrginit din [a, +); a a a b) g ia valori strict pozitive, este strict cresctoare i nemrginit. a s a a f (x + t) f (x) f (x) = l R, atunci exist lim = l. Dac exist lim a a a x+ g(x + t) g(x) x+ g(x) 2) Fie a > 0, b > 0, t > 0 i functia h : [a, +) [b, +) care are proprietatea c s a h(x + t) este mrginit pe orice interval mrginit din [a, +). Dac exist lim a a a a a = x+ h(x) a l R , atunci exist lim [h(x)] x = l t . +x+ 1 1

Demonstratie. 1) Cazul I: l R. Pentru orice > 0, exist > a astfel at a nc x > l l

[g(x + t) g(x)] < f (x + t) f (x) < l + [g(x + t) g(x)]. 2 2

f (x + t) f (x) < +3t, nx N astfel at xnx t ( +t, +3t). Aplicnd inegalitatea nc a precedent pentru x t > x 2t > . . . > x nx t > + t > i adunnd inegalitile a s a at obtinute, deducem c a

l

[g(x) g(x nx t)] < f (x) f (x nx t) < l + [g(x) g(x nx t)]. 2 2

1 Profesor, 2 Profesor,

Colegiul National, Iai s Colegiul National M. Eminescu, Iai s

104

Din stricta monotonie i nemrginirea lui g rezult c lim g(x) = +. Se obtine: s a a a x+

l

i 1 h f (x) + f (x tnx ) l g(x tnx ) < < 2 g(x) 2 g(x) i 1 h 0 astfel a s a 2 1 at |h(y)| < M, |h (y)| < M, y ( + t, + 3t). Din lim nc = 0 > a x+ g(x) 1 astfel at 0 < nc < , x > . Deducem g(x) 2M f (x)

g(x)

l < , x > max{ , }, deci

f (x) = l. x+ g(x) lim

Cazul II: l = . Se trateaz asemntor. a a a 2) Dac lum 1) f (x) = ln(h(x)) i g(x) = x, x a, acestea veric ipotezele a a n s a a) i b) din 1), deci s ln f (x) f (x + t) f (x) lim = lim = lim x+ x x+ x+ t 1 1 1 ln l = = ln l t lim [h(x)] x = l t . x+ t h(x + t) h(x) = t

Aplicatii. 1. Dac functia f : [1, +) R este mrginit pe orice interval mrginit din a a a a f (x + 1) f (x) f (x) [1, +) i exist lim s a a = l R, atunci exist lim = l. x+ x+ x2 2x + 1 2 Solutie. Functia f din enunt i g : [1, +) R, g(x) = x veric ipotezele din s a Propozitiei, punctul 1), cu t = 1, de unde rezult concluzia. a 2. Se consider numrul a > 0 i o functie f : [a, +) R care este mrginit pe a a s a a f (x) orice interval mrginit din [a, +), cu proprietatea c lim a a = 0. S se arate a x+ x2 f (x + 1) f (x) c, dac exist lim a a a , atunci aceasta este egal cu zero. a x+ x 2 Solutie. Functiile f i g : [a, +) R, g(x) = x veric ipotezele Propozitiei, s a punctul 1), i avem: s f (x + 1) f (x) f (x + 1) f (x) = l R lim = x+ x+ x 2x + 1 f (x + 1) f (x) x 1 = lim =l . x+ x 2x + 1 2 lim 105

Conform aplicatiei precedente, rezult c lim a a

l f (x) = , deci l = 0. x2 2 3. Fie f : [1, +) [1, +) o functie continu i neconstant astfel at a s a ncx+Z x

f (x + 1) lim = l R . Atunci exist lim a + x+ x+ f (x)

f (t)dt1

1 x

= l.8 0 i functia F : [1, +) [a, +), F (x) = s

x=1 f (t)dt, x>1 ,

1

care este derivabil pe (1, +). Functia F este mrginit pe orice interval mrginit a a a a f (x + 1) F (x + 1) = lim = l (se utilizeaz regula lui l Hospital). a din [1, +) i lim s x+ x+ F (x) f (x) Aplicnd Propozitia, punctul 2), se obtine rezultatul. a 1

4. S se arate c a a x.

x+

lim [x] x =1, unde [x] reprezint partea a ntreag a numrului a a

Solutie. Considernd functia f : [1, +) [1, +), f (x) = [x], observm c a a a [x + 1] f este mrginit pe orice interval mrginit din [1, +) i lim a a a s = 1, deci, x+ [x]1

conform Propozitiei, punctul 2), rezult c lim [x] x = 1. a ax+

Rodolph Neculai Racli (1896-1966), doctor tiinte matematice la Sorbona s n s 1930, a fost directorul Institutului Matematic Romn i fondatorul revistei Numerus n a s (v. articolul de la pag. 128). Ca un omagiu adus lui, Numerus vol. 3, caietul 29, pag. 196, este publicat n a urmtoarea problem (reprodus del!): a a a 3.3309 (Ion Armean). S se fac urmtoarea operatie: a a a R a c l i = s s s s / notnd prin litere anumite cifre i prin diferite cifre ce trebuie determinate prin a s rationament. N.B. Rspunsul se gsete la pag. 136. a a s 106

Asupra unor puncte de concurent ale unui triunghi aDan POPESCU1Omagiu adus lui Cezar Conit, s a la centenarul naterii sale s Abstract. Some remarkable points in the geometry of triangle are presented in a unied way, as being Jacobi points in particular positions. Keywords: Jacobi point, Fermat-Torricelli point, Napoleon s point, Vecten s point, Morley s point, Conit s point. s a MSC 2000: 51M04.

Nota si propune o abordare metodologic unitar i accesibil a ctorva probleme a as a a de concurent din geometria elementar a triunghiului. a a Urmtorul rezultat este atribuit matematicianului german Carl Gustav Jacob a Jacobi (1804-1851). Mai este numit i teorema Fermat-Torricelli generalizat ([2]). s a Teorema 1. Fie triunghiul ABC i punctele A , B , C din planul su at s a nc s A BC C BA, B CA A CB i C AB B AC. Atunci dreptele AA , BB i s CC sunt concurente ntr-un punct J, numit punctul lui JACOBI. Demonstratie. S analizm doar cazul AA [BC] = {A1 } i BC (AA ) = , a a s A celelalte cazuri presupunnd rationamente similare. a B a Dac = m(B AB), = m(A BC), = m(B CA), a a A1 B A[ABA ] AB A B sin(B + ) B1 atunci = = . Se ] A1 C A[ACA AC A C sin(C + ) C1 C obtin relatii analoage relativ la punctele B1 AC i s g A1 B B1 C C1 A b = C1 AB i se veric uor c s a s a A1 C B1 A C1 B g C B b A1 1. Conform reciprocei teoremei lui Ceva, dreptele AA1 , BB1 i CC1 sunt concurente. s De observat c punctul J poate i exteriorul a s n triunghiului ABC.

A

Particulariznd , , , vom obtine mai multe puncte remarcabile ale triunghiului. a I. Punctul lui Fermat. exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiuIn rile echilaterale A BC, B AC i C AB. Evident, perechile de semidrepte ([AB , [AC ), s b s ([BA , [BC ) i ([CA , [CB ) sunt izogonale pentru unghiurile triunghiului A, B i, s Atunci, dreptele AA , BB i CC se intersecteaz respectiv, C. s a ntr-un punct F , punctul lui FERMAT. O chestiune conex acestui rezultat o constituie problema gsirii unui punct P a a din interiorul unui triunghi ABC cu toate unghiurile de msur mai mic dect 120 , a a a a astfel ca suma P A + P B + P C s e minim. Acest punct a fost cercetat i de a a s E. TORRICELLI. Dac P Int(ABC) i triunghiul BP C se rotete cu 60 a s s n jurul lui B, atunci P A + P B + P C = P A + P P + P C . Aa c suma este minim, s a a1 Profesor,

