recueil r´ealis´e par arnaud bodin - .biblioth`eque d’exercices version 3, janvier 2002 recueil

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  • Bibliotheque dexercicesversion 3, janvier 2002

    recueil realise par Arnaud Bodin

  • Introduction

    Afin de faciliter le travail de tous, voici la troisieme mouture de ce recueil dexercices. Lespritna pas change : simplifier le concoctage des feuilles dexercices par un simple copier-coller.Je nai pas saisi tous les exercices, je remercie vivement les gros contributeurs :

    - Franz Ridde ;- Francois Gourio ;- Pierre-Yves Legall ;- Pascal Ortiz.

    Sans oublier tous ceux qui mont fourni leurs feuilles dexercices : Jean-Francois Barraud, CecileDrouet, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc Hecart, Jean-Marie Lescure, SylvainMaillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie-Helene Vignal. Quils et elles en soient tous remercies.La bibliotheque sagrandie encore : environ 1500 exercices. Les fichiers sources sont dispo-nibles en LATEX2, et recuperables a ladresse suivante :

    http ://fermat.ups-tlse.fr/bodin/Certains exercices sont corriges (environ 10%), ils sont signales par le symbole c, cependantles corrections ne sont disponibles que pour la version electronique. Vous pouvez contribuer ace recueil en menvoyant vos fichiers :

    bodin@picard.ups-tlse.fr ou abodin@crm.es

    Donc nhesitez pas a taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous !

    Arnaud Bodin

  • Sommaire

    I ALGEBRE 1 1

    1 Nombres complexes 1

    2 Logique, ensembles, raisonnements 6

    3 Injection, surjection, bijection 11

    4 Relation dequivalence, relation dordre 14

    5 Denombrement 15

    6 Arithmetique dans Z 18

    7 Polynomes 23

    8 Fractions rationnelles 28

    II ANALYSE 1 29

    9 Proprietes de R 29

    10 Suites 33

    11 Limites de fonctions 40

    12 Continuite et etude de fonctions 44

    13 Derivabilite 50

    14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55

    15 Calculs dintegrales 58

    16 Equations differentielles 65

    III ALGEBRE 2 70

    17 Espaces vectoriels 70

    18 Applications lineaires 73

    19 Espaces vectoriels de dimension finie 78

    20 Matrices 83

    21 Determinants 90

    IV ANALYSE 2 94

    22 Suites : complements 94

    23 Continuite et comparaison de fonctions 95

    24 Derivabilite 97

    25 Developpements limites 99

  • 26 Integrales : complements 103

    V ALGEBRE 3 108

    27 Groupes : generalites 108

    28 Anneaux et corps 112

    29 Groupes finis 116

    30 Groupes quotients 120

    31 Espaces euclidiens 122

    32 Endomorphismes particuliers 129

    33 Polynomes dendomorphismes 134

    34 Reduction dendomorphismes : diagonalisation 137

    35 Reduction dendomorphismes : autres reductions 144

    VI ANALYSE 3 152

    36 Fonctions convexes 152

    37 Notions de topologie 153

    38 Fonctions de deux variables 159

    39 Espaces metriques et espaces vectoriels normes 166

    40 Suites dans Rn 171

    41 Integrales multiples 172

    42 Series numeriques 173

    VII GEOMETRIE 178

    43 Geometrie affine 178

    44 Isometries vectorielles 180

    45 Geometrie affine euclidienne 181

    46 Courbes parametrees 182

    47 Proprietes metriques des courbes planes 183

    48 Coniques 184

    49 Analyse vectorielle 185

    VIII CORRECTIONS 187

    50 ALGEBRE 1 187

    51 ANALYSE 1 202

  • 52 ALGEBRE 2 219

    53 ANALYSE 2 224

    54 ALGEBRE 3 228

    55 ANALYSE 3 236

    56 GEOMETRIE 236

    IX QCM et FORMULAIRES 237

  • 1 Nombres complexes 1

    Premiere partie

    ALGEBRE 1

    1 Nombres complexes

    1.1 Forme cartesienne, forme polaire

    Exercice 1 c Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres :

    3 + 6i

    3 4i ;(

    1 + i

    2 i)2

    +3 + 6i

    3 4i ;2 + 5i

    1 i +2 5i1 + i

    .

