propagation et contrôle non destructif dans les solides...

Propagation et Contrôle Non Destructif dans les solides

AC03Master Sciences et Technologie

mention " Acoustique et Mécanique"parcours recherche "acoustique" et "matériaux et acoustique"

Université du Maine - Le Mans 2008-2009

Catherine POTEL

I. ONDES ELASTIQUES DANS LES SOLIDES ANISOTROPES

1 Rappels d'élasticitéa) Tenseur des déformationsb) Tenseur des contraintesc) Mise sous forme matricielle

2 Comportement d'un solide élastiquea) Relation entre contraintes et déformations : loi de Hookeb) Cas particulier du solide isotropec) Milieux ayant des propriétés de symétried) Exemple de calcul de constantes élastiques par changement de repère

3 Equation de propagation4 Solution de l'équation de propagation sous forme d'ondes planes5 Propriétés du tenseur de Christoffel6 Propagation suivant des directions liées aux éléments de symétrie, dans la

direction 37 Ondes élastiques dans un milieu isotrope8 Energie - Vecteur de Poynting

a) Bilan énergétiqueb) Vitesse d'énergie pour une onde plane

9 Surfaces caractéristiquesa) Surface des vitessesb) Surface des lenteursc) Surface d'onde

II. REFLEXION ET REFRACTION DES ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES

1 Equation de continuité (solides rigidement liés)2 Conservation de la fréquence et de la projection des vecteurs d'onde sur

l'interface3 Construction graphique : utilisation des surfaces des lenteurs4 Angles critiques - ondes évanescentes5 Coefficients de réflexion et de transmission

III. PROPAGATION DANS UNE SEULE COUCHE

1 Propagation à travers une interface2 Nombre des ondes dans une couche3 Notations - hypothèses4 Obtention des vecteurs lenteur et polarisation5 Vecteur déplacements - contraintes dans une couche6 Problèmes numériques dans le cas d'une couche7 Ecriture des conditions aux limites dans le cas d'une couche plongée dans un

fluide

IV. PROPAGATION DANS UN MULTICOUCHE1 Matrice de transfert d'une couche q2 Ecriture des conditions aux limites aux interfaces extrêmes

V. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE LAMB

1 Introduction2 Déplacements et contraintes

a) Déplacementsb) Contraintesc) Mise sous forme matricielle

3 Modes de Lamb4 Courbes de dispersion

a) Domaine des basses fréquencesb) Domaine des hautes fréquencesc) Modes de Lamé

5 Analyse des déplacements6 Modes de Lamb généralisés

a) Réflexion non spéculaireb) Modes de Lamb en milieu anisotrope

7 Montage expérimentala) Génération d'une onde de Lambb) Mesure de la vitesse de groupe

VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH

1 Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotropea) Rappelsb) Existence de l'onde de surfacec) Vecteur déplacements-contraintesd) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique

3 Onde de Rayleigh "généralisée"4 Généralisation aux milieux stratifiés

VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS1 Introduction

a) Les transducteursb) Les différents types d'échographie

3 Les transducteurs "conformables"4 Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage

BIBLIOGRAPHIE

C. Potel, Université du Maine 2

Onde mécanique (1/5)

La particule d'eau au centre bougeet transmet son mouvement aux autres

Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage, comme une information, un changement de position que l'on transmet à son voisin.

http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University molécule

Représentation schématique de matière constituée de molécules (de masses données) en interactions élastiques.

Onde mécanique (2/5)

Onde mécanique : onde de compression (3/5)

dans un gaz

dans un ressort

http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Onde mécanique : onde de cisaillement (4/5)

système discret

système continu : propagation d'une impulsion le long d'un ressort. Les sections du ressort se déplacent de haut en bas à mesure que le pulse se déplace de la gauche vers la droite


Onde mécanique : onde de flexion (5/5)

ondes de flexion dans une corde vibrante


GAZ LIQUIDE SOLIDE

V air = 340 m/s V eau = 1500 m/s V métal ≅ 6000 m/s

Vitesse de propagation

Aspect schématique des trois états fondamentaux de la matière et ordre de grandeur de la vitesse propagation des ondes de compression pour chacun d'eux

Seul mouvementautorisé

Aucune informationn'est transmise

L'information est transmise d'autant plus vite que la raideur des ressorts est grande

ONDE DE CISAILLEMENT

ONDE DE COMPRESSION

De la matière discontinue...

polarisation

propagation

polarisation

propagation

particule λ

λ

... à la matière continue


http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Structure-interne/Sismologie/pendulum.html

Différents types d'onde

I II0

III

rupture

σ = FS

ε = ∆ LL 0

zone I Elasticité linéairezone II Elasticité non linéairezone III Plasticité

L0

L

0SAAA

A

A

A

A

A

B

B

A

A

BB

L

L u

- F→

F→

F→

- F→

AA

AA

AA

section

section ≈ 0SS

S <section 0S section ≈ 0SS

section Su << S0

Eprouvette non sollicitée

Eprouvette sollicitée avant l'apparition de la striction

Eprouvette sollicitée après l'apparition de la striction

Eprouvette reconstituée après rupture

Essai de traction

F→

L

L'

M N

M' N'

∆ x

u(x+∆ x) - u(x) + ∆ x

u(x)

u(x+∆ x)

x x+∆ x

x + u(x) x + ∆ x + u(x+∆ x)

( )⎯⎯ →⎯

= 'MMxurdéplacement particulaire :

variation relative de longueur du petit élément MN :

( ) ( )[ ]xu

xxxxuxxu

∆∆

=∆

∆−∆+−∆+( ) ( )xuxxuu −∆+=∆

0u =∆0u ≠∆

simple translationdéformation

Allongement d'un fil extensible

Ω+=Sugrad r( ) xdugradxdxuxd

xuxd

xuud 3

32

21

1

rrrrr

r⋅=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= avec

symétrique antisymétrique

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

=Ω

0xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

210

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

210

2

3

3

2

1

3

3

1

2

3

3

2

1

2

2

1

1

3

3

1

1

2

2

1

( ) ( ) jjijjijijji xdxdSxuxdxu Ω++=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

i

j

j

iji x

uxu

21S

( ) ( ) udMuNu rrr+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

=

3

3

2

3

3

2

1

3

3

1

2

3

3

2

2

2

1

2

2

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

xu

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

S

M N

udr

M'

N'

r ( )Nur

( )Mu

( ) ( ) MOdSMOdMuNu ⋅+⋅Ω+=rr

Tenseur des déformations S



0=Ω 0S =Si et alors ( ) ( )MuNu rr=

simple translation

MN

M' N'

O

OMOMdOM +

rr ( ) ( )MuNu =

OMd

simple translation

MN

M' N'

O

OMOMdOM +

rr ( ) ( )MuNu =

OMdM

N

M' N'

O

OMOMdOM +

rr ( ) ( )MuNu =rr ( ) ( )MuNu =

OMd OMd

0S =Si et alors( ) 0Murr

= ( ) MOdNu ⋅Ω=r

( ) NMxdxdxd

xdxdxd

00

0

ududud

Nu

3

2

1

3

2

1

3

2

1

12

13

23

3

2

1

∧ω=∧ωωω

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωω−ω−ωωω−

==rr

BBBB

M=M '

N'

N

ω

ω→

simple rotation( ) MOdMu ⋅Ω+r : déplacement du solide au sens mécanique

Si et alors( ) 0Murr

= ( ) MOdSNu ⋅=r

0=Ω déformation


translation rotation déformation pure

mécanique

Interprétation (1/3)

simple translation

M N

N'N" udr

M'

MN

M' N'

xdr

O

xrxdx rr

+

rr ( ) ( )MuNu =

translation + déformationtranslation + rotation

translation + déformation + rotationM N

N"'

N"

udr

M'

N'

N IV

rud S

Ωudr

r ( )Nu

M N

N'

N"udr

M'r ( )Nu

rud

rr ( ) ( )MuNu = +rud S Ωud

r+

r ( )Nu

Interprétation (2/3) : déplacement local de deux points

Interprétation (3/3)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

=

3

3

2

3

3

2

1

3

3

1

2

3

3

2

2

2

1

2

2

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

xu

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

xu

21

xu

S

Sii : déformation dans la direction xi

Sij : demi distorsion dans les directions xi et xj

M Nixi→

Nj

xj→

N'i

N'j

α

( )332211 xuxuxu1V'V ∂∂+∂∂+∂∂+≈ ( ) StraceudivVV'V =≈−r

( )2

1

1

2

0xd0xd21 x

uxu

2limn,n,M

21 ∂

∂+

∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α−

π=γ

→→

rr

a

bcx1

x2

x3

McbaV =

a'

b'

c'M

'c'b'a'V =

déformation supposée sans cisaillement

MI

II

n→dS

→T

d F→

( ) n.TSdFdlimn,MT

0Sd

rr==

→

→

→

kkii nT=T

x 3

x 2

x 1 ∆ S 2

∆ F 3

→

∆ F 2

→

∆ F 1

→

∆ F→

cisaillement

traction ou compression

ikk

i

0ski TSF

limTk

=∆

∆=

→∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

( )32

22

12

xx

TTT

eTe,MT22

B=⋅=

→ rr

Tenseur des contraintes T (1/2)


x 3

x 2

x 1

O

M

A1

A2

A3

dS2

T12

T22

T32

dS3

dS1

T11

T21

T31

T13

T23

T33

Tenseur des contraintes T (2/2)

Hypothèse des petites déformations :

rigidités élastiques

Notation matricielle : c α β = c i j k l

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 621125133142332

333222111↔=↔=↔=↔↔↔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

i

j

j

iji x

uxu

21S

T i j = c i j k l S k l

126135234

333222111

S2SS2SS2S

SSSSSS

===

===T α = c α β S β

Loi de Hooke

( )( )lk

ji↔β↔α

Loi de Hooke

avec

et

Loi de Hooke

( )( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) 1211

12

1211

1211

212

11

1211

12

1211

ccc

222E

3c2c

32

E33E

213EB

ccc

2c23EEE

2cc

12E

cE32E

211E

c,c,,E,E

+µ+λλ

µµ−

νν

+µ+λ

−µµ

ν−

+−

µ+λµ+λµ

−µµ

ν+µ

λ−µ

µ−µν−ν+

νλ

µλµν

E : Module de Young (Pa)

