69349172 mecanica de materiales beer c5 vigas

Análisis y diseñode vigas para flexión

Las vigas que soportan el sistema de grúas viajeras múltiples mostrado en la figura están sometidas a cargastransversales que provocan la flexión de las vigas. Los esfuerzos normales resultantes de tales cargasse estudiarán en este capítulo.

308 Análisis y diseño de vigas para flexión

p¡

B fe

a) Cargas concentradas

b) Carga distribuida

Figura 5.2

a) Viga simplemente apoyada

Vigasestáticamenteindeterminadas

d) Viga continua

Figura 5.3

5.1 INTRODUCCiÓN

Este capítulo y la mayor parte del siguiente se dedicarán al análisisy dise~de vigas, es decir, de elementos estructurales que soportan cargas aplicad!¡en varios puntos a lo largo del elemento. Las vigas son comúnmente elemen"tos prismáticos largos y rectos. como se observa en la fotografía de lapá~"na anterior. Las vigas de acero y de aluminio juegan un papel importantet3If

to en la ingeniería estructural como en la mecánica. Las vigas de madera~emplean. sobre todo, en la construcción residencial (figura 5.1). En lamay~parte de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga. TaleseGr,1

gas transversales sólo causan flexión y corte en la viga. Cuando lascarg~no se encuentran en ángulo recto con la viga. también producen cargasaxia.les en ella.

Figura 5.1

D La carga transversal de una viga puede consistir en cargas concentradillp¡. P2 expresadas en newtons, libras o sus múltiplos. kilonewtons ykips(figura 5.2a). en una carga distribuida w. expresada en N/m. kN/m,Ib/ftokips/ft (figura 5.2b). o una combinación de ambas. Cuando la cargawporunidad de longitud tiene un valor constante a lo largo de parte de la viga(c()-mo entre A y B en la figura 5.2b). se dice que la carga está uniformementtdistribuida en dicha parte de la viga.

Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuen.tran apoyadas. Varios tipos de vigas utilizadas con frecuencia se presentanenla figura 5.3. La distancia L mostrada en distintas partes de la figura sede.nomina el claro. Note que las reacciones en los soportes de las vigas enlaspartes a. b y c de la figura involucranun total de sólo tres incógnitasy,por

~~ L ~

b) Viga con un tramo en voladizo e) Viga en voladizo

~L

~."

L L

=-r

~

.~L

e) Viga empotrada en un extremoy simplemente apoyada

en el otro extremo

f) Viga empotrada

Vigas t "C""

.

estáticamentedeterminadas

.1L

lotanto,pueden determinarse empleando métodos estáticos. Tales vigas seconocencomo estáticamente determinadas y se estudiarán en este capítulo yenelsiguiente. Por otra parte, las reacciones en los apoyos de las vigas en¡aspartesd, e yf de la figura 5.3 involucran más de tres incógnitas y no pue-dendeterminarseúnicamente por métodos estáticos. Las propiedades de lasvigasconrespecto a su resistencia a las deformaciones debe tomarse en cuen-la.Talesvigas se denominan estáticamente indeterminadas y su explicaciónleaplazaráhasta el capítulo 9, donde se estudiarán las deformaciones envigas.

Enocasionesdos o más vigas se conectan por bisagras para formar unaestructuracontinua única. Dos ejemplos de vigas con bisagra en un punto Hlemuestranen la figura 5.4. Se observará que las reacciones en los apoyosmvolucrancuatro incógnitas y no pueden determinarse del diagrama de cuer-¡xJlibredel sistemade dos vigas. Pueden obtenerse, sin embargo, conside-randoel diagrama de cuerpo libre de cada viga por separado; se encuentraninvolucradasseis incógnitas (incluyendo dos componentes de fuerza en la bi-¡agra),Yse encuentran disponibles seis ecuaciones.

Semostró en la sección 4.1 que, si se efectúa un corte en un punto C deunavigaen voladizo que soporta una carga concentrada P en su extremo (fi-gura4.6), se encuentra que las fuerzas internas en el corte consisten de una

fuerzacortanteP' igual y opuesta a la carga P y en un momento flector Mcuyomomentoes igual al momento de P alrededor de C. Una situación aná-logaprevalecepara otros tipos de apoyos y cargas. Considere, por ejemplo,unaviga simplemente apoyada AB que porte dos cargas concentradas y unacargauniformementedistribuida (figura 5.5a). Para determinar las fuerzas in-ternasenun corte a través del punto C, primero se dibuja el diagrama de cuer-polibredetoda la viga para obtener las reacciones en los apoyos (figura 5.5b).

Haciendoun corte a través de C, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de AC(figura5.5c), del que se obtiene la fuerza cortante V y el par flector M.

Elpar flector M crea esfuerzos normales en la sección transversal, mien-

Irasquela fuerza cortante V produce esfuerzos cortantes en dicha sección.Enlamayoríade los casos el criterio dominante en el diseño por resistenciadeunaviga es el valor máximo del esfuerzo normal en la viga. La determi-naciónde los esfuerzos normales en una viga será el tema de este capítulo,mientrasque los esfuerzos cortantes se analizarán en el capítulo 6.

Debido a que la distribución de los esfuerzos normales en una sección

dadadependesólo del valor del momento flector M en dicha sección y de lageometríade la sección, t las fórmulas de flexión elástica deducidas en la sec-ción4.4pueden utilizarse para determinar el esfuerzo máximo, así como elesfuerzoen cualquier punto dado, en la sección. Se escribe:!:

IMJc(Tm = 1

My(Tx = - 1 (5.1,5.2)

donde1es el momento de inercia de la sección transversal con respecto a unejecentroidal perpendicular al plano del par, y es la distancia desde la super-

¡Sesupone que la distribución de los esfuerzos normales en una sección transversal dada no se

It afectadapor las deformaciones causadas por los esfuerzos cortantes. Esta hipótesis será verificadaenla sección 6.5.

tRecuerde que en la sección 4.2 se vio que M puede ser positivo o negativo. dependiendo de si

laconcavidad de la viga en el punto considerado es hacia arriba o hacia abajo. Así, en el caso con-

sideradoaquí de una carga transversal. el signo de M puede variar a lo largo de la viga. Como, por

otrapane, CTmes una cantidad positiva, el valor absoluto de M se utiliza en la ecuación (5.1).

5.1 Introducción 309

HB

A

a)

b)

Figura 5.4

L

e)

Figura 5.5

I31 O Análisis y diseño de vigas para flexión ficie neutra y c es el valor máximo de dicha distancia (figura 4.13). Tambi~

se recuerda, de la sección 4.4, que introduciendo el módulo de sección elás<tico S = l/c de la viga, el valor máximo (J'm del esfuerzo normal en lasección puede expresarse como

IMI(J' =-

m S

El hecho de que (J'm sea inversamente proporcional a S subraya la importan-cia de seleccionar vigas con un módulo de sección grande. Los módulos <lsección de varios perfiles de acero laminado se dan en el apéndice C, entan-

to que el módulo de sección de un perfil rectangular puede expresarse, co-mo se mostró en la sección 4.4, como

(5.11

(5.4)

donde b y h son, respectivamente, el ancho y el espesor de la sección trans-versal.

La ecuación (5.3) también muestra que, para una viga con seccióntrans.versal uniforme, (J'mes proporcional a IMI. Por lo tanto, el valor máximo delesfuerzo normal en la viga ocurre en la sección donde IMI es más grande.Delo anterior, se deduce que una de las partes más importantes del diseñodeuna viga para una condición dada de carga es la localización y la magnituddel momento flector máximo.

Esta tarea se facilita si se dibuja un diagrama de momento flector, esde.cir, si el valor del momento flector M se determina en varios puntos de lavi.ga y se grafica contra la distancia x medida desde un extremo de la viga.Yse facilita aún más si se dibuja un diagrama de cortante al mismo tiempoque se grafica la fuerza cortante V contra x.

La convención de signos utilizada para registrar los valores de la fuerza

cortante y del momento flector se estudiará en la sección 5.2. Los valoresdeV y M serán obtenidos, entonces, en varios puntos de la viga dibujando dia.gramas de cuerpo libre de porciones sucesivas de ella. En la sección 5.3, lasrelaciones entre carga, cortante y momento flector se deducirán y utilizaránpara obtener los diagramas de cortante y de momento flector. Este enfoquefacilita la obtención del máximo valor absoluto del momento flector y, porlo tanto, de la determinación del esfuerzo normal máximo en la viga.

En la sección 5.4 se aprenderá a diseñar una viga para la flexión, es de-cir, una viga en la que su momento normal máximo no exceda el valor per-misible. Como se indicó antes, éste es el criterio dominante en el diseño deuna viga.

Otro método para la determinación de los valores máximos del cortantey del momento flector, basado en la expresión de V y de M en térmInos defunciones de singularidad, se analizará en la sección 5.5. Este enfoque sepresta bien al uso de computadoras y se explicará con mayor profundidad enel capítulo 9 para facilitar la obtención de la pendiente y de la deflexión envigas.

Finalmente, el diseño de vigas no prismáticas, esto es, vigas con seccióntransversal variable, se examinará en la sección 5.6. Seleccionandola formay el tamaño de la sección transversal variable de tal manera que el módulode sección elástico S = l/c varíe a lo largo de la longitud de la viga de lamisma maneraque IMI,es posible diseñar vigas para las que el esfuerzonor-mal máximo en cada sección sea igual al esfuerzo permisible del material.Tales vigas se conocen como vigas de resistencia constante.

5.2DIAGRAMAS DE CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR

Comose indicó en la sección 5.1, la determinaciónde los valores absolutosmáximosdel cortante y del momento flector en una viga se facilitan muchosiVy M se grafican contra la distancia x medida desde un extremo de la vi-ga.Además, como se verá en el capítulo 9, el conocimiento de M como unafunciónde x es esencial para la determinaciónde la flexión de una viga.

En los ejemplos y problemas modelo de esta sección, los diagramas decortantey de momento flector se obtendrán determinando los valores de V ydeMen puntos selectos de la viga. Estos valores se calcularán de la mane-rahabitual,es decir, efectuando un corte a través del punto donde deben serdeterminados(figura S.6a) y considerando el equilibrio de la porción devigalocalizadaen cualquiera de los lados de la sección (figura S.6b). Yaquelas fuerzas cortantes V y V I tienen sentidos opuestos, el registrar elcorteen el punto e con una flecha hacia arriba o hacia abajo no tendríasignificado,a menos que se indicase al mismo tiempo cuál de los cuerposlibresAC y CB se está considerando. Por esta razón, el corte V se registra-ráconun signo: un signo positivo si las fuerzas cortantes se dirigen comoseobservaen la figura S.6b, y un signo negativo en el caso contrario. Unaconvenciónsimilar se aplicará al momento flector M. Se considerará posi-tivosilos pares flectores se dirigen como se muestra en dicha figura, y ne-gativosen el caso contrario. t Resumiendo las convenciones de signos pre-sentados,se enuncia:

El cortante V y el momento flector M en un punto dado de una viga seconsideranpositivos cuando las fuerzas internas y los pares que actúan encadaporción de la viga se dirigen como se indica en la figura 5.7a.

Estas convenciones pueden recordarse más fácilmente si se advierte que

1. El cortante en cualquier punto dado de una viga es positivo cuandolas fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre la vigatienden a cortar la viga en ese punto como se indica en la figura5.7b.

2. El momento flector en cualquier punto dado de una viga es positi-vo cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden aflexionar la viga en ese punto como se muestra en la figura 5.7c.

Otra forma de recordar las conversiones es advertir que la situación des-critaen la figura 5.7, en la que los valores del cortante y del momento flec-torsonpositivos, es precisamente la situación que ocurre en la mitad izquier-dadeuna viga simplemente apoyada que lleve una carga única concentradaensu centro. Este caso particular se analiza por completo en el siguienteejemplo.

r.n!t5Jl~v

a) Fuerzas internas(corte positivo y momento flector positivo)

Figura 5.7

rI

b) Efecto de las fuerzas externas

(corte positivo)

tAdvierta que esta convención es la misma que se utilizó anteriormente en la sección 4.2.

5.2 Diagramas de cortante y de momento 311flector

a)

b)

Figura 5.6

L

e) Efecto de las fuerzas externas

(momento flector positivo)

EJEMPLO 5.01

Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para unaviga simplemente apoyada AB con claro L sometida a una cargaúnica concentrada P en su centro e (figura 5.8).

Primero se obtienen las reacciones en los soportes a partirdel diagrama de cuerpo libre de la viga entera (figura 5.9a); seencuentra que la magnitud de cada reacción es igual a P/2.

A continuación se corta la viga en un punto D entre A y ey se dibujan los diagramas de cuerpo libre de AD y de DB (figu-ra 5.9b). Suponiendo que el corte y el momento flector son posi-tivos, se dirigen las fuerzas internas V y V' Y los pares internosM y M' como se indica en la figura 5.7a. Considerando el cuer-po libre AD y escribiendo que la suma de las componentes verti-cales y que la suma de momentos alrededor de D de las fuerzasque actúan sobre el cuerpo libre son cero, se encuentra que V =+P/2 y que M = + Px/2. Tanto el cortante como el momento flec-tor son, por lo tanto, positivos. Esto puede verificarse observan-do que la reacción en A tiende a cortar y a flexionar la viga en Dcomo se indica en las figuras 5.7b y c. Ahora se grafican V y Mentre A y e (figuras 5.9d y e); el cortante tiene un valor constan-te V = PI2 mientras que el momento flector aumenta linealmen-te desde M = Oenx = OhastaM = PL/4enx = L/2.

Cortando ahora la viga en el punto E entre e y B Yconside-rando el diagrama de cuerpo libre EB (figura 5.9c) se escribe quela suma de los componentes verticales y la suma de los momen-tos con respecto a E actuando en el cuerpo libre son cero. Se ob-tiene V = - PI2 Y M = P(L - x)/2. El cortante es, por lo tanto,negativo y el momento flector, positivo. Esto puede verificarseobservando que la reacción en B flexiona a la viga en E como seindica en la figura 5.7c pero que tiende a cortarla en una maneraopuesta a la mostrada en la figura 5.7b. Ahora es posible comple-tar los diagramas de cortante y de momento flector de las figuras5.9d y e; el corte tiene un valor constante V = - PI2 entre e yB, mientras que el momento flector disminuye linealmente desdeM = PL/4 en x = L/2 hasta M = O en x = L.

p

itLA~

~Le

Figura 5.8

p1---1L iI 2

e :EB

a)

B

b)

Lx

e)

312

Figura 5.9

pV

Al 1111; ¡)M

M'(BRA= t p

V L-xl. x

. R =lpB 2e)V

L xtp,

tLI ,--p

d)

Adviertaque, del ejemplo anterior, cuando una viga se somete únicamente a car-gasconcentradas,el cortante es constante entre las cargas y el momento flector va-rialinealmenteentre las cargas. En tales situaciones, por lo tanto, es posible dibujarconfacilidadlos diagramas de cortante y de momento flector, una vez que los valo-resdeV y de M se han obtenido en secciones seleccionadas justo a la izquierda yjustoa laderechade los puntos donde las cargas y las reacciones se aplican (véase¡roblemamodelo 5.1).

5.2 Diagramas de cortante y de momento 313flector

EJEMPLO5.02

Dibujelos diagramas de cortante y de momento flector para unavigaAB en voladizo con un claro L que soporta una carga uni-fonnementedistribuida w (figura 5.10).

