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Relatividad Dr J. Manuel Garc´ ıa-Islas Instituto de Investigaciones en Matem´aticasAplicadas y en Sistemas Universidad Nacional Aut´onoma de M´ exico, UNAM A. Postal 20-726, 01000, M´ exico DF, M´ exico e-mail: [email protected] 10 de marzo de 2011

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curso de relatividad, síntesis

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Relatividad

Dr J. Manuel Garcıa-Islas

Instituto de Investigaciones en Matematicas Aplicadas y en SistemasUniversidad Nacional Autonoma de Mexico, UNAM

A. Postal 20-726, 01000, Mexico DF, Mexicoe-mail: [email protected]

10 de marzo de 2011

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Resumen

Notas del curso de relatividad nivel licenciatura de la carrera de Fısica

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Indice general

1. Relatividad Especial 2

1.1. Relatividad Galileana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El Espacio-Tiempo de Minkowski y Transformaciones de Lorentz 41.3. Diagramas Espacio-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Contraccion de la longitud y dilatacion del tiempo . . . . . . . . 111.5. Curvas en el espacio-tiempo y tiempo propio . . . . . . . . . . . 131.6. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Suma de velocidades y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8. Lınea de mundo de una partıcula que se mueve con aceleracion

en un sistema de referencia inercial . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Variedades Diferenciables 24

2.1. Estructura diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Vectores y Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

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Capıtulo 1

Relatividad Especial

1.1. Relatividad Galileana

La relatividad Galileana o Newtoniana se basa en la existencia de un espaciode tres dimensiones y un tiempo absoluto. Por tiempo absoluto entenderemosque todo observador asigna el mismo valor temporal a un evento. Matematica-mente R3 es el espacio. Un observador asigna a un evento coordenadas espaciales(x, y, z) en un sistema que identifica como R3 con ejes de coordenadas que po-demos considerar ortogonales. Tambien le asigna una coordenada temporal tdel tiempo absoluto. Otro observador asignara al mismo evento coordenadas(x′, y′, z′) pero sin embargo por absolutismo del tiempo entendemos una vezmas que t′ = t.

Cada observador tiene un sistema y en dicho sistema el observador asignatres coordenadas espaciales a los eventos. Podemos entonces pensar que dichosistema es el espacio R3 mismo y un evento es entonces un punto de R3.

Un sistema de referencia inercial se define deacuerdo a un observador comoaquel donde la primera ley de Newton se cumple, es decir, un sistema en dondesi una partıcula se encuentra en reposo permanecera en reposo en ausencia deuna fuerza y una partıcula en movimiento rectilıneo uniforme permanecera endicho estado tambien en ausencia de una fuerza.

Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ donde cada observador ensu sistema ha escogido un sistema de coordenadas con ejes ortogonales.

Considere que se mueven a velocidad relativa v uno respecto del otro y queen un tiempo inicial t = t′ = 0(tiempo absoluto) los sistemas coincidian te-niendo sus respectivos ejes paralelos. Por simplicidad considere que los sistemasse mueven paralelamente a lo largo de los ejes x x′. (Fig 1.1) Es importanteentender lo siguiente. Cuando hablamos de velocidad relativa de dos sistemasinerciales nunca se ha mencionado que un sistema esta en reposo y otro esta enmovimiento, ya que esto implicarıa que estariamos pensando en un espacio ab-soluto, un espacio preferencial respecto al cual los demas sistemas se mueven opermanecen en reposo. Abandonamos esta idea desde este momento y tan solo

2

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 3

Figura 1.1: Sistemas inerciales en movimiento relativo

podemos argumentar que desde el punto de vista del observador que esta en elsistema S el sistema S ′ se mueve con rapidez v en la direccion positiva de su ejex. Analogamente podemos pensar que desde el punto de vista del observadorque esta en el sistema S ′ el sistema S se mueve con rapidez v en la direccionnegativa de su eje x′.

Observe que lo importante es el movimiento relativo. No existe un siste-ma preferencial, tan solo hablaremos de sistemas inerciales que se mueven convelocidades relativas, sin que alguno sea preferencial. Hablamos de un tiempoabsoluto en relatividad Galileana, pero hemos abandonado desde un principiola nocion de un espacio absoluto.

Sea un evento con coordenadas (x′, y′, z′) en un tiempo t′, es decir un eventoobservado en el sistema S ′ en dicha posicion y en dicho momento. Es claro quelas coordenadas asociadas a de dicho evento por un observador en el sistema Sestan relacionadas con las asociadas en S ′ por medio de

t′ = t

x′ = x− vt (1.1)

y′ = y

z′ = z

De manera inversa las transformaciones inversas de las coordenadas de S en

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 4

terminos de las de S ′ tienen la misma forma remplazando v por −v.Si una partıcula se mueve en la direccion x a una velocidad u en S, entonces

su velocidad en S ′ esta dada por

u′x =dx′

dt′=dx

dt− v = ux − v (1.2)

dicha ecuacion es interpretada como la suma de velocidades. Es facil notar quesi diferenciamos de nuevo obtenemos la ecuacion a′x = ax. Es decir, cuando unapartıcula cambia su velocidad, dicho cambio es el mismo para ambos observa-dores. Todos los observadores en sistemas de referencia inerciales mediran lamisma aceleracion de una partıcula. En mecanica Newtoniana la masa de unapartıcula no se ve afectada por el movimiento, y por tanto la segunda ley deNewton se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales; esto implica quetodas las leyes de la mecanica son las mismas en todos los sistemas de referenciainercial.

Esto confirma una vez mas lo mencionado anteriormente sobre la no exis-tencia de un espacio absoluto, ya que, el que las leyes de la mecanica sean lasmismas en todos los sistemas de referencia inercial implica que no existe manerade realizar experimentos mecanicos que hagan distinguir de manera especial yunica a algun sistema sobre demas. Todos los sistemas de referencia inercialesson equivalentes.

1.2. El Espacio-Tiempo de Minkowski y Trans-

formaciones de Lorentz

La relatividad especial surge al abandonar del concepto de tiempo absolutoy asumir dos postulados.

1) Las leyes de la Fısica son las mismas en todos los sistemas de referenciainerciales.

2) La velocidad de la luz toma el mismo valor en todos los sistemas dereferencia inerciales.

Estos postulados nos dicen de nuevo que no existe un sistema de referenciainercial preferencial. No hay experimentos que pueda realizar un observador enmovimiento inercial que lo hagan determinar la existencia preferencial de susistema sobre los demas; tambien todos los observadores inerciales coincidiranen el valor de la velocidad de la luz.

Debemos entender que lo que estos postulados afirman aun es mas profun-do. Como no existe dicho sistema de referencia inercial preferencial entoncesen relatividad solo se puede hablar de movimiento relativo entre sistemas iner-ciales. Cuando se considera un problema que involucra movimientos relativosde sistemas referenciales inerciales es valido considerar lo que un observadoren uno de estos sistemas mide, y como relaciona sus mediciones respecto a los

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 5

demas observadores en otros sistemas. Y siempre es posible cambiar de obser-vador y obtener las relaciones correspondientes; estas relaciones estaran dadaspor transformaciones como veremos en un momento. En otras palabras, todoslos sistemas de referencia inercial son equivalentes.

Definamos ahora el espacio-tiempo de la relatividad especial. Tenemos queel tiempo ya no es absoluto, es decir que cada observador tendra su propiamedida del tiempo. Considere de nuevo dos sistemas de referencia inercial Sy S ′, que se mueven a velocidad relativa v. Por simplicidad consideremos denuevo que ambos sistemas estan alineados como en la figura 1.1. Considereque un observador en el sistema S detecta que un evento ha ocurrido en algunmomento que un reloj que lleva consigo le dice. Ademas lo ha observado en algunpunto de su sistema. Por tal le asigna cuatro coordenadas (t, x, y, z). Este mismoevento tiene coordenadas asignadas por un segundo observador en el sistema S ′

como (t′, x′, y′, z′). Deacuerdo al simple movimiento que estamos considerandode la figura 1.1 y a que el tiempo ya no es absoluto podemos deducir que latransformacion de coordenadas entre S y S ′ estan dadas por

t′ = At+Bx

x′ = Dt+ Ex (1.3)

y′ = y

z′ = z

El origen de S ′, es decir x′ = 0, desde el punto de vista del observador en Scorresponde al punto x = vt. Por tanto haciendo x′ = 0 y x = vt tenemos queD = −Ev. Esto implica que puedo escribir las ecuaciones (1.3) como

t′ = At+Bx

x′ = E(x− vt) (1.4)

y′ = y

z′ = z

Considere que cuando los dos sistemas S y S ′ coinciden en sus respectivosorıgenes, ambos observadores en estos sistemas seleccionan sus tiempos t = 0y t′ = 0 respectivamente y que el observador del sistema S emite un haz deluz desde su origen de su sistema de coordenadas. Fotones se desplazan entodas las direcciones, y por tanto en cada tiempo fijo t de S el conjunto detodos estos fotones del haz de luz han recorrido una distancia ct y determinanmatematicamente una esfera con ecuacion

x2 + y2 + z2 = ct2 (1.5)