ν : Module de Poisson (sans unité)

B : Module d'élasticité volumique (Pa/m2)

λ , µ : Coefficients de Lamé (Pa)

c 11 , c 12 : constantes de rigidité (Pa)

Relations en solide isotrope

Eléments de symétrie directe : An, axe de rotation d'ordre n

rotation d'angle 2 π / n propriétés inchangées

Eléments de symétrie inverse : A n, axe de rotation inverse d'ordre n

rotation d'angle 2 π / n

symétrie par rapport à un centre C

Miroir : axe inverse d'ordre 2 : A 2 = M

propriétés inchangées

x1

x3

x2

C

Mrotation π

symétrie

M'

x1

x3

x2

C

M' ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

100010001

H

lll ijkmnpqqpknjmi*ijk ccHHHHc ==

Matrice de passage

Symétries d'orientation des cristaux


Constantes de rigidité élastiques

extrait de D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996) C. Potel, Université du Maine 8

0°/90° 0°/45°/90°/135°

Matériaux composites : exemple des composites de type carbone-époxyde

couche à 0°

x1

x2

x3 ≡ A6x'1x'2

x'3

x"1

x"2

x"3

R x1/-90° R x3/-90° ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

001100010

100001010

010100001

H

lll ijkmnpqqpknjmi*ijk ccHHHHc ==

matrice de passage

mnpq1q1p1n1m*1111

*11 cHHHHcc ==

seul H31≠0m=n=p=q=3 333333

*11 ccc ==

mnpq2q2p1n1m*1122

*12 cHHHHcc ==

seuls H31≠0 et H12≠0m=n=3 ; p=q=1 31

*12 cc =

mnpq3q3p1n1m*1133

*13 cHHHHcc ==

32*13 cc =

seuls H31≠0 et H23≠0m=n=3 ; p=q=2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••⋅⋅⋅•••⋅⋅⋅•••

=αβ

x

c

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=αβ

55

44

66

221232

121113

231333

*

cc

cccccccccc

c

etc...

Exemple de calcul

O

x1x2

x3R0

→Ttot

M

n→dσ

Σ V

Résultante dynamique ( ) ⎮⌡

⌠⎮⌡

⌠⎮⌡

⌠∂∂

ρ=V

VRV dtu/d 2

2

0

rr

∫∫∫= V VdfF ee

rr

⎮⌡⌠

⎮⌡⌠

⎮⌡⌠=⎮⌡

⌠⎮⌡⌠ σ=

Σ VVdTdivdn.TF tottoti

rr( ) n.Tn,MT tottot

rr=

→

( )( )( )

∑ ∑

∑

∑

∑

= =

=

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂

∂∂

∂∂

∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

==3

1ix

3

1j j

ji

3

1j j

j3

3

1j j

j2

3

1j j

j1

03

33

2

23

1

13

3

32

2

22

1

12

3

31

2

21

1

11

0

xttot

xttot

xttot

0

toti

3

2

1

exT

xTxTxT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

e.Tdiv

e.Tdiv

e.Tdiv

Tdivr

r

r

r

BBB

Résultante des forces extérieures ( ) ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=→

→

V VV dTdivfext e

rR

eee fff0

rrrδ+=avec

avec

M

dV

Σ V

→fe

ds

Equation de propagation (1/3)PFD pour les résultantes :

A l'équilibre changement de variable :

( ) ( ) VRVV ∀=→→

,/dext 0

rR

2

2

tote tuTdivf

∂∂

ρ=+rr

VVVVV

∀⎮⌡

⌠⎮⌡

⌠⎮⌡

⌠∂∂

ρ=⎮⌡⌠

⎮⌡⌠

⎮⌡⌠

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ,d

tudTdivf 2

2

tote

rr

0Tdivf 0e 0

rr=+ 0tot TTT −=

2

2

e tuTdivf

∂∂

ρ=+δrr

3,2,1i,xT

tu 3

1j j

ji2

i2

=∂

∂=

∂

∂ρ ∑

=

Report dans l'équation de propagation

∑ ∑= = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

3

1ix

3

1j j

jii

exT

Tdiv ror

variation de contrainte autour de la position d'équilibre

eee fff0

rrrδ+=avec

( ) 2

2

0ee tuTTdivff

0 ∂∂

ρ=++δ+rrr

→0

2

2

tuTdiv

∂∂

ρ=r

en dehors des sources

en présence de sources

et

Equation de propagation (2/3)


Loi de Hooke ll kijkji ScT = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

k

kk x

uxu

21S l

llavec

( )k

ijkkijk

ijkk

ijkji xu

cc21

xu

c21

xu

c21T

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂= l

lll

ll

l

=

kijkji x

ucT

∂

∂= l

l

Dérivée des contraintes

3,2,1i,xT

tu 3

1j j

ji2

i2

=∂

∂=

∂

∂ρ ∑

=

kj

2

ijkj

ji

xxu

cxT

∂∂

∂=

∂

∂ ll

Equation de propagation

3,2,1i,xx

uc

tu

kj

2

ijk2i

2

=∂∂

∂=

∂

∂ρ l

l

Remarque : pas d'hypothèse d'onde plane

Equation de propagation (3/3) Les ondes planes (1/2)

( ) ( ) ( )tcrngtcrnft;ru 00i +⋅+−⋅=rrrrr

MOr =r

( )[ ]rntcF 0rr

⋅−κ

0OMcosOMMOnrn =θ=⋅=⋅rrr

θ n→

n→

M 0

MO r→

n→

x

y

z

O

R

M

r→

A 1 instant donné, en tout point M tel que

constantern =⋅rr

la valeur de la variable de champ (grandeur physique) est la même.

Ces points sont situés dans un même plan, appelé plan d'onde (surface d'ondeplane), perpendiculaire à la direction de n :→

Les ondes planes (2/2)

( ) constanterntc 0 =⋅−rr

( ) 0rntcd 0 =⋅−rr

0ctdrdn =⋅r

r

Lorsque le temps varie, suivre une valeur donnée de F

vitesse à laquelle doit se déplacer un point géométrique M pour suivre une valeur donnée de F

c.à.d. soit

si r // n nctdrd

0r

r

=→→

n→

c0

c0

c0

Les plans d'onde qui véhiculent une valeur donnée de la variable de champ F, se déplacent parallèlement à eux-mêmes dans la direction n qui leur est perpendiculaire, et avec la vitesse de propagation c0.

→

Equation de propagation 3,2,1i,xx

uc

tu

kj

2

ijk2i

2

=∂∂

∂=

∂

∂ρ l

l

Solution en ondes planes (1/2)

Forme de solutions particulières ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=Vxn

tFPV

rntFPu jjiii

rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂

∂

Vxn

t"FPtu jj

i2i

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∂

∂

Vxn

t'FVn

Pxu jjj

jl

l

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∂∂

∂

Vxn

t"FV

nnP

Vxn

t"FVn

Vn

Pxx

u jj2

kjjjkj

kj

2

lll

(1)

(2)

(3)

(2) et (3) dans (1) t,r,Vxn

t"FV

nnPc

Vxn

t"FP jj2

kjijk

jji ∀∀⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ

rll

ll PV

nncP 2

kjijki =ρ

ll PnncPV kjijki2 =ρ

liΓ : tenseur de ChristoffelC. Potel, Université du Maine 10

( ) ( ) ( ) 3232i23i3131i13i2121i12i2333i

2222i

2111i

kjijki

nnccnnccnnccncncnc

nnc

lllllllll

ll

++++++++=

=Γ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

233213311221

3234313521452333

2244

215533

3244233145362125462334

2224

215623

3224314621262344

2222

216622

3245363155132156142335

2246

211513

3225463156142166122345

2226

211612

3256311521162355

2266

211111

nnc2nnc2nnc2ncncnc

nnccnnccnnccncncnc

nnc2nnc2nnc2ncncnc

nnccnnccnnccncncnc

nnccnnccnnccncncnc

nnc2nnc2nnc2ncncnc

Γ=ΓΓ=ΓΓ=Γ

+++++=Γ

++++++++=Γ

+++++=Γ

++++++++=Γ

++++++++=Γ

+++++=Γ

Equation de propagation : i2

i PVP ρ=Γ ll

P i : vecteur propre de Γ il ; ρ V 2 : valeur propre de Γ il

Solution en ondes planes (2/2) : tenseur de Christoffel

(2) P q→

n q→

(1) P q→

(3) P q→

onde quasi-longitudinale (QL)

onde quasi-transversale (QT1)

onde quasi-transversale (QT2)

n q→

(η) P q→

direction de propagation

vecteur polarisation de l'onde (η)

Propagation dans un matériau q

Direction de propagation :

Propagation suivant des directions liées aux éléments de symétrie, dans la direction x3

3xenrr

=

Tenseur de Christoffel :⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==Γ

333435

344445

354555

kjijki

ccccccccc

nnc ll

Système de symétrie monoclinique :⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Γ

33

4445

4555

i

c000cc0cc

l

vecteur propre valeur propre

1 onde longitudinale + 2 ondes transversales

3x)1( eP rr

=ρ

= 33)1( cV

Solide avec axe d'ordre p>2 :⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Γ

33

44

44

i

c000c000c

l

deux valeurs propres identiquesdeux ondes transversales dégénérées ; Ox3 = axe acoustique