B

~Figura 5.10

L

Secorta la viga en un punto C entre A y B Y se dibuja el dia-gramade cuerpo libre de AC (figura 5.lla) dirigiendo V y Mcomose muestraen la figura 5.7a. Denotando con x la distan-ciadeAa C y reemplazando la carga distribuida sobre AC por suresultantewx aplicada en el punto medio de AC, se escribe

+f:¿Fy = O: -wx - V = O V = -wx

v

wx(~) + M = O1

M = --wx22 A

L

x

A

Seobservaque el diagrama de cortante se representa con una lí-nearectaoblicua (figura 5.llb) y el diagrama de momento flec-torconuna parábola (5.llc). Los valores máximos de Vy M ocu-rren,ambos,en B, donde se tiene

M

Figura 5.11

b) VB= - wLL

L.IB x

20kN 40kN PROBLEMA MODELO 5.1

r:J ;r Para la viga de madera cargada que muestra la figura, dibuje los diagramas de cortan-~---Lmm te y de momento flector y determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión.~~80mm

314

SOLUCiÓN

Reacciones. Considerando la viga entera como cuerpo libre, se encuentra que

RB = 40 kN t RD = 14 kN tDiagramas de cortante y de momento flector. Primero se determinan las fuer-

zas internas justo a la derecha de la carga de 20 kN en A. Considerando al muñón deviga a la izquierda del corte 1 como un cuerpo libre y suponiendo que V y M son po-sitivas (de acuerdo con la convención estándar), se escribe

+tLFy = O:+~LMI = O:

-20 kN - VI = O(20 kN)(Om) + MI = O

VI = -20 kNMI = O

A continuación se considera como cuerpo libre la porción de la viga a la izquier-da del corte 2 y se escribe

+tLFy = O:+~LM2 = O:

-20 kN - V2 = O

(20 kN)(2.5 m) + M2 = OV2 = - 20 kN

M2 = -50 kN . m

El cortante y el momento flector en los cortes 3, 4, 5 Y 6 se determinan de ma-nera similar a los diagramas de cuerpo libre que se muestran. Se obtiene

V3 =V4 =Vs =V6 =

+ 26 kN+ 26 kN-14 kN-14 kN

M3 = - 50 kN . mM4 = +28 kN .m

Ms = +28 kN .mM6 = O

Para las últimas secciones, los resultados pueden obtenerse más fácilmente conside-rando como cuerpo libre la porción de la viga a la derecha del corte. Por ejemplo,para la porción de la viga a la derecha del corte 4, se tiene

+tLFy = O: V4- 40kN + 14kN = O V4 = +26kN

+~LM4 = O: -M4 + (14kN)(2m) = O M4 = +28kN' m

Con estos datos, es posible graficar los seis puntos mostrados en los diagramasde cortante y de momento flector. Como se indicó anteriormente en esta sección, elcortante tiene valor constante entre cargas concentradas, y el momento flector varíalinealmente; se obtienen, por lo tanto, los diagramas de cortante y de momento flec-tor mostrados.

Esfuerzo normal máximo. Ocurre en B, donde IMI es máximo. Se utiliza laecuación (5.4) para obtener el módulo de sección

s = ibh2 = i(0.080 m)(0.250 m? = 833.33 X 10-6 m3

Sustituyendo este valor y IMI = IMBI = 50 X 103 N . m en la ecuación (5.3):

(50 X 103N . m) = 60.00 X 106 Pa833.33 X 10 6

Esfuerzo normal máximo en la viga = 60.0 MPa ....

10 kips3ft 2ft. 3ft

20 kips . ft

318 kips . ft

)10 kips 34 kips

11 ft 16 ft

- 24 kips

-34 kips

M

PROBLEMA MODELO 5.2

La estructura mostrada en la figura consiste de una viga WIO X 112 de acero lami-nado AB y de dos elementos cortos soldados y añadidos a la viga. a) Dibuje los dia-gramas de cortante y de momento flector para la viga y la carga dada. b) Determineel esfuerzo normal máximo en las secciones justo a la izquierda y justo a la derechadel punto D.

SOLUCiÓN

Carga equivalente de la viga. La carga de 10 kips se reemplaza por un sis-tema equivalente de fuerza-par en D. La reacción en B se determina considerando laviga como un cuerpo libre.

a. Diagramas de cortante y de momento flector

De A a C. Se determinan las fuerzas internas a una distancia x del punto Aconsiderando la porción de la viga a la izquierda del corte l. La parte de la carga dis-tribuida que actúa sobre el cuerpo libre se reemplaza por su resultante, y se escribe


-3x - V = O

3x(!x) + M = OV = -3x kipsM = -1.5~ kips . ft

Como el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura puede utilizarse para todoslos valores de x menores de 8 ft, las expresiones obtenidas para V y M son válidasen la región O < x < 8 ft.

De e a D. Considerandola porciónde la viga a la izquierdadel corte2 y reem-plazando nuevamentela carga distribuida por su resultante, se obtiene


-24 - V = O

24(x - 4) + M = OV = -24 kips

M = 96 - 24x kip.ft

Estas expresiones son válidas en la región 8 ft < x < 11 ft.

xDe D a B. Utilizando la posición de la viga a la izquierda del corte 3, se ob-

tiene para la región 11 ft < x < 16 ft

V = -34 kips M = 226 - 34x kip . ft

Ahora es posible graficar los diagramas de cortante y de momento flector para todala viga. Se advierte que el par con momento 20 kips . ft aplicado en el punto D in-troduce una discontinuidad en el diagrama de momento flector.

x b. Máximo esfuerzo normal a la izquierda y a la derecha del punto D. Delapéndice C se encuentraque para un perfil WIO X 112 de acero laminado,S = 126in.3alrededor del eje x-x.

A la izquierda de D: Se tiene IMI = 168 kips . ft = 2016 kips . in. Sustitu-yendo IMI y S en la ecuación (5.3), se escribe

IMI 2016 kips . in.. .(Tm= _S = . 3 = 16.00ksl (Tm= 16.00 kSl ....126m.

A la derecha de D: Se tiene IMI = 148 kips . ft = 1 776 kips . in. Sustituyen-do IMIy S en la ecuación (5.3), se tiene

IMI 1 776 kips . in.(T = - = = 14.10 ksi (T = 14.10 ksi ....

m S 126 in.3 m

315

PROBLEMAS

5.1 a 5.6 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) tracelosdiagramasde cortante y de momento flector,b) determine las ecuacionesde lascurovas de cortante y de momento flector.

p

w

Figura P5.1 Figura P5.2

5.7 Y 5.8 Trace los diagramas de cortante y de momento flector paralavigay las cargas que se muestran en la figura, y determine el máximo valor absolutodea) el cortante, b) el momento flector.

48 kN 60kN24 kN 24 kN 24 kN 24 kN

60kN

e D E e D E FA B A B

[ls.llsmJlj 0.6m [email protected] = 3m ~¡~.. .1

0.75m


316

Wo W

A B A B

l. L L .1


5.9 Y 5.10 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la vigaylascargasmostradas en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) del cor-lante,b) del momento flector.

3 kips/ft

rTTTTTTTTlc1..: . -

L6ft

Figura P5.9

30 kips

B

~~3 ft-J

5.11 Y 5.12 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la vigaylascargasque se muestran en la figura, y determine el máximo valor absoluto a)delcortante,b) del momento flector.

250 mm 250 mm 250 mm

l' '1' '1' '1

75N

Figura P5.11

75 N

5.13 Y 5.14 Suponiendo que la reacción del suelo se encuentra uniformementedistribuida,trace los diagramas de cortante y de momento flector para la viga AB ydetennineel máximo valor absoluto a) del cortante, b) del momento flector.

36 kN

A

10 kN/m

ErTTlS-'.: .~ B

'LLLU0.9m 0.9m 0.9m 0.9m

Figura P5.13

Problemas 317

15 kips

BA

L4 ft--L4 ft I-4 ft

Figura P5.10

400 lb 1 600 lb 400 lb

A

12 in. 12 in.

Figura P5.12

3 kips 3 kips

DBA.I .. .

., ..: . . T íl---!--4.5 ft-! 11.5ft 1.5ft

Figura P5.14


750 lb I 900lb

A~!C ~B

Figura P5.15

25 25 10 10 10kN kN kN kN kN

[email protected] = 2.25mJ

Figura P5.19

GB I

S200 x 27.4

5.15 Y 5.16 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, determineel esfuerzo normal máximo debido a la flexión sobre un corte transversal en C.

lOkN100 mm

3 kN/m 1-1

. ~~ I~mI J I 2.2m ., 1.5m 1.5m

Figura P5.16

5.17 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, determine eles-fuerzo normal máximo debido a la flexión sobre un corte transversalen C.

25 kips 25 kips

.iJ..

e D

A~

2~

W16x 77

I2.5 ft.

-- 2.5ft.

Figura P5.17

5.18 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, determine el es.fuerzo normal máximo debido a la flexión sobre la sección a-a.

30 kN 50 kN 50 kN 30 kN

Figura P5.18

5.19Y 5.20 Parala viga y las cargas que se muestran en la figura, detennineel esfuerzo normal máximo debido a la flexión sobre un corte transversal en C.

6kN4 kN/m

BXW310 x 32.7

Figura P5.20

5.21 Y 5.22 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para laligaylascargasque se muestran en la figura, y determine el esfuerzo normal má-umodebidoa la flexión.

I512 x 35

5.23 Y 5.24 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la'igay las cargas mostradas en la figura, y determine el esfuerzo normal máximo de-,idoa la flexión.

9 kN/m

150 kN150 kN

e' DA'

.~

~.

tA:2.4 mJ

08m 08m0.8m

Figura P5.22

40 kN/m25 kN . m 15 kN . m

r: . .;)

..L24mJ,J

deW200 x 22.5

2m

Figura P5.23

2m 2m

Figura P5.24

5.25 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y lasargasmostradasen la figura, y determine el esfuerzo normal máximo debido a lalexión.

5 kips 10 kips

A

W14 x 22

Figura P5.25

Problemas 319

IW460 X 113

W310 X 38.7


L

5.26 Sabiendoque P = 10 kN, trace los diagramas de cortante y de momentoflector para la viga AR, y determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexiÓII.

5.27 Determine a) la magnitud de la fuerza ascendente P cuyo valor absolulomáximo del momento flector en la viga es lo más pequeño posible, b) el esfuenonormal máximo correspondientedebido a la flexión. (Sugerencia:Trace el diagrarn¡de momento flector e iguale los valores absolutos de los máximos momentos flecto-res positivo y negativo obtenidos.)

p 9kN

E B W310 x 23.8J:

Figura P5.26 Y P5.27

5.28 Determine a) la distancia a cuyo máximo valor absoluto del momentoflector sobre la viga es lo más pequeño posible, b) el esfuerzo normal máximoco-rrespondiente debido a la flexión. (Vea la sugerencia del problema 5.27.)

5 kips 10 kips

e D

A~-__ '~JB

La-L 8ft15 ftJW14x 22

Figura P5.28

5.29 Para la viga y las cargas mostradas en la figura, determine a) la distan-cia a cuyo máximo valor absoluto del momento flector en la viga es lo más pequeñoposible, b) el esfuerzo normal máximo correspondiente debido a la flexión. (Vealasugerencia del problema 5.27.)

500 kN

i500rnrn e

500 kN 12 rnrn

500 rnrn-1 1-1

B I~rn

Figura P5.29

5.30 Y 5.31 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para lavigay lascargas que se muestran en la figura, y calcule el esfuerzo normal máximodebidoa la flexión.

Problemas 321

Figura P5.30

W12 x 40

Figura P5.31

5.32 Una barra sólida de acero tiene una sección cuadrada de lado b y estáapoyadacomo se observa en la figura. Sabiendo que para el acero p = 7 860 kg/m3,determinela dimensión b de la barra para la que el esfuerzo normal máximo debidoalaflexiónes a) de \O MPa, b) de 50 MPa.

A eb

D B H;- I r]:Jh

~1.2rnJFigura P5.32

5.33 Una varilla sólida de acero con diámetro d está apoyada como se indicaenla figura. Sabiendo que para el acero y = 490 Ib/ft3, determine el mínimo diá-metrod que puede utilizarse cua.ndo el esfuerzo normal debido a la flexión no debeexcederde 4 ksi.

el

BH.~~

A

.l:~L=lOft

Figura P5.33


D

a)

b)

Figura 5.12

5.3 RELACIONES ENTRE LA CARGA, EL CORTEV EL MOMENTO FLECTOR

Cuando una viga lleva más de dos o tres cargas concentradas, o cuandolIe.va cargas distribuidas, el método explicado en la sección 5.2 para graficarelcortante y el momento flector resulta muy complicado. La construcción deldiagrama de cortante y, especialmente, del diagrama de momento flectorsefacilitará en gran medida si se toman en consideración ciertas relacionesqueexisten entre la carga, el cortante y el momento flector.

Considere una viga simplemente apoyada AB que lleva una carga distri.buida w por unidad de longitud (figura 5.12a), y sean C y C' dos puntosenla viga a una distancia Lh uno del otro. El cortante y el momento flectorenC se denotarán por V y por M, respectivamente, y se supondrán positivos;elcortante y el momento flector en C' se denotarán por V + ~ V Y por Mt~M.

Ahora se desprende la porción de viga CC' y se dibuja su diagramadecuerpo libre (figura 5.12b). Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre inclu.yen una carga de magnitud w Lh y fuerzas y pares internos en C y en C'.Yaque el corte y el momento flector se han supuesto positivos, las fuerzas ypa.res se dirigirán como se indica en la figura.

Relaciones entre la carga y el cortante. Escribiendo que la suma delascomponentes verticales de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC'son cero, se tiene que

V - (V + ~ V) - w ~x = O~ V = -w ~x

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre Lh y haciendo que fli seaproxime a cero, se tiene que

dV

dx - -w (5.5)

La ecuación (5.5) indica que, para una viga cargada como se muestra enlafigura 5.12a, la pendiente dV/dx de la curva de cortante es negativa; el valornumérico de la pendiente en cualquier punto es igual a la carga por unidadde longitud en dicho punto.

Integrando la ecuación (5.5) entre los puntos C y D, se escribe

fXD

VD - Ve = - w dxXc

(5.6)

VD - Ve = -(área bajo la curva de carga entre C y D) (5.6')

Advierta que este resultado también podría haberse obtenido considerandoelequilibrio de la porción de viga CD, ya que el área bajo la curva de cargare-presenta el total de la carga aplicada entre C y D.

Debe tambiénobservarseque la ecuación (5.5) no es válida en un puntodonde se aplique una carga concentrada; la curva de cortante es discontinuaen tal punto, como se vio en la sección 5.2. De manera similar, las ecuacio.nes (5.6) y (5.6') dejan de ser válidas cuando se aplican cargas concentradasentre C y D, debido a que no consideran el cambio súbito en el cortante cau.sado por la carga concentrada. Por lo tanto, las ecuaciones (5.6) y (5.6') de-berán aplicarse sólo entre cargas concentradas sucesivas.

~elacionesentre el cortante y el momento flector. Regresandoal diagra-13decuerpolibre de la figura 5.12b, y escribiendo ahora que la suma deIOmentosalrededor de e' es cero, se tiene

5.3 Relaciones entre la carga, el corte 323y el momento flactor

Llx(M + LlM) - M - V Llx + w Llx- = O2

1LlM = V Llx - -w (LlX)22

Dividiendoambos miembros de la ecuación entre Llx y haciendo que Llx se~roximea cero, se obtiene

dM

dxV (5.7)

Laecuación(5.7) indica que la pendiente dM/dx de la curva de momento!lectores igual al valor del cortante. Esto es cierto en cualquier punto don-reel cortante tenga un valor bien definido, esto es, en cualquier puntodondeno se encuentre aplicada una carga concentrada. La ecuación (5.7) tam-

~énmuestra que V = O en puntos donde M es máximo. Esta propiedad fa-ilitala determinación de los puntos donde es posible que la viga falle bajokxión.

Integrandola ecuación (5.7) entre los puntos e y D, se escribe

fXO

MD - Me = V dxXc

(5.8)

MD - Me = área bajo la curva de cortante entre e y D (5.8')

Notequeel área bajo la curva de cortante deberá considerarse positiva don-deel esfuerzo cortante es positivo y negativa donde el esfuerzo cortante es

negativo.Las ecuaciones (5.8) y (5.8') son válidas aun cuando se aplican car-gasconcentradas entre e y D, en tanto la curva de cortante haya sido correc-

lamentedibujada. Las ecuaciones dejan de ser válidas, sin embargo, si un par\eaplicaenun punto entre e y D, ya que no tomanen consideraciónel cam-,iosúbitoen momento cortante causado por un par (véase problema mode-05.6).

