razões’ · comprei’ 15’ litros’ de’ suco’ e’ paguei’ r$’ 60,00.’...

Razões

Profº Cláudio Mendes

Definição: Dados dois números reais a e b (com b diferente de zero), chamamos de razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b ou a/b .

ba antecedente

consequente

Exemplo: Um grupo é composto de 14 homens e 20 mulheres. Determine a razão entre: a) O total de homens e o total de mulheres.

b) O total de mulheres e o total de pessoas.

Homens: 14

Mulheres: 20 Razão =

20

14 + 20 = 34 Razão = Mulheres:

Pessoas:

14 20

= 10

7

20 34

= 1710

÷2 ÷2

÷2 ÷2

Algumas grandezas especiais:

Velocidade Média

Densidade demográfica

vmv

Velocidade Média

Um automóvel percorreu 280 km em 4 horas. Qual foi a velocidade média do automóvel?

= Distância tempo

V = 280 4

= 70 km/h

Densidade demográfica:

A estado de Metrópolis tem área de 10000 km2 e uma população de180000 habitantes. Qual a densidade demográfica do estado de Metrópolis?

Nº habitantes Área

D = 180000 10000

= 18 hab/km2

REGRA DE TRÊS COMPOSTA


Regra de Três Composta

A regra de três composta é uma ferramenta que permite resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais. Para isso é necessário a análise das grandezas inseridas no problema e a aplicação da propriedade principal das proporções

(Eletrobrás) Em um ano de operação normal, a usina de Angra 2, cuja potência nominal é de 1.350 MW, consumiria 30 toneladas de urânio enriquecido. Considerando-‐se que o consumo de urânio enriquecido seja diretamente proporcional à potência nominal da usina e ao tempo de funcionamento da mesma, qual seria o consumo de urânio enriquecido da usina de Angra 1, cuja potência nominal é de 657 MW, em seis meses de operação normal? (A) 6,5 (B) 7,3 (C) 9,2 (D) 14,6 (E) 18,5

Potência: Meses: 1350 12

6

30 x

= _1350_ 657

2700x = 657 ·∙ 30 2700x = 19710

Ton/Uranio: 30

657 x

Ton e potencia G. D. P.

Ton e meses G. D. P.

_12_ 6

·∙

30 x

= _2700_ 657

·∙

x = 19710 2700 = 7,3 toneladas

=_2_ 1

(TRANSPETRO) Se 3 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem um muro em 20 dias, em quantos dias 5 operários, trabalhando 8 horas por dia, construiriam o mesmo muro? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9

Grandezas: Operários: Dias:

3 20 x

20 x

= _5_ 3

40x = 20 ·∙ 18

40x = 360

Horas/dia: 6

5 8

Dias e operários G. I. P.

Dias e horas/dia G. I. P.

_8_ 6

·∙

20 x

= _40_ 18

·∙

x = 360 40 = 9 dias

(MPA) Uma equipe de 12 operários levaria 20 dias para executar uma determinada obra. Ocorre que, após 4 dias de trabalho 4 operários foram dispensados. Se os operários restantes manqveram o mesmo ritmo de trabalho, o número de dias que ainda levaram para concluir a obra foi de: A) 20 dias. B) 22 dias. C) 24 dias. D) 26 dias. E) 28 dias.

Grandezas: Operários: Dias:

12 20 x

20 x

= _8_ 12

800x = 960 ·∙ 20

800x = 19200

Obra: 100%

8 80%

Dias e operários G. I. P.

Dias e obra G. D. P.

_100_ 80

·∙

20 x

= _800_ 960

·∙

x = 19200 800 = 24 dias

REGRA DE TRÊS SIMPLES


Regra de Três

A regra de três é uma ferramenta que permite resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. Para isso é necessário a análise das grandezas inseridas no problema e a aplicação da propriedade principal das proporções

Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco?

