résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles … · comprend le problème à résoudre, se...

Résoudre des problèmes en

mathématiques aux cycles 2 et 3

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Stage du 12 au 14 décembre 2012

Collège International (IC) Beyrouth

Philippe CORBET - CPAIEN

Les situations-problèmes

de découverte

2

Caractéristiques L’élève L’enseignant

Situation de

départ

Situation-problème présentée à l’oral ou à

l’écrit

à partir d’objets (pions, cartes…)

d’un énoncé

d’une situation vécue par les élèves

comprend le problème à

résoudre, se représente

correctement ce qu’on doit

chercher

- Propose une situation nouvelle

mais adaptée et surmontable

- Favorise la compréhension de

la situation

Recherche

temps de recherche individuelle

temps de recherche en groupe (de 2 à

4)

s’appuie sur ses connaissances

préalables

recherche des réponses

adaptées (solutions

personnelles)

confronte ses procédures avec

celles de ses camarades

coopère pour mettre en forme

une réponse à communiquer

- Aide à entrer dans la situation,

encourage

- Observe, essaie de

comprendre les démarches

- Analyse les procédures et

prévoit leur exploitation

Mise en

commun (Débat

et validation)

Ecoute et comparaison des

procédures des différents groupes

Analyse des procédures erronées

Validation des procédures efficaces

Explicite ses procédures

Argumente pour valider ou

invalider une réponse

- Interroge pour des prises de

conscience progressives

(erreurs, bonnes procédures)

- Aide à la verbalisation des

démarches

- Sollicite les réactions de la

classe

- Suscite la prise de conscience,

note au tableau « ce que ça

nous apprend »

Synthèse

(élaboration

d’un savoir)

Réalisation d’une affiche de référence

comportant :

Les différentes procédures

personnelles valides

La procédure experte

Indique ce qu’il a appris

Propose une formulation des

apprentissages nouveaux

- Demande à la classe ce que la

situation-problème a permis

d’apprendre

- Clarifie en reformulant dans un

langage plus précis

Noter au tableau « ce que ça nous apprend »

au fur et à mesure de la mise en commun

Réponses Ce que ça nous apprend

14 7 8

+ 3 3 17 0 0

1 14 7 8

+ 3 3 37 1 0

4 7 8+ 3 3 2

7 0 0

1 14 7 8

+ 2 3 27 1 0

Commencer par les unités: les chiffres de droite

Connaître sa table d’addition

Penser à la retenue




10x13=13+13+13+…+13 = 149 L’addition réitérée, c’est long et sujet à erreur

10x13=10+10+10+……+10 = 130

10x13, c’est la même chose

que 13x10=130 / J’ai mis un

zéro à droite / c’est 13 dizaines

10x13 et 13x10, c’est la même chose

Un nombre multiplié par 10, c’est un nombre de dizaines. 13x10, c’est 13 dizaines, c’est 130. 13x20, c’est 13x2 dizaines, c’est

26 dizaines, c’est 260

13x20=13x2x10=260Multiplier par 20, c’est

multiplier par 2, puis par 10




255+255+255+255+255=1275

305+305+305+305+305=1525

285+285+285+285+285=1425

5x255=1275

5x305=1525

5x285=1425

1425:5= 275

1425:5=285

Partage en parts égales une divisionRappel: une division

donne un quotientTechnique de la division à

comprendre et mémoriser



Les problèmes d’application

et de réinvestissement

10

Rappel des fonctions des

problèmes

Découverte:

percevoir l’intérêt du recours à des connaissances

nouvelles pour résoudre certaines situations.