( ) ( )t;xut;xu 3rrr

=0xu

0xu

2i

1i

=∂∂

=∂∂

3311 xuT ∂∂λ=

3322 xuT ∂∂λ=

( ) 3333 xu2T ∂∂µ+λ=

0T 21 =

3131 xuT ∂∂µ=

3232 xuT ∂∂µ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂µ=

i

j

j

iji x

uxu

T

i

i

3

3

2

2

1

1ii x

u2

xu

xu

xu

T∂

∂µ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂λ=

Loi de Hooke

contraintesnormales

contraintestangentielles

O

x1

x2

x3

Rplan d'onde

M

Solide isotrope (1/5) : découplage de l'équation de propagation


homogène à L2T-2i = 3 ∑= ∂

∂=

∂

∂ρ

3

1j j

j323

2

xT

tu

23

32

23

2

xu2

tu

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

µ+λ=

∂

∂

ρµ+λ

=2VL 0

tu

V1

xu

23

2

2L

23

32

=∂

∂−

∂

∂on pose ondes de compression(longitudinales)

homogène à L2T-2i = 1 ∑= ∂

∂=

∂

∂ρ

3

1j j

j121

2

xT

tu

23

12

21

2

xu

tu

∂

∂

ρµ

=∂

∂

ρµ

=TV 0tu

V1

xu

21

2

2T

23

12

=∂

∂−

∂

∂on pose ondes de cisaillement(transversales)

O

x1

x2

x3

Rplan d'onde

O

x1

x2

x3

Rplan d'onde

i = 2 ∑= ∂

∂=

∂

∂ρ

3

1j j

j222

2

xT

tu

23

22

22

2

xu

tu

∂

∂

ρµ

=∂

∂

0tu

V1

xu

22

2

2T

23

22

=∂

∂−

∂

∂ ondes de cisaillement(transversales)

Solide isotrope (2/5) : découplage de l'équation de propagation

Sans rotation, mais avec variation de volume

Avec rotation, mais sans variation de volume

0urot L

rr=

⎯→⎯

0udiv T

rr=

potentiel scalaire ψ : ψ=⎯→⎯

gradu Lr

potentiel vecteur χ :→ χ=⎯→rotu T

r →

déplacement particulaire : ψ=

⎯→⎯gradu

r χ+⎯→rot →

=→∇ ψ +

→∇ ∧ χ→

Solide isotrope (3/5) : déformations

( ) ( ) uudivgradtu2

2 rrr

∆µ+µ+λ=∂∂

ρEquation de propagation :

avec TL uurotgradu rrrr+=χ+Ψ=

Découplage de l'équation de propagation :

0uVt

uT

2T2

T2 rrr

=∆−∂

∂ρ

−=

ρµ

=2

ccV 1211

T

onde de compression se propageant à la vitesse ρ

=ρ

µ+λ= 11

Lc2V

0uVt

uL

2L2

L2 rrr

=∆−∂

∂

onde de cisaillement se propageant à la vitesse

Cas des ondes planes, en relation avec une direction de propagation nr

onde de compression = onde longitudinaleonde de cisaillement = onde transversale

Solide isotrope (4/5) : ondes quelconques

( ) ( ) tiexˆt;xˆ ω+Ψ=ψrr

0tˆ

V1ˆ

2

2

2L

=∂

ψ∂−ψ∆ 0

t

ˆ

V1ˆ

2

2

2T

rrr

=∂

χ∂−χ∆

0ˆkˆ 2L =Ψ+Ψ∆ 0ˆkˆ 2

T

rrr=Χ+Χ∆

LL Vk ω= TT Vk ω=

( ) ( ) tiexˆt;xˆ ω+Χ=χrrrr

0tV

12

2

2L

=∂

ψ∂−ψ∆ 0

tV1

2

2

2T

rrr

=∂

χ∂−χ∆Equations d'onde et

et

et

Equations de Helmholtz

avec etOndes planes monochromatiques

et

O

x1

x2

x3

Rplan d'onde

n→ nkk LLrr

= nkk TTrr

=

( ) ( )txkiL

LeAxˆ ω−⋅−=ψrrr

( ) ( )txkiT

TeAxˆ ω−⋅−=χrrrrr

et

Solide isotrope (5/5) : ondes monochromatiques


Exemple : ondes planes monochromatiques (1/2)Ondes longitudinales

( ) ( )t;xˆgradt;xu 11L ψ=r ( ) ( )txki

L11LeAt;xˆ ω−−=ψ

( )( )

0xû

0xû

eAkixû

t;xu

3L

2L

txkiLL1L

1L

3

2

1L

1

=∂ψ∂=

=∂ψ∂=

−=∂ψ∂=

=

ω−−

B

r

( ) ( )[ ] ( )1xL1LLL1L1L exktsinAkt;xuet;xu rrr

α+−ω== R LiLL eAA α=

3211 x13x12x11xL eTeTeTeTT rrrrr++=⋅=

( ) ( ) ( )txkiL

2L1L11

1L

1eAk2xu2T ω−−µ+λ−=∂∂µ+λ=

0xuT 1L12 2=∂∂µ= 0xuT 1L13 3

=∂∂µ=

( ) ( )1

1L

1 xtxki

L2Lx11L eeAk2eTT

rrr ω−−µ+λ−==

( ) ( )1xL1LL

2LLL exktcosAk2TeT rrr

α+−ωµ+λ−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= R

avecO

x2

x3

x1

Rplan d'ondek

→

avec

avec

et

1xenrr

=

mouvement de compression / détente

( ) ( )[ ] ( )( )

322

233

xT1TTT

xT1TTT1T1T

exktsinAk

exktsinAkt;xuet;xur

rrr

α+−ω+

α+−ω−== R

Exemple : ondes planes monochromatiques (2/2)Ondes transversales

avec

avec

avec

et

mouvement de cisaillement

( ) ( )t;xˆrott;xu 11T χ=rr ( ) ( )txki

T11TeAt;xˆ ω−−=χ

rr

( ) ( )( )txki

TTT

txkiTTT

T

12

13

2112

1331

3223

3

2

1

3

2

1

1T1T

23

1T

32

1

eAkiu

eAkiu

0u

xˆxˆ

0

xˆxˆxˆxˆxˆxˆ

ˆˆˆ

xxx

t;xuω−−

ω−−

−=

=

=

=∂χ∂∂χ∂−=

∂χ∂−∂χ∂∂χ∂−∂χ∂∂χ∂−∂χ∂

=χχχ

∧∂∂∂∂∂∂

=

BBBBB

r

2T

22

iTT eAA

α=

3T

33

iTT eAA

α=

3211 x13x12x11xT eTeTeTeTT rrrrr++=⋅=

( ) 0xu2T 1T11 1=∂∂µ+λ=

( )txkiT

2T1T12

1T

32eAkxuT ω−−µ=∂∂µ=

( )txkiT

2T1T13

1T

23eAkxuT ω−−µ−=∂∂µ=

;

( ) ( )3

1T

22

1T

332 xtxki

T2Tx

txkiT

2Tx13x12T eeAkeeAkeTeTT

rrrrr ω−−ω−− µ−µ=+=

( ) ( )322233 xT1LT

2TxT1LT

2TTT exktcosAkexktcosAkTeT rrrr

α+−ωµ−α+−ωµ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= R

1xenrr

=(O x2 x3)

Intégration de l'équation de propagationEquation de conservation de l'énergie acoustique (1/3)

j

ji2

i2

xT

tu

∂

∂=

∂

∂ρ

tu i

∂

∂

tu i

∂

∂

2i

c tu

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ρ=E

tc

∂

∂E

txu

Tt

uT

x j

i2

jii

jij ∂∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

avec

densité volumique d'énergie cinétique( )jiji

j

iji S

tT

xu

tT

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

ll kijkji ScT =

tp

∂

∂E

jikijkp SSc21

ll=Eavecdensité volumique d'énergie potentielle

avec

( )Pdivt

uTdiv i

ji −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

tuT

∂∂

⋅−=r

Pavec vecteur de Poynting

Equation locale d'énergie ( ) 0divt

=+∂∂ PE

avec pc EEE += densité volumique d'énergie acoustique totale

Rappel : densité d'énergie = énergie emmagasinée par unité de volume (Evolume dV / dV )

loi de Hooke

: flux d'énergie acoustique instantané, ramené à l'unité de surface et àl'unité de temps (puissance instantanée traversant l'unité de surface dσ, transportée par l'onde acoustique) ; analogue à en fluide

Equation de conservation de l'énergie acoustique (2/3)

M

n→dσ

Σ V

u→

L'énergie acoustique E présente localement dans la particule (Ec + Ep) résulte donc d'un apport et d'une perte d'énergie.

