que descriptive previsionnelle techniques enquetes sondage

5/11/2018 que Descriptive Previsionnelle Techniques Enquetes Sondage - slidepdf.com

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GROUPEMENT :

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Rapport de la Session de Formation Dispensée au personnel de la DRA DA

THEMES :

STATISTIQUE DESCRIPTIVE STATISTIQUE PREVISIONNELLE

TECHNIQUE D’ENQUETE ET DE SONDAGE

2011

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NB : Ce document a été préparé spécialement pour la DRA DA. Toute reproduction intégrale ou partielle de son contenu nécessite le

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Statistique descriptive et prévisionnelle et techniques d’enquête et de sondage DRA DA 2010

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PHYTO CONSULTING / HANDASSA AGRI BUREAU sur 60

SOMMAIRE

Généralités :................................................................................................................................ 2

I. Définitions :.......... ............ ............ ............................................ ............ ......................... 2II. Apport de la statistique aux économistes : ..................................................................... 2III. Les limites de la méthode statistique : ......... ................................................................. 2IV. Le vocabulaire utilisé en statistique : ........... ............ ............ ........................................ 3V. Quelques symboles mathématiques utilisés : ........................................... ...................... 5

Chapitre I : La représentation graphique.............. ............................................ ............ ............ .. 6I. Le diagramme en bâtons : ....................... ....................... .............................. .................. 6II. Le tuyau d’orgue : ................................... ......................................... .............................. 6

III. Le diagramme :.............................................................................................................. 7IV. Le polygone des fréquences : ................................... ........................ ............................. 7V. La courbe cumulation (courbe des f cumulés) : ........................ ................... .................. 8VI. Le diagramme polaire : ........ ............ ............ ............ ............ ........................ ............ ...... 9

VII. Les graphiques à secteurs :....................... ................... ............................................. .... …. 11

Chapitre II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES D’UN SERIE ............................. 12INTRODUCTION.................................................................................................................... 12SECTION 1 .................................................................................................................................. 12

I. LES MOYENNES....................................................................................................... 12II. La médiane (Me) .......................................................................................................... 23III. Le Mode : .................................................................................................................. 25

IV. Le choix d’une caractéristique de tendance centrale :............................................... 27SECTION 2 .................................................................................................................................. 28

I. L’intervalle de variation ou l’étendue : ........... ......................... .................................... 28II. L’intervalle inter quartile : ....................................... ........ ........................ ................... 29III. L’écart absolu moyen : ......................... .................................... ................................ 31

SECTION III .............................................................................................................................. . 33I. La détermination algébrique de la concentration ......................................................... 33II. La détermination graphique de la concentration la courbe de Lorentz GINI............... 35

Chapitre III :Les Séries à double entrées : Régression Linéaire (Corrélation) ....................... 37I- notion de tableau de contingence : .............................. ............. .................................... 37II- généralisation du tableau de contingences : .................... ............................................. 38III- La régression linéaire .............................................................................................. ..... 39IV- la corrélation linéaire :.......... ........................ ............ ............ ........................ ................ 43

Chapitre IV : Analyse des séries chronologiques......................... ................ ............................ 47I – Généralités : .................................................................................................................... 47II – l’analyse de la tendance longue : « trend »... .................................... ............................. 48

CHAPITRE V : Populations et échantillons, recensements et sondages .................................. 49I. Quelques termes de base : ........................... ........................ ............................. ............ 49II. Exemples: .............................................. ............................. ............ ................. 50III. Étapes d'une enquête statistique : ...... ......................... ........................ ............. 50

EXERCICES ............................................................................................................................ 52




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PHYTO CONSULTING / HANDASSA AGRI BUREAU Page 2 sur 60

GENERALITES :

I. Définitions : ‡ On appelle statistique la méthode scientifique qui vise à observer, collecter,analyser des données quantitatives. ‡ La statistique descriptive est la partie de la statistique qui sert à décrire unphénomène, c-à-d de mesurer, classer les mesures, présenter ces mesures parquelques indicateurs de manière à donner une idée simple et rapide d’un phénomèneétudié. Les statistiques se sont des données chiffrées relatives à un phénomène étudié.

EX : des statistiques du chômage.

II. Apport de la statistique aux économistes :

La statistique est un outil indispensable tant aux théoriciens qu’aux praticiens de O’économie. 1. La statistique est utile aux théoriciens :

Elle permet de mettre en évidence (révéler) l’existence d’interdépendance entredifférents phénomènes économiques. EX : M=P*T

Elle permet de tester la validité d’une hypothèse théorique.

Investissement = f (revenu) =0.76R+124 Consommé

Revenu thésaurisé Epargné

Investi

2. La statistique est utile aux praticiens de l’économie :La statistique permet aux entrepreneurs de mieux contrôler la gestion de leurs

entreprises. Elle permet également au pouvoir public de mieux définir leurs politiques

économique, fiscale, monétaire et d’emploi.

III. Les limites de la méthode statistique : Pour éviter des erreurs d’interprétation due à une mauvaise utilisation statistique, ilfaut savoir : 1. La statistique s’intéresse au grand nombre, elle ignore les cas particuliers. 2. La résultante d’un grand nombre d’informations peut être différente de la sommation de ces différentes informations.

*comportement collectif # sommation des comportements individuels 3. Quand on étudie un phénomène on n’est jamais certain que l’on dispose detoues les informations le concernant.




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4. Il ne faut pas oublier que la statistique n’est qu’un outil au service de

O ’économiste, ce qui nous oblige de ne jamais, oublier de faire une analyseéconomique des résultats. Les mêmes causes # les mêmes effets. Les corrélations mêmes très parfaites ne signifient pas toujours

qu’il y a interdépendance entre les phénomènes étudiés.

IV. Le vocabulaire utilisé en statistique :

1. Population statistique :

Ensemble sur lequel porte l’étudeEx : Age des étudiants de 1éreannée : l’ensemble étudié c’est l ’âge.

2. Unité statistique : Une population se compose d ’éléments chaque élément est appelé

unité statistique.EX : la population d’étudiants : l’unité statistique est un étudiant.

3. Caractère statistique :

&’est le critère retenu pour étudier une populationContinu

Il peut être quantitatif discontinu, discret Qualitatif

9 Un caractère est dit quantitatif lorsqu’il est mesurable ¦ Continu : c’est un caractère qui peut prendre toutes les valeurs

G’un intervalle donné.EX : « âge »

¦ Discontinu : c’est un caractère qui ne peut prendre que quelquesvaleurs dans un intervalle donné

EX : « le nombre des frères, Ménage »

9 Un caractère est dit qualitatif lorsqu’il n’est pas mesurable EX : la nationalité, les catégories sociales professionnelles.

4. Modalité statistique : « de caractère» :

On appelle une modalité les différentes situations possibles d’un caractère. EX : caractère « sexe » : modalités possibles : M/FCaractère « état matrimonial » : 4 modalités possibles :

célibataire/marié/divorcé/veuf.




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45Age Effectifs 17-18 18-19 19-20

200 350 50

total 600

Nombre G¶enfants

Arbre de ménages

2 3 4 5

18 28 10 4

total 60

Salaires (dh) Effectifs [40-60[[60-70[[70-80[

10 25 05

total 40

5. Effectifs (fréquences absolues) :

&’est le nombre d’unités statistiques relatif à une modalité donnée :

Effectifs

6. Fréquence relative :&’est la part des effectifs d’une modalité.

EX : 200/600=33/100 est la fréquence relative de première modalité

7. Série statistique :

Distribution de fréquences, distribution de statistiques ou tableau statistique, F’est un tableau qui nous donne l’ensemble des valeurs mesurant le caractère.

EX :

sexe Effectifs Masc. Fém.

200 100

total 300

Série avec des classes.

8. Classes :

Série simple.

On appelle classe un groupement de valeurs du caractère selon des intervallesqui peuvent être égaux ou inégaux.

Pour chaque classe on peut définir : ¦ Une limite inférieure ¦ Une limite supérieure ¦ Intervalle de classe (amplitude)= limite (sup)- limite (inf) ¦ Centre de classe = [limite (sup) + limite (inf)]/2 NB : « [40-60[« signifie qu’on comptabilise les salariés qui gagnent entre 40 et 60DH,en incluant ceux qui gagnent 40 DH et excluant ceux qui gagnent 60Dh.