Grandezas:

Litros de suco: Preço 15

40

R$ 60,00

x

grandezas diretamente proporcionais

15 40 =

60 x

15x = 60 ·∙ 40 15x = 2400 x = 2400 15

= R$ 160,00

Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60km/h, faz determinado percurso em quatro horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele manqvesse uma velocidade média de 80km/h. Grandezas: Velocidade Tempo

60 km/h

80 km/h

4 horas

x horas

grandezas inversamente proporcionais

60 80

= _x_ 4

80x = 60 ·∙ 4 80x = 240 x = 240 80

= 3 horas

(Correios-‐RJ)Uma impressora a laser é capaz de imprimir 8 páginas por minuto, em funcionamento conxnuo. Nessa situação, em três quartos de hora ela imprimirá a) 180 páginas. b) 360 páginas. c) 120 páginas. d) 190 páginas. e) 320 páginas.

8_ x

= 1_ 45

x = 8 ·∙ 45

x = 360 páginas

páginas tempo

8

x

1 minuto

45 minutos

grandezas diretamente proporcionais

12_ x

= 150_ 100

150x = 12 ·∙ 100 = 8 horas

tempo eficiência 12 horas

x horas

100%

150%

grandezas inversamente proporcionais

(CEF) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

150x = 1200 1200_ 150 x =

SISTEMAS DE MEDIDAS


Medidas de comprimento

m dm cm mm dam hm km

Medidas de massa g dg cg mg dag hg kg

Medidas de volume ou capacidade

l dl cl ml dal hl kl

x10 x10 x10 x10 x10 x10

÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10

Assinale a alternaqva que corresponde a 0,23 dam expresso em cm. a) 0,023. b) 230. c) 23. d) 2,3. e) 2300.

m dm cm mm dam hm km

x10 x10 x10

0,23 dam ·∙ 1000 = 230 cm

Medidas de área

m2 dm2 cm2 mm2 dam2 hm2 km2

A área do retângulo abaixo é igual a:

8 m

12 m

Área = 8 ·∙ 12 = 96 m2 = 9600 dm2

x100 x100 x100 x100 x100 x100

÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100

O valor em cm2 da área de 0,032 dam2 é, no sistema legal de medidas: a) 3200. b) 320. c) 32000. d) 0,32. e) 3,2.


x100 x100 x100

0,032 dam2 ·∙ 1000000 = 32000 cm2

Medidas de capacidade ou volume


O volume do paralelepípedo abaixo é:

Volume = 8 ·∙ 6 ·∙ 18 = 864 dm3 = 0,864 m3

18dm 6dm

8dm

÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000 ÷1000

x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000

O volume de um recipiente é expresso como sendo de 0,970 dm3 . Esse volume corresponde no sistema legal de medidas a a) 9,7 cm3 . b) 0,097 m3. c) 0,0097 m3 . d) 970 cm3 . e) 9700 mm3 . 0,970 dm3 ·∙ 1000 =


970 cm3

0,970 dm3 ÷ 1000 = 0,000970 m3

÷1000 ·∙1000

OBSERVAÇÕES:

Para calcular áreas ou volumes, é necessário que todas as medidas estejam na mesma unidade.

Volume em litros:

1 dm3 = 1 l

1 m3 = 1000 l

Dona Tida comprou: 5 pacotes de açúcar de 2kg cada um; 10 pacotes de maizena com 600g cada um; 20 pacotes de margarina de 250g cada um. Qual a massa total dessa compra? (A) 2,1kg (B) 21 Kg (C) 11.100 g (D) 2.100 g (E) 855 g

5 pacotes com 2 Kg cada =

Açúcar:

10 Kg

10 pacotes com 600 g cada=

Maizena:

6000 g

= 10000g

= 6 Kg

20 pacotes com 250 g cada=

Margarina:

5000 g = 5 Kg

Massa total: 10 + 6 + 5 = 21 Kg

(Petrobras) Um reservatório que tem o formato de um paralelepípedo reto-‐retângulo de 2m de profundidade, 8,5m de largura e 10m de comprimento está parcialmente cheio de óleo. Se, para enchê-‐lo completamente, são necessários mais 168.000 litros, quantos litros de óleo há dentro desse reservatório? (A) 2.000 (B) 4.000 (C) 8.000 (D) 12.000 (E) 20.000

Volume total: 2 ·∙ 8,5 ·∙ 10 = 170 m3

1 m3 = 1000 l 170 m3 = 170000 l

Quanqdade de óleo:

170000 – 168000 = 2000 litros

(PETROBRÁS) Uma folha de papel retangular, com 30 cm de comprimento e 21 cm de largura, será cortada em quatro partes iguais. Qual será, em cm2, a área de cada parte? (A) 157,5 (B) 212,5 (C) 310,0 (D) 415,5 (E) 630,0

Área do papel: 30 ·∙ 21 = 630 cm2

630 4

= 157,5 cm2

Sistemas do 1º grau


Um sistema é formado por pelo menos 2 equações com mesma solução.

Ex: ax + by = c

dx + ey = f

Os valores de x e y são os mesmos para as duas equações.

A solução do sistema pode ser definido pelo par ordenado (x, y)

MÉTODO DA ADIÇÃO

2x + y = 9

3x – y = 11

Ex:

+

5x = 20

x = 20 5

x = 4

2x + y = 9

2 ·∙ 4 + y = 9

8 + y = 9

y = 9 – 8

y = 1

S = (4, 1)

(Correios-‐RJ) Considere as equações r e s a seguir: r : x + 2y = 3 s : 3x – y = 9 Assinale a alternaqva que corresponde ao par que é solução simultânea do par de equações. a) (2; –1). b) (3; 0). c) (0; –3). d) (–2; 1). e) (–3; 0).

x + 2y = 3 3x – y = 9 (x 2)

x + 2y = 3 6x – 2y = 18

7x = 21 x = 21 7 x = 3

x+ 2y = 3 3 + 2y = 3

2y = 3 – 3 2y = 0

y = 0

+

(DECEA) Para comprar 3 kg de batatas e 2 kg de tomates são necessários R$14,70. Com R$4,55 compra-‐se exatamente 1 kg de batatas e 0,5 kg de tomates. Qual é, em reais, o preço de um quilograma de tomates?

(A) 1,70 (B) 1,90 (C) 2,10 (D) 2,50 (E) 2,80

3B + 2T = 14,70 1B +0,5T = 4,55 x(-‐3)

3B + 2T = 14,70 -‐3B – 1,5T = -‐13,65

0,5 T = 1,05

T = R$ 2,10

(x 2) (x 2)

620

−620

−

620

−

⎩⎨⎧

=+

=−

byaxyx4

165

ba

(BNDES) Para que o sistema linear possua

infinitas soluções, os valores de a e b devem ser tais que

(A) – 5 (B) – 2 (C) 0 (D) 2 (E) 5

valha: Sistema indeterminado _5_ a

= -‐ 6_ 4

= _1_ b

_5_ a

= -‐ 6_ 4

-‐6a = 20

a =

=

620

−

310

−a =

_1_ b

= -‐ 6_ 4

-‐6b = 4

b =

=

64

−

32

−b =

ba

32310

−

−

210

ba

= 5

(Fiocruz) Em uma lanchonete, uma pizza e um refrigerante custam juntos 20 reais. A pizza custa 18 reais a mais que o refrigerante. O refrigerante sozinho custa:

(A) R$1,00 (B) R$1,25 (C) R$1,50 (D) R$1,75 (E) R$2,00

P + R = 20 P = R + 18

R + 18 + R = 20

2R + 18 = 20

2R = 20 – 18

2R = 2

R = _2_ 2

R = R$ 1,00

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

2ª PARTE


Temos:

Observe a soma:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 97 + 98 + 99 + 100

