programa de matemáticas i
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Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
Bachillerato Universitario Nicolaita
Programa académico de la materia de
Matemáticas I: Álgebra
Primer semestre
1. Números reales.
1.1. Números naturales: Definición y axioma de cerradura.
1.2. Números enteros: Definición, reglas de los signos y axioma de cerradura.
1.3. Números racionales: Definición , expresión decimal, equivalencia y operaciones
fundamentales, razones y proporciones.
1.4. Números irracionales: Definición.
1.5. Números reales: Definición, representación geométrica, definición de igualdad y
sus propiedades, axiomas de campo y de orden.
2. Lenguaje algebraico.
2.1. Definición de álgebra.
2.2. Notación algebraica.
2.3. Signos algebraicos: De operación, de relación y de agrupación.
2.4. Términos algebraicos y sus partes.
2.5. Clasificación de los términos algebraicos: semejantes o no semejantes.
2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos.
2.7. Grado de expresión algebraica.
2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica.
2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.
3. Operaciones algebraicas.
3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes enteros y
fraccionarios
3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación.
3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación.
3.4. Multiplicación de polinomios.
3.5. Definición de producto y productos notables: Cuadrado de un binomio,
binomios conjugados, binomios con un término común, cubo de un binomio,
teorema del binomio, binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o
diferencia de cubos y cuadrado de un trinomio.
3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división.
3.7. División de polinomios.
3.8. División sintética
3.9. Factorización: Factor común, diferencia de cuadrados, trinomios con un término
de segundo grado, suma y diferencia de cubos y por agrupación.
4. Fracciones algebraicas.
4.1. Definición y clasificación.
4.2. Propiedades.
4.3. Simplificación.
4.4. Multiplicación de fracciones.
4.5. División de fracciones.
4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.
4.7. Suma de fracciones.
4.8. Simplificación de fracciones complejas.
5. Exponentes fraccionarios y radicales.
5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios.
5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios.
5.3. Definición de raíz.
5.4. Propiedades de los radicales.
5.5. Simplificación de un radical.
5.6. Suma de radicales.
5.7. Multiplicación y división de radicales.
5.8. Racionalización.
6. Ecuaciones
6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado y número de incógnitas.
6.2. Propiedades de las ecuaciones.
6.3. Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
6.6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
6.7. Métodos de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación
geométrica.
6.8. Problemas que conducen a sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita; por
factorización y por la fórmula cuadrática.
Glosario:
NÚMEROS REALES
Tras la primera Revolución del Hombre, la del neolítico, cuando en tierras del Próximo
Oriente surgían las primeras civilizaciones de agricultores y las primeras ciudades, también
hizo su aparición una ciencia trascendental para el hombre: la aritmética.
Efectivamente, el hombre tuvo enseguida necesidad de contar, medir y calcular sus
pertenencias, ya fueran cosechas, campos o el tiempo. Ahí empezaron de forma
rudimentaria los números y los usos de las cuatro reglas que más tarde se estudiarían bien y
teorizarían. El desarrollo de esta ciencia, la base primera de las matemáticas, ya alcanzó
notable desarrollo en la antigüedad, pero ha continuado su evolución hasta nuestro días. De
hecho la estadística, tan utilizada en la actualidad se comenzó a usar masivamente a partir
de la tercera década del Siglo XX.
La Aritmética es, con seguridad, las parte de las matemáticas de empleo más generalizado e
inmediato para el hombre , es obvio el uso universal de las cuatro reglas o de los sistemas
de medición. Sin embargo, la aparente sencillez y conocimiento de la aritmética entra
también en campos más complejos, tales como la radicación, la teoría de los números
(reales, complejos, etc.), los logaritmos o las derivadas, hasta alcanzar los niveles de
cálculo de la matemática superior.
Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la Ciencia
y Sociedad y en los avances Científicos y Tecnológicos; cuando el ser humano se hizo
sedentario, surgió la necesidad de contar sus bienes (pieles, flechas, cosechas, etc.); para
esto pudo utilizar “piedritas” o “rayitas”, para simbolizar alguna cosa u objeto de su
propiedad.
1.1 Números naturales
En el desarrollo de la culturas fue evolucionando esta forma primitiva de representar
objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el primer conjunto de números
llamados Números Naturales, estos números son utilizados para contar , se representan
mediante una “N”.
Número natural, es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables entre sí. Así,
por ejemplo los conjuntos A={a, b, c, d, e} y B={1, 2, 3, 4, 5}; tienen la propiedad de estar
constituidos por cinco elementos. Diremos, en este caso, que los conjuntos A y B son
representantes del número natural 5, o bien representan la cantidad cinco.