Colegiul National Stefan cel Mare, Suceava

107

dac i numai dac P, P sunt pe CC . Astfel, punctul lui TORRICELLI coincide cu as a punctul lui FERMAT. II. Punctul lui Napoleon. Dac pe laturile triunghiului ABC i extea s n riorul lui se construiesc trei triunghiuri echilaterale cu centrele B, E i F , atunci s dreptele AD, BE i CF sunt drepte concurente s ntr-un punct N , numit punctul lui NAPOLEON, dup numele aratului Frantei NAPOLEON BONAPARTE. a mp Triunghiul echilateral cu centrul D are o latur [BC], cel cu centrul E are o latur a a [AC] i cel cu centrul F are o latur [AB]. Deci i punctul lui NAPOLEON este tot s a s un punct JACOBI. Totodat, triunghiul DEF este i el echilateral, dup cum se a s a deduce prin calculul unei singure lungimi DE. III. Punctul lui Vecten. Dac pe laturile triunghiului ABC i exteriorul a s n lui se construiesc ptrate cu centrele D, E i F atunci dreptele AD, BE i CF sunt a s s drepte concurente punctul V , numit punctul lui VECTEN, ind pus evident de n n a profesorul francez de liceu M. VECTEN (1812). IV. Punctul lui Morley. Acesta este un alt punct de tip JACOBI. 1899, In profesorul FRANK MORLEY (1860-1937) a artat c trisectoarele unghiurilor unui a a triunghi ABC determin un triunghi echilateral A B C , iar AA , BB i CC sunt a s drepte concurente ntr-un punct, numit punctul lui MORLEY. V. Punctul lui Conit i dualul su. Spre deosebire de dualul su, acesta s a s a a nu-i punct de tip Jacobi; a, [2] se d rezultatului lui Conit o demonstratie pe ns n a s a baza Teoremei 1. Vom prezenta o alta, direct i simpl. as a Teorema 2 (Conit). Fie triunghiul ABC, O centrul cercului circumscris tris a unghiului, OA , OB i OC centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor OBC, OAC s i OAB, respectiv. Atunci dreptele AOA , BOB i COC sunt concurente punctul s s n K1 , numit punctul lui COSNITA. Demonstratie. Se consider A = AOA BC a i punctele B , C denite analog. Avem m(BOC) = s 2A etc. Se deduce c a m(BOA C)

A OCC

= 360 4A.

OB OB

Astfel, m(CBOA ) = m(BCOA ) = 2A 90 . Apoi, sin (ABOA ) = sin(B + 2A 90 ) = cos(A C). Analog, B C A A B A[ABOA ] = cos(A B). Deci, OA sin (ACOA ) = = A C A[ACOA ] AB BOA sin(ABOA ) c cos(A C) BC a cos(B A) C A = . Analog, = i = s b cos(A B) BA c cos(B C) CB AC COA sin(ACOA ) b cos(C B) i concurenta este evident, conform reciprocei teoremei lui Ceva. s a a cos(C A)

Teorema 3. Dac I este centrul cercului a nscris triunghiul ABC, IA , IB n i IC sunt centrele cercurilor s nscrise triunghiului IBC, IAC i, respectiv, IAB. s Atunci dreptele AIA , BIB i CIC sunt concurente s ntr-un punct K2 , numit punctul lui COSNITA dual. 108

A B Demonstratie. Se observ c K2 este un punct Jacobi cu = , = a a , 4 4 C = . 4 [1], articol recent aprut, sunt date un numr mare de rezultate In a a nrudite cu teorema lui Conit (printre care i Teorema 3, cu o demonstratie diferit). s a s a Bibliograe 1. C. Barbu - Variatiuni pe tema punctului lui Conit, GM(B)-4/2010, 180-185. s a 2. M. de Villiers - A Dual to Kosnita s Theorem,, Math. and Inf. Quart., 6(1996), 169-171.

IMPORTANT scopul unei legturi rapide cu redactia revistei, pot fi utilizate urmtoarele In a a adrese e-mail: t [email protected] i [email protected] . Pe s aceast cale colaboratorii pot purta cu redactia un dialog privitor la maa terialele trimise acesteia, procurarea numerelor revistei etc. Sugerm colaa boratorilor care trimit probleme originale pentru publicare s le numeroteze a i s-i retin o copie xerox a lor pentru a putea purta cu uurint o discutie s as a s a prin e-mail asupra acceptrii/neacceptrii acestora de ctre redactia revistei. a a a La problemele de tip L se primesc solutii de la orice iubitor de matematici elementare (indiferent de preocupare profesional sau vrst ). Fiecare dintre a a a solutiile acestor probleme - ce sunt publicate revist dup un an - va fi n a a urmat de numele tuturor celor care au rezolvat-o. a Adresm cu insistent rugmintea ca materialele trimise revistei a a a s nu fie (s nu fi fost) trimise i altor publicatii. a a s Rugm ca materialele tehnoredactate s fie trimise pe adresa redactiei a a ite de ierele lor (de preferint L TEX). nsot s a n A Pentru a facilita comunicarea redactiei cu colaboratorii ei, autorii materi alelor sunt rugati s indice adresa e-mail. a

109

Cteva proprieti caracteristice a at ale triunghiului isoscel Rzvan CEUCA1 aAbstract. Let P be the intersection point of the Cevian lines AA , BB , CC in the triangle ABC. A couple of remarkable points of the triangle (denoted G, H, K, , N ) are identied, such that the congruence of two segments among [P A ], [P B ] and [P C ] implies the property of the triangle to be isosceles. Keywords: simedian, Gergonne s point, Nagel s point. MSC 2000: 51M04.

Fie dat un triunghi ABC i e P punctul de concurent a trei ceviene AA , BB , CC s a cu A (BC), B (CA) i C (AB). Ne punem urmtoarea s a ntrebare: dac dou dintre segmentele [P A ], [P B ], [P C ] sunt congruente, triunghiul ABC a a este isoscel? Cu un contraexemplu, vom arta c rspunsul este negativ. acest scop, avem a a a In A B BC C A nevoie de cteva pregtiri. Notm cu m = , n = i p = rapoartele a a a s AC BA CB care determin pozitia cevienelor AA , BB i respectiv CC fat de triunghi. Mai jos, a s a vom stabili formulele care dau lungimile segmentelor [P A ], [P B ] i [P C ] functie de s a, b, c, m, n, p. A Intr-adevr, conform teoremei lui Van Aubel, avem a PA BA C A 1 = + = + p, de unde P A BC CB n n C B (1) P A = AA . P 1 + n + np Cum aAA 2 = b2 A B + c2 A C aA B A C (teorema lui m 1 B Stewart) i cum A B = s a, A C = a, obtinem m+1 m+1 (2) AA 2 = m 1 (mb2 + c2 a2 ). m+1 m+1

A

C

Din (1) i (2), deducem formula pentru P A 2 ; apoi, prin analogie, deducem P B 2 i s s P C 2 . Avem: P A 2 = (3) P B 2 P C 21 Elev,

2 n 1 m mb2 + c2 a2 , 1 + n + np m + 1 m+1 2 p 1 n 2 b , = nc2 + a2 1 + p + pm n + 1 n+1 2 m 1 p 2 = c . pa2 + b2 1 + m + mn p+1 p+1

Colegiul National, Iai s

110

Contraexemplul urmtor arat c nu are loc implicatia P A = P B = P C ABC a a a 3 15 31 isoscel. Lund a = a c, b = c, obtinem un triunghi scalen pentru orice c > 0 20 4 1 2 ( ntr-adevr, a < c < b i b < a + c). Pentru m = , n = , p = 3 avem mnp = 1, a s 2 3 deci cevienele AA , BB , CC sunt concurente. Utiliznd formulele (3), dup calcule, a a 9 2 2 2 gsim: P A = P B = P C = a . 220 Vom indica, continuare, ceviene particulare pentru care rspunsul la n a ntrebarea pus este pozitiv. a I. Mediane (P G). Avem: GB = GC 3GB = 3GC BB = CC (BB , CC mediane) ABC isoscel cu vrful A. a II. altimi (P H). Avem HB = HC HB A HC A AB = In AC AB B AC C AB = AC (triunghiurile ce intervin sunt dreptunghice). III. Bisectoare (P I). Este un caz mai complicat. Dac numai dou dintre segmentele [IA ], [IB ], [IC ] sunt congruente, atunci a a ABC poate s nu e isoscel, dup cum arat exemplul: ABC cu A = 60 , a a a B = 100 , C = 20 nu este, evident, isoscel, dar se constat c IB = IC ( a a ntrB C adevr, avem m(IB A) = C + a = 70 , m(IC A) = B + = 110 i, cu teorema s 2 2 AI AI sinusurilor AIB i AIC , obtinem 2 IB = n s = = 2IC , adic a sin 70 sin 110 IB = IC ). Dac a IA = IB = IC , atunci ABC este echilateral. a ns Intr-adevr, innd a t a c a b seama de formula (1) i analoagele sale, care m = , n = , p = , conditia noastr s n a b c a revine la aAA = bBB = cCC . Cu formulele ce dau lungimile bisectoarelor, obtinem 1 A 1 B 1 C cos = cos = cos . Punnd aici b + c = 2R(sin B + sin C) = a b+c 2 c+a 2 a+b 2 A BC BC C A AB 4R cos cos etc., deducem egalitile cos at = cos = cos . 2 2 2 2 2 Consideratii de rutin ne conduc la A = B = C = 60 . a IV. Simediane (P K). Vom avea vedere triunghiuri ascutitunghice (a2 + n c2 a2 b2 2 2 b c > 0 etc.). Intruct m = 2 , n = 2 , p = 2 , cu formula (1) obtinem a b b a 2 a KA = 2 AA , iar cu (2) deducem c lungimea simedianei AA este dat a a a + b2 + c2 2 2 2 b c a de AA 2 = 2 2 2 . Ca urmare, vom avea: KB = KC b2 BB = b + c2 b + c2 2 b2 c2 c2 b2 b2 2 2 2 = 2 2 2 1 = c CC 2 c + a2 c + a2 a + b2 a + b2 c2 + a2 2 c2 b2 c2 b2 c2 b2 1 2 + 2 2 = 0 2 = 2 + b2 2 + a2 2 2 + a2 2 a c a +b c a +b c + a2 111

