Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando

más rápido si los contrae.

El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la

inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia

puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada

por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, como por

ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en

rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la

posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento

rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El

momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración

angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de

los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje.

Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso

del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en

traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por

ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde:

es el momento aplicado al cuerpo.

es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética

de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje

de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación

del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular .

Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de

simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento

angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con

respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con

respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre

los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de

inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los

dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas

relativa al centro de masas C inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al

centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo

depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el

que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y

calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán

paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje

paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:

e

Tensor de inercia de un sólido rígido

Tensor de inercia : El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que

expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

Donde:

son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

, es la llamada delta de Kronecker definida como:

A los elementos se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas

propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas

cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia

siguientes:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

Donde y donde .

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las

anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje

según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Deducción de momentos de inercia de algunos cuerpos regulares

Barra delgada uniforme, eje perpendicular a la longitud:

Escogemos como elemento de masa una sección corta

de longitud dx a una distancia x de O. el cociente de la masa

dm del elemento y la masa total M de la varilla, es igual

cociente de su longitud dx y la longitud total L.

Despejamos dm y se sustituye en la expresión general del

momento de inercia:

, en:

Con esta expresión podemos calcular el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por cualquier punto

de la varilla. Por ejemplo, si el eje esta en el extremo izquierdo, h=0 y

Calculo del momento de inercia de una varilla alrededor de un eje que pasa por O. el elemento de una masa es

un segmento de longitud dx.

Si el eje esta en el extremo derecho, deberemos obtener el mismo resultado. Haciendo h=L, obtenemos:

Si el eje pasa por el centro, lo usual es girar el bastón,

Cilindro hueco o relleno, que gira sobre el eje de simetría.

Si la longitud es L , el radio interior R , el radio exterior es R´, la masa del mismo es

M y la densidad es .

Escogemos como elemento de volumen una capa cilíndrica delgada

de radio r, de espesor dr y longitud L, con sus partes prácticamente a la misma

distancia del eje de giro. Su volumen es casi igual al de una lamina plana de

espesor dr, longitud L y ancho 2 (la circunferencia de la capa). Entonces.

El momento de inercia esta dado por:

Como M=V , entonces el momento de inercia es:

Ahora bien, si el cilindro no es hueco, entonces R´=0. Si designamos al radio exterior solo por R , entonces el

momento de inercia del cilindro macizo estará dado por:

Ahora, si se cambia el eje de giro del cilindro y se sitúa en uno de los bordes, se tiene:

I=

Además, si la pared del cilindro es muy delgada. Entonces se puede estimar que

R= R´, entonces el momento de inercia, se reduce a :

= ,

Podríamos haber predicho este resultado considerando un cilindro de

pared delgada donde toda la masa esta a la misma distancia R del eje de simetría,

entonces:

Observe que el momento de inercia de un cilindro alrededor de su eje de simetría depende de su masa y radios,

pero no de su longitud L. Dos cilindros huecos con los mismos radios exterior e interior, uno de madera y otro de latón,

pero con la misma masa M, tienen momentos de inercia iguales aunque el cilindro de madera es mucho mas largo. El

momento de inercia depende solo de la distribución radial de masa, no de su distribución a lo largo del eje. Por lo tanto

los resultados anteriores también son validos para un cilindro muy corto (una arandela) y un disco delgado (un CD)

Esfera uniforme de radio R, eje que pasa por el centro.

Dividimos la esfera en discos delgados de espesor dx, cuyo

momento de inercia conocemos por la deducción anterior. El radio

del disco r es:

Su volumen es dV= dx=

Y su masa es: dm=

De la deducción del momento de inercia de un cilindro, se tiene que el momento de inercia de un disco de radio

r y masa dm es:

dI=

, para media esfera. Y para el total de la esfera, será:

Integrando, tenemos:

I=

I=

I=

I=

I=

I=

Como la masa de la esfera esta dadas por: M= , entonces:

Sustituyendo, tenemos:

I= , finalmente:

Finalmente. El momento de inercia para los cuerpos regulares, se resumen en la tabla:

TABLA MOMENTO DE INERCIA SÓLIDOS - RIGIDOS

Objeto Eje de giro Momento de inercia

Barra uniforme

Por el centro

Por un extremo

Disco uniforme

Por el centro, perpendicular al

disco

Por el centro, paralelo al

diámetro

Cilindro macizo

Eje de simetría

Por el centro, paralelo al

diámetro

Esfera uniforme

Por el centro, paralelo al

diámetro

Cascaron esférico uniforme

Por el centro, paralelo al

diámetro

Rectángulo uniforme

Por el centro, perpendicular

al plano

Por el centro, paralelo a uno

de los lados

Cono uniforme

Eje de simetría

Por el vértice, perpendicular

al eje de simetría