Utilizaremos unidades de tal forma que la velocidad de la luz c = 1. Y nuestraecuacion (1.5) se escribe entonces

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 6

x2 + y2 + z2 = t2 (1.6)

Tenemos el postulado de que la velocidad de la luz toma el mismo valor en cual-quier sistema de referencia inercial independientemente de como se mueva esterespecto a un haz de luz. Por tanto para un observador en el sistema S ′ los foto-nes del haz de luz que fueron emitidos en S forman tambien matematicamentea cada tiempo fijo t′ una esfera con ecuacion

x′2+ y′

2+ z′

2= t′

2(1.7)

Sustituyendo en esta ecuacion (1.7) las transformaciones de las ecuaciones (1.4)tenemos

(E(x− vt))2 + y2 + z2 = (At+Bx)2 (1.8)

Podemos re-escribir la ecuacion como

(E2 −B2)x2 + y2 + z2 − 2(vE2 + AB)xt = (A2 − v2E2)t2 (1.9)

Comparando esta ecuacion (1.9) con la ecuacion (1.6) tenemos el sistema deecuaciones

E2 − B2 = 1

vE2 + AB = 0 (1.10)

A2 − v2E2 = 1

Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos los valores de A,B,E dadospor

A =1√

1 − v2

B = − v√1 − v2

(1.11)

E =1√

1 − v2

Por tanto podemos escribir las ecuaciones (1.3) como

t′ =t− vx√1 − v2

x′ =x− vt√1 − v2

(1.12)

y′ = y

z′ = z

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 7

Denotemos por γ = 1/√

1 − v2. Dichas ecuaciones (1.12) de cambio de coor-denadas entre los dos sistemas se conocen como transformaciones de Lorentz.Seamos un poco mas precisos matematicamente.

Hemos mencionado que cada observador asocia a un evento 4 coordenadas(t, x, y, z). Definimos el espacio-tiempo como un espacio vectorial de cuatro di-mensiones que identificamos como R4 con una forma cuadratica Q dada por

Q = −t2 + x2 + y2 + z2 (1.13)

Un evento es entonces un punto del espacio-tiempo con coordenadas (t, x, y, z)que se puede pensar tambien como un vector en dicho espacio vectorial. Di-cho espacio vectorial con la forma cuadratica Q se conoce como el espacio-tiempo de Minkowski. Sean dos eventos con coordenadas p1 = (t1, x1, y1, z1)y p2 = (t2, x2, y2, z2)1 respectivamente. Si denotamos las coordenadas genera-les como t = x0, x = x1, y = x2, z = x3, entonces los dos eventos p1, p2, lospodemos denotar como (xµ1) = (x01 , x11 , x21 , x31) y (xµ2) = (x02 , x12 , x22 , x32)Dados estos dos eventos definimos su separacion espacio-temporal usando laforma cuadratica como

Q(p2 − p1) = − (t2 − t1)2 + (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

= − (x02 − x01)2 + (x12 − x11)2 + (x22 − x21)2 + (x32 − x31)2

=3

µ,ν=0

ηµν∆xµ∆xν (1.14)

donde ∆xµ,∆xν denotan las diferencias (x02 − x01), (x12 − x11), (x22 − x21),y (x32 − x31) para cada µ, ν que van de cero a tres, y ηµν toma los valoresη00 = −1, η11 = 1, η22 = 1, η33 = 1, con los demas terminos igual a cero, es decirηµν = 0 cuando µ 6= ν. Si los ∆xµ denotan diferencias de coordenadas entredos eventos, y suponemos que estos eventos suceden muy cercanos uno de otro,es decir ubicados en tiempos y coordenadas espaciales muy cercanas entoncesdenotamos a ∆xµ por una diferencial dxµ. Si tambien denotamos a Q por ds2

tenemos entonces que la formula (1.14) la podemos escribir como

ds2 =3

µ,ν=0

ηµνdxµdxν (1.15)

Utilizando la convencion de Einstein nos olvidamos de la suma en la ecuacion(1.15) y la escribimos como

ds2 = ηµνdxµdxν (1.16)

1No confundir, los numeros arriba de las letras denotan numeracion de coordenadas y no

potencias

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 8

entendiendo que siempre que tenemos indices repetidos arriba y abajo, en estecaso µ y ν implica que hay una suma sobre dichos indices.

A la forma cuadratica (1.13) que hemos escrito en la forma (1.16) se le co-noce como metrica del espacio-tiempo. Podemos verificar que dadas las trans-formaciones de Lorentz (1.12) la metrica (1.16) permanece invariante. Esto esmuy facil de verificar pues dados los eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31) y p2 =(x02 , x12 , x22 , x32) como anteriormente, que corresponden a coordenadas asocia-das a dos eventos por un observador en S; las correspondientes coordenadasasociadas a estos eventos por el observador en S ′ son p′1 = (x′01 , x′11 , x′21 , x′31)y p′2 = (x′02 , x′12 , x′22 , x′32) que estan relacionadas con las asociadas por S me-diante las transformaciones (1.12) y al sustituir se verifica que

−(∆x0)2 +(∆x1)2 +(∆x2)2 +(∆x3)2 = −(∆x′0)2 +(∆x′

1)2 +(∆x′

2)2 +(∆x′

3)2

Matematicamente entonces podemos decir que las transformaciones de Lorentzson transformaciones lineales en el espacio vectorial que es el espacio-tiempo yque dejan invariantes la forma cuadratica (1.16).

Para ver esto de la forma mas simple, observe que podemos re-escribir lastransformaciones (1.12) en forma matricial.

t′

x′

y′

z′

=

γ −vγ 0 0−vγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

(1.17)

que es la matriz asociada a dicha transformacion lineal.Veamos ahora una manera analoga en la que podemos escribir las trans-

formaciones de Lorentz. Esta manera nos hara tener un entendimiento desdeel punto de vista mas matematico sobre estas transformaciones en las que lamanera algebraica se relaciona con la manera geometrica. Definamos la trans-formacion lineal dada matricialmente como

t′

x′

y′

z′

=

coshφ − senh φ 0 0− senh φ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

(1.18)

donde −∞ < φ < ∞. La transformacion invesa esta dada reemplazando φ por−φ. En el plano (t, x) la transformacion viene dada por

t′ = t cosh φ− x senh φ

x′ = −t senh φ+ x coshφ (1.19)

Para ver que esta forma de la transformacion de Lorentz (1.19) es equivalentea la usual (1.12) lo verificamos de la siguiente forma:

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en primer lugar el punto x′ = 0 se mueve con velocidad v = tanhφ desde elpunto de vista del observador que esta en el sistema inercial S. Esto se puedever de la ecuacion dos de la transformacion (1.19)

0 = −t senh φ+ x coshφ =⇒ v =x

t=

senhφ

coshφ= tanhφ (1.20)

Las ecuaciones (1.19) las ponemos en la forma

t′ = coshφ

(

t− xsenh φ

cosh φ

)

x′ = coshφ

(

− tsenh φ

coshφ+ x

)

(1.21)

tenemos que coshφ = 1/sech φ = 1/√

1 − tanh2 φ = 1/√

1 − v2 = γ. Por tantotenemos que

t′ = γ

(

t− vx

)

x′ = γ

(

x− vt

)

(1.22)

Y por lo tanto nuestra transformacion (1.19) es equivalente a la transforma-cion (1.12).