Application et réinvestissement:

Automatiser l’emploi des nouvelles connaissances

Enrichir les contextes d’emploi de ces connaissances

Evaluer les capacités de réemploi des élèves

Recommandations pour la mise en

œuvre des problèmes d’application et

de réinvestissement

Du simple au complexe

1. Application dans un contexte voisin

2. Réinvestissement dans des contextes plus éloignés

3. Réinvestissement dans le contexte de la vie de la

classe (budget, horaires d’une sortie scolaire…)

4. Problèmes à plusieurs étapes

Aides éventuelles à la compréhension de l’énoncé

pour les élèves en difficulté

− Référence au vécu des élèves (mime, explications…)

− Reprise des éléments et événements de l’énoncé dans

l’ordre d’apparition

− Relecture en plaçant la question au début de l’énoncé




Aide éventuelle au choix de la procédure

Habituer les élèves à se référer aux affiches de référence




Pour la présentation de la solution

− Renoncer à la forme de présentation stéréotypée

− Privilégier une présentation plus ouverte

Solution Opération

Recherche Conclusion




Mise en commun / correction

Correction Mise en commun

Trouver LA solution Inventorier les diverses

solutions

Débattre de leur validité

L’erreur est une « faute »

La réponse est plus

importante que la

procédure

L’erreur est un outil pour

apprendre

La diversité des

procédures est possible




Les problèmes de réinvestissement à

plusieurs étapes

CM2

Une école comporte deux classes.

Dans cette école, il y a 26 filles.

Dans la première classe, il y a 12 filles et 11 garçons.

Dans la deuxième classe, il y a 27 élèves.

Quel est le nombre de garçons dans la deuxième

classe ?

Les résultats recueillis font apparaître qu’une démarche

correcte a été mise en œuvre par 60 % des élèves

La démarche ascendante (ou chaînage arrière)

partir de la question posée pour essayer de déterminer

ce qui doit être établi auparavant pour pouvoir y

répondre.

pour calculer le nombre de garçons de la deuxième

classe, il faudrait connaître le nombre de filles de cette

classe : 26 -12.

Les problèmes de réinvestissement à

plusieurs étapes

Les problèmes à plusieurs étapes

Démarche descendante (ou chaînage avant)

1. partir des données et déterminer ce qui peut en être déduit

2. sélectionner ce qui est utile pour répondre à la question.

2e et 3e lignes il y a 14 filles dans la 2e classe

3e ligne il y a 23 élèves dans la 1ère classe.

4e ligne 27 élèves dans la 2e classe - 14 filles = 13

garçons

nombre total d’élèves de l’école (23 + 27 = 50)

nombre de garçons de l’école (50 - 26 = 24)

nombre de garçons de la deuxième classe (24 – 11 = 13).

CM2

Une école comporte deux classes.

Dans cette école, il y a 26 filles.

Dans la première classe, il y a 12 filles et 11 garçons.

Dans la deuxième classe, il y a 27 élèves.

Quel est le nombre de garçons dans la deuxième classe ?

Caractéristiques L’élève L’enseignant

Situation de

départ

Situation-problème présentée à l’oral ou à

l’écrit

à partir d’objets concrets (pions,

cartes…)

d’un énoncé

d’une situation vécue par les élèves

Recherche temps de recherche individuelle

temps de recherche en groupe (de 2 à

4)

Mise en

commun

(Débat et

validation)

Ecoute et comparaison des procédures

des différents groupes

Analyse des procédures erronées

Validation des procédures efficaces

Synthèse

(élaboration

d’un savoir)

Réalisation d’une affiche de référence

comportant :

Les différentes procédures personnelles

valides

La procédure experte

Phase

d’entraînemen

t

D’abord des problèmes d’application qui

appartiennent à la même « catégorie »

que celui de la situation-problème

Puis des problèmes de réinvestissement

dans différents contextes

Met à l’épreuve ses nouveaux

savoirs jusqu’à automatiser leur

usage (solution experte)

- Propose des situations adaptées

de difficulté croissante : mise en

œuvre dans des situations

proches de l’activité de

découverte, puis dans des

contextes différents, puis dans

des situations mobilisant

l’apprentissage en cours en

même temps que d’autres

compétences

- Evalue les acquis et les progrès

en vue d’une différenciation

Phase de

transfert

Résolution de problèmes complexes

faisant appel à plusieurs connaissances

et capacités étudiées auparavant

Mobilise des connaissances et

des capacités variées

Apprentissage de la

résolution de problèmes

Apprendre la résolution de problèmes

comprendre l'énoncé

Trouver une procédure

Exécuter la procédure

Communiquer sa réponse

Caractéristiques du type de texte

La langue des énoncésSe représenter l’énoncé

Développer la capacité des élèves à

comprendre l’énoncé

24

Les caractéristiques de

l’énoncé de problème

Texte injonctif (ordre ou question)

Des éléments informatifs, descriptifs, narratifs

Des présentations diverses (texte, tableau,

graphique, dessin…)

Trois niveaux de lecture

• Il faut imaginer, se représenter l’histoire en faisant appel à son vécu et ses connaissances.

