unidad 1 – los números reales - matemáticas...

Unidad 1 – Los números reales PÁGINA 6

SOLUCIONES

Operar con números racionales.

Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

3 1 3 7 3 3 7 30 3 14 412 4 5 10 2 20 10 20 20 20 20

3 3 3 6 12 30 182 35 4 5 4 20 20 203 3 3 3 25 5 5 5

1 2 5 6 15 14 141 493 5 15 15 152 7 202 3 4 2 15 8 50:: :3 10 213 2 5 3 10 10

3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 9 5 42 2 25 3 4 5 3 2 5 3 2 5 3 15 15 15

8

Fracciones propias e impropias

Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:

a)

b)

c)

d)

Expresa como números mixtos las siguientes fracciones impropias:

a)

b)

c)

d)

1 4 1 514 4 4 4

3 4 3 714 4 4 4

3 10 3 1325 5 5 5

7 4 3 314 4 4 4

7 6 1 123 3 3 3

17 14 3 327 7 7 7

25 24 1 164 4 4 4

1 18 1 1936 6 6 6

9

SOLUCIONES

1.a) Número decimal exacto.

b) Número decimal periódico puro.

2 0 '666... 0 '63

c) Número decimal periódico mixto.

5 0 '836

d) Número decimal periódico puro.

1 0 '142857147

25 0 '64

10

2.a)

b) 274 2 2722 '74

99 99

c) 70 '07

90

d) 2353 23 2330 2332 '353

990 990 99

e)29 2 272 '9 3

9 9

50 '05100

11

SOLUCIONES

3. 2’1101001000100001 … 2’11012122122212222….

4. Número racional: 0’320111 Número Irracional: 0’32011101001000100001…

5. a) Racional

12 1 111'29 9

b) Irracional 3

5

c) Racional 1234 12 1222 6110 '1234

9900 9900 4950

d) Racional 1 14 2

12

SOLUCIONES

6.

13

SOLUCIONES

7. a) ( , 3)

: 3x x

b) [2, 7)

: 2 7x x

c) [ 5, )

: 5x x

d) (–10, –5)

: 10 5x x

14

8. a) [–2, 5)

: 2 5x x

b) (–2, 3]

: 2 3x x

c) ( , 1]

: 1x x

d) (–3, 0)

: 3 0x x

e) [ 1, )

: 1x x

f) [0, 4]

: 0 4x x

15

SOLUCIONES

9. a) 23

b) 14

12

c) 2

d) 13

32

e)6

7

32

f) 614

2 22 7 5 9 5 18 5 133

2 10 10 105

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22

2 23 4 12 7 12 14 12 2

2 2 12 12 145 6

2 2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 12 2 22 2 2

5 52 3 4 3 2 1 3 2 5 3 7 3 10

3 3 6 9 9 93 2

2 2 : 2 : 2 2 2 : 2 2 2 : 2 2 : 2 2 22 2 2 2 22 2

24 3 4 5 4 6 4 5 10

3 2 3 2 3 2 13 1 1310 3 2

3 2 : 2 3 3 2 : 2 3 1: 2 3 1 1 32 3 2 3 2 3 2 3 22 3 2 3

22 3 2 2 6 8 2 6

2 2 5 72 42

3 : 2 : 3 3 : 2 : 3 3 2 33 2 22 : 3 22 : 3 2

25 3 4 2 5 3 8 4 5 5 3 8 4 5 5 3 8 4 16 914 14 14

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5

6 2 : 2 : 3 6 2 : 2 : 3 2 3 2 : 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 62 : 3 2 : 3 2 3 2 3 2 3

16

SOLUCIONES

10. a)122 b)

433 c)

562 d)