    Exercice 2 Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme a + ib (a, b R) :

    5 + 2i

    1 2i ;(1

    2+ i

    3

    2

    )3;

    (1 + i)9

    (1 i)7 .

    Exercice 3 Representer sous forme trigonometrique les nombres :

    1 + i ; 1 + i

    3 ;

    3 + i ;1 + i

    3

    3 i .

    Exercice 4 c Etablir les egalites suivantes :

    1. (cos(/7) + i sin(/7))(1i

    32

    )(1 + i) =

    2(cos(5/84) + i sin(5/84)),

    2. (1 i)(cos(/5) + i sin(/5))(3 i) = 22(cos(13/60) + i sin(13/60)),3.

    2(cos(/12)+i sin(/12))

    1+i=

    3i2

    .

    Exercice 5 c Calculer le module et largument de u =

    6i22

    et v = 1i. En deduire le moduleet largument de w = u

    v.

    Exercice 6 Ecrire sous la forme partie reelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe :

    (1 + i3(1 i)

    1 + i

    )2.

    Exercice 7 c Determiner le module et largument des nombres complexes :

    eei

    et ei + e2i.

    Exercice 8 c Determiner le module et largument de 1+i1i . Calculer (

    1+i1i)

    32.

    Exercice 9 Calculer (1 + i

    3)5 + (1 i3)5 et (1 + i3)5 (1 i3)5.

    Exercice 10 Calculer le module et largument de z = 11+i tan

    .

  • 1 Nombres complexes 2

    Exercice 11 Calculer les puissances n-iemes des nombres complexes :

    z1 =1 + i

    3

    1 + i; z2 = 1 + j ; z3 =

    1 + i tan

    1 i tan .

    Exercice 12 Comment choisir lentier naturel n pour que (

    3+i)n soit un reel ? un imaginaire ?

    Exercice 13 c Soit z un nombre complexe de module , dargument , et soit z son conjugue.Calculer (z + z)(z2 + z2) . . . (zn + zn) en fonction de et .

    Exercice 14 (partiel novembre 88) c

    Soient et deux nombres reels. Mettre le nombre complexe z = ei + ei sous forme trigo-nometrique z = ei (indication : poser u = +

    2, v =

    2).

    En deduire la valeur den

    p=0

    Cpn cos[p + (n p)].

    Exercice 15 Mettre sous forme trigonometrique 1+ei ou ], [. Donner une interpretationgeometrique.

    Exercice 16 Montrer que si |z| 6 k < 1 alors 1 k 6 |1 + z| 6 1 + k. Faire un dessin etmontrer quil peut y avoir egalite.

    Exercice 17 Montrer algebriquement et geometriquement que si |z| = 1 alors |1 + z| > 1 ou|1 + z2| > 1.Exercice 18 Resoudre lequation exp(z) =

    3 + 3i.

    1.2 Racines carrees, equation du second degre

    Exercice 19 c Calculer les racines carrees de 1, i, 3 + 4i, 8 6i, et 7 + 24i.Exercice 20 c

    1. Calculer les racines carrees de 1+i2. En deduire les valeurs de cos(/8) et sin(/8).

    2. Calculer les valeurs de cos(/12) et sin(/12).

    Exercice 21 c Montrer que les solutions de az2 + bz + c = 0 avec a, b, c reels, sont conjuguees.

    Exercice 22 c Resoudre dans C les equations suivantes :z2 + z + 1 = 0 ; z2 (1 + 2i)z + i 1 = 0 ; z2

    3z i = 0 ;

    z2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 ; z2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0 ; 4z2 2z + 1 = 0 ;z4 + 10z2 + 169 = 0 ; z4 + 2z2 + 4 = 0.