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Notes Nbre d¶étudiants 10 x1

25 x2

12 x3

4 x4

V. Quelque symboles mathématiques utilisés :

1. Les valeurs du caractère = x1, x2,«, xi,«, xn

x33x

2. Les effectifs sont symbolisés par : x1, x2 «, xi «, xn x1, x2 «, xi «, xn= N =effectif total

3. Fréquence relative :

Fi = effectif de la modalité i / effectif total

4. /’opérateur somme ( Σ )

Notation : n variables n

x1+ x2 «+ xi «.+ xn= Σ xi i=1

Propriétés :

n n

Σ axi = aΣ xi i=1

n

Σa + xi =Σ ΣaΣ xi = n a.

i

i=1

n

+ xi i=1

5. /’opération de produit : ( Π )

Notation : le produit de x variable s’écrit : n

X1.x2.x3«.xn = Π xi i=1

Propriété :

n

Π a = a nΠ axi = a n

Π xi i=1 i=1 i=1




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Nombre d¶enfants Nombre de ménage 0 1

2 3 4 5

25 42

38 15 6

Total 128

Série1

CHAPITRE I : LA REPRESENTATION GRAPHIQUE

/’intérêt d’un graphique c ’est de synthétiser des informations statistiques d’unemaniéré imagée, c ’est à dire globale.

I. Le diagramme en bâtons :

On s ’en sert pour représenter des séries à caractère discret. Cordonné

40 . 30 . 20 .

10 . . . . . . . .Les valeurs de

0 1 2 3 4 5 6 caractère

Abscisse

II. Le tuyau d’orgue :

On se sert de ce graphique pour représenter des séries à caractère qualitatif EX : La population à une station balnéaire est composée de :Allemands : 45% Français : 30%Espagnoles : 15%Autres : 10%

50%

45%

40% 35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

Allemands Français Espagnoles Autres




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


AllemandsFrançais

Espagnoles

III. Le diagramme : Il permet de représenter des séries de caractères ou les observations sont

regroupées en classe. a. Cas ou les intervalles de classe sont égaux :

50%

45%

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0 %1

Remarque : 1) Lorsque une des limites de classe n’est pas précisée dans un tableau ilconvient de prendre comme intervalle de classe le même que celui de la classesuivante ou précédente. 2) La surface des rectangles est proportionnelle à leur effectif.

b. Cas ou les intervalles de classe ne sont pas égaux :

EX : Répartition de population selon leurs salaires.

25

Série1

20

15

10

5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pour tracer l’histogramme, on commence par corriger les effectifs.

IV. Le polygone des fréquences : Il permet de donner une image plus lisse du phénomène que l’histogramme. On

O ’obtient en joignant les milieux des sommes des rectangles de l’histogramme.




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Salaire xi Xi cumulés Xi cumulés

[10-20[[20-30[[30-40[[40-50[[50-60[[60-70[

9 13 22 10 7 4

9 22 44 54 61 65

65 56 43 21 11 4

Total 65 Moins de la borne

supérieure

Plus de la

borneinférieure

. . . . . . . . 0 10 20 30 40 50 60

Remarque :

1) La surface sous le polygone = la surface de l’histogramme. 2) Lorsqu’il y a un très grand nombre de classe, l’intervalle de classe devient de plus en plus petit et le polygone de fréquences se transforme en cours de fréquence.

Courbe de fréquences

V. La courbe de cumulation (courbe des f cumulés) :

Elle permet de connaître le nombre d’observations supérieures ou inférieures à unevaleur donnée. Les 2 types de courbes de cumulation : ¦ Courbe cumulative croissante : permet de connaître le nombre G’observations inférieures à une valeur donnée. ¦ Courbe cumulative décroissante : il permet de connaître le nombre G’observations supérieures à une valeur donnée.

a) Cas d’une variable continue :




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Remarque : On obtiendrait le même graphique si on remplace les fréquences absolues par les fréquences relatives (les pourcentages)Courbe cumulée décroissante Courbe cumulée croissante

70

60

50

40

30

20

10

0

1 2 3 4 5 6 7

b) Cas d’une variable discrète (discontinue)

NB d’enfants (xi) NB de ménage Xi cumulés Xi cumulés 1 2 3

4

5 10 30

20

5 15 45

65

65 60 50

20 Total 65 <=xi >=xi

Xi

65 40 20 10

Xi 0 1 2 3 4 5

VI. Le diagramme polaire : On l’utilise pour représenter des séries chronologiques c’est à dire des séries ou

les observations seront à des temps réguliers.




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Année 1999 2000 JanvierFévrierMarsAvrilMaiJuinJuillet

Août Septembre OctobreNovembredécembre

55 53 65 50 43 41 35 30 34 40 45 55

65 75 72 40 42 38 32 34 38 40 33 45

a) Les principes des coordonnées polaires : un point M dans l’espace est

parfaitement repéré : ¦ Si on connaît ses coordonnées cartésiennes (x, y). ¦ Si on connaît ses coordonnées polaires (e, o).

Y M e

O X

b) Le diagramme polaire :

Soit la série chronologique suivante : chiffre d’affaire mensuel

/’idée est de présenter chaque mois par unaxe, nous aurons donc 12 axes, chaque axefaisant avec son voisin un angle.

. 30 . 20 . 10 .

Avr

Juillet . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Jan 80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80

10 . 20 . 30.

Oct.




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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VII. Les graphiques à secteurs :

On les utilise pour représenter une série exprimée en pourcentages. EX : Pourcentage de touristes.

FRAllEsp Autr es




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n

CHAPITRE II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES '‘UN SERIE

INTRODUCTION

image.Avec la représentation graphique nous avons vu comment synthétiser une série avec

Dans ce chapitre nous allons voir comment synthétiser une série par quelques chiffres. Ces nombres sont appelés caractéristiques d’une série.

Soit les série suivantes :Serie1 : 78-79-80-83Série2 : 60-70-80-90-100Série3 : 1-1-1-1-396

Les séries ont toutes la moyenne 80 même si elles sont très différentes les unes que les autres.Les valeurs de la 1ére série sont proches de la moyenne alors que celles de la 3éme sontéloignées de la moyenne.

Il y a donc nécessité, pour résumer une série de données de la présenter en 2 types decaractéristiques :

- les caractéristiques de valeurs centrales.

- les caractéristiques de dispersion.

SECTION 1 : Les Caractéristiqu es de Valeur Centrale :

I. LES MOYENNES

A- La moyenne arithmétique :

A-1 Définition

Etant donnée n observations qu’on va appeler X1,X2 ,X3,««Xi,«Xn onappelle une moyenne arithmétique simple le nombre ȋ

Somme de toutes les observations

ȋ =Le nombre d’observations

ȋ =

x1 + x2 + ....... + x + ...... + xn




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


n

8 8

n xi

: ȋ = i=n : Une moyenne arithmétique simple n

Lorsque les observations sont groupées c'est-à-dire que l’on observe

N1 fois X1 N2 fois X2

La moyenne arithmétique s ’écrit :

ȋ = x1 + x1 + ..... + x2 + x2 + ......

n1 + n2 + .... + nn

n ni xiUne moyenne arithmétique pondérée

e ȋ = i =n ni

i=1

A-2 Application

Exercice1 : soit la série de notes suivante : 2-6-12-10-12-10-10-6

ȋ =2 + 6 + 12 + 10 + 12 + 10 + 10 + 6

=68

ȋ = 85,

Exercice2 : soit la série des notes de l’exercice qui peut être présentée de lamanière suivante :

ȋ =68

= 85,8

ni x

i

Notes xi Effectifs ni ni xi

2 1 2 6 2 12 10 3 30

ȋ = i=1 n 12 2 24

total 8 68




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


age Ni Centre de classe xi

ni xi

[20 í

[25

[25í [30[30 í [35

[35 í [40

[40 í [45

[45í [50

8102025

1510

22,527,532,537,5

42,547,5

180275650937,5

637,5475

x +

Exercice3 : soit les série suivante : répartition selon l’age

ȋ = 3155= 35

85,

Années

88Moyenne de l’age ou l’age moyen

TOTAL 88 3155

a-3 Méthode des simplifications des calculs

Lorsque les calculs sont compliqués, on peut les simplifier en précédant à unchangement de variable

Par changement d’échelle : Tout variable Xi peut s’écrire : Xi= a X’i

a= nouvelle échelle Xi= nouvelle variable

Ex Xi a * X’i Xi a * X’i

24 = 1 * 24 24 = 6 * 4

36 = 1 * 36 36 = 6 * 6

a=1 a = 6 ;’i = 4 Xi = X’i a =6 ;’i = 6

par changement d’origine et d’échelle : tout variable Xi peut s ’écrire

'

i = x0 axi

X0 = nouvelle origine a : n.échelle ;’i : n. variable

Ex : Xi X0 a X’i

14 = 4 + 2 * 5

22 = 4 + 2 * 9




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


i

' '

a x

Si on pose x = x + ax ' x ' = xi í x0

0i i ia

La moyenne arithmétique :

ȋ = n

i x

i ni ( )+ '

= ni x0 ax ni

= + '

0 x ni

a ni x

i ni

ȋ = x0 + a 'n

i x

i ni

= ȋ x a+ ȋ iavec ȋ

i=

i x

i

0

X0= n originea: n échelle ' x : n variable

i

n i

' ȋ = x + 0 i




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Age effictifs xi x¶i= (xi- x0)/a ni*x¶i 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50