1.3. Diagramas Espacio-Tiempo

Geometricamente la forma en que escribimos las transformaciones de Lo-rentz nos ensena que se puede pensar en estas como en un tipo de rotacionespacio-temporal. En el caso particular del movimiento relativista mas simplesobre los ejes x, x′ como en la figura 1.1, la rotacion espacio-temporal se ve de lasiguiente forma. El observador que se encuentra en S dibuja lo que se llama undiagrama espacio-tiempo. Este considera ejes ortogonales, tres de espacio y unode tiempo. Como esto seria un diagrama en cuatro dimensiones, considera unasimplificacion de este hecho y tan solo dibuja dos ejes de espacio y uno de tiem-po. Deacuerdo a que esta simple transformacion de Lorentz que hemos estadoconsiderando solo se redue a la transformacion (1.19) es suficiente considerardos ejes, uno espacial y otro temporal. El eje x′ es aquel cuando t′ = 0 y por laprimera ecuacion de esta trasformacion tenemos que t′ = 0 corresponde a quet/x = tanhφ lo que nos indica que la pendiente de x′ es menor a 1. El eje t′ esaquel cuando x′ = 0 y por la segunda ecuacion de esta trasformacion tenemosque x′ = 0 corresponde a que t/x = 1/ tanhφ lo que nos indica que la pendiente

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Figura 1.2: Rotacion espacio-temporal

de t′ es mayor a 1. Por tanto los ejes t′ y x′ en el diagrama espacio-temporaldel observador que esta en el sistema de referencia inercial S se ven como en lafigura 1.2.

El observador que se encuentra en S se encuentra en reposo en su propiosistema de referencia inercial y por tanto en un diagrama espacio-temporalcomo el de la figura 1.2 el eje t representa su llamada linea de mundo. Eleje t′ representa la linea de mundo del sistema S ′ desde el punto de vista delobservador que esta en S. Ademas S ′ tiene velocidad v desde el punto de vistadel observador en S y esta se representa en el diagrama por la pendiente deleje t′ respecto al eje t. Recuerde que el eje t′ es aquel para el cual x′ = 0 ycorresponde a t/x = 1/ tanhφ > 1 ⇒ x/t = v = tanhφ < 1, que es la pendientede esta recta a partir del eje t.

Por tal, toda partıcula masiva que se mueve a velocidad relativa constanterespecto a un observador que se encuentra en un sistema de referencia inercialS, tiene una trayectoria en un diagrama espacio-temporal dada por una rectacon pendiente menor a uno respecto al eje temporal.

En la figura 1.2 se tiene un punto del espacio-tiempo(evento) con proyeccio-nes a los ejes t y x, pero tambien tiene proyecciones a los ejes t′ y x′. El eje x′

representa los puntos t′ = 0, es decir representa eventos que pasan simultanea-mente en S ′, en el tiempo t′ = 0. Es facil ver que entonces las lineas paralelasal eje x′ representan eventos simultaneos en S ′. Graficamente es facil ver que

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eventos simultaneos en S ′ que se encuentran en lineas paralelas al eje x′ norepresentan eventos simultaneos en S ya que estos no se proyectan a la mismacoordenada t. De la misma manera, eventos simultaneos en S que se representanen lineas paralelas al eje x, no representan eventos simultaneos en S ′. En estosdiagramas espacio-tiempo es facil ver como eventos que son simultaneos paraun observador en un sistema de referencia inercial S ′, no son simultaneos paraun segundo observador que se mueve relativamente al primero en un sistema dereferencia inercial S.

1.4. Contraccion de la longitud y dilatacion del

tiempo

Sean dos sistemas de referencia inerciales S y S ′, que se mueven a velocidadrelativa v. Considere una barra en reposo en el sistema S ′ que tiene longitudL′ = x′B − x′A medida en dicho sistema.

Figura 1.3: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Una barra en S ′ delongitud L′ = xB′ − xA′

¿Que longitud tiene la barra respecto a un observador en S? Deacuerdo alas transformaciones de Lorentz, tenemos que

x′B =xB − vtB√

1 − v2y x′A =

xA − vtA√1 − v2

(1.23)

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 12

Desde el punto de vista del observador en S la barra esta en constante movi-miento y por tanto debe de realizar la medicion de los puntos iniciales y finalesde la barra xB y xA al mismo tiempo, es decir tB = tA.

Esto implica entonces que

L′ = x′B − x′A =xB − xA√

1 − v2(1.24)

es decir

L = L′√

1 − v2 (1.25)

Por lo tanto la longitud L de la barra aparece contraida desde el punto de vistadel observador en S.

Considere ahora un reloj en resposo situado en S ′ donde se han consideradodos eventos, uno en tiempo t′A y otro en tiempo t′B.

Figura 1.4: Dos sistemas S y S ′ en movimiento relativo. Un reloj en reposo enS ′.

Desde el punto de vista del observador en S los dos eventos considerados enS ′ tienen lugar en tiempos

tB =t′B + vx′B√

1 − v2y tA =

t′A + vx′A√1 − v2

(1.26)

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 13

donde en estas ultimas ecuaciones hemos utilizado la transformacion inversa.Tenemos que el reloj en S ′ esta en reposo, y por lo tanto x′B = x′A. Esto implicaentonces que

T = tB − tA =t′B − t′A√

1 − v2=

T ′

√1 − v2

(1.27)

y de esta formula se puede ver que para el observador que se encuentra en S elreloj del observador en S ′ se avanza mas lentamente.

Cabe notar que ambos hechos, la contaccion de la longitud y la dilataciondel tiempo, son hechos simetricos. Esto es en el sentido en que desde el punto devista del observador en S ′ las barras que se encuentren en S se veran contraıdas ylos relojes en S avanzaran mas lentamente. Por tanto desde el punto de vista decualquier observador en un sistema de referencia inercial, barras en movimientose veran contraıdas y relojes en movimiento avanzaran mas lentamente.

1.5. Curvas en el espacio-tiempo y tiempo pro-

pio

Considere de nuevo el espacio-tiempo de MInkowski como se definio en laseccion 1.2. Recuerde que este es un espacio vectorial de cuatro dimensiones queidentificamos como R4 con una forma cuadratica ds2 dada por

Q = −(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 (1.28)

donde hemos re-etiquetado t = x0, x = x1, y = x2, z = x3. Recuerde tambienque dados dos eventos p1 = (x01 , x11 , x21 , x31) y p2 = (x02 , x12 , x22 , x32) definimossu separacion espacio-temporal usando la forma cuadratica como

Q(p2 − p1) = − (x02 − x01)2 + (x12 − x11)2 + (x22 − x21)2 + (x32 − x31)2

=3

µ,ν=0

ηµν∆xµ∆xν (1.29)

La separacion entre los eventos p1 y p2 se le llamara respectivamente

temporal si y solo si Q(p2 − p1) < 0

espacial si y solo si Q(p2 − p1) > 0

nula o de luz si y solo si Q(p2 − p1) = 0

Hemos mencionado que en el espacio-tiempo de un observador inercial, unsistema (que puede ser una partıcula) que se mueve a velocidad relativa cons-tante define una recta que se le llama la linea de mundo de dicha partıcula.

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 14

Figura 1.5: Vectores en el espacio-tiempo

De manera mas general tenemos que una partıcula en el espacio-tiempo de unobservador describira una trayectoria dada matematicamente por una curva.

Una curva en el espacio-tiempo es entonces una funcion α : I ⊂ R → R4

donde I es un intervalo abierto. Pediremos ademas que la funcion sea diferencia-ble C∞. Tenemos entonces que α(λ) = (x0(λ), x1(λ), x2(λ), x3(λ)) que tambienpodemos denotar como xµ(λ) entendiendo que µ va de cero a tres . La velocidad

esta dada por dα(λ)dλ

= (dx0(λ)dλ

, dx1(λ)dλ

, dx2(λ)dλ

, dx3(λ)dλ

) = dxµ(λ)dλ

. Una curva α(λ) en elespacio-tiempo se dice que es respectivamente

temporal si y solo sidα(λ)

dλes temporal para todo λ ∈ I

espacial si y solo sidα(λ)

dλes espacial para todo λ ∈ I

nula o de luz si y solo sidα(λ)

dλes nulo para todo λ ∈ I

En relatividad entenderemos que una partıcula de masiva viajara siempre auna velocidad menor a la de la luz y en el espacio-tiempo describira una curvatemporal. A esta curva se le conocera como la linea de mundo de la partıcula.

