PRST (PST)Pravdepodobnosť & jej využitie

Grécke písmená

Koľko vás je?

5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16

Vpred!

30b1

15b1

12b2

10b1

15b1

12b3

10b1

Vpred!Vzad!

30b1

15b2

12b2

10b1

15b2

12b3

10b1

Vzad! Vpred!

35b1

15b2

12b2

10b2

15b2

12b3

10b2

Vzad! Vpred!

40b1

15b1

12b2

11b2

10b2

15b2

12b2

11b2

10b2

Vzad! Vpred!

40b1

15b2

12b2

11b2

10b2

15b2

12b2

11b3

10b2

Vzad! Vpred!

15b2

12b2

11b3

10b3

30b2

15b2

12b2

11b2

10b2

Vzad! Vpred!

35b2

15b2

12b2

11b3

10b2

15b2

12b3

11b3

10b3

Vzad! Vpred!

35b2

15b2

12b2

11b3

10b3

15b3

12b3

11b3

10b3

Vzad! Vpred!

35b2

15b2

12b3

11b3

10b3

15b3

12b3

11b4

10b3

Vzad! Vpred!

35b2

15b3

12b3

11b3

10b3

15b3

12b3

11b4

10b4

Vzad! Vpred!

30b3

15b3

12b3

11b3

10b3

15b3

12b4

11b4

10b4

Vzad! Vpred!

30b3

15b3

12b3

11b4

10b3

15b4

12b4

11b4

10b4

Vzad! Vpred!

Na čo to komu bude?

Uľahčenie práce Zjednodušenie problému Predpovedanie budúcnosti

Čo budeme skúmať?

Pokusy sa delia na: Deterministické (nenáhodné) Stochastické (náhodné)

Budeme sledovať pokusy, ktorých výsledkami budú javy

Javy, ktoré vykazujú štatistickú stabilitu:

Merateľný priestor

Ω – neprázdna množina obsahujúca všetky možné výsledky pokusu; priestor elementárnych javov

ω – elementárny jav; A – neprázdny systém podmnožín Ω, ktorá je

σ-aditívna, čiže: A A A A

– jav, A (Ω, A) sa nazýva javové pole alebo merateľný

priestor

Definícia pstnej funkcie

Nech (Ω, A) je javové pole, je zobrazenie také, že

(normovanosť) A: (nezápornosť) A sú po dvoch disjunktné (), potom (σ-

aditivita) Potom je funkcia pravdepodobnostná a

svätá trojica (Ω, A, ) sa nazýva pravdepodobnostný priestor

Vlastnosti pstnej funkcie

Odvoditeľné z definície

(subtraktívnosť) (monotónnosť)

Klasická psť

Definovaná vzťahom:

Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme kockou, padne 6?

Riešenie:

Podmienená psť

Definovaná vzťahom:

Pripomenňme, že , inak nemá vzorec zmysel

Príklad: Na kôpke sú celé čísla od 1 po 10. Janko vyhrá, ak si vyberie číslo väčšie ako Anička. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá, ak si Anička vytiahla 4?

Riešenie: , z toho:

Vlastnosti podmienenej psti

Klasická psť je prípad podm., kedy :

Zo vzorca podm. psti vyplýva:

Predchádzajúci vzorec sa dá zovšeobecniť:

Príklad

V nádobe máme 3 čierne (B) a 3 biele guličky (W). Vytiahneme 3 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby?

Odpoveď:

Úplný systém javov

Majme (Ω, A, ) pravdepodobnostný priestor. Javy A tvoria úplný systém javov, ak platí:

Pre takýto systém javov potom platí:

Bayes

Nech A tvoria úplný systém javov v (Ω, A, ) tak, že 0 a tiež 0 . Ptm:

Príklad

Náhodná osoba bola vybratá na test choroby, ktorú má 1 % populácie. Test zdravého človeka ohodnotí ako zdravého s pravdepodobnosťou 0,95, nezdravého človeka ako nezdravého s pravdepodobnosťou 0,99. Náhodnej osobe ukázal test, že je chorá. S akou pravdepodobnosťou je osoba naozaj chorá?

Výsledok:

Váhová psť

Nech v (Ω, A, ) máme Ω spočetnú, kde každý jav má určenú pravdepodobnosť tak, že a . Potom (Ω, A, ) je pstný priestor.

Geometrická psť

Pstná funkcia definovaná predpisom:

Pod (miera) máme na mysli zobrazenie splňujúce nezápornosť, σ-aditivitu a .

Predpokladáme, že je borelovská.