Une lecture narrative

• A partir de l’histoire imaginée et comprise, il faut chercher les informations et les organiser.

Une lecture informative

• Il faut déterminer ce qui est demandé, sélectionner les informations et les traiter.

Une lecture prescriptive

Comprendre l’énoncé

Bien connaître les caractéristiques de ce type de texte

Apprentissage massé (données, question…)

Apprentissage distribué (repérer les caractéristiques)

Bien se représenter l’énoncé

Apprentissage massé (apprendre à schématiser)

Apprentissage distribué (manipuler, schématiser…)

Maîtriser la langue des énoncés

Apprentissage massé (plus que / plus de / en plus…)

Apprentissage distribué (glossaire)

Bien connaître les caractéristiques du

type de texte « énoncé de problème »

Apprentissage massé grâce à des

activités spécifiques(« Ressources du stage » / site de l’Inspection)

Apprentissage distribué par une

reprise des caractéristiques quand

l’élève présente sa solution

Données utiles Recherche / calculs

Réponse: …………………………………………..

Ce que je cherche: ………………………………

Bien se représenter l’énoncé: manipuler, dessiner, schématiser, reformuler

La salle de classe comporte 4 rangées de 8 classes.

Combien y a-t-il de tables?


activités spécifiques(« Aider les élèves en difficulté en mathématiques » - Bibliographie)

Pierre et François ont mis leurs petites voitures sur le

tapis. Pierre a 10 voitures, François a 5 voitures.

Combien y a-t-il de voitures sur la tapis?



1. Donner l’habitude aux élèves de disposer d’un stock de

jetons et de matérialiser la situation de recherche pour

mieux la visualiser.

2. Demander aux enfants de dessiner la situation (en cycle

2, au début, des élèves dessineront les feuilles des 5

salades de l’énoncé).

3. Comparer ces traces, et confronter les productions. On

pourra ainsi progressivement amener les élèves à passer

du dessin au schéma en l’épurant (on remplace les arbres

par des croix)



Problème 1

La simulation

Je vais acheter 12

baguettes de pains à

0,90 €. Combien vais-

je donner au

boulanger ?

•

simulation:

MAMAN : Tiens, tu vas aller à la

boulangerie, il nous faudrait 12

baguettes.

ENFANT : Je prends combien

dans ton porte-monnaie ?

MAMAN : Et bien, une baguette

coûte 90 centimes, je te laisse

calculer !

Apprentissage distribué par

la reformulation (Sylvie GUFFOND, CPC Bonneville 74)

Problème 2

Changement de présentation

Arthur a 124 €. Son frère lui

donne 15€ pour son anniversaire.

Il s’achète une paire de rollers à

36€. Lors d’une visite chez sa

mamie, il reçoit un billet de 50€. Il

décide d’acheter 2 livres à 14€. Il

prête 25€ à son cousin à qui il

manquait de l’argent pour acheter

un jeu vidéo à 49€. Combien

Arthur a-t-il d’argent maintenant ?

On va chercher combien

Arthur aura à la fin.

Au début, il a 124€

Son frère lui donne 15€

Arthur s’achète une

paire de rollers à 36€

Sa mamie lui donne un

biller de 50€

Il achète 2 livres à 14€

chacun

Il prête 25€ à son cousin

Combien a-t-il maintenant ?



Problème 3

Mettre la question au début

Rajouter des étapes

Dans sa tirelire, Tristan a

deux billets de 50 €, quinze

pièces de 2€, et trois pièces

de 1€

•Il a 35 € de plus qu’Audrey

et 48 € de moins que Quentin

•Combien d’argent a chaque

enfant ?