Recordemos por ejemplo que una partıcula que se mueve a velocidad cons-tante respecto a un sistema inercial describe en el espacio-tiempo una linea demundo dada por una recta con pendiente respecto al eje temporal dada por

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la velocidad. En general una partıcula describira una trayectoria en el espacio-tiempo dada por una curva temporal que no necesariamente es una recta. Dadadicha curva definida en un intervalo abierto I = (a, b) definimos su tiempopropio como

τ =

∫ b

a

−ηµνdxµ

dxν

dλdλ (1.30)

Ilustremos el contenido fısico de esta formula de tiempo propio considerando lafamosa paradoja de los gemelos. Tenemos dos gemelos en una estacion de tren;uno de ellos parte en un tren que viaja a una velocidad muy cercana a la de laluz. El otro permanece en la estacion por mucho tiempo medido en su sistema dereferencia esperando el regreso de su hermano. Este ultimo vuelve en otro trenque viaja de igual forma a una velocidad muy cercana a la de la luz y encuentrade vuelta a su hermano que lo esperaba en la estacion. Resulta que el tiempomedido por el reloj del hermano que viajo en los trenes es mucho menor que eltiempo medido por el reloj del hermano que se quedo en la estacion, siendo elhermano que viajo mucho mas joven que el hermano que se quedo.

El hecho ahora es que este problema no es simetrico como en el caso de ladilatacion del tiempo visto anteriormente en la seccion 1.4. Para el hermanoque viajo no se aplica que desde su punto de vista su hermano sea mas jovendebido a lo siguiente. El hermano que se quedo en la estacion se encontrabaen un sistema de referencia inercial mientras que el que viajo no estuvo enun sistema de referencia inercial ya que para partir en primer lugar tuvo queacelerar hasta alcanzar una velocidad quiza constante; despues para regresar ycompararse con su hermano tuvo que desacelerar hasta alcanzar una velocidadcero para cambiar de direccion comenzando de nuevo a acelerar. Este hecho lopone en un sistema que no es inercial y por tanto el hecho ya no es simetrico.Para ver que realmente el hermano viajero es mucho mas joven consideramosun diagrama espacio-tiempo que dibuja el hermano que se quedo en la estacion,ya que este se encuentra es un sistema inercial.

Este diagrama espacio-tiempo muy simplificado es como el que dibujamosen la figura 1.6. La linea de mundo del hermano que se quedo en la estacionesta dada simplemete por el eje temporal t. La linea de mundo que describira suhermano viajero estara dada por una curva que parte del origen, si suponemosque cuando el hermano parte ambos gemelos sincronizan sus relojes en tiempocero, y que intersecta de nuevo el eje temporal t en una coordenada mayor querepresenta el evento en que los hermanos se encuentran.

En la figura hemos considerado la curva del hermano viajero de la formamatematica mas simple representado por dos rectas. Basta con considerar estesimple caso para darse cuenta que el tiempo propio del hermano viajero esmucho menor y que para una curva en general se cumplira tambien. Esta ultimaafirmacion es cierta ya que una curva en general se puede aproximar por rectas.

Calculemos el tiempo propio de ambos gemelos. Para el gemelo que se queda

Page 18: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 16

Figura 1.6: Paradoja de los gemelos

en la estacion cuya linea de mundo esta por el eje temporal, la parametrizacionde dicha curva esta simplemente dada por α1(λ) = (λ, 0, 0, 0) lo que impica que

su velocidad es dα1(λ)dλ

= (1, 0, 0, 0). Suponiendo que el evento en el que encuentraa su hermano de nuevo es (t1, 0, 0, 0), tenemos que utilizando la formula (1.30)el tiempo propio del hermano que se queda en la estacion es τ1 = t1.

Para el hermano que se va de viaje su tiempo propio(ida y vuelta) se calculacomo dos veces el tiempo propio de ida. La linea de mundo dada por el viajede ida es α2(λ) = (λ, λv, 0, 0), y por tanto su vector velocidad esta dado pordα2(λ)

dλ= (1, v, 0, 0). Usando la formula (1.30) tenemos

∫ t1/2

0

√1 − v2 dλ (1.31)

Tenemos que la velocidad v es constante y como el tiempo propio total del viajedel gemelo viajero es el doble de la formula anterior tenemos que τ2 = t1

√1 − v2.

Cuando v se aproxima a la velocidad de la luz c = 1 tenemos claramente queτ2 < τ1, implicando que el tiempo propio del gemelo viajero es menor que eltiempo propio del gemelo que se queda la estacion. Esto es interpretado comoque el hermano gemelo que viajo en un tren a una velocidad muy cercana ala de la luz y volvio a la estacion en otro tren a una velocidad tambien muycercana a la de la luz es mas joven que el hermano gemelo que se quedo en laestacion.

Page 19: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 17

1.6. Efecto Doppler

Derivemos ahora el efecto Doppler de una manera geometrica utilizando dia-gramas espacio-tiempo. Supongamos que dos sistemas de referencia inercial Sy S ′ se mueven a velocidad relativa v. Desde el punto de vista de S suponemosque S ′ se mueve hacia el eje positivo de las x. Suponga que desde el sistemaS ′ se emıten fotones en direccion hacia S, uno a uno y en tiempos igualmenteseparados desde el punto de vista del emisor que se encuentra en S ′. Desde elpunto de vista de S la frecuencia con la que los fotones son observados dismi-nuye cuando S ′ se aleja de S como es el caso que estamos tratando. Para vercomo cambia la frecuencia de emision con respecto a la frecuencia de recepciondibujemos un diagrama espacio-tiempo de este problema.

Figura 1.7: Diagrama espacio-tiempo. Las lineas punteadas representan las li-neas de mundo de los fotones

En este diagrama la linea inclinada hacia la derecha representa la linea demundo del sistema S ′. Las lineas punteadas representan las lineas de mundode los fotones que viajan en direccion hacia S cuya linea de mundo esta re-presentada por el eje temporal t. Los puntos 1 y 2 representan los eventos deemision de los fotones; y los puntos 3 y 4 son los eventos de recepcion de loseventos. Denotemos con coordenadas dichos puntos. El primer punto de emi-sion (t1, x1), el segundo punto de emision como (t1 + ∆t1, x1 + ∆x1). Al primerpunto de recepcion (t0, 0), el segundo punto de recepcion como (t0 + ∆t0, 0).Tenemos que deacuerdo a la formula (1.30) los tiempos propios transcurridos

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 18

para el emisor de los puntos 1 a 2 y para el receptor de los puntos 3 a 4 estandados respectivamente por

τ12 =√

1 − v2 ∆t1 y τ34 = ∆t0 (1.32)

Los fotones emitıdos obedecen a la ecuacion

ds2 = ηµνdxµdxν = 0 (1.33)

la cual implica que

dx2 = dt2 ⇒ dx = −dt (1.34)

El signo negativo es debido al hecho de que los fotones se mueven hacia la partenegativa respecto al sistema S ′, lo que es equivalente a que las lineas de mundode los fotones en el diagrama espacio-tiempo tienen pendiente -1. Para la lineade mundo del foton que va del evento 1 al evento 3 tenemos que

∫ t0

t1

dt = −∫ 0

x1

dx ⇒ (t0 − t1) = x1 (1.35)

Dela misma forma para el foton que va del evento 2 al evento 4 tenemos que∆t0 − ∆t1 = ∆x1 de lo que obtendriamos que

∆t0 =

(

1 +∆x1

∆t1

)

∆t1 = (1 + v)∆t1 (1.36)

De aqui tenemos que el cociente entre los tiempos propios τ12 y τ34 esta dadopor

τ34τ12

=∆t0√

1 − v2 ∆t1=

(1 + v)∆t1√1 − v2 ∆t1

=1 + v

(1 + v)(1 − v)=

1 + v

1 − v(1.37)

Esto implica que el cociente entre la frecuencia del receptor νr y la frecuenciadel emisor νe esta dado a la inversa de la formula anterior

νr

νe

=

1 − v

1 + v(1.38)

Por tanto si el sistema emisor S ′ se mueve a una velocidad cercana a la de laluz respecto al sistema receptor S tenemos que

νr < νe (1.39)

Page 21: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 19

1.7. Suma de velocidades y aceleracion

Considere dos sistemas de referencia inerciales S y S ′ que se mueven a ve-locidad relativa v a lo largo de sus ejes x y x′. Considere que una partıcula semueve en S con velocidad w en cualquier direccion, es decir w = (wx, wy, wz).¿con que velocidad w′ = (w′

x, w′y, w

′z) se mueve en el sistema S ′?

Figura 1.8: Sistemas de referencia inerciales con partıcula moviendose a veloci-dad w en S. ¿Que velocidad w′ es observada en S ′?

