Prolongement des courants PSH

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<ul><li><p>C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Srie I, p. 615620, 2001Analyse complexe/Complex Analysis</p><p>Prolongement des courants PSHKhalifa DABBEK, Fredj ELKHADHRADpartement de mathmatiques, facult des sciences de Monastir, 5019 Monastir, TunisieCourriel : fredj.elkhadhra@fsm.rnu.tn(Reu le 12 janvier 2001, accept le 24 janvier 2001)</p><p>Rsum. Soit un ouvert de Cn. Soient A un ferm de et T un courant positif de bidimension(p, p) et localement normal sur A tels que le courant ddcT se prolonge en un courantde masse localement finie sur et la mesure de Hausdorff H2(p1)(SuppT A) = 0.Alors T se prolonge en un courant de masse localement finie sur . Supposons que A estun ferm pluripolaire complet dans , T un courant ngatif psh de bidimension (p, p) surA et siH2p(SuppT A) = 0, alors le courant T se prolonge en un courant ngatif pshsur . Comme application, on peut dfinir le produit de deux courants dintgration sur desensembles analytiques lorsquils ont la bonne intersection. De plus, nous gnralisons desrsultats de AlessandriniBassanelli, Ben MessaoudEl Mir et de Siu. 2001 Acadmiedes sciences/ditions scientifiques et mdicales Elsevier SAS</p><p>On the extension of PSH currentsAbstract. Let be an open set of Cn. Let A be a closed subset of and T a positive, locally normal</p><p>current of bidimension (p, p) on A such that ddcT extends to a current with locallyfinite mass on and the Hausdorff measure H2(p1)(SuppT A) = 0. Then, T extendsto a current with locally finite mass on . If A is a closed complete pluripolar subset and Tis a negative psh current on A of bidimension (p, p) such thatH2p(SuppT A) = 0,then T extends to a negative psh current on . If we apply the later result we can definethe product of currents of integration over analytic subsets having the desired intersection.Furthermore, we give a generalization of some theorems due to Siu and Ben MessaoudElMir and AlessandriniBassanelli. 2001 Acadmie des sciences/ditions scientifiques etmdicales Elsevier SAS</p><p>Abridged English version</p><p>For a current T defined on A, we say that T exists on if the mass of T is locally finite on . Inthis case T is trivial extension of T by zero across A. we say that a current T is psh if ddcT is positive.</p><p>THEOREM 1. Let A be a closed subset of an open subset of Cn and T a positive locally normalcurrent of bidimension (p, p) on A such that ddcT exists on andH2(p1)(SuppT A) = 0. Then Texists on .</p><p>Note prsente par Jean-Pierre DEMAILLY.</p><p>S0764-4442(01)01874-2/FLA 2001 Acadmie des sciences/ditions scientifiques et mdicales Elsevier SAS. Tous droits rservs 615</p></li><li><p>K. Dabbek, F. Elkhadhra</p><p>Theorem 1 is inspired from a result of [8], where the current dT exists on instead of ddcT . Next, westate our main theorem on the extension of a negative psh current across a complete pluripolar subset.</p><p>MAIN THEOREM. Let A be a closed complete pluripolar subset of an open subset of Cn and T anegative psh current of bidimension (p, p) on A such thatH2p(SuppT A) = 0. Then T exists and isnegative psh on . Furthermore, there exists a closed negative current S supported in A such that dT = dTand ddcT = ddcT + S.</p><p>If T is a positive d-closed current, we obtain a result of [6]. Notice that Sibony [11], improving resultsof [5], proved the equalities dT = dT and ddcT = ddcT + S when T , dT and ddcT have measurecoefficients. Without requiring anything on dT , Alessandrini and Bassanelli [1] proved the main theoremin the case where A is an analytic subset. El Mir pointed out, that the hypothesis on dT is superfluous, inparticular his proof given in [5] can be applied to a larger class of currents. It gives the following interestingresult:</p><p>THEOREM 2. Let A be a closed complete pluripolar subset of an open subset of Cn and T a positivecurrent of bidimension (p, p) on A. Suppose that T and ddcT exist (or T exists and ddcT 0 onA), then there exists a positive current S supported in A such that dT = dT and ddcT =ddcT + S.