C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 615–620, 2001Analyse complexe/Complex Analysis

Prolongement des courants PSHKhalifa DABBEK, Fredj ELKHADHRA

Département de mathématiques, faculté des sciences de Monastir, 5019 Monastir, TunisieCourriel : fredj.elkhadhra@fsm.rnu.tn

(Reçu le 12 janvier 2001, accepté le 24 janvier 2001)

Résumé. Soit Ω un ouvert deCn. SoientA un fermé deΩ et T un courant positif de bidimension(p, p) et localement normal surΩ A tels que le courantddcT se prolonge en un courantde masse localement finie surΩ et la mesure de HausdorffH2(p−1)(SuppT ∩ A) = 0.Alors T se prolonge en un courant de masse localement finie surΩ. Supposons queA estun fermé pluripolaire complet dansΩ, T un courant négatif psh de bidimension(p, p) surΩA et siH2p(SuppT ∩A) = 0, alors le courantT se prolonge en un courant négatif pshsurΩ. Comme application, on peut définir le produit de deux courants d’intégration sur desensembles analytiques lorsqu’ils ont la bonne intersection. De plus, nous généralisons desrésultats de Alessandrini–Bassanelli, Ben Messaoud–El Mir et de Siu. 2001 Académiedes sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

On the extension of PSH currents

Abstract. Let Ω be an open set of Cn. Let A be a closed subset of Ω and T a positive, locally normal

current of bidimension (p, p) on Ω A such that ddcT extends to a current with locallyfinite mass on Ω and the Hausdorff measure H2(p−1)(SuppT ∩A) = 0. Then, T extendsto a current with locally finite mass on Ω. If A is a closed complete pluripolar subset and Tis a negative psh current on Ω A of bidimension (p, p) such that H2p(SuppT ∩A) = 0,then T extends to a negative psh current on Ω. If we apply the later result we can definethe product of currents of integration over analytic subsets having the desired intersection.Furthermore, we give a generalization of some theorems due to Siu and Ben Messaoud–ElMir and Alessandrini–Bassanelli. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

Abridged English version

For a currentT defined onΩ A, we say thatT exists onΩ if the mass ofT is locally finite onΩ. Inthis caseT is trivial extension ofT by zero acrossA. we say that a currentT is psh ifddcT is positive.

THEOREM 1. – Let A be a closed subset of an open subset Ω of Cn and T a positive locally normalcurrent of bidimension (p, p) on ΩA such that ddcT exists on Ω and H2(p−1)(SuppT ∩A) = 0. Then Texists on Ω.

Note présentée par Jean-Pierre DEMAILLY.

S0764-4442(01)01874-2/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 615

K. Dabbek, F. Elkhadhra

Theorem 1 is inspired from a result of [8], where the currentdT exists onΩ instead ofddcT . Next, westate our main theorem on the extension of a negative psh current across a complete pluripolar subset.

MAIN THEOREM. – Let A be a closed complete pluripolar subset of an open subset Ω of Cn and T anegative psh current of bidimension (p, p) on Ω A such that H2p(SuppT ∩A) = 0. Then T exists and is

negative psh on Ω. Furthermore, there exists a closed negative current S supported inA such that dT = dT

and ddcT = ddcT + S.

If T is a positived-closed current, we obtain a result of [6]. Notice that Sibony [11], improving resultsof [5], proved the equalitiesdT = dT and ddcT = ddcT + S when T , dT and ddcT have measurecoefficients. Without requiring anything ondT , Alessandrini and Bassanelli [1] proved the main theoremin the case whereA is an analytic subset. El Mir pointed out, that the hypothesis ondT is superfluous, inparticular his proof given in [5] can be applied to a larger class of currents. It gives the following interestingresult:

THEOREM 2. –LetA be a closed complete pluripolar subset of an open subset Ω of Cn and T a positivecurrent of bidimension (p, p) on Ω A. Suppose that T and ddcT exist (or T exists and ddcT 0 on

Ω A), then there exists a positive current S supported in A such that dT = dT and ddcT = ddcT + S.

Remark 1. – LetχA be the characteristic function ofA, the currentχAT is positive andddc(χAT ) hasmeasure coefficients. In particular, we obtain the following result of Bassanelli (the main theorem of [2]).

COROLLARY 3. –Let T be a positive psh current of bidimension (p, p) on Ω, then for every analyticsubset Y of Ω of pure dimension p: χY T = f [Y ] for a suitable plurisubharmonic function on Y .

