raciocinio logico
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Grande parte dos concursos tem como uma de suas provas o Raciocínio Lógico, prova
esta que assombra muitos candidatos. Estes problemas exigem muita criatividade, malícia e sorte,
e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa semelhante, não podem ser resolvidos nos três a
cinco minutos disponíveis para cada questão.
A maioria das questões exigidas necessita. De uma forma ou de outra, de conhecimentos
básicos de matemática.
DEFINIÇÃO DE LOGICA
O Dicionário Conciso Oxford de Inglês define a lógica como “a ciência do raciocínio, prova,
pensamento ou inferência”. A lógica ira deixar você analisar um argumento ou um pedaço de
raciocínio, e deduzir onde é provável de ele ser correto ou não. Você não precisa saber lógica
para argumentar, claro; mas se você sabe pelos menos um pouco, você vai achar mais fácil para
apontar argumentos inválidos.
É válido mencionar algumas coisas que a lógica não é.
Primeiramente, raciocínio lógico não é uma lei absoluta que governa o universo. Muitas
vezes no passado, pessoas concluíram que porque algo logicamente impossível (dada a ciência
do dia), deve ser impossível, período. Uma vez também era acreditado que a geometria
Euclidiana era uma lei universal; ela é, apesar de tudo, logicamente consistente. Novamente, nós
agora sabemos que as regras da geometria Euclidiana não são universais.
Segundo, lógica não é um grupo de regras que governam o comportamento humano. Os
humanos podem ter metas logicamente conflitantes. Por exemplo:
John deseja falar com quem quer que esteja a cargo.
A pessoa a cargo é Steve.
Portanto, João deseja falar com Steve.
Infelizmente, John pode ter um objetivo conflitante de evitar Steve, querendo dizer que a
resposta racional pode ser inaplicável na vida real.
CONTRUÇÃO DO CONHECIMENTO LÓGICO MATEMATICO
Ao pensar o mundo, o homem foi dando-se conta das relações quantitativas que podiam
ser estabelecidas entre os objetos, levando em consideração um conjunto de suas características,
como “forma” e “tamanho”. Daí surgiu a Matemática, elaborada de acordo como o modo como os
homens resolviam problemas surgidos no cotidiano.
O número, criado para registrar as quantidades observadas pelas pessoas, foi tendo seu
uso aperfeiçoado conforme as comunidades tinham que resolver problemas práticos como, saber
se alguma ovelha se perdeu ao rebanho, saber como trocar sacos de sal por cavalos, etc.
Aprender, então a compreender e registrar quantidades, de acordo com os princípios da
correspondência um a um dos termos envolvidos.
Criaram depois novas formas de calcular, estabelecendo as séries numéricas, os
algarismos e diversas bases de cálculo dentre elas, o sistema decimal, o mais conhecido entre
nós. O número passou então a ser trabalhado como uma abstração feita de relações entre
objetos, e não como um aspecto inerente ao objeto.
Como ciência, a Matemática estuda os fundamentos da: ações humanas que envolvem
quantificação mesmo as mais triviais: conta dinheiro. Medir os ingredientes para fazer um bolo,
verificar quantas cadeiras devem ser compradas. O domínio desse conhecimento tem
conseqüências valiosas: um estudo, por exemplo, do poder de compra do salário fornece
argumentos mais bem fundamentados para a reivindicação de melhoria salarial. Além disso, o
grande avanço tecnológico nas varias áreas cientificas apóia-se, em grande parte, em sofisticados
cálculos numéricos.
Lidar com quantidades exige do sujeito certas formas de raciocínio lógico conectadas com
o desenvolvimento do conceito de numero e das relações entre números.
A aprendizagem, segundo Constance Kamii requer participação mental ativa e autônoma.
Não a um tipo de conhecimento que deve ser ensinado pela transmissão social. Precisa ser
construída através da abstração reflexiva.
No domínio lógico-matemático, a confrontação de pontos de vista serve para aumentar a
capacidade de raciocinar num nível sempre mais elevado.
