Riemann 球面に内接する直方体

大阪大学工学部 3 年堀川 由人 (@Hyrodium)日曜数学会 (2016/01/30)

自己紹介

• 堀川 由人• ほりきゃわ (@Hyrodium)• 府大高専→大阪大学 ( 編入 )

• 幾何的直感を使うのが好きです• Desmos Graphing Calculator の日本語訳• 去年参加した数学イベント• 第一回日曜数学会• サイエンスアゴラ• 第五回プログラマのための数学勉強会

自己紹介

• 作ったもの

もくじ

• 第一回日曜数学会 LT の復習• 複素数の逆数

• Riemann 球面に内接する直方体• 反数・逆数・共役

• 応用例 その 1• 　と 　　 を通る円

• 応用例 その 2• SU(2) による Möbius 変換

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

状況説明

• 立体射影→ Re 軸で 180° 回転→立体射影

Riemann 球面と直方体

• 各軸と平行な辺

Riemann 球面と直方体

• 頂点の一つを　とする

Riemann 球面と直方体

• 反数 ( 加法逆元 ) をとる

Riemann 球面と直方体

• 逆数 ( 乗法逆元 ) をとる

Riemann 球面と直方体

• 複素共役をとる

Riemann 球面と直方体

• 各頂点と複素数が対応

直方体の頂点の数

• 8 個の頂点

• 反数• 逆数• 共役

応用例 その 1• アールフォルス「複素解析」 p18 問5

　と　　 を通る任意の円は単位円と直交する事を示せ .

応用例 その 1 ( 初等幾何的解釈 )• 方べきの定理⇒接線の長さは 1

応用例 その 1 (Riemann 球面 )• 立体射影して Riemann 球面上で考える

応用例 その 1 (Riemann 球面 )• 　と　　が複素平面に関して上下対称 ⇒○ と○が直交

応用例 その 1 (Riemann 球面 )• ○ と○が直交 ⇔ ○と○が直交

立体射影で角が保存

応用例 その 1 (Riemann 球面 )• ○ と○が直交 ⇔ ○と○が直交

立体射影で角が保存

応用例 その 1 (Riemann 球面 )• ○ と○が直交 ⇔ ○と○が直交

立体射影で角が保存

応用例 その 2• SU(2) による Möbius 変換は Riemann 球面

の 回転を表す

応用例 その 2 (Möbius 変換 )• 複素関数

• 放物型 , 双曲型 , 楕円型 , 斜航型に分類

( 　　　　　 で正規化 )

応用例 その 2 (SU(2) での変換 )• 特殊ユニタリ行列

• 不変量　　 を計算

　　　　　　　　　⇒楕円型

応用例 その 2 (SU(2) での変換 )• 不動点を計算

ある　が不動点ならば

　を　　 に置き換えて

故に　　　も不動点⇒不動点は互いに裏側

応用例 その 2 (SU(2) での変換 )• 特殊ユニタリ行列

• 変換は楕円型 ( 　　 )• 不動点は反対側 ( 　と　　 )　⇒ Riemann 球面の回転を表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換

• 上半平面を単位円盤に移す• 行列は SU(2) の定数倍 (Riemann 球面の回

転 )

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す

応用例 その 2 (Cayley 変換 )• Cayley 変換を軸周りの回転で表す