Lors de la propagation acoustique

emmagasine de l'énergie et la restitue aux particules adjacentes

particules adjacentes

flux d'énergie apporté et retiré au volume en permanence.

vp r=P: travail élémentaire fourni par une particule à son environnement

pendant le temps dt.

tuT

∂∂

⋅−=r

P

tddtuT σ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅−r


Equation de conservation de l'énergie acoustique (3/3)

Bilan intégral ( ) ( )⎮⌡⌠

⎮⌡⌠

⎮⌡⌠−=⎮⌡

⌠⎮⌡⌠

⎮⌡⌠ +

∂∂

VVVPVEE ddivd

t pc

⎮⌡⌠

⎮⌡⌠ σ⋅−

Σ

dnrP

( ) ( ) 0ddivt pc =⎮⎮⌡

⌠⎮⎮⌡

⌠⎮⎮⌡

⌠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

∂∂

V

VPEE

variation par unité de temps de l'énergie acoustique contenue dans un volume V

opposé de l'énergie sortante par unité de temps

(Th. d'Ostrogradsky)

flux total d'énergie entrant dans le volume V par unitéde temps

Vecteur de Poynting tuT

∂∂

⋅−=r

P donne la direction de propagation de l'énergie

Vitesse d'énergieEP

=eVr

avec jikijk

2i

pc SSc21

tu

21

ll+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ρ=+= EEE

Vitesse d'énergie pour une onde plane

Vitesse d'énergieEP

=eVr

avect

uT j

jii ∂

∂−=P

jikijk

2i

pc SSc21

tu

21

ll+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂ρ=+= EEE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Vxn

tFPu jjii

V'FnPPc2

kjijki ll=P

p2

iic 'FPP21 EE =ρ= au cours de la propagation, énergie répartie de

manière égale entre énergie cinétique et énergiepotentielle

VPPnPPc

Vmm

kjijkei ρ

= ll

Projection de la vitesse d'énergie sur la direction de propagation

VnV e =⋅rr

nr

eVr

V

plan d'onde

nr

n1r

Pr

eau

solide anisotrope la vibration se dirige dans la direction de P→

lieu des extrémités du vecteur lenteur m, tracé à partir d'un point fixe O, lorsque la direction de propagation n varie.→

→

Vnmr

r=Vecteur lenteur :


Vitesse d'énergie perpendiculaire au plan tangent à la surface des lenteurs

Carbone/Epoxyde, hexagonal, axe A6 // x1

x3

x1O

Surfaces des lenteurs (1/3)

onde QLonde QT1

onde QT2

Surface des lenteurs (2/3) : exemple du carbone/époxyde (système hexagonal)


Surface des lenteurs (3/3)

Direction du plan tangent : ii

ndnmmd

∂∂

=r

r

Vn

m jj =Or j

i2

ji

i

j nnV

V1

Vnm

∂∂

−δ

=∂

∂

Vitesse d'énergie : VnV e =⋅rr

i

ei n

VV∂∂

=j

ei2

ji

i

j nVV1

Vnm

−δ

=∂

∂

soit ii

jj nd

nm

md∂

∂=

ijei2

jij ndnV

V1

Vmd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δ=

perpendiculaire au plan tangenteVr 0Vmd e =⋅

rr

Démontration : ij

ej

ei2

ej

jii

ejj

ei2

jiejj

e ndnVVV1V

VndVnV

V1

VVmdVmd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δ==⋅

rr

Or VnVVnV jej

e =⇒=⋅rr V

0ndVVV1

VV

Vmd iei2

eie =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=⋅

rr VV e

i


II. REFLEXION ET REFRACTION DES ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES

1 Equation de continuité (solides rigidement liés)2 Conservation de la fréquence et de la projection des vecteurs d'onde sur

l'interface3 Construction graphique : utilisation des surfaces des lenteurs4 Angles critiques - ondes évanescentes5 Coefficients de réflexion et de transmission

x2

x3

x12

1

onde incidente onde(s) réfléchie(s)

onde(s) transmise(s)

θinc

Réflexion et réfraction (1/2)

x2

x3

x12

1

continuité des déplacements en x3 = 0 :

continuité des contraintes en x3 = 0 :

333

423

513

x

TTTTTT

eTT3

===

=⋅=B

rrcontraintes d'exerçant sur un élément de surface à l'interface

réf1θ

inc1θ

réf2θ

tr1θ

tr2θ

tr3θ

réf3θ

∑∑ =+tr

tri

réf

réfi

inci uuu

∑∑ =+tr

tr3i

réf

réf3i

inc3i TTT

Réflexion et réfraction (2/2) Visualisation de la loi de Snell-Descartes :surface des lenteurs

Lieu des extrémités du vecteur lenteur m, tracé à partir d'un point fixe O, lorsque la direction de propagation n varie.→

→

Vnmr

r=Vecteur lenteur :

Milieu isotrope : 2 vitesses pour une direction de propagationmêmes vitesses dans toutes les directions

surfaces des lenteurs = sphères

L

T

θ

LV1

TV1

TVsin θ

LVsin θ

Loi de Snell-Descartes :

2

2

1

1

Vsin

Vsin θ

=θ


Milieux isotropes : angles critiques - ondes évanescentes

θinc θréf

trLθ

trTθ

fluideV1

T

L

fluide

solide isotrope

L

θc1 θréf

trTθ

T

L

L

θc2 θréf

T

L

θinc

trLθ

trTθ

réfLV1

TL

solide isotrope 1

solide isotrope 2

T

LréfTV1

trLV

1trTV1

réfLθ

réfTθ

x1

x3

1er angle critique

2ème angle critique

m→ = kω

→vecteur lenteur :

L1L

L

11 kk

kV1k

m >⇒ω

=>ω

=

Relation de dispersion :

0kkkkkk 21

2L

2L3

2L

2L3

21 <−=⇒=+

k 3L = i k"3L2L

21L3 kk"k −±=

( )txkix"kL

13L3 eeAˆ ω−−=ψ

x 3

x 1k'L→

k"L

→

plan équiphase

plan équiamplitude

k"3L< 0

k"3L> 0critère de rayonnementà l'infini

k 1 > k L

x 3

x 1

k'L→

k"L

→

x 1

x 3

θréfθinc

1/V 1

1/VL

m 1 =k 1

ω

m inc→ m réf→

1

2

Milieu isotrope : ondes évanescentes

θinc θréf

QL2θ

12QTθ

22QTθ

eauV1

QLQT1

QT2

eau

carbone-époxyde

θc2

QLQT1

QT2

θc1

QLQT1

QT2

θc3

QLQT1

QT2

12QTθ

22QTθ

θréf

θréfθréf

22QTθ

1er angle critique

2ème angle critique 3ème angle critique

Milieux anisotropes : angles critiques - ondes évanescentes

0

1

2

3

45

-180

-90

0

90

180

angle d'incidence (degré)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

phas

e (d

egré

)m

odul

e

TV

L

TV

L

0

0.2

0.40.6

0.81

1.2

-180

-90

0

90

180


phas

e (d

egré

)m

odul

e

1er angle critique

2ème angle critique

angle de Rayleigh

eau

alu

L

L

TV

Lρ = 2786 kg/m3

VL = 6650 m/s

VT = 3447 m/s

ρ = 1000 kg/m3

VL = 1480 m/s

AluminiumEau

Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de déplacement


Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ<θcL

ondes transmises

ondes transmises

champ total ayant un caractère stationnaire suivant z mais propagatifsuivant x

isotrope

Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ<θcL

ondes transmises

onde incidenteonde réfléchie

onde transmise longitudinale uniquement onde transmise transversale uniquement

somme des champs L et T

isotrope

Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θcL< θ <θcT

ondes transmisesL évanescenteT propagative


isotrope


ondes transmises


onde transmise longitudinale évanescente uniquement

onde transmise transversale uniquement


isotropeC. Potel, Université du Maine 18


ondes transmises


onde transmise longitudinale évanescente uniquement

onde transmise transversale uniquement


isotrope

Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ >θcT

ondes transmisesL et T évanescentes


ondes transmisesL et T évanescentes

isotrope

Faisceau gaussien incident sur une interface fluide/solide

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne

Fluide 1/2 infini

Solide 1/2 infiniisotrope

R

T

L x

z

2 a

θ

transducteur ultrasonore

Représentation du module de la contrainte

Avant le premier angle critique

1,010 =ρρ x/a

z/a


Onde Longitudinale (L)

Onde Transversale Verticale (TV)

k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ < θc1


Entre les deux angles critiques

x/a

z/a

1,010 =ρρ

Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègnek0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θc1 <θ < θc2

Onde Transversale Verticale (TV)

Onde Longitudinale évanescente

Après les deux angles critiques

x/a

z/a

1,010 =ρρ


Onde Longitudinale évanescente

Onde Transversale verticale évanescente

k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ > θc2

axe A6 // x3

x1

x3

θ

EAU

Interface eau / composite unidirectionnel

QTH

QTV

QL

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

m1 (µs/mm)

m3

(µs/

mm

)

x1

x3

EAU

Coupe par un plan de la surface des lenteurs du carbone/époxyde

m1

m1

mr)1(

mr)2(

mr)3(

mr)4(

mr)5(

mr)6(

x1

x3

eau

solide anisotrope 2

solide anisotrope 1

onde incidenteondes réfléchies

ondes transmises

QL

QLQT1

QLQT1

solide anisotrope

fluide

onde incidente onde réfléchieLL

a)

b)

QT2

QT2

QL

QT1QT2



m1m1

mr)1(

mr)2(

mr)3(

mr)6(

x1

x3

eau

mr)5(mr)4(


III. PROPAGATION DANS UNE SEULE COUCHE

1 Propagation à travers une interface2 Nombre des ondes dans une couche3 Notations - hypothèses4 Obtention des vecteurs lenteur et polarisation5 Vecteur déplacements - contraintes dans une couche6 Problèmes numériques dans le cas d'une couche7 Ecriture des conditions aux limites dans le cas d'une couche plongée dans un

fluide

couche 1x1

x3

O

milieu 0

milieu 2

θω

x2

Réflexion - transmission dans une couche q (1/4)

6 ondes dans chaque couche :

3 dans la direction x3 > 0

3 dans la direction x3 < 0

(1)(2)

(3) (4)(5)

(6)

x1

x3

x1

x3

couche 1

milieu 0

milieu 2

couche 1

milieu 0

milieu 2

θω

x2

O

O

O'

h


QLQT1

QT2

m1x1

x3


1/V11/V2 1/V3




m1

m1

q)1( mr

q)2( mr

q)3( mr

q)4( mr

q)5( mr

q)6( mr

Vecteur lenteur :

ω==

η

η

ηη

q)(

q)(

q)(q)( k

Vnm

rrr


( ) 0Pmmc k)(

ikl)(

j)(

ijkl =δρ− ηηη

Données :

Inconnues :

Résolution :

(1)

(3)

(2)

0m,m 2)(

1 =η

3,2,1kP,m k)(

3)( =ηη

( ) 0mmcdet ikl)(

j)(

ijkl =δρ−ηη

Equation de degré 6 en 3)( mη

6 vecteurs lenteur 6,,1m)( Kr

=ηη

6 vecteurs polarisation P)( rη

Equation de propagation

(choix du plan sagittal)