8 10 20 25 15 10

22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5

-3 -2 -1 0 1 2

-24 -20 -20 0 15 20

total 88 -29

On utilise cette relation pour simplifier les calculs de la manière suivante On prend pour X0 la valeur de caractère la plus fréquente On prend « a » l’intervalle des classes lorsque les classes sont égaux

Application :

Calculez la moyenneavec changement duvariable x0 = 37,5 c’est le centrede classe modale a= 5 [‘i =( xi - x0) / 5

= Σ 'n

' ȋ i x

i

i

ȋ = 37,5+5(-29/88)=35,8 ans

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

a-4 calcul de la moyenne arithmétique à l ’aide des fréquences relatives

ȋ = n

i x

i =n x

x + ...... + ni x

i + n

n x

n

n

i 1 2 2 n

i

ȋ =n

i x

i +n2 x2 + ......... +

nn x

n ni ni ni

= f i x

i+ f 2 x2 + ........ + f

n x

n

ni ni




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


xi Ni fi fixi 10 11 12 13 14

5 8 10 12 5

0,125 0,20 0,25 0,30 0,125

1,25 1,6 2,5 3,6 0,75

40 12,7

:

fréquence relative

G’où : ȋ = f1x1 +f2x2 +««.+fnxn

ȋ = fixi

ȋ =12,7

B- La moyenne géométrique :

b-1 Définition

Étant donnée n observations connues individuellement (x1,x2,x3,,,,,,,,,,,xn) on appelle moyenne géométrique simple de ces n observations la grandeur G t.p :

G= n X .1 X .....2

Xn = ( X .1 X Xn) ....2

1/n

1i=n n

G = Π xi i 1=

b-2 calcul de G

lorsque les observations sont groupées ; chaque pondéré Xi sera pondéré

par l’effectif correspondant, la moyenne géométrique s ’écrit :

G = n X .1 X .1 X 1* X .2 X .2 X 2 * X 3 * X 3 X 3

N= n1+n2 +«..+nn

calculer G est plus facile en passant parle logarithme, en effet.

G= X 1n .1 X 2 n2. X 3n3.... Xn nn




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


2 n1

n

.

)n

1

G= n X .1 X

....2

Xn = (

) X .1 X .2 X .....3

Xn

1/ n

log G = 1/n log (X1.X2«..Xn)

= 1/n [ ]log X 1 + log X 2..... + log Xn

Σ log Xi Log G=

Ni

La moyenne géométrique pondérée

=G nn

n2. x n........ x

=G ( 1

x n2 ....... x n n

2 n

)n x 1

1

logG ( )1 x

1=

log.n x

n ........ n

1

( xlog n1

x. n2 .....n

2 2

n2 n

= nx

n n x n n

lo1 g. +1 2 log 2 + +...... n

=

n

og G =

Σ n i

Σ

log x i

n i

Application : calculer lamoyenne géométrique

log G =7 31,6

= 0 914,58

G = 100,9145 = ,8 2




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


xi ni lo xi ni lo xi 2 6 10 12

1 2 3 2

0,301 0,772 1 1,158

0,301 1,556 3,0 2,158

x i ni 1/ x i ni.1/ x i 2 6 10 12

1 2 3 2

0,5 0,166 0,1 0,083

0,5 0,332 0,2 0,166

total 8 1,298

x

i

=

i

1

1

n

C- la moyenne harmonique :

c-1 Définition

Étant donnée n observations connues individuellement x1,x2,x3 «..xn on appelle moyenne hormique le nombre H tel que :

1

1 x1

H =

+ 1+ ...... +

x2

n

1 xn =

Σ xi

n

H =n

1Σ

i

moyenne harmonique simple.

Si les observations sont groupées la moyenne harmonique s’écrit :

1 x . 1 x

x+ . 1 x

+ ..... + nn . x

1 2

1= 2

Σ ni1

= x

i

M n1 + n2 + ...... n Σ n

i Σn

i

Moyenne harmonique pondérée Σ ni1 x

c-2 Application

1=Σ

xi

1 x ,1 298i

8

H ni

H =8

= 6 16,1, 298

c-3 Remarque

1 Σ ni1 x 1

=i

=Σ ni . X i

avecX =

i Σ ni xi



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


n

Q 83

D -La moyenne quadratique :

Définition : Etant donné n observations connues individuellement X1 ; X2 ; «..xn

2 2 2

Q = x x+ + + x

n QΣ= i x

2

2 ..... 2

n n

Σ xi

Q = 2 oyenne quadratique simple

si les observations sont groupées, la moyenne quadratique s ’ écrit : 2

+ n2. x2 + ...... + nn. x

n

Q 2 =n1. x1

1 + n2 + ...... + nn

2Q = Σ Q =

2

i . xi

Σ

i

. xi

moyenne quadratique pondérée

nΣ inΣ i

Application :

2 = Σ = 2

xi Ni X i ² Ni. X i ²

in . x

i

Σ ni

664 8 2 1

6 2

10 3

4 36

100

4 72

300 Q = 83 = 91. 12 2 144 288

Q 2 = Σ 2Σ . X

iavecX

= x

2

total 8 664

in . x

i= Σ i

inΣ i



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


x

2 3 n

<

Généralisation de la notion moyennes :

d.1- moyenne d’ordre r

on appelle moyenne d’ordre r la quantité Mr tel que : 1

r n

M = 1 + x2 + ........ + xn

r n

r = x1

+ x r

2 + .... + xn

n

Si r= 1 M 1 = 1

x1 + x + x + ....... + x n 1

= ȋ M 1

2

si r= 2 M 2 = x1 + x2 + ....... + xn M

2 = Q2

M = Q n2 2 2

í1

si r= -1 M í1 = x1 í1+ x2

í1+ ...... + x n 1

= H í1 =1

M

í1

si r= Đ Æ 0.

n

M Đ ĺ0 = G

M í1 H 1 = H

d.2- le classement des moyennes : les inégalités entre les moyennes :

On démontre que les moyennes s’ordonnent selon la valeur de r c-à-d que si : 1r < r 2 M 2

M r Ce qui nous donne : M < M 0 < M 1 < M 2

H < G < ȋ < Q Dans notre exemple, on trouve : 6,16 <8,2 <8,5 < 9,11.

d-3 Le choix d ’une moyenne :

En théorie, aucune moyenne n’est meilleure que l’autre. L’utilisation de tellemoyenne dépend du problème posé.

Exemple :

Ex1 : Soit un petit jardin sous forme de rectangle, le propriétaire ne peut se souvenirque d’un seul chiffre. 9

4 49

6’il veut entourer son champs de fil de fer il a intérêt à se souvenir de lamoyenne arithmétique car le périmètre est lié à la somme des différents côtés.



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


x

=

S’il veut mettre de l’engrais à son jardin, il a intérêt à se souvenir de lamoyenne géométrique

ȋ = 9 + 4 + 9 + 4 = ,6 ;5 G

=

9 * 4 = 6

4moyenne arithmétique du périmètre =26 =6,5 * 4 6 * 4 moyenne géométrique : surface =36 =6*6 6,5 * 6,5

Généralités : D’une manière générale, on retient la moyenne arithmétique quand les variables

V ’additionnent, et on utilise la moyenne géométrique lorsque les variables semultiplient.

Ex2 : Une voiture parcourt 100Km/h, puis 160Km/h à 80Km/h.

Vitessemoy = =100 +

taledistonceto 160

= 100 + 160

MH = Σ

tempstotal 100 50 +

160 100.1

+1601

80 50 80

in

Σ

in .

1 i

La vitesse moyenne est égale à la moyenne harmonique des vitesses pondérées parles distances.

Ex3 : Une voiture roule pendant une heure à 50 Km/h puis 3hà 80Km/h.

Vitessemoy.

ȋ = in i x in

( )× + (3 × 8) 0 taldistoncet o = 1 50

tempstotal 1 + 3

La vitesse moyenne est égale donc à la moyenne arithmétique des vitessespondérées par le temps. Ex 4 : Une grandeur S0 a augmenté sur 3 années, d’abord de 10% puis de 15% et 30% pour le 3éme année. Quel est le taux moyenne de croissance ?

1ère année : S0 devient S1=S0 + (S0*10/100) Î S1 =S0(1+0,10 ) = 1,10S0

2éme année S1 devient S2 = S1 +0,15S1 ÎS1*1,15Î (S1*(1+0,15))

3éme année S2 devient S3 = S2 +0,3S2 = 1,3S2Î (S2*(1+0,3))



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


3

S3 = S01,1 × 1,15 × 1,3

Moyenne géométrique G = 3 11,

×115 ×13, = 1180,

Remarque: le taux de croissance moyenne est 18,04%

Ex 5 : Un étudiant a obtenu les notes suivantes : 8-10-12 on veut calculer lamoyenne des écarts entre les notes et la moyenne arithmétique.

