računarska tehnika izvodi iz predavanja 2012/2013

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.

Računarska tehnika Bulova algebra i logička kola

6. BULOVA ALGEBRA I LOGIČKA KOLA

Poznato je da se pojam algebre odnosi na oblast matematike koja se

bavi proučavanjem opštih svojstava brojnih sistema i opštih metoda rešavanja problema pomoću jednačina. To, međutim, nije jedina vrsta algebre. Džordž Bul (1815. - 1864.) je pronašao novu vrstu algebre, algebru koja se bavi logikom i procesom zaključivanja. Još od prvih grčkih filozofa, logika i zaključivanje se baziraju na upotrebi “istinitih” i “neistinitih” ili “tačnih” i “netačnih” tvrdnji. Dugo su matematičari pokušavali da matematički izraze logičke zakone "istinu - neistinu" i uvedu ih u oblast algebre. To je prvi put uspelo Džordžu Bulu sa publikacijom “Ispitivanje zakona mišljenja”, objavljenom 1854. godine (Boole, G.: An Investigation of Laws of Thought, London, Dover Publication Inc., New York, 1854.).

Bul je uveo zakone logičkog mišljenja u algebru i razvio matematički aparat - novu vrstu algebre, koja je po njemu dobila ime Bulova algebra (prekidačka algebra).

Bulova algebra je ostala u oblasti neprimenjene matematike skoro ceo jedan vek. Prvu primenu Bulove algebre pronašao je Šenon u svom članku "Simbolička analiza relejnih i prekidačkih kola" iz 1938. godine (Shannon, C.E.: A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, Transactions of the AIEE, Vol. 57, 1938.). U tom članku Šenon je upotrebio Bulovu algebru koja je time našla svoju primenu u digitalnoj tehnici.

U ovoj glavi su dati osnovni identiteti Bulove algebre, logička kola kojima se realizuju logičke (Bulove) funkcije i potreban aparat za sintezu logičkih mreža, koje čine osnovu digitalne tehnike, tj. savremenih računarskih sistema, telekomunikacija, itd. 6.1. Elementarne logičke funkcije

Logičke funkcije se nazivaju još i Bulove ili prekidačke funkcije. Elementarne logičke funkcije su: logička ILI (eng. OR) funkcija, logička I (eng. AND) funkcija i logička NE (eng. NOT) funkcija. Elementarne logičke funkcije se realizuju elementarnim logičkim kolima.

41

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.1.1. Logička ILI funkcija i logičko ILI kolo

Logički izraz za elementarnu logičku ILI funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako je bar jedan od ulaza u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "0".

Ova funkcija se često naziva uključivo ILI (inkluzivno ILI). Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža za dva ulaza izgleda kao na slici 6.1.

x1

x2 y

Slika 6.1. Prekidačka ILI mreža

Logički operator za funkciju ILI je ili +, pa se funkcija ILI sa n promenljivih može zapisati u obliku:

∨

nxxxxxY ∨∨∨∨∨= ...3321 , ili u obliku

nxxxxxY +++++= ...3321 ,

zbog čega se ova funkcija naziva i logički zbir. Tablica istinitosti (eng. Truth Table) za logičku funkciju ILI sa dve

promenljive data je tabelarno:

ILI (OR) x1 x2 x1 + x2

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Tabela 6.1. Tabela istinitosti za logičku ILI funkciju

Simbol prema standardu ANSI (eng. American National Standard Institute) za ILI logičko kolo (Slika 6.2.) je prihvaćen i koristi se kod prikazivanja šema povezivanja u digitalnoj, a samim tim i računarskoj tehnici.

42

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


x1

x2

y

Slika 6.2. Simbol za logičko ILI kolo prema ANSI standardu

Iz tablice istinitosti i sa slike 6.2. neposredno slede neki od Bulovih identiteta:

11=+A , AA =+ 0 , AAA =+ .

Za logički zbir tj. logičku ILI funkciju važe, kao i za klasično sabiranje, zakoni:

- komutativnost: ABBA +=+ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ++=++=++ .

6.1.2. Logička I funkcija i logičko I kolo

Logički izraz za elementarnu logičku I funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1", ako i samo ako su svi ulazi u stanju "1"; ili: Izlaz će imati stanje "0", ako je bar jedan od ulaza u stanju "0".