Para responder a esta pregunta utilicemos las transformaciones de Lorentzdadas en la seccion 1.2 ecuacion (1.12). Escritas en forma diferencial y recor-dando que v es constante tenemos que

dt′ = γ(dt− vdx)

dx′ = γ(dx− vdt) (1.40)

dy′ = dy

dz′ = dz

donde γ = 1√1−v2

. La velocidad en S ′ esta dada por w′ = (w′x, w

′y, w

′z) =

(dx′/dt′, dy′/dt′, dx′/dt′), por lo que al tomar dichos cocientes tenemos

Page 22: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 20

w′x =

dx′

dt′=dx− vdt

dt− vdx=

dxdt

− v

1 − v dxdt

=wx − v

1 − vwx

w′y =

dy′

dt′=

dy

γ(dt− vdx)=

dydt

γ(1 − v dxdt

)=

wy

γ(1 − vwx)(1.41)

w′z =

dz′

dt′=

dz

γ(dt− vdx)=

dzdt

γ(1 − v dxdt

)=

wz

γ(1 − vwx)

La formula anterior entonces nos da las componentes de la velocidad w′ medidasen S ′ cuando se conoce como es la velocidad w en S.

Supongamos ahora que la partıcula se mueve en S con velocidad variable w,es decir tenemos aceleracion. Dicha aceleracion esta dada por a = (ax, ay, az).¿Que acelaracion a′ = (a′x, a

′y, a

′z) de la partıcula es medida en el sistema inercial

S ′ ? De forma analoga a como hemos obtenido las formulas (1.41) tenemos ahoraque

dw′x =

dwx

γ2(1 − vwx)2(1.42)

Dejamos que el lector calcule dw′x y dw′

z, y asi obtener finalmente que las com-ponentes de la aceleracion a′ = (a′x, a

′y, a

′z) = (dw′

x/dt′, dw′

y/dt′, dw′

z/dt′) estan

dadas en terminos de las componentes a = (ax, ay, az) de la siguiente forma

a′x =dw′

x

dt′=

1

γ3(1 − vwx)3ax

a′y =dw′

y

dt′=

1

γ2(1 − vwx)2ay +

vwy

γ2(1 − vwx)3ax (1.43)

a′z =dw′

z

dt′=

1

γ2(1 − vwx)2az +

vwz

γ2(1 − vwx)3ax

donde recuerde que nuevamente tenemos γ = 1√1−v2

que depende del valor v

que es la velocidad relativa entre los sistemas de referencia inerciales S y S ′, ypor tal es una constante.

Observe que en relatividad Galileana teniamos que la aceleracion de unapartıcula era la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Aqui en re-latividad especial tenemos que el vector acelaracion es diferente en diferentessistemas de referencia inercial. Lo unico que podemos observar es que si la ace-leracion de una partıcula es diferente de cero en un sistema de referencia inercialentonces es diferente de cero en todos los sistemas de referencia inerciales. Esdecir que si una partıcula se acelera para un observador inercial entonces todoslos observadores inerciales coinciden en que dicha partıcula se acelera.

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 21

1.8. Lınea de mundo de una partıcula que se

mueve con aceleracion en un sistema de

referencia inercial

Hemos visto que si en un sistema de referencia inercial S una partıcula semueve a velocidad constante entonces su lınea de mundo en el espacio-tiempoesta dada por una recta cuya pendiente respecto del eje temporal t esta dadapor la velocidad de la partıcula.

Ahora estudiemos la lınea de mundo de una partıcula que lleva una ace-leracion en un sistema de referencia inercial S, es decir dicha partıcula tieneuna velocidad variable deacuerdo al observador inercial en S. Denotemos dichavelocidad variable por w(t).

Supongamos ademas que la partıcula se mueve solo en la direccion positivadel eje x del sistema referencial inercial S. Estamos entonces simplificando elproblema al pensar que la velocidad de la partıcula no tiene componentes en yy z.

Como la partıcula tiene una velocidad variable, entonces no define ella mis-ma un sistema de referencia inercial. Sin embargo asi como matematicamentepodemos pensar en que una curva se puede aproximar por un gran numero desegmentos rectos que tienen una longitud pequena ∆s de tal forma que la lon-gitud de la curva es calculada cuando el numero de segmentos rectos tienden ainfinito y ∆s → 0, podemos entonces imaginar que la partıcula va montada enun sistema de referencia inercial, desde luego solo por un lapso de tiempo propiode la partıcula demasiado corto, es decir por un δτ → 0. Entonces por este muycorto lapso de tiempo propio δτ , la partıcula se encuentra en un sistema dereferencia inercial al que llamaremos sistema de referencia inercial instantaneo.En dicho sistema la partıcula se encuentra en reposo desde el punto de vista dedicho sistema de referencia inercial instantaneo. Es decir tenemos que w′ = 0.Esto implica deacuerdo a la formula de tiempo propio, que el tiempo propio dedicha partıcula en este caso coincide con la coordenada temporal del sistemareferencial instantaneo, esto es, dτ = dt′. Por tanto tenemos

dw′

dτ=dw′

dt′= a′(τ) (1.44)

y deacuerdo a la formula inversa de la primera formula de las transformaciones(1.43) tenemos que

dw

dt=

(1 − w2)3 a′(τ) (1.45)

Desde el punto de vista del sistema de referencia inercial S podemos tambienargumentar que la partıcula se mueve a velocidad constante solo por un lapsocorto del tiempo propio dt de S. Suponiendo esto ultimo entonces el tiempo

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 22

propio τ de la partıcula esta relacionado con el tiempo propio del observadoren el sistema de referencia inercial S por

dτ =√

(1 − w2) dt (1.46)

La formula (1.45) la podemos escribir

dw

dτ= (1 − w2) a′(τ) (1.47)

Re-etiquetando a′(τ) = f(τ), haciendo separacion de variables y suponiendoque la partıcula acelerada parte cuando su tiempo propio τ es cero tenemos

tanh−1(w) =

∫ τ

0

f(s) ⇒ w = tanh(

∫ τ

0

f(s)) (1.48)

Supongamos que la partıcula se mueve con aceleracion uniforme. En relativi-dad especial entenderemos por esto que f(s) es constante. Por tanto tenemosentonces

w = tanh(fτ) (1.49)

Recuerde que anteriormente en la seccion 1.2 cuando escribimos las transforma-ciones de Lorentz en terminos de una matriz que lleva entradas con funcioneshiperbolicas teniamos que la velocidad estaba dada por la tangente hiperbolica.Aqui vemos ahora de nuevo que se vuelve a cumplir que la velocidad esta dadapor la tangente hiperbolica aunque en este caso ahora tambien como funcion deun parametro τ que es el tiempo propio de la partıcula.

Finalmente para determinar la linea de mundo de la partıcula con acelera-cion, notemos que la formula (1.46) se puede escribir como

dt

dτ=

1√

(1 − w2)(1.50)

como dx/dt = w tenemos entonces

dx

dτ=

w√

(1 − w2)(1.51)

las cuales podemos re-escribir nuevamente como

dt

dτ= cosh(fτ)

dx

dτ= senh(fτ) (1.52)

La lınea de mundo de la partıcula esta por tanto integrando las ecuacionesanteriores. Tomando como evento inicial del espacio-tiempo (t0, x0) la lınea demundo de una partıcula desde el punto de vista de un observador inercial tienepor ecuacion

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 23

α(τ) =

(

t0 +1

fsinh(fτ) , x0 +

1

fcosh(fτ)

)

(1.53)

Dicha ecuacion es una curva parametrica en el espacio-tiempo dada por unahiperbola como en la figura 1.9

Figura 1.9: Lınea de mundo de una partıcula con aceleracion en un sistema dereferencia inercial dada por una hiperbola

La asıntota que representa la lınea de mundo de un foton nos hace ver quela partıcula jamas alcanza la velocidad de la luz.

Ası mismo como la hiperbola es asintotica a la lınea de mundo de un fotonse tiene que para un observador que fuera viajando en movimiento aceleradoexisten eventos que nunca observaria que son aquellos que se encuentran en laparte futura de la asıntota. Toda lınea de mundo de una partıcula que crucedicha asıntota desapareceran de la vista del observador acelerado. Por este hechoa la asıntota se le conoce como horizonte de eventos.

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Capıtulo 2

Variedades Diferenciables

En este capıtulo estudiaremos los conceptos matematicos necesarios para en-tender relatividad general. La unificacion entre la relatividad especial y la fuerzagravitacional llevo a Einstein a desarrollar la teorıa de la relatividad general, lacual esta formulada en el lenguaje de la geometrıa diferencial. Aquı estudiaremosahora un poco de dicho tema. La motivacion de considerar que al considerar larelatividad especial y la gravitacion se debe pensar en que el espacio-tiempo escurvo y por ende el lenguaje matematico es la geometrıa diferencial se dara enel proximo capıtulo.