De modo similar todos lo conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos
unitarios, representaran al número 2, y así sucesivamente. El conjunto vacío, o sea, los que
no poseen ningún elemento, representará al número 0 (cero).
De este modo obtenemos la sucesión de números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17... que es una sucesión con infinitos términos:
N={1, 2, 3, 4, 5, ....)
El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los números
naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligado por la necesidad el ser
humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de números como son:
1.2 Números enteros
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene cero {0} con el conjunto N de los
números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos.
Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos el conjunto de
los “números enteros negativos”.
La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultado el conjunto de los “números
enteros”, denotados por:
Z={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
La primera operación aritmética que efectuaron las civilizaciones primitivas fue la adición,
utilizando objetos concretos que estuvieran al alcance de la mano. Así, o bien se efectuaban
las sumas amontonando piedrecitas o bien formando nudos en una cuerda, como hacían los
Incas.
Unir o sumar varios conjuntos consiste en reunir en un solo conjunto todos los elementos
de todos los conjuntos. Los conjuntos que se unen se llaman sumandos y el conjunto
obtenido se llama unión. En la suma de conjuntos pueden presentarse dos casos:
1.- Que los conjuntos que se van a unir no posean ningún elemento en común.
2.- Que los conjuntos que se van a unir posean elementos en común.
El primer caso, el número de elementos del conjunto unión es la suma de los elementos de
los conjuntos sumandos.
Sean los conjuntos A={1, 2, 3}, B={4, 5} y C={6, 7, 8}. Hallar el conjunto S, suma de A,
B y C.
El conjunto unión será S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Como puede observarse el conjunto S tiene
8 elementos, lo cual coincide con la suma de los elementos de los conjuntos A, B y C. En
efecto, 3+2+3 = 8.
En el segundo caso, el número de elementos del conjunto unión es menor que la suma de
los elementos de los conjuntos sumandos.
Sean los conjuntos A={1, 2, 3,4}, B={3, 4, 5} y C={4, 5, 6}. Hallar el conjunto S, suma de
A, B y C.
El conjunto será S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, en el cuál están todos los elementos que hay en los
conjuntos A, B y C. Como puede observarse, en este caso el número de elementos del
conjunto unión es 6, número inferior a la suma de los elementos de los conjuntos A, B y C.
En efecto 4+3+3=10 y obviamente 6<10.
Adición o suma de números naturales
Sean a y b los número naturales que representen el número de elementos de los conjuntos
disjuntos (es decir, sin elementos comunes) A yB, respectivamente. Diremos que el número
natural c, que representa el número de elementos del conjunto unión A y B es la suma de
los números naturales a y b y lo representaremos con la notación: c = a + b
Así, por ejemplo, la suma de 2 y 5 es 2+5=7 y la suma de 4, 6 y 13 es 4+6+3=13. En el
caso particular de que los números naturales que se sumen sean todos ellos iguales a 1, el
número de sumandos coincidirá con la suma. Si sumamos cualquier número natural x con
el número cero, el resultado que se obtendrá será también x, es decir que cualquier número
natural permanece inalterado si se le suma el número cero. O sea x+0=x
Propiedades de la adición
La suma de los números naturales cumple con la propiedades uniforme, asociativa,
conmutativa y tiene elemento neutro.
Propiedad uniforme: La suma de los números naturales es siempre un número natural. En
efecto, sí a y b son dos números naturales cualesquiera, su suma a +b = c también será un
número natural.
Propiedad asociativa. La suma de dos números naturales cumple que a+(b+c)=(a+b)+c. Es
decir que el resultado final de la suma es independiente de la manera a como se agrupa los
sumandos.
Para indicar la forma como se deben de agrupar los sumandos se utilizan diversos signos:
a) Los signos ( ) reciben el nombre de paréntesis.
b) Los signos [ ] reciben el nombre de corchetes.
c) Los signos { } reciben el nombre de llaves.
d) Los signos __ reciben el nombre de barras.
Propiedad conmutativa: La suma de números naturales cumple que a+b=b+a, es decir, que
el resultado final de la suma no es alterado por el orden de los sumandos.
Elemento neutro: La suma de números naturales cumple que a+0=0+a=a. Es decir, que
cualquier número sumado con el número cero, tanto si efectuamos la suma por la izquierda
como si la efectuamos por la derecha, permanece inalterado. Por esta razón se dice que el
número cero es el elemento neutro respecto a la suma de números naturales.
La sustracción
Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidas a los antiguos comerciantes
que marcaban con ellos las mercancías que compraban y vendían para indicar de este modo
que contenían mayor o menor cantidad de la pactada para el intercambio.