c2 (ultima parantez scris ind nenul conditia c ABC este ascutitunghic) a a a n a a2 + b2 2 2 2 2 2 (b c )(a + b + c ) = 0 b = c. Armatia i calculul precedente rmn valabile i cazul triunghiurilor obtuzunghi s a a s n ce A (nu a dac unghiul obtuz ar B sau C). n ns a V. Ceviene Gergonne (P ). Stim c AB = AC = p a, BC = BA = a p b, CA = CB = p c, p = semiperimetrul triunghiului. Vom arta fapt echivalenta conditiilor: 1) b = c, 2) cevienele Gergonne ce pleac a n a din vrfurile B i C sunt congruente, 3) segmentele [B ] i [C ] sunt congruente. a s s Intr-adevr, utiliznd teorema cosinusului ABB i ACC , avem: a a n s BB = CC c2 + (p a)2 2c(p a)(cos A = b2 + (p a)2 2b(p a) cos A b2 c2 2(b c)(p a) cos A = 0 (b c)[b + c 2(p a) cos A] = 0 b=c (paranteza ptrat nu se anuleaz: caz contrar, am avea cos A = a a a n b+c > 1, b+ca

fals). Presupunem acum c B = C . Atunci B C este isoscel, deci BB C a CC B . De asemenea, deoarece AB C este isoscel, avem i BC B CB C . s Aadar, BB C CC B i deducem c BB = CC i, ca urmare, b = c. s s a s VI. Ceviene Nagel (P N ). acest caz, BC = CB = p a, CA = AC = In p b, AB = BA = p c. Urmm calea parcurs cazul precedent. a a n Cu teorema cosinusului, aplicat ABB i ACC , relativ la cevienele Nagel a n s BB i CC , avem: s BB = CC c2 + (p c)2 2c(p c) cos A = b2 + (p b)2 2b(p b) cos A b2 c2 + [(p b)2 (p c)2 ] 2 cos A[b(p b) c(p c)] = 0 (b c)[b + c a + cos A(b + c a)] b = c. Fie acum N B = N C , iar ABC va considerat ascutitunghic. Observm c a a relativ la N BC i N CB avem: N C = N B , BC = CB = p a i au unghiuri s s opuse vrful comun N . Atunci, N BC N CB , ind ascutite; triunghiurile sunt n a congruente i vom avea BN = CN. Rezult c BB = CC i, apoi, b = c. s a a s

Prin ce proprietate sunt nrudite urmtoarele numere: a 1, 3, 13, 85, 781, 9 331, 137 257, 2 396 745, N.B. Rspunsul se gsete la pag. 127. a a s 112

48 427 461 ?

Valeurs et vecteurs co-propres d une application semi-linaire eAdrien REISNER1Abstract. The notions of a semi-linear mapping, of a co-eigenvalue and co-eigenvector are introduced. A number of properties thereof outline the similarities/dierences of these notions with respect to the corresponding classical ones. Keywords: semi-linear, co-eigenvalue, co-eigenvector. MSC 2000: 15A18.

Soit E un espace vectoriel complexe de dimension n 1. Pour u L(E), C est une valeur propre s il existe x E non nul tel que u(x) = x; le vecteur x est un vecteur propre de u associ ` la valeur propre . Enn, le spectre de u, not e a e Sp u, dsigne l ensemble des valeurs propres de l endomorphisme u, tandis que Sp Mu e dsignera le spectre de la matrice Mu reprsentant u dans une base quelqonque de E. e e Remarque. E tant un Cespace vectoriel (et plus gnralement si E est un e e e K espace vectoriel o` K est un corps algbriquement clos) tout endomorphisme u u e de E admet n valeurs propres, les n racines du polynme caractristique u (X) = o e det(Mu IX). Le but de cet article est ltude de certaines proprits des applications semie ee linaires de E dans lui-mme. e e Dnitions. a) Une application u de E dans lui-mme est semi-linaire si elle e e e poss`de la proprit suivante: a C, x, y E, u(ax + y) = au(x) + u(y). (u e ee dsignera dsormais une application semi-linaire de E dans lui-mme.) e e e e b ) C est une valeur co-propre de u s il existe un vecteur x = 0 tel que: u(x)=x. Un tel vecteur x est un vecteur co-propre associ ` la valeur co-propre . ea x tant un vecteur co-propre de u, il existe au plus une seule valeur co-propre de e u associe ` x. En eet, si u(x) = x = x, alors ( )x = 0, d o` = car x = 0. e a u De faon vidente, la compose de deux applications semi-linaires est une applic e e e cation linaire En particulier, si u est une application semi-linaire alors l application e e u2 est linaire. e Proposition 1. Si est une valeur co-propre de u, pour tout rel le nombre e complexe ei est encore une valeur co-propre de u. Si x est un vecteur co-propre associ ` , alors ei/2 x est un vecteur co-propre associ ` ei . ea ea Dmonstration. Soit x un vecteur co-propre associ ` la valeur co-propre , e e a i.e. u(x) = x avec x = 0. Il vient alors pour tout rel : u(ei/2 ) = ei/2 x = e1 Centre

de Calcul E.N.S.T., Paris; e-mail: [email protected]

113

(ei ) (ei/2 x) et par suite ei est une valeur co-propre de u associe au vecteur e co-propre ei/2 x. Remarque. En particulier, est valeur co-propre de u si et seulement si || est valeur co-propre de l application semi-linaire u. e Proposition 2. Si = 0 est une valeur co-propre de u, l ensemble E des vecteurs co-propres associs est un espace vectoriel rel mais pas un espace vectoriel e e complexe. E0 est aussi bien un R-espace vectoriel qu un C-espace vectoriel. Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B1 = (f1 , f2 , . . . , fn ) deux bases de l espace vectoriel E et P la matrice de passage de la base B ` la base B1 : P = Pass(B, B1 ). a ` Proposition 3. a) A toute application semi-linaire u est associe dans la base e e B une matrice carre complexe A d ordre n telle que la relation y = u(x) scrive: e e Y = AX. On notera: A = Mat(u, B). b) Si A = Mat(u, B) et B = M (u, B1 ) alors on a: B = P 1 AP . Dmonstration. a) Pour x = en P 1 n P 1

xi ei on a u(x) =P

n P 1

xi ei . Posant alors u(ei ) =

aki ek il vient y = u(x) =

P P

(

aki xi )ek soit yk =

aki xi et nalement Y = AX.

k

i

i

b) Avec des notations videntes (X et X1 attach ` x dans les bases B et B1 e e a respectivement) X = P X1 , Y = P Y1 , Y = AX, Y1 = BX 1 . Donc AP X 1 = AP X 1 = P BX 1 . Cette galit tant ralise pour tout X1 , on en dduit: AP = P B soit e e e e e e B = P 1 AX1 formule de changement de base. La relation AB P GLn (C) telle que B = P AP est de faon vidente c e une relation dquivalence. Deux matrices A et B appartenant ` la mme classe sont e a e dites co-semblables. Compte tenu de la proposition prcdente l application semie e linaire u est reprsente dans deux bases direntes par des matrices co-semblables. e e e e Deux matrices co-semblables ont le mme co-spectre. [En eet si AX = X et e 1 1 B = P AP on a avec Y = P X : BY = P AP P X = P AX = Y .] Avec les notations de la Proposition 3, a), si est une valeur co-propre de u on dira que est une valeur co-propre de la matrice A. Si x est un vecteur co-propre associ ` , ea on a alors: AX = X. La matrice A est co-trigonalisable (resp. co-diagonalisable) si cette matrice est co-semblable ` une matrice trigonale (resp. diagonale) voir a complments. e Exemple numrique. ` chercher valeurs co-propres de la matrice A = e Soit a a 0 1 . Le vecteur X = tant un vecteur co-propre associ ` la valeur coe e a 1 0 b e propre on a lquivalence suivante: AX = X b = a, a = b. On en dduit: e 2 a = ( a) soit a = 0, car 1 + a = 1 + || = 0 et nalement a = b = 0, i.e. la matrice A n a pas de valeur co-propre. C est une dirence essentielle avec les valeurs e propres voir la premi`re remarque. e

