raciocínio matemático

Raciocnio Lgico - MateMtico

Didatismo e Conhecimento 1


Prof. Sonia Maria Pontelli TamoyoGraduada em Matemtica; Complementao Pedaggica; Atividade no Estado e Escolas particulares por 25 anos.

01. TRIGONOMETRIA.

Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo

cateto e hipotenusa

Em um tringulo retngulo chamamos o lado oposto ao ngulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, cosseno e tangente

Considere um tringulo retngulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

ngulos: , e .



Tomando por base os elementos desse tringulo, podemos de-finir as seguintes razes trigonomtricas:

Seno de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e a medida da hipotenusa.

Seno = !"#$#%!!"!!"#$#%!!"!#$!!"#$#%!!"!!"#$%&'()

Assim:

cosseno de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e a medida da hipotenusa.

Cosseno = !"#$#%!!"!!"#$#%!!"#!$%&'%!"#$#%!!"!!"#$%&'()

Assim:

tangente de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ngulo.

Tangente = !"#$#%!!"!!"#$#%!!"!#$!

!"#$#!!!"!!"#$#%!!"#!$%&'%

Assim:

Exemplo:



As relaes mais importantes entre as razes trigonomtricas so:sen2 + cos2 = 1tg =sen / cos Exemplos de Aplicaes:1. Ao soltar uma pipa, um menino j usou toda a linha de

seu carretel, que tem 100 metros da linha. O ngulo que a linha forma com a horizontal igual a 18. A que altura est a pipa? (Dado: sen18 = 0,3090)

Soluo:Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fique em

linha reta (na verdade, ela forma em pequena barriga devido ao peso da prpria linha).

Usando um modelo matemtico temos:

Na figura, temos sen 18 = h/100 . Logo, h = 100 sen18 = 100 x 0,3090 = 30,9 metros. A altura que calculamos medida a partir da mo do menino. Para calcular em relao ao solo deve-mos somar a distncia da mo ao solo, que pode ser estimada em 1 m. Logo, a pipa est a aproximadamente 31,9 metros do solo.

2. Sabendo que a tangente de um ngulo agudo igual a 2, calcule sen e cos .

Soluo:Temos tg = sen /cos = 2, ou seja, sen = 2 cos . Subs-

tituindo na relao sen + cos = 1, obtemos 4cos + cos = 1.

Portanto, cos = 1/5 e, como as razes trigonomtricas de ngulos agudos so nmeros positivos, cos = 1/5 = 5/5 .

Finalmente, sen = 2 cos = (25)/5

Problemas

1. a) No tringulo retngulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14)

cos 65 = y / 90,42 . 9 = yy = 3,78sen 65 = x /90,91 . 9 = xx = 8,19

b) Considerando o tringulo retngulo ABC da figura, de-termine as medidas a e b indicadas. (Sen 60 = 0,866)

sen 60 = / a0,866 . a = 20,78a = 24cos 60 = b / 240,5 . 24 = bb = 12

2. Um avio decola, percorrendo uma trajetria retilnea, formando com o solo, um ngulo de 30 (suponha que a regio sobrevoada pelo avio seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avio?

A altura ser de 500 metros.

3. A rua Tenrio Quadros e a avenida Tefilo Silva, ambas retilneas, cruzam-se conforme um ngulo de 30. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Tefilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quil-metros, a distncia entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenrio Quadros?
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/08/razao-trigonometrica2.jpg



4. Desejase esticar uma corda do topo de um mastro at um ponto P distante 40 metros da base do mastro. Sabendo que o n-gulo formado entre a superfcie e a corda de 60, determine o comprimento da corda.

A corda ter comprimento igual a 80 metros

5. Um poste de 4 metros de altura projeta uma sombra de 43 metros sobre o solo. Qual a inclinao dos raios luminosos que originaram a sombra?

tan! = !44 3

tan!! = !! !

. !!

tan! =! ! !!.!

tan! =! !

! 30

A inclinao dos raios solares de 30.

02. LGEBRA LINEAR.

Nesse item vamos estudar Matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Matriz

As matrizes so estruturas matemticas organizadas na forma de tabelas com linhas e colunas, utilizadas na organizao de da-dos e informaes. Elas podem ser construdas com m linhas e n colunas

Uma matriz de ordem m x n qualquer conjunto de m x n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Cada elemento de uma matriz localizado por dois ndices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna.

Tipos de matrizes

Matriz linha: matriz com uma nica linha.

Ex: A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz com uma nica coluna. Ex:



Matriz quadrada: matriz com o mesmo n de linhas e colu-nas. Ex:

Matriz nula: matriz em que todos os elementos so nulos; representada por 0m x n. Ex:

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos. Ex:

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Ex:

Matriz oposta: matriz -a obtida a partir de a trocando-se o sinal de todos os elementos . Ex:

Matriz simtrica: matriz quadrada de ordem n tal que a = transposta de A. Ex:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elemen-tos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos; representada por in, sendo n a ordem da matriz. Ex:

adio e subtrao de matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B a matriz m por n adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Multiplicao de matrizes

Multiplicao

O nmero de colunas da matriz da esquerda o mesmo nme-ro de linhas da matriz da direita. Se a uma matriz m por n e B uma matriz n por p, ento seu produto AB a matriz m por p . Ex:

Determinante

O determinante de uma Matriz dado pelo valor numrico resultante da subtrao entre a somatria do produto dos termos da diagonal principal e a somatria do produto dos termos da diagonal secundria. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses clculos podem ser efetuados repetindo-se a 1 e a 2 coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz quadrada quando o nmero de linhas igual ao nmero de colunas.

Determinante de 1 ordem

Dada uma matriz quadrada de 1 ordem M=[a11], o seu deter-minante o nmero real a11:

det M =Ia11I = a11

Obs: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais.

Ex: M= [5] det M = 5


Dada a matriz , de ordem 2, por definio o determinante associado a M, determinante de 2 ordem, dado por:



Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria. Veja o exemplo a seguir.


Regra de Sarrus

O clculo do determinante de 3 ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prtico, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

. 1 passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da ter-

ceira:

2 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multipli-cao dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundria com os dois produtos obtidos pela multi-plicao dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Propriedades dos determinantes

Os determinantes associados a matrizes quadradas de or-dem n apresentam as seguintes propriedades:

1. Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa matriz nulo.

Exemplo:

2. Se duas filas de uma matriz so iguais, ento seu determi-nante nulo.

Exemplo:



3. Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento seu determinante nulo.

Exemplo:

exerccios

1. Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da ma-triz A seja nulo.