352

11. a) 3 43 b) 4 5 c) 2 d) 4 3

12. a) 23 b) 5 43

c) 5 35 d) 5 22

13. a) 4 25 ; 6 35 b) 6 83 ; 9 123 c) 10 43 ; 15 63 d) 4 62 ; 32

56 56 632 2 2

2 1 48 43 3 3

6 322 2

36 360 536 360 55 5 5 5

12 415 512 415 53 2 2 3

6 215 56 215 15 564 2 2 2 2

17

SOLUCIONES

14. a) 112 2 b) 34 23 3 c) 62 3 d) 3 4 2 3

53 4

2 3 2 35 5

15.33 6 2 2 63 3

2 2 633 3

3

a)2 5 2 5 320 b)3 3 3 3 27 c)5 5 5 5 78125

3 3 9 3 5 3 5 243d) 2 2 e)4 4 8 5 3 5 3 25

16. 12 93 62 3 32 5

12 6 12

4123 12

3124 12

2126 12

12 12 12 12

3 6 4

2 2 64

3 3 81

75 75 421875

32 32 1024

64 81 1024 421875

2 3 32 75

18

SOLUCIONES

17. a) 5

b) 3 27 7

18. a) 63 3

b) 63 3

c) 122 72 2

d) 4

15

6 6 63 3 362 5 3 125 2 5 3 5 5 5

3 3 3 32 2 2 233 7 4 49 3 7 4 7 7 7

3 6 6 6 62 3 4 3 4 7 63 3 3 3 3 3 3 3 3

6 6 6 6 65 5 2 5 2 73 63 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 12 12 12 12 12 123 3 3 18 4 9 18 4 9 31 2 73 38 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

24

443 34 4

5 5 1 15 55 5

19

19. a) 15 23

b) 8 75

c) 8 3

d) 2

8 8 8 83 3 4 3 745 5 5 5 5 5 5

8483 3 3 3 3

3 3

6 63 6 66 3

3 3 62 2 4

4 2 4 2 2 2 2 22 2 2

15 5315 2

35 15 153 3 3

3 3 3 33 3 3

20

SOLUCIONES

21

20. 3

b) 3 (1 3)2

c) 6 2

d) 1 5

e)4 355

f) 7 2

g) 21

27

h) 3 2 37

3 3 3 3 3 333 3 3

2

3 1 3 3 1 3 3 1 33 3 1 31 3 21 3 1 3 1 3 1 3

3 3 6 6 62 2 3 4 7 66

3 3 23

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2

2

4 1 5 4 1 5 4 1 54 1 5 1 51 51 5 1 5 1 5 1 5

2 34 44 4 45 5 5 5 5 55 55 5 5

2 2

5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 25 7 27 2 57 2 7 2 7 2 7 2

5 2

5 5

7 7 243 7 243 7 3 3 7 3 21243 3 3 27243 243 243

2

3 2 3 3 2 3 3 2 33 3 2 32 9 72 3 2 3 2 3 2 9 22

SOLUCIONES

21. a) A las milésimas: 2'345, 2'346, 2'346.

A las diezmilésimas: 2’3455, 2’3456, 2’3456

b) A las milésimas: 1'732 1'733, 1'732.

A las diezmilésimas: 1’7320, 1’7321, 1’7321.

c) A las milésimas: 1'399, 1'340, 1'340.


d) A las milésimas: 3'141, 3'142, 3'142.


23

22.

a) 2'34556:

b) 1'73205...:

c) 1'39984:

d)

a r a

r aar

r r

E V V

V VEEV V

2 '34556 2 '3456 0 '000040 '000017

a

r

EE

1 '32050808 1'7321 0 '000049190 '0000284

0 '000005

a

r

EECota

1'39984 1'3998 0 '000840 '0006

a

r

EE

3'141592... 3 '1416 0 '00000734640 '000002338

0 '000005

a

r

EECota

24

SOLUCIONES

23. a) 123 ' 45 10 b) 72 ' 4 10 c) 33 '2 10 d) 23 '5 10 e) 73 ' 48 10 f) 132 '3 10