La sustracción es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en obtener uno de
los sumandos, que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre
de sustraendo.
Si representamos el minuendo con la letra m, el sustraendo son la letra s y la resta con la
letra r tendremos que:
m-s=r
Donde el signo menos (-) entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos deben
restarse. Para poder realizar esta operación en los números naturales el minuendo debe ser
mayor al sustraendo. Obviamente, de acuerdo con la definición que se acaba de dar, el
minuendo coincidirá siempre con la suma del sustraendo y la diferencia. Es decir, m=s+r.
Propiedades de la sustracción
1.- Al restar igualdades se obtiene como resultado otra igualdad.
En efecto supongamos las siguientes igualdades: 5=5 y 3=3. Si las restamos miembro a
miembro obtendremos:
22
33
55
que es otra igualdad.
1.3 Números racionales
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos...) conocieron las fracciones desde
tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios, los egiptólogos encontraron
resueltos muchísimos problemas con fracciones sobre cuestiones de la vida cotidiana en el
antiguo Egipto, tales como la agrimensura o la construcción de pirámides.
La división exacta de números naturales no resulta siempre posible puesto que no siempre
existe un número natural que al ser multiplicado por el divisor coincida en el dividendo.
Por lo tanto, nos vemos obligado a ampliar el campo numérico, introduciendo las
fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre de Números Racionales. Un
número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos enteros. En el
conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las
fracciones positivas y negativas.
Una fracción o quebrado es un número representado por dos números naturales (a, b) que
acostumbra a escribirse como b
a . El número a se llama numerador y el numero b se llama
denominador. El denominador no puede ser nunca cero.
Toda fracción representa el cociente de una división en la cuál el numerador representa el
dividendo y el denominador representa al divisor.
Así, por ejemplo, son fracciones 4
0,
3
1,
8
8,
7
4.
Uno de los aspectos más significativos de la noción fracción es la llamada “parte de
unidad”. El denominador de una fracción indica el número de partes en que se ha divido la
unidad y el numerador el número de partes que se toman.
Así, por ejemplo, en la fracción 5/8, el denominador 8 indica que la unidad se ha dividido
en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado 5 de esas 8 partes
iguales.
Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman medios, si la dividimos
en tres partes iguales las partes reciben el nombre de tercios, si la dividimos en cuatro
partes iguales las partes se llaman cuartos, si la dividimos en cinco partes iguales se llaman
quintos, si la dividimos en seis partes iguales se llaman sextos, si la dividimos en siete se
llaman séptimos, en ocho partes se llaman octavos, en nueve novenos, en diez decimos, en
once onceavos, si la dividimos en doce partes iguales se llaman doceavos y así
sucesivamente.
Así, por ejemplo, las fracciones siguientes: 7
4,
8
6,
11
3 y
10
7 se leerán del modo siguiente:
cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos.
Fracciones comunes son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros. Así,
por ejemplo: 7
5,
4
3 y
11
6, son fracciones comunes.
Fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Así,
por ejemplo, 10
3,
100
5 y
1000
37, son fracciones decimales.
Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así, por
ejemplo, 8
5,
13
3 y
12
7, son fracciones propias.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Así, por
ejemplo, 7
8,
5
6 y
4
9, son fracciones impropias.
Fracciones iguales son aquellas cuyo numerador es igual al denominador. Así, por ejemplo,
3
3,
7
7 y
11
11, son fracciones iguales.
Números mixtos son aquellos que constan de una parte entera y una parte fraccionaria. Así,
por ejemplo, 3
24 ,
415 ,
7
16 , son números mixtos. Los números mixtos es otra forma de
representar a los fracciones impropias.
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto obtenido al multiplicar el numerador
de la primera por el denominador de la segunda coincide con el producto obtenido al
multiplicar el numerador de la segunda por el denominador de la primera.
Comprobar que las fracciones 7
3 y
219 son equivalentes.
6379
63213
x
x
y como puede observarse ambos productos son iguales.
La equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia. En efecto, vamos a
comprobar que se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Propiedad reflexiva: Toda fracción es equivalente a sí misma. En efecto, b
a
b
a , donde el
signo significa “es equivalente a”, puesto que a x b=b x a
Propiedad simétrica: Si una fracción es equivalente a otra, ésta es equivalente a la primera.
En efecto, si d
c
b
a , debe de cumplirse que ad=bc. Por lo tanto, también se cumplirá que
b
a
d
c , puesto que esto significa que cb=ad, que es la misma igualdad que hemos descrito
anteriormente.
