Redes de Bravais

Auguste Bravais

(1811-1863)

Rede de Bravais

• conjunto de pontos obtidos como combinação linear inteira de vetores primitivos

• todos os pontos são equivalentes

)(,332211 Znnnn i aaaR

Rede Triangular Rede Honeycomb

vetores primitivos não são únicos(ver A&M Fig. 4.4)

a1

a2

5 redes de Bravais em 2D

rede cúbica simples (SC)

• fig 4.2

rede cúbica de corpo centrado (BCC)

• 4.5 e 4.6 table 4.2

rede cúbica de face centrada (FCC)

• 4.8 4.9 table 4.1

número de coordenação

• número de primeiros vizinhos (i.e. de sítios mais próximos)

• SC = 6

• BCC = 8

• FCC = 12

célula unitária primitiva (CUP)

• volume que, transladado por todos os vetores na rede de Bravais, enche todo o espaço sem sobreposição

• não é única

• volume = Vtotal / NRB

• fig 4.10

célula unitária não-primitiva (convencional)

• fig 4.12 e 4.13

célula de Wigner-Seitz

• única CUP com todas as simetrias rotacionais e de reflexão da rede de Bravais

• RBs en 2D

• 4.15 e 4.16

cristal real = rede de Bravais + base

GrafenoRB: hexagonal

base: C + C

diamante

• 4.18

• table 4.3

RB: FCC

base: 2 C

C Si Ge

Zincblende

• table 4.7 filme

RB: FCC

base: Ga + As

(Zn,Fe)S GaAs

NaCl

• Fig 4.24 Table 4.5 filme

CaO (cal virgem)

RB: FCC

base: Na + Cl

CsCl

• CsCl (4.25 Table 4.6) filme

RB: SC

base: Cs + Cl

137CsCl foi o material do acidente radioativo de Goiânia em 1987

CaF2 (Fluorita)

1 filme

RB: FCC

base: Ca + 2 F

principal fonte natural de F

TiO2 (Rutila)

filme

RB: Tetragonal

base: 2 Ti + 4 O

Hexagonal Close-Packed (HCP)

• hcp (4.19 4.20 Table 4.4) 1 filme

Cubic Close-Packed (FCC)

• 4.8 table 4.1 1 filme

7 sistemas cristalinos em 3d

32 grupos pontuais em 3d

32 grupos pontuais em 3d

já em 2d ...

• 4 sistemas cristalinos

• 10 grupos pontuais

quadrado retângulo hexágono oblíquo

os 6 subgrupos do quadrado

os 8 subgrupos do hexágono

• o grupo do retângulo é o (2mm).

• o grupo da figura oblíqua é o (2).

as simetrias pontuais da célula de WS (com a base) são as simetrias pontuais do cristal

• isso decorre da correspondência biunívoca: (cristal) ↔ (célula de WS)

• aplicando ao cristal as operações de simetria da célula o cristal fica invariante e portanto R R´ (vetores da RB são mapeados em outros vetores da RB)

simetrias pontuais levam R em R´

grupo (2mm)