COROLLARY 4. – Let A be a closed complete pluripolar subset of an open subset Ω of Cn and T apositive psh current of bidimension (p, p) on Ω A. If H2(p−1)(SuppT ∩ A) = 0, then T exists on Ω.

Moreover, dT = dT and ddcT = ddcT .

In Corollary 4, the Hausdorff measure condition is sharp. The method used in the proof of the maintheorem can actually give the following generalization of Siu’s theorem [12]:

THEOREM 5. –Let A be an irreducible analytic subset of dimension p in an open subset Ω of Cn.Let T be a negative psh current of bidimension (p, p) on Ω A such that T has a locally finite mass in aneighborhood of some z0 ∈A. Then T exists and is psh.

By using a slicing argument forC-flat currents, we obtain for negative and psh currents the followingresult.

PROPOSITION 6. –Let A be a closed subset of an open subset Ω of Cn and T a negative psh current ofbidimension (p, p) on Ω A such that H2(p−1)(SuppT ∩A) is locally finite. Then T exists on Ω.

The case whereT is positive andd-closed such thatH2p−1(SuppT ∩A) = 0 is due to Harvey [7].

COROLLARY 7. –Let A be a closed subset of an open subset Ω of Cn and T a positive psh current ofbidimension (p, p) on Ω A. If H2p−3(SuppT ∩A) = 0, then T exists on Ω.

Finally, we obtain the following theorem on the continuation of positive current across the zero set of anon-negative psh function:

THEOREM 8. –Let u be a positive psh function of class C1 on an open set Ω of Cn. Let A = z ∈ Ω;u(z) = 0. Suppose that in a neighborhood of every point of A there exists a number η > 0 and a (n− k)-tuple (j) of indices such that ddcu

∑n−k=1 i(dzj ∧ dzj)/u

η.

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Prolongement des courants PSH

Let T be a positive current of bidimension (p, p), p 1, on ΩA such that dT exists on Ω, then T exists

on Ω. Moreover, if η > 2/3, p > k + 1 and ddcT exists on Ω. Then T is the unique normal current that

extends T and we have dT = dT , ddcT = ddcT + S, where S is a positive current supported in A.

The case of a closed positive current is due to El Mir [5] and in [9], Rapp generalizes the result of El Mirin the case whenu is only psh andp > k+ η+1

2η .

SoientΩ un ouvert deCn et Dp,q(Ω) l’espace des formes différentiellesC∞ de bidegrés(p, q) et àsupport compact dansΩ. Un courant de bidimension(p, p) surΩ est ditpositif si pour toutesα1, . . . , αpdans l’espaceD1,0(Ω), la mesureT ∧ iα1 ∧ α1 ∧ · · · ∧ iαp ∧ αp est positive surΩ. Soit β = ddc‖z‖2 laforme de Kähler surCn, il existe une constantec > 0 qui ne dépend que den et p telle que, pour chaqueouvertΩ1 ⊂ Ω, la masse deT , ‖T ‖Ω1 := sup

|T (ϕ)|; ϕ ∈ Dp,p(Ω1), ‖ϕ‖ 1

, portée parΩ1, vérifie

T ∧ βp(Ω1) ‖T ‖Ω1 cT ∧ βp(Ω1). Un courantT est ditlocalement normal si T et dT sont de masseslocalement finies. Un courantT est ditplurisousharmonique (psh) si ddcT est positif. Pour plus de détailsconcernant les notions relatives au tranchage, voir [3]. SoitA un fermé deΩ, lorsqueT est défini surΩAon dit queT existe siT est de masse localement finie au voisinage des points deA. Le courantT est alorsl’extension triviale deT par zéro au dessus deA.

THÉORÈME 1. – Soient A un fermé d’un ouvert Ω de Cn et T un courant positif de bidimension (p, p)

localement normal sur Ω A. Si ddcT existe et si H2(p−1)(SuppT ∩A) = 0, alors T existe.

Ce théorème est inspiré d’un travail de Poly et Raby [8] qui supposent quedT existe au lieu deddcT .

Remarque 1. – Considérons la fonctionu(z) = an si 1(n+1)2 < |z| < 1

n2 , u(z) = 0 pour |z| > 1 et

A=⋃

n

|z|= 1

n2

∪ 0. Alors

∆u= 0 surC A et∫

CA

u(z)idz ∧ dz =∑n1

anπ

(1

n4− 1

(n+ 1)4

).