EJEMPLO 5.03

'bujelos diagramas de cortante y de momento flector para la'gasimplementeapoyada mostrada en la figura 5.13 y obtenga11máximo valor del momento flector.

IV

Deldiagrama de cuerpo libre de la viga completa, se deter-'nala magnitud de las reacciones en los apoyos.

IV

continuación,se dibuja el diagrama de cortante. Cerca del ex-moA de la viga, el cortante es igual a RA, es decir, a !wL, co-

~puedeverificarseconsiderandocomo diagramade cuerpo li-tt:unamuy pequeña porción de la viga. Utilizando la ecuación

A B

RA= tIVL

Figura 5.13

(5.6), se detennina entonces el cortante Va cualquier distancia xdesde A, escribiendo

V - VA= - fWdx = -wxo

V = VA- WX = !wL - wx = w(!L - x)

La curva de corte es, por tanto, una recta oblicua que cruza el ejex en x = U2 (figura 5.l4a). Considerando, ahora, el momento

flector, primero se observa que MA = O.El valor M del momen-to flector a cualquier distancia x desde A puede obtenerse de laecuación (5.8); se tiene

1 M¡wL2L--------

a)

M = fW(!L - x)dx = !w(Lx - r)o

xLb)

La curva del momento flector es una parábola. El máximo valordel momento flector ocurre cuando x = U2, ya que V (y por tan-to dM/dx) es cero para tal valor de x. Sustituyendo x = U2 en laúltima ecuación, se obtiene Mmáx= wL2/8 (véase figura 5.l4b).

Figura 5.14

En la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, se necesita saber el valordel momento flector sólo en unos cuantos puntos específicos. Una vez quese ha dibujado el diagrama de cortante, y después de que ha sido determina.do M en uno de los extremos de la viga, el valor del momento flectorpuedeobtenerse en cualquier punto dado calculando el área bajo la curva decorotante y utilizando la ecuación (5.8'). Por ejemplo, como MA = O para lavi.ga del ejemplo 5.03, el valor máximo del momento flector para esa vigaseobtiene sencillamente midiendo el área del triángulo sombreado en el diagra.ma de cortante de la figura 5.14a. Se tiene

1 L wL wL 2M ------máx-222 - 8

Se advierte que, en este ejemplo, la curva de carga es una recta horizon.tal, la curva de cortante es una recta oblicua y la curva del momentotlectores una parábola. Si la curva de carga hubiese sido una recta oblicua (primergrado), la curva de cortante habría sido una parábola (segundo grado) y lacurva del momento flector una cúbica (tercer grado). Las curvas de cortantey de momento flector siempre serán, respectivamente, uno y dos grados másaltas que la curva de carga. Con esto en mente, es posible bosquejar los dia.gramas de cortante y de momento flector sin determinar, en realidad, lasfun.ciones V(x) y M(x), una vez que se han calculado algunos valores del cortan.te y del momento flector. Los bosquejos obtenidos serán más exactos siseutiliza el hecho de que, en cualquier punto donde las curvas son continuas.la pendiente de la curva de corte es igual a -w y la pendiente de la curvade momento flector es igual a V.

324

- -- --

Al B""' C "~D pm!DE

l6 [tI S[tL 10ft-=Ls [tJ

PROBLEMA MODELO 5.3

Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y carga repre-sentadas en la figura.

4 [t--p--:12 kips SOLUCiÓN

lB IC D t

jE

Ay+-+ D

l' :0".,8,r\2"'" /Or.1::."A~ 1.~,-lJ:WE

1111

18kips I i

WJ)M~v

26kips

]8kips

l' (kips)I

+18(+lOS) (+4S)+12

(-16)

2(-140)

-14

.1/(kip . [t) '+ lOS I

+92

Reacciones. Considerando la viga entera como cuerpo libre, se escribe

+~ "LMA = O:D(24 ft) - (20 kips)(6 ft) - (12 kips)(14 ft) - (12 kips)(28 ft) = O

D = +26 kips D = 26 kipst

+t "LFy= O: Al"- 20 kips - 12 kips + 26 kips - 12 kips = OAv = + 18 kips Al"= 18kipst

+ - .+ "LFx = O: Ax = O A x = O

También se advierte que tanto en A como en E el momento flector es cero; de estamanera, dos puntos (indicados por puntos gruesos) se obtienen en el diagrama de mo-mento flector.

Diagrama de cortante. Ya que dV/dx = - W, se encuentra que entre las car-gas concentradas y las reacciones la pendiente del diagrama de cortante es cero (esdecir, el esfuerzo cortante es constante). El cortante en cualquier punto se determinadividiendo la viga en dos partes y considerando cualquiera de las partes como cuer-po libre. Por ejemplo, utilizando la porción de la viga a la izquierda del esfuerzo cor-tante 1, se obtiene el corte entre B y C:

+t "LFy= O: v = - 2 kips+ 18 kips - 20 kips - V = O

También se encuentra que el esfuerzo cortante es de + 12 kips justo a la derecha deD y cero en el extremo E. Como la pendiente dV/dx = - W es constante entre D yE, el diagrama de cortante entre estos dos puntos es una línea recta.

xDiagrama de momento flector. Recuerde que el área bajo la curva de cortan-

te entre dos puntos es igual al cambio en el momento flector entre los mismos dospuntos. Por conveniencia, el área de cada porción del diagrama de cortante se calcu-la e indica entre paréntesis en el diagrama. Debido a que el momento flector MA enel extremo izquierdo es cero, se escribe

x

MB - MA = + 108Me - MB = -16

Mv - Me = -140

ME - Mv = +48

MB = + 108 kips . ft

Me = +92 kips . ft

Mv = -48 kips . ftME = O

Ya que ME es cero, se obtiene una verificación de los cálculos.Entre las cargas concentradas y las reacciones el cortante es constante; por tan-

to, la pendiente dM/dx es constante y el diagrama de momento flector se dibuja co-nectando los puntos conocidos con líneas rectas. Entre D y E, donde el diagrama decortante es una recta oblicua, el diagrama de momento flector es una parábola.

De los diagramas de V y de M se advierte que Vmáx= 18 kips y Mmáx = 108kips . ft.

325

20 kN/m

e

40kN

x

40kN

x

326

PROBLEMA MODELO 5.4

La viga W360 X 79 de acero laminadoAC está simplementeapoyaday portalacar-ga uniformemente distribuida que se muestra en la figura. Dibuje los diagramasdecortante y de momento flector para la viga y determine la localización y magnituddel esfuerzo normal máximo debido a la flexión.

SOLUCiÓN

Reacciones. Considerando la viga entera como cuerpo libre, se encuentra que

RA = 80 kN t Re=40kNt

Diagrama de cortante. El cortante justo a la derecha de A es VA = +80 kN.Como el cambio en el cortante entre dos puntos es igual al valor negativodeláreabajo la curva de carga entre los dos mismos puntos, se obtiene VBescribiendo

VB - VA = -(20 kN/m)(6 m) = -120 kN

VB = -120 + VA= -120 + 80 = -40kN

Siendo la pendiente dV/dx = - w constante entre A y B, el diagrama de cortanteen-tre estos dos puntos se representa por una recta. Entre B y C, el área bajo lacurvade carga es cero; por tanto,

Ve = VB = -40 kN

yel corte es constante entre B y C.

Diagrama de momento flector. Se advierte que el momento flector encadaextremo de la viga es cero. Para determinar el momento flector máximo, se localizael corte D de la viga donde V = O.Se tiene

VD - VA = -wx

O - 80 kN = -(20 kN/m)x

y, despejando x: x = 4m <iI

El momento flector máximo ocurre en el punto D, donde se tiene que dM/dx = V=O.Las áreas de las diversasporcionesdel diagramade cortante se calculany dan(en-tre paréntesis) en el diagrama. Como el área del diagrama de cortante entre dos pun-tos es igual al cambio en el momento flector entre los mismos dos puntos,sees-cribe

MD - MA = +160kN. mMB - MD = - 40kN. mMe - MB = -120kN . m

MD = +160kN. mMB = +120kN. mMe = O

El diagrama de momento flector consiste en un arco de parábola seguido de un seg-mento de recta. La pendiente de la parábola en A es igual al valor de V en ese punto.

Esfuerzo normal máximo. Ocurre en D, donde IMI es máximo. Del apéndi-ce C se encuentra que para un perfil de acero laminado W360 X 79, S = 1 280 mmJalrededor de un eje horizontal. Sustituyendo este valor y IMI= 1MDI = 160 X 103N . men la ecuación (5.3), se escribe

1MDI 160 X 103N . m = 125.0 X 106Pau m = S = 1 280 X 10 6 m3

Esfuerzo normal máximo en la viga = 125.0 MPa <iI

J

PROBLEMA MODELO 5.5

Bosqueje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga en voladizoque se muestra en la figura.

SOLUCiÓN

Diagrama de cortante. En el extremo libre de la viga, se encuentraque VA=O.Entre A y B, el área bajo la curva de carga es !woa; se encuentra V8 escribiendo

Entre B Y C, la viga no se encuentra cargada, por tanto, Ve = V8. En A, se tiene quex W = Woy, de acuerdo con la ecuación (5.5), la pendiente de la curva de cortante es

dV/dx = - wo, mientras que en B la pendiente es dV/dx = O.Entre A y B, la cargadecrece linealmente, y el diagrama de cortante es parabólico. Entre B y C, W = O, Y

_lw a el diagrama de cortante es una línea horizontal.2 o

.1/

--/¡woa(3L - a)

JI

-T(l - Í)

Diagrama de momento flector. El momento flector MA en el extremo libre dela viga es cero. Se calcula el área bajo la curva de cortante y se escribe

xM8 - MA = -!woa2 M8 = -!woa2Me - M8 = -!woa(L - a)

Me = -kwoa(3L - a)

El bosquejo del diagrama de momento flector se completa recordando que dMldx =V. Se encuentra que entre A y B el diagrama se representa con una curva cúbica conpendiente cero en A, y entre B y C con una línea recta.

PROBLEMA MODELO 5.6

La viga sencilla AC está cargada por un par con momento T aplicado en el punto B.Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector de la viga.

SOLUCiÓN

Considerando la viga entera como un cuerpo libre, se obtienex

TRA = - tL

TRe= i..J,

x

El cortante en cualquier sección es constante e igual a TIL. Como un par se aplicaen B, el diagrama de momento flector es discontinuo en B; se representa por dos rec-tas oblicuas y disminuye repentinamente en B por una cantidad igual a T.

327

PROBLEMAS

5.34 Utilice el método de la sección 5.3 para resolver el problema 5.la.

5.35 Utilice el método de la sección 5.3 para resolver el problema 5.2a.








5.43 Utilice el método de la sección 5.3 para resolver el problema 5. lOa.

5.44 Y 5.45 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para laviga y las cargas que se muestran en la figura, y determine el máximo valor absolutoa) del cortante, b) del momento flector.

3.5 kN/m

240 mm 240 mm 240 mm

l' ~I' ~I' '1

60 mm -1 '- 60 mm

Figura P5.44

120 N

Figura P5.45

120 N

5.46 Utilice el método de la sección 5.3 para resolver el problema 5.15.




328

5.50Y 5.51 Detennine a) las ecuaciones de las curvas de cortante y de mo-'!lentoflectorpara la viga y las cargas que se muestran en la figura, b) el máximo,~orabsolutodel momento flector en la viga.

ww = Wo sen 1TX

L

x

Figura P5.50

5.52 Determine a) las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flec-IOrparala vigay las cargas que se muestran en la figura, b) el máximo valor abso-lutodelmomentoflector en la viga.

Bx

Figura P5.52

5.53 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, detennine las ecua-¡ionesde las curvas de cortante y de momento flector y el máximo valor absolutodelmomentoflector en la viga, sabiendo que a) k = 1, b) k = 0.5.

x

- kwo ~ L

Figura P5.53

Problemas 329

A

1TX

W = Wo cos 2L

Figura P5.51


04m

Figura P5.54

W250 x 49.1

3 kips/ft

~c .. 12M;."L L

i1 no;n8ft --+-Jf--

Figura P5.56 4 ft -1 3 in.

2.4 kips

o~8m.

5.54 Y 5.55 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para lavi!.y las cargas que se muestran en la figura, y determine el esfuerzo normal máxinxdebido a la flexión.

16 kN/m

1SISO x 18.6

Figura P5.55

5.56 Y 5.57 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para lavir,y las cargas que se muestran en la figura, y determine el esfuerzo normal máxilJl()debido a la flexión.

2 kips/ft6 kips

BXW8x 31

Figura P5.57

5.58 Y 5.59 Trace los diagramas de cortante y de momento flector paralaviga y las cargas que se muestran en la figura, y calcule el esfuerzo normal máximodebido a la flexión.

6 kips/ft 9 kips

Al .. .~B I~ IC D$ I W12x26~8ft~

2ft 2ftFigura P5.59

5.60Y5.61 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la vigaylascargasque se muestran en la figura, y determine el esfuerzo normal máximodebidoa la flexión.

250 kN 250 kN

B

J:\V41O X 114

Figura P5.60

*5.62 La viga AB soporta dos cargas concentradas P y Q. El esfuerzo normaldebidoa la flexiónen el borde inferior de la viga es de +55 MPa en D y de +37.5MPaenF. a) Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la viga. b)Detennineel esfuerzo normal máximo debido a la flexión que ocurre en la viga.

0.2m

lto'5m~0'5m lI cf D E FA .'. . B

U Lj0.4 m 0.3 m

Figura P5.62

24mm

-1Q

_ 60 mmt

*5.63 La viga AB soporta una carga uniformemente distribuida de 480 lb/ft YlOScargasconcentradas P y Q. El esfuerzo normal debido a la flexión en el borde

linferiordel patín inferior es de + 14.85 ksi en D y de + 10.65 ksi en E. a) Trace losliagrarnasde cortante y de momento flector para la viga. b) Determine el esfuerzoifn1a1máximodebido a la flexión que ocurre en la viga.

I\V8 x 31

1.5 ft 1.5 ft

8 ft

Figura P5.63

1" ,B JC

'400 mm' L 600 mm

Figura P5.61

Problemas 331

2kN

J:5100 x 11.5

332 Análisis y diseño de vigas para flexión *5.64 La viga AB soporta una carga uniformemente distribuida de 2 kN/rny dos cargas concentradas P y Q. Experimentalmente se ha determinado quelosesfuerzos normales debidos a la flexión en el borde inferior del patín inferiordela viga son de -56.9 MPa en A y de -29.9 MPa en C. Trace los diagramasdecortante y de momento flector para la viga y determine las magnitudes de lascaro

gas P y Q.

P Q

5.4 DISEÑO DE VIGAS PRISMÁTICAS A LA FLEXIÓN

Como se indicó en la sección 5.1, el diseño de una viga se controla, porlogeneral, mediante el máximo valor absoluto IMImáxdel momento flector queocurrirá en la viga. El esfuerzo normal máximo a m en la viga se encuentraen la superficie de ésta en la sección crítica donde ocurre IMImáx'Yse ob.tiene sustituyendo IMlmáxpor IMIen la ecuación (5.1) o en la ecuación (5.3).tSe escribe

am -IMImáxe

1 (5.1',5.3/)IMlmáx

am = S

Un diseño seguro requiere que a m :5 a perm'donde a permes el esfuerzo peromisible para el material utilizado. Sustituir a permpor a men la ecuación (5.3/)y despejar S resulta en el mínimo valor permisible del módulo de secciónpara la viga que se diseña:

IMlmáx

Smín = a perm(5.9)

El diseño de los tipos comunes de vigas, como las de madera de seccióntransversal rectangular y las de acero laminado con diversos perfiles de seco

ción transversal, se considerará en esta sección. Un procedimiento adecuadodebe conducir al diseño más económico. Esto significa que, entre vigasdelmismo tipo y del mismo material, siendo iguales otros factores, la vigaconel mínimo peso por unidad de longitud -y, por tanto, la mínima seccióntransversal- será la que deba elegirse, pues será la menos costosa.

tPara vigas que no son simétricas con respecto a su superficie neutra, la mayor de las distancias

desde la superficie neutra hasta las superficies de la viga deberá utilizarse para e en la ecuación (5.1)

y en el cálculo del módulo de sección S = l/c.