O valor posicional não é uma técnica. A aritmética não é uma coleção de técnicas.
Aprender a somar, subtrair e multiplicar envolve um raciocínio lógico-matemático e raciocínio não
é técnica.
O construtivismo coloca que as pessoas não podem aprender matemática bem através de
exercícios impostos, medo de testes, passividade mental e obediência. A busca da autonomia
exige um a postura diferenciada da tradicional.
O PENSAMENTO
A inteligência colhe, recolhe e reúne os dados oferecidos pela percepção, pela imaginação,
pela memória e pela linguagem, formando redes de significações com os quais organizamos e
ordenamos nosso mundo e nossa vida, recebendo e doando sentido a ele. O pensamento, porém,
vai além do trabalho da inteligência: abstrai (ou seja, separa) os dados das condições imediatas
de nossa experiência e os elabora sob a forma de conceitos, idéias e juízos, estabelecendo
articulações internas e necessárias entre eles pelo raciocínio (indução e dedução), pela analise e
pela síntese. Formula teorias, procura prová-las e verificá-las, pois esta voltado para a verdade do
conhecimento.
Um conceito ou uma idéia é uma rede de significações que nos oferece: o sentido interno e
essencial daquilo a que se refere; os nexos causais ou as relações necessárias entre seus
elementos, de sorte que por eles conhecemos a origem, os princípios, as conseqüências, as
causas e os efeitos daquilo a que se refere, expresso pelo pensamento através dos juízos
(relaciona positiva ou negativamente um conjunto). Por exemplo, vejo rosas, margaridas, mas
concebo pelo pensamento o conceito ou a idéia universal de flor; vejo uma figura geométrica, e é
pelo pensamento que formulo o conceito de figura e das leis que a regem, elaborando axiomas,
postulados e teoremas.
Um conjunto de juízos constitui uma teoria quando:
*estabelece-se com clareza um campo de objetos e os procedimentos para conhecê-los e
enunciá-los;
*organizam-se e ordenam-se os conceitos;
*articulam-se e demonstram-se os juízos, verificando seu acordo com regras e princípios
de racionalidade e demonstração.
O pensamento elabora teorias, ou seja, uma explicação, descrição ou interpretação
intelectual de um conjunto de fenômenos e significações (objetos, fatos, situações,
acontecimentos), que estabelece a natureza, o valor e a verdade de tais fenomenos. O
pensamento propõe e elabora teorias e cria métodos, através de conjuntos de regras e
procedimentos racionais, os quais regulam e ordenam um caminho através do qual uma certa
finalidade ou um certo objetivo é alcançado. O método tem três finalidades:
*conduzir à descoberta de uma verdade até então desconhecida;
*permitir a demonstração e a prova de uma verdade já conhecida;
*permitir a verificação de conhecimentos para averiguas se são ou não verdadeiros.
O pensamento natural é muito fluente. Esta fluência é a fonte de seus erros, pois fluência
significa seguir a ênfase dos padrões, conforme esta ênfase possa surgir, e o método permite ao
sujeito controlar e assegurar-se em seus procedimentos.
Entre os principais métodos estão:
*Dedutivo – próprio para objetos que existem apenas idealmente e que são construídos
inteiramente pelo pensamento. Inferência que vais dos princípios para uma conseqüência
necessária; resulta de um raciocínio; uma conseqüência lógica; parte do geral para o particular. A
matemática utiliza-se basicamente do raciocínio dedutivo.
*Indutivo – é próprio das ciências naturais, que observam seus objetos e realizam
experimentos. Operação mental que consiste em se estabelecer uma verdade universal ou uma
proposição geral com base no conhecimento de certo numero de dados singulares ou de
proposições de menor generalidade; parte do particular para o geral.
*Analógico – raciocínio por semelhança. Ponto de semelhança entre coisas diferentes;
equivalência identidade de relações entre os termos de dois ou mais pares. Indução parcial ou
imperfeita.
*Hipotético – algo que quero confirmar ou verificar, partir de uma premissa
preestabelecida; questionamento; exprime uma relação entre um antecedente e um conseqüente.