2.1. Estructura diferenciable

Definicion.- Una variedad diferenciable de dimension n es un conjunto M ,tal que existen una familia de funciones uno a uno {φα : Uα ⊂ Rn → M | α =1, 2, ...r} donde cada Uα es un conjunto abierto de Rn, de tal forma que

1) M =⋃r

α=1 φα(Uα)

2) Siempre que para cualesquiera dos subconjuntos φα1(Uα1

) y φα2(Uα2

) deM con los que lo cubrimos pase que φα1

(Uα1)⋂

φα2(Uα2

) = W 6= ∅ entonceslas funciones composicion φ−1

α2◦ φα1

: φ−1α1

(W ) ⊂ Rn → φ−1α2

(W ) ⊂ Rn sondiferenciables. Observe que dichas funciones van de abiertos de Rn en abiertosde Rn.

Al conjunto de todas las funciones {φα : Uα ⊂ Rn → M | α = 1, 2, ..., r} sele conoce como Atlas. A cada una de las funciones φα : Uα ⊂ Rn → M dondep ∈ φα(Uα) ⊂M se le llama sistema de coordenadas alrededor de p. Tambien sele conoce como carta coordenada alrededor de p. A las funciones composicionφ−1

α2◦ φα1

se les llama funciones de cambio de coordenadas.Estudiemos algunos ejemplos sencillos de esta definicion. A lo largo de este

capıtulo encontraremos mas ejemplos.

24

Page 27: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 25

Figura 2.1: Funcion entre sistemas de coordenadas que se intersectan

2.1.1. Ejemplos

Veamos dos ejemplos muy sencillos.

Cırculo unitario

El cırculo unitario se define como S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. Primeroveamos que este conjunto S1 se puede cubrir con 4 cartas coordenadas. Vamosa definir las funciones φ de la siguiente forma: Considere el intervalo abiertoD = (0, 1) ⊂ R y sean φα : D ⊂ R → S1 donde α es un ındice que va de 1 a 4dadas por

φ1(x) = (x,√

1 − x2) φ3(y) = (√

1 − y2, y) (2.1)

φ2(x) = (x,−√

1 − x2) φ4(y) = (−√

1 − y2, y) (2.2)

Por ejemplo note que la funcion φ1 cubre solo la parte superior del cırculoexcepto los puntos (−1, 0) y (0, 1), vea figura 2.2. De igual forma la funcion φ2

cubre solo la parte inferior de S1 excepto de nuevo los puntos (−1, 0) y (0, 1),Las funciones φ3 y φ4 cubren respectivamente la parte derecha e izquierda deS1 excepto los puntos (0, 1) y (0,−1).

Es facil entonces ver que S1 =⋃4

α=1 φα(D). Veamos ahora que las funcionesde cambio de coordenadas son diferenciables.

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 26

Figura 2.2: Funcion φ1 cubre la parte superior de S1.

Tenemos que φ1

φ3 6= ∅. Su interseccion en S1 esta dada por la partederecha de la parte superior sin incluir los puntos (0, 1) y (1, 0). El cambio decoordenadas esta dada por φ−1

3 ◦ φ1 : D1 ⊂ R → R, donde D1 es el intervaloabierto en R dado por (0, 1).

φ−13 ◦ φ1(x) = φ−1

3

(

(x,√

1 − x2)

)

=√

1 − x2 (2.3)

Se puede verificar facilmente que dicha funcion φ−13 ◦ φ1 es diferenciable en el

dominio que esta definida, pues se tiene que (φ−13 ◦ φ1)

′ = − x√1−x2

.De manera analoga se puede checar la diferenciabilidad del cambio de coor-

denadas de las demas funciones lo que dejamos para el lector.

Otro sistema de coordenadas mas simple que podemos darle a S1 es tomandoU1 como el intervalo abierto en R dado por (0, 2π) y U2 dado por el intervaloabierto (−π, π). Tomamos las funciones φ1 : (0, 2π) → S1 y φ2 : (−π, π) → S1

dadas por

φ1(θ) = (cos θ, sen θ) φ2(β) = (cosβ, sen β) (2.4)

La funcion φ1 cubre todo S1 excepto el punto (1, 0) y φ2 cubre todo S1 exceptoel punto (−1, 0). Por lo tanto la interseccion de la imagen de φ1 y de la imagende φ2 esta dada por S1 excepto los puntos (−1, 0) y (1, 0).

Page 29: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 27

Las funciones de cambio de coordenadas estan dadas por φ−12 ◦ φ1 : (0, π) ⊂

R → (0, π) ⊂ R y φ−11 ◦ φ2 : (−π), 0 ⊂ R → (0, π) ⊂ R

φ−12 ◦ φ1(θ) = φ−1

2 (cos θ, sen θ) = θ φ−11 ◦ φ2(β) = φ−1

2 (cosβ, sen β) = β(2.5)

las cuales estan dadas por la identidad y trivialmente son diferenciables.

Esfera

La esfera unitaria se define como S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 = 1}. Esteconjunto S2 se puede cubrir con 6 cartas coordenadas. Defina las funciones φ dela siguiente forma: Considere el disco abierto D2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}y sea φ1 : D2 ⊂ R2 → S2 y φ2 : D2 ⊂ R2 → S2 dadas por

φ1(x, y) = (x, y,√

1 − x2 − y2) φ2(x, y) = (x, y,−√

1 − x2 − y2)(2.6)

Note por ejemplo que la funcion φ1 cubre la parte superior de la esfera exceptoel Ecuador, como se muestra en la figura 2.3. De la misma forma φ2 cubre laparte inferior de la esfera excepto el Ecuador. Vamos a definir unas funcionesmas que cubriran otras partes de la esfera.

Considere el disco abierto D′2 = {(y, z) ∈ R2 | y2 + z2 < 1} y sea φ3 : D′

2 ⊂R2 → S2 y φ4 : D′

2 ⊂ R2 → S2 dadas por

φ3(y, z) = (√

1 − y2 − z2, y, z) φ4(y, z) = (−√

1 − y2 − z2, y, z) (2.7)

Estas funciones estan definidas desde el plano (y, z) a la esfera y por tal cubrenpor ejemplo el lado derecho de la esfera excepto el Meridiano.

Analogamente definimos D′′2 = {(x, z) ∈ R2 | x2 + z2 < 1} y sea φ5 : D′′

2 ⊂R2 → S2 y φ6 : D′′

2 ⊂ R2 → S2

φ5(x, z) = (x,√

1 − x2 − z2, z) φ6(x, z) = (x,−√

1 − x2 − z2, z) (2.8)

Es facil ver que S2 = φ1(D2) ∪ φ2(D2) ∪ φ3(D′2) ∪ φ4(D

′2) ∪ φ5(D

′′2) ∪ φ6(D

′′2).

Para el cambio de coordenadas veamos que son diferenciables con un ejemplo.Tenemos que φ1(D2) ∩ φ3(D

′2) 6= ∅ y φ−1

3 ◦ φ1 : U ⊂ D2 → R2, donde U es unsubconjunto abierto de D2 que esta dado por la mitad de dicho disco. Dichafuncion esta dada por

φ−13 ◦ φ1(x, y) = φ−1

3

(

(x, y,√

1 − x2 − y2)

)

= (y,√

1 − x2 − y2) (2.9)

Page 30: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 28

Figura 2.3: Funcion definida en U1 cubre la parte superior de S2.

la cual es una funcion diferenciable en el dominio definido. De la misma formase verifica que los demas cambios de sistema de coordenadas son funcionesdiferenciables.

Las coordenadas esfericas en R3 restringidas a la esfera de radio 1 estandadas por la carta coordenada

φ(θ, η) = (sen θ cos η, sen θ sen η, cos θ) (2.10)

donde 0 < θ < π y 0 < η < 2π.Cada punto de la esfera esta parametrizado por dos angulos θ y η los cuales

estan medidos a partir del eje z y del eje x respectivamente. Dichas coordenadascubren toda la esfera a excepcion de medio meridiano lo cual implica que estascoordenadas son locales.

Veamos ahora otras cartas coordenadas asignadas a la esfera S2 dadas porla proyeccion estereografica.

Deacuerdo a nuestra figura 2.4 la esfera tiene su polo sur sobre el origen,es decir sobre el punto (0, 0, 0). Entonces la esfera tiene su centro en el punto

Page 31: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 29

Figura 2.4: Proyeccion estereografica del polo norte de S2 hacia el plano z = 0.