Elprocedimiento de diseño incluirá los siguientes pasos:t

1. Primero determine el valor de (Tpennpara el material seleccionado apartir de una tabla de propiedades de materiales o de especificacio-nes de diseño. También puede calcularse este valor dividiendo la re-sistencia última (Tu del material entre un factor de seguridad apro-piado (véase sección 1.13). Suponiendo, por el momento, que el valorde (Tpennes el mismo a tensión y a compresión, proceda como se in-dica a continuación.

2. Dibújese los diagramas de cortante y de momento flector correspon-dientes a las condiciones especificadas de carga, y determine el má-ximo valor absoluto IMImáxdel momento flector en la viga.

3. Obtenga, de la ecuación (5.9), el valor mínimo permisible Smíndelmódulo de sección de la viga.

4. Para una viga de madera, el espesor h de la viga, su ancho b o la ra-zón h/b que caracteriza la forma de su sección transversal probable-mente habrán sido especificados. Las dimensiones desconocidas pue-den seleccionarse recordando, de la ecuación (4.19) de la sección 4.4,que b y h deben satisfacer la relación tbh2 = S ;::: Smín-

5. Para una viga de acero laminado, consulte la tabla apropiada en elapéndice C. De las secciones disponibles de la viga sólo deben con-siderarse aquellas que tienen un módulo de sección S ;:::Smíny debeseleccionarse de este grupo la sección que presente el peso más pe-queño por unidad de longitud. Ésta será la sección más económicapara la que S ;:::Smín'Note que no es, necesariamente, la sección quetenga el valor más pequeño de S (véase ejemplo 5.04). En algunoscasos, la elección de una sección se verá limitada por otras conside-raciones, como, por ejemplo, el espesor permisible de la seccióntransversal o la deflexión permisible de la viga (véase capítulo 9).

Elanálisis anterior se restringió a materiales para los que (Tpermes el mis-moa tensióny a compresión. Si (Tpermes diferente a tensión y a compresión,debetenersela seguridad de que la sección de la viga se ha seleccionadodetalmaneraque (Tm :5 (Tpenntanto para los esfuerzos a tensión como a com-presión.Si la sección transversal no es simétrica con respecto a su eje neu-tro,losesfuerzos máximos a tensión y a compresión no se producirán, nece-sariamente,en la sección donde IMI sea máximo. Uno puede ocurrir dondeMesmáximo y el otro donde M es mínimo. Por tanto, el paso 2 deberá in-cluirladeterminacióntanto de Mmáxcomo de Mmín,Yel paso 3 deberá mo-dificarsepara tener en cuenta tanto los esfuerzos de tensión como de com-presión.

Finalmente, tenga en mente que el procedimiento de diseño descrito enestasecciónsólo toma en cuenta los esfuerzos normales que ocurren en lasuperficiede la viga. Las vigas cortas, en especial las hechas de madera, pue-denfallara cortante bajo carga transversal. La determinación de los esfuer-zoscortantesen vigas se estudiará en el capítulo 6. También, en el caso delasvigasde acero laminado,pueden ocurrir esfuerzosnormales mayores quelosconsideradosaquí en las uniones del alma con los patines. Esto se anali-zaráen el capítulo 8.

tSe ha supuesto que todas las vigas consideradas en este capítulo están adecuadamente soporta-

dasparaevitar el pandeo lateral, y que se suministran placas de apoyo bajo cargas concentradas apli-cadasa vigas de acero laminado para evitar el pandeo localizado (lisiado) del alma.

5.4 Diseño de vigas prismáticas a la flexión 333

EJEMPLO 5.04

Seleccione una viga de patín ancho para soportar la carga de ISkips como se indica en la figura S.IS. El esfuerzo normal permi-sible para el acero utilizado es de 24 ksi.

15 kips

4. Con referencia a la tabla Propiedades de perfiles deaCt.ro laminado en el apéndice C, se observa que losperfi.les se ordenaron en grupos con el mismo espesor yqU!en cada grupo se presentan en orden de peso decre.ciente. Se elige en cada grupo la viga más ligeraqU!tenga un módulo de sección S = l/c por lo menos l3iIgrande como Smíny se registran los resultados en lasi.guiente tabla.

8ft 1B

Figura 5.15

1. El esfuerzo normal permisible es dado: (1penn= 24 ksi.

2. El esfuerzo cortante es constante e igual a IS kips. Elmomento flector es máximo en B. Se tiene que

IMlmáx= (IS kips)(8 ft) = 120 kips . ft = 1440 kips . in.

IMlmáx_ 1440 kips . in. = 60.0 in.3Smín= _(1 - 24 ksipenn

El más económico es el perfil W 16 x 40, ya que sólo pesa 40lb/ft, aun cuando presente un módulo de sección mayor quedosde los otros perfiles. También se advierte que el peso total delaviga será de (8 ft) x (40 lb) = 320 lb. Este peso es pequeño comoparado con la carga de-IS 000 lb Y puede despreciarse en el aná-lisis.

3. El mínimo módulo de sección permisible es

*Diseño por carga y factor de resistencia. Este método alterno para eldi-seño se describióbrevementeen la sección 1.13 y se aplicó a elementosbajocarga axial. Es posible aplicarlo con facilidad al diseño de vigas en flexión.Reemplazando en la ecuación (1.26) las cargas PD, PL Y Pu, respectivamen-te, por los momentos flectores MD, ML YMu, se escribe

(5.10)

Los coeficientes "tDy "tLse conocen como los factores de carga y el coefi-ciente cf> como el factor de resistencia. Los momentos MDYML son los mo-mentos flectores debidos, respectivamente, a las cargas muertas y vivas, mien-tras que M u es igual al producto de la resistencia última del material (TuYelmódulo de sección S de la viga: Mu = Suu.

334

Perfil S, in.3

W21 x 44 81.6W18 x 50 88.9W16 x 40 64.7W14 x 43 62.7W12 x 50 64.7W10 x 54 60.0

4.5 kipsPROBLEMA MODELO 5.7400lb/ft

mmTTTlB,~~ ~

Una viga de madera con un tramo en voladizo de 12 ft de longitud con un claro de8 ft AB se diseñará para soportar las cargas distribuidas y concentradas que se mues-tran en la figura. Sabiendo que se utilizará madera de ancho nominal de 4 in. (anchoreal de 3.5 in.) con un esfuerzo permisible de 1.75 ksi, determine el espesor mínimorequerido h de la viga.>-8ft

SOLUCiÓN4.5 kips

Reacciones. Considerando la viga en su totalidad como cuerpo libre, se es-cribe

"

B

I

+~~MA = O:B(8 ft) - (3.2 kips)(4 ft) - (4.5 kips)(12 ft) = OB = 8.35 kips B = 8.35 kips t

~~Fx = O: Ax = O

4.50 +t~Fy = O:Ay + 8.35 kips - 3.2 kips - 4.5 kips = Okips Ay = -0.65 kip A = 0.65 kip,J..

(+18)

eDiagrama de cortante. El cortantejusto a la derechadeA es VA= Av = -0.65

kip. Ya que el cambio en cortante entre A y B es igual a menos el área bajo la curvade carga entre estos dos puntos, se obtiene VBescribiendo

-3.85 kips VB - VA = -(400 lb/ft)(8 ft) = -3200 lb = -3.20 kips

VB = VA - 3.20 kips = -0.65 kip - 3.20 kips = -3.85 kips.

La reacción en B produce un súbito incremento de 8.35 kips en V, lo que resulta enun valor del cortante igual a 4.5 kips a la derecha de B. Como no se aplica carga en-tre B y e, el cortante permanece constante entre estos dos puntos.

Determinación de IMlmáx' Primero se observa que el momento flector es iguala cero en ambos extremos de la viga: MA = Me = O.Entre A y B el momentoflec-tor disminuye una cantidad igual al área bajo la curva de cortante, y entre B y e au-menta una cantidad correspondiente. Por tanto, el valor absoluto máximo del momen-to flector es IMlmáx = 18.00 kips . ft.

Módulo de sección mínimo permisible. Sustituyendo el valor dado de (J'penny el valor de IMlmáxen la ecuación (5.9), se tiene

IMI máx (18 kips . ft)(12 in./ft)Smín = - = 175 k . = 123.43in.3(J'penn . SI

Espesor mínimo requerido de la viga. Recordando la fórmula desarrolladaen la parte 4 del procedimiento de diseño descrito en la sección 5.4 y sustituyendolos valores de b y de Smín'se tiene

~(3.5in.W ~ 123.43 in.3 h ~ 14.546 in.

El espesor mínimo requerido en la viga es h=14.55in......

335

50kN

Selec,ki 'e

pssiblf -

)

v

52kN

AB le

I I---8kN

-58 kN

336

PROBLEMA MODELO 5.8

Una viga de acero simplemente apoyada de 5 m de largo, AD, debe soportar las car-gas distribuida y concentrada que se muestran en la figura. Si el esfuerzo normal per-misible para el grado de acero utilizadoes de 160 MPa, seleccione el perfil depatínancho que deberá utilizarse.

SOLUCiÓN

Reacciones. Considerando toda la viga como un cuerpo libre, se escribe

+~LMA = O:D(5 m) - (60 kN)(1.5 m) - (50 kN)(4 m) = O

D = 58.0 kN D = 58.0 kN tAx = O+ LF = O.

~ x .+tLFy = O:Ay+ 58.0kN - 60kN - 50kN = O

Ay = 52.0 kN A = 52.0 kN t

Diagrama de cortante. El cortantejusto a la derechadeA es VA= Ay = +52.0kN. Como el cambio en el cortante entre A y B es igual a menos el área bajo la cur-va de carga entre estos dos puntos, se tiene

D VD= 52.0kN - 60kN = -8kNx

El esfuerzo cortante permanece constante entre B y e, donde cae a-58 kN, YCOD-serva este valor entre e y D. Se localiza la sección E de la viga donde V = Oescri-biendo

VE - VA = -wxO - 52.0 kN = -(20 kN/m) x

Despejando x se encuentra que x =2.60 m.

Determinación de IMlmá.. El momentoflector es máximo en E, donde V = O.Ya que M es cero en el apoyo A, su máximo valor en E es igual al área bajo la cur-va de corte entre A y E. Se tiene, por tanto, que IMlmáx= ME = 67.6 kN .m.

Módulo de sección mínimo permisible. Sustituyendoen la ecuación (5.9)elvalor dado de u pennYel valor de IMlmáxque se encontró, se escribe

IMlmáx _ 67.6 kN . m = 422.5 X 10-6 m3 = 422.5 X 103mm3Smín = ~ - 160MPapenn

Selección del perfil de patín ancho. Del apéndice C se elige una lista de per-files que tienen un módulo de sección mayor que SmínY que también son el perfilmás ligero en un grupo con un espesor dado.

Perfil

W410 X 38.8W360 X 32.9W310 X 38.7W250 x 44.8W200 x 46.1

S,mm3

637474549535448

Se selecciona el perfil más ligero disponible, esto es W360 X 32.9 <11I

PROBLEMAS::

5.65 Y 5.66 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, diseñe laleCcióntransversal de la viga; sabiendo que el grado de madera utilizado tiene un es-merzonormal permisible de 12 MPa.

1.8kN 3.6kN

BY e

40mm-11-D~}I

ti;~

A

~, I ll. .. .0.8 m 0.8 m 0.8 m

Figura P5.65

5.67 Y 5.68 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, diseñe laseccióntransversal de la viga; sabiendo que el grado de madera utilizado tiene un es-fuerzonormalpermisiblede 1750 psi.

200Ib/ft

AB

5 ft J1-

Figura P5.67

5.69 Y 5.70 Para la viga y las cargas que se muestran en las figuras, diseñe¡aseccióntransversal de la viga; considerando que el grado de madera utilizado tieneunesfuerzonormal permisible de 12 MPa.

Figura P5.69

25 kN/m"",,\

Figura P5.66

4.8 kips2 kips

4.8 kips2 kips

2.5kN6 kN/m

0.6m

Figura P5.70

0.6m

337


62 kips

B e

100kN

C-UJ--1.8m0.6 m I 0.6 m

0.6m

Figura P5.73

80kN

Figura P5.75

11 kips/ft 20 kips

E

2ft 2ft

5.71 Y 5.72 Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el aceroutili-zado es de 24 ksi, seleccione la viga más económica de patín ancho para soportarlascargas que se muestran en la figura.

24 kips

Figura P5.72

5.73 Y 5.74 Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero utili.zado es de 160 MPa, seleccione la viga más económica de patín ancho para sopor.tar las cargas que se muestran en la figura.

5.75 Y 5.76 Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero utili.zado es de 160 MPa, elija la viga más económica de perfil S para soportarlascarogas que se muestran en la figura.

80kN

100 kN/m

Figura P5.76

5.77 Y 5.78 Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero utili.zado es de 24 ksi, seleccionela viga más económicade perfil S para soportarlascar-gas que se muestran en la figura.

48 kips 48 kips

F B e

A~~;:... ..-

.l,;T;.L6ft -J _:;EFigura P5.78 2 ft

5.79 Dos canales métricos de acero laminado se sueldan a tope en sus bordesyseemplean para soportar las cargas que se muestran en la figura. Si se sabe que elesfuerzonormal permisible para el acero utilizado es de 200 MPa, determine los ca-nalesmáseconómicosque pueden emplearse.

80kN

Figura P5.79

5.80 Dos canales métricos de acero laminado se sueldan a lo largo de sus bor-desy se emplean para soportar las cargas que se muestran en la figura. Si se sabequeelesfuerzo normal permisible para el acero utilizado es de 150 MPa, determineloscanalesmás económicos que pueden emplearse.

5.81 Dos ángulos L4 X 3 de acero laminado se sujetan con pernos para so-ponarlascargasque se ilustran en la figura. Si se sabe que el esfuerzo normal per-misiblepara el acero utilizado es de 24 ksi, determine el mínimo espesor del ánguloquepuede emplearse.

2 000 lb.300 lb/ft

6in.

1--1l]fT

4 in.A~ lB

1-3ft -!--3ftFigura P5.81

5.82 Un tubo de acero de 4 in. de diámetro debe soportar las cargas que semuestranen la figura. Si se sabe que en el inventario de tubos disponibles hay espe-soresquevande! in. a I in. con incrementosde kin., y que el esfuerzo normal per-misibleparael acero utilizado es de 24 ksi, determine el mínimo espesor de pared tquepuedeutilizarse.

5.83 Suponiendo que la reacción hacia arriba del suelo se encuentra unifor-

mementedistribuida, y sabiendo que el esfuerzo normal permisible del acero utili-zadoesde 24 ksi, seleccione la viga más económica de patín ancho para soportar lascargasque se muestran en la figura.

200 kips 200kips

B eA D

Figura P5.83

5.84 Suponiendo que la reacción hacia arriba del suelo se encuentra unifor-mementedistribuida,y sabiendo que el esfuerzo normal permisible del acero utili-zadoesde 170MPa, seleccione la viga más económica de patín ancho para sopor-tarlascargasque se muestran en la figura.

Problemas 339

20 k1\' 20 kN 20 kN

o

500lb 500 lb

e

Figura P5.82

Carga total = 2 MN

DA

,!

340 Análisis y diseño de vigas para flexión 5.85 Determine el valor permisible de P para las cargas mostradas en lafi.gura, si se sabe que el esfuerzo normal permisible es de +8 ksi en tensión y de -liksi en compresión.

1 in.

1i

.r---.-. Sin

1.

~--r7in. 1 m.

5.86 Resuelva el problema 5.85, suponiendo que se ha invertido la vigaenforma de T.

5.87 Y 5.88 Determine el máximo valor permisible de P para la viga y lascargas mostradas en la figura, si se sabe que el esfuerzo normal permisible es de +80MPa en tensión y de -140 MPa en compresión.