1

114

Proposition 4. a) Si une matrice relle A admet une valeur propre relle , e e alors cette matrice admet au moins une valeur co-propre. b) Si est valeur co-propre de la matrice carre complexe A, alors le nombre rel e e 2 || est valeur propre de la matrice AA. Dmonstration. a) Il existe un vecteur X rel, non nul vriant AX = X. e e e Donc AX = X, i.e. est aussi valeur co-propre, c.q.f.d. b) Soit X = 0 tel que AX = X o` A est une matrice complexe. On a alors: u 2 2 AX = X et donc AAX = AX = || X, i.e. || est valeur propre de la matrice AA. Corollaire. Pour que le rel positif ou nul soit valeur co-propre de la matrice e A il faut et il sut que le rel 2 soit valeur propre de la matrice AA. e Dmonstration. () rsulte de l assertion b) de la proposition prcdente. e e e e () Soit 0, 2 Sp AA et X = 0 un vecteur propre associ, i.e. AAX = 2 X. e Montrons que est valeur co-propre de la matrice A en envisageant deux cas: I. AX et X sont lis. Etant donn que X est non nul, on a: AX = X. Donc e e 2 2 A(AX) = A(X) = AX = || X soit 2 = || , i.e. = ei . Par suite AX = X AX = ei X, c est ` dira que ei est une valeur co- propre de la matrice a A et la proposition 1 permet de conclure que est aussi une valeur co-propre de A, c.q.f.d. II. les vecteurs AX et X sont indpendants. Dans ce cas le vecteur non nul e Y = X + AX vrie: AY = A(X + AX) = AX + 2 X = Y , i.e. est valeur e co-propre de la matrice A. Considrons maintenant le cas particulier d une matrice triangulaire. Etant donne e e une matrice triangulaire suprieure A, on a la e Proposition 5. a) Si est valeur propre de A, alors pour tout rel le nombre e complexe ei est une valeur co-propre de la matrice A. b) Si est une valeur co-propre de A alors il existe un rel tel que le nombre e complexe ei soit valeur propre la matrice A. de 1 ... 0 2 ... Dmonstration. a) Si A = e , alors ... ... ... ... ... 0 ... ... 0 n

AA =

|1 | 0 ... 0

2

2 |2 | ... ...

... ... ... ... ... ... 2 ... 0 |n |

.

Les rels |1 | , |2 | , . . . , |n | sont les valeurs propres de la matrice AA et, compte e tenu du corollaire prcdent, les rels |1 |, |2 |, . . . , |n | sont valeurs co-propres de e e e A. La remarque de la proposition 1 montre alors que 1 , 2 , . . . , n sont valeurs 115

2

2

2

co-propres de la matrice A et enn la Proposition 1 permet de conclure: R, (j ei )j:1,...,n sont valeurs co-propres de la matrice A. b) Soit une valeur co-propre de A. || est aussi une valeur co-propre de la matrice A. Le Corollaire montre alors que ||2 est valeur propre de la matrice AA. Donc, il existe j [1, n] tel que || = |j | soit (puisqu il existe tel que ei 0) : = |j| i i i e = j e ou j = e Sp A. Exemple numrique. Etant donne la matrice triangulaire suprieure A = e e e 1 , i Sp A. En particulier, |i| = 1 est valeur co-propre de A. Le vecteur i a + ib tant un vecteur co-propre associ ` la valeur co-propre 1, on a les e e a X = c + id i 1 a ib a + ib quivalences suivantes: AX = X e = {ia + b + c id = 0 i c id c + id a + ib et ic d =c + id}. Par suite: c = d, b + c + i(a d) = a + ib ou b + c = a. + 1+i Le vecteur est vecteur co-propre associ ` la valeur co-propre 1. D ailleurs ea 0 l ensemble E1 des vecteurs co-propres associs ` la valeur co-propre 1 est l espace e a vectoriel rel voir Proposition 2 e

i 0

E1 = k1

1+i 1 + k2 0 1+i

k , k 1 2

R .

Remarques concernant la co-diagonalisabilit. Si P 1 AP = diag(j ) on a, e en dsignant par cj la j-`me colonne de la matrice P : Acj = j cj pour j : 1, . . . , n. e e Par suite, de mme que pour les matrices diagonalisables, cj est vecteur co-propre e de la matrice A associ ` la valeur co-propre j . Compte tenu de la remarque de e a la Proposition 1, on peut mme choisir la matrice diagonale diag (j ) telle que pour e j : 1 . . . n, j R+ . Soit A = B + iC une matrice carre complexe d ordre n (o` les matrices B et e u C sont relles). Concluons alors avec le thor`me suivant qui indique une condition e e e ncessaire et susante pour qu un complexe soit valeur co-propre d une matrice A: e Thor`me 6. est valeur co-propre de la matrice A si et seulement si || est e e valeur propre de la matrice carre relle d ordre 2n, D, dnie par blocs par D = e e e B C . C B Dmonstration. Le complexe est valeur co-propre de A si et seulement si || e est aussi valeur co-propre de la matrice A voir remarque de la Proposition 2. Il vient alors, X et Y tant rels: (B + iC)(X iY ) = (BX + CY ) + i(CX BY ). Le e e vecteur X + iY est vecteur co-propre de la matrice A = B + iC associ ` la valeur ea co-propre || si et seulement si + CY = ||X et CX BY = || Y ce qui scrit BX e B C X X encore: = || i.e., || Sp D. C B Y Y 116

Complmentssans dmonstration. On a vu dans le premier exemple nume e e rique qu une matrice peut ne pas avoir de valeurs co-propres. Nanmoins, on a le e thor`me suivant: e e Thor`me 7. Toute matrice A M2n+1 (C) admet une innit de valeurs coe e e propres. (Dirence avec les valeurs propres!) e Pour dmontrer ce thor`me on montre que pour une telle A matrice le polynme e e e o caractristique de la matrice AA est un polynme rel ayant au moins une valeur e o e propre relle positive ou nulle. Le corollaire et la Proposition 1 permettront alors e de conclure. Les thor`mes suivants concernent la co-trigonalisabilit et la co-diagonalisabilit e e e e des matrices: Thor`me 8. Pour A Mn (C) les deux assertion suivantes sont quivalentes: e e e 1 a) il existe P G Ln (C) telle que A = P T P o` T est une matrice triangulaire, u i.e. la matrice A est co-trigonalisable; b) les valeurs propres de la matrice AA sont relles positives ou nulles, i.e. SpAA e R+ . De plus, la matrice P peut tre choisie telle que P 1 =t P (P unitaire). e Corollaire. La matrice A est symtrique si et seulement si A est unitairement e 1 co-diagonalisable, i.e. U unitaire telle que A = U diag(i )U = U diag(i )t U . Thor`me 9. Pour A Mn (C) les deux assertion suivantes sont quivalentes: e e e 1 a) il existe P G Ln (C) telle que A = P DP , o` D est une matrice diagonale, u i.e. A est co-diagonalisable; b) la matrice A vrie les trois conditions suivantes: e i) AA est diagonalisable, ii) SpAA R+ , iii) rgA = rgAA. Rfrences ee 1. J.-M. Arnaudi`s, H. Fraysse - Cours de mathmatiques, Tome 1. Alg`bre, Editions e e e Dunod, Paris, 1987. 2. J. Fresnel - Alg`bre des matrices, Editions Hermann, Paris, 1997. e 3. J. Fresnel - Espaces quadratiques, euclidiens hermitiens, Editions Hermann, Paris, 1999 (pour les complments). e

Vizitati pagina web a revistei Recreatii Matematice:

http://www.recreatiimatematice.ro117

Proprieti ale primitivelor functiilor periodice at Gheorghe IUREA1Abstract. It is outlined the fact that a small number of elementary properties of periodic functions are sucient for solving various problems proposed at contests and olympiads of mathematics. Keywords: periodic functions, the primitive of a function. MSC 2000: 26A42.

anul 2003, la examenul de bacalaureat a fost propus urmtoarea In a a Z x 1 2 Problem. lim a | sin t| dt este: a) ; b) 1; c) 0; d) . x x 0 Este o problem cunoscut, dar dicil. Un rspuns se poate obtine astfel: e a a a a Z n Z n n1 Z (k+1) X 1 irul xn = s | sin t| dt, n N ; cum | sin t| dt = | sin t| dt = n 0 0 kn1 Z X k=0 0 k=0

| sin y| dy = 2n, obtinem xn =

2 . Prin urmare, limita cerut, dac exist, a a a

2 este egal cu . a aceast not demonstrm cteva proprieti ale primitivelor functiilor periodice In a a a a at i totodat indicm un mod de determinare a primitivelor acestor functii. s a a Propozitie. Fie f, F : R R, unde f este o functie continu, neconstant i a a s Zx

periodic de perioad T > 0, iar F (x) = a aZ (k+1)T Z T

f (t) dt. Atunci:0

a)Z kT x+T

f (t) dt =Z T0

f (t) dt, pentru orice k Z;

f (t) dt, pentru orice x R; f (t) dt = 0 h i h i x x F0 (T ) + F0 x T , x R, unde F0 este primitiva lui F pe c) F (x) = T T [0; T ] care se anuleaz zero; a n d) exist a R astfel at functia G : R R, G(x) = F (x) ax s e periodic a nc a a i neconstant; s a Z Z 1 x 1 T e) lim f (t) dt = f (t) dt; x x 0 T 0 f ) functia F nu admite asimptot oblic spre . a a b)xZ (k+1)T Z T