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

4 + 97 = 101

50 pares que somados dão como resultado 101

Então a soma é igual a 50 ·∙ 101 = 5.050

( )naaaaa ,...,,,, 4321 2(a 1 n)aS n ⋅+

=

)a...aaaa( n+++++ 4321

Dada a sequência

)a,...,a,a,a,a( n4321

)a...aaaa( n+++++ 4321

O resultado da soma

Pode ser definido como:

21 n)aa(S n

n⋅+

=

21 n)aa(S n

n⋅+

=

Lembrando:

Sn = A soma dos n termos da P. A.

a1 = primeiro termo

an = úlqmo termo

n = total de termos

(BNDES) A sequência (6, 10, 14, ... , 274, 278, 282) tem 70 números. A soma desses 70 números é : a) 8.920 b) 10.080 c) 13.560 d) 17.840 e) 20.160

Dados:

a1 = 6

an = a70 = 282

n = 70

Sn = ?

21 n)aa(S n

n⋅+

=

2702826

50⋅+

=)(S

270288

50⋅

=S

216020

50.S =

0801050 .S =

vmv

21 n)aa(S n

n⋅+

=2

1 n)aa(S nn

⋅+=

21 n)aa(S n

n⋅+

=

Determine a soma dos 50 primeiros números ímpares com 3 algarismos.

Dados:

a1 = 101

an = a50 = ?

n = 50

r = 2

an = a1 + (n – 1) ·∙ r

Termo geral da P. A.

a50 = 101 + (50 – 1) ·∙ 2

a50 = 101 + 49 ·∙ 2

a50 = 101 + 98

a50 = 199

21 n)aa(S n

n⋅+

=

250199101

50⋅+

=)(S

250300

50⋅

=S

200015

50.S =

500750 .S =

Sn = ?

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1ª PARTE


Uma progressão aritméqca (P. A.) é uma sequência numérica ordenada de forma que cada termo, a parqr do segundo, é igual ao termo anterior somado à um valor constante, denominado razão. Ex: (2, 4, 6, 8, 10, 12)

(9, 7, 5, 3, 1)

razão 2

razão -‐2

Seja a sequência:

( )naaaaa ,...,,,, 4321

1a 2a

3a

na

n

r

= 1º termo = 2º termo

= 3º termo

= úlqmo termo (ou termo procurado)

= nº de termos

= razão = 2312 aaaa −=−

32512 =−=−aa

32512 =−=−aa

Observe a sequência:

( )23,20,17,14,11,8,5,2=S

Temos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

852

3

2

1

aaa = 5 – 2 = 3

r = 3

n = 8 na = 23

12 aa −

23 aa −

34 aa −

= 8 – 5 = 3

= 11 – 8 = 3

A razão da P. A. é:

( ) rnaan ⋅−+= 11

Último termo de uma P.A. ou termo procurado

Primeiro termo da P.A.

Número de termos da P.A.

Razão

Termo Geral de uma P. A.

Em uma P. A. de razão 8, o 1º termo é igual a 7. Determine o 75º termo.

Dados:

r = 8 a1 = 7

an = a75 = ? n = 75

Termo geral da P. A.

an = a1 + (n – 1) ·∙ r a75 = 7 + (75 – 1) ·∙ 8

= 7 + 74 ·∙ 8 = 7 + 592

599

a75 a75 a75 =

74 x 8 2 59

3

_____

Em uma Progressão Aritméqca o primeiro termo é 23 e a razão é -‐6. A posição ocupada pelo elemento -‐13 é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Dados:

r = -‐6

a1 = 23

an = -‐13

n = ?

an = a1 + (n – 1) ·∙ r

-‐13 = 23 + (n – 1) ·∙ (–6)

= 23 + (–6n + 6) = 23 – 6n + 6

-‐13 -‐13

= 23 + 6 + 13 6n = 42 6n

n = 42 6

n = 7

+ + –

–

razões’ · comprei’ 15’ litros’ de’ suco’ e’ paguei’ r$’ 60,00.’...

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