12mm

-li. 1II.==r48mm~_12mm

I, I t96mm

P I 96 mm

_' l' '1

A(':.. ~ ¡~ .1". DL1~::0.2500-0.5m ÍJ -11.-

F"O15

12 mm

Igura P5.88 . m

P

Figura P5.87

5.89 La viga ABC se atornilla a las vigas DBE y FCG. Si se sabe que eles.fuerzo normal permisible es de 24 ksi, seleccione el perfil de patín ancho máseco-

nómicoque puede utilizarsea) para la vigaABC, b) para la viga DBE, e) paralavigaFCG.

16 kips

Figura P5.89

5.90 Las vigas AB, BC y CD tienen la sección transversal que se indica en lafiguray están conectadas con pernos en B y en C. Si se sabe que el esfuerzo normal~nnisiblees de + 110 MPa en tensión y de -150 MPa en compresión, determineajelmáximovalor permisible de w si la viga BC no debe estar sobreesforzada, b)~máximadistancia a correspondiente para la que las vigas en voladizo AB y CD noestén sobreesforzadas.

p p

A L CI D~a 7.2m l-a~1


5.91 Las vigas AB, BC y CD tienen la sección transversal que se muestra en

~figuray están conectadas con pernos en B y en C. Si se sabe que el esfuerzo nor-

malpermisible es de + 110 MPa en tensión y de -150 MPa en compresión, deter-minea) el máximo valor permisible de P si la viga BC no debe estar sobreesforzada,

bllamáximadistancia a correspondiente para la que las vigas en voladizo AB y CD110esténsobreesforzadas.

5.92 Una carga uniformemente distribuida de 84 kN/m debe ser soportada alravésdelclarode 5 m como se ilustra en la figura. Si el esfuerzo normal permisi-bleparael acero utilizado es de 165 MPa, determine a) la longitud mínima per-misible1de la viga CD si la viga AB tipo W310 X 74 no debe sobreesforzarse, b)

elperfilW más económico que puede utilizarse para la viga CD. Ignore el peso deambas vigas.

Figura P5.92

5.93 Una carga de 240 kN será soportada en el centro del claro de 5 m que semuestraen la figura. Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero uti-mdo es de 165 MPa, determine a) la mínima longitud permisible 1 de la viga CD¡jlavigaAB, tipo W310 X 74, no debe estar sobreesforzada, b) el perfil W más eco-BÓmicoquepuedeutilizarse para la viga CD. Ignore el peso de ambas vigas.

240 kN

Figura P5.93

Problemas 341

12.5 mm

r-200 mm-I ~Ir~

~_150 mm

_I~ l12.5mm


..

*5.94 Un puente de longitud L = 48 ft se construirá en un camino secunda.rio cuyo acceso a camionesestá restringidoa vehículosde dos ejes de peso mediano.El puente consistiráen una losa de concreto y vigas de acero simplementeapoyadascon una resistencia última O"u= 60 ksi. El peso combinado de la losa y las vigaspuede ser aproximado por una carga uniformemente distribuida w = 0.75 kips/ften

cada viga. Para propósitos de diseño, suponga que un camión con ejes colocadosauna distancia a = 14 ft uno del otro será conducido por el puente y que las cargasconcentradas resultantes p¡ y P2 ejercidas sobre cada viga pueden alcanzarvaloresde hasta 24 y 6 kips, respectivamente.Determine el más económico perfil depatínancho para las vigas, utilizando el método DCFR con factores de carga YD = 1.25,YL = 1.75 Y el factor de resistencia fjJ = 0.9. [Sugerencia:Puede mostrarsequeelmáximo valorde IMLIocurre bajo la carga mayor cuando ésta se coloca a la izquierdadel centro de la viga a una distancia igual a aPiP, + P2).]

Figura P5.94

*5.95 Suponiendoque las cargas de los ejes delantero y trasero permanecencon la misma razón dada para el problema 5.94, determine cuán pesado podríaserun camión para pasar por el puente diseñado en ese problema.

*5.96 La estructura de un techo compuesta de madera contrachapada y mate.rial para techar está soportada por varias vigas de madera de longitud L = 16 m. La

carga muerta que soporta cada viga, incluyendo el peso estimado de la viga,puederepresentarse por una carga uniformemente distribuida WD= 350N/m.Lascargasvivas consisten en la carga de nieve, representada por una carga uniformemente dis.tribuida wL = 600 N/m, y una carga concentrada P de 6 kN aplicada en el puntome.dio e de cada viga. Considerando que la resistencia última para la madera utilizadaes O"u = 50 MPa y que el ancho de las vigas es de b = 75 mm, determine el espe.sor mínimo permisible h de las vigas, utilizando DCFR con los factores de cargaYD = 1.2, YL = 1.6 Y el factor de resistencia fjJ= 0.9.

p

Figura P5.96

*5.97 Resuelva el problema 5.96, para ello suponga que la carga concentradaP de 6 kN aplicada a cada viga se reemplaza por cargas concentradas p¡ Y P2de3kN cada una aplicadas a una distancia de 4 m desde cada extremo de las vigas.

'5.5USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA DETERMINAREL CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR EN UNA VIGA

Repasandolo estudiado en las secciones anteriores, se observa que el cortan-teyel momento flector rara vez pudieron ser descritos por funciones analí-ricasúnicas.En el caso de la viga en voladizo del ejemplo 5.02 (figura 5.10),quesoportaba una carga uniformemente distribuida w, el cortante y el mo-mentoflector sí pudieron representarse con funciones analíticas únicas, es-pecíficamente,V = - wx y M = -4 wr; esto se debió a que no existió dis-continuidaden la carga de la viga. Por otra parte, en el caso de la vigasimplementeapoyada del ejemplo 5.01, que estaba cargada sólo en su pun-tocentrale, la carga P aplicada en e representó una singularidad en la car-gadela viga. Esta singularidad resultó en discontinuidades en los diagramasdecortantey de momento y requirió del uso de diferentes funciones analíti-caspararepresentara V y a M en las porciones de la viga situadas, respec-tivamente,a la izquierda y a la derecha del punto C. En el problema mode-lo5.2,la viga hubo de ser dividida en tres porciones, en cada una de lascualesse utilizarondiferentes funcionespara representarel cortante y el mo-mentoflector.Esta situaciónrequirió de la representacióngráfica de las fun-cionesVy M suministradaspor los diagramasde cortante y de momentoflec-tory,al final de la sección 5.3, sobre un método gráfico de integración paradeterminarV y M a partir de la carga distribuida w.

Elpropósito de esta sección es mostrar cómo el uso de funciones de sin-gularidadhace posible representarel cortante V y el momentoflector M porexpresionesmatemáticas únicas.

Considere la viga simplemente apoyada AB, de longitud 2a, que llevaunacargauniformementedistribuida Woque se extiende desde su punto me-dioe hasta su soporte derecho B (figura 5.16). Primero se dibuja el diagra-madecuerpolibre de la viga completa (figura 5.17a); reemplazando la car-gadistribuidapor una carga concentradaequivalentey, sumando momentosalrededorde B, se escribe

Acontinuaciónse corta la viga en un punto D entre A y C. Del diagrama decuerpolibre de AD (figura 5.17b) se concluye que, en el intervalo O < x <a,elcortante y el momento flector son expresados, respectivamente, por lasfunciones

y

Cortandoahora la viga en un punto E entre e y B, se dibuja el diagrama decuerpolibre de la porción AE (figura 5.17c). Reemplazando la carga distri-buidapor la carga concentradaequivalente, se tiene

ttIFy = O:

t~IME = O:

~woa - wo(x - a) - V2= O

-~woax + wo(x - a)[4(x - a)] + M2 = O

yseconcluyeque, en el intervalo a < x < 2a, el cortante y el momento flec-torse expresan, respectivamente, con las funciones

5.5 Uso de funciones de singularidad 343

A

Figura 5.16

b)

RA=t woa

Figura 5.17e)

344 Análisis y diseño de vigas para flexión Como se señaló anteriormente en esta sección, el hecho de que elcoro

tante y el momentoflector estén representadospor diferentes funcionesdeJo

dependiendo de si x es menor o mayor que a, se debe a la discontinuidaddela carga en la viga. Sin embargo, las funciones V\(x) y V2(x) pueden repre.sentarse por la expresión única

(5.11)

si se especifica que el segundo término deberá incluirse en los cálculos cuan.do x ~ a e ignorarse cuando x < a. En otras palabras, los corchetes ( ) de.berán reemplazarse por paréntesis ordinarios ( ) cuando x ?: a y por cero

cuando x < a. Con la misma convención, el momento flector puede repre.sentarse en cualquier punto de la viga por la expresión única

(5.12)

De la convención que se ha adoptado, se entiende que los corchetes (pueden derivarse o integrarse como paréntesis ordinarios. En lugar de calcu.lar el momento flector a partir de diagramas de cuerpo libre, podría haberseutilizado el método indicado en la sección 5.3 e integrar la expresiónobte.nida para V(x):

M(x) - M(O) = rV(x) dx = r ~woa dx - r wo(x - a)dxo o o

Después de la integración, y observando que M(O) = O, se obtiene, comoantes,

Además, empleando la misma convención, se observa que la carga dis.tribuida en cualquier punto de la viga puede expresarse como

(5.13)

De hecho, los corchetes deberán reemplazarse por cero para x < a y porpa-réntesis para x ?: a; entonces, se verifica que w(x) = O para x < a y, defi.niendo la potencia cero para cualquier número como la unidad, que (x - a)O= (x - a)o = 1 Yque w(x) = wo para x ?: a. De la sección 5.3 recuerde quees posible obtener el cortante integrando la función - w(x). Observandoque V = ~ woa para x = O, se escribe

V(x) - VeO)= - r w(x) dx = - r wo(x - a)Odxo o

Despejando V(x) y eliminando el exponente 1, se obtiene nuevamente

Lasexpresiones (x - a)O, (x - a), (x - a)2 se conocen comofuncio-nesdesingularidad.Por definición se tiene, para n ;:::O,

cuando x ;:::acuando x < a (5.14)

Tambiénse advierte que siempre que la cantidad entre los corchetes sea po-sitivao cero, los corchetes deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios;encambio,si la cantidad es negativa, el corchete mismo es igual a cero.

o o o a

e) n = 2

xa x a x

a) n = OFigura5.18

b) n = 1

Las tres funciones de singularidad que corresponden respectivamente an= O,n = 1 Yn = 2 se han graficado en la figura 5.18. Se observa que lafunción(x - a)° es discontinua en x = a y que tiene la forma de un esca-lón.Por tal razón recibe el nombre de función escalón. De acuerdo con laecuación(5.14), y con la potencia cero de cualquier número definida comolaunidad,se tiene:t

cuando x ;:::acuando x < a (5.15)

De esto se sigue, de la definición de las funciones de singularidad, que

f (x - a)ndx = ~(x - a)n+1 paran;::: On + 1(5.16)

d-(x - a)n = n(x - a)n-l para n ;::: 1dx

(5.17)

La mayoría de las cargas de viga encontradas en la práctica de la inge-nieríapueden reducirse a las cargas básicas que se muestran en la figura 5.19.Dondequieraque sean aplicables, las funciones correspondientesw(x), V(x)yM(x)se han expresado en términos de funciones de singularidad y grafica-dascontra un fondo de color. Se utilizó el fondo con color más intenso conelfin de indicar, para cada carga, la expresión que más fácilmente se dedu-ceo recuerda y de la que otras funciones pueden encontrarse por integración.

t Como (x - ajO es discontinua en x - a, puede argumentarse que esta función debería dejarse

iodefinida para x = a o que debería asignársele tanto el valor de O como el de l para x = a. Sin em-bargo,definir a (x - a)ocomo igual a I cuando x = a, como se estableció en la ecuación (5.15), tie-nela ventaja de no ser ambiguo y, por tanto, directamente aplicable a la programación de compu-

tadoras(véase página 348).


e) w (x) = Wo< x - a >0

V M

Oa

x Oa

~xel) w(x)=k<x-a>!

V (x)= - ~< x - a >2w

alV M

O x Oa

x O

~x

e) w (x) = k < x - a >" V (x)= - -L < x - a >" + 1. ,,+] M (x) = - k < x - a>" + 2(" + 1)(" + 2)

- --Figura5.19 Cargas básicas y sus correspondientes cortes y momentos flectores expresadosen términos de funciones de singularidad.

346

Después de que una carga dada de una viga se ha dividido en las cargasbásicas de la figura 5.19, las funciones V(x) y M(x) que representan el cor-tante y el momento fIector en cualquier punto de la viga pueden obtenersesumando las funciones correspondientesasociadas con cada una de las car-gas y reacciones básicas. Ya que todas las cargas distribuidas mostradas enla figura 5.19 son abiertas a la derecha, una carga distribuida que no se ex-tiende hasta el extremo derecho de la viga o que es discontinua deberá reem-plazarse como se muestra en la figura 5.20 por una combinación equivalen-

Carga

la--:l

Corter

o=

VI

Momento fl

\--x

°1

M_ _ ector

Mo

a1

a)

x.I

°1

aI1

X

laIP

r

_MOI

I VI

O.

M (x) =-M

J---- x

o<x -a>o

I 01

M

a

b)

I XI

01

I

a

I

-

"¡- -

_p I

X

a-"¡ ,--- -- ---V(x)=-P<

Uo

x - a >0

01'.-- .

VI

M(x)=-P< x -a >1

x

M

01(l- x O/ a- x

tedecargas con extremo abierto (véase también el ejemplo 5.05 y el proble-mamodelo5.9).

Comose verá en la sección 9.6, el uso de funciones de singularidad sim-plificamuchomás la determinaciónde las deflexiones de la viga que el en-foqueutilizadoen esta sección. Tal método fue sugerido primero por el ma-temáticoalemán A. Clebsch (1833-1872). Sin embargo, es el matemático eingenierobritánico W. H. Macaulay (1853-1936) quien recibe comúnmenteelcréditode introducir las funciones de singularidad en la forma utilizadaaquí,por lo que los corchetes ( ) generalmentereciben el nombre de cor-chetesde Macaulay. t

t w. H. Macaulay, "Note on the Deflection of Beams," en Messenger of Mathemat;cs, vol. 48, pp.129.130,1919.


x

x

w(x) = Wo< x - a >0 - Wo< x - b >0

Figura 5.20

EJEMPLO 5.05

Parala viga y carga mostradas (figura 5.21a) y usando funcionesdesingularidad, exprese el corte y el momento flector como fun-cionesde la distancia x desde el apoyo en A.

Primero se determina la reacción en A dibujando el diagra-made cuerpo libre de la viga (figura 5.21b) y escribiendo

a)

:!tIl\ = O:

-Ay(3.6 m) + (1.2 kN)(3 m)+(1.8 kN)(2.4 m) + 1.44 kN . m = O

Ay = 2.60 kN

A continuación, se reemplaza la carga distribuida por dos car-gasequivalentes abiertas a la derecha (figura 5.21c) y se expresalacarga distribuida w(x) como la suma de las funciones escalóncorrespondientes:

La función V(x) se obtiene integrando w(x), invirtiendo lossignos + y -; al resultado se le suman las constantes Ay y-P(x - 0.6)° que representan las contribuciones respectivas alcortantede la reacción en A y de la carga concentrada. (No se re-quiereninguna otra constante de integración.)Puesto que el parconcentradono afecta directamente al cortante, deberá ignorarseeneste cálculo. Se escribe

Ay = 2.6 kNFigura 5.21

A

O.6m

c)

x

B

-wo = -1.5 kN/m

348 Análisis y diseño de vigas para flexión De manera similar se obtiene la función M(x) integrando V(x)ysumandoal resultado la constante -Mo(x - 2.6)°que represen.ta la contribución del par concentrado en el momento flector. Setiene

IV , 0.6 m'p = 1.2 kN Mo = 1.44 kN . m

IVO= ].5 kN/m

M(x) = -!Wo(x - 0.6)2+ !Wo(x - 1.8)2

+ Ayx - p(x - 0.6)1 - Mo(x - 2.6)0

x

Sustituyendo los valores numéricos de las reacciones y carogas en las expresiones obtenidas para V(x) y M(x) y teniendolaprecaución de no calcular ningún producto o expandir ningún cua.drado que involucre un juego de corchetes, se obtienen lassi-guientes expresiones para el cortante y para el momento flecto!en cualquier punto de la viga:

B

B

Ay = 2.6 kN

Figura 5.21e (repetida)V(x) = -1.5(x - 0.6)'+ 1.5(x - 1.8)'

+2.6 - 1.2(x- 0.6)°M(x) = -0.75 (x - 0.6)2+ 0.75(x - 1.8)2

+2.6x - 1.2(x- 0.6)' - 1.44(x- 2.6)0

EJEMPLO 5.06

Para la viga y la carga del ejemplo 5.05, determine los valoresnuméricos del cortante y del momento flector en el punto cen-tral D.