ȋ =8 + 10+ 12

= 10

Ecart type à la moyenne moyenne arithmétique des écarts = (-2+0+2)/3 8-10 = -2

10-10 =0 12-10 =2 moyenne arithmétique des écarts = 0

On retrouve ici une des propriétés des moyennes arithmétiques : ( xií ȋ ) = 0

Démonstration : x í x =

Σ Σi

i x í n x =Σ xi

í n Σ x

i = 0 n

Si on veut calculer la moyenne des écarts, il vaut mieux calculer la moyennequadratique

( (0)2 (2)2 82

Q2 =

í + + 3 = 3

=Q8

= 16,3



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


II. La médiane (Me)

b-1- Définition :

On appelle médiane d’une série classée par ordre croissant oudécroissant, la valeur du caractère qui partage en deux parties égales les effectifs.

&’est la valeur du caractère telle que la moitié des effectifs lui estsupérieure et l’autre lui est inférieure.

b-2- Calcul de ME :

Cas d’une variable discrète Si la série a un nombre impair de terme

75 62 57 12 18 Me =57 Si la série a un nombre pair 12 25 32 44 52 69 Intervalle Médian [32-44]

On prend le centre de l’intervalle comme la médiane :Cas d’une série de classes :

Salaires Effectifs Effectifs cumulés 10-15 15-20 20-25 25-30

9 25 32 16

9 34 66 82

Total 82

2éme étape : on repère la classe de Me :

Le calcul de la médiane se fait en 3étapes : 1ére étape : on repère le rang de lamédiane. Rang = 82/2 = 41

Rang = Σ ni 2

Il s’agit de trouver la classe à laquelle appartient le 41éme individu,pour cela on classe les individus par ordre croissant des salaires, ce qui revient àconstruire la colonne des effectifs cumulés. . Me [20-25], on peut calculer avec plus de précision Me en faisant uneinterpolation linéaire.

3éme étape : l’interpolation linéaire :

On connaît les salaires des 34 individus 20 On connaît les salaires des 66 individus 25

Le 41éme individus c’est le 7éme individus que je rencontre dans la classe 20 -25,son salaire sera obligatoirement égal à 20 + supplément que l’on calcule parinterpolation. En supposant que les 32 individus de la classe 20-25 sont répartis d’une manière

uniforme dans la classe 20-25 puis sont séparés par la même quantité de salaire

On raisonne alors de la manière suivante : Si pour 32 individus nous avons un écart de salaire de 5 DH



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Salaire Xi Xi 10 – 15 9 9 15 - 20 25 34 20 - 25 32 66

25 - 30 16 82

Pour 1 individu 5/32 Pour 7 individus 5/32 * 7 = 1.09 DH

Me=20+1.09 =21.09

La moitié des effectifs gagnent plus de 21,09 DH et l’autre moitié gagne (moins de 21,09 DH)

b-3- Détermination graphique de la médiane :

Courbe cumulative

b-4-Remarque :

Total Xi =82



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Xi Ni 2 4 17 16 33 15 39 16

51 8

Méthode rapide d’interpolation :

Me í 20 41 í 34 7 × 5

25 í 20 = 66 í 34 Me = + 20 § 21

32

2. le 41 éme individu normalement la médiane devrait se situer entre le 41éme et le 42 éme, mais on convient lorsque les effectifs sont nombreux deprendre (N / 2)

III. Le Mode :

C’est la valeur du caractère le plus fréquent.

A- Calcul Mode :

1- Cas d’une variable discrète :

Xi ni 3 3

14 18 21 7 42 4

Mo =14 Mo = 17Série Uni modal Mo = 39

Série bimodale Série plurimodale (série à plusieurs modes)



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Salaires ni 10 – 15 9 15 – 20 25 20 – 25 32 25 - 30 16 Total 82

2-Cas d’une série de classe :

-Nous avons une classe modale : 20 – 25- On peut prendre comme mode le centre de classe 22,5- On peut chercher à obtenir le mode avec plus de précision :

1/ Par Méthode graphique : Elle consiste d’abord à construire l’histogramme

N.B : Ne pas oublier, lorsqu’ on construit l’histogramme de corriger les

effectifs.

2/ Par la méthode algébrique :

Mo = L1 + [d1. I / (d1 + d2)]

Mo = 20 +( 32 í 25 ) *

5(32-25) + (32 - 16)



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Notes Xi Ni * Xi 1 1 1 16 2 32 17 5 85 18 2 36

10 154

L1 : Limite Inférieure de classe modaled1 : La différence entre les effectifs de la classe modale et les effectifs declasse précédented2 : La différence entre les effectifs de classe modale et les effectifs declasse suivantei : L’intervalle de la classe modale

IV. VI- Le choix d ’ une caractéristique de tendance centrale : A : Les conditions de Yule :

1 ér conditions : Une modalité caractéristique doit être : définie de façonobjective. (2 personnes différentes doivent trouver le même résultat)

2 éme conditions : Tenir compte de toutes les observations3 éme conditions : être facile à comprendre4 éme conditions : être facile à calculer5 éme conditions : Doit se prêter au calcul algébrique

B : Comparaison des différentes caractéristiques de tendance centrale : 1-La moyenne :

Elle répond parfaitement aux conditions de Yule ; c’est pourcela qu’elle est la caractéristique la plus utilisée, mais il y a des cas ou il faut luipréférer la médiane quand elle risque d’être influencé des valeurs extrêmes.

EX:

X = 154 / 10 = 15,4X = 153 / 9 = 17

2-La médiane :Elle ne satisfait pas les conditions de yule.En effet, la valeur de la médiane ne change pas quand on augmente la valeurd’une observation qui lui est inférieure

15 22 34 41 60 122 34 41 1101 2 34 41 60



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


3-Le mode : Ne remplit pas les conditions de Yule, mais il y a des cas ou il est

utile, en particulier quand on cherche la valeur la plus typique d’une série :Ex : un vendeur de chaussures ne va pas stocker des chaussures de pointuremoyenne, mais va stocker les chaussures les plus vendues.

SECTION 2 : Les Caractéristiques de Dispersion:

Partons de 3 séries

Série 1 : 9 11

Série 2 : 5 15

Série 3 : 1 19

_

X = 10_

X = 10_

X = 10Les 3 séries ont la même moyenne : 10 et portant ils sont

différents l’unes des autres.Dans la 1ère série ; les valeurs du caractère sont proches de la

moyenne. La moyenne est représentative.Dans la 3 éme Série les valeurs du caractère sont éloignées de la

moyenne. Il faut donc lorsqu’on résume une série, indiquer par un nombre si lesvaleurs sont proches ou éloignées de la valeur centrale.Ce nombre est appelé caractéristiques de dispersion.

I. /’intervalle de variation ou l ’ étendue :

C’est la différence entre la plus grande valeur du caractère et la pluspetite. L’intervalle de variation = Val MAX – Val MIN¨ = 2 Série 1 ¨ = 10 série 2 ¨ = 18 Série 3Etendu ou intervalle de variation n’est pas un indicateur toujours fiable, car ildépend des valeurs extrêmes qui prouvent être fausses ou aberrantes.EX :

17…………….18……………20………….60……….Age1000 étudiants ¨ = 3

¨ = 60í 17 = 43



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Salaires Effectifs 10-15 9 15-20 25

20-25

32

25-30 16 Total 82

Ni Cum 9 34 66 82

II. /’intervalle inter quartile :

A- Définition des quartiles : On appelle 1ér quartile Q1 la valeur du caractère tel que : 25%

des observations lui sont inférieurs et 75% lui sont supérieurs. 25% < ; 75%> 2éme quartile Q2= Me 50% < 50%> 3émé quartile Q3= 75%< 25%>

B- Définition inter quartile :

On appelle inter quartile : Q3 – Q1 différence entre 1ér quartileet 3éme quartile.N.B : Intervalle Inter quartile contient 50% des observations

C- Application :N= 82Rang : 82/4 =20 ,5Classe : [15-20]Interpolation : 15+ ̈

Ecart I. Inter quartile

Q3 – Q1=24,3 - 17,3= 7DH

Interprétation : Si 25 individus Augmentation de 5 DHSi 01 Individu Augmentation 5/25 DH

(20,5 - 9) = 11,5 5/25 * 11,5

Donc Q1 = 15 + 5/25 *11,5 = 17,3 DH

2éme Méthode :



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Calcul de Q3 Rang : 82*3/4 =61,5Classe = [20-25]Interpolation : si 32 individus augmentation de 5 DH

01 Individu Augmentation de 5/32

(61,5 – 34) = 27,5 individus Aug mentation 5/32 *27,5

Donc Q3 = 20+ [(5/32) *27,5]Signification : 24,3dh c’est le salaire tel que 75% gagnent plus de 24,3 et 25%gagnent moins de 24,3 DH.Inter. Inter quartile : 7 DH = Q3-Q1Signification : pour 50% des effectifs l’écart Maximum de salaire est de 7 DH

D – Remarque :

1- Les déciles : valeur du caractère que 10 % des observations ont une valeur quiest inférieure à D1 et 90% des observations ont une valeur qui est supérieure àD1.On appelle 9 éme décile de 9 la valeur du caractère tel que 90% des observationslui sont inférieures, et 10% des observations lui sont supérieures. L’intervalle

inter décile D9 - D1 contient 80% des observations

2- Les percentiles :On appelle percentiles P1 la valeur du caractère telle que un pourcent (1%) desobservations ont une valeur inférieure à P1 et 98% ont une valeur supérieure àP1.Pour le statisticien KELLY pour supprimer les valeurs aberrantes il suffit decalculer l’intervalle inter percentile P93 –P07 qui contient 86% des observations.