Ekvivalentna električna (prekidačka) mreža izgleda kao na slici 6.3. x1 x2

y

Slika 6.3. Prekidačka I mreža

Logički operator za funkciju I je ∧ ili • , pa se funkcija I sa n promenljivih može zapisati u obliku:

nxxxxxY ∧∧∧∧∧= ...3321 , ili

nxxxxxY ⋅⋅⋅⋅⋅= ...3321 ,

zbog čega se ova funkcija naziva i logički proizvod. Tablica istinitosti za logičku funkciju I sa dve promenljive data je

tabelarno na sledeći način:

43

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


I (AND) x1 x2 y

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Tabela 6.2. Tablica istinitosti za logičku I funkciju

Simbol za I logičko kolo prikazan je na slici 6.4. x1

x2

y

Slika 6.4. Simbol za logičko I kolo prema ANSI standardu

Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni Bulovi identiteti:

AA =⋅1 , 00 =⋅A , AAA =⋅ .

Za logički proizvod (logičku I funkciju) važe, kao i za klasično množenje, zakoni:

- komutativnost: ABBA ⋅=⋅ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ .

Pomoću tablice istinitosti se može proveriti da li važi zakon distributivnosti iz klasične algebre za logički zbir i logički proizvod ( ACABCBA +=+ )( ).

A B C B+C A(B+C) AB AC AB+AC 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabela 6.3. Provera važnosti zakona distributivnosti

44

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


Na ovaj način, formiranjem tablica istinitosti, može se proveriti valjanost svih logičkih relacija. Problem je što kod dokazivanja logičkih relacija sa velikim brojem promenljivih tablica istinitosti postaje izuzetno velika, a samim tim i nepraktična. 6.1.3. Logička NE funkcija i logičko NE kolo

Logički izraz za elementarnu logičku NE funkciju glasi: Izlaz će imati stanje "1" ako i samo ako ulaz ima stanje "0"; ili: Izlaz će imati stanje "0" ako i samo ako ulaz ima stanje "1".

Ova funkcija naziva se i logička negacija ili komplement i izvršava se

nad jednom promenljivom, pa zato je i operacija unarna. Logički operator za komplement je , unarni operator, pa se funkcija

može zapisati u obliku:

AY = .

Tablica istinitosti za logičku NE funkciju je prikazana u tabeli 6.4:

A Y0 1 1 0

Tabela 6.4. Tablica istinitosti za logičku NE funkciju

Simbol prema ANSI standardu za NE logičko kolo je prikazan na slici 6.5. Često se za ovo logičko kolo koristi naziv invertor.

x y

Slika 6.5. Simbol za logičku NE funkciju

Iz tablice istinitosti neposredno slede osnovni Bulovi identiteti:

0=⋅ AA , 1=+ AA ,

AA = .

45

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.2. Logičke funkcije i logička kola NILI i NI

Kombinacijom elementarnih logičkih funkcija i odgovarajućih logičkih kola dobijena su izvedena logička kola NILI (eng. Not OR, NOR) i NI (eng. Not AND, NAND). Izvedene logičke funkcije su:

NILI: 21 xxY += , NI: 21 xxY ⋅= .

NILI (NOR)

1x 2x 21 xx + 21 xx +

0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

Tabela 6.5. Logička NILI funkcija

NI (NAND)

1x 2x 21xx 21xx

0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Tabela 6.6. Logička NI funkcija

Simboli za izvedena logička kola NI i NILI, prema ANSI standardu, prikazani su na slici 6.6., respektivno:

x1x1

x2

x2

y y

Slika 6.6. ANSI simboli za NI i NILI kolo

46

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.3. Logička funkcija isključivo ILI

Ekskluzivno ili isključivo ILI (eng. eXclusive OR, XOR) spada u složena logička kola, jer se sastoji od elementarnih logičkih kola i predstavlja specifičnu logičku funkciju.

Logički izraz za funkciju isključivo ILI glasi: Izlaz će imati vrednost

"1" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu neparan; ili: Izlaz će imati vrednost "0" ako i samo ako je broj jedinica na ulazu paran. Zbog toga se ova logička funkcija često naziva suma po modulu 2.