Tu vas chercher combien

d’argent a chaque enfant :

Tristan a deux billets de 50 €,

quinze pièces de 2€, et trois

pièces de 1€

Combien d’argent a Tristan ?

Il a 35 € de plus qu’Audrey

Combien d’argent a Audrey ?

Il a 48€ de moins que Quentin

Combien d’argent a Quentin?



Problème 5

Changer les nombres

− Dans sa tirelire, Tristan a

deux billets de 50 €,

quinze pièces de 2€, et

trois pièces de 1€

− Il a 35 € de plus qu’Audrey

et 48 € de moins que

Quentin

− Combien d’argent a

chaque enfant ?

− Dans sa tirelire,

Tristan a un billet de

5€, une pièce de 2€,

et trois pièces de 1€

− Il a 1€ de plus

qu’Audrey et 2 € de

moins que Quentin

− Combien d’argent a

chaque enfant ?



Maîtriser la langue des énoncés

Tous les exercices présentés ci-après sont tirés du livre

« Maths en mots » (Références en bibliographie)

Sami a 50 petites voitures. Il en achète

encore 8. Maintenant, combien en a-t-il?

Difficulté: identifier personnages et objets

3 consignes possibles pour 3 niveaux de difficulté:

/ Réécris le texte en remplaçant chaque fois que c’est possible les pronoms qui représentent Sami et ceux qui représentent les petites voitures.

/ Souligne en rouge les mots qui parlent de Sami, souligne en bleu les mots qui parlent des voitures.

/ Trie les mots soulignés: ceux qui parlent de Sami, ceux qui parlent des voitures.

Pour les 2 dernières consignes, la réécriture pourra se faire ensemble lors de la correction commune.


activités spécifiques

Recopie les phrases en remplaçant dès que tu

peux les prénoms par des mots qui conviennent.

• Julien a fait des économies. Julien a reçu

50 euros pour son anniversaire. Julien a

maintenant 83 euros. Combien Julien

avait-il d’euros avant son anniversaire?

• Lucie a commandé des vêtements sur

internet. Lucie lit sur l’ordinateur le

montant de la commande de Lucie: 58

euros pour une jupe et 27 euros pour un

tee shirt. Combien Lucie doit-elle payer?

Recopie les phrases en remplaçant dès que

tu peux les mots répétés par les pronoms qui

conviennent.

• Maxime a récolté 15 kg de cerises. Maxime

donne des cerises à son voisin. Il reste à

Maxime 10 kg de cerises.

• Combien Maxime a-t-il donné de kilos de

cerises à son voisin?

Complète chaque phrase.

• Dessine 3 points ______ relie ces 3 points.

• Observe les points dessinés sur le quadrillage

de gauche ____ reproduis ces points sur le

quadrillage de droite.

• Trace avec la règle un segment de 4 cm de

longueur ____ nomme A et B ses extrémités.

3 consignes possibles pour 3 niveaux de difficulté.

- Tu dois compléter avec 3 mots différents

- Tu choisis parmi la liste: mais, puis, alors, et, car, ensuite.

- Tu choisis un des 2 mots proposés pour chaque phrase:

(mais, puis), (alors, et), (car, ensuite).

Complète la phrase qui se trouve dans la

colonne de droite avec plus ou moins.

Pierre a 25 billes, il donne 12

billes à Mathieu.

Pierre a ______ de billes

qu’avant.

Pierre a 25 billes, Mathieu lui

donne 12 billes.

Pierre a ______ de billes

qu’avant.

Sophie a 42 images

autocollantes. Sa mère lui en

offre un paquet de 6.

Sophie a _______

d’images qu’avant.

Sophie a 42 images

autocollantes. Elle en offre 6 à

sa petite sœur.

Sophie a _______

d’images qu’avant.

Complète la phrase de la colonne de droite

pour qu’elle ait le même sens que celle de

la colonne de gauche.

Dans la classe de CM2,

il y a 8 élèves de moins

qu’au CM1.

Dans la classe de CM1,

il y a 8 élèves _______

qu’au CM2.