2. Calcular o valor do determinante:

3. Para que o determinante da matriz 1+a -1 3 1-a Seja nulo,

o valor de a deve ser.

Respostas:

1. Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante ser da seguinte forma.

2. Colocando 4 em evidncia na 2a linha:

Colocando 5 em evidncia na 3a coluna:

Aplicando Sarrus no determinante 3 3, teremos:

4 5 35 = 700

Resp: O valor do determinante 700.

3. (1+a) (1-a) (-1).3 = 01 a + a a - (-3) = 01 a +3 = 0- a + 4 = 0a -4 = 0a = a = +2 ou a = -2

Sistemas Lineares

equao linear toda equao do tipo !!!! + !!!!! + !!!!! +!!!!! = !! , onde !! ,!! ,!! , ,!! e

b so nmeros reais e !! , !! , !! , , !! so as incgnitas.Os nmeros reais !! ,!! ,!! , ,!! so chamados de coeficientes

e b o termo independenteEx: Um produtor vende morangos, pssegos e laranjas. Certo

dia, com a venda de 20 caixas de morangos, 10 caixas de pssegos e 8 caixas de laranjas, ele arrecadou R$ 640 reais. Indicando os preos dos morangos por m, dos pssegos por p e das laranjas por l, temos a equao 20m + 10p + 8l = 640, que uma equao linear em que m, p, l so as incgnitas, 20, 10 e 8, so os coeficientes, e 640 o termo independente.

Um sistema de equaes lineares (abreviadamente, sistema linear) um conjunto finito de equaes lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variveis

O sistema linear tambm pode ser conceituado como um sis-tema de equaes do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equaes possuem apenas polinmios em que cada parcela tem apenas uma incgnita. Em outras palavras, num sistema linear, no h potncia diferente de um ou zero tambm no pode haver multi-plicao entre incgnitas .

Ex: Se o mesmo produtor deixar em trs barracas de frutas quantidades diferentes de caixas de frutas, obtendo diferentes ar-recadaes, ento, para cada barraca teremos uma equao linear, perfazendo trs equaes lineares. Formando, ento, um conjunto de equaes lineares:

20! + 10! + 8! = 64015! + 8! + 12! = 6708! + 4! + 6! = 340



A soluo do sistema uma sequencia de n reais ordenados que simultaneamente soluo de todas as equaes do sistema.

Os sistemas lineares so classificados quanto ao n de solues:- Possvel e determinado: tem uma nica soluo- Possvel e indeterminado: tem infinitas solues- Impossvel: no tem soluo

A um sistema linear de m equaes e n incgnitas podemos associar duas matrizes:

-incompleta: formada pelos coeficientes das incgnitas.-completa: formada pelos coeficientes das incgnitas e os ter-

mos independentes.

Ex: 2! + ! = 25! ! = 1

Matriz incompleta: 2!!!!!!!!15!!!! 1

Matriz completa: 2!!!!!!!!1!!!!!25!!! 1!!!!!1

Um sistema dito normal quando o n de equaes igual ao n de incgnitas (m = n) e o determinante da matriz incompleta diferente de zero.

Resoluo de sistema normal

Resolvemos um sistema normal atravs da regra de Cramer onde a soluo desse sistema obtida pelas relaes:

X = !

Y = !

Z = !

, ...

Sendo :- o determinante da matriz incompleta- !,!,! os determinantes obtidos da matriz incomple-

ta substituindo-se a coluna dos coeficientes da incgnita procurada pela coluna dos termos independentes.

Ex:

Resolva o sistema: 3! 2! = 44! + !! = 9!

=! 3!!!!! 24!!!!!!!!!!!1 = 3 + 8 = 11

x = 4!!! 29!!!!!!!!!1 = 4 + 18 = 22

y = !3!!!!!!!44!!!!!!!9 = 27 -16 = 11 X = !

= !!

!! = 2

Y = !

= !!

!! =1

v = { (2,1)}

exerccios

1. Resolva os sistemas:

a) ! + ! + ! = 1

3! + 2! + 0! = 0! ! ! = !5

b) 2! + ! + ! = 1

! 3! + 2! = !13! + ! ! = 4

c) ! + ! + ! = 62! ! + ! = 3! + 4! ! = 6

2. Calcule o valor de 2x y no sistema: 3! + ! = 1! + 3! = !5

Respostas:

1. a) V = {(-2, 3, 0)}

b) V = { (1, 0, -10).}

c) V = { (1, 2, 3)}

2. x = 1, y = -2, 2x y = 2.1 (-2) = 2 + 2 = 4

Resp : 4



03. PROBABILIDADES.

Probabilidade

O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situaes, prevermos a possibilidade de ocorrncia de determina-dos fatos.

A histria da teoria das probabilidades, teve incio com os jo-gos de cartas, dados e de roleta. Esse o motivo da grande exis-tncia de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocor-rncia de um nmero em um experimento aleatrio.

experimento aleatrio

aquele experimento que quando repetido em iguais condies, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, so resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve clculo de experimento aleatrio.

Se lanarmos uma moeda ao cho para observarmos a face que ficou para cima, o resultado imprevisvel, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa.

Se ao invs de uma moeda, o objeto a ser lanado for um dado, o resultado ser mais imprevisvel ainda, pois aumentamos o n-mero de possibilidades de resultado.

A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condies ou em condies semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrncia, damos o nome de experimentos alea-trios.

espao amostral

Ao lanarmos uma moeda no sabemos qual ser a face que ficar para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou ser cara, ou ser coroa, pois uma moeda s possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto

{ cara, coroa } damos o nome de espao amostral, pois ele o conjunto de todos os resultados possveis de ocorrer neste expe-rimento.

Representamos um espao amostral, ou espao amostral uni-versal como tambm chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espao amostral por:

S = { cara, coroa }Se novamente ao invs de uma moeda, o objeto a ser lanado

for um dado, o espao amostral ser:S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

evento

Quando lanamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocor-rncia deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espao amostral um evento.

Em relao ao espao amostral do lanamento de um dado, veja o conjunto a seguir:

A = { 2, 3, 5 }

Note que ( A est contido em S, A um subconjun-to de S ). O conjunto a a representao do evento do lanamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um nmero primo.

Classificao de Eventos

Podemos classificar os eventos por vrios tipos. Vejamos al-guns deles:

evento Simples

Classificamos assim os eventos que so formados por um ni-co elemento do espao amostral.

A = { 5 } a representao de um evento simples do lana-mento de um dado cuja face para cima divisvel por5. Nenhuma das outras possibilidades so divisveis por 5.

evento certo

Ao lanarmos um dado certo que a face que ficar para cima, ter um nmero divisor de 720. Este um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos nmeros da face de um dado um divisor de 720, pois 720 o produto de todos eles.