Para Aristóteles era um instrumento para o conhecer.
*Compreensivo-interpretativo – estabelecimento de significações ou os sentidos do
comportamento;
PENSAMENTO LOGICO
O pensamento lógico opera de acordo com os princípios de identidade, contradição,
terceiro excluído, razão suficiente e causalidade; distingue verdades de fato e verdades de razão
diferencia intuição, dedução, indução e abdução.
Lógica implica em uma evidencia, uma conclusão obvia. Preocupação em investigar a
validade dos segmentos e dar regras do pensamento correto. Preocupa-se com o aspecto formal
(estrutura do pensamento), e não com o conteúdo. Há uma relação entre pensamento, linguagem
e realidade.
Lógica é a administração do NÃO.
O pensamento natural tende a seguir os rumos enfatizados (mas quando estes estão
bloqueados por um NÃO o fluxo tem que seguir outros rumos).
O controle lógico é dividido em duas partes:
A primeira é à disposição do mecanismo NÃO, e todos vários tipos de negativa sob este
amplo titulo.
A segunda parte é o treinamento no uso do mecanismo, a fim de desenvolver uma
sensibilidade ampliada, para o reconhecimento daquelas situações que exigem o rotulo NÃO.
Na verdade, seria fácil se existisse algum agente externo que simplesmente reconhecesse
a incompatibilidade de uma determinada situação e lhe aplicasse o rotulo NÃO. Mas não existe
nenhum agente externo, porque a superfície da memória é um sistema passivo auto-organizador.
Podemos dizer então, que o pensamento lógico é um treinamento melhorado do
pensamento natural imensamente efetivo.
O objeto da lógica é a proposição, que exprime através da linguagem, os juízos
formulados pelo pensamento. O encadeamento dos juízos constituiu o raciocínio e este se
exprime logicamente através da conexão de proposições (categorias).
Uma proposição é constituída por elementos que são seus termos ou categorias (aquilo
que serve para designar uma coisa), que se subdividem em:
- substancia (homem, animal, Sócrates, etc);
- quantidade (dois metros de comprimento, etc);
- qualidade (branco, preto, grego, agradável, etc);
- relação (o dobro, a metade, maior do que, etc);
- lugar (em casa, na rua, no alto, etc);
- tempo (ontem, hoje, agora, etc);
- espaço (antes, depois, em cima, em baixo, etc);
- posição (sentado, deitado, de pé, etc);
- posse (armado, isto é, tendo armas);
- ação (corta, fere, derrama, etc);
- paixão ou passividade (está cortado, está ferido, etc);
PENSAMENTO MATEMATICO
Construção intelectual, baseada em um conjunto de princípios, regras, normas e
operações, através de uma linguagem simbólica; obedece a certos padrões e critérios de
funcionamento.
LINGUAGEM
Para referir-se a palavra e a linguagem os gregos possuíam duas palavras: mythos e
logos. Diferentemente do myth (narrativa), logos é uma síntese de três palavras ou idéias:
fala/palavra, pensamento/idéia e realidade/ser. Logos é a palavra racional do conhecimento do
real. É discurso (ou seja, argumento e prova), pensamento (ou seja, raciocínio e demonstrado) e
realidade (ou seja, os nexos e ligações universais e necessárias entre os seres).
É a palavra-pensamento compartilhada: diálogo; é a palavra-pensamento verdadeira:
lógica; é a palavra-conhecimento de alguma coisa: o “logia” que colocamos no final das palavras
como teologia, biologia, etc.
Do lado do logos desenvolve-se a linguagem como poder de conhecimento racional e as
palavras, agora, são conceitos ou idéias, estando referidas ao pensamento, a razão e a verdade.
Essa dupla dimensão da linguagem (como mythos e logo explica por que, na sociedade
ocidental, podemos comunicar-nos e interpretar o mundo sempre em dois registros contrários e
opostos: o da palavra solene, mágica, religiosa, artística e o da palavra leiga, cientifica, técnica,
puramente racional e conceitual.