Florian mesure 6 cm de

plus que Luc.

Luc mesure 6 cm ______

que Florian.

Damien a 19 billes de

plus que Paul.

Paul a 19 billes _______

que Damien.

Nancy a 58 images, Julie

en a 27 de plus.

Nancy a 27 images

________ que Julie.

Production de question et réponse à partir des données

permettront de faire le lien avec les mathématiques et

de vérifier la compréhension de la notion.

Transforme les phrases en utilisant « fois moins »

ou « fois plus ». Attention, elles doivent garder le

même sens.

• Il y a 3 fois plus de chaises à la cantine que dans la

classe.

• Anthony a 2 fois plus de timbres que John.

• Le ruban rouge est 4 fois plus long que le ruban bleu.

• La jupe coûte 3 fois moins cher que la veste.

• Emilie a ramassé 2 fois moins de figues que Natacha.

Complète.

• Nicolas avait 42 euros. Il en _____ 10 à sa petite sœur pour qu’elle s’achète un livre. Combien a-t-il d’argent maintenant?

• Nicolas avait 42 euros. Il en _____ 10 à sa mère pour s’acheter un livre. Combien a-t-il d’argent maintenant?

• Dans le réfrigérateur il y a 12 œufs. Carole en ______ 3 pour faire un gâteau. Combien en reste-t-il?

• Pascal ______ 25 euros pour son anniversaire. Il avait déjà 85 euros dans sa tirelire. Combien a-t-il maintenant?

• Sylvain _______ la moitié de son paquet de 12 galettes à Quentin qui n’a pas de goûter. Combien pourront-ils en manger chacun?

2 consignes pour 2 niveaux de difficulté:

/ Complète avec reçoit, donne, prend, offre, demande. (Rapprocher de la notion de plus ou moins lors de la correction commune)

/ Complète (lister les synonymes, les contraires lors de la correction commune.)

Complète la phrase de la colonne de droite

pour qu’elle ait le même sens que celle de la

colonne de gauche.

La maîtresse a 15 pochettes de

feutres et il y a 12 feutres dans

chaque pochette.

La maîtresse a 15

pochettes ____ 12

feutres.

Marlène achète 12 bouteilles de

un litre de jus d’ananas et chaque

bouteille coûte 4 euros.

Marlène achète 12

bouteilles de jus d’ananas

à 4 euros____ litre.

Monsieur Rolland loue un garage

pendant 12 mois et chaque mois il

paie 50 euros.

Monsieur Rolland loue un

garage pendant 12 mois

et paie 50 euros ____

mois.

2 consignes pour 2 niveaux de difficulté.

Complète la phrase …avec le, de, par, chacun pour...

Complète les phrases pour qu’elles aient

toutes le même sens que la première.

J’achète des journaux à 2 euros l’unité.

_________ journal coûte 2 euros.

Les journaux coûtent 2 euros __________.

Le prix est de 2 euros ______ journal.

Le prix est de 2 euros _______ un journal.

2 consignes pour 2 niveaux de difficulté.

- Complète les phrases avec par, chaque, pour, pièce pour…

Chaque phrase est à compléter pour qu’elle

ait le même sens que la précédente.

- L’alpiniste a atteint le _______ de la montagne.

- Avec beaucoup de courage il a fait _____ à sa maladie.

- Trace un carré de 4 cm de _______ et découpe-le.

- Il faut regarder de chaque ______ de la route avant de

traverser.

- Nomme chacun des 3 _______ du triangle.

- Sur chaque ______ d’un dé, sont dessinés de un à six

points, représentant les chiffres de 1 à 6.

3 consignes pour 3 niveaux de difficulté

• Complète les phrases avec le mot qui convient. Attention, chaque mot est utilisé 2

fois

• Complète les phrases avec: côté, face, sommet.

• Complète les phrases avec: côté, face, longueur, sommet.

Dans la liste, choisis le bon mot pour

compléter les phrases.

• Chloé a froid, elle a mis un foulard autour de son

________.

• En jouant au foot, Lucas a pris un ______ sur le

mollet.