O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espao amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

evento impossvel

No lanamento conjunto de dois dados qual a possibilidade de a soma dos nmeros contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?

Este um evento impossvel, pois o valor mximo que pode-mos obter igual a doze. Podemos represent-lo por , ou ainda por A = {}.

conceito de probabilidade

Se em um fenmeno aleatrio as possibilidades so igualmen-te provveis, ento a probabilidade de ocorrer um evento A :

Por, exemplo, no lanamento de um dado, um nmero par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prov-veis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Problemas

1. trs irmos Pedro, Joo e Lus foram brincar na rua. Su-pondo-se que as condies de retorno para casa so as mesmas para cada um deles, qual a probabilidade de Lus voltar para casa primeiro?

2. Um dado lanado. Qual a probabilidade de obtermos um nmero divisor de 6?



3. Uma bola ser retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 amarelas. Qual a probabilidade dessa bola ser verde?

4. Em uma empresa, o risco de algum se acidentar dado pela razo 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situaes relacionadas a 3 funcionrios:

a) a probabilidade de todos se acidentaremb) a probabilidade de nenhum se acidentar

5. Um casal planeja ter 5 filhos. Qual a probabilidade de nascerem 3 meninos e 2 meninas? Respostas

1. Como 3 o nmero total de irmos, ento Lus tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Lus voltar para casa antes dos seus irmos igual a 1/3.

2. Como vimos acima, o espao amostral do lanamento de um dado :S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E representado por:E = { 1, 2, 3, 6 }Ento n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:

Podemos tambm apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:

A probabilidade de se obter um nmero divisor de 6 2/3 ou 66,67%.

3. Neste exerccio o espao amostral possui 12 elementos, que o nmero total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde est na razo de 5 para 12.

Sendo S o espao amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resoluo assim:

A probabilidade de esta bola ser verde 5/12

4. a) Probabilidade de todos se acidentaremComo o risco de 1 em 30 temos que:

P = !!"

. !!"! . !!"

P = !!"##!

P = 0,000037P = 0,0037%

b) Probabilidade de nenhum se acidentarPara os acidentados temos a probabilidade de 1 em 30. Nesse caso para os no acidentados temos a probabilidade de 29 em 30. Ento:

P = !"!"

. !"!"

. !"!"

P = !"#$%!"###

P = 0,9033P = 90,33%



5. Primeiramente, devemos observar que no importa a or-dem de nascimento, assim, temos 6 opes:

- 5 meninos- 4 meninos e 1 menina- 3 meninos e 2 meninas- 2 meninos e 3 meninas- 1 menino e 4 meninas- 5 meninas Logo, a probabilidade de nascerem 3 meninos e 2 meninas :

P = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

04. COMBINAES, ARRANJOS E PERMUTAO.

analise combinatria

A anlise combinatria cuida, em linhas gerais, da determina-o do n de possibilidades que um evento pode ocorrer. Quando o n de possibilidades pequeno usamos ao processo descritivo cha-mado diagrama de rvore e a partir desse dispositivo enunciaremos o princpio fundamental da contagem que permite a contagem sem a descrio das possibilidades.

Anlise combinatria um estudo realizado na matemtica, responsvel pela anlise das possibilidades e das combinaes..

Para efetuar os clculos em alguns problemas, devemos estu-dar algumas propriedades da anlise combinatria:

Permutao

As permutaes so agrupamentos formados pelos mesmos elementos, que diferem entre si somente pela ordem dos mesmos. Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutaes simples de seus elementos so: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.

Indicamos o nmero de Permutaes simples de n elementos distintos por:

Pn = n! Ex: Quais os anagramas da palavra AMOR? Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qual-

quer permutao dessas letras, de modo a formar ou no palavras.!! = 4. 3. 2. 1 = 24Temos 4 possibilidades para a primeira posio, 3 pos-

sibilidades para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio.

Pelo princpio fundamental da contagem temos !! = 4. 3. 2. 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.

Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

arranjos

Os arranjos so caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. A ordem importante.

Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, so: {(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}

Veja que cada arranjo diferente do outro. Portanto, so ca-racterizados:

Pela natureza dos elementos: (2,4) (4,8)Pela ordem dos elementos: (1,2) (2,1) Frmula para calcular arranjo simples:

!!,!=!!

!!! !

Ex: Em um colgio, dez alunos candidataram-se para ocupar

os cargos de presidente e vice-presidente do grmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poder ser feita?

Resoluo: Temos dez alunos disputando duas vagas, portan-to, dez elementos tomados dois a dois.

um arranjo de 10 alunos tomados 2 a 2, onde n= 10 e p= 2So 90 maneiras.

Combinao

Em uma festa de aniversrio ser servido sorvete aos convi-dados. Sero oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado dever escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que, no importa a ordem em que os sabores so escolhidos. Se o convidado escolher morango e chocolate {MC} ser a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente.

Portanto, na combinao os agrupamentos so caracterizados somente pela natureza dos elementos. A ordem no importante.

Formula para calcular combinao simples:

!!,! = !!

!! !!! !

Problemas

1. (Concurso CREA/PR-2013) A fim de vistoriar a obra de um estdio de futebol para a copa de 2014, um rgo pblico orga-nizou uma comisso composta por 4 pessoas, sendo um engenhei-ro e 3 tcnicos. Sabendo-se que em seu quadro de funcionrios o rgo dispe de 3 engenheiros e de 9 tcnicos, pode-se afirmar que a referida comisso poder ser formada de _____ maneiras dife-rentes. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima.

A) 252B) 250C) 243D) 127E) 81

2. Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tenta-tivas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

3. Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

4. Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos distin-tos. Quantos tringulos podem ser construdos com vrtices nos 9 pontos marcados?



5. Quantas equipes diferentes de vlei podem ser escaladas, tendo disposio 10 meninas que jogam em qualquer posio?

6. Uma associao tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 so homens, e 4 so mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comisso dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

7. Um nmero de telefone formado por 8 algarismos. Determine quantos nmeros de telefone podemos formar com algarismos dife-rentes, que comecem com 2 e terminem com 8.

8. Qual o nmero de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?

9. Otvio, Joo, Mrio, Lus, Pedro, Roberto e Fbio esto apostando corrida. Quantos so os agrupamentos possveis para os trs primeiros colocados?

Respostas

1. !!,! . !!,! = !!

!! !!! ! . !!!! !!! !

= !,!,!!.!,!

. !.!.!.!!!.!.!.!!