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


/’écart absolu moyen :

A- Définition : On appelle écart absolu moyen que l’on désigne par lamoyenne arithmétique des écarts absolus entre les valeurs du caractère etla moyenne arithmétique.

_

Ca= Σ ni xi í x / Σ ni

B- Application : soit le tableau suivant :

Poids ni xi ni * xi _

xií

x ni

_

xií

x 55-60

60-65

65-70

70-75

75-80

12

17

36

24

11

57,5

62,5

67,5

72,5

77,5

690

1062,50

2430

1740

852,50

10,25

5,25

0,25

4,75

9,75

123

89,25

9

114

107,25 100 6775 442,5

Ca= 442.5 / 100 = 4.42 Kg ȋ = 67.75 Kg

Signification : Ca = 4.42 Kg signifie qu’en moyenne, chaque

individu s’éloigne de la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.

Remarque : Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparerdeux séries entre elles, on se sert de l’indice de dispersion relatif = Ca / X *100Exemple :Poids de filles Poids des garçons ȋ =52 Kg ȋ =68 KgCa= 2 Kg Ca = 17 Kg

2/52 *100= 3.8% 17/68 * 100 = 25%

Dispersion Faible dispersion plus importante

IV- La variance et l ’ écart type : A- Définition :On appelle une variance la moyenne arithmétique des carrés des écarts entre les

valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.

ı 2 = ni( xi í x)2 / ni



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


On appelle écart-type (ou écart quadratique moyen) la racine carré de 62

_

=ı ni( xi í x) 2 /

ni

B- Application :Le même tableau précédent

(xi- ȋ )2 ni*(xi- ȋ )2

105,0625 27,56250,0625

22,562595,0625

_

=ı ni( xi í x) 2 /

1260,75 468,5625

2,25 541,50

1045,6875

3318,75

ni = 3318.75/100 =5.76

Signification : En moyenne chaque individu s’écarte du poids moyen(67.5 kg) de 5.76 kg.

C- Remarque :Si on veut savoir la valeur de dispersion on utilise le c°fficient devariation = ı / ȋ Ex : ȋ =67.75 Kg ı / ȋ =(5.76/67.75) *100= 8.5%

Ex 2 :Soient 2 modèles d’ampoules électrique dont on a relevé les durées devie.

Modèle 1 : Durée de vie moyenne 1400 H.Modèle 1 : Durée écart-type =100 HModèle 2 : Durée de vie moyenne 1800 H.Modèle 2 : Durée écart-type = 250 H



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Poids ni xi xi2 ni * xi2 55-60

60-65

65-70

70-75

75-80

12

17

36

24

11

57,5

62,5

67,5

72,5

77,5

330625

390625

455625

525625

600625

39675

66406,25

164025

126150

66068,75 100 462325

Modèle I Modèle II6/ ȋ =100/1400 = 7% 250/1800 *100 = 14%Le modèle I est plus faible que le modèle II

Formule développée :Donc ı = ni xi2 x

2 ni

ı2 = 462325 - (67.75)2

§ 33.19100

=ı 33

19.

=5.76

SECTION III : Les Caractéristiques de Concentration

La concentration ne s’applique qu’à des séries statistiques ou la concentrationde la variable a un sensEX : on peut parler de la concentration de revenus, concentration foncière Autres EX : on ne peut pas parler de concentration d’âge On peut déterminer la concentration soit algébriquement soit graphiquement

I. La détermination algébrique de la concentration Cette détermination nécessite la connaissance de la « médiale »

Notion de la médiale (Ml)

A- La médiale

Si dans une série on désigne par xi la valeur du caractère, par ni les effectifs, la

médiale est la valeur du caractère qui partage en deux parties égales le produit

cumulé de ni xi.

Si xi désigne un salaire

Ni désigne le nombre de salariés



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Le produit cumulé des ni xi représente la totalité des salaires Versés Σ C’est-à-dire la masse salariale.

nixi

La médiale, c’est le salaire tel que la moitié de la masse salariale a servi à payerune partie qui touche moins de cette Médiale et l’autre moitié de la masse s a servi

à payer les gens qui touchent plus de cette Médiale.

B- Mesure de la concentration

¨M sert à mesurer la différence entre ML et ME : ¨M=ML± ME * Si ̈ M = 0 cela veut dire que ML =ME

C'est-à-dire l’individu qui est au milieu l’effectif est en même temps celui qui est placé tel que la moitié de la masse salariale a été

versée à des gens qui touchent moins que lui, et l’autre moitié à des gensqui reçoivent plus que lui, on a donc une distribution égalitaireconcentration est nulle * Si ¨m 0 cela indique qu’il y a une concentration * Si ¨m est faible par rapport à l’intervalle de variation la concentration estfaible * Si ¨m est important, la concentration est forte

Inter variation

C- application

salaire ni xi nixi nixi 10-15 8 12.5 112.5 112.5 15-20 25 17.5 437.5 550 20-25 32 22.5 720 1270 25-30 16 27.5 440 1710 total 82 1710

¨M= ML ± MECalcule de la ML :Rang = 1710/2=855 Classe [20.25]Interpolation linéaire

720 ĺ 5dh 1dhĺ 5/720dh

(855-550) =3055 ĺ 5/720*305dh

Donc ML= 20+5/720*350

} ML = 22.12dh ¨M = ML - ME

= 22 ,12 - 21,09 § 1dh



----------------------------------------------------

PHYTO CONSULTING / HANDASSA

salaire ni Fi% 10-15 9 11 15-20 25 30.5 20-25 32 39 25-30 16 13.5

total 82 100

¨M/inter varia = 1/20=5L’interv«Étant

Signification ML = 22.12

&’est le salaire tel que lagens qui gagnent moinssalariale a servi à payer l

II. La déterminationGINI

A- la graphique de G GINI propose de mes

fréquences cumulées en%,

Remarques :

1) si 10% de la populpopulation touchenégalitaire du salairediagonal.

2) Dans le cas d’une r(comme dans le ca99.99% de la mass

---------------------------------------------------------------------------------------

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Fi% *n xi nixi Nixi% Ni11 12.5 112.5 6.6

41.5 17.5 437.5 25.6 80.5 22.5 720 24.1 100 27.5 440 25.7

1710

concentration faible lle de variation égale à : (30-10)=20 h

oitié de la masse salariale a servi à payerue 22.12 dh et l’autre moitié de la masse

es gens qui gagnent plus que 22.12 dh

graphique de la concentration la cou

INI rer la concentration en mettant en abssices lest en ordonnées ni xi cumulés en %

/ : Diagonal de l’

: Aire de conc

tion touchent 10% du revenu, 20% de lat 20% du revenu. Dans le cas d’une répar, l’aire de concentration serait confondue

partions illégalitaire parfaite des salaires théorique ou 0.1% de la population touc salariale : la courbe

--------------------------------------

Page 35 sur 60

xi%cum 6.6

32.2 74.3 100

es

be de Lorentz

galité

entration

itionavec

,erait



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


B)-Le coefficient de Gini :

Gini propose de calculer la concentration à l’aide de coefficient suivant :

Aire de concentrationC=

Aire du triangle ABC

Aire de GC =

5000(100*100/2)

On peu estimer l’aire de concentration de la manière suivant :

Aire de concentration = 5000-(S1+S2+S3+S3)

B S=1/2 a*b S1 = ½(116.6)S2= (41.5-11)/2(6.6+32.2)

A S3= (80.5-41.5)/2(32.2+74.3)A S4 = (100-80.5)/2(74.3+100)

n Σ Si = 4404

S = n/2(a+b) b

Remarque : 0<c<1

c = 0 Concentration élevé

c = 1 Concentration faible

C à d les gens sont pareilsDonc c=5000-4404/5000 § 0.12



-----------------------------------------------------


Nbre de

pièces (x)

Nbre d

1 4 2 18 3 12 4 17 5 6 total 57

CHAPITRE III :LE REGRESSION LI

I- notion de

A. une distrib C’est une dis

EX :Ré

superficienbr de piece

10-3

1 3

2 1 3 4 5

total 4

B. distribution

Ce sont les distributions re

a- la répartition des loge

Cette distribution qui concecar on la trouve à la margeOn peut calculer la moyennmoyenne par logement)

Moyenne appelée moy.marb- la répartition des loge

superficie 10-30 30-50 50-70 70-80 total

----------------------------------------------------------------------------------------

