TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES

LOS NÚMEROS REALES. CLASIFICACIÓN.

Dentro del conjunto de los números reales distinguimos:

NATURALES. Se designan con la letra N y son los números sin decimales y positivos 0, 1, 2, 3, ….

ENTEROS. Se designan con la letra Z y son los naturales positivos y negativos

…..3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

RACIONALES. Se designan con la letra Q y son todos los números que se pueden poner como

fracción. En este conjunto están los enteros, decimales exactos y decimales periódicos.

Por ejemplo:

FRACCIONARIOS. Son todos aquellos racionales que no son enteros, es decir, decimales exactos y

decimales periódicos.

Por ejemplo:

IRRACIONALES. Se designan con la letra I y son todos aquellos que no se pueden poner como

fracción, es decir, son los decimales no exactos y no periódicos.

Por ejemplo: π,

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales,

se designa por .

Ejercicios:

1. Coloca donde corresponda los siguientes números: 437 1012,2,4/8,102,3,6/7,3,5,3,7,12

N

Z

Q

FRACCIONARIOS

I

2. Rellena la tabla poniendo SI o NO donde corresponda.

NÚMERO N Z Q FRAC I R

43,2

12

123

7

5/1

RADICALES

Antes de empezar con los radicales repasemos las propiedades de las potencias

m

m

m

mmm

nn

n

n

nmnm

nm

n

mnm

nmnm

b

a

b

a

baba

a

b

b

a

aa

aa

aa

aaa

aaa

aa

a

.9

.8

.7

1.6

.5

.4

.3

.2

1.1

1

0

Un radical es una expresión del tipo n a donde n es el índice y a es el radicando.

Un radical es una potencia de exponente fraccionario

nn aa

1

en general podemos afirmar n

m

n m aa

Ejercicios:

3. Pasa a forma de potencia los siguientes radicales:

3) xa

3) xb

5 2) bc

5 15) xd

4. Pasa a radical las siguientes potencias:

5

3

) aa

5,0) xb

5

2

3) aac

RADICALES EQUIVALENTES

Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias

asociadas son equivalentes.

Por ejemplo 7 221 6 aa porque 7

2

21

6

aa y 7

2

21

6

Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el

exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número.

Por ejemplo:

15 1053 523 2 xxx 6 2212 2412 4 xxx

INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL

Para introducir un factor en un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical

Por ejemplo:

5 1535 33 abba

4 114 834 32 xxxxx

Ejercicios

5. Introduce factores:

4 223

7 34

35

)

)

3)

)

babad

xxc

xb

baa

EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL

Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor o igual que el índice, se puede

extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el

exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

Por ejemplo:

3 283 26 xxx ya que la división …..

Otra forma de hacerlo es:

3 2243 26 xxx …..

Ejercicios

6. Extrae todos los factores que puedas.

3 210

3

4 16314

6 24

5 18

27)

45)

81)

)

)

)

baf

e

d

zyxc

ab

xa

RADICAL DE UN RADICAL

Para calcular la raíz de otra raíz se multiplican los índices.

mnn m aa

Demostración:

mnm

nnmn m aaaa

111

Por ejemplo: 353 7 55

POTENCIA DE UN RADICAL

Si un radical está elevado a un exponente, para calcular su valor se eleva el radicando a ese exponente.

m qq

m aa

Demostración:

m qq

m aa

Por ejemplo:

5

3 a

2

3 7

REDUCCIÓN A ÍNDICE COMÚN

Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que

tengan el mismo índice.

El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m.

de los índices.

Por ejemplo si que remos reducir estos tres radicales 53 , ba y 3 2c a índice común buscamos el

m.c.m. de todos los índices, que en este caso es 30

30 2030 1023 2

30 630 615

30 4530 1533

ccc

bbb

aaa

LO QUE HAGAS AL ÍNDICE HÁZSELO AL EXPONENTE

Ejercicios

7. Pasa a índice común.

5 43 ,) axa

12 53 24 3 ,,) xxxb

RADICALES SEMEJANTE

Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir

únicamente en el coeficiente que los multiplica.