24. a) 73 '254 10 c) 68 '9 10 e) 65 ' 43 10

b) 83 ' 4 10 d) 43 '244 10 f) 53 '245 10

25

SOLUCIONES

25. a) 74 ' 43 10

b) 52 '35 10

c) 125 '06 10

d) 82 '019 10

7 6 7 7 73 '45 10 9 '8 10 3 '45 10 0 '98 10 4 '43 10

5 9 3 5 6 5 5 53 '1 10 2 '5 10 3 10 3 '1 10 7 '5 10 3'1 10 0 '75 10 2 '35 10

7 4 11 122 '53 10 : 5 10 0 '506 10 5'06 10

8 9 8 8 82 '34 10 3 '21 10 2 '34 10 0 '321 10 2 '019 10

26

26. a) 63 '54392 10

b) 114 '74552 10

c) 164 '98504065 10

6 7 17 6 10 63 '54 10 4 10 9 '8 10 3 '54 10 39 '2 10 3 '54392 10

39 38 112 '34 10 : 2 '7 10 4 '74552 10

242 23 9 42 41 42 42 4216

58 58 58 58

2 '65 10 3'4 10 3'2 10 2 '65 10 34 '816 10 2 '65 10 3'4816 10 6 '1316 10 4 '98504065 101 '23 10 1 '23 10 1'23 10 1 '23 10

27

SOLUCIONES

Los números racionales.

27. a) 0 '16 b) 0 '6428571 c) 0 '13 d) 1'153846 e) 0 '714285 f) 1’8

28. a) 8925 b)3

356 893'56100 25

29 2 272 '9 39 9

c) 9225 d)

73

3679 367 3312 923'679900 900 25

23 2 21 72 '39 9 3

e) 3190 f)

3571.100

34 3 310 '3490 90

3245 32 3213 3570 '32459900 9900 1100

g) 1733 h)

511

51 170 '5199 33

45 50 '4599 11

i) 1 546495

3123 31 3092 15463'123990 990 495

29.1 1 1; ;3 9 11

30.1 1 1; ;6 15 18

31.1 1 1; ;2 4 5

29

32. a) 5 '789

3'41 2 '378 3'411 2 '378 5'789

b) 10 '962

4760 5160 98665'28 5'673 10 '962900 900 900

c) 23 '6383

22608 423 2106185'23 5 '3 4 '27 23'6383810 99 8910

Los números reales.

33. Irracionales: 8 ;117 ; 3 5 3 Racionales:

4925 ; 5 '3232 ; 121

34. 3’211009, 3’211008

35. 1’213030030003..., 1’213133133313333...

36. Tenemos que construir las hipotenusas de los triángulos de medidas siguientes:

a) 2 2 2 26 2 ( 2) ; 2 1 1 b) 2 215 3 2 c) 2 217 4 1

37. a) V: Todos los decimales periódicos son infinitos y son números racionales.

b) F: El conjunto de números enteros es el formado por los números naturales y los naturales cambiados de signo, NUNCA son decimales.

... 3, 2, 1,0, 2,3...

c) F: Sólo podemos expresar como fracción los números racionales.

d) F: Los decimales inexactos no periódicos los asociamos con números irracionales, no racionales.

e) F: El conjunto de números reales es el formado por todos los números racionales y TODOS los irracionales.

c

f) F: El conjunto de los números racionales se define como:

: , *a a bb

por lo tanto,

30

Topología de la recta real.

38. a) ( 3, 3) : 3 3x x

b) ( 14, 5) : 14 5x x

c) [ 4, ) : 4x x

d) ( , 7) : 7x x

e) [ 3, 8) : 3 8x x

f) [ 3, 5] : 4 5x x

g) ( , 4] : 4x x

h)

5, 3 : 5 3x x

31

39. a) [–6, 3]

b) (–2, 1]

c) [–3, –2)

40. a) ( , 5)

b) [ 3, )

c) ( , 6]

d) (9, )

e) (0, 5)

41. a) –6, –7, –8 b) –2, –1, 0 c) 5, 4, 3 d) 10, 11, 12 e) 1, 2, 3

32

SOLUCIONES

42. a) –4, –3, –2, –1, 0 b) Infinitos c) Infinitos d) Infinitos

43. a) (3, 7) : 3 7x x d) (4, ) : 4x x

b) [ 2, 4] : 2 4x x e) ( , 2] : 2x x

c) ( 8, 3] : 8 3x x

44. a) : 2 4x x

b) : 3 6x x

c) : 2 5x x

d) : 3x x

e) : 7 2x x

f) : 2x x

34

Las raíces: propiedades y operaciones.