Demonstratie. a) Cu substitutia y = tkT , obtinem b) Considerm functia g : R R, g(x) = a Z x+T

f (t) dt =kT 0

f (y) dy.

f (t) dt = F (x + T ) F (x); atunci

g (x) = f (x + T ) f (x) = 0. Rezult c g este constant, deci g(x) = g(0) pentru a a a orice x R i de aici concluzia. s1 Profesor,

x

Liceul Teoretic Dimitrie Cantemir, Iai s

118

c) Pentru x 0, e n =Z T Z 2T

h

xi N, deci nT x < (n + 1)T . T Z ZnT x

Avem c a

F (x) =0

f (t) dt+Z x

f (t) dt+...+TZ xnT

f (t) dt+(n1)T nT

f (t) dt. Cu substitutia t Z T

nT = y, obtinem Z xnT

f (t) dt =nT 0

f (y) dy, i folosind a), F (x) = n s0

f (t) dt +

f (y) dy. Cum x nT [0; T ), rezult c F (x) = nF0 (T ) + F0 (x nT ). a a h i x N, deci nT x < (n 1)T i atunci s Pentru x < 0, alegem n = T Z Z Z0 T R 0 2T nT x

F (x) =

f (t) dt+T

f (t) dt+...+(n1)T

f (t) dt+nT

f (t) dt. Cu substitutia Z T

t + nT = y ultima integral i folosind punctul a), F (x) = n n a sZ x+nT

f (t) dt +0

f (y) dy. Dar x + nT [0; T ), deci F (x) = nF0 (T ) + F0 (x + nT ). In h i h i x x concluzie F (x) = F0 (T ) + F0 x T , pentru x R. T T Z0

d) Conform punctului b), F (x + T ) F (x) = G(x) = F (x + T ) F (x) aT =Z T

T

f (t) dt, prin urmare G(x + T ) Z

1 T f (t) dt, rezult a T 0 0 c G(x + T ) = G(x), pentru orice x R, prin urmare, pentru a determinat, G este a periodic de perioad T . a a Dac G este constant, atunci G (x) = 0, pentru orice x R. Rezult c f (x)a = a a a a 0, pentru orice x R, contradictie. concluzie, functia G nu este constant. In a Rx f (t) dt G(x) e) lim 0 = lim + a = a, deoarece G ind continu i periodic, as a x x x x este mrginit. a a F (x) f) Conform punctului e), lim = a. Cum G este periodic i neconstant, as a x x rezult c nu exist lim G(x). Prin urmare, F nu admite asimptot oblic spre . a a a a a f (t) dt aT . Alegnd a = ax

0

Not. 1. Rezultatele de la punctele a) i b) sunt clasice. Punctul c) poate folosit a s pentru determinarea primitivelor functiilor periodice. Punctele d), e) i f) fac obiectul s unei probleme semnate de prof. univ. dr. Radu Gologan. 2. Folosind punctul e) al propozitiei demonstrate, obtinem c: a 1 x x limZ x

| sin t| dt =

0

1

Z

| sin t| dt =

0

2 .

Prezentm cteva probleme, ca aplicatii directe ale propozitiei demonstrate. a a 1. Determinati primitivele functiei f : R R, f (x) = | sin x|. Solutie. f este periodic de perioad . Primitiva luihf care se anuleaz h este a a a n 0 i xi x F0 (x) = 1 cos x i atunci primitiva pe R este F (x) = 2 s + 1 cos x . Prin urmare, functia F (x) = 2n + 1 (1)n cos x, x [n; (n + 1)), n Z, este primitiva lui f , care se anuleaz zero. a n 119

Z x

2. Se consider functiile f : R R, f (x) = a f (t) dt.

1 i F : R R, F (x) = s 3 + cos x

0

a) S se calculeze lim F (x). ax

b) S se arate c gracul functiei F nu are asimptot ctre +. a a a a (Variante BAC 2007, enunt partial) 1 x Solutie. a) Evident c f (x) , pentru orice x R, deci F (x) , pentru a 4 4 orice x R i de aici obtinem c lim F (x) = . s ax

b) Este o consecint imediat a punctului a) i a punctului f) din propozitie. a a s Observatie. f este periodic de perioada T = 2. Primitiva lui f pe [0; 2], care a se anuleaz zero, este a n8 > tg > 1 > arctg 2 > > 2 2 < >2 > > > > 1 :

x , x [0; ) x=

F0 (x) =

, 2

x tg arctg 2 + , x (; 2] 2 2 2

i atunci primitiva lui f care se anuleaz zero este s a n8

tg > > 1 > arctg 2 > > 2 2 > > (2n + 1) < F (x) = 2 2 ,

x n + , 2 x [2n; (2n + 1)) x = (2n + 1) + (n + 1) , x ((2n + 1); (2n + 2)] 2 , n Z.

x > > tg > 1 > 2 > arctg > 2 > 2 :

Z x

3. Se consider functiile f : R R, f (x) = 3 + {x}(1 {x}) i F : R R, F (x) = a s f (t) dt. a) S se calculeze lim F (x). a

0

b) S se arate c exist a R, astel at functia G : R R, G(x) = F (x) ax a a a nc s e periodic. a a (Variante BAC 2007, enunt partial) Solutie. a) Deoarece f (x) 3, pentru orice x R, obtinem c F (x) 3x, pentru a orice x R i de aici lim F (x) = . sx

x

b) Cum f este periodic de perioad T = 1, din punctul d) al propozitiei demona a Z 1 19 strate rezult c exist a = a a a cu proprietatea cerut. a f (x) dx = 6 0 120

Not. Primitiva functiei f pe [0; 1], care se anuleaz zero, este F0 (x) = 3x + a a n x2 x3 . Prin urmare, primitiva functiei f care se anuleaz zero este: F (x) = a n 2 3 2 3 19 (x [x]) (x [x]) [x] + 3(x [x]) + . 6 2 6 4. Fie f : R R o functie continu i periodic de perioad T > 0. Artati c as a a a a Z Z b ba T f (nx) dx = f (x) dx, pentru orice a, b R. lim n a T 0 Z b Z 1 nb Solutie. Cu substitutia nx = t, obtinem f (nx) dx = f (t) dt = b n na a Z nb Z na 1 1 f (t) dt a f (t) dt i, conform punctului e), urmeaz concluzia. s a nb 0 na 0 5. Fie f : [0; T ] R o functie continu i g : R R o functie continu i a s a s periodic de perioad T > 0. Atunci a aZ T

n

lim

0

1 f (x)g(nx) dx = TZ T

Z T

Z

f (x) dx 0

T

g(x) dx

(v. [2], [3]).(k+1)T n

0

Solutie. Fie an = 0Z(k+1)T n

f (x)g(nx) dx, n N. Evident, an = 1 nZ T

n1 Z X k=1

f (x)g(nx) dx.kT n

DeoarecekT n

g(nx) dx =Z(k+1)T n

g(t) dt, aplicnd o teorem de medie, obtinem c a a a0 n1 X

n1 X

an =k=0

f (k )n1 X

g(nx) dx =kT n

cum lim

n

k=0

T f (k ) = n

Z T

k=0

1 f (k ) n

Z T

g(t) dt, k

0

kT (k + 1)T ; n n

i s

f (t) dt, rezult concluzia problemei. a0

Ca aplicatie direct a acestui rezultat obtinem problema: a Fie f : R (0; ) o functie continu cu perioada 1. Atunci : aZ 1 Z

1

2

n

lim

f (x)f (nx) dx =0 0

f (x) dx

.

