¿qué es demostrar?
TRANSCRIPT
¿Qué es la demostración matemática?
By JC
Ejemplos
Ejemplo 1
1 3 ? 5 7 ?
11 31 ?
1 3 4
• La suma de dos números impares es par.
5 7 12
11 31 42
Conjetura
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
• Si se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.
1 3 4 5 7 12
• La suma de dos números impares es par.
11 31 42
• ¿Es necesario hacer cada caso para todas las parejas de números impares?
• ¿Es posible hacerlo?
• ¿Cómo se puede justificar este hecho para todos los casos?
• Demostración intuitiva
7 11+
Suma=18
• Demostración general
• ¿Cómo se escribe un número par, en general?
• ¿Un impar?
2 1n
2n
2 1n 2 1m
2 1 2 1n m 2 2 2n m
2 1n m
n m
2k
• La suma de dos números impares es par.
• ¿Qué se puede decir de la suma de dos números pares?
Ejemplo 2
• La suma de los ángulos internos
• ¿Cuánto miden los ángulos internos de los polígonos regulares?
• Afirmación: Los ángulos internos de un polígono regular son iguales entre sí.
180º180º
4 2 180º
2180º 90º
4
Suma=4 180º 360º
=4 180º 2 180º
2 180º90º
4
=2 180º
180º180º
4 2 180º
2180º 90º
4
Suma=4 180º 360º
=4 180º 2 180º
2 180º90º
4
=2 180º
Teorema de Pitágoras
• Cut the Knot
• 99 demostraciones
• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
• 364 demostraciones
• Afirmación: Los ángulos internos de un polígono regular son iguales entre sí.
• ¿Es cierto?
• Afirmación: En un triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son iguales.
• Afirmación: En un triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son iguales.
• ¿Será cierto?
• Tarea: Demostrarlo
Discusión
Discusión
• Este tipo de demostración se debe principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y su mayor expositor es el famoso Euclides con su libro Los Elementos.
Discusión
• Los griegos consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto en donde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción.
Discusión
• Los griegos evitaron la situación en la que la validez de los resultados dependía de la experiencia, la intuición o suposiciones implícitas de cualquier individuo.
Discusión
• ¿Se debe demostrar todo?
• ¡No es necesario!
• Incluso los matemáticos profesionales aceptan hechos sin demostración.
Discusión
• En la antigüedad, la evidencia empírica era suficiente para demostrar un hecho.
• Podemos utilizar la palabra Justificación para referirnos a una comprobación con base en la evidencia empírica.
Discusión
• Actualmente, la justificación sigue siendo parte de la vida cotidiana en las pequeñas o grandes sociedades.
Discusión
• Sin embargo, con el desarrollo de las matemáticas, la justificación de algún hecho ha evolucionado en términos de la comprobación axiomática que ha dado lugar a la Demostración matemática.
Discusión
• En matemáticas, existen diferentes tipos de demostración:
• Por contradicción o reducción al absurdo
• Por inducción
• Ejemplos y Contra-ejemplos
Conjeturas
• En matemáticas, el concepto de Conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
Conjeturas
• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó que:
• Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
• Data: 1742
2 2 4 5 3 8 11 3 14
7 3 10
• Conjetura débil:
• Todo número impar mayor que 5 puedeexpresarse como suma de tres númerosprimos.
Conjeturas
• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:
• Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:
• Data: 1637
n n nx y z
Conjeturas
• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjetura de Fermat.
• La conjetura de Fermat se convirtió en Teorema:
• Último Teorema de Fermat
Discusión
• ¿Es posible demostrar todo?
Discusión
• Han existido muchos intentos.
Discusión
• Los Elementos de Euclides.
• René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Frege y Giuseppe Peano
Discusión
• Bertrand Russel y Alfred N. Whitehead
• 1910
Discusión
Página 77:
Suma aritmética de cardinales.
Discusión
• Se demuestra que: 1+1=2
• Vol I. Pág. 379
Discusión
• ¿Es posible demostrar todo?
• ¡No es posible!
Discusión
• En 1931, Kurt Gödel demostró que esto no era posible.
• ¡Las matemáticas son
incompletas!
Discusión
• Gödel demostró que:
• En los Principia Mathematica podía existir una proposición que al mismo tiempo fuese verdadera e indemostrable.
Discusión
• Esto ocurriría con cualquier sistema axiomático, con cualquier tipo de matemáticas existente ahora o que fuese a existir en el futuro.
Discusión
• Teorema de Gödel:
A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase r
recursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (vGen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es la variante libre de r)
Discusión
• Teorema de Gödel:
Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles.
Discusión
• En suma: Gödel estableció que en cualquier sistema (en cualquier ciencia, en cualquier lengua, en cualquier mente) existen aseveraciones que son ciertas pero que no pueden ser comprobadas.
Entonces, ¿qué es demostrar?
Fin...