Vecteur déplacement particulaire

( ) ( )x.ktωi)()()( )(ePat;xu

rrrrr η−ηηη =

( ) ( )33)(

11 xmxmtωi)()(321

)( ePat;x,x,xuη−−ηηη =

rr

( ) ( ) ∑=η

ω−ηη− η

=6

1

xmi)()(xmtωi321

33)(

11 ePaet;x,x,xurr

Onde plane (η) monochromatique

amplitude vecteur polarisation

Déplacement particulaire total

rigidités élastiques

c α β = c i j k l

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 621125133142332

333222111↔=↔=↔=↔↔↔

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

i

j

j

iji x

uxu

21S

T i j = c i j k l S k l

126135234

333222111

S2SS2SS2S

SSSSSS

===

===T α = c α β S β

Loi de Hooke

( )( )lk

ji↔β↔α

Loi de Hooke

avec

et

Loi de Hooke (rappel)

Hypothèse des petites déformations :

Notation matricielle :


Vecteur contrainte

( )3

4

5

33

32

13

x

TTT

TTT

e,MT3

BB==

rrnormale aux interfaces : 3xertangentiel

normal

( )

[

( )] .5,4,3,PmPmc

PmcPmc

PmcPmcea

eiT

3)(

11)(

3)(

5

2)(

162)(

3)(

4

6

13

)(3

)(31

)(11

xmi)(

xmtωi

33)(

11

=α++

+++

+

ω−=

ηηηα

ηα

ηηα

=η

ηηα

ηα

ω−η

−α

∑η

Vecteur déplacements-contraintes( ) hx0,T,T,T,u,u,ux 3

T1323333213 ≤≤=W

T)6()5()4()3()2()1( a,a,a,a,a,a=A

( ) ( ) ( )11 xmtωi33 exAx −Ω= AHW

Vecteur déplacements contraintes

Vecteur amplitudes

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−ω−

ω−=Ω

i000000i000000i000000100000010000001

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ω−

ω−

ω−

ω−

ω−

ω−

33)6(

33)5(

33)4(

33)3(

33)2(

33)1(

xmi

xmi

xmi

xmi

xmi

xmi

3

e000000e000000e000000e000000e000000e

xH

η-ième colonne donnée par :

( )( )

( )

( ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

+++

++

+++

++

+++=

ηηη

ηηηηηη

ηηη

ηηηηηη

ηηη

ηηηηηη

η

η

η

η

q3

)(1

q1

)(q3

)(q55

q2

)(1

q56

q2

)(q3

)(q54

q3

)(q3

)(q53

q1

)(1

q51

q3

)(1

q1

)(q3

)(q45

q2

)(1

q46

q2

)(q3

)(q44

q3

)(q3

)(q43

q1

)(1

q41

q3

)(1

q1

)(q3

)(q35

q2

)(1

q36

q2

)(q3

)(q34

q3

)(q3

)(q33

q1

)(1

q31

q3

)(

q2

)(

q1

)(

q

PmPmc

PmcPmcPmcPmc

PmPmc

PmcPmcPmcPmc

PmPmc

PmcPmcPmcPmc

P

P

P

A

Matrice de propagation d'une couche q

(1)(3)

(2)(4)

(6)(5)

ωθ

x3 = 0

x3 = Hx3

x1

milieu 0

milieu 1

milieu 2

onde (1) inhomogène

onde (4) inhomogène

Solution : référencer l'onde (1) en x3 = 0 et l'onde (4) en x3 = H

H"kH'kiHki 333 eee −− =

facteur de propagation exponentiel :

Problèmes numériques


Déplacements et contraintes dans la couche de la forme :

( ) ( )∑∑=η

−ω−η

=η

−ω−η

ηη

α+α6

4

Hxmi3

1

0xmi 33)(

33)(

ee

En x3 = 0

(1)(3)

(2)(4)

(6)(5)

x3 = 0

x3 = Hx3

x1

44444 344444 214si0

ee6

4

H"mH'mi3

1

3)(

3)(

=η→

α+α ∑∑=η

ω−ω+η

=ηη

ηη

En x3 = H ∑∑=η

η=η

ω+ω−η α+

=η→

αηη 6

4

3

1

H"mH'mi

1si0

ee 3)(

3)(

44444 344444 21

3)(

3)(

3)( "mi'mm ηηη +=avec

Changement de référence

Conditions aux limitesR

Tx3

fluide

fluide

hx1

θ

8 équations

Inconnues

R , T

8 inconnues

(η)a , η=1,...,6

Cas d'une couche anisotrope plongée dans un fluide

(1)(2)(3)

(4) (5)(6)

x3 = 0 : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33

x3 = h : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33

∑=η

ηη

η

=+6

1 A3

)()(réf3

réfinc3

inc3

3

PaPaPa:u

∑=η

ηη=ρ+ρ

6

14

)(ff

réfff

inc33 AaVaVa:T

∑=η

ηη=

6

15

)(32 Aa0:T

∑=η

ηη=

6

16

)(31 Aa0:T

( ) tr3

tr6

13

)(3 PahAa:u =∑

=ηηηη

η H

( ) fftr

6

14

)(33 VahAa:T ρ=∑

=ηηηη

η H

( ) 0hAa:T6

15

)(32 =∑

=ηηηη

η H

( ) 0hAa:T6

16

)(31 =∑

=ηηηη

η H

x3 = 0 x3 = h

trinc Pcos

0sin

Prr

=θ

θ=

B

fréf3

tr3f

inc3

f1

Vcosm

mVcosm

Vsinm

θ−=

=θ=

θ=

θ−

θ=

cos0

sinPréf

B

r


IV. PROPAGATION DANS UN MULTICOUCHE1 Matrice de transfert d'une couche q2 Ecriture des conditions aux limites aux interfaces extrêmes

Milieu multicouche

x1

x 3

milieu 0O

milieu Q+1

x2

q=1

q=Q

ω θ

q=2q=3

Hh q

ζ1ζ2

ζ3

ζq-1ζq

ζQ

ζ0

q

Matrices de transfert

( ) ( ) ( )11q

3qq

3q xmtωiexpxBx −= AHW

q31q x ζ≤≤ζ −

qq AB Ω=

( ) ( )11 xmtωiqq1q

q eB −− =ζ AW

( ) ( )11 xmtωiqqqq

q eB −=ζ AHW

( ) ( ) ( )1qq1qqq

qq BB −

−ζ=ζ WHW

x1

x 3

milieu 0O

milieu Q+1

x2

q=1

q=Q

ω θ

q=2q=3

Hh q

ζ1ζ2

ζ3

ζq-1ζq

ζQ

ζ0

q

x1x1

x 3x 3

milieu 0O

milieu Q+1

x2x2

q=1

q=Q

ω θ

q=2q=3

Hh q

ζ1ζ2

ζ3

ζq-1ζq

ζQ

ζ0

q

Dans une couche q ,

Enavec

1q3x −ζ=

q3x ζ=En

: matrice de tranfert de la couche qτ q

( )qqq hHH =et

Egalité des déplacements et contraintes en q3x ζ=

( ) ( )q1q

qq ζ=ζ +WW

( ) ( )1111 xmtωi1q1q1qxmtωiqqq eBeB −+++− = AHAH

( ) ( ) qqq11qqqq11q1q AABB AHAHA−+−++ ==

( ) ( ) 1112

1Qq

1qqq1QQ BBBB AHHA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

−=

−−

( ) ( )0111QQ

QQ ζ=ζ τττ − WW L

: matrice de tranfert du multicoucheτou (méthode équivalente)

Cas d'un multicouche plongé dans un fluide

Conditions aux limites

4+6(Q-1)+4=6Q+2 équations

Inconnues

R , T

(6 Q + 2) inconnues

(η)aq , η=1,...,6 ; q=1, ...,Q

x3 = 0 : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33

x3 = H : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33

x1

x 3

fluideO

fluide

x2

q=1

q=Q

ω θ

q=2q=3

Hh q

ζ1ζ2

ζ3

ζq-1ζq

ζQ

ζ0

q

R

T x3 = ζq : égalité u, T ; q=1,...,Q-1→ →


N+1

p = P

p = 1

p = 2

x1

x3

ωθonde incidente plane

monochromatiqueR

T

Multicouche périodique

τ

τ P

N+1

p = P

p = 1

p = 2

x1

x3

τ

τ : matrice de transfert d'une période, d'ordre 6

z p

z p-1

( ) ( )1pp zz −= WW τ

Vecteur déplacements - contraintes :

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=p

pp T

uz r

r

W

pur

pTr

Conditions aux limites :– égalité des déplacements– égalité des contraintes

Matrice de transfert d'une période


V. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE LAMB

1 Introduction2 Déplacements et contraintes

a) Déplacementsb) Contraintesc) Mise sous forme matricielle

3 Modes de Lamb4 Courbes de dispersion

a) Domaine des basses fréquencesb) Domaine des hautes fréquencesc) Modes de Lamé

5 Analyse des déplacements6 Modes de Lamb généralisés

a) Réflexion non spéculaireb) Modes de Lamb en milieu anisotrope

7 Montage expérimentala) Génération d'une onde de Lambb) Mesure de la vitesse de groupe

8 Application au CND par immersion

BIBLIOGRAPHIE

énergie acoustique :- se propage le long des couches- est bornée en x3

x3

x 1

2x

3x

sous-espace modal

sous-espace de propagation

O

Ondes mécaniquesondes locales

ondes modales

ondes guidéesondes de surfaceondes d'interface

Ondes modales (1/4)

Vide/ paroi rigide / impédance réactive

Ondes d'Osborne et Hart

a)

b)

Vide/ paroi rigide / impédance réactive

vide

solide a)

vide

b)solide

fluide ou solide

fluide ou solide

fluide ou solide

fluide ou solide

a)

b)

ondes guidées

- onde de Rayleigh a)- onde anti-modale b)