(Cristinel Mortici, etapa judetean, 2003) a 6. Fie f : RR o functie continu i periodic. Dac F este o primitiv a lui f , as a a a n X F (k) artati c irul an = a as este convergent dac i numai dac F este periodic. as a a k2k=1

(Florian Dumitrel, Concursul Nicolae Coculescu, 2008) Solutie. Fie T > 0 o perioad a functiei f . Exist a R astfel at functia a a nc n n X 1 X G(k) +a . G : R R, G(x) = F (x) ax s e periodic. Prin urmare, an = a a k2 kk=1 k=1

121

Cum G este mrginit, ind continu i periodic, exist M > 0, astfel at a a a s a a nc |G(x)| M , pentru orice x R. Atunci 0 G(x) + M 2M , pentru orice x R. n X G(k) + M Rezult c irul bn = a as este convergent, ind monoton i mrginit. s a k2n X k=1

Astfel, an =k=1

X 1 X 1 G(k) + M M +a . Prin urmare, irul (an ) este cons k2 k2 k

n

n

1 1 1 vergent dac i numai dac a as a este convergent. Cum lim 1 + + ... + n k 2 n k=1 , rezult c (an ) converge dac i numai dac a = 0 i concluzia se impune. a a as a s

n X

k=1

k=1

=

7. Fie f : R R o functie continu i periodic de perioad irational, iar F a s a a a o primitiv a sa. S se demonstreze c irul (F (n) n)n1 este convergent dac i a a as as numai dac f (x) = 1, pentru orice x R. a (Florian Dumitrel, Concursul Nicolae Coculescu, 2009) Solutie. Dac f (x) = 1, pentru orice x R, concluzia este evident. Reciproc, a a e T R\Q, T > 0, o perioad a functiei f . Exist a R astfel at functia a a nc G : R R, G(x) = F (x) ax s e periodic, de perioad T . a a a Atunci F (n) n = G(n) + (a 1)n i de aici irul (F (n) n)n1 este convergent s s numai dac a = 1. Rezult c irul (G(n))n1 are limit. Fie l R limita acestui a a as a ir i x R. Deoarece T R\Q, din teorema lui Kronecker rezult c multimea s s a a {n mT | n, m N} este dens R, deci exist irurile (nk )kN i (mk )kN astfel a n as s at lim (nk mk T ) = x i (nk mk T )kN este strict cresctor. nc s a Sirul (nk ) este nemrginit; altfel, cum mk T = (mk T nk ) + nk , k N, ar rezulta a c (mk ) este mrginit, adic B = {nk mk T | k N} ar mrginit, ceea ce ar a a a a a contrazice monotonia irului (nk mk T )kN . Prin urmare (considernd, eventual, un s a subir al irului (nk )), lim nk = . s s Cum G(nk ) = G(nk mk T ) G(x) i (G(nk ))kN este un subir al irului s s s (G(n))nN , rezult c G(x) = l. Deci F (x) = l + x i f (x) = 1, pentru orice x R. a a s Bibliograe 1. L. Niculescu - O metod de calcul a primitivelor unei functii periodice, G.M.-8/1991, a 281-284. 2. D. Popescu, F. Popovici - O generalizare a lemei lui Riemann, Recreatii Mate matice nr. 1/2002, 12-13. 3. D. Popescu - Asupra unui ir de integrale Riemann, Recreatii Matematice nr. s 2/2009, 98-100. 4. N. Pavelescu - Primitivele unor functii periodice, G.M.-10/2002, 371-379. 5. - Subiectele i variantele de bacalaureat, 2003 - 2007. sk k

122

O problem de reprezentare aMarian TETIVA1Abstract. This note is a very quick overview of some wellknown and simple representation problems of a certain type; accessible explanations are given for the steps leading to their solutions. Keywords: natural number, representation in base 2. MSC 2000: 11A67.

Prin probleme de reprezentare elegem aici acele probleme care se cere s se nt n a demonstreze c orice numr de un anumit tip ( a a ntreg, rational, natural impar etc.) poate scris ntr-o anumit form. De exemplu: s se arate c orice numr natural a a a a a (nenul) poate scris ca sum de puteri distincte ale lui 2. Recunoateti acest enunt? a s (Probabil c da.) a Intr-o alt formulare, putem zice acelai lucru astfel: oricare ar a s numrul natural n 1, exist numerele naturale k 0 i a0 , a1 , . . . , ak {0, 1} a a s astfel at n = a0 + a1 2 + + ak 2k . De exemplu 1 = 1, 3 = 1 + 1 2, 22 = nc 0 + 1 2 + 1 22 + 0 23 + 1 24 = 2 + 22 + 24 . (Acum ati recunoscut sigur enuntul care stabilete reprezentarea baza 2). Iat i alte exemple, din cele mai des alnite. s n as nt Problema 1. Orice numr natural n poate reprezentat a ntr-o innitate de moduri forma n 12 22 . . . m2 , pentru anumite numere naturale m i anumite alegeri ale semnelor plus i minus. s s Aceasta nseamn c trebuie s dovedim c, dat ind numrul natural n, putem a a a a a gsi un numr natural m i o alegere a semnelor plus/minus astfel at egalitatea a a s nc anterioar s e adevrat (iar asta se ampl pentru o innitate de numere naturale a a a a nt a m; unele probleme se cere s artm unicitatea reprezentrii - de exemplu, orice n a aa a numr natural este a ntr-un singur mod suma unor puteri distincte ale lui doi, dac, a desigur, facem abstractie de ordinea termenilor -, altele se cere s se arate c exist n a a a o innitate de reprezentri etc.). De exemplu avem: a 0 = 12 22 32 + 42 52 + 62 + 72 82 i dac v g i bine de tot de unde provine aceast egalitate neateptat i (aparent) s a a ndit a s as greu de gsit, aproape c ati rezolvat problema 1. S mai mentionm aici c, dima a a a a potriv, avem urmtorul enunt: a a Problema 2. S se arate c un numr natural n poate reprezentat forma a a a n n = 1 2 . . . n pentru o anume alegere a semnelor plus i minus dac i numai dac n d restul 0 s a s a a sau 1 la artirea cu 4. mp 1 Profesor,

Colegiul National Gheorghe Roca Codreanu, Brlad s a

123

(Aceasta nu e tocmai o problem de reprezentare sensul precizat la a n nceput, dar e clar c face parte din acelai cerc de idei.) a s Urmtoarea este, poate, mai putin cunoscut, dar nu mai putin frumoas; propus a a a a de Mihai Onucu Drimbe Gazeta Matematic [2]: n a Problema 3. S se arate c orice numr rational pozitiv poate reprezentat a a a ntr-o innitate de moduri forma n 1

2 2

...

m 2

1

pentru anumite numere naturale m 2 i anumite alegeri ale semnelor plus i minus. s s (Enuntul original se refer la numere a ntregi pozitive, dar se poate i aa.) s s Exist o larg varietate de asemenea probleme, pentru care, desigur, nu avem a a loc aici, iar ca s v faceti o idee despre importanta lor matematic, g i-v a a n a ndit a doar c teorema fundamental a aritmeticii - fundamental, da? - este o teorem de a a a a reprezentare a oricrui numr natural 2 ca produs de numere prime. a a Ajungem la problema despre care vom vorbi mai departe. Problema 4. Orice numr a ntreg impar are o innitate de reprezentri de forma a 1 2 . . . 2m pentru anumite numere naturale m i anumite alegeri ale semnelor plus i minus. s s De ea vrem s ne ocupm aceast not. Nu a a n a a nainte de a v sftui s reectati a a a asupra celor enuntate mai sus, sau s le cutati solutiile prin crti; se gsesc a a a a n nenumrate: [3], [4], [5]; totui (repet, dac am mai spus-o - i am mai spus-o!), a s a s nu faceti asta nainte de a munci singuri la ele: chiar dac nu veti gsi independent a a rezolvri complete, nimic nu poate a nlocui efortul personal, iar satisfactiile, cele reale, nu vin (orice ar spune unii) dect de pe urma acestuia. a S observm, mai ai, c o reprezentare a unui numr natural aceast form a a nt a a n a a genereaz o innitate de reprezentri similare ale aceluiai numr. E sucient s a a s a a nlocuim pe 2m cu 2m + 2m+1 pentru a obtine, din n = 1 2 . . . 2m , n = 1 2 . . . (2m + 2m+1 ) = 1 2 . . . 2m1 2m 2m+1 , adic (aa cum am anuntat) o alt reprezentare. O secund de g a s a a ndire i ne dm s a seama c egalitatea 2m = 2m + 2m+1 este, de fapt, un caz particular pentru a 2m = 2m 2m+1 . . . 2m+p1 + 2m+p (unde p 1 poate orice numr natural), deci reprezentarea n = 1 2 . . . 2m a produce, cu aceast formul, o innitate de reprezentri: a a a n = 1 2 . . . 2m1 2m 2m+1 . . . 2m+p1 2m+p 124

