prst (pst)
DESCRIPTION
PRST (PST). Pravdepodobnosť & jej využitie. Grécke písmená. Koľko vás je?. 5 6 7 8 9 10. 11 12 13 14 15 16. Na čo to komu bude?. Uľahčenie práce Zjednodušenie problému Predpovedanie budúcnosti . Čo budeme skúmať?. Pokusy sa delia na: Deterministické (nenáhodné) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PRST (PST)Pravdepodobnosť & jej využitie
Grécke písmená
Koľko vás je?
5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16
Vpred!
30b1
15b1
12b2
10b1
15b1
12b3
10b1
Vpred!Vzad!
30b1
15b2
12b2
10b1
15b2
12b3
10b1
Vzad! Vpred!
35b1
15b2
12b2
10b2
15b2
12b3
10b2
Vzad! Vpred!
40b1
15b1
12b2
11b2
10b2
15b2
12b2
11b2
10b2
Vzad! Vpred!
40b1
15b2
12b2
11b2
10b2
15b2
12b2
11b3
10b2
Vzad! Vpred!
15b2
12b2
11b3
10b3
30b2
15b2
12b2
11b2
10b2
Vzad! Vpred!
35b2
15b2
12b2
11b3
10b2
15b2
12b3
11b3
10b3
Vzad! Vpred!
35b2
15b2
12b2
11b3
10b3
15b3
12b3
11b3
10b3
Vzad! Vpred!
35b2
15b2
12b3
11b3
10b3
15b3
12b3
11b4
10b3
Vzad! Vpred!
35b2
15b3
12b3
11b3
10b3
15b3
12b3
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
30b3
15b3
12b3
11b3
10b3
15b3
12b4
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
30b3
15b3
12b3
11b4
10b3
15b4
12b4
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
Na čo to komu bude?
Uľahčenie práce Zjednodušenie problému Predpovedanie budúcnosti
Čo budeme skúmať?
Pokusy sa delia na: Deterministické (nenáhodné) Stochastické (náhodné)
Budeme sledovať pokusy, ktorých výsledkami budú javy
Javy, ktoré vykazujú štatistickú stabilitu:
Merateľný priestor
Ω – neprázdna množina obsahujúca všetky možné výsledky pokusu; priestor elementárnych javov
ω – elementárny jav; A – neprázdny systém podmnožín Ω, ktorá je
σ-aditívna, čiže: A A A A
– jav, A (Ω, A) sa nazýva javové pole alebo merateľný
priestor
Definícia pstnej funkcie
Nech (Ω, A) je javové pole, je zobrazenie také, že
(normovanosť) A: (nezápornosť) A sú po dvoch disjunktné (), potom (σ-
aditivita) Potom je funkcia pravdepodobnostná a
svätá trojica (Ω, A, ) sa nazýva pravdepodobnostný priestor
Vlastnosti pstnej funkcie
Odvoditeľné z definície
(subtraktívnosť) (monotónnosť)
Klasická psť
Definovaná vzťahom:
Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme kockou, padne 6?
Riešenie:
Podmienená psť
Definovaná vzťahom:
Pripomenňme, že , inak nemá vzorec zmysel
Príklad: Na kôpke sú celé čísla od 1 po 10. Janko vyhrá, ak si vyberie číslo väčšie ako Anička. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá, ak si Anička vytiahla 4?
Riešenie: , z toho:
Vlastnosti podmienenej psti
Klasická psť je prípad podm., kedy :
Zo vzorca podm. psti vyplýva:
Predchádzajúci vzorec sa dá zovšeobecniť:
Príklad
V nádobe máme 3 čierne (B) a 3 biele guličky (W). Vytiahneme 3 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby?
Odpoveď:
Úplný systém javov
Majme (Ω, A, ) pravdepodobnostný priestor. Javy A tvoria úplný systém javov, ak platí:
Pre takýto systém javov potom platí:
Bayes
Nech A tvoria úplný systém javov v (Ω, A, ) tak, že 0 a tiež 0 . Ptm:
Príklad
Náhodná osoba bola vybratá na test choroby, ktorú má 1 % populácie. Test zdravého človeka ohodnotí ako zdravého s pravdepodobnosťou 0,95, nezdravého človeka ako nezdravého s pravdepodobnosťou 0,99. Náhodnej osobe ukázal test, že je chorá. S akou pravdepodobnosťou je osoba naozaj chorá?
Výsledok:
Váhová psť
Nech v (Ω, A, ) máme Ω spočetnú, kde každý jav má určenú pravdepodobnosť tak, že a . Potom (Ω, A, ) je pstný priestor.
Geometrická psť
Pstná funkcia definovaná predpisom:
Pod (miera) máme na mysli zobrazenie splňujúce nezápornosť, σ-aditivitu a .
Predpokladáme, že je borelovská.