= !! . !"#

! = 252

Resp A

2. As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720. Observe que : = 720

3. Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinao de 15 elementos tomados 10 a 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a:

!!",!" =! !"!

!"! !"!!" != !".!".!".!".!!.!"!

!"!!.!!!.!.!.!.! = 3003

4. Resolvemos utilizando a formula da combinao porque a ordem dos vrtices dos tringulos no importa. uma combinao de 9

pontos tomados 3 a 3 . Resp: 84

5. A= { } Onde, n=10 e p= 6, pois temos que uma equipe de vlei formada por 6 atletas. Logo, colocando os dados na frmula de combinaes simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 210 equipes de vlei.

6. C6, 3 . C4, 2 Fazendo

Agora, multiplicamos os resultados: C6, 3 .C4, 2 =6.20 = 120 maneiras de formar uma comisso com 3 homens e 2 mulheres.

7. O nmero 2 deve ser fixado na 1 posio e o 8 na ltima. Restaram, por tanto, 6 posies e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois nmeros de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6. Usando a formula de arranjo: Podemos formar 40.320 nmeros de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.
http://filebeam.com/21335ace0034f2644e329d470586ebd2.jpghttp://filebeam.com/9f718c5989e79cd9bec37d439a81336f.jpghttp://filebeam.com/cd233c43eab11c8c501ddb3f06620936.jpg



8. Com se trata de anagrama devemos usar permutao. Resp: 40320

9. Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chega-da um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 cor-redores e queremos saber o nmero de possibilidades de chegada at a terceira posio, devemos calcular a7, 3:

Logo: 210 so os agrupamentos possveis para os trs primei-ros colocados.

05. GEOMETRIA BSICA.

geometria Plana e espacial

geometria plana

A geometria plana, tambm chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve incio na Grcia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em trs conceitos bsicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto um conceito primiti-vo, pois no existe uma definio aceita de ponto, indicamos um ponto por uma letra maiscula do alfabeto (A, G, P,. . ). Podemos definir uma reta como sendo um nmero infinito de pontos . No difcil perceber que sobre um ponto passa um nmero infinito de retas, porm sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta. Indicamos uma reta por letras minsculas de nosso alfa-beto( a, b, r...) . Se tivermos trs pontos distintos, teremos ento um plano o qual contm os trs pontos e todas as retas que passa-rem por dois destes pontos estaro contidas no plano, assim como tambm estaro contidas no plano todas as retas paralelas s retas dadas. Indicaremos um plano por uma letra do alfabeto grego (

qba ,, ...).

pontos: letras maisculas do nosso alfabeto

retas: letras minsculas do nosso alfabeto

planos: letras minsculas do alfabeto grego

tringulos

Trngulo um polgono de trs lados.

Os pontos A, B, C so os vrticesCB, ACB e CBC so os ngulos internos do tringuloOs segmentos AB , AC e BC so os lados do tringulo.A soma dos ngulos internos de um tringulo sempre 180.

Classificao dos tringulos Quanto aos lados:- Equiltero: Os trs lados tm a mesma medida.- Issceles: Dois lados tm a mesma medida.- Escaleno: Os trs lados tm medidas diferentes.

Quanto aos ngulos:- Acutngulo: Os trs ngulos internos so agudos- Retngulo: Um dos ngulos reto.- Obtusngulo: Um dos ngulos obtuso.

Quadrilteros

A soma dos ngulos internos de um quadriltero 360.Os quadrilteros classificam-se em paralelogramos e tra-

pzios.

Paralelogramos (dois pares de lados paralelos) :

1. Quadrado: quatro lados congruentes, quatro ngulos retos, duas diagonais congruentes e perpendiculares.

2. Retngulo: Lados opostos congruentes, quatro ngulos retos, duas diagonais congruentes



3. Losango: Quatro lados congruentes, ngulos opostos con-gruentes, duas diagonais perpendiculares.

4. Paralelogramo: Lados opostos congruentes, ngulos opos-tos congruentes.

trapzios ( um par de lados paralelo) :

1. Trapzio retngulo: Um par de lados paralelos, dois n-gulos retos.

2. Trapzio issceles: Um par de lados paralelos, lados trans-versos iguais, dois ngulos agudos iguais, dois ngulos obtusos iguais

3. Trapzio escaleno: Um par de lados paralelos, quatro lados diferentes, quatro ngulos diferentes.

crculo e circunferncia

Circunferncia apenas o contorno. Ex: aliana, bambolCrculo cheio , podemos calcular a rea do crculo, ou seja,

a superfcie ocupada. Ex: pizza.

Raio e dimetro

Dimetro de uma circunferncia ou de um crculo qualquer reta que passe pelo centro dessa figura. O dimetro a maior reta secante passando por qualquer circunferncia.

Raio a metade do dimetro. O raio a distncia do centro a um ponto qualquer da circunferncia

exerccios:

1. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.

2. As medidas dos ngulos internos de um quadriltero so: x + 17 ; x +37 ; x + 45 e x + 13. Determine as medidas desses ngulos.

3. Meu irmo e eu compramos um stio na forma de um lo-sango com o lado medindo 500 m. Dividimos o stio na direo das diagonais, uma medindo 600 m e a outra 800 m. Dessa forma o stio ficou dividido em quatro partes iguais. Quantos metros de arame farpado so necessrios para cercar uma dessas partes desse terreno com trs fios de arame?

4. Com um arame de 36 m de comprimento construmos um tringulo equiltero e com o mesmo arame construmos depois um quadrado. Determine a razo entre a medida do lado do tringulo e o lado do quadrado.

Respostas:

1. 9y + 16 = 7y + 409y = 7y + 40 - 169y = 7y + 249y - 7y = 242y = 24y = 24 /2y = 12

Ento:x + (7 . 12 + 40) = 180x = 180 - 124x = 56

2. x + 17 + x + 37 + x + 45 + x + 13 = 3604x + 112 = 3604x = 360 - 112x = 248 / 4x = 62



Ento, os ngulos so:x + 17 = 79x + 37 = 99x + 45 = 107x + 13 = 75

3. 300 + 400 + 500 = 1200 metros 1200 . 3 = 3600 metros de arame

4. Lado do tringulo equiltero 12 metros

Lado do quadrado 9 metros

!! =!"

! = !

