NÚMEROS REALES

Profesor: Héctor Ricardo Ortiz Cipriano

Chao, 05 de junio del 2014

AXIOMAS DE LA SUMA DE NUMEROS REALES

a) Clausura: la suma de dos números reales es un número real.

Ejemplos:

, :a b a b

4 4 142 , 2

5 5 5

2 ,23 2 23 21

b) Propiedad Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma.

Ejemplos:

, :a b a b b a

3 ,4 3 4 4 3

3 ,9 3 9 9 3

c) Propiedad Asociativa: la suma de tres omás números reales no cambia si lossumandos son agrupados de distintasmaneras.

Ejemplo:

, , : ( ) ( )a b c a b c a b c

4 (9 2) (4 9) 2

4 11 13 2

15 15

d) Existencia del elemento neutro aditivo:

Existe un único número real llamado 0 (cero),

Tal que:

Ejemplos:

,0 0a a a a

0 13 13 0 13a

e) Existencia del elemento opuesto (Inversoaditivo): para cada número real a, existe un úniconúmero real llamado el opuesto de a, denotado por –a, tal que

Ejemplos:

( ) 0,a a a a a

10 ( 10) 0

2 2( ) 0

7 7

15 15 0

Axiomas de la multiplicaciónde números reales

a) Clausura: el producto de dos números reales, es un número real.

Ejemplos:

, .a b ab

4 ,9 4.9 36

3 5 3 5 15,

4 7 4 7 28

3 , 4 3. 4 4 3

b) Propiedad Asociativa: el producto de tres o más números reales no cambia si los factores son agrupados de distintas maneras.

Si

Ejemplos:

Si

, , ( . ). .( . )a b c ab c a bc

7,3,2 (7.3).2 7(3.2)

c) Conmutativa: el producto de dos números reales no cambia si el orden en que se disponen los factores es diferente.

Si

Ejemplos:

, . .a b ab b a

3 ,( 8) 3.( 8) ( 8).3

2 1 2 1 1 2, ( )( ) ( )( )

3 4 3 4 4 3

d) Existencia del elemento neutro multiplicativo: hay un elemento (el 1), llamado elemento neutro de la multiplicación, del conjunto de los números reales, que al ser multiplicado por otro número lo deja invariante.

Si a es un número real, existe 1, llamado elemento neutro de la multiplicación (también es número real), tal que a.1 = a y 1.a = a

Ejemplos:

Si 4 4.1 1.4

e) Existencia del elemento inverso: para

cada elemento a diferente de 0, del conjunto de

los números reales, hay otro elemento

llamado, el recíproco o inverso multiplicativo de

a, que multiplicativo por a da como producto el

elemento neutro 1.

Si existe también real, tal

que

1

a

0a a 1

( )a

1.( ) 1a

a

Ejemplos:

1 1 77 , 7 1

7 7 7

1 1 55 , 5 1

5 5 5

8 10 8 10 80, 1

10 8 10 8 80

• Hay una propiedad que relaciona la multiplicación con la adición de los números reales; es la propiedad siguiente:

• Distributiva: para multiplicar un número real a porla adición de otros, se multiplica el factor a por cadauno de los sumandos y luego se adicionan losproductos. Este proceso se cumple tanto si a está a laizquierda o a la derecha de la adición.

, , .( ) ( . ) ( . )

, , ( ). ( . ) ( . )

a b c a b c a b a c

a b c b c a b a c a

• Ejemplos:

6.(3+5)=(6.3)+(6.5)=18 + 30 =48

9.(5+8)=(9.5)+(9.8)= 45+72= 117

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Ejemplos:

a) Aproxima a las décimas y resuelve:

b) Aproxima a las centésimas y resuelve:

( 7 ) ( 2 3)

211 6 23 0,11111......

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