relativistička kvantna mehanika · pdf filerelativistička kvantna mehanika zadaci sa...

4
Relativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori Lorencove grupe S μν = i 4 [γ μ ν ] zadovoljavaju Lorencovu algebru: [S μν ,S ρσ ]= i(g νρ S μσ - g μρ S νσ + g μσ S νρ - g νσ S μρ ). (50%- kolokvijum) 2. Naći jednačinu koja određuje energijske nivoe čestice mase m, spina 0 i naelektrisanja e, koja se nalazi u s-stanju sfernosimetričnog potencijala: eA 0 = 0 za r<a U za r > a. U oblasti r>a čestica je u vezanom stanju. (50% - kolokvijum) 3. Ispitati kako se veličina ¯ ψ(x)S μν μ ψ(x) menja pri Lorencovim transforma- cijama, vremenskoj inverziji i konjugaciji naboja. Ovde je S μν = i 4 [γ μ ν ]. (35 % - ispit) 4. Komptonovo rasejanje je proces e - γ e - γ . Napisati amplitudu prelaza iM za ovaj proces u najnižem redu teorije perturbacije, a zatim pokazati da ova amplituda zadovoljava Vordov identitet k μ M μ =0 koji kaže da ako u amplitudi prelaza polarizacije fotona α (k) i * 0 β (k 0 ) zamenimo sa odgovara- jućim impulsima fotona k α i k 0 β , dobijamo izraz koji je jednak 0. (65% - ispit) Pismeni ispit, 11. februar 2016. 1. Čestica mase m, naelektrisanja e i spina 0 nailazi na barijeru: eA 0 = -V za x (0,a) 0 za x/ (0,a). 1

Upload: ngonga

Post on 07-Feb-2018

240 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Relativistička kvantna mehanika · PDF fileRelativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori

Relativistička kvantna mehanika

zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com

Pismeni ispit, 8. jul 2016.

1. Pokazati da generatori Lorencove grupe Sµν = i4[γµ, γν ] zadovoljavaju

Lorencovu algebru:

[Sµν , Sρσ] = i(gνρSµσ − gµρSνσ + gµσSνρ − gνσSµρ). (50%- kolokvijum)

2. Naći jednačinu koja određuje energijske nivoe čestice mase m, spina 0 inaelektrisanja e, koja se nalazi u s-stanju sfernosimetričnog potencijala:

eA0 =

{0 za r < aU za r > a.

U oblasti r > a čestica je u vezanom stanju. (50% - kolokvijum)

3. Ispitati kako se veličina ψ(x)Sµν∂µψ(x) menja pri Lorencovim transforma-cijama, vremenskoj inverziji i konjugaciji naboja. Ovde je Sµν = i

4[γµ, γν ].

(35 % - ispit)

4. Komptonovo rasejanje je proces e−γ → e−γ. Napisati amplitudu prelazaiM za ovaj proces u najnižem redu teorije perturbacije, a zatim pokazati daova amplituda zadovoljava Vordov identitet kµMµ = 0 koji kaže da ako uamplitudi prelaza polarizacije fotona εα(k) i ε∗′β(k′) zamenimo sa odgovara-jućim impulsima fotona kα i k′β, dobijamo izraz koji je jednak 0. (65% - ispit)

Pismeni ispit, 11. februar 2016.

1. Čestica mase m, naelektrisanja e i spina 0 nailazi na barijeru:

eA0 =

{−V za x ∈ (0, a)0 za x /∈ (0, a).

1

Page 2: Relativistička kvantna mehanika · PDF fileRelativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori

Naći koeficijent transmisije. Odrediti energije na kojim je barijera transpar-entna, odnosno koeficijent transmisije jednak 1.

2. Razmotrite "modifikovanu Dirakovu jednačinu" (γµ∂µ + γ5m)ψ(x) = 0i pokažite da je ona ekvivalentna sa standardnom Dirakovom jednačinom(iγµ∂µ −m)Ψ(x) = 0.Pomoć: Neka je ψ(x) = eiαγ5Ψ(x), gde je α realan parametar, i pokažiteda se α može izabrati tako da ukoliko ψ zadovoljava modifikovanu Dirakovujednačinu, onda je Ψ rešenje obične Dirakove jednačine.

3. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je:

ψ(x) =

√Ep +m

2m(1 0

p

Ep +m0)T e−i(Et−pz).

Naći talasnu funkciju antičestice ψc, talasnu funkciju na koju deluje CPTtransformacija, kao i talasnu funkciju koju vidi posmatrač zarotiran za ugaoα oko y-ose.

4. Naći diferencijalni presek za rasejanje elektrona e− na antimionu µ+:

e− + µ+ → e− + µ+,

u sistemu centra mase. Inicijalne i finalne polarizacije se ne mere.

Kolokvijum, 23. decembar 2015.

1. Napisati Dirakovu jednačinu u spoljašnjem elektromagnetnom polju. Pokazatida se iz te jednačine može dobiti sledeći oblik jednačine:(

(∂µ − ieAµ)(∂µ − ieAµ) +m2 + σµνTµν

)ψ = 0,

gde je Tµν tenzorska funkcija koja zavisi od Aµ. Ako je Aµ = 0 rešiti ovujednačinu.

2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, odnosno u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γθ

1

r∂θ + γφ

1

r sin θ∂φ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

2

Page 3: Relativistička kvantna mehanika · PDF fileRelativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori

Potom izračunati komutatore {γµ, γν}, gde su µ, ν = t, r, φ, θ.

Pismeni ispit, 12. februar 2015.

1. Jednačina kretanja masenog vektorskog polja sa članom koji fiksira kali-braciju je (�+m2)Aµ + (1−λ)∂µ∂νAν = 0. Odrediti Grinovu funkciju ovogpolja u impulsnom prostoru.

2. Elektron se rasejava u spoljašnjem polju Aµ = (0, ae−k2~x2 , 0, 0), gde su

a i k konstante. Izračunati kvadrat modula amplitude za rasejanje {|Sfi|2},usrednjen po spinskim stanjima inicijalnog elektrona i sumiran po spinskimstanjima finalnog elektrona u procesu. Uzeti da se pre rasejanja elektronkreće duž z-ose impulsom ~pi, a nakon rasejanja impulsom ~pf u xz-ravni.

Pismeni ispit, 22. januar 2015.

1. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je:

φ(x) = Np(1, 0,p

Ep +m, 0)T e−i(E−pt).

Naći talasnu funkciju koja se dobije nakon delovanja R(αey) CPT transfor-macija. Ovde su T vremenska inverzija, P prostorna inverzija, C konjugacijanaboja i R(αey) rotacija za ugao α oko y-ose.

2. Naći totalni presek za rasejanje e+e− → τ+τ− u sistemu centra mase.Taon je čestica slična elektronu s tim da mu je masa mτ = 3477, 5me.

Kolokvijum, 10. decembar 2014.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i važi da je E > m+ U0. Naći koeficijent transmisije.

2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, tj. u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γφ

1

r sin θ∂φ + γθ

1

r∂θ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

3

Page 4: Relativistička kvantna mehanika · PDF fileRelativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori

Izračunati antikomutatore {γµ, γν}, gde je µ = ν = t, r, φ, θ.

Kolokvijum, 12. decembar 2013.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i važi da je E > m+ U0. Naći koeficijent transmisije.

2. U ovom zadatku razmotrićemo sistem koji se zove Dirakov oscilator. Takavsistem je prvi put eksperimentalno realizovan ove godine.(http://link.aps.org/dou/10.1103/PhysRevLett.111.170405)

a) Krenite od Dirakove jednačine koja opisuje česticu mase m i naelek-trisanja e u spoljašnjem elektromagnetnom polju koje ima oblik (0, ~A), apotom je napišite u formi i ∂

∂tψ = Hψ. Hamiltonijan H napišite preko ma-

trica αi = γ0γi i β = γ0.b) Pokazati da je αiαjxipj = ~r~p + i~Σ~L. Ako ne možete ovo da dokažete,pređite na deo pod c). Mala pomoć za one koji dokazuju [αi, αj] = 2iεijkΣk.c) Neka je ~A = im

cω~r, gde je ω konstanta. Pokažite da se H2 može napisati

u formi:H2 = p2 +m2 + Ar2 + (B~S~L+ C)mωβ,

gde su A, B i C konstante koje treba odrediti. Ovde je ~S = 12~Σ spin i

~L = ~r × ~p moment impulsa.

4