Suivant le choix de la suite(an), la dernière série peut diverger maisH1(A) est localement fini. Cecimontre que le résultat du théorème 1 n’est pas valable pour le cas d’un obstacleA vérifiant seulement queH2p−1(A) est localement fini.

Le théorème principal de cette Note est le suivant :

THÉORÈME PRINCIPAL. – Soient Ω un ouvert de Cn, A un fermé pluripolaire complet dans Ω et T uncourant négatif psh de bidimension (p, p) sur ΩA. Si H2p(SuppT ∩A) = 0, alors T existe et est négatifpsh sur Ω. De plus, on a

dT = dT et ddcT = ddcT + S,

où S est un courant négatif fermé porté par A.

Ce théorème généralise un résultat de [6] où les auteurs considèrent le cas d’un courant positif fermé. Ilest à noter que Sibony [11], en améliorant des énoncés de [5], a montré quedT = dT et ddcT = ddcT +S

lorsqueT , dT et ddcT sont d’ordre nul. Sans hypothèse surdT , Alessandrini et Bassanelli [1] on obtenu lethéorème principal lorsqueA est analytique. El Mir a remarqué que l’hypothèse surdT est superflue. Lespreuves données dans [5] s’appliquent à une classe plus large de courants et fournissent le :

THÉORÈME 2. – Soient Ω un ouvert de Cn, A un fermé pluripolaire complet dans Ω et T un courantpositif de bidimension (p, p) sur ΩA. On suppose que T existe et ddcT existe (où T existe et ddc-négatif

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K. Dabbek, F. Elkhadhra

sur Ω A). Alors il existe un courant positif S porté par A tel que

dT = dT et ddcT = ddcT + S.

Il en résulte que siχA est la fonction caractéristique deA, le courantχAT est positif etddc(χAT ) estd’ordre zéro. En particulier, on retrouve le résultat suivant de Bassanelli (théorème principal de [2]).

COROLLAIRE 3. –Soit T un courant positif psh de bidimension (p, p) sur Ω. Alors, pour tout ensembleanalytique Y de dimension pure p, il existe une fonction f plurisousharmonique sur Y , telle que χY T =f [Y ].

COROLLAIRE 4. – SoientA un fermé pluripolaire complet d’un ouvert Ω de Cn et T un courant positif,psh et de bidimension (p, p) sur ΩA. Si H2(p−1)(SuppT ∩A) = 0, alors T existe. De plus, on a dT = dT

et ddcT = ddcT .

Remarque 2. – Dans l’énoncé du corollaire 4, on ne peut pas améliorer la condition sur la dimension deHausdorff de l’obstacle. En effet, soit la fonctionT = 1/|z1|2. Il est facile de voir queT est un courantpositif dont leddc est positif, de bidimension(n,n) et localement normal surCn z1 = 0 et queT nese prolonge pas en un courant d’ordre0 surCn.

PROPOSITION 5. –Soient A un sous-ensemble fermé pluripolaire complet dans un ouvert Ω ⊂ Cn et Tun courant positif ddc-négatif dans Ω A de bidimension (p, p). Soit v une fonction psh, de classe C2,v −1 dans Ω telle que Ω′ = z ∈ Ω; v(z) < 0 soit relativement compact dans Ω. Soit K ⊂ Ω′ uncompact, posons cK = − supz∈K v(z). Alors, pour tout entier 1 s p et toute fonction psh u de classe C2

dans Ω′ vérifiant −1 u < 0, on a :∫KA

T ∧(ddcu

)p c−sK

∫Ω′A

T ∧(ddcv

)s ∧ (ddcu

)p−s.

Cette proposition généralise un résultat de [3] où les auteurs considèrent les cas oùA est l’ensemble videainsi que le cas oùT est positif fermé. Comme conséquence, on montre :

PROPOSITION 6. –Soient A un sous-ensemble fermé pluripolaire complet du polydisque unité ∆n =∆k ×∆n−k et T un courant négatif psh dans ∆n A de bidimension (p, p), k p < n, tels que :(a) il existe 0 r < 1 pour lequel T est de masse finie au voisinage des points de (z′, z′′) ∈ ∆n :

|z′′|> r ;(b) il existe un ouvert O ⊂ ∆k tel que T ∧ (ddc|z′|2)k soit de masse localement finie au voisinage des

points de O×∆n−k . Alors T existe et est psh.