    Exercice 23 Trouver les racines complexes de lequation suivante :

    x4 30x2 + 289 = 0.Exercice 24 Pour z C \ {2i}, on pose

    f(z) =2z iz 2i .

    1. Resoudre lequation z2 = i, z C.2. Resoudre lequation f(z) = z, z C \ {2i}.

  • 1 Nombres complexes 3

    1.3 Racine n-ieme

    Exercice 25 c Calculer la somme Sn = 1 + z + z2 + + zn.

    Exercice 26 c

    1. Resoudre z3 = 1 et montrer que les racines secrivent 1, j, j2. Calculer 1 + j + j2 et endeduire les racines de 1 + z + z2 = 0.

    2. Resoudre zn = 1 et montrer que les racines secrivent 1, , . . . , n1. En deduire les racinesde 1 + z + z2 + + zn1 = 0. Calculer, pour p N, 1 + p + 2p + + (n1)p.

    Exercice 27 1. Calculer les racines n-iemes de i et de 1 + i.2. Resoudre z2 z + 1 i = 0.3. En deduire les racines de z2n zn + 1 i = 0.

    Exercice 28 Soit une racine n-ieme de lunite ; calculer

    S = 1 + 2 + 32 + + nn1.

    Exercice 29 Resoudre, dans C, lequation (z + 1)n = (z 1)n.

    Exercice 30 Resoudre, dans C, lequation zn = z ou n > 1.

    Exercice 31 Resoudre les equations suivantes :

    z6 =1 + i

    3

    1 i3 ; z4 =

    1 i1 + i

    3.

    Exercice 32 Resoudre z6 + 27 = 0. (z C)

    Exercice 33 (partiel novembre 91) c

    1. Soient z1, z2, z3 trois nombres complexes distincts ayant le meme cube.

    Exprimer z2 et z3 en fonction de z1.

    2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans C de :

    z6 + (7 i)z3 8 8i = 0.

    (Indication : poser Z = z3 ; calculer (9 + i)2)

    Exercice 34 Resoudre dans C lequation 27(z 1)6 + (z + 1)6 = 0.

    Exercice 35 Determiner les racines quatriemes de 7 24i.

    1.4 Geometrie

    Exercice 36 c Determiner lensemble des nombres complexes z tels que :

    1.

    z 3z 5

    = 1,

    2.

    z 3z 5

    =

    2

    2.

  • 1 Nombres complexes 4

    Exercice 37 Montrer que pour u, v C, on a |u + v|2 + |u v|2 = 2(|u|2 + |v|2).

    Exercice 38 Soient z, z C tels que Arg(z) Arg(z) = 2.

    1. Montrer que zz + zz = 0.

    2. Montrer que |z + z|2 = |z z|2 = |z|2 + |z|2.

    Exercice 39 1. Determiner lensemble des points M du plan complexe, daffixe z tels que :z(z 1) = z2(z 1).

    2. Determiner lensemble des points M du plan complexe, daffixe z tels que les images de1, z, 1 + z2 soient alignees.

    Exercice 40 Soit s = (1 z)(1 iz).1. Determiner lensemble des images des nombres complexes z tel que s soit reel.

    2. Determiner lensemble des images des nombres complexes z tel que s soit imaginaire pur.

    Exercice 41 Determiner les nombres complexes z tels que le triangle ayant pour sommets lespoints daffixes z, z2, z3 soit rectangle au point daffixe z.

    Exercice 42 Determiner les nombres complexes z C tels que les points daffixes z, 1z

    et(1 z) soient sur un meme cercle de centre O.

    Exercice 43 Resoudre dans C le systeme :

    |z 1| 6 1, |z + 1| 6 1.

    Exercice 44 (Comment construire un pentagone regulier ?) c

    Soit (A0, A1, A2, A3,