Logički operator za funkciju XOR je ⊕ , pa se funkcija XOR sa n

promenljivih možemo zapisati u obliku:

nxxxxxY ⊕⊕⊕⊕⊕= ...3321

XOR

1x 21 xx2x ⊕0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Tabela 6.7. Tablica istinitosti za logičku funkciju EXOR

Ova logička funkcija se može realizovati na više načina od kojih su neki prikazani na slici 6.7. Međutim, postoji i elektronsko kolo koje direktno realizuje XOR funkciju.

yAB

yAB

BABABAY ⊕=+= ))(( BABAY ++=

Slika 6.7. Neki načini realizacije XOR elementarnim logičkim kolima

S obzirom na to da ovo složeno logičko kolo ima veliku primenu u digitalnoj tehnici, ono ima svoj simbol u ANSI standardu koji je prikazani su na slici 6.8.

47

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


x1

x2

y

Slika 6.8. Simbol za XOR logičko kolo

Iz tablice istinitosti i iskaza za ovu logičku funkciju neposredno slede i odgovarajući osnovni Bulovi identiteti:

AA =⊕1 , AA =⊕ 0 , 0=⊕ AA 1=⊕ AA .

Za logičku funkciju isključivo ILI (XOR) važe zakoni komutativnosti i asocijativnosti:

- komutativnost: ABBA ⊕=⊕ , - asocijativnost: )()( CBACBACBA ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕ .

koje se dokazuju korišćenjem osnovnih Bulovih identiteta. Na primer,

ABABABBABABA ⊕=+=+=⊕ .

6.4. Generisanje logičkih funkcija

Ukupan broj različitih ulaznih stanja za funkciju od promenljivih izračunava se kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1) - te klase . Ukupan broj logičkih funkcija od promenljivih izračunava se takođe kao broj varijacija sa ponavljanjem od 2 elementa (0 i 1), ali je sada

klasa pa je .

nn

n2 n

n2n

N 22=

Za 1=n biće: . 422 221===N

x 0y 1y 2y 3y0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Tabela 6.8. Logičke funkcije jedne promenljive

Značenja funkcija su sledeća:

00 =y , logička konstanta 0, xy =1 , ekvivalencija,

48

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


xy =2 , negacija (komplement), 13 =y , logička konstanta 1.

Kako broj funkcija koje se mogu ostvariti na bazi n promenljivih iznosi

nN 22= za 2=n biće . 1622 422

===N

Sve prekidačke funkcije dve promenljive su prikazane u tabeli 6.9. a njihovi nazivi i algebarska definicija u tabeli 6.10.

Prekidačke funkcije

A B f0

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Tabela 6.9. Prekidačke funkcije dve promenljive

Naziv funkcije fi Funkcija fi

0. Konstanta 0 1. Konjunkcija (logički proizvod, I funkcija) AB 2. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) A B⇒ 3. Promenljiva A 4. Negacija implikacije (inhibiciona funkcija) B A⇒ 5. Promenljiva B 6. Isključivo ILI (negacija ekvivalencije) A B A B⊕ ⇔, 7. Disjunkcija (logički zbir, ILI funkcija) A B+ 8. Pirs-ova funkcija (NILI, operacija Lukasiewicz-a ) A B↓ 9. Ekvivalencija A B⇔ 10. Komplement promenljive B 11. Implikacija B A⇒ 12. Komplement promenljive A 13. Implikacija A B⇒ 14. Sheffer-ova funkcija (Ni, negacija konjunkcije) A B↑ 15. Konstanta 1

Tabela 6.10. Prekidačke funkcije dve promenljive

49

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.5. De Morganove teoreme

De Morgan je bio veliki logičar i matematičar i Bulov prijatelj. Između važnih De Morganovih doprinosa logici, posebno su značajne dve teoreme izražene sledećim relacijama:

Ι De Morganova teorema:

BABA +=⋅ ,

ΙΙ De Morganova teorema:

BABA ⋅=+ .

Logički iskaz za I De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog proizvoda jednak je logičkom zbiru komplemenata.

Logički iskaz za II De Morganovu teoremu glasi: Komplement logičkog zbira jednak je logičkom proizvodu komplemenata.