V(1.8)= -1.5(1.2)' + 1.5(0)1+ 2.6 - 1.2(1.2)°

= -1.5(1.2) + 1.5(0) + 2.6 - 1.2(1)

= -1.8 + O + 2.6 - 1.2Haciendo que x = 1.8 m en las expresiones encontradas pa-

ra V(x) y para M(x) en el ejemplo 5.05, se obtiene

V(1.8) = -1.5(1.2)1 + 1.5(0)1 + 2.6 - 1.2(1.2)0V(1.8) = -0.4 kN

y

M(1.8) = -0.75(1.2)2 + 0.75(0)2+ 2.6(1.8)- 1.2(1.2)'- 1.44(-0.8)°

M(1.8) = -0.75(1.2? + 0.75(0?

+ 2.6(1.8) - 1.2(1.2)' - 1.44(0)

Recordando que siempre que una cantidad entre corchetes es po-sitiva o cero, los corchetes deben reemplazarse por paréntesis or-dinarios y, siempre que la cantidad sea negativa, el corchete mis-mo es igual a cero, se escribe

= -1.08 + O + 4.68 - 1.44 - O

M(1.8) = +2.16 kN' m

Aplicación a la programación de computadoras. Las funciones desin-gularidad se han adaptadobien a su uso en computadoras.Primero se advier-te que la función escalón (x - a)O, que se representará por el símbolo ESe,puede definirse por una instrucción tipo IFffHEN/ELSE como igual a l pa-ra X 2: A Y O para otros casos. Cualquier otra función de singularidad(x - a)n, donde n 2: 1, puede expresarse, entonces, como el producto de laexpresión algebraica (x - aY y la función escalón (x - a)o.

Cuando se encuentran involucradas k diferentes funciones de singulari-dad, tales como (x - a¡)n, donde i = 1,2, oo.,k, entonces deben definirse lascorrespondientesfunciones ESC(I),donde 1 = 1,2, .oo,K en un lazo quecon-tenga una instrucción IFffHEN/ELSE única.

fr ,lLfU4 L/4 L/4 L/4

2wo

pe"~

.

nte =+ L 2wo2wo

Wo ---~ B~ =A

. C 2woA B

I IC I __4wo~P

endiente - LU2

.11 1i2woL2

A

I1

- - - - -1- - - --1IIIII.1

D C E B

PROBLEMA MODELO 5.9

Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) las ecuaciones quedefinen el cortante y el momento flector en cualquier punto, b) el cortante y el mo-mento flector en los puntos e, D y E.

SOLUCiÓN

Reacciones. La carga total es woL; debido a la simetría, cada reacción esigual a la mitad de ese valor, esto es, woL.

Carga distribuida. La carga distribuida dada se reemplazada por dos cargasabiertas equivalentes como se indica. Empleando una función de singularidad paraexpresar la segunda carga, se escribe

(1

)2wo 4wo

(1

)w(x) = kJx + k2x - 'iL = -x - - x - 'iLL L(1)

a. Ecuaciones para el cortante y el momento flector. Se obtiene V(x) inte-grando (1), cambiando los signos y sumando una constante igual aRA:

Wo .2 2wo (1

)2 1V(x) = --x. + - x - -L + - w L

L L 2 4 o

Se obtiene M(x) integrando la ecuación (2); ya que no hay par concentrado, no se ne-cesita constante de integración:

(2) ....

Wo u3 2wo (1

)3 1M(x) = -- X + - x - -L. + -w Lx

3L 3L 2 4 o

b. Cortante y momento flector en C, D y E

(3) ....

En el punto C: Haciendo x = tLen las ecuaciones (2) y (3), Yrecordando quecuando una cantidad entre corchetes es positiva o cero, los corchetes pueden reem-plazarse por paréntesis, se tiene

w 2wV = _~ (lL )2 + ~/0 )2 + lw L

e L2 L\ 4 o

Wo 2woM = __ (lL )3 + _10 )3 + lw L(lL )

e 3L 2 3L \ 4 o 2

Ve = O ....

En el punto D: Haciendo x = tL en las ecuaciones (2) y (3), Y recordandoque un corchete que contenga una cantidad negativaes igual a cero, se escribe

Wo 1 2 2Wo(

1)2 IV = -- (-L) + - --L + -w L

D L4 L 4 40

Wo 1 3 2Wo (1

)3 1 JM = -- (-L) + - --L + -w L(-L)D 3L 4 3L 4 4 o 4

3VD = -woL ....16

II 2MD = -woL ....192

En el punto E: Haciendo x = ~Len las ecuaciones (2) y (3), se tiene

x Wo 2woV = __(JL)2 + _/1L )2 + lw L

E L 4 L \4 4 o

Wo 2woM = __(JL)3 + _/1L )3 + lw L(JL)

E 3L 4 3L \4 4 o 4

349

50 lb/ft

3 ft160 lb

D

]7.

F ~ E

100[b ..

P = 160 lb

I

MD~~:y.

ft

.

'....

.

..D

- F E

WWo = 50 Ib/ft

RA = 480 lb

LP = 160 lb' IRB

../-5 ft --111 ft

M +2 304 lb . ft

PROBLEMA MODELO 5.10

La barra rígida DEF se encuentra soldada en el punto D a una viga de acero AR.Para la carga mostrada en la figura, determine a) las ecuaciones que definen el cor-te y el momento flector en cualquier punto de la viga, b) la localización y magnituddel máximo momento flector.

SOLUCiÓN

Reacciones. Se consideran la viga y la barra como un cuerpo libre y se obser-va que la carga total es de 960 lb. Debido a la simetría, cada reacción es igual a 480lb.

Diagrama modificado de carga. Se reemplaza la carga de 160 lb aplicada enF por un sistema equivalente de fuerza y momento en D. Así se obtiene un diagra-ma de carga que consiste en un par concentrado, tres cargas concentradas (incluyen-do las dos reacciones) y una carga uniformemente distribuida

w(x) = 501b/ft (1)

a. Ecuaciones para cortante y momento flector. Se obtiene V(x) integrandola ecuación (1), cambiando el signo y sumando las constantes que representan lascontribuciones respectivas de RAy P al cortante. Como P afecta a V(x) sólo para va-lores de x mayores de 11 ft, se utiliza una función escalón para expresar su contri-bución.

V(x) = -50x + 480 - 160(x - 11)° (2) ...

Se obtiene M(x) integrando la ecuación (2) y utilizando una función escalón para re-presentar la contribución del par concentrado MD:

M(x) = -25x2 + 480x - l60(x - 11)1- 480(x - 11)° (3) ...

b. Máximo momento flector. Como M es máximo o mínimo cuando V = O,se hace V = O en la ecuación (2) y se despeja x de dicha ecuación para encontrar elmáximo momento flector. Considerando primero valores de x menores de 11 ft y no-tando que para tales valores el corchete es igual a cero, se tiene

- 50x + 480 = O x = 9.60 ft

Considerando ahora valores de x mayores de 11 ft, para los que el corchete es igualal, se tiene que

- 50x + 480 - 160 = O x = 6.40 ft

Ya que este valor no es mayor de 11 ft, debe rechazarse. Así, el valor de x corres-pondiente al momento flector máximo es

xm = 9.60 ft ...+2 255 lb . ft

+1775lb. ft Sustituyendoeste valor de x en la ecuación (3), se obtiene

Mmáx= -25(9.60? + 480(9.60) - 160(-1.40)1 - 480(-1.40)°A

1- Xm = 9.60ft ! D

350

B x y, recordando que los corchetes con cantidades negativas son iguales a cero,

Mmáx= -25(9.6W + 480(9.60) Mmáx = 2 304 lb . ft ...

Se ha graficado el diagrama de momento flector. Note la discontinuidad en el puntoD debida al par concentrado aplicado en ese punto. Los valores de M justo a la iz-quierda y justo a la derecha de D se obtuvieron haciendo x = 11 en la ecuación (3)y reemplazando la función escalón (x - 11)° por O y por 1, respectivamente.

PROBLEMAS

5.98 a 5.100 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuacio-nesquedefinen el cortante y el momento fIector para la viga y las cargas que semuestranen las figuras. b) Con la ecuación obtenidapara M, determine el momentoflectorenel puntoE y verifiquela respuesta trazandoel diagramade cuerpo libre delaporciónde la viga situada a la derecha de E.

P

A B E e.FiguraP5.98 Figura P5.99

5.101 a 5.103 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuacio-

nesque definen el cortante y el momento fIector para la viga y las cargas que semuestranen las figuras. b) Con la ecuación obtenida para M, determine el momentoflectoren el punto C y verifique la respuesta trazando el diagrama de cuerpo libre delavigacompleta.

A A Be

f.- a + a ~ a + a


5.104 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuaciones que de-finenelcortantey el momentofIectorpara la vigaABC bajo la carga mostrada en lafigura.b) Utilice la ecuación obtenida para M y calcule el momento fIector situadojustoa laderechadel punto B.

P

A IL- ' -.'

l' lB e~a~a--'

Figura P5.104

5.105 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecuaciones que de-finenelcortantey el momentofIectorpara la vigaABC bajo las cargas que se mues-tranenla figura.b) Utilice la ecuación obtenida para M y calcule el momento fIec-torsituadojusto a la derecha del punto D.

D

Figura P5.100

A eB

~ a + a

Figura P5.103

PI IP

A

1-L/3~L/3-.:LL/3--1Figura P5.105

351


3 kipslft8 kips

3 kips/ft

Figura P5.106

20 kips

20 kips 20 kips

B' e' 'D

Ar I I I

~6ft2 ft 2ft 2ft

Figura P5.108

50kN 125 kN 50k:'ll

B e DA E

LLlo.5m!J0.3 m 0.4 m 0.2 m

Figura P5.110

40 kN/m

11"

5.106 a 5.109 a) Utilice funciones de singularidad para escribir lasecua.ciones que definen el cortante y el momento flector para la viga y las cargasquese muestran en las figuras. b) Determine el máximo valor del momento flectore1lla viga.

1 500 N/m

A B

LX-2.4m-1J0.8 m 0.8 m

Figura P5.107

Figura P5.109

5.110 Y 5.111 a) Utilice funciones de singularidad para escribir las ecua.ciones que definen el cortante y el momento flector para la viga y las cargas quese muestran en las figuras. b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a laflexión.

24 kN 24 kN24 kN 24kN

I S150x 18.0

B e

X W250 x 28.4

ED

Al ---=.' " :. '~F

[email protected] m = 3m--LJ0.75 m

Figura P5.111

5.112 Y 5.113 a) Utilice funciones de singularidad para encontrar la magni.tud y ubicación del momento flector máximo para la viga y la carga que se muestranen las figuras. b) Determine el esfuerzo normal máximo debido a la flexión.

60 kN I 60 kN

40 kN/m

18k:'ll . m B,

27 kN . m

1,

(A, ", , e) S310 x 52

L1.2mL2.4m-J

W530 x 66


5.114Y 5.115 Una viga se diseña para ser soportada y cargada como se in-dicaen la figura. a) Utilice funciones de singularidad para encontrar la magnitud yubicacióndel máximo momento flector en la viga. b) Si el esfuerzo permisible paraelaceroque se utilizará es de 24 ksi, encuentre el más económicoperfil de patín an-choquedebe seleccionarse.

9 kips 18 kips

e

A~"""" ...~

l;[, "J,.J,.JFiguraP5.114

5.116Y 5.117 Una viga de madera se diseña para ser soportada y cargadacomose muestra en la figura. a) Utilice funciones de singularidad para determinarlamagnitudy ubicación del momento flector máximo en la viga. b) Si el materialdisponibleconsiste en vigas con esfuerzo permisible de 12 MPa y sección transver-salrectangularde 30 mm de ancho y altura h que varía de 80 a 160 mm en incre-mentosde 10 mm, determine la más económica sección transversal que puede utili-zarse.

480 N/m30mm-11-~.!1~tl

5.118a 5.121 Utilice una computadora y funciones escalón para calcular elcortantey el momentoflector para la viga y las cargas que se muestran en las figu-ras.Empleelos incrementos especificados para t:..L,empezando en el punto A y ter-minandoen el apoyo de la derecha.

12 kN f),.L=0.4 m16 kN/m

A~

Lt-4m1.2m

Figura P5.118

3.6 kips/ftf),.L = 0.5 ft

1.8 kips/ft

Figura P5.120

Problemas 353

22.5 kips3 kips/ft

A~___

t,.L 12ftFigura P5.115

500 N/m30mm-11-

1]Figura P5.117

120 kNf),.L = 0.25 m

36 kN/m

B

A~ . ." \. JDC U--3 m--=1

2m 1m

Figura P5.119

f),.L = 0.5 ft

4 kips

B e DA

L4.5 ft--U-3 ft1.5ft

Figura P5.121


A

~. _ M_

~2m-L-:1.5m t 1.5 m

3kN

Figura P5.122

A _

1-1.5 ftL 2 ft

Figura P5.124

e

1.5ft300 lb

x\\'200 x 22.5

L=5m

f1L = 0.25 m

D

2 in.---11-

~ 112 in.L = 5 ftf1L = 0.25 ft

5.122 Y 5.123 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, y usan-I

do una computadora y funciones escalón, a) tabule el cortante, el momento fIector.el esfuerzo normal máximo en secciones de la viga desde x = O hasta x = L.utilizando los incrementos /1L indicados, b) empleando incrementos más pequeños sinecesario, determine, con una exactitud del 2%, el esfuerzo normal máximo en laviga. Ubique el origen del eje x en el extremo A de la viga.

5kN

eA~ c=-~ __o ~D

50mm---11-

~ 1300 mm

L=6m

f1L = 0.5 m

Figura P5.123

5.124 Y 5.125 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, y utili.zando una computadora y funciones escalón, a) tabule el cortante, el momento flec.tor y el esfuerzo normal máximo en secciones de la viga desde x = O hasta x =Lusando los incrementos /1L indicados, b) empleando incrementos más pequeños siesnecesario, determine, con una exactitud del 2%, el esfuerzo normal máximo en lavi.ga. Ubique el origen del eje x en el extremo A de la viga.

4.8 kipslft3.2 kipslft x

\\'12 x30L = 15ft

f1L = 1.25 ft

*5.6VIGAS NO PRISMÁTICAS

Hasta ahora el presente análisis se ha restringido a vigas prismáticas, es de-cir, a vigas con sección transversal uniforme. Como se vio en la sección5.4.las vigas prismáticas se diseñan de tal manera que los esfuerzos normalesensus secciones críticas sean iguales al valor permisible del esfuerzo nonualpara el material que se utiliza; por tanto, en otras secciones, los esfuerzosnormales serán más pequeños, posiblemente mucho más pequeños, que susvalores permisibles. Esto significa que una viga prismática, casi siempre es-tá sobrediseñada, y que es posible lograr un considerable ahorro de materialutilizando vigas no prismáticas,es decir, vigas con sección transversalvaria-ble. La viga fundida en voladizo utilizada en la máquina de ensayo para sue-los representada en la figura 5.22 es una viga de este tipo.