</p><p>Remark 1. Let A be the characteristic function of A, the current AT is positive and ddc(AT ) hasmeasure coefficients. In particular, we obtain the following result of Bassanelli (the main theorem of [2]).</p><p>COROLLARY 3. Let T be a positive psh current of bidimension (p, p) on , then for every analyticsubset Y of of pure dimension p: Y T = f [Y ] for a suitable plurisubharmonic function on Y .</p><p>COROLLARY 4. Let A be a closed complete pluripolar subset of an open subset of Cn and T apositive psh current of bidimension (p, p) on A. If H2(p1)(SuppT A) = 0, then T exists on .Moreover, dT = dT and ddcT = ddcT .</p><p>In Corollary 4, the Hausdorff measure condition is sharp. The method used in the proof of the maintheorem can actually give the following generalization of Sius theorem [12]:</p><p>THEOREM 5. Let A be an irreducible analytic subset of dimension p in an open subset of Cn.Let T be a negative psh current of bidimension (p, p) on A such that T has a locally finite mass in aneighborhood of some z0 A. Then T exists and is psh.</p><p>By using a slicing argument for C-flat currents, we obtain for negative and psh currents the followingresult.</p><p>PROPOSITION 6. Let A be a closed subset of an open subset of Cn and T a negative psh current ofbidimension (p, p) on A such that H2(p1)(SuppT A) is locally finite. Then T exists on .</p><p>The case where T is positive and d-closed such that H2p1(SuppT A) = 0 is due to Harvey [7].COROLLARY 7. Let A be a closed subset of an open subset of Cn and T a positive psh current of</p><p>bidimension (p, p) on A. If H2p3(SuppT A) = 0, then T exists on .Finally, we obtain the following theorem on the continuation of positive current across the zero set of a</p><p>non-negative psh function:</p><p>THEOREM 8. Let u be a positive psh function of class C1 on an open set of Cn. Let A = {z ;u(z) = 0}. Suppose that in a neighborhood of every point of A there exists a number &gt; 0 and a (n k)-tuple (j) of indices such that ddcu</p><p>nk=1 i(dzj dzj)/u.</p><p>616</p></li><li><p>Prolongement des courants PSH</p><p>Let T be a positive current of bidimension (p, p), p 1, on A such that dT exists on , then T existson . Moreover, if &gt; 2/3, p &gt; k + 1 and ddcT exists on . Then T is the unique normal current thatextends T and we have dT = dT , ddcT = ddcT + S, where S is a positive current supported in A.</p><p>The case of a closed positive current is due to El Mir [5] and in [9], Rapp generalizes the result of El Mirin the case when u is only psh and p &gt; k+ +12 .</p><p>Soient un ouvert de Cn et Dp,q() lespace des formes diffrentielles C de bidegrs (p, q) et support compact dans . Un courant de bidimension (p, p) sur est dit positif si pour toutes 1, . . . , pdans lespace D1,0(), la mesure T i1 1 ip p est positive sur . Soit = ddcz2 laforme de Khler sur Cn, il existe une constante c &gt; 0 qui ne dpend que de n et p telle que, pour chaqueouvert 1 , la masse de T , T 1 := sup</p><p>{|T ()|; Dp,p(1), 1}, porte par 1, vrifieT p(1) T 1 cT p(1). Un courant T est dit localement normal si T et dT sont de masseslocalement finies. Un courant T est dit plurisousharmonique (psh) si ddcT est positif. Pour plus de dtailsconcernant les notions relatives au tranchage, voir [3]. Soit A un ferm de , lorsque T est dfini sur Aon dit que T existe si T est de masse localement finie au voisinage des points de A. Le courant T est alorslextension triviale de T par zro au dessus de A.</p><p>THORME 1. Soient A un ferm dun ouvert de Cn et T un courant positif de bidimension (p, p)localement normal sur A. Si ddcT existe et si H2(p1)(SuppT A) = 0, alors T existe.