Por ejemplo los siguientes radicales son semejantes: 555 73

2,75,7

Ejercicios

8. Agrupa los radicales semejantes: 28,35

3,32,26,3

9. Demuestra que los siguientes radicales son semejantes: 3 35 , 6 94 y 3 24

PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES

Para multiplicar o dividir radicales, éstos tienen que tener el mismo índice y se hace de la siguiente

forma:

Producto: nnn baba Cociente: nn

n

b

a

b

a

Si no tienen el mismo índice, pasamos todos los radicales a índice común y aplicamos lo anterior

Por ejemplo:

15 75 33 xxx

7 4

5 3

a

a

4

35

53

759

Ejercicios

10. Opera y simplifica:

a)

5 3

3 2

x

xx

b)

5 3

3

x

xx

c) 5 3 22 xxxx

RACIONALIZACIÓN

La racionalización consiste en “quitar” las raíces del denominador. Hay dos procedimientos según el tipo

de expresión.

Procedimiento 1

7 45

7 45

7 327 32

55

yx

yx

yxyx

35

2

7 2

23

ba

ab

Procedimiento 2

53

53

53

5

53

5

53

53

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS

Se llaman cifras significativas a las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben

utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que queremos

transmitir. Ejemplos:

34 m tiene 2 cifras significativas

0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas

53 000 g tiene 2 cifras significativas, pues los ceros al final solo sirven para designar el número. Mejor

seria que pusiese 53 miles de gramos o 53 kg

Ejercicios:

11. Expresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades:

1. Visitantes en un año a una pinacoteca: 183 594

2. Asistentes a una manifestación: 234 590

3. Número de bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847

4. Número de gotas de agua en una piscina: 147 253 892 000

5. Número de granos en un saco de arroz: 11 892 583

Cada vez que hacemos una aproximación cometemos un error. Hay dos tipos de errores:

- Error absoluto: Es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.

imadovaloraproxrealValorabsolutoError

Si el valor real es desconocido lo que calculamos es una cota de error, que se calcula a partir de la

última cifra significativa. Por ejemplo si tomamos el número π como 3,14 la cota de error se calcula

viendo el orden que ocupa la última cifra significativa ( es el 4 y ocupa el lugar de las centésimas)

y dividiendo la unidad de ese orden entre dos, en nuestro caso dividir una centésima entre dos lo

que da 0,005.

- El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras

significativas se usen.

Por ejemplo, calcular la cota de error absoluto y el relativo de las siguientes aproximaciones:

a) 34 000 kg 5002

1000ae Kg 0147,0

34000

500re

b) 0,5 m 2

1,0ae

c) 12 km

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Un número está en notación científica si:

- Está descrito mediante dos factores, un número decimal y una potencia de 10.

- El número decimal es mayor o igual que 1 y menor o igual que 10.

- La potencia de 10 es de exponente entero.

Ejercicios.

1. Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 340 000

b) 0,00000034

c) 25 . 106

d) 0,04 . 109

e) 480 . 10-8

f) 0,05 . 10-8

2. Nos dicen que la población de China es de 1 300 millones de habitantes.

a) Expresa esa cantidad en notación científica

b) ¿Es una cantidad exacta o aproximada?

c) Da una cota de error absoluto

d) Da una cota de error relativo

EJERCICIOS

1. a) Indica cuáles de estos números no se pueden expresar como una fracción: 52;3;57,3;2,4;3;7,1;2

b) Expresa como fracción aquellos que sea posible.

c) Indica cuáles son racionales.

2. ¿Cuántos números racionales hay entre 7,0

y 8,0

? ¿Y cuántos irracionales? Pon ejemplos.

3. Escribe, en cada caso, un número racional y otro irracional comprendidos entre los dos que se dan:

4. Escribe dos números racionales uno mayor y otro menor que 2 que se diferencien de él en menos de una milésima.

5. Haz una tabla y clasifica los siguientes números: .....00010100100010,1;60,0;5/2;4;7;5;3/6;3 2

6. Sitúa estos números en el diagrama:

7. Indica a cuáles de los conjuntos N, Z, Q, A pertenece cada uno de los siguientes números:

8. Explica si estas frases son verdaderas o falsas:

a) Todo número entero es racional.

b) Hay números irracionales que son enteros.

c) Todo número irracional es real.

d) Algunos números enteros son naturales.

e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción.

f) Todos los números decimales son racionales.

g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero.

h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.

i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.

j) Los números racionales llenan la recta.