Como los esfuerzos normales máximos (Tm generalmentecondicionaneldiseño de una viga, el diseño de una viga no prismática será óptimo si el mó-dulo de sección S = l/c de cada sección transversal satisface la ecuación (5.3)de la sección 5.1. Despejando S de dicha ecuación, se escribe

s=M(Tperm

(5.18)

Una viga diseñada de esta manera se conoce como viga de resistencia cons-tante.

5.6 Vigas no prismáticas 355

Figura 5.22

Paraun componente fundido o forjado estructural o de una máquina, esposiblevariar la sección transversal del componente a lo largo de su longi-tudy eliminar la mayor parte del material innecesario (véase ejemplo 5.07).Parauna viga de madera o una viga de acero laminado, sin embargo, no esposiblevariar la sección transversal de la viga. Pero puede lograrse conside-rableahorro de material pegando tablas de madera de longitudes apropiadasaunaviga de madera (véase problema modelo 5.11) y usando postizos enporcionesde una viga de acero laminado donde el momento flector es gran-de(véase problema modelo 5.12).

EJEMPLO 5.07

Unaplacade aluminio fundido de espesor uniforme b deberá so-poDaruna carga uniformementedistribuida w como se muestraenlafigura5.23. a) Determine la forma de la placa que dará eldiseñomáseconómico.b) Considerandoque el esfuerzo normalpermisiblepara el aluminio utilizado es de 72 MPa y que b = 40mm. L = 800 mm y w = 135 kN/m, determine el ancho máxi-moho de la placa.

Momento flector. Midiendo la distancia x desde A y ob-\ervandoque VA = MA = O, se usan las ecuaciones (5.6) y (5.8)delasección5.3 y se escribe

Figura 5.23

V(x) = - fWdx = -wxo

M(x) = fV(x) dx = - fWXdx = -!wro o

y, tras sustituir IMI = !wr,

2 3wrh=-bUperm

o h = (~ )I/2

bu xperm(5.20)

a) Forma de la placa. Recuerde, de la sección 5.4, queImóduloS de una sección transversal rectangular de ancho b yturah es S = kbh2. Llevando este valor a la ecuación (5.18) yspejandoh2,se tiene

Ya que la relación entre h y x es lineal, el extremo inferior de laplaca es una línea recta. Así, la placa que rinde el diseño más eco-nómico tiene forma triangular.

b) Ancho máximo ha- Haciendo x = L en la ecuación(5.20)y sustituyendo datos, se obtiene

h2 = 61MIbu perm

(5.19) h _[

3(135 kN/m)

]

1/2 .

o - (0.040 m)(72 MPa) (800 mm) = 300 mm

4.8 kips 4.8 kips

4.8 kips 4.8 kips

e

4.8 kips

A Iv

FJ)M4.8kips 4.8 kips

r- 48in.A 'B'

)x~ M

4.8 kips

4.8 kips

356


Una viga de 12 ft de largo hecha de un madero con un esfuerzo normal permisiblede 2.40 ksi y un esfuerzo cortante permisible de 0.40 ksi deberá soportar doscargas de 4.8 kips ubicadas en la tercera parte de longitud desde sus extremos.Como se explica en el capítulo 6, una viga con sección transversal rectangular uni-forme, de 4 in. de ancho y 4.5 in. de espesor, satisfaría el requerimiento del esfuer-zo cortante permisible. Ya que tal viga no satisfaría el requerimiento del esfuerzo nor-mal permisible, se reforzará encolando tablas de la misma madera, de 4 in. de anchoy 1.2 in. de espesor, arriba y debajo de la viga de manera simétrica. Determine a) elnúmero requerido de tablas, b) la longitud de las tablas de cada par que dará el di-seño más económico.

SOLUCiÓN

D

Momento flector. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga y se en-cuentran las siguientes expresiones para el momento flector:

De A a B (O:::;x :::;48 in.): M = (4.80kips)xDe B a e (48 in. :::;x :::;96 in.):

M = (4.80 kips) x - (4.80 kips )(x - 48 in.) = 230.4 kips . in.

t a. Número de pares de tablas. Primero se obtiene el espesor total requeridode la viga reforzada entre B y C. Se recuerda, de la sección 5.4, que S = ! bh2 parauna viga con sección transversal rectangular con ancho b y espesor h. Sustituyendoeste valor en la ecuación (5.17) y despejando h2, se tiene

2 61MIh=-bUpenn

(1)

Sustituyendo el valor obtenido para M de B a e y los valores dados de b y de (Jperm'se escribe

6(230.4 kips . in.) = 144 in?h2 = (4 in.)(2.40 ksi)

h = 12.00 in.

Como la viga original tiene un espesor de 4.50 in., las tablas deben dar un espesoradicional de 7.50 in. Recordando que cada par de tablas es de 2.50 in. de espesor:

Número requerido de pares de tablas = 3 ...

b. Longitud de las tablas. Se encontró que el momento flector es deM = (4.80 kips)x en la porción AB de la viga. Sustituyendoesta expresión y losva-lores dados de b y de upennen la ecuación (1) y despejandox se tiene

(4 in.)(2.40ksi) 2x= h6 (4.80kips)

h2

X = 3 in. (2)

La ecuación (2) define la máxima distancia x desde el extremo A en la que un espe-sor dado h de la sección transversal es aceptable. Haciendo h = 4.50 in., se halla ladistancia XI desde A en la que la viga prismática original es segura: XI = 6.75 in.Desde ese punto, la viga original deberá reforzarse por el primer par de tablas. Ha-ciendo h = 4.50 in. + 2.50 in. = 7.00 in. da la distancia X2 = 16.33 in. desdedonde se deberá utilizar el segundo par de tablas, y haciendo h = 9.50 in. da la dis-tancia X3 = 30.08 in. a partir de la que deberá utilizarse el tercer par de tablas.Lalongitud /¡ de las tablas del par i, donde i = 1, 2, 3 se obtiene restando 2x¡ de la lon-gitud de 144 in. de la viga. Se encuentra

/) = 130.5 in., /2 = II I.3 in., /3 = 83.8 in. ...

Las esquinas de las distintas tablas caen dentro de la parábola definida por la ecua-ción (2).

500 kN 16

D e t E mm f-AL LI b1IB-ry

[:'+",:J(~

500 kN

A e

250kN

250kN

¡ I

rre ld2

r


Dos placas de acero, cada una de 16 mm de espesor, se sueldan, como se indicaen la figura, a una viga W690 X 125 para reforzarla. Si O"penn= 160 MPa tantopara la viga como para las placas, determine el valor requerido de a) la longitudde las placas, b) el ancho de las placas.

SOLUCiÓN

Momento flector. Primero se encuentran las reacciones. Del diagrama decuerpo libre de una porción de viga con longitud x ::; 4 m, se obtiene M entre Ay c:

M = (250 kN)x (1)

a. Longitud requerida de las placas. Primero se obtiene la máxima lon-gitud permisible Xmde la porción AD de la viga sin reforzar. Del apéndice e seencuentra que el módulo de sección de una viga W690 X 125 es S = 3510 X106 mm3, o S = 3.51 X 10-3 m3. Sustituyendo S y O"pennen la ecuación (5.17) ydespejando M, se escribe

M = SO"penn= (3.51 X 10-3 m3)(160 X 103kN/m2) = 561.6 kN . m

Sustituyendo M en la ecuación (1), se tiene que

561.6 kN . m = (250 kN)xm Xm = 2.246 m

La longitud requerida 1 de las placas se obtiene restando 2xm de la longitud de laviga:

1 = 8 m - 2(2.246 m) = 3.508 m 1 = 3.51 m ....

b. Ancho requerido de las placas. El momento flector máximo ocurre a lamitad C de la viga. Haciendo x = 4 m en la ecuación (1), se obtiene el momen-to flector en dicha sección:

M = (250 kN)( 4 m) = 1 000 kN . m

Para utilizar la ecuación (5.1) de la sección 5.1, se determina ahora el mo-mento de inercia de la sección transversal de la viga reforzada con respecto a uneje centroidal y la distancia e desde dicho eje a las superficies exteriores de lasplacas. Del apéndice e se encuentra que el momento de inercia de una viga W690X 125 es lb = 1 190 X 106 mm4 y que su altura es d = 678 mm. Por otra parte,denotando por t el espesor de una placa, por b su ancho y por y la distancia de sucentroide al eje neutro, se expresa el momento de inercia Ip de las dos placas conrespecto al eje neutro:

Ip = 2(12bf + Ay2) = (~ f)b + 2 bt(1d + 1t)2

Sustituyendo t = 16 mm y d = 678 mm, se obtiene Ip = (3.854 X 106 mm3)b.El momento de inercia l de la viga y de las placas es

1= lb + Ip = 1 190 X 106mm4 + (3.854 X 106mm3)b (2)

y la distancia desde el eje neutro a la superficie es e = 1d + t = 355 mm.Despejando l de la ecuación 5.1 y sustituyendo los valores de M, O"penny e, seescribe:

IMlc (1000 kN . m)(355 mm)1= - = = 2.219X 1O-3m4 = 2219 X 106mm4O"penn 160 MPa

Reemplazando l por este valor en la ecuación (2) y despejando b, se tiene

2219 X 106mm4 = 1 190 X 106mm4 + (3.854 X 106mm3)bb = 267 mm ....

357

p

Bl.t~

Figura P5.126

Figura P5.128

7TX

W = wosenr

Figura P5.130

358

PROBLEMAS

5.126 Y 5.127 La viga AR, que consiste en una placa de hierro colado dees.pesor uniforme b y longitud L, debe soportar la carga mostrada en la figura. a)Sila viga debe ser de resistencia constante, exprese h en términos de x, L y ho.b) De-termine la máxima carga permisible si L = 36 in., ho = 12 in., b = 1.25in.y<Tperm= 24 ksi.

Figura P5.127

5.128 Y 5.129 La viga AR, que consiste en una placa de hierro colado dees-pesor uniforme b y longitud L, debe soportar la carga distribuida w(x) mostradaenla figura. a) Si se sabe que la viga debe ser de resistencia constante, exprese h entér.minos de x, L y ho. b) Determine el mínimo valor de ho si L = 750 mm, b = 30rom.Wo = 300 kN/m y <Tperm= 200 MPa.

7TXW = Wo sen 2L

BL r1

Figura P5.129

5.130 Y 5.131 La viga AR, que consiste en una placa de aluminio coladodeespesor uniforme b y longitud L, debe soportar la carga mostrada en la figura. a)Sila viga debe ser de resistencia constante, exprese h en términos de x, L y hoparalaporción AC de la viga. b) Determine la máxima carga permisible si L = 800mm.

ho = 200 mm, b = 25 mm y <Tperm= 72 MPa.

p

Figura P5.131

5.132Y 5.133 Un diseño preliminar basado en el uso de una viga prismáticademaderasimplementeapoyada indicó que se requeriría una viga con sección trans-/e!Salrectangularde 50 mm de ancho y 200 mm de altura para soportar con seguri-dadlacargaque se muestra en la parte a de la figura. Después se decidió reempla-1Mdichaviga con una viga ensamblada obtenida al pegar, como se observa en la?artebdela figura,cuatro piezas de la misma madera que la viga original y de sec-;¡óntransversalde 50 X 50 mm. Determine la longitud 1 de las dos piezas exterio-resdemaderaque darán el mismo factor de seguridad que el diseño original.

p

a)

A B

b)

Figura P5.132

5.134Y 5.135 Un diseño preliminar basado en el uso de una viga prismáticaenvoladizoindicó que se requeriría una viga con sección transversal rectangular de; in.de ancho y 10 in. de altura para soportar con seguridad la carga que se observa

t:nlaparte a de la figura. Después se decidió reemplazar esta viga con una viga en-

iaIlIbladaobtenida al pegar, como se indica en la parte b de la figura, cinco piezasdelamismamadera que la viga original y de sección transversal de 2 X 10 in. De-;erminelas longitudes respectivas 1, y 12de las dos piezas interiores y exteriores demaderaquedaránel mismo factor de seguridadque el diseño original.

B

6.25 ft

a)

eD B

A

b)

Figura P5.134

Problemas 359

w

CmmT1DA.o B

a)

A~ ~B

b)Figura P5.133

A B

6.25ft

a)

eD B

A

b)

FiguraP5.135

360 Análisis y diseño de vigas para flexión 5.136 Y 5.137 Un elemento de máquina hecho de aluminio colado, conlaforma de un sólido de revolución de diámetro variable d, se diseña para soportarla carga mostrada en la figura. Si se sabe que el elemento de máquina debe serderesistencia constante, exprese d en términos de x, L y do.

wp

Lx~ IC J""

~L/2~L/2


5.138 Una fuerza transversal P se aplica como se muestra en la figura enelextremo A del elemento cónico ahusado AR. Si do es el diámetro del elemento enA,muestre que el máximo esfuerzo normal ocurre en el punto H, el cual está contenidoen una sección transversal de diámetro d = 1.5do.

Figura P5.138

5.139 Una viga en voladizo AR, que consiste en una placa de acero de espe.sor uniforme h y ancho variable b, debe soportar una carga distribuida w a lo largode su línea central AB. a) Si se sabe que la viga debe ser de resistencia constante,exprese b en términos de x, L y bo. b) Determine el máximo valor permisible dewsi L = 15 in., bo = 8 in., h = 0.75 in. y O"perm= 24 ksi.

Figura P5.139

5.140 Suponiendoque la longitudy el anchode las placas utilizadasen lavigadel problemamodelo5.12 son, respectivamente,1= 4 m y b = 285 mm,y recor.dando que el espesor de cada placa es de 16 mm, determine el esfuerzo normalmá.ximo ejercido sobre una sección transversal a) a través del centro de la viga, b) justoa la izquierda de D.

5.141 Sabiendo que <Tpenn= 150 MPa, determine la máxima carga concen-Ir.!daP aplicable al extremo E de la viga mostrada en la figura.

Problemas 361

eP"12 x 225 rnrn

\

DE~I W310 x 60

A-

L- B, 2.1m

4.5rn

1.2rn

2.1 rn

Figura P5.141

5.142 Dos placas, cada una con un espesor de i in., se sueldan a una vigaW30X99como se muestra en la figura. Si 1= 9 ft Yb = 12 in., determine el es-fuerzononnalmáximo ejercido sobre una sección transversala) a través del centrodelaviga,b) justo a la izquierda de D.

30 kips/ftrTTTTTTTTTl 5.

ULtiLLLlU sin. r-

Al ,,' " L b1""~i:'- ",;B f~¡' f:'- 1 ,1 ,1 W30x991 16 ft

Figura P5.142 y P5.143

5.143 Dos placas, cada una con espesor de i in., se sueldan a una viga W30

x 90como se muestra en la figura. Sabiendo que <Tpenn= 22 ksi tanto para la vigacomoparalas placas, determine el valor requerido para a) la longitud de las placas,b)elanchode las placas.

5.144 Dos placas, cada una de 7.5 mm de espesor, se sueldan a una viga W460X74como se muestra en la figura. Si 1 = 5 m y b = 200 mm, determine el es-fuerzononnalmáximo ejercido sobre una sección transversala) a través del centrodelaviga,b) justo a la izquierda de D.

40 kN/rn

[[[[[IllI[[DB

JFigura P5.144 Y P5.145

5.145 Dos placas, cada una de 7.5 mm de espesor, se sueldan a una viga W460x74como se muestra en la figura. Sabiendo que <Tpenn= 150 MPa tanto para la vigacomoparalas placas, determine el valor requerido para a) la longitud de las placas,b)elancho de las placas.


Figura P5.150

r5.146 Dos placas, cada una con espesor de 1in. se sueldan a una viga W2J

X 84 como se muestra en la figura. Si l = 10 ft Yb = 10.5 in., determine el esfuerzonormal máximo ejercido sobre una sección transversal a) a través del centrodelaviga, b) justo a la izquierda de D. ¡

160 kips


5.147 Dos placas, cada una con espesor de 1in., se sueldan a una viga W27X 84 como se muestra en la figura. Sabiendo que a perm= 24 ksi tanto para la vigacomo para las placas, determine el valor requerido para a) la longitud de las placas,b) el ancho de las placas.

