PROGRESSÃO ARITMÉTICAP.A.

Matemática Discreta

Observe as seqüências numéricas:

2 4 6 8 ...

12 9 6 3 ...

5 5 5 5 ...

Essas seqüências foram construídasde forma que cada termo (número), a partirdo segundo, é a soma do anterior comuma constante.

Observe a construção da primeira seqüência:

Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência:

2Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o

segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior:

+2 +2 +2

Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas.

Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

Assim na progressão aritmética,

(2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente.

(12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente.

(5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um

termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão.

a2 = a1 + r

O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão:

a3 = a2 + r

Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A.

O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão:

Como: a2 = a1 + r tem-se que :

Termo Geral da Progressão Aritmética

a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r

O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão:

a4 = a3 + r

Como a3 = a1 + 2r temos que :

a4 = a1 + 2r + r logo a4 = a1 + 3r

Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma:

an = a1 + (n – 1) . r

onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.

Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos:

1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10.

Substituindo na fórmula do termo geral teremos:

a10 =3 + (10–1).(-2)

a10 = 3 + 9.(-2)

a10 = 3 - 18

a10 = - 15

Aplicando na fórmula temos:

30 = a1 + (20–1).3

30 = a1 + 19.3

30 = a1 + 57

a1 = - 27

2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 200 termo igual a 30.

Substituindo os valores na fórmula temos:

- 21 = 5 + (14 – 1) . r

- 21 = 5 + 13 . r

- 21 – 5 = 13. r

- 26 = 13 . r

r = - 2

3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.

Primeiro calculamos a razão:

r = 47– 50

r = -3Substituindo na fórmula:

14 = 50 + (n – 1).(-3)

14 – 50 = (n -1).(-3)

-36 = (n – 1).(-3)

n - 1 = -36 / (-3)

12 = n - 1

Logo, n = 13

4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,......,14).

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA

Observe a P.A. finita:

Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an))

n/2 parcelas iguais a (a1 + an)

A soma dos seus termos pode ser escrita por:

Consideremos a P.A. finita de razão r: (a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an)

em que:

* a1 é o primeiro termo;

* an é o enésimo termo;

* n é o número de termos;

* Sn é a soma dos n termos.

Então:

2

.1 naaS nn

Devemos calcular an ou seja a50:

a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198

Aplicando a fórmula da soma temos:

2

50.198250S

Logo, S50 = 5000

Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termosformam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50

Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A.

1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....).

2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos.

A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2.

Calculando a20 temos:

a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38

Então, a20 = 39Assim:

2

20.39120S

Logo, S20 = 400