9. Expresa en forma exponencial:

m n kafxeaadacxbxa ))/)))) 361315 65

3 25

10. Calcula el resultado:

2

3

6

5

3

2

4

1

3

1

2

1

36)64)8)625)125)4) fedcba Sol: a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 32 f) 216

11. Expresa en forma de radical:

2,17,05,03/29/7 3))3))) exdcabxa

12. Expresa en forma exponencial:

15 53

5 245 34 23 65 2 )))3)20)10)2)) ahxgafedcbxa

13. Expresa como potencia única:

2

148))))525)93)42) 53

2

3 255 2333 gmmmfaeaadcba

Sol: a) 27/6 b) 35/3 c) 51/6 d) a9/19 e) a1/10 f) m-5/6 g) 219/10

14. Expresa en forma de raíz.

53

13

1

2

1

4

13

3

1

3

22

1

)))3

4)3)5)

afaeadcba

0;104;4/;6;4/1;9/11;5,3;21;32,7;1

15. Simplifica:

8965 1012 812 9 81)64)8)))) fedycxbxa

16. Simplifica:

3 963 4 88 425 1512 84 2 )))))3) bafaebadacaba

17. Extrae del radical los factores que sea posible.

18. Introduce dentro de la raíz y simplifica.

Sol: a) 15 b) 2 c) 3 14 d) 4

3

20 e) 3 f) 3

3

2

19. Divide y simplifica.

Sol: a) 3

5 b)

5

3 c)

3

1

20. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales:

643 81,40,30,7 Sol: 346 3074081

21. Reduce a índice común y efectúa.

Sol: a) 10 7232 b) 6 2 c) 12

5

2d) 6

3

2

22. Simplifica los siguientes radicales:

Sol: a) 332 b) 3 c) 3 23 d) 42 y e)

4

23 f) 1

23. Realiza la operación y simplifica si es posible:

Sol: a) 2180 b) 2

16 c)

2

1 d) 3 182 f) 2

24. Simplifica:

Sol: a) 2x b) 6 ab c)

6 1a d) 41

bc

a

c

25. Efectúa y simplifica, si es posible:

Sol: a) 6 108 b) a c) 4

1 d) 6 3

26. Expresa con solo una raíz:

Sol: a) 12 4 b) 12128 c) 20 aa

27. Opera y simplifica:

4 2

32

3 5 12 1aa

aa Sol:

30 11a

28. Efectúa.

Sol: a) 33 b) 3 3 c) 74 d) 3 24 e) 72

332

29. Suma y simplifica:

5

332817)

45

8

3

1

125

184

5

2)245452502163)

1850)8125027)825018)

33 43

3333

aaaf

ed

aacba

Sol: a) 25 b) 2335 c) a22 d) 3 27 e) 5

2

45

53 f) 3 32

5

106aa

30. Efectúa.

Sol: a) 1 b) 21222 c) -7 d) 15423

31. Efectúa y simplifica:

1632)31212)2352)

6565)2256)2323)

2

22

fed

cba

Sol: a) 64 b) 10234 c) 1 d) 101238 e) 3 f) 223

32. Racionaliza y simplifica.

Sol: a) 3 b) 6 c) 5

15 d)

3

32e)

4

6f)

5

252 3

33. Racionaliza y simplifica:

3 2

52

12 753

3

7 3

53

135

3)))

ba

bac

zyx

xyb

ba

baa

Sol: a)7 6442 baba b)

z

zyxy 12 5792

c) 5

53 224 baba

34. Racionaliza y simplifica si es posible.

Sol: a) 6

233 b)

2

333 c) 226 d) 223 e) 352

f) 234 g) 232 h) 36 i) 154

35. Justifica que 4 4;32

8;

3

18y 2

1

2 representan el mismo número irracional.

36. Racionaliza y simplifica: 2233

2263

Sol: 2

37. Efectúa y simplifica:

57

57

57

57)

23

2

23

3) ba Sol: a) 253 b) 352

38. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

Sol: a) 2 b) 5 c) 3

62

2

2

39. Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm.

Expresa el resultado con radicales. Sol: 4

153

40. Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales.

Sol: Perímetro de ABC = 535 Perímetro de DFE = 246 Perímetro de GHI = 2254

41. Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Da su valor exacto.