- onde de Scholte, onde deStoneley,onde de Rayleigh-Cezawa, etc... a)- onde anti-modale b)

ondes de surface ondes d'interface

onde de Lamb

Ondes modales (2/4) Ondes modales (3/4) : onde de Rayleigh

vide

solide



Tremblement de terre Sumatra-Andama (2004)

Courtesy http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/308/5725/1133/DC1Charles J. Ammon, Chen Ji, Hong-Kie Thio, David Robinson, Sidao Ni, Vala Hjorleifsdottir, Hiroo Kanamori, Thorne Lay, Shamita Das, Don Helmberger, Gene Ichinose, Jascha Polet, David Wald ; The animation was made with the help of Santiago Lombeyda at the Center for Advanced Computing Research, Caltech

Rayleigh waves traveling around the globe

Ondes modales (4/4) : les ondes de Lamb

ondes de compression (mode symétrique) ondes de flexion (mode antisymétrique)

distribution du champ de déplacement particulaire vectoriel à la surface de la plaque et son effet sur la forme de la plaque

Vide

Vide

solide isotrope

Mode de Lamb

Eau / Aluminium / Eau ; ka=170 ; H=5 mm ; avant le 1er angle critique

plaquedéfaut

transducteurdéplacement

défaut propagation de l'onde perturbée

Utilisation des ondes de Lamb en CND : recherche de défauts


Transducteurémetteur

Transducteurrécepteur

onde incidente

onde réfléchie

onde de Lamb

"Ondes de Lambgénéralisées" Transducteur

émetteur

Transducteurrécepteur

onde incidente

onde réfléchie

onde de Lamb

Cartographies en ondes de Lamb

au facteur exp[-i (kxx - ωt) ] près

2L

2xz kkk

L−=

Déplacements-contraintes en milieu isotrope

LTx

2

T

L

LL

LL kkk;

2kk

;V

k;V

k >>µ+λ

µ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω=

ω=

2T

2xz kkk

T−=

( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

µ−µ−−µ+−µ+

−µ+−µ−µ+µ−

−−

−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

−

+

−

zkiT

zkiT

zkiL

zkiL

TzxTzxL2T

2xL

2T

2x

T2T

2xT

2T

2xLzxLzx

TxTxLzLz

TzTzLxLx

zz

zx

z

x

Tz

Tz

Lz

Lz

TT

LL

LL

TT

eB

eA

eB

eA

kkki2kkki2kkk2ikkk2i

kkk2ikkk2ikkki2kkki2

kkkkkkkk

kkkkkkkk

T

T

u

u

z

x

vide

vide

h

h/2

- h/2

TB

LBLA

TA

z

x

vide

vide

h

h/2

- h/2

A L

A T

B L

B T

système homogène d’ordre 4( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++=+++

0BBAA0BBAA0BBAA0BBAA

TLTL

TLTL

TLTL

TLTL

( )

( ) 02hksin

2hkcoskk2

2hksin

2hkcoskkk4

2hksin

2hkcoskk2

2hksin

2hkcoskkk4

TLLTTL

LTTLTL

zz22

T2xzzzz

2x

zz22

T2xzzzz

2x

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

modes antisymétriques

modes symétriques

déterminant (4 × 4) = 0

Conditions aux limites :

02hTxz =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

02hTzz =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

02hTxz =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

02hTzz =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ondes de Lamb en milieu isotrope

kzL et kzT réels OL et OT propagatives

kzL imaginaire pur et kzT réel OL évanescente et OT propagative

kzL et kzT imaginaires purs OL et OT évanescentes

Courbes de dispersion des ondes de Lambplan (kx.h , f.h) ou (kx.h/(2π) , ωh/(2π) )


M

direction d'observationquelconque

O

direction perpendiculaireaux plans d'onde

plans d'onde

k→V ϕ

→

kωn→ Vitesse de phase "canonique"

ou intrinsèque : évaluée dans la direction perpendiculaire aux plans d'onde

ncnk

V 0canorr

=ω

=ϕ→

0ck

V =ω

≥ϕ→ k

Vn ω=⋅ ϕ

→r

onde guidée :

z

→V ϕ

xc 0 n→

k x

→k

Vitesse de phase appréciée parallèlement au guide

xkV ω

=ϕ

Vitesse de phase (rappel)

kzL et kzT réels OL et OT propagatives

kzL imaginaire pur et kzT réel OL évanescente et OT propagative

kzL et kzT imaginaires purs OL et OT évanescentes

Courbes de dispersion des ondes de Lambplan (f h , Vϕ)

figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999

Vide

Vide

solide isotrope



Déplacements des ondes de Lamb (1/2) Déplacements des ondes de Lamb (2/2)

animations réalisées par Patrick Lanceleur, Université de Technologie de Compiègnehttp://www.utc.fr/~lanceleu/links_CT04.html



mode S0 mode A0


figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)

Modes de Lamb quand k h <<1

figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999

S 0 S 1 S 2

plaque d'aluminium, épaisseur d, VL = 6300 m/s ; VT = 3100 m/s ; u = u1 (trait continu) et w = u3 (trait pointillé)

Déplacements particulaires - modes symétriques


plaque d'aluminium, épaisseur d, VL = 6300 m/s ; VT = 3100 m/s ; u = u1 (trait continu) et w = u3 (trait pointillé)

A 0 A 1 A 2

Déplacements particulaires - modes antisymétriques

figure extraite de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999

Déplacements "in-plane" dominants


figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)

Tzx V2VkkT

=⇒= ϕ

Mode de Lamé

Conditions aux limitesR

Tz

fluide

fluide

h x

θ

isotrope A L

A T

B L

B T

z = 0 : égalité u z , T xz , T zz

z = h : égalité u z , T xz , T zz

6 équations

Inconnues

R , T

6 inconnues

Si : modes de Lamb R = 01s

f <<ρ

ρ

minimum de | R |

C s = 0 : modes de Lamb symétriques ; C a = 0 : modes de Lamb antisymétriques

( )( )τ+τ−

τ−=

iCiCCC

as

2asR ( )( )τ+τ−

+τ=

iCiCCC

ias

asTθ

θ

ρ

ρ=τ

coscos

VV L

L

f

s

favec

A T , A L , B L , B T

Modes de Lamb généralisés

Y

X

plaque en carbone/époxyde unidirectionnelleθ = 9.8°, f = 1.35 MHz ; e = 0.59 mm

Champ réfléchi


zéro associé à un phénomène d’interférence

to leak ≡ fuir

Réflexion non spéculaire


plaques isotropes : formules analytiquesplaques anisotropesmilieux multicouches anisotropes

f1 fixée

3 minima de R

Courbes de dispersion

modèle

Modes de Lamb en milieu anisotrope (1/2)

θ==⇒

θ= ϕ sin

Vm1V

Vsinm eau

xeaux

Modes de Lamb en milieu anisotrope (2/2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5

f.H (MHz.mm)

inci

denc

e (°

)

ω fixé

mode fixé

Vitesse V ϕ

Carbone/Epoxyde

f


Montage expérimental


Plaque d'aluminium

Mode S0, fh=1.434 MHz.mm

x = 76.2 mmτ = 15.875 µs ==> Vg = 4800 m/sτ

Mesure de la vitesse de groupe


défaut propagation de l'onde perturbée

Montage en transmission ou en réflexion

plaques en carbone/époxyde : défaut entre le 3ème et le 4ème pli

0°/45°/90°/135°0° en carbone/époxyde, comportant 8 plis en symétrie miroir. Incidence de 10,3°, fréquence de 2 MHz.bleu : plaque sainerouge : plaque avec défaut

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10-3

10e-6 s

V

(1)

(2)

(3) (4)(1)8 plis

3 plis

5 plis

8 plis

Détection de défaut par ondes de Lamb (1/6)

0102030405060708090

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)

Inci

denc

e (°

)

3 plis 0°/45°/90°

0102030405060708090

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)

Inci

denc

e (°

)

5 plis 135°/135°/90°/45°/0°

Si mode (2) ou mode (3) différents du mode (1)alors mode (4) ≠ mode (1) défaut détecté

Si mode (2) ou mode (3) proches du mode (1)alors mode (4) ≈ mode (1) défaut non détecté

Conversion du mode (1) en (2) et (3) puis (4)

Défaut entre le 3ème et le 4ème pli

(1)

(2)

(3) (4)(1)8 plis

3 plis

5 plis

8 plis

0102030405060708090

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)

Inci

denc

e (°

)

8 plis [0°/45°/90°/135°]2s


défaut

Montage en échographie

Transducteur récepteurTransducteur

émetteurdéfaut

θ

1 :écho de surface2 : rayonnement de l’onde de Lamb3 : écho du défaut4 : écho du bord de la plaque

Détection de défaut par ondes de Lamb (3/6) : cartographie en ondes de Lamb

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

temps (µs)

ampl

itude

s (m

V)

1

2

3 4

0°/90° miroir comportant 8 plisf=1 MHz, θ=10°C. Potel, Université du Maine 35

bleu : plaque sans défaut

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

temps (µs)

ampl

itude

s (m

V)

rouge : plaque avec défaut

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

temps (µs)

ampl

itude

s (m

V)


Carbone-Epoxyde [0°/90°]2s, θ = 10°, f = 1 MHz5 couches 0°/90° miroir SCS-6 matrice Ti - 6 Al - 4 V

T. Kundu et al., Ultrasonics,1996 et 1997

couche 1 : 0°pas de défautcouche 2 : 90°décollementcouche 3 : 0°fibres casséescouche 4 : 90°fibres manquantescouche 1 : 0°pas de défaut0.

