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  • MIEE VAR 2011-2012

    Quelques corrigs dexercices des feuilles 5 et 6

    Calculer lintgrale double

    R

    x cos(x + y) dxdy , R rgion triangulaire de som-

    mets (0, 0), (, 0), (, ).On intgre par tranche. On peut le faire de deux faons :

    R

    x cos(x + y) dxdy =

    0

    (

    x0

    x cos(x + y)dy)dx

    ou R

    x cos(x + y) dxdy =

    0

    (

    y

    x cos(x + y)dx)dy

    Si on prend la premire expression on obtient 0

    (

    x0

    x cos(x + y)dy)dx =

    0

    [x sin(x + y)]y=xy=0dx

    =

    0

    (x sin 2x) x sin(x))dx

    = [x cos(2x)/2]0 +

    0

    cos(2x)/2dx [x cos(x)]0

    0

    cos(x)dx

    = /2 + 0 + 0= 3/2

    Avec la deuxime cela donne la mme chose (et les calculs faire sont peu prs lesmmes ; dans certains cas le calcul est beaucoup plus simple en intgrant dans un ordreque dans lautre)

    0

    (

    y

    x cos(x + y)dx)dy =

    0

    ([x sin(x + y)]x=x=y

    y

    sin(x + y)dx)dy

    =

    0

    ( sin( + y) y sin(2y))dy

    0

    [ cos(x + y)]ydy

    = [ cos( + y)]0 + [y cos(2y)/2]0

    0

    cos(2y)/2dy

    0

    [cos(2y) cos(y + )]dy

    = 2 + /2 + 0 + 0 + 0= 3/2

    Calculer lintgrale double

    R

    x2 dxdy lorsque R = {(x, y) | x > 0, 1 6 x2 + y2 6

    2}.La forme du domaine incite utiliser le systme des coordonnes polaires. Lintgrale surlanneau est lintgrale sur limage de ]1,

    2[]0, 2[ par lapplication F , C1 bective de

    ]1,

    2[]0, 2[ sur son image (lanneau priv dun segment), dfinie par

    F : (, ) 7 ( cos(), sin()).

    1

  • MIEE VAR 2011-2012

    On a vu en cours (et dans un exercice ; il faut savoir le retrouver) que le jacobien de cettefonction est . On a :

    R

    x2 dxdy =

    F (]1,

    2[]0,2[)

    x2 dxdy

    =

    ]1,

    2[]0,2[2 cos2() dd

    =

    21

    3d.

    20

    cos2()d

    = [4/4]

    21 .

    20

    (1 + cos(2))/2d

    = 3/4

    Calculer laire de la rgion du plan suivante D = {(x, y) | y 6 x 6 y2 , 1 6 y 6 2}.Par dfinition cette aire est donne par lintgrale de la fonction constante gale 1 surle domaine D. On calcule ensuite par tranche lintgrale obtenue :

    D

    dxdy =

    21

    (

    y2y

    dx)dy

    =

    21

    (y2 y)dy

    = [y3/3 y2/2]21= 7/3 3/2= 5/6

    Calculer lintgrale triple :

    V

    x2 + y2 + z2 dx dy dz o V est la boule de

    centre (0,0,0) et de rayon R.Le domaine dintgration est une boule centre en 0. Lutilisation des coordonnes sph-riques peut tre intressant dans ce cas. Lapplication

    F : (, , ) 7 ( cos() sin(), sin() sin(), cos())

    est une application C1 bective de ]0, R[]0, 2[]0, [ sur son image. Cette image estla boule de centre R priv de son bord et de la partie de la boule appartenant au demi-plan {(x, z, 0) / x 0, z R}. Ces parties manquantes de la boule sont de dimension2 ; leur volume est nul. Lintgrale sur la boule est gale lintgrale sur limage de]0, R[]0, 2[]0, [ par F .Le jacobien de F est 2 sin(). Il faut savoir faire ce calcul. Je lai fait en cours. Le thormedu changements de variables donne ici :

    V

    x2 + y2 + z2 dx dy dz =

    F (]0,R[]0,2[]0,[)

    x2 + y2 + z2 dx dy dz

    =

    ]0,R[]0,2[]0,[

    2 sin() d d d

    2

  • MIEE VAR 2011-2012

    On intgre ensuite par tranche. Cest particulirement simple ici car le domaine est unpav et la fonction intgrer un produit de fonctions dpendant de chaque coordonne.On obtient :

    ]0,R[]0,2[]0,[ 2 sin() d d d =

    R0

    3d.

    20

    d.

    0

    sin()d

    = [4/4]R0 .2.[ cos()]0= R4/4.2.2 = R4

    Calculer le volume du corps limit par le plan xOy, le cylindre x2 + y2 = ax etla sphre x2 + y2 + z2 = a2.La partie dont le volume est demande est appele "temple de Viviani" (ou plus exactementla moiti du temple de Viviani car on ne prend que les points de troisime coordonnepositive). Le calcul est expliqu ci-dessous dans le cas a = 1 (pour obtenir le cas gnralil suffit de multiplier par a3).

    3

  • MIEE VAR 2011-2012

    4

  • MIEE VAR 2011-2012

    Utiliser le thorme de Green-Riemann pour trouver laire de lellipse x2

    a2+

    y2

    b2= 1.

    Il faut comprendre lnonc comme : trouver laire de la partie compact dlimite parlellipse. Considrons le champ F dont les coordonnes sont (y/2, x/2). Ce champs estC1 sur R2. Lellipse est une courbe simple ferme quon peut paramtre par

    t 7 (a cos(t), a sin(t)).

    Appelons D lintrieur de lellipse, son bord. Le thorme de Green-Riemann donnelgalit :

    Fd =

    D

    (F2x

    F1y

    )dxdy.

    Ici F2 = x/2 et F1 = y/2 donc (F2x F1y

    ) = 1 et le deuxime terme de lgalit estlintgrale dfinissant laire de D. Calculons le premier terme au moyen du paramtragedonn plus haut :

    Fd =

    20

    F (a cos(t), b sin(t)), (a sin(t), b cos(t))dt

    = 1/2

    20

    (b sin(t), a cos(t))), (a sin(t), b cos(t))dt

    = 1/2

    20

    ab(sin2(t) + cos2(t))dt

    = ab

    Laire de D est donc ab.

    Calculer laire de S+ = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = a2 , z > 0} en utilisant la repr-sentation paramtre f(u, v) = (a cos u cos v , a sin u cos v , a sin v).

    Ce calcul a t fait pour la sphre entire en cours. Le voici avec le paramtrage sphriquepropos dans lnonc :

    5

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