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e logement

SERIES A DOUBLE ENTREE EAIRE (CORRELATION)

ableau de contingence :

tion statistique double ribution ou l’observation s’effectue selon 2 carRépartition des étudiants selon la taille et l’âgepartition des logements selon le nbre de pièces

30-50 50-70 70-80

1

14 3 1 7 4 10 7 6 6

16 20 17

marginales

latives à la seul variable X ou Y

ents selon le nombre de pièces (X)

rne la seule variable x est appllée distribution mu tableau statistique)

e de cette distribution, (et sa signification est le

inale notéeents selon la superficie :

Nbre de lo ements 4 16 20 17 57

--------------------------------------

Page 37 sur 60

:

ctères.

t superficie total

18 12 17 6

57

arginale (marginal

nbre de pièces



-----------------------------------------------------


Cette distribution qui concecalculer la moyenne (qui e

C. Les distrib

On appelle distribution Condes variables.Ex : Réparation de logemenCette distribution est appellogements qui satisfont la cOn peut calculer la moyennlogts de 30-50 m2) on appelDans cet exercice on calculRemarque il existe autant d

caractère y a de modalités

II- général

x y Y1 Y2 X1

X2

…Xi

…Xk

X11

X21

…Xi1

…Xk1

X12

…

Xi2

…Xk2

x.1 x.2 x1 x2 . . . xk = les modalitésy1 y2 . . . yk = les modalitésx1 .effectifs pour la 1éremod

La distribution marginale d

X(xi) Xi.

.

.

X1.

X2.

.

.Xi.

Xk. Total X..

----------------------------------------------------------------------------------------

GRI BUREAU

rne la seule variable ‘ y’ est appelée distributionprime la surface moy des logements) appllée m

tions conditionnelles :

ditionnelle la distribution ou l’on a posé une co

ts de 30-50me Distribution Conditionnelle parce que l’on neondition de surface 30-50 m2.e de cette distribution (c-a-d le nombre moyenle cette moyenne : moyenne conditionnelle.ee distributions conditionnelles relatives au carac

isation du tableau de continge

………. Y ………. Y ……….

……….……….……….……….……….

X1j

X2j

…Xij

…Xkj

……….……….……….……….……….……….

X1

X2

…Xi

…Xk

………. x. j ………. x.e xe y

alités de x et pour toutes les modalités de y

e X :

--------------------------------------

Page 38 sur 60

marginale on peuty.marginal notée

dition sur l’une

s’intéresse qu’aux

de pièces des

ère x que le

ces :

total m

m

m

X1.X2. …Xi. …Xk. total

x..



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


y Xi 1y 2y ..iymy

Xi1

Xi2

.

. Xij

Xim

Total Xi.

La distribution marginale de y :

y(xi) X j. 1y 2y ..iymy

X.1X.2..X.iXm.

Total X..

Distribution conditionnelle relatif à X et à Y

Dist. Conditionnelle relative à X Dist. Conditionnelle relative à Y

X Xi

.

.

X1j

X2j

.

.Xij

Xkj Total X.j

III- La régression linéaire A. Présentation du problème :

Soit le tableau suivant :

quPrix

42 51 60 62 74 83 Total

70 75 77

80 86 93

1 1

1

1 1

1

111

111

Total 1 1 1 1 1 1 6

Ce tableau est un tableau de contingence ou les observations sont connues individuellement,on peut présenter plus simplement ce tableau de la manière suivante :



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Nous avons un ensemble de points « un nuage statistique »qui nous indique que les prix estles quantités évoluent selon la même tendance.Il est possible de schématiser ce nuage :-Par une fonction simple : la fonction linéaire (Droite) qui sont inconnus et qu’il faudratrouver.

a=pente de droiteb=ordonnée à l’origine

Une telle droite est appellée droite de régression D(x)A=coefficient de régressionLa régression c’est le fait de relier y à x par une fonctionCalcule des paramètres de la droite de régression :

B. la méthode des moindres carrésNotion de moindres carrés :

Partons d’un nuage statistique théorique :

‡ Il s’agit de résumer ce nuage par une droite.‡ Soit y’= ax+b l’équation de la droite recherchée.‡ Pour toute valeur de x (xi) nous avons une valeur réellement observée y’. ‡ Pour toute valeur xi, nous avons une valeur calculée sur la droite y’. ‡ Pour toute une valeur xi, nous avons une erreur d’estimation égale à | yi – y’i |.



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‡ La droite de régression idéale doit être de telle manière que la somme des erreursd’estimation doit être la plus faible possible, Σ| yi – y’i | doit être minimum.

‡ Pour éviter les valeurs absolues, on convient de calculer les carrés des erreurs. La

droite de régression doit être telle que :Σ (yi – y’i) 2 minimum, et on appelle cela la condition des moindres carrés.

C. Calcul des paramètres de la droite de régression.Il s’agit de trouver y’= ax + b sachant que : Σ (yi – y’i) 2 min.Remplaçons y’i par sa valeur Î Σ (yi – (axi+b)) 2 min. Posons Σ (yi – ax ; - f) 2 = Z (a , b). Pour que Z soit minimum, il suffit d’annuler (rendre nul) les dérivés de ce polynôme parrapport à ‘a’ et par rapport à ‘b’.1 ± Calcul de b : Supposons ‘a’ est connu, et dérivons par rapport a ‘b’ et ‘a’.

dZ / db = 2 [Σ (yi – ax ; -b)] (-1) = 0 Z = U2

Z’ = 2UU’

Σ [yi – ax ; -b) = 0Σyi – aΣxi – nb = 0 U’ = (yi – ax ; -b)Divisons par n, on obtient (Σyi / n – aΣxi / n –b = 0

ӻ - a ȋ = b Donc :

b = ӻ - a ȋ

La droite de régression passe donc par le point moyen ( ȋ , ӻ).2 ± Calcul des a :

y

Y’ yi

ӻ

ax

M xi x

Xi

X

Le paramètre a Que nous cherchons correspond à la pente de la droite de régression qui passe

par le point moyen M ( ȋ ; ӻ).Procédons un changement d’origine, et prenons comme nouvelle origine le point moyenM(x’ ; ӻ), les nouvelles cordonnées deviennent :Xi = xi – ȋ

Yi = yi - ӻ

La droite de régression a pour équation y’ = ax



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Prix(x) Qtés(y) 707577808633

725160627483

481 372

xi - ȋ yi - ӻ (xi- ȋ ) (yi - ӻ) (xi- ȋ )-10-5

-30613

-20-11

-201221

20055

6072273

10025

9036169

606 339

=

n

La condition des moindres carrée s’écrit ; (yi – ӻi) 2 min (yi – y’i) 2 = (yi – axi) 2min

Dérivons par rapport à ‘a’ : 2 [ (yi – axi)] (-Xi) = 0> (yi – axi)] Xi = 0 => (yi – ai) Xi = 0 => xi yi – a xi

2 = 0Donc a = xi yi / xi

2 = (xi – x’) (yi - ӻ)/ (xi – x’) 2

3- l’équation de la droite de régression :

Dy(x) =Y = ax + b a = (xi - ȋ ) (yi - ӻ) / (xi – ȋ ) 2

b = ӻ - a ӻ

D – Application:Dy (x) a pour équation:Y = ax + b

a = xxi i_ _ ( xi í x)( yi í y)

xΣ

2

Σ

Σí xi

( xi

_

í x)2

x== 481 / 6 = 80

í

y = 372 / 6 = 62

Trouver Dy (x).

a = 606 / 339 = 1.79b = 62 – (1.73)80

b = -81DoncDy(x) a pour équation : y = 1.79x – 81La loi de l’offre pour ce bien



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


IV- la corrélation linéaire :

Dans le paragraphe précédent, nous avions estimé y en fonction de x, et nous avions obtenu ladroite de régression Dy(x)

On peut pour le même nuage statistique estimer x en fonction de y, et trouver la droite derégression Dx(y) lui aura pour équation.

Pour toute yi, nous avons une valeur observée xi. Pour toute yi, nous avons une valeur estimée sur la droite x’i

Pour toute yi, nous avons une erreur d’estimation égale à | xi – x’i | Dx(y) idéale est tel que : Σ | xi – x’i | minimum ou encore Σ (xi – x’i) 2 minimumEn procédant de la même manière que dans le paragraphe précédent, on trouve l’équation deDx(y).X = a’y + b’a’ = Σ xi yi

Σ yi 2

b’ = ȋ – a’ ӻ

Dans le référentiel XMY nous obtenons 2 droites :Soit y = ax pour Dy(x)Soit x = a’y pour Dx(y)

Ou encore y = 1/a’ x4 cas peuvent se produire :

1er cas : les 2 droites sont confonduesY= axX = a’y ÍÎ a = 1/a’ ÍÎ aa’ = 1Y = 1/y’x



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2éme cas : les 2 droite font entre elles un angle très faible :

3éme cas : les 2 droite font entre elles un angle élevé :

4éme cas : les 2 variables sont indépendantes l’une de l’autre :

Si on appelle coéff de corrélation la Quantitér tel que :r2 = a . a’, on peut écrire : ‡ Si r = ±1 on a une corrélation parfaite.‡ Si r = +1 on a une corrélation parfaite positive.‡ Si r = -1 on a une corrélation parfaite.