De Morganove teoreme se mogu dokazati pomoću tablice istinitosti ili algebarski. Algebarski dokaz De Morganovih teorema:

00000)( =+=+=+=⋅+ xyyxyyxxyxyx

jer je:

yxA += , yxA += i 0=AA .

Tablica istinitosti za I De Morganovu teoremu:

I De Morganova teorema A B AB AB A B BA+ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Tabela 6.11. Dokaz De Morganovih teorema

Iz jednakosti osenčenih kolona sledi da je BAAB += , dakle I De Morganova teorema važi.

Ako se proširi izraz na desnoj strani jednakosti, dobija se:

ABCCABCBA =+=++ ,

jer je BAAB += , što je dokazano i takođe, ABCCAB =+ .

50

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


Dakle, I De Morganova teorema, za koju je dokazano da važi za dva člana, važi i za tri, pa i za članova, tj.: n

NCBANABC ++++=⋅⋅⋅⋅ ... .

NCBANCBA ⋅⋅⋅⋅=++++ ...... .

I De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike 6.9. ekvivalentni.

xx

y

y

xy x+y

Slika 6.9. Ekvivalentna logička kola po I De Morgan - ovoj teoremi

Na sličan način se može dokazati da i II De Morganova teorema važi za n članova. II De Morganova teorema praktično znači da su logički sklopovi sa slike 6.10. ekvivalentni.

xx

y

y

xyx+y

Slika 6.10. Ekvivalentna logička kola po II De Morgan - ovoj teoremi

6.6. Dodatni logički identiteti

Osim formiranja tablica istinitosti, logičke relacije se mogu dokazivati korišćenjem osnovnih Bulovih identiteta. Na primer, koristeći osnovne Bulove identitete dokazati zakon apsorpcije:

BABAA +=+ .

Razvijanjem leve strane identiteta prvo množenjem neutralnim članom a zatim dodavanjem neutralnog člana dobija se

BAAABBBA

ABBABAABBABBABAA

+=+++=

=+++=++=+

)()(

)(

Prethodni identitet se može dokazati i pomoću tablice istinitosti.

51

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


A B A BA BAA + BA + 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

Tabela 6.12. Dokaz zakona apsorpcije tablicom istinitosti

Na sličan se može dokazati zakon generalnog sažimanja (dva člana funkcije koji se razlikuju samo po vrednosti jedne promenljive sažimaju se u jedan član bez te promenljive) na identitetu:

CBACCBABAC +=++

CBACACBBAC

CBCABABCACCBCCABACCBABAC

+=+++=

=+++=+++=++

)1()1(

)(

Primenom De Morganovih zakona je moguće dokazati sledeći identitet:

BABAAB ⊕=+

Razvijanjem desne strane dobija se

BAABBBBAABAABABA

BABABABABABABA

+=+++=+⋅+=

=+⋅+=⋅=+=⊕

)()(

)()(

6.7. Kombinaciona i sekvencijalna kola

Većina logičkih kola koja se realizuju pomoću elementarnih logičkih kola su kombinaciona kola, tj. logička kola čija vrednost na izlazu zavisi od trenutne kombinacije ulaznih veličina. Kombinaciona kola se projektuju za različite namene, počev od logičkih mreža za izvršavanje različitih logičkih i računskih operacija u računaru do mreža za rešavanje različitih praktičnih problema kao što su signalizacija alarma u različitim namenama i slično. Na drugoj strani, često postoji potreba, i to pre svega pri digitalnoj obradi podataka, da se podaci čuvaju i pamte tj. da se memorišu. To znači da ovakva kola moraju da budu u stanju da po prestanku delovanja ulaznih signala zadrže privremeno ili trajno uspostavljena logička stanja. Pri promeni pobudnih signala na ulazu ova kola menjaju zatečena (zapamćena) izlazna stanja u skladu sa funkcijom logičke mreže. To znači da izlazna funkcija kola zavisi osim od stanja ulaza (pobudnih signala) i od parametra koji vodi računa o prethodnom stanju kola. Zbog toga što ova kola zavise od

52

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


vremenskog redosleda (sekvence) logičkih stanja, ona se nazivaju sekvencijalna kola i služe za izgradnju složenijih sekvencijalnih mreža. 6.8. Sinteza kola za aritmetičko sabiranje S obzirom na činjenicu da logičke funkcije realizuju isključivo logičke operacije, od interesa je sinteza logičke mreže za sabiranje dva broja, jer se sve aritmetičke operacije svode na sabiranje.