(pentru ecare p cte una). Astfel c tot ce ne mai rmne de fcut este s dovedim a a a a a a c ecare numr impar n (de ce impar? pentru c este evident c numerele pare nu a a a a pot avea asemenea reprezentri) are mcar o reprezentare cum cere enuntul. Desigur, a a putem rezolva problema doar pentru numerele ntregi impare pozitive, cci schimbarea a tuturor semnelor ntr-o reprezentare a lui n conduce la o reprezentare a lui n. Cum obtinem deci o scriere ca (s zicem) a 233 = 1 2 + 22 23 + 24 + 25 + 26 + 27 ? Pornim de la 233 = 2 117 1 i folosim scrierea s 117 = 1 + 2 22 + 23 + 24 + 25 + 26 . De unde am tiut-o pe aceasta? Evident, din 117 = 2 59 1 i s s 59 = 1 2 + 22 + 23 + 24 + 25 ; pe care am aat-o pornind de la 59 = 2 30 1 = 22 15 1 = 1 + 22 (1 + 2 + 22 + 23 ) = = 1 + 22 + 23 + 24 + 25 = 1 2 + 22 + 23 + 24 + 25 . Acum e timpul pentru Exercitiul 1. Artati (prin inductie) c orice numr natural impar admite o a a a reprezentare de forma 1 2 . . . 2m (pentru un anumit numr natural m i o anumit alegere a semnelor plus i minus). a s a s Deduceti c orice numr a a ntreg poate reprezentat ( ntr-o innitate de moduri) n forma 2p 2p+1 . . . 2q pentru anumite numere naturale p q i anumite alegeri ale semnelor plus i minus. s s Ipoteza de inductie se refer la posibilitatea reprezentrii forma cerut a tuturor a a n a numerelor mai mici dect, s zicem, 2k 1 i conduce la existenta unei reprezentri a a s a pentru 2k 1. Pentru asta scriem pe k forma 2s (2t 1) i folosim identitatea l n s fundamental mentionat i mai sus: 1 = 1 2 . . . 2u + 2u+1 etc. Aceasta e a as solutia pe care (cel putin eu) am alnit-o cel mai des. Mi s-a prut nt a ntotdeauna prea complicat (mrturisesc c nici nu am eles-o bine de prima dat; de fapt, e uor de a a a nt a s eles, dar c vrei s-o explici cuiva te loveti mereu de diculti la alegerea lui u nt nd s at i aa mai departe, iar inductia nu face ca lucrurile s e mai simple: dar acesta e un s s a fel de a spune c n-ai ptruns esenta problemei). De aceea am cutat mereu alt a a n a a variant (iar prin crti n-am gsit, chiar dac - nu m a a a a a ndoiesc - i cele ce urmeaz s a trebuie s mai fost g a ndite de altcineva i, probabil exist i crti, altele dect s a s n a a cele cu care m-am alnit eu). nt Au trecut ani. Intr-o zi, explicnd unui elev solutia de mai sus i vznd ct de a s a a a greu accede la elegerea ei ( ciuda faptului c eu, nt n a ntre timp, chiar am priceput-o 125

i i-o artam cu exemple i tot ce trebuie), m-am gndit: trebuie s mai e i alt s a s a a s a posibilitate! Si singura idee care mi-a venit a fost s m leg de reprezentarea baza a a n doi. Intr-adevr, privind numrul 233 scris ca sum de puteri ale lui 2: a a a 233 = 1 + 23 + 25 + 26 + 27 mi-am dat seama imediat cum trebuie s fac: era sucient s-l a a nlocuiesc aici pe 1 cu 1 2 + 22 i pe 23 cu 23 + 24 , ca s obtin scrierea lui 233 forma cutat. (Era s a n a a banal!) Iat a un exemplu: a nc 273 = 1 + 24 + 28 = 1 2 22 + 23 24 25 26 + 27 + 28 . E att de banal, at, practic, intr categoria demonstratii fr cuvinte! Noi vom a nc a n aa propune, totui, cititorului interesat s formalizeze aceast demonstratie, chiar pentru s a a situatia general prezentat exercitiul anterior (e un fel de a spune: general; a a n a propriu-zis, nu avem o generalizare efectiv, ci doar una de circumstant). a a Exercitiul 2. Fie n un ntreg pozitiv, scris n = 2n1 + 2n2 + . . . + 2nk (unde n1 < n2 < . . . < nk ) ca sum de puteri distincte ale lui 2. S se arate c exist p q a a a a numere naturale i exist o alegere a semnelor plus i minus astfel at s a s nc n = 2p 2p+1 . . . 2q . Deduceti c acest enunt este valabil pentru orice a ntreg nenul n (de ce nu i pentru s zero?). (Desigur, p = n1 i q = nk , dar pentru q avem o innitate de posibiliti; partea s at a doua rezult, cum am mai spus, doar prin schimbarea semnelor). a Cu asta s-ar prea c am terminat, dar nu e aa: a a s Propozitie. Fie n i m numere naturale nenule, cu n impar i 1+2+. . .+2m > n. s s Atunci exist o alegere a semnelor plus i minus astfel at a s nc n = 1 2 . . . 2m . Demonstratie. Conform ipotezei, numrul 1+2+. . .+2m n este par i pozitiv. a s 1 m ntreg pozitiv, prin urmare el poate scris De aceea (1 + 2 + + 2 n) este un 2 ca sum de puteri ale lui 2: a 1 (1 + 2 + . . . + 2m n) = 2n1 + 2n2 + . . . + 2nk , 2 1 cu n1 < n2 < < nk numere naturale. Deoarece (1 + 2 + . . . + 2m n) < 2 1 1 (1 + 2 + . . . + 2m ) = (2m+1 1) < 2m , exponentii n1 , n2 , . . . , nk sunt din multimea 2 2 {0, 1, . . . , m}. Atunci n = 1 + 2 + . . . + 2m 2(2n1 + 2n2 + . . . + 2nk ) este scrierea pe care o cutm. a a 126

De exemplu, s spunem c vrem s gsim o exprimare a lui 233 ca sum de forma a a a a a 1 10 10 1 2 . . . 2 . Pentru asta calculm (1 + 2 + . . . + 2 233) = 907 i scriem a s 2 3 7 8 9 acest numr ca sum de puteri ale lui 2 907 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . Avem atunci a a 233 = 1 + 2 + . . . + 210 2(1 + 2 + 23 + 27 + 28 + 29 ) == 1 2 + 22 23 + 24 + 25 + 26 27 28 29 + 210 . E limpede ca lumina zilei c aceast demonstratie conduce la un rezultat gea a neral. Chiar aa i este: M.O. Drimbe a descoperit aceast teorem (general) i a s s a a a s publicat-o [1] a din 1983! Aceast alnire peste ani mie reveleaz a o dat nc a nt mi a nc a (dac mai era nevoie) nesfrita frumusete a matematicii. a as Bibliograe 1. M.O. Drimbe - O problem de reprezentare a numerelor a ntregi, GM 10-11/1983, 382-383. 2. M.O. Drimbe - Problema C:371, GM 1/1984, p. 42. 3. A. Engel - Probleme de matematic - strategii de rezolvare, Editura Gil, Zalu, 2006. a a 4. L. Panaitopol, Alexandru Gica - Probleme de aritmetic i teoria numerelor. Idei as i metode de rezolvare, Editura Gil, Zalu, 2006. s a 5. W. Sierpinski - Elementary Theory of Numbers, (Translated from Polish by A. Hulanicki), Warszawa, 1964.

Rspuns la recreatia de la pag. 112. a reprezentarea lor In ntr-o baz convenabil aleas, numerele indicate folosesc numai a a cifra 1: 1 3 13 85 781 9 331 137 257 2 396 745 48 427 561 = = = = = = = = = 1 ( orice baz b 2) n a 112 1113 11114 11 1115 111 1116 1 111 1117 11 111 1118 111 111 1119

127

Un episod inedit din matematica romneasc interbelic a a a Temistocle BIRSAN 1 , Dan TIBA2Unele publicatii matematice dintre cele dou rzboaie mondiale poart sigla a a a Institutul Matematic Romn cu deviza pitagoric Mundum Regunt Numeri a a i anul de s nintare 1928. Sub egida acestei institutii academice s-a desfurat o activitate variat, sumnd as a a un numr important de realizri. Institutul Matematic Romn i-a continuat a a a s activitatea chiar i primii ani ai celui de-Al Doilea Rzboi Mondial. s n a Directorul IMR, i acelai timp animatorul principal al activitilor sale, a fost s n s at Rodolphe Neculai Racli (care deseori semna Rodolphe Racli sau Neculai s s Racli). Adresa de corespondent indicat era str. Porumbaru 70, Bucureti, mai s a a s trziu Aleea Vulpache 21, devenit ulterior str. Ankara 5, adic acas la R.N. Racli. a a a a s perioada la care ne referim, coala matematic romneasc se armase i In s a a a s cptase deja o recunoatere i afara granitelor rii. Legea amntului din 1928 a a s s n ta nvta a a dat o lovitur amntului matematic prin desintarea sectiei reale prevzut de a nvta a a a legea Haret (1898) pentru cursul superior al liceelor. O consecint imediat a acesa a tei msuri a fost scderea dramatic a cunotintelor de matematic ale elevilor din a a a s a colile secundare. acest context, alturi de alte societi i publicatii ale timpului, s In a at s IMR a jucat un rol important sustinerea amntului matematic romnesc i n nvta a a s dezvoltarea aptitudinilor i gustului pentru matematic. s a IMR nu a avut ca scop desfurarea unei activiti sistematice de cercetare tiintias at s c, aa cum se face astzi institutele cu nume similar. Si-a asumat atributele a s a n unei case editoriale publicnd trei reviste, cursuri universitare i manuale colare, dar a s s membrii si au fost totodat realizatori i redactori ai acestora sau, multe cazuri, a a s n autori ai celor din urm. a Revista Universitar Matematic este, cronologic, prima revist publicat a a a a de IMR i se adreseaz candidatilor la licent i elevilor colilor tehnice superioare. s a a s s Au aprut doar dou volume: vol.I din 1929, format din patru fascicule, i vol.II din a a s 1937, o singur fascicul. a a Cea de-a patra fascicul din 1929 este dedicat a a n ntregime memoriei lui Traian Lalescu, ilustrul nostru matematician disprut prematur acel an, i cua n s prinde: un portret al acestuia, scrisorile de condoleante primite de la Emile Picard i Vito Volterra, precum i cuvintele de doliu trimise de E. Pangrati, Gh. Titeica, s s D. Pompeiu, V. Vlcovici .a. a s celelalte fascicule, cea mai mare parte a lor, sunt prezentate chestiuni de In n examen: enunturi i solutii ale subiectelor date la diferite examene de la Facultile s at de tiinte din toat ara sau Scoala Politehnic din Bucureti, iar fascicula din 1937 s at a s n1 Prof. 2 Cercet.