45. 4 36 47 2 8 5

46. a) 6 92 35 5 b) 8 126 92 2 c) 6 92 325 25 d) 64 2 310 10

47. a) 32 b) 43 c) 5 32 d) 5

48. a) 50 b) 3 162

c)45 d) 4

12827

49. a) 42 4 32 3 3 b) 52 2 22 3 2 3 c) 72 3 2 4 53 5 2 3 5 2 d) 3

42 3

2 3 2 35 5

12 6 12

3 94 12 12

3124 12

2126 12

12 12 12 12

346 4

2 2 64

5 5 1953125

8 8 512

7 7 49

49 64 512 1953125

7 2 8 5

4 6 34 64 2 212

3 12 433 3 3 18 330 518 330 52 2 2 23 16 6 2125 5 5 5

3 33 33 6 3 6 162

22 2 45 55 5 5

4

4 4 44 3 4 3 1283 2 3 2 27

25 2 5 2 50

35

50. a) 4 3 22 5

b) 8 113

c) 12 16 172 3

d) 33

e) 16 152

f) 12 3

16 168 4 2 158 1642 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 212 123 6 12 1212

2 3 2 8123

3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33

4 43 3 2 3 24 42 5 2 5 2 5

8 85 10 1148 83 3 3 3 3

3 4 5 16 15 2 16 174 12 1262 3 3 2 3 3 2 3

3 3 6 64 4 8 9 33 6 63 3 3 3 3 3 3 3

36

51. a)1432

b)2125

c)1432

d)2742

e)7

123

f)533

77 2 143 2 3 32 2 2

6 213 6 36 424 4 44 25 5 5 5 5 5

214

33147

3

1 1 22 2

35 23

2 155 4 274

21 2172 2

22 2 22 2 2

1 12 7 743 7 3 123 3 3

252 25 5 5

32 103 2 2 33

33 3 33 3 33 3

37

52. a) 82 73 3

b) 32 22 2

c) 2 6a a

d) 3 2a a

e)2

32

32 5

f) 4 6

g) 8 6

h) 3 4x x

4 8 8 8 810 3 10 3 20 3 23 2 743 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 6 6 6 6 6 6 34 5 4 5 3 8 5 16 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 6 6 65 3 10 13 2 6a a a a a a a

3 32 232 2 2 2 23

3 3 23

1 1 a aa a a a a aa aa a a

3 32 2 2333

23 23

1 18 1 18 5 1 18 5 32 5 2 2 5 2 55 5

3 3 3 37 24 8 54 216 7 2 3 8 2 3 2 3 14 2 3 24 2 3 6 2 3 4 6

5 2 596 150 486 7 2 3 8 2 3 5 2 3 4 6 5 6 9 6 8 6

28 8 8 8 8 83 2 6 2 2 6 4 2 10 3 2 344 4x x x x x x x x x x x x x x x

38

Racionalización.

53. a)5

5 b) 2 c) 6

2

54. a)1 3

2

b) 2 5

c)3 2

7

1 5 555 5 5

2 2 2 2 2 222 2 2

3 3 6 3 6 66 26 6 6

1 3 1 3 1 31 1 31 3 2 21 3 1 3 1 3

2 5 2 51 2 54 52 5 2 5 2 5

3 2 3 21 3 29 2 73 2 3 2 3 2

39

55. a) 6 3 5

b) 2 1

c) 2 6

d) 4 333

e) 3 15

2

f) 2 5 2

23

2 2 52 2 5 2 2 5 22 25 232 5 2 5 2 5

3 3 5 3 3 53 3 153 5 23 5 3 5 3 5

3 34 4

4 344

1 3 333 3 3

2 2 3 2 2 32 2 62 32 3 2 3 2 3

2 2 22 2 2 2 2 14 22 2 2 2 2 2

3 2 5 3 2 53 6 3 54 52 5 2 5 2 5

40

56. a)12 53

3

b) 2 3 6

3

c) 3 2 2 3

d) 3 22 ( 2 1)

2

e) 6

6

f) 2 5 5 2

3

10 2 510 20 50 2 5 5 22 5 32 5 2 5 2 5

2 3 2 3 3 2 6 6 2 6 3 6 63 2 6 6 63 2 3 3 2 2

3 32 2

3 3 23 3

2 11 1 1 2 2 2 1222 2 1 2 1 2 1 2 12 2

3 2 3 23 2 18 12 18 12 3 2 2 33 23 2 3 2 3 2

2 3 62 2 6 12 2 3 63 6 33 63 1 2 3 6 3 6

3 2 512 1264 4

6 65 5 6

3 3 3 3 3 33 33 3 3

41

SOLUCIONES

Aproximaciones. Error absoluto y relativo.