Corr. positive : c à d les variables varient dans le même sens.‡ Si r = -1 = corrélation parfaite négative.

C à d les deux phénomènes varient en sens inverse.Par exemple Prix et Quantité

‡ Si 0 < r < 1 = la corrélation est positive, elle est d’autant plus forte que l’on se

rapproche de 1.‡ Si -1 < r < 0 = la corrélation est négative, et elle est d’autant plus forte que l’on se

rapproche de -1.‡ Si r = 0 = corrélation nulle.



STATISTIQUE DESCRIPTIVE

r

, N = x x ™

i

Application : calculer le coefficient de corrélation d’une autre façon (existe-t-il un lien entre yet x).

Prix Qté í

x – x y - ӻ (x – x ) (yi - ӻ)

í

(x – x ) 2 (yi - ӻ) 2 707577808633

425160627483

606 339 1110

2 = a. a’ = 606 × 606 donc r = 0.98 339 1110

a = xi yi

í í ( x í x)( y í y) 606

=i

í

= = 1.79

i x ( x i í

x) 2

í

339

a’ = Σ xi yi Σ ( x = i

í x)( y í

í y)

= = 0.545

íΣ 606

i y ( y y) 2 1110

On a une très forte corrélation car r = 0.975 tend vers 1

:Remarque : lorsqu’on écritr2 = a. a’Î r = racine a .a’, nous avons une expression trèspositif. Comment trouver alors le signe d’une corrélation ?Réponse : le sens de la corrélation est donnée par le signe de a et a’.

‡ Si a et a’ sont >0Î le produit a.a’ >0Î corrélation positive.‡ Si a et a’ sont <0Î le produit a.a’>0 Î corrélation négative.

On peut dire d’une corrélation qu’elle est très satisfaisante à partir 0.86.On peut dire d’une corrélation qu’elle parfaite à partir de 0.96.IV – formule facilitant les calculs :1/ calcul de a :

a = Σ (xi – ȋ ) – (yi - ӻ) =

(xi – x’) 2

N í í

i yi - ӻ xi – D

i +

x ӻ í xi

Or x = N yi

ӻ = N

í

Î xi = n x

Î yi = n ӻ

í í

On remplace : N = xi yi - ӻn x -n x ӻ + n x ӻ í í

N = xi y

ií n x y

í í í

D = (xi – x ) 2 = (xi2 – 2xi x + x2) = xi

2 – 2 x xi + n x2

í í

= xi2 – 2n x 2 + n x 2

D = xi2 – n ȋ 2



2

Donc a =

í í xi yi í n x y í 2

x2 í n x

Formule développée

xi yi Xi yi xi2

x’ ӻ 2 – calcul de r :

r2= a.a’ a =

a’ =

xi yi – n ȋ ӻ

xi2 – n ȋ

2

xi yi – n ȋ ӻ

yi 2 – n ӻ 2

Donc r = a *a'

V – Autre formule de r :

[ (xi – ȋ ) (yi - ӻ)] 2

r =

(xi – ȋ ) 2 (yi - ӻ) 2

Or (xi – ȋ ) 2

ǫ2x = Î (xi – ȋ ) 2 = nǫ2x

n

(yi – ӻ) 2

ǫ2y = Î (yi – ӻ) 2 = nǫ2y

n

(xi – ȋ ) (yi – ӻ) í

í

Donc r == [( xi í x)( yií y)]

n.ǫx. ǫy n 2 .į 2 x.į 2 y

Si on appelle : covariance de x et de y l’expression :

Cov (xy)

r s’écrit : r =

(xi – ȋ ) (yi – ӻ)

nCov (xy)

ǫx.ǫy



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CHAPITRE IV : ANALYSE DES SERIES CHRONOLOGIQUES.

I ± Généralités :

A. Définition :

Une série chronologique est une série où les observations de la variable sont faites à desintervalles réguliers de temps.

B. les différentes composantes d’une série chronologique.

Soit la série chronologique suivante : Evolution trimestrielle du chiffre d’affaire d’uneentreprise

trimètres 1 2 3 4 1998199920002001

120130144157

148162178196

155169186210

120132145160

Représentation graphique de la série :

L’examen d’une série chronologique révèle l’existence de différences composantes :Un mouvement de tendance longue (à long terme), appelée « trend ».

Un mouvement saisonnier qui est les variations saisonnières.Des variations accidentelles : ce sont des variations imprévisibles dues à des circonstancesexceptionnelles.

C. intérêt d’une analyse d’une série chronologique :

L’analyse des séries chronologiques permet de séparer le mouvement de long terme dumouvement saisonnier, ce qui nous permettra de faire des calculs de prévision.



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II ± l’analyse de la tendance longue : « trend »

Déterminer le trend, cela revient à « lisser » la série pour éliminer les variations saisonnières,

cette technique de « lissage » de la série est appelée Ajustement. Les 2 méthodes d’ajustementles plus utilisés sont :

¾ La méthode des moyennes mobiles.¾ L’ajustement analytique.

A. la méthode des moyennes mobiles :

Elle consiste à diviser un nuage statistique en « sous – nuages » comprenant chacune(n–1) données du sous nuages précédent, et à remplacer chaque sous nuage par un point telque : x’i = médiane des xi – yi = moyenne des valeurs yi.

B. Opérations sur les matrices :

1 – matrices transposées :1 3 4 1 2

A = A = 3 -12 -1 5 4 5

2 – L’addition :1 -1 3 0 4 3 1 3 6

+ =2 4 1 3 -1 -1 5 3 0

(aij) + (bi j) = (ai j + bi j)

Propriétés :- commutativité- association- élément neutre

- élément symétrique aii = 0(n ;p) la matrice nulle

t (a+b) = ta+tb

3- Multiplication par un réel :

1 -1 3 3 -3 93 * =

2 4 1 6 12 3



CHAPITRE V :POPULATIONS ET ECHANTILLONS ,

RECENSEMENTS ET SONDAGES

Les journaux, la télévision, les revues nous inondent constamment de graphiques, detableaux et de statistiques de toutes sortes, dans différents domaines :

Sondages, référendums, popularité des partis politiques et de leur chef.

Criminalité, suicide, avortement, racisme, pratiques religieuses, orientationssexuelles, habitudes alimentaires.

Importations, exportations, prix de vente, taux d'inflation, indice des prix à la Économie consommation (IPC), taux d'intérêt, salaires, taux de chômage, cotes

boursières, indices boursiers, déficits gouvernementaux.

Démographie Taux de mortalité, taux de natalité, population par province, par nationalité.

Culture Entrées au «box office», cotes d'écoutes.

Études Résultats scolaires, prêts et bourses, cote R et cote Z.

Sports Meilleurs compteurs, classement des équipes, salaires des joueurs.

Ces présentations peuvent parfois nous induire en erreur volontairement ou non. Ilnous faut donc développer un esprit critique et savoir interpréter cesinformations.

I. Quelques termes de base :

La population cible est l'ensemble de tous les objets que l'on étudie.

Une unité statistique est un objet de cette population.

Un échantillon est une partie choisie d'une population.

Le nombre d'objets composant une population ou un échantillon est appelé sa taille.Lorsque l'on veut connaître certaines caractéristiques d'une population, on dit qu'onenquête sur la population. Une enquête peut être réalisée auprès de toute la population ou sur un échantillon.

Un recensement est une enquête réalisée auprès de toute la population.



Un sondage est u

II. Exem

1. Étude portant sur la l

la population est l'enset la caractéristique e

2. Étude portant sur la dLa population est conet la caractéristique é

3. Une compagnie pharOn administre ce pro

La population est forl'échantillon est formcaractéristique étudié

Les coûts élevés et les dprincipales raisons qui néchantillon est beaucoupAu Canada, il y a un rec

III. Étape

1. Déterminer la populétudier.

2. Déterminer la maniè

e enquête réalisée sur un échantillon.

les:

ngue maternelle des Québécois:

emble des Québécoisst la langue maternelle.

urée des ampoules électriques produites à l'usine X.stituée des ampoules électriques produites à l'usinetudiée est la durée des ampoules.

aceutique veut vérifier un nouveau vaccin contre uuit à 50 patients atteints de la maladie.

ée de tous les gens atteints de la maladie, des 50 patients à qui on a administré le médicame

e est la réponse au médicament.

lais trop longs, reliés à un recensement, sous amènent à utiliser un sondage puisque lplus petite que celle de la population. nsement tous les cinq ans. Le dernier date

d'une enquête statistique :

tion cible et les caractéristiques de cette populat

re dont l'échantillon va être prélevé.