6.8.1. Polusabirač

Prilikom sinteze kombinacione mreže za sabiranje - sabirača polazi se od tablice istinitosti za sabiranje dva jednobitna binarna broja, bez uzimanja u obzir prethodno (eventualno) nastalog prenosa. Mreža za realizacuju ovakve funkcije se naziva polusabirač - HA (eng. half adder) i u tabeli 6.13. je prikazana njena tablica istinitosti.

A B Y1 (Zbir) Y2 (Prenos)0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

Tabela 6.13. Tablica istinitosti polusabirača

Iz tablice istinitosti se vidi da vrednosti za izlaz Y1 (zbir jednobitnih brojeva A i B) odgovaraju funkciji ”Isključivo ILI”, a za izlaz Y2 funkciji “I”, tj.:

BAYBAY

⋅=⊕=

21

Odgovarajuća logička mreža polusabirača ima izgled kao na slici 6.11.

Y1 (Zbir)

Y2 (Prenos)

A

B

Polusabirac Slika 6.11. Logička mreža polusabirača

Logička mreža polusabirač može da posluži kao osnovni gradivni element za potpuni sabirač (sabirač koji uzima u obzir prethodno nastali prenos), za dvobitni, i u opštem slučaju za n-bitni sabirač.

53

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.8.2. Potpuni sabirač

Očigledno je da polusabirač prilikom sabiranja dva broja sa n bitova može da se upotrebi samo za sabiranje bitova najmanje težine, jer prilikom sabiranja ne uzima u obzir prenos koji je nastao od sabiranja prethodnih bitova. Zbog toga je potrebno realizovati logičku mrežu za sabiranje dva jednobitna broja koja će uključivati i prethodno nastali prenos - potpuni sabirač FA (eng. full adder). Tablica istinitosti za potpuni sabirač sa ulazima za dva jednobitna broja A i B i ulazni prenos P je prikazana u tabeli 6.14.

A B P Y (Zbir) C (prenos) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Tabela 6.14. Tablica istinitosti potpunog sabirača

Odgovarajuća logička mreža je prikazana na slici 6.12.

Y (Zbir)

C (Prenos)

A

P

B

Polusabirac

Polusabirac

Slika 6.12. Logička mreža potpunog sabirača

6.8.3. Sabirač dvobitnih i n-bitnih brojeva

Na sličan način, korišćenjem polusabirača i potpunog sabirača moguće je realizovati sabirač dvobitnih brojeva i n-to bitni sabirač. Logičke mreže su prikazane na slikama 6.13. i 6.14. Kada je u pitanju dvobitni sabirač treba imati u vidu sledeće činjenice: • nema potrebe za uzimanjem u obzir prethodnog prenosa;

54

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


• polusabirač nalazi bit manje težine sume korišćenjem funkcije isključivo ILI nad bitovima najmanje težine ulaza;

• Izlazni prenos polusabirača je u isto vreme ulazni prenos potpunog sabirača;

• potpuni sabirač računa sumu ulaza A1 i A2 i bit prenosa.

A0 S0

S1

S2

A1

B0

B1

Polusabirac

Potpunisabirac

prenos 0

prenos 1

Slika 6.13. Logička mreža sabirača dva dvobitna broja

Kad je u pitanju sabirač dva n-bitna broja bitne su sledeće činjenice: • sabirači sa proizvoljno velike binarne brojeve se konstruišu korišćenjem

kaskadne veze potpunih sabirača; • linija za bit prenosa povezuje sabirače; • za n-bitni sabirač je potrebno 2n-1 logičkih kola.

A0A2

S0S3S4 S1S2

A1A3 B0B2 B1B3

Potpunisabirac Polusabirac

Potpunisabirac

Potpunisabirac

Slika 6.14. Logička mreža n-bitnog sabirača

6.9. Sinteza memorijskih kola Pri projektovanju sekvencijalnih kola potrebno je, kao i kod projektovanja kombinacionih kola, da se definišu funkcije koje to kolo treba da ispuni. Osnovna sekvencijalna kola su memorijska kola, odnosno logička kola koja i po prestanku delovanja ulaznog signala zadržavaju uspostavljeno logičko stanje na izlazu (nula ili jedan). Svako od stanja na izlazu treba da bude na neki način održavano i po prestanku delovanja pobudnog signala i to je bitna razlika memorijskog kola od bilo kog kombinacionog kola..