!

rea de Permetro de figuras planas

Permetro a soma de todos os lados de qualquer figura plana. o contorno da figura. No caso da circunferncia temos uma fr-mula: C = 2 .p r , onde C o comprimento da circunferncia, r o raio da circunferncia e p = 3,14.

rea a medida da superfcie da figura plana. Para calcular a rea de uma figura precisamos saber a sua frmula. As frmulas das figuras planas mais usadas so:

1. Quadrado : A= l . l ou A = l 2 ( l a medida do lado )

2. Retngulo e Paralelogramo: A = b . h (b a base e h a altura)

3. Losango : A = 2.dD

( D a medida da diagonal maior e d a diagonal menor)

4. a) Tringulo : A = 2.hb

(b a medida da base e h a altura)

b) Tringulo Equiltero

A = 4

32a ( a a medida do lado)

Lembrar que o tringulo equiltero tem os trs lados de mes-ma medida.

c) Tringulo qualquer em que sabemos as medidas dos trs lados e no conhecemos a altura: a = ))()(( cpbpapp (p o semi permetro, ou seja, a metade do permetro; a, b c so as medidas dos lados do tringulo).

p = 2

cba ++



5. Trapzio : A = 2).( hbB +

(B a medida da base maior, b

a base menor e h a altura)

6. Hexgono regular : Um hexgono regular formado por 6 tringulos equilteros, portanto a rea de um hexgono 6 vezes a rea de cada um desses tringulos.

A = 2

3..3 2a ( a a medida do lado do hexgono)

7. crculo e circunferncia:Para calcular o comprimento de uma circunferncia usamos

a frmula:C = 2.p . r ( r a medida do raio e p vale 3,14)Para calcular a rea do crculo usamos a frmula:A = p .r 2 ( r a medida do raio e p vale 3,14)

Ex: Calcule o comprimento e a rea de um crculo de raio 5 cm.

Resoluo: C = 2 . p . RC = 2 . 3,14 . 5 C = 31,40 cmA = p . r 2A = 3,14 . 5 2 A = 3,14 . 25 A = 78,50 cm 2

exerccios

1. Determine a rea das figuras em cm 2 :

a)

b)

c)

d)

e)



2. Encontre o permetro e a rea de um tringulo equiltero com cada lado medindo 4 centmetros

3. Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26?Uma bicicleta aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30 cm.

4. Uma pizza tem raio igual a 15 cm e est dividida em 6 fa-tias. Calcule a rea de cada fatia.

5. Uma praa circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade sero necessrios para cerca-la?

6. Numa bicicleta de aro 26 (o raio mede 30 cm), quantas vol-tas completas as rodas precisam dar para um percurso de 3,76 km?

7. (FUVEST) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma um quadrado, com lado medindo 50 m. Ele est amarrado a uma corda de 40 m que est fixada num dos cantos do quadrado. Considerando p = 3,14 , calcule a rea, em metros quadrados, da regio do cercado que o cavalo no conse-guir alcanar, porque est amarrado.

a) 1244 b) 1256 c) 1422 d) 1424 e) 1444

8. (concurso Pref. Foz do iguau/PR-cargo administra-o-2013) Sabe-se que o permetro do paralelogramo abaixo mede 60 cm:

A rea ocupada por esse paralelogramo igual a: a) 24 cm. b) 48 cm. c) 120 cm. d) 160 cm.

Respostas

1. a) 48 cm 2

b) 38,5 cm 2

c) 91 cm 2

d) 12 cm 2

e) 150 cm 2

2. A = 4 3 cm 2 P = 12 cm

3. 188,40 cm

4. 117,75 cm 2

5. 1256 m

6. 6. 3,76 km = 376000 cmV amos calcular o comprimento da rodaC = 2 . p . RC = 2 . 3,14 . 30C = 188,40 cm376000 : 188,40 = 1995,75 voltas

7. A

8. Sabendo que o permetro 60 cm e que um lado mede 10 cm, temos 2 lados de 10 cm e 20 lados medindo 20 cm cada. 10 + 10 + 20 + 20 = 60 cm

Para calcular a altura usamos o teorema de Pitgoras no trian-gulo retngulo formado onde a base mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm:

H = 10 - 6H = 100 36H = 64H = 8 cmCalculamos a rea com a frmula A = B . HA = 20 . 8 = 160 cmAlternativa D

geometria espacial

Geometria espacial o estudo da geometria no espao, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimenses. Essas figuras recebem o nome de slidos geomtricos.

Os slidos geomtricos so encontrados nas diferentes formas existentes ao nosso redor. Uma caixa de sapatos, a caixa dgua, uma pirmide, uma lata de leo, a casquinha de um sorvete, entre outros, so considerados slidos geomtricos.

Volume do cubo

O volume de um cubo determinado atravs do produto da rea da base pela altura, como j sabemos as arestas do cubo pos-suem medidas iguais, ento temos que !! = !. !!



V = Ab .h ou V = a . a . a V = a. Observe:

As unidades mais usadas para expressar capacidade so as se-guintes: m (metro cbico), cm (centmetro cbico), dm (decmetro cbico). Onde respeitam as seguintes relaes:

1 m = 1000 litros 1 dm = 1 litro

Problemas

1. Determine a aresta de um cubo cuja rea total igual a 72 cm.

2. Se a rea total de um cubo 150 m, calcule a aresta e o volume desse cubo.

Respostas

1. 72 = 6. aa = 72/6a = 12a = 12a = 23

2. 150 = 6. aa = 150/6a = 25a = 5 mV = aV = 5V = 125 m

Volume do cilindro

Todo cilindro possui uma base no formato de circunferncia de raio r e uma altura h. Seu volume dado atravs da multiplicao en-tre a rea da base no formato circular e a medida da altura h. Observe:

rea da base circular Ab = . r

rea da lateral !! = 2 r h

rea total do cilindro !! = 2 r + 2 r h = 2 r (r + h)

Volume

V = Ab . h V = . r . h

Problemas

1. Determine a rea total e o volume de um cilindro reto de altura 3 metros e dimetro da base 2 metros.

2. Calcule a rea da base, a rea lateral, a rea total e o volume de um cilindro cuja altura mede 2r e raio da base igual a 5 dm.

Respostas

1. Se o dimetro 2 metros, ento o raio mede 1 metro

!! = 2 r (r + h) !!= 2. 3,14 . 1. (1 + 3) !!= 6,28 (4) !!= 25,12 m

V = . r . hV = 3,14 . 1 . 3V = 9,42 m

2. h = 2.r = 2.5 = 10 dmAb = . r Ab = 3,14 . 5Ab = 3,14 . 25Ab = 78,5 dm

!! = 2 r h !!!!!!!= 2. 3,14 . 5. 10 !!= 314 dm !! = 2 r (r + h) !!= 2. 3,14 . 5 . (5 + 10) !!= 31,4 ( 15) !!= 471 dm

V = . r . hV = 3,14 . 5 . 10V = 3,14 . 25 . 10V = 785 dm

rea e volume do prisma

Chamamos de rea lateral ( A L ) de um prisma soma de to-das as reas de suas faces laterais. A rea total ( A t ) de um prisma a soma da rea lateral com as reas das bases . A t = A l + 2 . A B



O volume de um prisma obtido pelo produto da rea da base e a medida da altura do prisma. V = A B . h

Ex: Determine a rea da base, rea lateral, a rea total e o vo-lume de um prisma reto de altura 12 cm e cuja base um tringulo retngulo de catetos 6cm e 8 cm.