(0, 0, 1) y el polo norte es entonces el punto (0, 0, 2) desde el cual tomamos laproyeccion estereografica. Dicha proyeccion es una carta coordenada de la esferala cual cubre toda la esfera excepto el polo norte. De la misma forma se tomauna proyeccion desde el polo sur para cubrir toda la esfera excepto ahora el polosur. Haremos el calculo de las coordenadas correspondientes de la proyecciondesde el polo norte de la esfera en la plano R2.

La esfera en R3 que estamos considerando el la figura 2.4 tiene ecuaciondada por x2 + y2 + (z − 1)2 = 1. Un punto de la esfera (x, y, z) es proyectadoen el plano en el punto (u, v).

Para determinar la relacion que existe entre un punto (x, y, z) de la esfera yel punto (u.v) al que es proyectado veamos la figura 2.5, la cual representa dichaproyeccion en el plano (x.z). En la figura el punto b representa el punto (u, v).El punto c es tan solo el punto de interseccion de la perpendicular al plano quepasa por el punto a, es decir el punto a representa el punto (x.y.z) de la esferamientras que el punto c tiene coordenadas (x, y, 0) el cual tan solo podemosescribirlo en R2 como (x, y). Si pensamos en el punto c y b como vectores, y losnormalizamos tenemos que

c

|c| =b

|b| ⇒ c =|c||b|b (2.11)

Considere ahora los triangulos rectangulos que tienen hipotenusas Na y Nb.

Page 32: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 30

Dichos triangulos son semejantes y por tal se sigue que

|b||c| =

2

2 − z⇒ b

c=

2

2 − z(2.12)

lo que podemos tambien escribirlo como

(u, v) =

(

2x

2 − z,

2y

2 − z

)

(2.13)

Figura 2.5: Vista en el plano (x, z) de la proyeccion estereografica

De la misma forma tenemos que si hubieramos proyectado desde el polo surencontrariamos que la carta coordenada esta dada por

(a, b) =

(

2x

2 + z,

2y

2 + z

)

(2.14)

Para ver que estas dos cartas coordenadas definen una variedad diferenciable enla esfera dejamos al lector que verifique que el cambio de coordenadas esta dadopor

(a, b) =

(

4u

u2 + v2,

4v

u2 + v2

)

(2.15)

la cual es diferenciable en la region de interseccion de las cartas corrdenadas.

Page 33: Relativ i Dad

Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 31

2.2. Vectores y Tensores

Definicion: Dadas dos variedades diferenciables M1 y M2 de dimensiones ny m respectivamente, se dice que una funcion f : M1 → M2 es diferenciable enun punto p ∈ M1, si para toda carta coordenada ψ : V ⊂ Rm → M2 del puntof(p) ∈ M2 existe una carta coordenada φ : U ⊂ Rn → M1 de p ∈ M1 tal quef(φ(U)) ⊂ ψ(V ), y la funcion ψ−1 ◦ f ◦ φ : U ⊂ Rn → Rm es diferenciable enφ−1(p). f es diferenciable en toda la variedad M1 si es diferenciable en todos lospuntos de M1.

Definicion: Considere M una variedad diferenciable. Una curva diferencia-ble en M es una funcion α : I ⊂ R →M diferenciable.

Es decir que en este caso estamos pensando en el intervalo abierto I comouna variedad de dimension uno con una sola carta coordenada dada por laidentidad.

Suponga que α(λ1) = p ∈M y sea f una funcion diferenciable f : M → R.El vector tangente a la curva α en el punto p = α(λ1) se define como

d

dλf ◦ α |λ1

(2.16)

Un vector tangente en el punto p ∈M es el vector tangente en λ = λ1 de algunacurva α : I ⊂ R → M tal que α(λ1) = p. El conjunto de todos los vectorestangentes en p ∈ M se denota por TpM al que se le llama espacio tangente enp.

Veamos como se ve un vector tangente en coordenadas locales alrededordel punto p ∈ M . Si tenemos una carta coordenada alrededor de dicho puntoentonces tenemos una funcion φ : U ⊂ Rn → M donde podemos ver a la curvaen esta localidad como

α(λ) = φ−1 ◦ α(λ) = (x1(λ), x2(λ), ..., xn(λ)) := xµ(λ) (2.17)

y a la funcion f como

f(λ)(x1, x2, ..., xn) = f ◦ φ(x1, x2, ..., xn) (2.18)

por tal en coordenadas locales tenemos que

d

dλf ◦ α |λ1

:=d

dλf ◦ α |λ1

=∂f

∂xµ

dxµ(λ1)

dλ=

(

dxµ(λ1)

∂xµ

)

f (2.19)

de esta ultima formula podemos ver entonces que un vector tangente a unacurva en un punto es un operador que actua en funciones. Es decir el vectorse escribe como combinacion lineal de las parciales { ∂

∂xµ}, donde µ va de 1 a

n y sus coeficientes en el punto dado son dxµ(λ1)dλ

. En general un vector en un

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punto cualquiera de una variedad es igualmente un operador y se escribe comocombinacion lineal de la forma

U = Uµ ∂

∂xµ(2.20)

donde Uµ son los coeficientes de dicho vector.Los coeficientes son escalares, esdecir, Uµ ∈ R. Escribamos ∂

∂xµ := ∂µ. Como en cada punto de la variedadtenemos que los vectores tangentes se escriben como combinacion lineal de lasparciales, y la variedad es dimension n, la dimension de los espacios tangentesa la variedad son de dimension n. Cada espacio tangente TpM es un espaciovectorial.

Por otro lado en cada punto podemos tener un vector, lo cual se llamacampo vectorial en la variedad. Los campos vectoriales en los cuales estamosinteresados son campos vectoriales diferenciables. Un campo vectorial en unalocalidad en coordenadas locales se escribe

U = Uµ∂µ (2.21)

donde los coeficientes Uµ son funciones diferenciables, es decir, Uµ : M →R. Al restringir el campo vectorial U a un punto de la variedad volvemos atener que Uµ ∈ R. Dado que TpM es un espacio vectorial de dimension nsabemos por Algebra Lineal que el espacio dual a un espacio vectorial es de lamisma dimension y en nuestro caso lo denotaremos por T ∗

pM . Dicho espaciodual esta definido como

T ∗pM = {ω : TpM → R| ω funcion lineal} (2.22)

Un ejemplo de una funcion lineal de T ∗pM que actua en TpM es la diferencial de

una funcion. Tenemos que dada una funcion diferenciable f : M → R definimos

df(p)(U) := U(f) (2.23)

Veamos esta ecuacion en coordenadas locales. En una carta coordenada te-nemos que U = Uµ∂µ; considere tambien las funciones proyeccion dadas porxν(x1, x2, ...xn) = xν , es decir proyeccion a la ν-esima coordenada. Tenemosentonces que Uµ = U(xµ) := dxµ(U) y por tanto podemos escribir

df(p)(U) = U(f) = Uµ∂µf = ∂µf dxµ(U) (2.24)

lo que nos hace ver que la diferencial de una funcion esta dada en coordenadaslocales por df = ∂µf dxµ. Por lo tanto hemos visto que la diferencial de unafuncion la cual es un ejemplo de un elemento de T ∗

pM se escribe como unacombinacion lineal de las diferenciales dxµ en coordenadas locales. De manerageneral todo elemento de T ∗

pM se escribe en coordenadas locales como

ω = ωµdxµ (2.25)

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 33

Donde en cada punto de la variedad ωµ ∈ R, pero cuando ω esta definido entoda la variedad, ωµ : M → R son funciones diferenciables. En coordenadaslocales nuevamente tenemos que ω actua en U de la forma

ω(U) = ωµdxµ(Uν∂ν) = ωµU

νdxµ(∂ν) = ωµUνδµ

ν = ωµUµ (2.26)

Un tensor T de orden (r, s) en un punto p de una variedad M , es una funcionmultilineal

T : T ∗pM × T ∗

pM × ...T ∗pM × TpM × TpM × ...× TpM → R (2.27)

de r productos cartesianos del espacio T ∗pM y s productos cartesianos del espacio

TpM . Tenemos entonces que el tensor en cada entrada es una funcion lineal.Dado un tensor T de tipo (r, s) y un tensor S de tipo (l,m) definimos el tensorT ⊗ S como un tensor de orden (r + l, s+m) dado por

T⊗S(ω1, ..., ωr+l, U1, ..., Us+m) = T (ω1, ..., ωr, U1, ..., Us)S(ωr+1, ..., ωr+l, Us+1, ..., Us+m)

Una base de todos los tensores de orden (r, s) esta dada por

∂µ1⊗ ∂µ2

⊗ ...⊗ ∂µr⊗ dxν1 ⊗ dxν2 ⊗ ...⊗ dxνs (2.28)

y asi un tensor en un punto p ∈M se escribe en coordenadas locales como

T µ1....µr

ν1....νs∂µ1

⊗ ...⊗ ∂µr⊗ dxν1 ⊗ ...⊗ dxνs (2.29)

donde dicha ecuacon es una combinacion lineal de los elementos de la base yT µ1....µr

ν1....νsson escalares en cada punto p ∈ M . Llamaremos un campo tensorial

diferenciable cuando tenemos un tensor en cada punto de tal forma que cadaT µ1....µr

ν1....νs: M → R es una funcion diferenciable de la variedad en los reales.