55

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


6.9.1. RS flipflop

Flipflop je bistabilno kolo sa dva stanja koja se izražavaju na standardni način - logičkom nulom i logičkom jedinicom. Pored toga, kod flipflopa se uvodi termin koji opisuje stanje mirovanja (početno stanje) kola koje se naziva resetovano stanje (reset) i prema konvenciji odgovara stanju logičke nule. Stanje koje odgovara logičkoj jedinici se naziva setovano stanje (set). Osnovno memorijsko kolo kod koga postoji samo mogućnost resetovanja i setovanja se naziva RS flipflop. RS flipflop se realizuje uspostavljanjem povratne sprege između dva NILI logička kola. Ulazi memorijskog elementa su označeni sa R (reset) i S (set) a izlaz se izražava logičkom vrednošću na izlazu Q. Na slici 6.16. je prikazan grafički simbol i logička šema RS flipflopa sa NILI kolima.

SS

RR QQ

QQ

Slika 6.15. RS flipflop Ovo kolo može da bude samo setovano ili samo resetovano. Njegov rad kao memorijskog elementa može da bude opisan kombinacionom tabelom ili pomoću jednačina prekidačke algebre. Tabela sadrži sve moguće kombinacije nezavisno promenljivih veličina i odgovarajuće izlazne funkcije (stanja).

t=tn t=tn+1 R S Qn Qn+1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ND 1 1 1 ND

Tabela 6.15. Kombinaciona tablica RS flipflopa

56

Raču

nars

ka te

hnika

Izvo

di iz

pre

dava

nja

2012

/201

3.


Nezavisno promenljive veličine su vrednosti ulaza R i S, kao i prethodno stanje flipflopa na izlazu Q. Pošto su vrednosti izlaza Q važni u dva sukcesivna vremenska intervala, posle određenog vremenskog kvanta, (tzv. taktnog intervala), kombinaciona tabela sadrži vrednosti izlaza u dva susedna taktna intervala t=tn i t=tn+1 u oznaci Qn i Qn+1. (Izlaz Q ima komplemantarnu vrednost izlaza Q.). Iz kombinacione tablice se vidi da je izlazna funkcija flipflopa nedefinisana (ND) u slučaju da se pobudni signali dovedu istovremeno na oba ulaza kola. To znači da se pri ovakvoj pobudi ispoljavaju suprotne tendencije u kolu pa nije sigurno poznato da li će kolo biti setovano ili resetovano. Prekidačka funkcija flipflopa prema stanjima opisanim u tabeli 6.15. može da se nađe kao zbir logičkih proizvoda jednakih jedinici (potpuna disjunktivna normalna forma), tj.:

SRQSRSQRQSRQSRQ nnnn +=++=+1

Prethodni izraz koji opisuje izlaznu funkciju RS flipflopa može da se pojednostavi primenom zakona apsorpcije na sledeći način:

)()(1 nnnn QSRSQSRSRQSRQ +=+=+=+

Najzad, ako se nedefinisana stanja kola ND eliminišu na taj način što se pretpostavi da u posmatranom taktnom intervalu, ili S ili R moraju da imaju vrednost 0 dobija se:

nn QRSQ +=+1

Prethodna jednačina potpuno definiše logiku rada RS flipflopa. RS flipflop ima stanje logičke jedinice na izlazu jedino ako se setuje a zatim se ne resetuje, ili posmatrano unazad, ako je već bio u setovanom stanju a ne resetuje se.

6.10. Pitanja za proveru znanja 1. Elementarne logičke funkcije i elementarna logička kola 2. Izvedene logičke funkcije i izvedena logička kola. 3. Logička funkcija isključivo ILI. 4. Generisanje logičkih funkcija. 5. DeMorganove teoreme. 6. Dodatni logički identiteti. 7. Sinteza kola za aritmetičko sabiranje. 8. Sinteza memorijskih kola.

57

računarska tehnika izvodi iz predavanja 2012/2013

Documents