A linguagem participa ativamente da formação e formulação das idéias e valores. Cria,
interpreta e decifra significações podendo fazê-lo miticamente ou logicamente, magicamente ou
racionalmente, simbolicamente o conceitualmente.
ESTRUTURAS LOGICAS
A lógica descreve as formas, as propriedades e as relações das proposições, graças a
construção de um simbolismo regulado e ordenado.
A estrutura lógica não é um fato diretamente observável. Pode-se concebê-la como um conjunto
de operações possíveis ou virtuais que o individuo é suscetível de manipular na presença de uma
situação dada.
Um conjunto de condutas é estruturado quando estas estão sustentadas por uma certa coerência
lógica. Cada seqüência forma uma posterior que tem um valor informativo para o individuo. A
partir da seqüência, o individuo tira uma conclusão provisória, coloca uma hipótese e escolhe a
seqüência seguinte que deve encadear-se logicamente.
LOGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Um argumento é, citando a esquete de Monty Python, “uma série conectada de afirmações
para estabelecer uma proposição definida”.
Existem muitos tipos de argumentos; nós iremos discutir o argumento dedutivo.
Argumentos dedutivos são geralmente vistos como os mais precisos e mais persuasivos; eles
provem prova conclusiva para suas conclusões, e são ou válidos ou inválidos.
Argumentos dedutivos tem três estágios: premissas, inferência, e conclusão. Entretanto,
antes de nós podermos considerar estes estágios em detalhe, nos precisamos discutir os tijolos
de um argumento dedutivo: proposições.
PROPOSIÇÕES
Uma Proposição é uma afirmação que é verdadeira ou falsa. A proposição é o significado
da afirmação, não o arranjo preciso de palavras usadas para exprimir esse significado.
Por exemplo, “Existe um número par primo maior que dois”. É um proposição. (Uma falsa,
nesse caso) “Um número par primo maior que dois existe” é a mesma proposição, refraseada.
Infelizmente, é muito fácil mudar intencionalmente o significado de uma afirmação por
refraseá-la É geralmente mais seguro considerar o fraseamento de uma proposição como
significante.
É possível usar lingüísticas formais para analisar e refrasear uma afirmação sem mudar
seu significado, mas como fazer isso esta fora do âmbito desse documento.
PREMISSAS
Um argumento dedutivo sempre requer um numero de suposições centrais. Essas são
chamadas premissas, e são as suposições onde o argumento é construído; ou para olhar de outra
forma, as razões para aceitar o argumento. Premissas são apenas premissas no contexto de um
argumento particular elas podem ser conclusões em outros argumentos, por exemplo.
Você deve sempre apresentar as premissas de um argumento explicitamente; esse é o
principio de Audiatur Est Altera. Falhando em apresentar suas suposições é freqüentemente visto
como suspeito, e irá reduzir a aceitação de seu argumento.
As premissas de um argumento são muitas vezes introduzidas com palavras como
“Assuma...”, ‘’Desde...”, “Obviamente” e “Porque...” É uma boa idéia fazer seu oponente concordar
com as premissas de seu argumento antes de proceder adiante.
A palavra “obvio” é freqüentemente vista com suspeita.
É ocasionalmente usada para persuadir pessoas a aceitarem falsas afirmações, ao invés
de admitir que elas não entendem porque algo é “obvio”. Então não tenha medo de questionar
afirmações que pessoas dizer ser “obvias” – quando você ouviu a explicação você pode sempre
dizer algo como “Você está certo, agora que eu pensei sobre isso desse jeito, isso é obvio.”
INFERENCIA
Uma vez que as premissas combinam, o argumento procede via um processo passo-a-
passo chamado inferência.
Na inferência, você começa com uma ou mais proposições que foram aceitas, vocÊ então
usa essas proposições para chegar a uma nova proposição. Se a inferência é valida, essa
proposição deve ser aceita. Você pode usar a nova proposição para inferências mais tarde.