Príklad

Aká je psť, že náhodne vygenerované čísla x, y z intervalu budú vyhovovať podmienke:

Výsledok:

Náhodná veličina (premenná)

Výsledok náhodného pokusu Zobrazenie také, že:

Príklady: Počet padnutých 6 po n hodoch Počet hodov, kým nepadne 6 Výška jedincov v populácii

Delenie: Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

Distribučná funkcia

Definovaná pre danú na (Ω, A, ):

Distribučná funkcia má nasledovné vlastnosti:

Neklesajúca Spojitá sprava a 1

Príklad

Hádžeme obyčajnou kockou. Náhodná veličina X je počet hodených 6 po 3 hodoch. Nájdite distribučnú funkciu.

Riešenie

Riešenie

Určíme pre . Otázka je, aká je psť, že po 3 hodoch kockou padne 6 práve -krát? Ak je záporné, tak, keďže kocka padne najmenej 0 krát.

Určíme pre . Psť, že 6 padne po 3 hodoch 0-krát alebo menej je rovná .

Riešenie (pokr.)

Určíme pre . Napr. pre sa pýtame, aká je psť, že počet padnutých 6 bude menší alebo rovný . Logicky, 6 padne buď 0-krát, alebo aspoň 1-krát. Nemôže padnúť - krát. Pre tento interval vyhovuje teda iba 0, čiže

Riešenie (pokr.)

Určíme pre . Šestka môže tentokrá padnúť 0 alebo 1 krát. Vypočítame ako:

Zvyšok si skúste spraviť sami. Riešenie je ďalej.

Výsledok

Distribučná funkcia pre našu náhodnú veličinu v plnej kráse:

a inak.

Diskrétna náhodná veličina

Postupnosť nenulových pravdepodobností

Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:

Pre pstnú funkciu a distribučnú funkciu platí vzťah:

Príklad

Uvažujme náhodnú veličinu X ako v predchádzajúcom príklade. Určime jej pstnú funkciu.

Riešenie: Najprv uvážme hodnotu pstnej funkcie na množine . Psť, že počet padnutých 6 bude v tejto množine je logicky 0. Preto:

Riešenie

Vyriešme pstnú funkciu pre . Psť, že kocka padne práve 0 krát je:

Vyriešme pre :

Riešenie

Podobne sa pre dopracujeme k výsledku pre 2 a 3. Riešením je:

Príklady diskrétnych rozdelení

Alternatívne rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonovo rozdelenie

Alternatívne rozdelenie

Jeden pokus, jav buď nastane, alebo nenastane. Náhodná veličina je počet javov, ktoré nastanú. Ak jav nastane s pravdepodobnosťou , potom:

a 0 inak

Binomické rozdelenie

Jav nastane s psťou . Náhodná veličina je počet pokusov, kedy jav nastal. Pokus opakujeme -krát. Potom:

pre , 0 inak

Poissonovo rozdelenie

Jav nastáva s hustotou λ. Náhodná veličina je počet javov, ktoré za dané obdobie nastanú. Potom platí:

pre N, 0 inak

Príklad

V Brnenskej nemocnici denne porodia v priemere 5 bábätiek. Aká je psť, že zajtra sa nenarodí ani jedno?

Riešenie: Náhodná veličina počet narodených bábätiek má Poissonovo rozdelenie. Vypočítame:

Spojité náhodné veličiny

Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:

Následne potom:

Kde sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti

Vlastnosti hustoty

Spojité rozdelenia

Rovnomerné rozdelenie Exponenciálne rozdelenie Normálne rozdelenie Gamma rozdelenie

Rovnomerné rozdelenie

Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie na intervale , ak psti každého bodu sú „rovnaké“, inak povedané, hustota je konštantná. Čiže:

Príklad

Šalina chodí každých 5 minút. Aká je psť, že na ňu budeme čakať najviac 2 minúty?

Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má rovnomerné rozdelenie, čiže:

Preto výsledkom je:

Exponenciálne rozdelenie

je psť, že jav nenastane po časte pri priemernom výskyte -krát za určitý čas

Náhodnou veličinou je následne množstvo času, kým dôjde k udalosti

Platí:

Príklad

V čakárni u zubára sa čaká v priemere 30 minút. Aká je psť, že nebudeme čakať viac než 10 minút?

Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má exponenciálne rozdelenie. Preto:

Normálne (gaussovské) rozdelenie

Hustota náhodnej veličiny v tvare:

Má ju náhodná veličina vzniknutá súčtom veľkého počtu nezávislých náhodných veličín

Gamma rozdelenie

Hustota náhodnej veličiny v tvare:

Zaujímavosťou na tomto rozdelení je gamma funkcia je definovaná:

Zaujímavé vlastnosti: pre n N

Nezávislosť javov

Majme javy A, B. Tie sú vzhľadom k psti nezávislé, ak:

Pri viacerých javoch platí, že sú nezávislé, ak ľubovoľná n-tica je nezávislá, nestačí totiž nezávislosť po dvojiciach.

Zdroje

Prof. Gejza Wimmer: Pravdepodobnosť a štatistika I (prednášky

Ďakujem za pozornosť