Consideremos un campo vectorial U en la variedad, es decir un vector encada punto que varia de manera diferenciable. En una carta coordenada xµ

alrededor de p ∈M dicho campo vectorial se escribe

U = Uµ∂µ (2.30)

En otro sistema de coordenadas xµ′

alrededor de p ∈ M el mismo campo vec-torial se escribe como

U = Uµ′

∂µ′ (2.31)

Tenemos entonces que

Uµ∂µ = Uµ′

∂µ′ (2.32)

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Notas de Relatividad J.Manuel Garcıa-Islas 34

Donde {∂µ} y {∂µ′} son bases en los planos tangentes en su respectivo sistema decoordenadas. Podemos escribir cada elemento ∂µ de la base como combinacionlineal respecto de los elementos base {∂µ′}, es decir tenemos que

∂µ = Aµ′

µ ∂µ′ (2.33)

donde en esta ecuacion entenderemos que el indice µ esta fijo y etiqueta necuaciones si la variedad es de dimension n, y µ′ es el indice sobre el que seesta sumando en cada una de estas ecuaciones. Como un campo vectorial sepuede ver como un operador que actua en funciones de la variedad en los realespodemos aplicar los operadores anteriores a las funciones proyeccion sobre laλ-esima coordenada, es decir

∂µxλ′

= Aµ′

µ ∂µ′xλ′

(2.34)

La derivada parcial ∂µ′xλ′

= δλ′

µ′ lo que implica

∂µxλ′

= Aλ′

µ (2.35)

que podemos tambien escribir en la forma

Aλ′

µ =∂xλ′

∂xµ(2.36)

lo cual implica

∂µ =∂xµ′

∂xµ∂µ′ (2.37)

la cual es la ecuacion que expresa la forma en como una base se expresa enterminos de combinacion lineal de la otra base al hacer un cambio de coorde-nadas.

Podemos expresar asi al campo U como

Uµ′

∂µ′ = Uµ ∂xµ′

∂xµ∂µ′ (2.38)

e igualando coeficientes tenemos que

Uµ′

=∂xµ′

∂xµUµ (2.39)

la cual nos da como los coeficientes del campo vectorial cambian mediante uncambio de coordenadas.

Consideremos ahora dos cartas coordenadas xµ y xµ′

alrededor de p ∈ M .En dicha localidad podemos hacer un cambio de coordenadas de una a la otrade tal forma que las xµ′

se pueden ver como funciones de las xµ. Es decir xµ′

(xµ)de tal manera que

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dxµ′

=∂xµ′

∂xµdxµ (2.40)

Es decir que la transformacion entre las diferenciales esta dada por esta ecua-cion. Si tenemos un tensor diferenciable de tipo (0, 1) en la variedad, entonceseste es lo mismo que un campo de 1-formas(covectores) en la variedad. En laslocalidades xµ y xµ′

alrededor de un punto p ∈ M tenemos que dicho covectorse puede escirbir como

ω = ωµdxµ = ωµ′

dxµ′

(2.41)

Por tanto re-escribiendo esta igualdad tenemos que

ωµdxµ = ωµ′ ∂xµ′

∂xµdxµ (2.42)

y por tanto las componentes de estas combinaciones lineales son iguales dandocomo resultado

ωµ =∂xµ′

∂xµωµ′

(2.43)

De la misma manera para tensores en general T de orden (r, s) en la interseccionde dos sistemas de coordenadas xµ y xµ′

alrededor de un punto p ∈M tenemosque

Tµ′

1....µ′

r

ν′

1....ν′

s

=∂xµ′

1

∂xµ1

...∂xµ′

r

∂xµr

∂xν1

∂xν′

1

...∂xνs

∂xν′

s

T µ1....µr

ν1....νs(2.44)

2.3. Metrica

En el sentido tensorial una metrica en una variedad es un campo tensorialdiferenciable de orden (0, 2) simetrico y no degenerado.

Es decir en un sistema de coordenadas de la variedad la metrica se escribe

g = gµνdxµ ⊗ dxν (2.45)

Recordemos que dicho campo tensorial o tensor en cada punto es una funcionmultilineal que en este caso es bilineal, es decir

g|p = TpM × TpM → R (2.46)

de tal forma que simetrico significa

g|p(U, V ) = g|p(V, U) (2.47)

para todos vectores U y V ∈ TpM y no degenerado significa que si U 6= 0 ∈ TpMentonces existe V 6= 0 ∈ TpM tal que

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g|p(U, V ) 6= 0 (2.48)

Por conveniencia en la expresion local de la metrica tan solo escribiremos

g = gµνdxµdxν (2.49)

omitiendo el simbolo del producto tensorial.Describiremos ahora un algoritmo con el cual asignaremos una metrica en

una variedad M de dimension n que se encuentre viviendo en Rn+1. Supongauna metrica en Rn+1 Euclıdea o Lorentziana dada de la forma

gE = (dx0)2 + (dx1)2 + ... + (dxn)2

gL = −(dx0)2 + (dx1)2 + ... + (dxn)2 (2.50)

respectivamente. Observe que una metrica en un espacio como Rn+1 es global.Sea una variedad de dimension n que vive en Rn+1 donde Rn+1 tiene una metricaEuclidea gE o Lorentziana gL.

Dicha variedad M en un sistema de coordenadas locales esta parametrizadade la forma

φ(x1, x2, ..., xn) = (y0(x1, x2, ..., xn), y1(x1, x2, ..., xn), ..., yn(x1, x2, ..., xn))

La metrica que hereda la variedad M de Rn+1 si este tiene una metrica Euclideaesta dada por

gM = gµνdxµdxν (2.51)

donde los coeficientes gµν estan dados por

gµν = gE(∂µφ(x1, x2, ..., xn), ∂νφ(x1, x2, ..., xn)) (2.52)

De la misma forma si Rn+1 tiene una metrica Lorentziana entonces la metricaque M hereda esta dada por

gM = gµνdxµdxν (2.53)

donde los coeficientes gµν estan dados por

gµν = gL(∂µφ(x1, x2, ..., xn), ∂νφ(x1, x2, ..., xn)) (2.54)

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2.3.1. Ejemplos

Esfera

La esfera de radio 1 es la superficie que vive en R3 con metrica Euclidea

gE = (dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 (2.55)

y que satisface la ecuacion

(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 = 1 (2.56)

En coordenadas esfericas tiene una carta coordenada dada por

φ(θ, η) = (sen θ cos η, sen θ sen η, cos θ) (2.57)

Por lo tanto la metrica que la esfera hereda de R3 Euclideo se calcula segun elalgoritmo

∂θφ(θ, η) = (cos θ cos η, cos θ sen η,− sen θ) (2.58)

∂ηφ(θ, η) = (− sen θ sen η, sen θ cos η, 0) (2.59)

tenemos entonces que

gE(∂θφ(θ, η), ∂θφ(θ, η)) = 1

gE(∂θφ(θ, η), ∂ηφ(θ, η)) = 0 = gE(∂ηφ(θ, η), ∂θφ(θ, η))

gE(∂ηφ(θ, η), ∂ηφ(θ, η)) = sen2 θ (2.60)

lo cual implica que la metrica que la esfera hereda esta dada por

ds2 = dθ2 + sen2 θ dη2 (2.61)

Podemos escribir esta metrica en forma matricial como

(gµν) =

(

1 00 sen2 θ

)

(2.62)

Hiperboloide de dos hojas

El hiperboloide de dos hojas es una superficie que consta de dos pedazos quevive en R3 con metrica Lorentziana

gL = −(dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 (2.63)

y que satisface la ecuacion

−(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 = −1 (2.64)