Resoluo: Lembre-se : a rea de um tringulo retngulo

2.catetocateto

Clculo da hipotenusa: a2

= 6 22 8+ = 36 + 64 = 100

a = 100 = 10 cm

A B = 28.6

= 24 cm 2

A L = 8 . 12 + 6 . 12 + 10 . 12 A L = 288 cm2

A BLT AA .2+= A T = 288 + 2. 24 A T = 336 cm2

V = A B . h V = 24 . 12 V = 288 cm3

rea e volume do paraleleppedo reto-retngulo

A rea total de superfcie externa de um paraleleppedo reto--retngulo a soma das reas dos 6 retngulos congruentes 2 a 2.

A T = 2 (ab + bc + ac )

O volume do o produto da rea da base pela altura ou o produto das 3 medidas ( altura, comprimento e largura)

V = A B . h ou V = a . b . cCaso particular : O volume do cubo de aresta a : V = a 3

A rea de um cubo 6 vezes a rea de cada face. A = 6.a 2

Problemas

1. Um paraleleppedo reto-retngulo tem rea da base igual a 18 cm e volume igual a 36 cm. Calcule a sua altura.

2. A base de um paraleleppedo um quadrado de rea 16 cm. Calcule a rea total e o volume desse paraleleppedo sabendo--se que sua altura igual a 6 cm.

Respostas

1. V = A B . h 36 = 18 . hh = 36/18h = 2 cm 2. A base um quadrado de rea 16 cm , ento o lado do

quadrado 4cm. A T = 2 (ab + bc + ac )A T = 2.(4.4 + 4.6 + 4.6)A T = 2. 64A T = 128 cm

V = a . b . cV = 4 . 4. 6V = 96 cm

rea e volume da pirmide e do cone

A rea total de um cone ou pirmide dada pela soma da rea da base com a rea da lateral. A T = A L + A B

O volume do cone ou da pirmide um tero do produto da rea da base pela altura. V = (A B .h) : 3

Uma vez que a determinao de reas e volumes tem um gran-de interesse prtico, torna-se conveniente agrup-las e relacion--las num quadro-resumo:

rea total Volume Prisma Cilindro At = Al + 2Ab V = Ab . h

Pirmide Cone At = Al + Ab V = (Ab . h) / 3

Problemas

1. Calcule o volume de uma pirmide hexagonal regular de aresta da base l e altura l.

2. A aresta da base de uma pirmide quadrangular regular mede 8 cm. Calcule a rea da base e o volume dessa pirmide sabendo-se que ela tem altura igual a 3 cm.

3. Calcule a rea de base e volume de um cone de altura 12 cm e raio da base 5 cm.

Respostas:

1 !!= !!! !!

V = !!!.!!

= !!! !! !.!

! = !,! !

! = ! !

!

2.!! = 8 . 8 = 64cm

V = !!.!!

= !"!!.!!

= 64 cm



3. !! = . r = 3,14 . 5 = 3,14 . 25 = 78,5 cm

V = !!.!!

= !",!!.!"!

= 314 cm!!!!

06. NOES DE MATEMTICA FINANCEIRA: REGRA DE TRS,

PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES.

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver pro-blemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

como resolver uma regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamen-te proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.Ex: 1. Uma roda d 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas

dar em 28 minutos?Resoluo: as grandezas envolvidas so nmero de voltas e

tempo(minutos). Se em 20 minutos d 80 voltas, aumentando o tempo, aumenta o nmero de voltas. Quando as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporo, a regra de trs direta.

voltas minutos 80 20 X 28

Quando a regra de trs direta indicamos com flechas no mes-mo sentido e resolvemos multiplicando em cruz.

20.x= 80.28

20.x = 2240

x = 202240 =

= 112

Resposta: 112 voltas

2. U m avio velocidade de 800 km por hora, leva 42 mi-nutos para ir de So Paulo a Belo Horizonte. Se a velocidade do avio fosse 600 km por hora, em quanto tempo iria fazer a mesma viagem?

Resoluo: As grandezas envolvidas so velocidade e tempo(minuto). A 800 km/h o tempo gasto 42 minutos, dimi-nuindo a velocidade o tempo gasto dever aumentar. Quando uma grandeza diminui e a outra aumenta na mesma proporo a regra de trs inversa . Nesse caso as flechas so em sentidos contrrios.

Velocidade tempo 800 42 600 x

Invertemos uma das flechas e procedemos como no caso an-terior.

Velocidade tempo 800 x 600 42

600.x = 800.42600.x = 33600

x = 600

33600= 56 Resposta: 56 minutos

Problemas

1. Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

2. Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, reali-zou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho?

3. Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa?

4. Um certo homem percorre uma via de determinada distn-cia com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este homem gastar com sua bicicleta para percorrer esta mesma distncia com uma velocidade 03 Km/h.

5. Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

6. Para transportar um certo volume de areia para uma cons-truo foram utilizados 30 caminhes, carregados com 4 m 3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhes com capacidade para 12 m 3 de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o servio?

7. Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar 4000 refrigerantes?

8. Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m. Quantos litros so necessrios para pintar 15 m 2 de parede?

9. Para se obterem 28 kg de farinha, so necessrios 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo so necessrios para se obterem 7 kg de farinha?



10. Se 3 torneiras conseguem encher um tanque em 2 horas, quanto tempo demorar para esse tanque encher quando uma das tor-neiras no for aberta?

11. Para fazer trs bolos, um confeiteiro usa 750 g de farinha de trigo. Quantos bolos iguais aos anteriores podem ser feitos com 3 kg de farinha?

Respostas

1. 2,5 horas2. 32 dias 3. 16 dias4. 10 horas5. 3 horas6. 10 caminhes7. 8 horas8. 6 litros9. 10 kg10. 3 horas11. 12 bolos

Regra de trs composta

A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais

Ex: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias so necessrios 400 kg de farelo. Quantos porcos podem ser alimentados com 600 kg de farelo durante 24 dias?

Resoluo: As grandezas so porcos, farelo e dias. Organizamos os dados de modo que a pergunta fique sempre na primeira coluna e comparamos a coluna da pergunta com cada uma das outras gran-dezas, uma cada vez.