Démonstration du théorème principal. – Le problème est local, nous montrons queT est de masselocalement finie au voisinage de tout pointz0 deSuppT ∩A. Sans perte de généralité, on peut supposerquez0 est l’origine. PuisqueH2p(SuppT ∩A) = 0, il existe un système de coordonnées et un polydisque∆p ×∆n−p ⊂ Cp ×Cn−p tels que :(SuppT ∩A)∩ (∆p × ∂∆n−p) = ∅, et par suiteπ : (SuppT ∩A)∩(∆p × ∆n−p) → ∆p est propre. Commeπ(SuppT ∩A) est un ensemble fermé de mesure de Lebesguenulle dans∆p, il existe un ouvertO ⊂ ∆p π(SuppT ∩ A). DoncT est de masse localement finie surO×∆n−p et d’après la proposition précédenteT sera de masse localement finie surΩ, et par suiteT existe.Pour achever la démonstration du théorème principal, il suffit d’appliquer le théorème 2.

Le théorème suivant généralise un résultat de Siu [12] où l’auteur considère le cas d’un courant positiffermé, de plus ce théorème précise le passage du local au global :

THÉORÈME 7. –Soit A un ensemble analytique irréductible de dimension k dans un ouvert Ω de Cn.Soit T un courant négatif psh de bidimension (k, k) dans Ω A. On suppose qu’il existe un point z0 de Atel que T soit de masse localement finie au voisinage de z0, alors T existe et est psh.

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Prolongement des courants PSH

Applications du théorème principal. – SoitX un ensemble analytique de dimensionp dansΩ.

1) PosonsX∗ = x ∈ X ; x régulier etdimxX = p et Xsing = X X∗, alors le courant[X∗] estpositif fermé de bidimension(p, p) surΩ Xsing. CommeH2p(Xsing) = 0, d’après le théorème principalon a [X∗] est de masse localement finie surΩ. On retrouve la définition du courant d’intégration surl’ensembleX .

2) Soit v une fonction plurisousharmonique surΩ et soitA = X ∩ v = −∞. Si on suppose queH2p(A) = 0, alors le courantv[X ] est bien défini surΩ. En effet, le courantv[X ] est bien défini surΩ Aet d’après le théorème principal, il se prolonge en un courant de masse localement finie surΩ. En particulier,siX est irréductible, alorsv[X ] est bien défini dès qu’il existex∈X tel quev(x)>−∞.

3) SoitY un sous-ensemble analytique de dimensionk dansΩ. Supposons quedim(Y ∩X) = p+k−n,alors le courant[Y ]∧ [X ] est bien défini. En effet, siU est le potentiel local associé au courant[Y ], alorsUest un courant négatif de dimensionk+ 1 est de classeC∞ surΩ Y . PosonsT = U ∧ [X ], alorsT est uncourant négatif psh et de dimensionp+ k−n+1 surΩ (Y ∩X). CommeH2(p+k−n+1)(Y ∩X) = 0, le

théorème principal implique queT existe et est psh surΩ. Si [Y ] = ddcU +R, oùR est un courantC∞, onpose[Y ]∧ [X ] = ddcT +R ∧ [X ]. D’après le théorème de support, il est clair que[Y ]∧ [X ] = [Y ∩X ].

SiA est seulement fermé, nous avons obtenu le résultat suivant :

PROPOSITION 8. – Soient Ω un ouvert de Cn, A un fermé dans Ω et T un courant négatif psh debidimension (p, p) sur Ω A. Si H2p−2(SuppT ∩A) est localement fini, alors T existe.

Dans le cas d’un courant positif fermé, Harvey [7] a démontré la proposition 8 avec la conditionH2p−1(A) = 0. La généralisation du résultat de Harvey pour les courants négatifs psh est encore unproblème ouvert.

COROLLAIRE 9. – Soient A un fermé d’un ouvert Ω de Cn et T un courant positif psh de bidimension(p, p) sur Ω A. Si H2p−3(SuppT ∩A) = 0, alors T existe.

Pour la démonstration de la proposition 8, on montre tout d’abord :

PROPOSITION 10. –Soit Ω un ouvert de Cn contenant l’origine. Soit u une fonction strictementk-convexe dans Ω, pour c ∈ R, on pose Ωc = z ∈ Ω; u(z) c. Soit T un courant positif, ddc-négatifde bidimension (p, p) sur Ω Ωc. Alors si p k+ 1, le courant T existe sur Ω.