dr., Univ. Tehnic Gh. Asachi Iai a s t., Inst. de Matematic al Academiei S. Stoilow, Bucureti s a s

128

sunt publicate i subiecte date anii anteriori la examenul de capacitate, urmate apoi s n de solutii detaliate; fapt notabil, se public i componenta comisiei de examinare, a s totalul candidatilor i numrul i numele celor admii. Sunt interesante unele date s a s s statistice aceast privint: la Facultatea de Stiinte din Bucureti, la examenul n a a s de geometrie analitic din iunie 1927 cu profesorul Gheorghe Titeica, asistat de Dan a Barbilian, doar 18 candidati au fost admii din 71 s nscrii; la Facultatea de Stiinte s din Iai, iunie 1928, un singur candidat a fost admis la examenul de astronomie s n (Gheorghe Gheorghiev, cunoscutul geometru de mai trziu). a Sunt publicate un numr mic de note matematice, dar multe materiale de infora mare: lista lucrrilor de licent de la Facultatea de Stiinte din Cluj, specialitatea a a matematic, din anii 1924-1928 (vol.I, nr.2), un raport al lui Anton Davidoglu asupra a desfurrii examenului de capacitate care se fac recomandri privind recrutarea as a n a corpului profesoral secundar (vol.II), subiectele discutate edintele Cercului Revisn s tei Universitare (la Bucureti) ianuarie 1929 etc. (unul dintre conferentiari ind s n academicianul (de mai trziu) Nicolae Teodorescu, cu subiectul Introducere studiul a n ecuatiilor integrale de tip Volterra). Dintre articolele omagiale mentionm Cincuante a narul lui Emile Picard scris de Traian Lalescu (vol.1, nr.2, 1929) i Cteva cuvinte s a n legtur cu lectiile D. Paul Montel la Universitatea din Cluj de Gheorghe Clugreanu a a a a (vol.1, nr.3, 1929). Mai cunoscut este revista Numerus (1935 -1943), cu prima aparitie la 15 mai a 1935, cu un continut i un public vizat mentionate subtitlu: Revist de matematici s n a elementare pentru amntul secundar, normal, profesional i militar. Apare nvta a s aproximativ lunar fascicule, numite caiete; zece caiete formeaz un volum, iar n a caietele sunt numerotate continuare. Secretari de redactie i cu un aport imporn s tant aparitia revistei au fost Cezar Conit, Virgil Claudian, Traian Angelescu n s a .a. s Revista a publicat un numr impresionant de probleme propuse, ordonate pe maa terii i clase, de subiecte date la bacalaureat liceele de pe tot cuprinsul rii, ca i s n ta s de subiecte propuse la examenele de capacitate, la probele de matematic elementar. a a IMR a organizat concursuri anuale pentru rezolvitorii de probleme propuse n Numerus. Aceste concursuri au purtat, succesiv, numele unor matematicieni romni a sau francezi: Spiru Haret, Traian Lalescu, Edouard Goursat, Henri Poincar, e Gheorghe Titeica, Nicolae Botea (colaborator important al IMR, decedat prematur), Dimitrie Pompeiu, Andrei Ioachimescu. anii de dinainte de rzboi, erau atrai multi In a s participanti din toat ara, care erau toti listati revist, iar premiantii (premiile at n a purtau numele concursului) erau nscrii liste speciale i primeau drept recompens s n s a publicatii ale IMR. Iat i dou informatii care ne ajut s retrim momentul istoric: as a a a a septembrie 1939 s-au prezentat toat ara 3521 candidati i au fost declarati n n a t s bacalaureati 2108; din cauza concentrarii directorului, secretarilor de redactie i co s laboratorilor, rezultatul concursului George Titeica la care au luat parte 615 elevi i s eleve se public Caietul 59 (octombrie 1940). a n Mai apar fasciculele revistei unele note matematice i materiale variate de n s popularizare i umanizare a matematicii: portrete ale unor s naintai celebri, artis cole aniversare, aforisme, fantezii matematice. Este de remarcat excelenta calitate 129

a portretelor lui Euclid, Arhimede, Descartes, Newton, Euler, Poincar, precum i e s S. Haret, Gh. Titeica, D. Pompeiu, N. Botea, A. Angelescu etc., care erau deseori ite de biograa i prezentarea operei lor. Sunt evocate guri de mari matematinsot s cieni ca R. Descartes (dup o conferint inut de Gh. Titeica la Institut Franais a a t a c des Hautes Etudes en Roumanie, 1937), S. Haret (dup discursul de receptie al lui a Gh. Titeica, la Academia Romn, 1914), I. Newton i L. Euler (de I. Ionescu), a a s T. Lalescu, Arhimede, H. Poincar, Gh. Titeica (de Dan Barbilian), P. Fermat, G. e Galilei (traduceri). anii rzboiului au aprut revista Numerus unele accente politizante nepotriIn a a n vite, care nu aveau legtur cu matematica, obiectul revistei. a a Dintre articolele deosebite publicate mentionm lucrrile Rationamentul aritmetic a a i Adevrata valoare de Dimitrie Pompeiu, articolele Despre ipoteza Fermat i s a s Despre numerele pitagorice ale lui Gabriel Sudan, Problema celor patru culori de Ion Armean, descrierea Congresului Interbalcanic de la Bucureti din septembrie 1937 sau s a srbtoririi lui Paul Montel 1938 la Universitatea din Cluj. a a n Revista limba francez Annales Roumaines de Mathmatiques, de fapt n a e o colectie (bibliotec) de crti sau memorii consacrate din literatura matematic i a a as avnd autori romni, a publicat sau republicat sub form de fascicule (numite caiete) a a a urmtoarele: La gomtrie du triangle de Traian Lalescu (caietul 1), Sur les couples a e e transformables de Alexandru Pantazi (caietul 2), La drive arolaire de Nicolae e e e Teodorescu (caietul 3), Coordonnes barycentriques de Cezar Conit (caietul 4) e s a i Recherches sur le grand thor`me de Fermat de R.N. Racli (caietul 5). Crtile s e e s a La gomtrie du triangle i Coordonnes barycentriques, care apruser anterior frage e s e a a mentat caietele revistei Numerus, au fost copublicate Annales Roumaines de n n Mathmatiques i de editura Vuibert, Paris, anii 1938, 1941; prima este deschis e s n a cu o scrisoare a lui E. Picard i o prefat semnat de Gh. Titeica, iar cea de-a doua s a a este prefatat de D. Pompeiu. 1958 a aprut i editia limba romn a crtii lui a In a s n a a a T. Lalescu, Geometria triunghiului, care ne-a ajutat i ne-a antat pe multi dintre s nc noi. Cu o intentie asemntoare, Numerus, vol. 4-6, a fost publicat traducerea a a n a primelor trei crti ale Elementelor lui Euclid; nu s-a continuat, deoarece a ntre timp a aprut traducerea integral, Biblioteca Gazetei Matematice. a a n O alt component important a activitii IMR este publicarea de cursuri unia a a at versitare i manuale colare grupate respectiv Biblioteca Universitar i Colectia s s n a s Numerus. centrul acestei activiti se a R.N. Racli, care a editat, reeditat, In at a s revizuit sau alctuit dup note de curs un numr a a a nsemnat de tratate i cursuri s universitare profesate la Facultatea de Stiinte sau Scoala Politehnic din Bucureti: a s Curs de geometrie analitic de Gheorghe Titeica, Curs de analiz innitezimal a a a de Anton Davidoglu, Probleme de geometrie analitic de Dan Barbilian, Curs de a geometrie descriptiv de Ermil Pangrati i Gheorghe Nichifor, Curs de algebr a s a superioar de R. Racli i mult