Porcos farelo(kg) dias 12 400 20 X 600 24

Comparando porcos com farelo: Se 400 kg alimentam 12 por-cos, mais farelo alimenta mais porcos, logo as grandezas so direta-mente proporcionais

Comparando porcos e dias: se a quantidade de farelo su-ficiente para alimentar durante 20 dias 12 porcos, aumentando os dias o mesmo farelo alimentar menos porcos, logo as grandezas so inversamente proporcionais.

Vamos agora inverter a flecha dos dias e resolver multipli-cando em cruz as duas primeiras grandezas , seguindo reto nas outras grandezas.

Porcos farelo(kg) dias 12 400 24 X 600 20

400 . 24 . x = 12 . 600 . 209600 x = 144000

X = 9600

144000 = 15 Resposta : 15 porcos

Problemas

1. Seis torneiras despejam 10.000 litros de gua em uma caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12 torneiras despejaro 12.000 litros de gua?

2. Usando um ferro eltrico 1 hora por dia, durante 20 dias, o consumo de energia ser de 10 kw/h. Se o mesmo ferro eltrico for usado 110 minutos por dia durante 30 dias, qual ser o consumo?

3. Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, Joo recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia, quantos dias ele dever trabalhar para receber R$ 2 700,00?

4. Em uma empresa, 10 funcionrios produzem 3 000 peas, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O nmero de funcion-rios necessrios para que essa empresa produza 7 000 peas em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, ser de:

5. Doze operrios, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fa-zem 36 m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12 m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaro:

6. Em 18 dias, 12 homens, trabalhando 8 horas por dia, fabri-cam 9 mquinas. Em quantos dias 8 homens, trabalhando 6 horas por dia, fabricariam 15 mquinas?

7. Na alimentao de 02 bois, durante 08 dias, so consumidos 2420 kgs de rao. Se mais 02 bois so comprados, quantos quilos de rao sero necessrios para aliment-los durante 12 dias.

8. Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros podero fazer 320 tortas

9. Um caminho percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 ho-ras por dia. Quantos quilmetros percorrer 10 dias, correndo 14 horas por dia?

10. Uma famlia composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de po. Quantos quilos de po sero necessrios para aliment-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

11. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro?

12. Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

13. Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h?

14. Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos me-tros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?



Respostas

1. 6 horas2. 27,5 kw/h3. 29 dias4. Func. Peas horas dias 10 3000 8 5 X 7000 4 15

10 3000 4 15 X 7000 8 5

X = 15.4.30005.8.7000.10

X = 1800002800000

X = 15,5

X = 16 funcionrios

5. dias horas metros oper. Larg.90 8 36 12 1X 6 12 15 2

90 6 36 15 1X 8 12 12 2

X = 1.15.36.62.12.12.8.90

X =

3240207360

X = 64 dias

6. dias homens horas maq.18 12 8 9X 8 6 15

X 12 8 1518 8 6 9

X = 9.6.815.8.12.18

X = 432

25920

X = 60 dias

7. 7260 kg8. 6 dias9. 2170 km 10. kg pessoas dias 3 6 2 X 4 5

X = 2.65.4.3

X = 1260

X = 5 kg

11. dias pedreiros alt.(m) 9 2 2 X 3 4

9 3 2 X 2 4

X = 2.34.2.9

X = 672

X = 12 dias

12. dias oper. Horas metros 18 20 8 300 X 16 9 225

18 16 9 300 X 20 8 225

X = 300.9.16225.8.20.18

X = 43200

648000

X = 15 dias



13. Horas dias veloc. 8 30 50 X 20 60

X 30 50 8 20 60

X = 60.2050.30.8

X = 120012000

X = 10 horas por dia

14. 2025 metros

Porcentagem

Diariamente jornais, TV, revistas apresentam notcias que envolvem porcentagem; em um passeio pelo comrcio de nossa cidade vemos cartazes anunciando mercadorias com desconto e em boletos bancrios tambm nos deparamos com porcentagens.

A porcentagem de grande utilidade no mercado financeiro, pois utilizada para capitalizar emprstimos e aplicaes, expres-sar ndices inflacionrios e deflacionrios, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatstica possui parti-cipao ativa na apresentao de dados comparativos e organiza-cionais.

frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Alguns exemplos:A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada

R$100 houve um acrscimo de R$15,00O funcionrio recebeu um aumento de 10% em seu salrio.

Significa que em cada R$100 foi dado um aumento de R$10,00As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesi-

mais ou taxas percentuaisPorcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa

percentual a um determinado valor. representado por uma frao de denominador 100 ou em nmero decimal.

Ex: 25% = 10025

= 0,25 =

41

(frao irredutvel)

Porcentagem na forma decimal

43% = 43/100 = 0,43, ento 0,43 corresponde na forma deci-mal a 43%

0,7 = 70/100= 70%

Importante: Fator de Multiplicao.

Se h um acrscimo de 10% a um determinado valor, po-demos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 30%, multiplicamos por 1,30, e assim por diante. Veja:

acrscimo Fator de Multiplicao11% 1,1115% 1,1520% 1,2065% 1,6587% 1,87

Ex: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal). Veja :

Desconto Fator de Multiplicao12% 0,8826% 0,7436% 0,6460% 0,4090% 0,10

Ex: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00

Voc deve lembrar que em matemtica a palavra de indica uma multiplicao, logo para calcularmos 12% de R$ 540,00 de-vemos proceder da seguinte forma:

12% de 540 = 10012

. 540 =

1006480 = 64,8 ; logo 12% de R$

540,00 R$ 64,80

Ou

0,12 de 540 = 0,12 . 540 = 64,8 (nos dois mtodos encontra-mos o mesmo resultado)

Utilizaremos nosso conhecimento com porcentagem pra a re-soluo de problemas.

Ex: 1. Sabe-se que 20% do nmero de pessoas de minha sala de aula so do sexo masculino. Sabendo que na sala existem 32 meninas, determine o nmero de meninos.

Resoluo: se 20% so homens ento 80% so mulheres e x representa o n total de alunos, logo: 80% de x = 32 0,80 . x = 32 x = 40

Resp: so 32 meninas e 8 meninos

2. Em uma fabrica com 52 funcionrios, 13 utilizam bicicle-tas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de funcionrios que utilizam bicicleta.