X

e certaine maladie.

t et la

nt lestaille d'un

e 1996.

ion que l'on veut



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3. Construire des instruments (questionnaires ou autres). 4. Établir un pré-test ou étude-pilote. 5. Recueillir les données.

6. Compiler les données. 7. Mettre en forme les données. 8. Analyser les données (analyse descriptive ou inférentielle). 9. Interpréter les résultats. 10. Communiquer les résultats.



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EXERCICES



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I OBJECTIFS VISES:

1. construction d’un tableau statistique :2. distinguer une variable quantitative d’une variable qualitative3. représentation graphique des variables quantitatives discrètes et continues4. calcul et interprétation des caractéristiques de tendance centrale :

¾ moyenne.¾ médiane¾ mode¾ quartiles

5. calcul et interprétation des caractéristiques de dispersion :¾ variance¾ écart type

¾ coefficient de variation

Exercice 1 :

Dans une entreprise de 80 salariés on a enregistré les salaires mensuels suivants :‡ 54 salariés gagnent 6 000 dirhams ou plus ;‡ 34 salariés gagnent 8 000 dirhams ou plus ;‡ 20 salariés gagnent 10 000 dirhams ou plus ;‡ 8 salariés gagnent 12 000 dirhams ou plus ;

1. Présenter ces données dans un tableau avec des classes de même amplitude ensachant qu’aucun salarié ne gagne plus de 14 000 DH.

2. Calculer la moyenne et donner sa signification.3. Calculer la médiane et donner sa signification.4. Calculer le mode graphiquement, algébriquement et donner sa signification.5. Combien gagnent les 20% des salariés les mieux payés.

Exercice 2 : La répartition des salariés d’une entreprise de confection selon leurs gainsmensuels (en milliers de dirhams) se présente comme suit :

Gains mensuels effectifs [4-6[

[6-8[[8-12[[12-18[[18-20[20 et plus

25

40582764

1. déterminer graphiquement le salaire modal2. calculer le coefficient de variation3. calculer l’étendue4. calculer algébriquement et graphiquement la médiane.



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Exercice 3 :

La répartition par âge d’une population d’un centre de vacances est comme suit :

Classe d’age (en années) effectifs 0-55-1515-2525-3535-4545-5555-6060-7575-100

164244403032153615

1. tracer l’histogramme de cette distribution2. calculer l’écart type et donner sa signification

3. on désire rajeunir cette population en invitant au centre des vacances despersonnes de la classe [25-35[.combien faudrait-il en faire venir pour quela moyenne de la population soit de 35 ans.

Exercice 4 :

Dans une commune urbaine, on a relevé la répartition en pourcentages de10 000 contribuables selon le montant des impôts payés. Classes d’impôts Fréquences relatives en pourcentages 1-33-66-L2L2-1212-1818-2222-30

8122026F6106

1. Trouver les valeurs manquantes de ce tableau sachant que la moyenne est égale à11,42

2. tracer la courbe cumulative croissante3. déterminer graphiquement et algébriquement l’impôt médian. donner sa signification4. quel est le pourcentage des contribuables qui paient un impôt annuel supérieur à

20 000dh ?cela représente combien de personnes ?

Exercice 5 : Soit la distribution statistique suivante qui donne la répartition des propriétairesterriens selon la superficie des terres cultivables dans une certaine région agricole :

Superficie des terres en hectares Nombre de propriétaires 2-44-88-1414-2020-4040-100

24362218146



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Partie I :1. préciser le caractère étudié et préciser sa nature.2. donner la signification de du centre de la 2ème classe.

3. déterminer rapidement la médiane et donner sa signification4. déterminer algébriquement le mode et donner sa signification5. calculer la superficie moyenne et l’écart type. Que peut on conclure ?6. déterminer le 1er et le 9ème décile et donner leurs significations

Partie II :1. déterminer graphiquement la concentration foncière dans cette région agricole,

Calculer l’indice de GINI2. déterminer algébriquement la concentration3. déterminer graphiquement le pourcentage des propriétaires dont la superficie des

terres est inférieure à la médiale.

Exercice 6 : Pendant 9 années les bénéfices d’une entreprise ont augmenté :

¾ de 4% par an pendant les 3 premières années.¾ de 7% par an pendant les 4 années suivantes.¾ De 10% par an pendant les 2 dernières années de la période considérée.

Quelle est l’augmentation moyenne des bénéfices de cette entreprise sur les 9 années ?

Exercice 7 : Le tableau suivant donne la répartition des salaires mensuels des cadres d’uneentreprise :

Salaires en 1000DH Nombre des cadres 6-88-1010-1616-2222-3030-3434-38

50708050508020

total 400

1. préciser le caractère étudié et sa nature2. représenter graphiquement cette distribution, tracer le polygone des fréquences3. déterminer rapidement :

‡ le salaire médian des cadres donner sa signification.‡ Le 3ème quartile (Q3). donner sa signification.

4. donner graphiquement le salaire modal des cadres.5. calculer le salaire moyen des cadres.6. Calculer le coefficient de variation et donner sa signification7. Pour motiver davantage ses cadres, l’entreprise décide une augmentation générale des

salaires de 20%. Calculer la nouvelle moyenne et le nouveau coefficient de variation.



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Dépenses de publicité Chiffre d’affaires 241014

1824

101650120

140210

Nombre de pièces

Nombre d’enfants

2 3 4 Total

1 22 15 9 46 2 7 38 22 67 3 0 7 30 37 Total 29 60 61 150

II OBJECTIFS VISES : 1. Calcul de la fonction linéaire2. calcul et commentaire du coefficient de corrélation

3. interprétation des distributions marginales4. interprétation des distributions conditionnelles

Exercice 8 : Une entreprise a présenté ses dépenses de publicité et ses chiffres pour les 6dernières années dans le tableau suivant (en 106 DH)

1. L’entreprise pense qu il y’a un lien entre dépenses de publicité (X) et le chiffred’affaire(Y).pouvez vous le confirmer ?

2. établir par la méthode des moindres carrés la relation liant le chiffre d’affaires etles dépenses de publicité

3. combien l’entreprise peut-elle espérer réaliser comme chiffre d’affaireS avec desdépenses de publicité de 30 ?

Exercice 9 :

On a observé une population en retenant 2 caractères : le nombre d’enfants(X) et lataille du logement (Y).les résultats sont les suivants :

1. calculer le nombre moyen d’enfants et le nombre moyen de pièces des logements.í

2. calculer

3. calculer

x2 et donner sa significationí

y 3 et donner sa signification 4. on se propose de voir s’il existe un lien entre le nombre d’enfants et la surface des

logements. Confirmer



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Exercice 10 :

Le tableau suivant donne la répartition des salariés d’une entreprise de bâtiment selon le

nombre d’enfants à charge X et les salaires mensuels perçus y en milliers de DH

Nombre de pièces Y

Nombre d’enfants X

1-3 3-5 5-9

1 4 8 16 2 6 12 24 3 3 6 12 4 2 4 8

1. donner la distribution marginale de la variable X2. donner la distribution conditionnelle de la variable Y liée à la modalité 4 de X.3. que signifient les valeurs 16 et 3 soulignée dans le tableau

4. vérifier de deux manières différentes que les deux variables sont indépendantes.Dites dans ce cas à est égal le coefficient de corrélation linéaire : r (sans lecalculer.

5. calculer la variance marginale de Y.

Exercice 11 : Une étude réalisée dans un club sportif concernant le poids et la taille de 124 adhérentsa fourni les informations suivantes :

poids en Kg Y

taille en mètres X

50-60 60-65 65-75 75-80

1,60-1,70 12 7 6 4 1,70-1,75 ? 6 8 3 1,75-1,80 9 8 8 4 1,80-1,90 ? 7 5 6 1,90-2,00 3 5 3 3

1. compléter le tableau sachant qu’il y a 27 adhérents qui mesurent entre 1.70met1.75m.

2. quels sont les caractères étudiés ? Quelle est leur nature ?

3. que signifient les chiffres 7 et 8soulignés dans le tableau4. quelle est la moyenne du poids des adhérents ? Comment appelle-t-on cettemoyenne ?

5. quelle est la taille moyenne des adhérents ? Comment appelle-t-on cettemoyenne ?

6. en désignant par X la taille et par Y le poids calculer et donner la signification_

de y 2

_

7. donner sans la calculer la signification de x3



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Exercice 12 :

Une entreprise commerciale a présenté ses ventes xi et ses frais de publicité yi aucours du premier semestre de l’année 2003 comme suit (en 1000 DH)

Mois Ventes Frais de publicité JanvierFévrierMarsAvrilMai juin

403042464438

1.10.81.21.41.31.1

1. déterminer une fonction linéaire qui donne le montant des ventes lorsqu’onconnaît les frais de publicité.

2. quel serait le montant des ventes si les frais de publicité atteindront3500DH.

3. déterminer s’il y a ou non une liaison entre les ventes et les frais depublicité.

que descriptive previsionnelle techniques enquetes sondage

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