Então inicialmente, você pode apenas inferir coisas das premissas do argumento. Mas
conforme o argumento prossegue, o número de afirmações disponíveis para inferência aumenta.
Existem vários tipos de inferências validas – e também alguns tipos inválidos, que nós
iremos olhar depois nesse documento. Passos da inferência são muitas vezes identificados por
frases como “portanto...” ou “...implica que ...”
Esperançosamente você irá chegar a uma proposição que é a conclusão do argumento – o
resultado que você está tentando provar. A conclusão é o resultado do passo final da inferência. E
uma conclusão apenas no contexto de um argumento particular, poderia ser uma premissa ou
suposição em outro argumento.
A conclusão é dita para ser afirmada na base das premissas, e a inferência vinda delas.
Esse é um ponto sutil que merece explicações mais adiante.
IMPLICAÇÃO EM DETALHE
Claramente você pode construir um argumento válido de premissas verdadeiras, e chegar
a uma conclusão verdadeira.
Você também pode construir um argumento valido de premissas falsas, e chegar a uma
conclusão falsa.
A parte complicada é que você pode começar com falsas premissas, proceder via
inferências validas, e alcançar uma conclusão verdadeira. Por exemplo:
Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. (falso)
Premissa: Lontras marinhas são peixes. (falso)
Conclusão: Portanto lontras marinhas vivem no oceano. (verdadeiro)
Há uma coisa que você não pode fazer, no entanto: começar de premissas verdadeiras,
proceder via inferência dedutiva valida, e alcançar uma conclusão falsa.
Nós podemos resumir esses resultados como uma “tabela verdade” para implicação. O
símbolo “=>” denota implicação; “A” é a premissa, “B” a conclusão. “V” e “F” representam
verdadeiro e falso respectivamente.
Premissa Conclusão Inferência
A B A => B
Falso Falso Verdadeiro
Falso Verdadeiro Verdadeiro
Verdadeiro Falso Falso
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro
Se as premissas são falsas e inferência é valida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa.
(Linhas 1 e 2)
Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida.
(Linha 3)
Se as premissas são verdadeiras e a inferência é valida, a conclusão deve ser verdadeira.
9Linha 4)
Então o fato que um argumento é valido não necessariamente significa que sua conclusão
suporta – pode ter começado de premissas falsas.
Se um argumento é valido e , além disso, começou de premissas verdadeiras, então é
chamado de um argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar a uma conclusão
verdadeira.
EXEMPLO DE ARGUMENTO
Aqui há um exemplo de um argumento que é valido, e que pode ou não ser sensato.
Premissa: Todos os eventos têm uma causa
Premissa: O universo teve um começo
Premissa: Todos os começos envolvem um evento
Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento
Inferência: Portanto o começo do universo teve uma causa
Conclusão: O Universo teve uma causa
A proposição na linha 4 é inferida das linhas 2 e 3. A linha 1 é então usada, com a
proposição derivada na linha 4, para inferir uma nova proposição na linha 5. O resultado da
inferência na linha 5 é então reafirmado (em forma ligeiramente simplificada) como a conclusão.
RECONHECENDO ARGUMENTOS
Reconhecer um argumento é mais difícil que reconhecer premissas ou uma conclusão.
Muitas pessoas banham seus textos com afirmações, sem nunca produzir alguma coisa que vocÊ
possa racionalmente chamar de um argumento.
Algumas vezes argumentos não seguem o padrão descrito acima. Por exemplo, pessoas
podem afirmar suas conclusões primeiro, e então justificá-las depois. Isso é válido, mas pode ser
um pouco confuso.
Para tornar a situação pior, algumas afirmações parecem com argumentos, mas não são.
Por exemplo:
“Se a bíblia é precisa, Jesus deve ou ter siso insano, um mentiroso maldoso, ou o filho de
Deus.”
Isso não é um argumento, isso é uma afirmação condicional. Isso não apresenta as
premissas necessárias para suportar sua conclusão, e mesmo que você adicione essas
afirmações isso sofre de um número de outros defeitos que são descritos em mais detalhes no
documento Argumentos Ateus.