Resoluo: Podemos utilizar uma regra de trs simples.52 funcionrios .............................100%13 funcionrios ............................. x% 52.x = 13.10052x = 1300x= 1300/52x = 25%

Portanto, 25% dos funcionrios utilizam bicicletas. Podemos tambm resolver de maneira direta dividindo o n de

funcionrios que utilizam bicicleta pelo total de funcionrios 13 : 52 = 0,25 = 25%

Problemas

1. (concurso de agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de in-daiatuba-SP-2013) Ao comprar um eletrodomstico em uma loja que estava dando 20% de desconto, o cliente ganhou um desconto de R$500,00. Qual era o preo do eletrodomstico e quanto foi pago por ele respectivamente.

a) R$2.720,00 e R$2.240,00b) R$1.900,00 e R$1.400,00c) R$2.500,00 e R$2.000,00d) R$3.500,00 e R$3.000,00

2. (concurso de agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de in-daiatuba-SP-2013) Todo ms vem descontado na folha de pagamen-to de um trabalhador o valor de 280,00 reais. Sabendo que o salrio bruto deste trabalhador de R$1.400,00, este desconto equivale a quantos por cento do salrio do trabalhador?

a) 5%b) 20%c) 2%d) 25%

3. O preo de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preo desta casa antes deste aumento?

4. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido poste-riormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

5. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% das aulas ?

6. Um comerciante que no possua conhecimentos de matem-tica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comer-ciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

7. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia so de sabor morango. Quantos sorvetes de morango so vendidos por dia nessa sorveteria?

8. Numa eleio, 65000 pessoas votaram. O candidato que ven-ceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleio?

9. O professor Andr trabalha 150 horas por ms e ganha R$ 20,00 (vinte reais) por hora trabalhada. No ms que vem, ele vai ter um aumento de 25% sobre o valor da hora trabalhada. Quanto o professor Andr vai passar a receber em um ano de trabalho com o seu novo salario?

10. Tiago, Andr e Gustavo foram premiados em um bo-lo do Campeonato Brasileiro. Tiago vai ficar com 40% do valor total do premio enquanto Andr e Gustavo vo dividir o restante igualmente entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, ento qual o premio total?

Respostas

1. Para resolver usamos uma regra de Trs simples e direta

valor %500 20 X 100

Multiplicando em Cruz temos20 x = 500 . 10020 x = 50000X = 50000/20X = 2500

O preo do eletrodomstico era 2500 reais e o valor pago foi 2000 reais

Resp: Alternativa C

2. Para saber a porcentagem do desconto de maneira rpida dividimos o desconto pelo salrio bruto

280 : 1400 = 0,20 = 20%Resp: Alternativa B

3. 29166,67 reais

4. 13,33%

5. No mximo 8 aulas

6. Preo de custo: 200Preo de venda: 200 . 1,50 = 300 (1,50 representa preo de

custo + 50% )Preo com desconto : 300 . 0,60 = 180 (0,60 represen-

ta 60% do valor porque o desconto foi de 40%)Resposta: 20 reais de prejuzo 7. 75 sorvetes

8. Candidato que venceu: 65000 . 0,55 = 35750 votosOutro candidato: 60% de 55% = 0,60 . 0,55 = 0.33 = 33% do

total = 65000 . 0,33 = 21450 votosOs votos do candidato vencedor +outro candidato = 35750 +

21450 = 57200Votos brancos e nulos: 65000 57200 = 7800Resp: 7800 votos brancos e nulos

9. 45000 reais

10. 2000 reais



Juros Simples

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicao financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma presta-o ou a quantia paga pelo emprstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Mas vamos entender como funciona a capitaliza-o no sistema de juros simples.

No sistema de capitalizao simples, os juros so calculados baseados no valor da dvida ou da aplicao. Dessa forma, o valor dos juros igual no perodo de aplicao ou composio da dvida.

A expresso matemtica utilizada para o clculo das situa-es envolvendo juros simples a seguinte:

J = C . i . t, ondeJ = jurosC = capitali = taxa de juros ( na forma decimal)t = tempo de aplicao (ms, bimestre, trimestre, semestre,

ano...)M = C + JM = montante finalC = capitalJ = juros

Ex: 1. Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200i = 2% = 2/100 = 0,02 ao ms (a.m.)t = 10 mesesJ = C . i . tJ = 1200 . 0,02 . 10J = 240M = C + jM = 1200 + 240M = 1440

Resp: O montante produzido ser de R$ 1.440,00.

2. Determine o valor do capital que aplicado durante 14 me-ses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

J = C . i . t2688 = C . 0,06 . 142688 = C . 0,84

C = 84,0

2688

C = 3200

Resp: O valor do capital de R$ 3.200,00.

Problemas

1. Qual a taxa anual que R$ 13.000,00 esteve aplicado por 2 anos e rendeu R$5.980,00 de juros simples?

a) 17%.b) 12%.c) 23%.d) 32%.

2. Temos uma dvida de R$ 1 000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Quanto pagaremos de juros, e quanto paga-remos no total (montante)?

3. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

4. Um capital aplicado a juros simples, triplicar em 5 anos se a taxa anual for de :

a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100%

5. Qual o valor do juro simples sobre R$ 6000,00 que fo-ram aplicados por 4 meses a uma taxa de 3% ao ms?

6. Uma TV que custava R$ 4000,00 foi vendida em trs prestaes mensais e iguais, e o comprador pagou no total R$ 4480,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples aplicada?

7. ( Concurso Detran/SP 2013-Oficial Est. De Transito--VUneSP) Pedro vendeu seu carro por R$ 50.000,00 e aplicou desse valor em um investimento de juros simples, taxa de 2% ao ms. Para resgatar um montante de valor igual ao da venda do seu carro, o dinheiro dever ficar aplicado, no mnimo, por

(A) 12 anos e 5 meses.(B) 11 anos e 6 meses.(C) 12 anos e 6 meses.(D) 11 anos e 5 meses.(E) 11 anos e 4 meses

Respostas

1. Alternativa C

2. 160 reais de juros e 1160 reais no total

3. 5000 reais

4. Se o capital deve triplicar, ento o montante dever ser igual a 3 vezes o capital aplicado.

M = 3. CM = C (1 + i.t)3C = C ( 1 + i . 5) cancelando C nos dois membros3 = 1 + i.5



1 + i.5 = 3i. 5 = 3 1i = 2/5i = 0,40i = 40%

Resp. Para triplicar o capital a taxa dever ser de 40% a.a.

Alternativa B

5. 720 reais6. 4% ao ms

7. M = C ( 1 + it)

50000 = 12500 . ( 1 + 0,02.t)5000012500! = 1 + 0,02 t

1 + 0,02 t = 40,02 t = 4 1T = T = 150 mesesT = 12 anos e 6 mesesResp: Alternativa C

anotaeS

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raciocínio matemático

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