</p><p>Ce thorme est inspir dun travail de Poly et Raby [8] qui supposent que dT existe au lieu de ddcT .Remarque 1. Considrons la fonction u(z) = an si 1(n+1)2 &lt; |z| &lt; 1n2 , u(z) = 0 pour |z| &gt; 1 et</p><p>A=</p><p>n</p><p>{|z|= 1n2} {0}. Alorsu= 0 sur CA et</p><p>CA</p><p>u(z)idz dz =n1</p><p>an</p><p>(1</p><p>n4 1</p><p>(n+1)4</p><p>).</p><p>Suivant le choix de la suite (an), la dernire srie peut diverger mais H1(A) est localement fini. Cecimontre que le rsultat du thorme 1 nest pas valable pour le cas dun obstacle A vrifiant seulement queH2p1(A) est localement fini.</p><p>Le thorme principal de cette Note est le suivant :</p><p>THORME PRINCIPAL. Soient un ouvert de Cn, A un ferm pluripolaire complet dans et T uncourant ngatif psh de bidimension (p, p) sur A. SiH2p(SuppT A) = 0, alors T existe et est ngatifpsh sur . De plus, on a</p><p>dT = dT et ddcT = ddcT + S,</p><p>o S est un courant ngatif ferm port par A.Ce thorme gnralise un rsultat de [6] o les auteurs considrent le cas dun courant positif ferm. Il</p><p>est noter que Sibony [11], en amliorant des noncs de [5], a montr que dT = dT et ddcT =ddcT +Slorsque T , dT et ddcT sont dordre nul. Sans hypothse sur dT , Alessandrini et Bassanelli [1] on obtenu lethorme principal lorsque A est analytique. El Mir a remarqu que lhypothse sur dT est superflue. Lespreuves donnes dans [5] sappliquent une classe plus large de courants et fournissent le :</p><p>THORME 2. Soient un ouvert de Cn, A un ferm pluripolaire complet dans et T un courantpositif de bidimension (p, p) sur A. On suppose que T existe et ddcT existe (o T existe et ddc-ngatif</p><p>617</p></li><li><p>K. Dabbek, F. Elkhadhra</p><p>sur A). Alors il existe un courant positif S port par A tel quedT = dT et ddcT = ddcT + S.</p><p>Il en rsulte que si A est la fonction caractristique de A, le courant AT est positif et ddc(AT ) estdordre zro. En particulier, on retrouve le rsultat suivant de Bassanelli (thorme principal de [2]).</p><p>COROLLAIRE 3. Soit T un courant positif psh de bidimension (p, p) sur . Alors, pour tout ensembleanalytique Y de dimension pure p, il existe une fonction f plurisousharmonique sur Y , telle que Y T =f [Y ].</p><p>COROLLAIRE 4. SoientA un ferm pluripolaire complet dun ouvert de Cn et T un courant positif,psh et de bidimension (p, p) sur A. SiH2(p1)(SuppT A) = 0, alors T existe. De plus, on a dT = dTet ddcT = ddcT .</p><p>Remarque 2. Dans lnonc du corollaire 4, on ne peut pas amliorer la condition sur la dimension deHausdorff de lobstacle. En effet, soit la fonction T = 1/|z1|2. Il est facile de voir que T est un courantpositif dont le ddc est positif, de bidimension (n,n) et localement normal sur Cn {z1 = 0} et que T nese prolonge pas en un courant dordre 0 sur Cn.</p><p>PROPOSITION 5. Soient A un sous-ensemble ferm pluripolaire complet dans un ouvert Cn et Tun courant positif ddc-ngatif dans A de bidimension (p, p). Soit v une fonction psh, de classe C2,v 1 dans telle que = {z ; v(z) &lt; 0} soit relativement compact dans . Soit K uncompact, posons cK = supzK v(z). Alors, pour tout entier 1 s p et toute fonction psh u de classe C2dans vrifiant 1 u &lt; 0, on a :</p><p>KA</p><p>T (ddcu)p csKA</p><p>T (ddcv)s (ddcu)ps.Cette proposition gnralise un rsultat de [3] o les auteurs considrent les cas o A est lensemble vide</p><p>ainsi que le cas o T est positif ferm. Comme consquence, on montre :</p><p>PROPOSITION 6. Soient A un sous-ensemble ferm pluripolaire complet du polydisque unit n =k nk et T un courant ngatif psh dans n A de bidimension (p, p), k p &lt; n, tels que :(a) il existe 0 r &lt; 1 pour lequel T est de masse finie au voisinage des points de {(z, z) n :</p><p>|z|&gt; r} ;(b) il existe un ouvert O k tel que T (ddc|z|2)k soit de masse localement finie au voisinage des</p><p>points de Onk . Alors T existe et est psh.Dmonstration du thorme principal. Le problme est local, nous montrons que T est de masse</p><p>localement finie au voisinage de