Remarque 3. – Dans le cas oùu = |z|2. Soient0 s < r de sorte queBr = B(0, r) ⊂⊂ Ω et T uncourant positif,ddc-négatif de bidimension(p, p) surΩ Bs. Choisissons un réelδ vérifiant0< δ < r− setBr+δ ⊂⊂ Ω. En appliquant la formule de Lelong–Jensen [4], il existeC > 0 telle que :

‖T ‖BrBs C ‖T ‖B(r−δ,r+δ),

oùB(r− δ, r+ δ) = z ∈ Ω; r− δ < |z|< r+ δ.

Démonstration de la proposition 8. – Quitte à remplacerT par−T , on peut supposer queT est positifddc-négatif. Le problème est local au voisinage des points deSuppT ∩A, on suppose que0∈ SuppT ∩A.CommeH2p−1(SuppT ∩A) = 0, il existe un système de coordonnées deCn tel que pour toute projectionπI : Cn → Cp−1, I = (i1, . . . , ip−1) est strictement croissante, on a :π−1

I 0 ∩ (SuppT ∩ A) = 0 et

si ∆n = ∆p−1 × ∆n−p+1 ⊂ Cp−1 × Cn−p+1, on a : (∆p−1 × ∂∆n−p+1) ∩ (SuppT ∩ A) = ∅. Soit

δ > 0 de sorte que(∆p−1 × ∆n−p+1(1 − δ,1 + δ)) ∩ (SuppT ∩A) = ∅. Pour toutz′ ∈ ∆p−1, on note :Az′ = (SuppT ∩ A) ∩ (z′ × ∆n−p+1). CommeH2p−2(SuppT ∩ A) est localement finie,Az′ est unensemble discret p.p. enz′. Sans perte de généralité, on peut supposer queAz′ est réduit au point(z′,0).CommeT et ddcT sont d’ordre zéro, le courantT estC-plat [2]. Il existe alorsR, S etH , des courantsà coefficients dansL1

loc tels queT = R + ∂H + ∂S ; on en déduit alors, comme Federer, que la tranche〈T,πI , z′〉 existe p.p. enz′ et c’est un courant positifddc-négatif de bidimension(1,1) sur Ω Az′ et

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à support dansz′ × ∆n−p+1 ; de plus, on a la formule de tranchage de Federer. SoitK un compactde ∆p−1 × ∆n−p+1, commeT est positif, il suffit de prouver que :

∫KA

T ∧ π∗Iβ′p−1 ∧ β <∞, oùβ′p−1 = (ddc|z′|2)p−1 est la forme volume surCp−1, β = ddc|z|2. D’après la remarque 3, on a :∫

∆n−p+1((z′,0),1)Az′

〈T,πI , z′〉 ∧ β C∫

∆n−p+1(1−δ,1+δ)

〈T,πI , z′〉 ∧ β.

En appliquant la formule de tranchage, on en déduit :∫KA

T ∧ π∗Iβ′p−1 ∧ β A∫z′

(∫∆n−p+1((z′,0),1)Az′

〈T,πI , z′〉 ∧ β)β′p−1

AC∫z′

(∫∆n−p+1(1−δ,1+δ)

〈T,πI , z′〉 ∧ β)β′p−1

B∫

∆p−1×∆n−p+1(1−δ,1+δ)

T ∧ π∗Iβ′p−1 ∧ β <∞.

Dans le cas oùA est l’ensemble des zéro d’une fonction pshu positive et de classeC1 en remplaçant lacondition sur la mesure de Hausdorff deA par une condition de convexité suru, nous obtenons :

THÉORÈME 11. – Soit u une fonction psh C1 positive dans un ouvert Ω de Cn. Posons A = z ∈ Ω;u(z) = 0. Supposons qu’au voisinage de tout point de A il existe un nombre η > 0 et (n− k) indices telsqu’on ait :

ddcun−k∑=1

idzj ∧ dzj

uη.

Soit T un courant positif de bidimension (p, p), p k + 1, dans Ω A tel que dT existe, alors T existe.

Si de plus η > 2/3, p > k + 1 et ddcT existe, alors T est l’unique courant normal qui prolonge T et on a

dT = dT , ddcT = ddcT + S, où S est un courant positif porté par A.

En 1982, El Mir [5] a démontré le théorème 11 pour un courant positif fermé. En 1993, Rapp [9] agénéralisé le résultat d’El Mir dans le cas oùu est psh etp > k+ η+1

2η .

Remerciements. Nous remercions H. El Mir pour d’utiles conversations qui ont contribué à dégager les idées de cetravail.

Références bibliographiques

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