5.148 Para la viga ahusada que se muestra en la figura, determine a) la sec-ción transversal donde ocurre el esfuerzo normal máximo, b) la máxima carga dis-tribuida w que puede aplicarse, si se sabe que aperm= 140 MPa.


5.149 Para la viga ahusada que se muestra en la figura, y sabiendo que w =160 kN/m, determine a) la sección transversal donde ocurre el esfuerzo normal má.

ximo, b) el valor correspondiente del esfuerzo normal.

5.150 Para la viga ahusada que se muestra en la figura, determine a) la sec-ción transversal donde ocurre el esfuerzo normal máximo, b) la máxima carga dis-tribuida w que puede aplicarse, si se sabe que aperm= 24 ksi.

Figura P5.151

5.151 Para la viga ahusada que se muestra en la figura, determine a) la sec-ción transversal en donde ocurre el esfuerzo normal máximo, b) la máxima cargaconcentradaP que puede aplicarse, si se sabe que aperm= 24 ksi.

REPASO V RESUMEN,

DEL CAPITULO5

Estecapítulo se dedicó al análisis y diseño de vigas sometidas a cargastransversales. Tales cargas pueden consistir en cargas concentradas o encargasdistribuidas y las vigas mismas se clasifican de acuerdo a la mane-raenque están apoyadas (figura 5.3). Solamente se consideraron vigas es-táticamentedeterminadas en este capítulo; el análisis de vigas estática-menteindeterminadas se postergará hasta el capítulo 9.

Vigas ..estáticamenteA

determinadas .~ L

a) Viga simplemente apoyada b) Viga con un tramo en voladizo

Vigasestáticamenteindeterminadas

~L L

el) Viga continua e) Viga empotrada en un extremoy simplemente apoyada

en el otro extremoFigura5.3

A pesar de que las cargas transversales causan tanto flexión como cor-tanteen una viga, los esfuerzos normales causados por la flexión son elcriteriodominanteen el diseño de una viga por resistencia [véase sección5.1].Por tanto, este capítulo trató únicamente con la determinación de losesfuerzosnormales en una viga, mientras que el efecto de los esfuerzosdecortantese examina en el siguiente.

Se recordó, de la sección 4.4, la fórmula de flexión para la determi-nacióndel valor máximo (Jmdel esfuerzo normal en una sección dada delaviga,

IMlc(Tm= 1 (5.1)

donde1es el momentode inerciade la seccióntransversalcon respecto alejecentroidal perpendicular al plano del par flector M y e es la máximadistanciadesde la superficie neutra (figura 4.13). También se recordó de

Consideraciones para el diseñode vigas prismáticas

~~ L ~

e) Viga en voladizo

~~

~I

L

~~

f) Viga empotrada

Esfuerzos normales debidos a la flexión

Superficie neutral

Figura 4.13

363


Diagramas de cortante

y de momento flector

~t5 Jl~v

a) Fuerzas internas

(cortante positivo y momento !lector positivo)

Figura 5.7a

Relaciones entre la carga, el cortante

y el momento flector

la sección 4.4 que, al introducir el módulo de sección elástico S = l/ede la viga, el valor máximo um del esfuerzo normal en la sección seex-presa como

IMI

um = S(5.3)

Se sigue de la ecuación (5.1) que el esfuerzo normal máximo se pro-duce en la sección donde IMI sea máximo, en el punto más lejano delejeneutro. La determinación del máximo valor de IMI y de la sección críticade la viga en la que ocurre se simplifica mucho si se dibuja un diagramade cortante y un diagrama de momento flector. Estos diagramas represen-tan, respectivamente, la variación del cortante y del momento flector a lolargo de la viga y se obtuvieron determinando los valores de V y de M enpuntos selectos de la viga [véase sección 5.2]. Estos valores se encontra-ron efectuando un corte a través del punto donde debían ser determinadosy dibujando el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de las porciones dela viga obtenidas de esta manera. Para evitar cualquier confusión con res-pecto al sentido de la fuerza cortante V y del momento flector M (queac-túan en sentidos opuestos en las dos porciones de la viga), se siguió laconvención de signos adoptada anteriormente en el texto y que se ilustraen la figura 5.7a [véase ejemplos 5.01 y 5.02, problemas modelo 5.1y 5.2].

La construcción de los diagramas de cortante y de momento tlectorse facilita si se toman en cuenta las siguientes relaciones [véase sección5.3]. Denotando por w la carga distribuida por unidad de longitud (supues-tamente positiva si se dirige hacia abajo), se escribió

dV

dx

dM

dxV (5.5, 5.7)-w

o, en forma integrada,

VD- Vc = -(área bajo la curva de carga entre e y D)MD - Mc = áreabajo la curvade corteentree y D

(5.6')

(5.8')

La ecuación (5.6') hace posible dibujar el diagrama de cortante de una vi-ga de la curva que representa la carga distribuida en dicha viga y el valorde Ven un extremo de la viga. De manera análoga, la ecuación (5.8') per-mite dibujar el diagrama de momento flector del diagrama de cortante ydel valor de M en un extremo de la viga. Sin embargo, las cargas concen-tradas introducen discontinuidades en el diagrama de cortante y los paresconcentrados en el diagrama de momento flector, ninguno de los cualesse considera por estas ecuaciones [véase problemas modelo 5.3 y 5.6]. Fi-nalmente, se advirtió, de la ecuación (5.7), que los puntos de la viga don-de el momentoflectores máximoo mínimoson tambiénlos puntosdonde el corte es cero [véase problema modelo 5.4].

Elprocedimiento apropiado para el diseño de una viga prismática sedescribióen la sección 5.4 y se resume aquí:

Habiendo determinado upermpara el material empleado y suponiendoqueel diseño de la viga se controla por el esfuerzo normal máximo en la\'iga,se calcula el mínimo valor permisible del módulo de sección:

!MIIIIÍlx

Smín = a rerm(5.9)

Para una viga de madera de sección transversal rectangular, S = ~ bh2,donde b es el ancho de la viga y h su espesor. Las dimensiones de la sec-ción,por tanto, deben seleccionarse de tal manera que ~ bh2 ~ Smín'

Para una viga de acero laminado, consulte la tabla apropiada en elapéndiceC. De los perfiles disponibles, considere sólo aquellos cuyo mó-dulode sección S ~ Snúny seleccione, de este grupo, la sección con el mí-nimopeso por unidad de longitud. Ésta será la más económica de las sec-cionespara las que S ~ SmílJ"

En la sección 5.5 se explicó un método alterno para la determinacióndelosmáximos valores para el cortante y para el momento fIector basa-doen el uso de las funciones de singularidad (x - a)n. Por definición, yparan 2::O,se tiene

(x _ a)n = {(x - a)" cuando x ~ aO cuandox < a

(5.14)

Seseñaló que cuando la cantidad entre los corchetes sea positiva o cero,loscorchetes deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios; en cambio,cuandola cantidad sea negativa,los corchetes mismos serán iguales a ce-ro.También se estudió que las funciones de singularidad pueden integrar-sey derivarse como binomios ordinarios. Por último, se observó que lafunción de singularidad correspondiente a n = O es discontinua en x = a(figura5.18a). Esta función se denominó como la función escalón. Se es-cribió

(x _ a)O={

I cuando x ~ a

O cuando x < a(5.15)

o a x

a) n = O

Figura 5.18a

Repaso y resumen del capítulo 5 365

Diseño de vigas prismáticas

Funciones de singularidad

Función escalón


Uso de las funciones de singularidad para

expresar el corte y el momento flector

p

~Le

Figura 5.8

Cargas abiertas equivalentes

El uso de las funciones de singularidad hace posible representarelcortante o el momento fIector en una viga por una expresión única, váli-da en cualquier punto de la viga. Por ejemplo, la contribución al cortantede la carga concentrada P aplicada en el punto medio e de una viga sim-plemente apoyada (figura 5.8) puede representarse por -p(x -1L)O,yaque esta expresión es igual a cero a la izquierda de e, y a - P a la dere.cha de C. Sumando la contribución de la reacción RA = 1P en A, seex-presa el cortante en cualquier punto de la viga como

"BEl momento fIector se obtiene integrando esta expresión:

M(x) = 1Px - p(x -1L)'

Las funciones de singularidad que representan, respectivamente, lacarga, el corte y el momento flector correspondientes a varias cargas bá-sicas se presentan en la figura 5.19 en la página 346. Se explicó que unacarga distribuida que no se extiende hasta el extremo derecho de la viga.

o que es discontinua, deberá reemplazarse por una combinación equiva-lente de cargas abiertas. Por ejemplo, una carga uniformemente distri.buida que se extienda desde x = a hasta x = b (figura 5.20) deberá expre-sarse como

Figura 5.20

Vigas no prismáticas

Vigas de resistencia constante

xx

~L1 -WO J

La contribución de esta carga al cortante y al momento flector puede ob-tenerse mediante dos integraciones sucesivas. Sin embargo, deberá tener-se cuidado de incluir también en la expresión para V(x) la contribución delas cargas concentradas y de las reacciones, y de incluir en la expresiónpara M(x) la contribución de los pares concentrados [véase ejemplos 5.05y 5.06, Y problemas modelo 5.9 y 5.10]. También se observó que lasfun-ciones de singularidad se adaptan bien para usarse en computadoras.

Hasta ese punto el estudio se habrá concentrado en las vigas prismá-ticas, es decir, vigas con sección transversal uniforme. Por ello, en la sec-ción 5.6 se inició el análisis del diseño de vigas no prismáticas, es decir,vigas con sección transversal variable. Se vio que al seleccionar la formay el tamaño de la sección transversal de manera que su módulo de secciónelástico S = l/c variara a lo largo de la viga de la misma manera que elmomento fIector,pueden diseñarse vigas para las que Umen cada secciónsea igual a uperm'En tales vigas, llamadas vigas de resistencia constante,el material rinde mejor que en las vigas prismáticas. Su módulo de sec-ción en cualquier sección a lo largo de la viga se definió por la relación

S= Mu pcnn

(5.18)

iI

1

PROBLEMASDE REPASO

5.152 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las

cargasque se muestran en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) del cor-tante,b) del momento flector.

5.153 Determine la máxima carga distribuida w permisible para la viga quesemuestraen la figura, sabiendo que el esfuerzo normal permisible es de + 12 ksientensióny de -29.5 ksi en compresión.

5.154 Resuelva el problema 5.153, para ello suponga que la sección transver-salde la viga se invierte, con el patín de la viga apoyado sobre los soportes B y C.

75mmI B

200mm 200mm 200mm

Figura P5.152

5.155 a) Utilice funciones de singularidad para encontrar la magnitud y ubi-

cacióndel momento flector máximo para la viga y las cargas que se muestran en lafigura.b) Determineel esfuerzo normal máximo debido a la flexión. Figura P5.153

lOkN

A XW530x 150

Figura P5.155

5.156 Trace los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y lascargasque se muestran en la figura, y determine el esfuerzo normal máximo debidoalatlexión.

5.157 La viga AB, de longitud L y sección transversal cuadrada con lado a,:stáapoyada en un pivote en e y cargada como se muestra en la figura. a) Verifique,ilaviga está en equilibrio. b) Muestre que el esfuerzo normal máximo debido a laOexiónocurre en e y es igual a wol//(1.5a)3.

w()

AL'L 3Figura P5.157

-ja

ft.9."~' ttelB llJ a

+-~J t3

5.158 Sabiendo que la barra AB está en equilibrio bajo la carga que se mues-traen la figura, trace los diagramas de cortante y de momento flector y determine el:sfuerzonormal máximo debido a la flexión.

Figura P5.156

w() = 50 Ib/ft

(3,

A 1~1?'1

A~er9~~"11B ~L1.2ft --=-1--1.2 ft -J W()

Figura P5.158

367

E

I-IF.

A e D

300N 300N


Figura P5.159

3kN 3 kN

Dimensiones en mm

Figura P5.161

5. 159 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, diseñe la seccióntransversal de la viga; considerando que el grado de madera utilizado tiene unes-fuerzo normal permisible de 12 MPa.

B

Figura P5.160

5.160 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, diseñe la seccióntransversal de la viga; considerando que el grado de madera utilizado tiene unes-fuerzo normal permisible de 1 750 psi.

5.161 Trace los diagramas de cortante y de momento fIector para la viga ylascargas que se muestran en la figura, y determine el máximo valor absoluto a) delcor-tante, b) del momento fIector.

1.5 kipslft

Figura P5.162

5.162 Si el esfuerzo normal permisible para el acero utilizado es de 24ksi,seleccione la viga de patín ancho más económica para soportar la carga que se mues-tra en la figura.

5.163 Determine a) la magnitud del contrapeso W para la que el máximova.lor absoluto del momento fIector en la viga es lo más pequeño posible, b) el esfuerzomáximo correspondiente debido a la fIexión. (Vea la sugerencia del problema 5.27.)

lossiguientesproblemas se diseñaron para ser resueltos con una computadora.

5.C1 Varias cargas concentradas p¡ (i = 1,2, oo.,n) pueden aplicarse a una vi-

gacomose indica en la figura. Escriba un programa para computadora que permitacalcularel cortante, el momento flector y el esfuerzo normal en cualquier punto delavigapara una carga dada de la viga y un valor dado de su módulo de sección. Uti-liceesteprograma para resolver los problemas 5.18, 5.21 Y5.25. (Sugerencia: Se pro-duciránvalores máximos en un apoyo o bajo una carga.)

5.C2 Una viga de madera se diseñará para soportar una carga distribuida yhastadoscargasconcentradascomo se muestra en la figura. Una de las dimensionesdesuseccióntransversal rectangular uniforme ya se ha especificado y la otra debedeterminarsede tal manera que el esfuerzo normal máximo en la viga no exceda un\~Iorpennisibledado (Tperm'Escriba un programa de cómputo para calcular a inter-ralost!.Ldadosel corte, el momento flector y el mínimo valor aceptable de la di-mensióndesconocida.Aplique este programapara resolver los siguientes problemas,usandolos intervalos tJ.L indicados: a) problema 5.65 (tJ.L = 0.1 m), b) problema5.69(t!.L= 0.5 ft), c) problema 5.70 (tJ.L = 0.3 m).

Figura P5.C2

5.C3 Dos placas, cada una de espesor t, serán soldadas a una viga de patín an-chode longitud L, que debe soportar una carga uniformemente distribuida w. Deno-tandopor (J'permel esfuerzo normal permisible en la viga y en la placa, por d el es-pesordela viga y por lb y Sb, respectivamente,el momento de inercia y el módulodesecciónde la sección transversalde la viga sin reforzar alrededor de un eje cen-troidalhorizontal, escriba un programa de cómputo que calcule el valor requerido dea)lalongituda de las placas, b) el ancho b de las placas. Utilice este programa pa-raresolverel problema 5.145.

Figura P5.C1

w

Figura P5.C3

369

370 Análisis y diseño de vigas para flexi6n

a

Figura P5.C5

25 kips 25 kips

e B.

Figura P5.C4

5.C4 Dos cargas de 25 kips se mantienen separadas 6 ft al moverse lentamen-te a través de la viga AB de 18 ft de largo. Escriba un programa de computadorayutilícelo para calcular el momento flector bajo cada carga y en el punto medioe dela viga para valores de x de O a 24 ft a intervalos Llx = 1.5 fl.

B

5.C5 Escriba un programa para computadora que grafique los diagramas decortante y de momento flector para la viga y la carga mostrada en la figura. Apliqueeste programa con un intervalo de graficación IlL = 0.2 ft a la viga y cargadela) problema 5.72, b) problema 5.115.

Figura P5.C6

5.C6 Escriba un programa para computadora que grafique los diagramasdecortante y de momento flector para la viga y la carga mostradas en la figura. Apli-que este programa con un intervalo de graficación IlL = 0.025 m a la viga y la car-ga del problema 5.1I2.

69349172 mecanica de materiales beer c5 vigas

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