394

mm

1.97

mm

L-Scan

fibres manquantes de la 4ème couche

fibres cassées de la 3ème couche

θ = 20° ; f = 5.05 MHz θ = 21° ; f = 5.15 MHz


décollement dans la 2ème couche

Détection de défaut (5/6) : cartographie en ondes de Lamb


fibres cassées de la 3ème couche

θ = 20° ; f = 5.05 MHz θ = 21° ; f = 5.15 MHz


décollement dans la 2ème couche

répartition de la contrainte normale en fonction de l'épaisseur

42 31 542 31 5

Détection de défaut (6/6) : cartographie en ondes de Lamb


VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH

1 Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotropea) Rappelsb) Existence de l'onde de surfacec) Vecteur déplacements-contraintesd) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique

3 Onde de Rayleigh "généralisée"4 Généralisation aux milieux stratifiés

Condition d'existence d'une onde de surfacePeut-il exister des ondes se propageant le long d'une interface, sans apport permanent d'énergie (onde modale) ?

z

Fluide 1/Fluide 2

F1

F2Non : B1 et A2 éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie

B1

A2

Fluide 2/Miroir

Non : l'énergie part sans apport d'énergie

Oui : 1/2 onde plane qui se propage parallèlement à l'interface

Vide/Fluide

F

Vide Tzz = -p = 0

Non : p=0 imposé en z=0, donc également partout dans le fluide ==> pas d'acoustique

Vide/Solide

F1B1

S

Vide

S

Vide

AT ALAT

F1 B1

Oui : ondes évanescentes==> énergie véhiculée le long de l'interface.

Non : AL et AT éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie

ALz

Onde de Rayleigh

vide

solide


z

x

vide

0

au facteur exp[-i (kxx - ωt) ] près

LL z2x

2Lz "kikkk −=−=

Déplacements-contraintes en milieu isotrope

LTx

2

T

L

LL

LL kkk;

2kk

;V

k;V

k >>µ+λ

µ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω=

ω=

0kk"k 2L

2xz L

>−=avec

TT z2x

2Tz "kikkk −=−= 0kk"k 2

T2xz T

>−=avec

( )( )

( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

µ−−µ

−µ−µ−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

µ−−µ

−µ−µ−

−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

z"kT

z"kL

TzxL2T

2x

T2T

2xLzx

TxLz

TzLx

zkiT

zkiL

TzxL2T

2x

T2T

2xLzx

TxLz

TzLx

zz

zx

z

x

Tz

Lz

T

L

L

T

Tz

Lz

T

L

L

T

eA

eA

k"kk2kkk2i

kkk2ik"kk2

kkk"ki

k"kikk

eA

eA

kkki2kkk2i

kkk2ikkki2

kkkk

kkkk

T

T

u

u

TALA


Déplacements en milieu isotrope (1/2) : OLVecteur déplacement, ondes longitudinales

( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzLzxLxLL

xLzL

eeek"kiekkAu ω+−−−=

rrr

( )LL iexpA α

( ) ( ) ( )Lxz"k

LxLxx txkcosekkAueu LzLL

α+ω+−==−

R

( ) ( ) ( )Lxz"k

LzLzz txksinek"kAueu LzLLL

α+ω+−==−

R

( ) ( ) 1ek"kA

u

ekkA

u2

z"kLzL

z

2

z"kLxL

x

LzL

L

Lz

L =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

2z

2z

2L

2x LL

"k"kkk >+=Lx txk α+ω+−=θ

θ=0 0u;0uLL zx =>

θ=π/2 0u;0uLL zx >= ( )0"k

Lz >θ=0

θ=π/2

θ=π

θ=-π/2

( ) ( )[ ] ( )LxLzL

txkiz"kzLzxLxLL eeek"kiekkAu α+ω+−−

−=rrr

Déplacements en milieu isotrope (2/2) : OTVecteur déplacement, ondes transversales

( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzTxxTzTT

xTzT

eeekkek"kiAu ω+−−+=

rrr

( )TT iexpA α

( ) ( ) ( )Txz"k

TzTxx txksinek"kAueu TzTTT

α+ω+−−==−

R

( ) ( ) ( )Txz"k

TxTzz txkcosekkAueu TzTT

α+ω+−==−

R

( ) ( )1

ekkA

u

ek"kA

u2

z"kTxT

z

2

z"kTzT

x

Tz

T

TzT

T =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

2z

2z

2T

2x TT

"k"kkk >+= Tx txk α+ω+−=θ

θ=0 0u;0uTT zx >=

θ=π/2 0u;0uTL zx =< ( )0"k

Tz >

θ=0

θ=π/2

θ=π

θ=-π/2

( ) ( )[ ] ( )TxTzT

txkiz"kzTxxTzTT eeekkek"kiAu α+ω+−−

+=rrr

Contraintes en milieu isotrope (1/2) : OLVecteur contraintes, ondes longitudinales

( )[ ] ( )txkiz"kyL

2T

2xxLzxLL

xLzL

eeekkk2iek"kk2AT ω+−−−µ+µ−=

rrr

( )LL iexpA α

( ) ( ) ( )Lxz"k

LzxLxx txkcosek"kk2ATeT LzLLL

α+ω+−µ−==−

R

( ) ( )[ ] ( )Lxz"k

L2T

2xLzz txksinekkk2ATeT Lz

LLα+ω+−−µ−==

−R

( ) ( ) 1ekkk2A

T

ek"kk2A

T2

z"kL

2T

2xL

z

2

z"kLzxL

x

Lz

L

LzL

L =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−µ+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

µ−−

2z

2z

2L

2x LL

"k"kkk >+=Lx txk α+ω+−=θ

θ=0 0T;0TLL zx =<

θ=π/2 0T;0TLL zx <= ( )0"k

Lz >θ=0

θ=π/2

θ=π

θ=-π/2

( )[ ] ( )LxLzL

txkiz"kzL

2T

2xxLzxLL eeekkk2iek"kk2AT α+ω+−−

−µ+µ−=rrr

Contraintes en milieu isotrope (2/2) : OTVecteur contraintes, ondes transversales

( )( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzTzxxT

2T

2xTT

xTzT

eeek"kk2ekkk2iAT ω+−−µ−−µ−=

rrr

( )TT iexpA α

( ) ( )[ ] ( )Txz"k

T2T

2xTxx txksinekkk2ATeT Tz

TTα+ω+−−µ==

−R

( ) ( ) ( )Txz"k

TzxTzz txkcosek"kk2ATeT TzTTT

α+ω+−µ−==−

R

( )( ) ( ) 1ek"kk2A

T

ekkk2A

T2

z"kTzxT

z

2

z"kT

2T

2xT

x

TzT

T

Tz

T =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

µ+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−µ−−

2z

2z

2T

2x TT

"k"kkk >+= Tx txk α+ω+−=θ

θ=0 0T;0TTT zx <=

θ=π/2 0T;0TTL zx => ( )0"k

Tz >

( )( ) ( )[ ] ( )TxTzT

txkiz"kzTzxxT

2T

2xTT eeek"kk2ekkk2iAT α+ω+−−

µ−−µ−=rrr

θ=0

θ=π/2

θ=π

θ=-π/2


Conditions aux frontières : raisonnement géométriqueEllipses décrites par les particules

z

x

0OL OT

Pour répondre aux conditions aux frontières, il suffit d'ajuster AL et AT

- en module pour que ces ellipses deviennent égales

- en phase pour que les deux vecteurs contraintes soient opposés (et le demeurent au cours du temps).

Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes de même orientation.

z

x

0

Conditions aux frontières

Vide TTr

LTrSolide

0TTT TLrrrr

=+= sur la surface

Il faut même ellipiticité : EL = ET

Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (1/2)

( ) ( ) ( )Lxz"k

LzxLxx txkcosek"kk2ATeT LzLLL

α+ω+−µ−==−

R

( ) ( )[ ] ( )Lxz"k

L2T

2xLzz txksinekkk2ATeT Lz

LLα+ω+−−µ−==

−R

( ) ( )[ ] ( )2txkcosekkk2ATeT Txz"k

T2T

2xTxx

TzTT

π−α+ω+−−µ==−

R

( ) ( ) ( )2txksinek"kk2ATeT Txz"k

TzxTzzTz

TTTπ−α+ω+−µ==

−R

Ellipticité longitudinale : EL = bL/aL

aL

bL

Ellipticité transversale : ET = bT/aT

aT

bT

Lzx

2T

2x

L

LL "kk2

kk2

ab

E−

==

2T

2x

zx

T

TT

kk2

"kk2

ab

E T

−==

Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (2/2)Egalité des ellipticités

22L

22T

2T

L

zx

2T

2x

L

LL

VV

VV2

V2

V"kk2

kk2

ab

EL ϕ

ϕ

−

−=

−==

22T

22TT

2T

2x

zx

T

TT

VV2

VVV2

kk2

"kk2

ab

E T

ϕ

ϕ

−

−=

−==

0kk"k 2L

2xz L

>−=

0kk"k 2T

2xz T

>−=avec

LL Vk ω=TT Vk ω=

ϕω= Vk x

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

EL

ET

VRVϕ

VL = 5000 m/s ; VT = 3000 m/s

La vitesse de l'onde de Rayleigh VR, est, comme attendu, indépendante de la fréquence, puisqu'aucune longueur de référence n'est présente dans le problème

système homogène d’ordre 2

( )( ) 0

k"kk2kkk2i

kkk2ik"kk2

TzxL2T

2x

T2T

2xLzx

T

L =µ−−µ

−µ−µ−

déterminant (2 × 2) = 0

( ) t,0z,x,0t;0z,xT zx ∀=∀==

Conditions aux frontières : méthode analytique (1/2)

z

x

vide

0

TALA( ) t,0z,x,0t;0z,xT zz ∀=∀==

( ) 0"k"kk4kk2TL zz

2x

22T

2x =−−

ou encore⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ϕϕϕ

2

L

2

T

42

T VV

1VV

116VV

2

ω=ϕ xkVavec Equation de Rayleigh

La solution Vϕ = VR (ou kx) de cette équation permet d'obtenir la vitesse de l'onde de RayleighC. Potel, Université du Maine 39

Conditions aux frontières : méthode analytique (2/2)

Coefficient de Poisson :

Formule approchée

( )2T

2L

2T

2L

2111

21

VV2

V2V

ccc

−

−=

+=ν

si 0 < ν < 0.5 : ν+ν+

≈1

13.187.0VV TR

211422604700Cuivre

290031006380Aluminium

282730406040Nickel

288331005970Acier

VR (m/s)VT (m/s)VL (m/s)

Retour sur les déplacements : raisonnement géométriqueEllipses décrites par les particules

z

x0OL OT

Ces deux ellipses ne pourront jamais être identiques pour que les deux vecteurs et soient opposés (et le demeurent au cours du temps).

Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes d'orientations différentes.

Solide élastique

Solide rigide

sur la surface0uuu TLrrrr

=+=

pas d'onde de surface possible

Lur Tur

Condition aux frontières :

Onde de Rayleigh "généralisée"Faisceau borné

z

x

Fluide

TALA

θ=θR

interférences destructives

onde de traîne("leaky wave")

F

SSolide

1,010 =ρρ

Ondes planes

00.20.40.60.811.2

-180

-90

0

90

180


phas

e (d

egré

)m

odul

e |R

|

1er angle critique2ème angle critique

angle de Rayleigh

interférences destructives

k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh


1,010 =ρρ

réflexion spéculaire

réflexion non spéculaire

réflexion nulle


k0a = 80, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh


02,010 =ρρ

Onde de Rayleigh : généralisation (1/3)Milieux anisotropes

La vitesse des ondes de Rayleigh ne dépend toujours pas de la fréquence, mais dépend de l'orientation du matériau

c.à.d. pas de dispersion fréquentielle, mais dispersion angulaire

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

Ox

Oy

x

z

yvide

carbone/époxydeaxe A6 // Ox

Courbe des lenteurs de Rayleigh (µs/mm)

µs/mm

µs/m

m

Onde de Rayleigh : généralisation (2/3)Milieux multicouches anisotropes

La vitesse des ondes de Rayleigh dépend de la fréquence (présence d'une échelle de longueur) et de l'orientation du matériau

c.à.d. dispersion fréquentielle ET angulaire

Courbe des lenteurs de Rayleigh (µs/mm)

y

x

f = 2.5 MHz

0°/45°/90°/135°

vide

milieu stratifié

x

z

y

Onde de Rayleigh : généralisation (3/3)

Ondes de Floquetmodes de propagation du milieu multicouche périodique infinisolutions indépendantes liées aux valeurs propres et vecteurs propresde la matrice τ de transfert d'une période

Onde de Rayleigh multicoucheOnde modale de surfaceCombinaison linéaire de 3 ondes de Floquet inhomogènes (en milieu multicouche anisotrope)Onde dispersive

p = 1

p = 2

x1

x3

vide

p = 1

p = 2

x1

x3

(1)

(2)(3)

vide


VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS1 Introduction

a) Les transducteursb) Les différents types d'échographie

3 Les transducteurs "conformables"4 Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage

BIBLIOGRAPHIE

Plus le défaut est petit,plus la fréquence doit être grandedéfaut

λ = Vf

CND par ultrasons

CONTRÔLE NON DESTRUCTIF

EVALUATION NON DESTRUCTIVE

Présence ou non de défauts

Compréhension des phénomènes de propagation

Détermination des propriétés élastiques (ou viscoélastiques)

Transducteurs Transducters à immersion focalisés

Différents types de transducteurs

Transducteurs d'angle

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0MHz

http://www.ndt-ed.org


LT

L

matériauabsorbant

élémentsensible

coin

faisceau ultrasonore

Transducteur ultrasonore d'angle

λ=

4D 2

0l

champ proche champ lointain

z

γp(y,z)

yp(0,z)

z1

≈

D22,1sin λ

=γ

dernier maximum

lobe principallobes secondaire

p(y,l0)A0

φ

2A 0

ζ

0z l=

y

z0l y

à z fixé

Champ ultrasonore généré par un transducteur ultrasonore plan

Transducteur

boîtier

lame de protection

élément actif : lame piézoélectrique

masse arrière(backing)

connexion

Transforme un signal électrique en unevibration mécanique et inversement

∆ t = 2 e

V

Echographie ultrasonore

écho de face avantou d'interface

inversionde phase

∆ t

t

écho de fond

t

écho de défaut

edéfaut

transducteurZ2 > Z1

Principes du CND par ultrasons

Echographie B (B-Scan) : correspond à une coupe du matériau

trajet dutransducteur

a

b

balayage

tem

ps

t ≡ b

a

Echographie A (A-Scan)

t

e

Echographie A - Echographie B


Echographie C : correspond à une représentation d’une tranche de matériau

trajet dutransducteur

a c

h

c

fenêtre temporelle

≡ épaisseur h

couleur a

Echographie C (C-Scan) Echographie C sur pièce de monnaie

IMPACT

0.7mm3 mm0.6 mm

0.7mm3 mm

MAT ROVING

MAT

Z

XY

ROVINGMAT

13

11

200 mm

50 m

m

1

3

5

7

9

11

Impact sur une poutre pultrudée

Echographie C sur poutre impactée Modèle hybrideDéfauts de différents types pris en compte – Exemple (Bscan simulé)

balayage

tem

ps

Écho d’entrée

Écho de fond

DélaminageDélaminage, double réflexion

Trou

Interface glissante

Inclusion

Comparaison simulation / expérience

DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle

CEA courtesy


Traducteur multi-éléments flexible au contact(T.C.I., CEA)

Champ calculé

T.C.I. Profil mesuré

60.0-60.0 0.0 40.0Balayage (mm)

Tem

psA

mpl

itude

SimulationSimulation

--13 dB13 dB

60.0-60.0 0.0 40.0

--10 dB10 dBTe

mps

Am

plitu

de

Balayage (mm)

ExpExpéériencerience

Echographie B avec transducteur multi-éléments

DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle

CEA courtesy

Multiples réflexions dans une pièce Multiples réflexions dans la colonne d'eau

Conséquences d'un mauvais réglage de la colonne d'eau

intercalage d'un écho de fond entre les échos d'interface, qui pourrait être confondu avec un écho de défaut.

Précautions de réglage (1/2)

décroissanceexponentielle

impulsion

τ1 ∆ t ∆ t ∆ t

he

t

τ1

t

τ1 τ1 τ1

h


impulsion

impulsion

t

écho de fond

échos d'interface

Réglage de la fréquence de récurrence

Précautions de réglage (2/2)

he

τ1

t

τ1 τ1 τ1


impulsion

τr

t

τr

Conséquences d'un mauvais réglage de la fréquence de récurrence

intercalage d'échos d'interface ou de fond de la seconde récurrence entre les échos d'interface de la première récurrence, qui pourraient être confondus avec un écho de défaut.

Exemple de signal d'excitation

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0MHz

ser5.dav

θinc

plaque

e

eau

eau

0°/45°/90°/135°carbon-epoxy plate


-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

θinc = 0°signal réfléchi

signal transmis

signal réfléchi

signal transmis

∆ t

∆ t

e = 10 mm ; λL = 2.8 mm ; λT = 1.4 mmVL = 6340.4 m/sVT = 3138.9 m/s

1er angle critique = 13.5°2ème angle critique = 28°

θinc = 0°

θinc = 10°

θinc = 10°

Plaque d’aluminium plongée dans l'eau(simulation en ondes planes)

∆ t

2 eVL =

échantillon

e

Transducteur ultrasonoreeau

eau

eau

Signal de référence

Signal transmis

τ

Vitesse de propagation d'une onde dans le matériau, pour une direction donnée

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−

ττ+

=

cos2e

Ve

V1

VV

eaueau

eau

Mesures de vitesses (1/2)

Constantes élastiques réelles

θinc

Mesures de vitesses (2/2)θinc

θtr

A

B'

B

plan d'onde

e

fluide

fluide

θinc

trABcosV

eV

ABtθ

==

Trajet dans la pièce

Trajet dans le fluide

( ) ( )tr

0

inctr

0

inctr

0'AB

cosVcose

VcosAB

V'ABt

θ

θ−θ=

θ−θ==

VV

sinsinn 0

tr

inc=

θθ

=avec

( ) [ ]nsinsincoscoscosV

eV

Vcos

cosVe

tt

inctrinctrtr

0inctrtr

AB'AB

−θθ+θθθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−θ−θ

θ=

−=τ

nV

V 0=

etinctr sin

n1sin θ=θ

inc22tr sinnn1cos θ−=θ

inc222

inc0 sinncoseV

θ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−

τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−

ττ+== inc00

00 cos2

eV

eV

1Vn

VV

Longueur d'onde >> etotaledifficile de séparerles différents échos

Déformation des échosdifficile évaluation des temps

Influence de l'anisotropie

Problème inverse

MAIS...

surface des lenteurs A6//x1

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

µs/mm

µs/m

mtemps de vol

vitesse

inverse de la vitesse (lenteur)

constantes élastiques


0°/90° 0°/45°/90°/135°

Matériaux composites (1/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde

0°/45°/90°/135°P=5 ; θ = 10°

x1

N+1

p = P

p = 1

p = 2

x3

ωθ R

T

caractéristiques de toutes les ondes

coefficient(s) de réflexion Rcoefficient(s) de transmission T

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

fréquence (MHz)

|R|

Matériaux composites (2/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde

-0.08

-0.04

0.00

0.04

0.08

0.12

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

-0 .10

-0 .05

0 .00

0 .05

0 .10

0 .15

0 .0 5 .0 10 .0 15 .0 20 .0 25 .0 30 .0

µs

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

µs



signal transmisθinc = 0°

signal transmisθinc = 10°

0°/45°/90°/135° ; 5 périodes (20 plis) ; carbone/époxyde

Plaque composite plongée dans l'eau(simulation en ondes planes)


propagation et contrôle non destructif dans les solides...

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