57. a) 3’47; 3’46; 3’47 c) 2’65; 2’64; 2’65 e) 3’18; 3’18; 3’19

b) 0’06; 0’05; 0’06 d) 2’90; 2’89; 2’90 f) 3’57; 3’56; 3’57

58. a) 3’4653; 3’4653; 3’4654 c) 2’6458; 2’6457; 2’6458 e) 3’1849; 3’1849; 3’1850

b) 0’0556; 0’0556; 0’0557 d) 2’8964; 2’8963; 2’8964 f) 3’5657; 3’5656; 3’5657

43

59.

a) 3'465343243:

b) 0'05564543:

c) 7:

e)3'18490986

d) 2'89635433

f)3'565656...

a r a

r aar

r r

E V V

V VEEV V

3'465343243 3'4653 0 '0000432430 '000012478

a

r

EE

0 '05564543 0 '0556 0 '000045430 '000816419

a

r

EE

2 '645751311... 2 '6458 0 '00004868...0 '000018402...

cot 0 '00005

a

r

EEa

3'565656 3'5657 0 '0000434350 '0000121815

cot : 0 '00005

a

r

EEa

2 '89635433 2 '8964 0 '000354330 '000122336

a

r

EE

3 '18490986 3 '1849 0 '000009860 '0000030958

a

r

EE

44

60.

Orden Truncamiento Redondeo Aprox. por exceso.

Milésimas 0’001 0’0005 0’001Diezmilésimas 0’0001 0’00005 0’0001Cienmilésimas 0’00001 0’000005 0’00001Millonésimas 0’000001 0’0000005 0’000001

Diezmillonésimas 0’0000001 0’00000005 0’00000001

Notación científica. 61. a) 20 000 c) 2 000 000 e) 0’00000003

b) –234 000 d) 0’0032 f) 0’000004

62. a) 73 '2 10 c) 94 '529 10 e) 55 '67 10

b) 73 ' 45 10 d) 104 '56 10 f) 148 '976 10

63. a) 53 ' 45 10 c) 194 '387 10 e) 254 '353 10

b) 42 '344 10 d) 102 '34 10 f) 92 '3 10

64. a) 213 '33 10

b) 86 ' 497 10

c) 57 '35 10

d) 184 '7073 10

8 12 20 219 10 3'7 10 33 '3 10 3 '33 10

31 38 7 87 '3 10 8 '9 10 64 '97 10 6 '497 10

35 30 53 '5 10 2 '1 10 7 '35 10

12 7 19 189 '23 10 5'1 10 47 '673 10 4 '7673 10

45

65. a) 82 '966 10

b) 52 '112 10

66. a) 31'23 10

b) 122 '389 10

67. a) 52 10

b) 124 10

c) 65 10

d) 90

68. Comprobar con la calculadora el resultado del ejercicio anterior.

7 8 8 8 82 '34 10 3'2 10 0 '234 10 3'2 10 2 '966 10

5 6 5 5 51 '98 10 1 '32 10 1 '98 10 0 '132 10 2 '112 10

3 4 3 3 31 '35 10 1'2 10 1 '35 10 0 '12 10 1'23 10

12 11 12 12 122 10 3'89 10 2 10 0 '389 10 2 '389 10

10 15 56 10 : 3 10 2 10

8 3 11 121 '44 10 : 3 '6 10 0 '4 10 4 10

3 4 7 62 '5 10 : 5 10 0 '5 10 5 10

7 9 22 '7 10 : 3 10 0 '9 10 9 10 90

46

69. a) 75 '7 10

b) 512 '377 10

c) 112 '9935 10

70.301'98 10 kg

71.21 31'09 10 m

7 10 17 7 7 72 '1 10 2 '4 10 1 '5 10 2 '1 10 3 '6 10 5 '7 10

317 50 51 51 511 '3 10 1'8 10 2 '197 10 0 '18 10 2 '377 10

2 5 9 2 4 4 4 411

15 15 15 15

1 '3 10 3 10 2 10 1'3 10 6 10 0 '013 10 6 10 5'987 10 2 '9935 102 10 2 10 2 10 2 10