tout point z0 de SuppT A. Sans perte de gnralit, on peut supposerque z0 est lorigine. Puisque H2p(SuppT A) = 0, il existe un systme de coordonnes et un polydisquepnp Cp Cnp tels que : (SuppT A) (p np) =, et par suite : (SuppT A)(p np)p est propre. Comme (SuppT A) est un ensemble ferm de mesure de Lebesguenulle dans p, il existe un ouvert O p (SuppT A). Donc T est de masse localement finie surOnp et daprs la proposition prcdente T sera de masse localement finie sur , et par suite T existe.Pour achever la dmonstration du thorme principal, il suffit dappliquer le thorme 2. </p><p>Le thorme suivant gnralise un rsultat de Siu [12] o lauteur considre le cas dun courant positifferm, de plus ce thorme prcise le passage du local au global :</p><p>THORME 7. Soit A un ensemble analytique irrductible de dimension k dans un ouvert de Cn.Soit T un courant ngatif psh de bidimension (k, k) dans A. On suppose quil existe un point z0 de Atel que T soit de masse localement finie au voisinage de z0, alors T existe et est psh.</p><p>618</p></li><li><p>Prolongement des courants PSH</p><p>Applications du thorme principal. Soit X un ensemble analytique de dimension p dans .1) Posons X = {x X ; x rgulier et dimxX = p} et Xsing = X X, alors le courant [X] est</p><p>positif ferm de bidimension (p, p) sur Xsing. Comme H2p(Xsing) = 0, daprs le thorme principalon a [X] est de masse localement finie sur . On retrouve la dfinition du courant dintgration surlensemble X .</p><p>2) Soit v une fonction plurisousharmonique sur et soit A = X {v = }. Si on suppose queH2p(A) = 0, alors le courant v[X ] est bien dfini sur . En effet, le courant v[X ] est bien dfini sur Aet daprs le thorme principal, il se prolonge en un courant de masse localement finie sur . En particulier,si X est irrductible, alors v[X ] est bien dfini ds quil existe xX tel que v(x)&gt;.</p><p>3) Soit Y un sous-ensemble analytique de dimension k dans . Supposons que dim(Y X) = p+kn,alors le courant [Y ] [X ] est bien dfini. En effet, si U est le potentiel local associ au courant [Y ], alors Uest un courant ngatif de dimension k+1 est de classe C sur Y . Posons T = U [X ], alors T est uncourant ngatif psh et de dimension p+ kn+1 sur (Y X). CommeH2(p+kn+1)(Y X) = 0, lethorme principal implique que T existe et est psh sur . Si [Y ] = ddcU +R, o R est un courant C, onpose [Y ] [X ] = ddcT +R [X ]. Daprs le thorme de support, il est clair que [Y ] [X ] = [Y X ].</p><p>Si A est seulement ferm, nous avons obtenu le rsultat suivant :</p><p>PROPOSITION 8. Soient un ouvert de Cn, A un ferm dans et T un courant ngatif psh debidimension (p, p) sur A. Si H2p2(SuppT A) est localement fini, alors T existe.</p><p>Dans le cas dun courant positif ferm, Harvey [7] a dmontr la proposition 8 avec la conditionH2p1(A) = 0. La gnralisation du rsultat de Harvey pour les courants ngatifs psh est encore unproblme ouvert.</p><p>COROLLAIRE 9. Soient A un ferm dun ouvert de Cn et T un courant positif psh de bidimension(p, p) sur A. Si H2p3(SuppT A) = 0, alors T existe.</p><p>Pour la dmonstration de la proposition 8, on montre tout dabord :</p><p>PROPOSITION 10. Soit un ouvert de Cn contenant lorigine. Soit u une fonction strictementk-convexe dans , pour c R, on pose c = {z ; u(z) c}. Soit T un courant positif, ddc-ngatifde bidimension (p, p) sur c. Alors si p k+ 1, le courant T existe sur .</p><p>Remarque 3. Dans le cas o u = |z|2. Soient 0 s &lt; r de sorte que Br = B(0, r) et T uncourant positif, ddc-ngatif de bidimension (p, p) sur Bs. Choisissons un rel vrifiant 0&lt; &lt; r set Br+ . En appliquant la formule de LelongJensen [4], il existe C &gt; 0 telle que :</p><p>T BrBs C T B(r,r+),o B(r , r+ ) = {z ; r &lt; |z|&lt; r+ }.</p><p>Dmonstration de la proposition 8. Quitte remplacer T par T , on peut supposer que T est positifddc-ngatif. Le problme est local au voisinage des points de SuppT A, on suppose que 0...</p></li></ul>