Sol: 3

28cm

42. Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Da su valor exacto. Sol: 34 cm3

43. Halla el valor exacto de las siguientes expresiones en el caso en que 2

3m

Sol: a) 32 b) 2

1 c) 347

44. Simplifica las expresiones siguientes:

Sol: a) 36 b) 1 c) 54

45. Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de cada una de las aproximaciones siguientes sobre los

presupuestos de algunos equipos deportivos:

a) 128 mil euros b) 25 millones de euros c) 648 500 € d)3 200 €

Sol: a) Error absoluto < 500 € y Error relativo < 0,0039 b) Error absoluto < 500 000 € y Error relativo < 0,02

c) Error absoluto < 50 € y Error relativo < 0,000077 d) Error absoluto < 50 € y Error relativo < 0,0156.

46. Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la

aproximación que des.

a) Oyentes de un programa de radio: 843 754 b)Precio de un coche: 28 782 €

c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,0375 segundos. d) Gastos de un ayuntamiento: 48 759

450 €

47. Escribe en notación científica. a) 752 000 000 b) 0,0000512 c) 0,000007 d) 15 000 000 000

48. Expresa en notación científica.

a) 32 · 105 b) 75 · 10–4 c) 843 · 107 d)458 · 10–7 e) 0,03 · 106 f ) 0,0025 · 10–5

49. Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén:

a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011 b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12

50. Expresa en notación científica y calcula:

Sol: 150

51. En 18 g de agua hay 6,02 · 1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la masa, en gramos, de una molécula de agua?

Sol: 2,99 · 10–23 gramos

52. Da una cota del error absoluto de cada una de las siguientes aproximaciones y compara sus errores relativos.

a) 8 · 105 b) 5,23 · 106 c) 1,372 · 107 d) 2,5 · 10–4 e) 1,7 · 10–6 f ) 4 · 10–5

Sol: El menor error relativo se da en c) y el mayor, en f ).

53. Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora.

a) (3,5 · 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) d) (6 · 10–7)2

54. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora.

a) 5,3 · 1012 – 3 · 1011 b) 3 · 10–5 + 8,2 · 10–6 c) 6 · 10–9 – 5 · 10–8 d) 7,2 · 108 + 1,5 · 1010

55. Expresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica con 3 cifras significativas como máximo:

a) (2,8 · 10–5) : (6,2 · 10–12) b) (7,2 · 10–6)3 : (5,3 · 10–9)

c) 7,86 · 105 – 1,4 · 106 + 5,2 · 104 d) (3 · 10–10 + 7 · 10–9) : (7 · 106 – 5 · 105)

AUTOEVALUACIÓN

1. Completa la siguiente tabla poniendo SI o NO donde corresponda:

N Z Q I R

22/3

63

6,1

4

7

1,23 .10-3

2. Aproxima estas cantidades dando dos cifras significativas:

- Hay 1527 estudiantes en un instituto.

- Victoria pesa 58,23 Kg.

3. Escribe en notación científica: a) 123 000 b) 0,0012 c) 32,5 . 10-3 d) 127 . 104

4. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7

5. Calcula la cota de error absoluto y la cota de error relativo cometido al tomar el valor del número como 3,14

6. Si x R , explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:

a) x2 es siempre positivo o nulo.

b) x3 es siempre positivo o nulo.

c) solo existe si x ≥ 0.

d) x–1 es negativo si lo es x.

e) –x2 es siempre negativo.

7. Simplifica:

8. Calcula el resultado simplificado.

3 2

5 3

a

aa

9. Extrae todos los factores posibles.

7

527

1714

tz

yx

10. Racionaliza y simplifica:

a) 3

56 b)

37

8

11. a) Efectúa: 2

532 b) Opera y simplifica: 600547243

12. a) Opera y simplifica: 6 273 b) Racionaliza y simplifica:

8 63

723

yx

yx

13. Introduce los factores en el radical: 73

2

4

3

y

x

y

x

14. Demuestra si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

4 38 65,13 ))) aaIIIxxIIxxIpqq p

15. Calcula el resultado de:

7

6 52

4 33

1

xx

xx

16. Calcula el resultado de: 3 2

3

baba

baba

17. Opera y simplifica:

12

12

54

3