4

24 4 28 30

330000 33 10

6 10 33 10 198 10 1'98 10

2427 3

3

6 10 1 '09 105 '5 10

m md vv d

v m

47

SOLUCIONES

72. 140.000.571 km

Dada la posición del dibujo, el problema se reduce a aplicar el teorema de Pitágoras al

triángulo siguiente:

donde C = 1'4.108 km y c = 4.105 km, de forma que nos queda calcular la hipotenusa.

73. 265 '34544 10 kg

El átomo de azufre tiene

16 electrones:

16 protones y 16 neutrones:

Entonces, la masa total del átomo de azufre es:

74. 55 10 s

2 2 2

2 2 2 22 8 5 5 5 10

10

1 '4 10 4 10 1400 10 4 10 1960016 10

1960016 10 140000571'4

H C c

H

H km

31 31 2716 9 10 144 10 0 '0144 10 kg

27 2732 1 '67 10 53 '44 10 kg

27 27 27 2653 '44 10 0 '0144 10 53 '4544 10 5 '34544 10 kg

3

35

8

15 15 1015 10 5 103 10

e ev tt v

e km m

t s

49

75. 61'8 10 J (julios)

76. 320 m

3 3 21 '6 10 0 '2 0 '32 10 3 '2 10 320

ev e v t

te m

2

231 8 15 14

121 9 10 2 10 18 10 1'8 102

c

c

E mv

E J

50

1.87 8 79a) 0 '00879000 900032325 3 32322b) 3'2325

9999 9999

2. 1'2301001, 1'23002

3. a) ( , -3] : 3x x

b) (-2, -1] : 2 1x x

c) [2, 5] : 2 5x x

4.

5.

6. a)

b)

13 66 6 6 6 63 3 2 3 2 2 7 23 3 636

6 6 6 6 6

2 5 5 5 10 5 5 10 5 5 2 5 5 5 2 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5

551 32 13 33

1 5 16 26

3 2 3 2 2 24 3 4 33 3

23 2 5 23 2 523 2 52 252 5 2 5 2 5

6 2 2 66 2 4 6 10 5 2 64 62 6 2 6 2 6

51

c)

d)

7. a)

b)

c)

d) 354 200 000 000 000 000 = 3'542 . 1019

8.

Orden Milésimas Millonésimas Número 3'4195 1'32855435 Aproximación por exceso 3'420 1'328555 Truncamiento 3'419 1'328554 Redondeo 3'420 1'328554 Cota error redondeo 0'0005 0'0000005 Cota error truncamiento 0'001 0'000001

9. a)

b)

10.

3 6 6 62 3 4 76

3 3 23

5 5 5 5 5 5 55 55 5 5

2 6 2 62 6 8 2 12 2 342 6 2 6 2 6

12 100 '035 10 3 '5 1070 '000000345 3'45 10

3 238 '2 10 3'82 10

12 13 13 13 133 '5 10 8'5 10 0 '35 10 8'5 10 8'85 10

171 2

18

2 '7 10 0 '9 10 9 103 10

5 4 2 6 6 613

7 7 7

3 '2 10 2 10 2 '3 10 0 '32 10 4 '6 10 4 '92 10 1'29 103'8 10 3 '8 10 3 '8 10

52

SOLUCIONES

Números como el 4 (D(4)=1, 2, 4), el 8 (D(8)=1, 2, 4, 8) o el 16 (D(16)=1, 2, 4, 8, 16) tiene todos sus divisores pares. Ocurrirá lo mismo para todos aquellos números que sean una potencia de 2.

Sin embargo, el 6, el 10 o el 14 tienen el mismo número de divisores pares que impares, puesto que son el producto de dos por otro número primo.

53

unidad 1 – los números reales - matemáticas...

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