Um argumento também não é o mesmo que uma explicação. Suponha que você está
tentando argumentar que Albert Einstein acreditou em Deus, e diga:
“Einstein fez sua famosa afirmação “Deus não joga dados” por causa de sua crença em
Deus”.
Isso pode parecer um, argumento relevante, mas não é: isso é uma explicação da
afirmação de Einstein. Para ver isso lembre que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser
refraseada como uma afirmação equivalente, da forma “Y portanto X”.
Fazendo isso nos da:
“Einstein acreditou em deus, portanto ele fez sua famosa; afirmação “Deus não joga
dados”.
Agora esta claro que a afirmação, que pareceu com argumento, está de fato assumindo o
resultado que está supostamente sendo provado, a fim de explicar a citação de Einstein.
Além disso, Einstein não acreditou em um deus pessoal preocupado com negócios
humanos – novamente, veja o documento Argumentos Ateus.
LEITURA POSTERIOR
Nós traçamos o contorno da estrutura de um argumento dedutivo sensato, das premissas
até a conclusão. Mas no final, a conclusão de um argumento lógico válido é apenas tão
convincente quanto as premissas de onde você começou. Lógica em si mesma não resolve o
problema de verificar as afirmações básicas que suportam argumentos; para isso, nós precisamos
de outra ferramenta.
O significado dominante de verificar afirmações básicas é investigação da ciência. Entretanto,
a filosofia da ciência e o método cientifico são tópicos imensos que estão um pouco além do
escopo desse documento.
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam
distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2
são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p
elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados
2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe
uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas
letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a
taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6
grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do
conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos
entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6
agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem
aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a
suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo
que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra
original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-
1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A
ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição
desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que
contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos
formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar
sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24
grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam
distintos entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p
elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2
a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na
ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p
vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos
tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2
elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste
caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que
já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as
combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser
resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e
um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se
realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das
escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de
n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise
estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm
e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas
maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra
extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a
todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter
também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos
possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p
elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m
elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do
elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m
possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos
que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento
dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se
retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser
visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase
anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar
os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão
para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais,
usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que
permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10
algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m
elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada
ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de
permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu
cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se
simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um
número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da
natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla,
incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um
número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que
0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da
função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?
O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de
arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é
possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que
duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma
situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem
da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas
pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a
mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação
de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos
que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo
grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos
com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p,
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem
conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das
seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto
em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição
de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada
elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado
por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma
ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas.
Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3
bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas
azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5
bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene
estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma
combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas
combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são
exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é
repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo,
enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma
correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo
pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com
barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade
de elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado
Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos
números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente
de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não
podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m
e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade
e Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de
C(m,p). Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2a
m-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2a
m-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2a
k-2b2+k3ak-3b3+...+kkb
k
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2a
k-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
(a+b)k+1=(a+b).(a+b)k
= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2a
k-2b2+k3ak-3b3+...+kkb
k]
= a.[ak+k1a
k-1b+k2ak-2 b2+k3a
k-3b3+...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2a
k-2b2+k3ak-3b3+...+kk b
k]
= ak+1+k1a
kb+k2ak-1b2+k3a
k-2b3+...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2a
k-2 b3+k3ak-3b4+...+kkb
k+1
= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]a
k-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a
2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
= ak+1+[k1+k0] a
kb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]a
k-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a
2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1a
kb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3a
k-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a
2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1
que é o resultado desejado.
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este os exemplares que se apreenderem e pagar-lhe-á o preço dos que tiver vendido.
Parágrafo único. Não se conhecendo o número de exemplares que constituem a edição
fraudulenta, pagará o transgressor o valor de três mil exemplares, além dos apreendidos.
Pena: Reclusão de 1 (um) a 5 (cinco) anos, e multa, se o documento é público, e reclusão de
1(um) a 3 (três) anos, e multa, se o documento é particular.