Príklad
Aká je psť, že náhodne vygenerované čísla x, y z intervalu budú vyhovovať podmienke:
Výsledok:
Náhodná veličina (premenná)
Výsledok náhodného pokusu Zobrazenie také, že:
Príklady: Počet padnutých 6 po n hodoch Počet hodov, kým nepadne 6 Výška jedincov v populácii
Delenie: Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Distribučná funkcia
Definovaná pre danú na (Ω, A, ):
Distribučná funkcia má nasledovné vlastnosti:
Neklesajúca Spojitá sprava a 1
Príklad
Hádžeme obyčajnou kockou. Náhodná veličina X je počet hodených 6 po 3 hodoch. Nájdite distribučnú funkciu.
Riešenie
Riešenie
Určíme pre . Otázka je, aká je psť, že po 3 hodoch kockou padne 6 práve -krát? Ak je záporné, tak, keďže kocka padne najmenej 0 krát.
Určíme pre . Psť, že 6 padne po 3 hodoch 0-krát alebo menej je rovná .
Riešenie (pokr.)
Určíme pre . Napr. pre sa pýtame, aká je psť, že počet padnutých 6 bude menší alebo rovný . Logicky, 6 padne buď 0-krát, alebo aspoň 1-krát. Nemôže padnúť - krát. Pre tento interval vyhovuje teda iba 0, čiže
Riešenie (pokr.)
Určíme pre . Šestka môže tentokrá padnúť 0 alebo 1 krát. Vypočítame ako:
Zvyšok si skúste spraviť sami. Riešenie je ďalej.
Výsledok
Distribučná funkcia pre našu náhodnú veličinu v plnej kráse:
a inak.
Diskrétna náhodná veličina
Postupnosť nenulových pravdepodobností
Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:
Pre pstnú funkciu a distribučnú funkciu platí vzťah:
Príklad
Uvažujme náhodnú veličinu X ako v predchádzajúcom príklade. Určime jej pstnú funkciu.
Riešenie: Najprv uvážme hodnotu pstnej funkcie na množine . Psť, že počet padnutých 6 bude v tejto množine je logicky 0. Preto:
Riešenie
Vyriešme pstnú funkciu pre . Psť, že kocka padne práve 0 krát je:
Vyriešme pre :
Riešenie
Podobne sa pre dopracujeme k výsledku pre 2 a 3. Riešením je:
Príklady diskrétnych rozdelení
Alternatívne rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonovo rozdelenie
Alternatívne rozdelenie
Jeden pokus, jav buď nastane, alebo nenastane. Náhodná veličina je počet javov, ktoré nastanú. Ak jav nastane s pravdepodobnosťou , potom:
a 0 inak
Binomické rozdelenie
Jav nastane s psťou . Náhodná veličina je počet pokusov, kedy jav nastal. Pokus opakujeme -krát. Potom:
pre , 0 inak
Poissonovo rozdelenie
Jav nastáva s hustotou λ. Náhodná veličina je počet javov, ktoré za dané obdobie nastanú. Potom platí:
pre N, 0 inak
Príklad
V Brnenskej nemocnici denne porodia v priemere 5 bábätiek. Aká je psť, že zajtra sa nenarodí ani jedno?
Riešenie: Náhodná veličina počet narodených bábätiek má Poissonovo rozdelenie. Vypočítame:
Spojité náhodné veličiny
Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:
Následne potom:
Kde sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti
Vlastnosti hustoty
Spojité rozdelenia
Rovnomerné rozdelenie Exponenciálne rozdelenie Normálne rozdelenie Gamma rozdelenie
Rovnomerné rozdelenie
Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie na intervale , ak psti každého bodu sú „rovnaké“, inak povedané, hustota je konštantná. Čiže:
Príklad
Šalina chodí každých 5 minút. Aká je psť, že na ňu budeme čakať najviac 2 minúty?
Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má rovnomerné rozdelenie, čiže:
Preto výsledkom je:
Exponenciálne rozdelenie
je psť, že jav nenastane po časte pri priemernom výskyte -krát za určitý čas
Náhodnou veličinou je následne množstvo času, kým dôjde k udalosti
Platí:
Príklad
V čakárni u zubára sa čaká v priemere 30 minút. Aká je psť, že nebudeme čakať viac než 10 minút?
Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má exponenciálne rozdelenie. Preto:
Normálne (gaussovské) rozdelenie
Hustota náhodnej veličiny v tvare:
Má ju náhodná veličina vzniknutá súčtom veľkého počtu nezávislých náhodných veličín
Gamma rozdelenie
Hustota náhodnej veličiny v tvare:
Zaujímavosťou na tomto rozdelení je gamma funkcia je definovaná:
Zaujímavé vlastnosti: pre n N
Nezávislosť javov
Majme javy A, B. Tie sú vzhľadom k psti nezávislé, ak:
Pri viacerých javoch platí, že sú nezávislé, ak ľubovoľná n-tica je nezávislá, nestačí totiž nezávislosť po dvojiciach.
Zdroje
Prof. Gejza Wimmer: Pravdepodobnosť a štatistika I (prednášky
Ďakujem za pozornosť