• Le _______ de la semaine de vacances dans

cet hôtel est de 500 euros pour 2.

2 consignes pour 2 niveaux de difficulté:

– trouve 3 homophones pour compléter les phrases et vérifie leur orthographe dans le

dictionnaire.

Avec les mots suivants, fabrique quand c’est

possible un mot terminé par –aine.

• cent - balle - dix - douze - trente -

quarante - vingt - moyen -

La mise en commun fera apparaître la notion de groupe

Associe chaque mot à sa définition.

Qui a plusieurs formes. multimillionnaire

Un bateau qui a plusieurs

coques.

multicoque

Une personne qui est

plusieurs fois millionnaire.

multiforme

Un très grand nombre de

personnes.

multiplication

Une opération qui est le

produit de 2 nombres.

multitude

Trouve parmi les mots suivants ceux qui

expriment une quantité égale à 10:

décalitre – décade – décaféiné – décapage

– décagone – décalque – décathlon –

décapsuleur

Retrouve le radical de chaque famille de

mots et écris-le.

• égalité – inégalité – égaler

• rangement – ranger – déranger -

dérangement

Facteurs de difficulté dans les

énoncés de problèmes(extrait du document d’accompagnement des

programmes de 2002 « Lire au cycle3 »)

Facteurs de difficulté

Facteurs de

difficulté

Éléments à

considérer

Indications de

travail

Place de la

question

L’indication de la

question au début

de l’énoncé est

facilitatrice

Ordre des

données

Ordre

correspondant au

traitement ou non

Inciter à une

double lecture: le

texte en entier /

reformuler ce

qu’on recherche /

relire les données

sous cet éclairage

Varier pour éviter

tout stéréotype


Facteurs de

difficulté

Éléments à

considérer

Indications de

travail

Complexité du

texte

Phrases complexes

Présence de

formules inusuelles

(sachant que …)

Présence de mots

inducteurs « contre-

intuitifs »

Exemple : « Florian

qui a 5 ans de « plus »

que son frère est âgé

de 16 ans ». Quel âge

a son frère ?

Pour les élèves en

difficulté, reformuler le

texte

Réécriture d’un

texte plus explicite

Reprise des

données sous

d’autres formes

(tableau…)


Facteurs de

difficulté

Éléments à

considérer

Indications de

travail

Caractère plus ou

moins complet

des données

Présence de

données parasites

ou non

Demander de

repérer les

données inutiles

Faire prendre

conscience que

l’utilisation de

toutes les

données du

texte n’est pas

systématique


Facteurs de

difficulté

Éléments à

considérer

Indications de

travail

Caractère plus ou

moins familier de

la situation

Sollicitations de

connaissances

préalables sur le

monde (1 an = 365

jours / on n’utilise

pas 12,5 bus)

Vocabulaire

univoque ou non

Lexique équivoque

(sommet)

Formules

spécifiques (12€

pièce)

Inciter à utiliser

des connaissances

préalables

Se référer au vécu

des élèves

Travail sur la

langue des

mathématiques:

répertoire,

polysémie des

mots


Facteurs de

difficulté

Éléments à

considérer

Indications de

travail

Informations

données sous

plusieurs formes

Textes,

graphiques,

cartes, photos…

Informations de

diverses sources

à relier

Usage de ces

présentations de

données dans

d’autres discipline

Problèmes à une

ou plusieurs

étapes de

résolution

Étapes de

résolution

suggérées ou non

par les questions

Différenciations

avec textes

différents où les

étapes sont +/-

suggérées

Bibliographie J2

− Le nombre au cycle 2 – Ressource pour faire la classe – MEN

− Le nombre au cycle 3 – Ressource pour faire la classe – MEN

− TFM

Télé Formation Mathématique (http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/)

− Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes

Alain Descaves – Hachette 1992

− Concepts clés et situations-problèmes en mathématiques

Odette Bassis – Hachette 2003

− Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1

Catherine Berdonneau – Hachette 2006

− Maths en mots (cycle 2 – cycle 3)

Jean-Luc Bregeon – Bordas 2008

http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/




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