Propiedad transitiva: Si una fracción es equivalente a otra y ésta es equivalente a una
tercera, la primera fracción es equivalente a la tercera. En efecto, si d
c
b
a , debe cumplirse
ad=bc. Si además f
e
d
c , debe cumplirse que cf=ed.
Se trata de demostrar que f
e
b
a .
Multiplicando miembro a miembro las igualdades ad=bc y cf=ed obtendremos:
adcf=bced
Dividiendo ambos miembros por dc resultará: af=be, por lo cuál pone de manifiesto que
f
e
b
a tal como queríamos demostrar.
Por lo tanto la equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia, de modo
que el conjunto de las fracciones queda dividido en subconjuntos o clases de equivalencia
formadas por todas las fracciones equivalentes entre sí.
Cada una de las clases de equivalencia constituye un número fraccionario, puesto que todas
ellas son equivalentes. Damos como ejemplo: 3
1,
6
2,
12
4 y
15
5
En cambio las fracciones 2
1,
3
2,
4
3 y
5
4 son representantes de distintos números
fraccionarios, puesto que no son equivalentes.
Propiedades de la ordenación y equivalencia de los números fraccionarios.
Los números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades que vamos a
detallar a continuación.
a) Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga mayor
numerador.
En efecto, consideremos las fracciones 5
3,
5
7 y
5
2. Como se ha dicho anteriormente,
toda fracción representa una división en la cual el numerador es el dividendo y el
denominador es el divisor. Por consiguiente, si el divisor, es decir el denominador, es el
mismo será mayor aquella en que el dividendo, es decir, el numerador, sea mayor. En el
caso que nos ocupa tendríamos5
7>
5
3>
5
2.
b) Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor
denominador.
En efecto, consideremos por ejemplo las fracciones 5
4,
3
4 y
9
4. Puesto que toda
fracción representa una división entre numerador y denominador, si el numerador es el
mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor. Por lo tanto, en el caso que
nos ocupa tendremos que 3
4>
5
4>
9
4.
c) Si a los dos términos de una fracción propia se le suma el mismo número, la fracción
obtenida es mayor que la inicial.
En efecto, consideremos por ejemplo la fracción 5
3. Si al numerador y al denominador
les añadimos el mismo número, por ejemplo3, la nueva fracción será8
6
35
33
, y puede
observarse que el cociente 6:8 = 0.75 es mayor que el cociente 3:5 = 0.6
d) Si a los dos términos de una fracción propia se les resta el mismo número, la fracción
obtenida es menor que la inicial.
Consideremos 5
4. Si al numerador y al denominador les restamos el mismo número;
digamos 1, la nueva fracción será 4
3
15
14
y puede observarse 3:4 = 0.75 es menor
que el cociente 4:5 = 0.8
e) Si a los dos términos de una fracción impropia se les suma un mismo número, la
fracción obtenida es menor que la inicial.
En efecto, consideremos la fracción 4
6. Si al numerador y al denominador les sumamos
el mismo número, por ejemplo 4, la nueva fracción será 8
10
44
46
y puede observarse
que el cociente 10:8 = 1.25 es menor que el cociente 6:4 = 1.5
f) Si a los dos términos de una fracción impropia se les resta un mismo número, la
fracción obtenida es mayor que la inicial.
En efecto consideremos por ejemplo la fracción 4
6. Si al numerador y al denominador
les restamos el mismo número, por ejemplo 2, la nueva fracción será 2
4
24
26
y puede
observarse el cociente 4:2 = 2 es mayor que el cociente 6:4 = 1.5
g) Si el numerador de una fracción se multiplica o se divide por un número sin variar el
denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por el mismo número.
En efecto consideremos la fracción 12
6. Si multiplicamos, por ejemplo, el numerador
por 3 sin variar el denominador la nueva fracción será 12
18
12
36
y puede observarse
que el cociente 18:12 = 1.5 es 3 veces mayor que el cociente 6:12 = 0.5
Si en vez de multiplicar el numerador los dividiéramos, por ejemplo por 2, sin variar el
denominador la nueva fracción sería: 12
3
12
2:6 y puede observarse que el cociente
3:12 = 0.25 es 2 veces menor que el cociente 6:12 = 0.5
h) Si el denominador de una fracción se multiplica o se divide por un número sin variar el
numerador, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo
caso por el mismo número.
En efecto consideremos 10
4. Si multiplicamos el denominador por 2 tenemos
20
4
210
4
y vemos el cociente de 4:20 = 0.2 es 2 veces menor que el de 4:10 = 0.4
Si en vez de multiplicar dividimos, digamos por 5, sin variar el numerador, la nueva
fracción será 2
4
5:10
4 y puede observarse que el cociente 4:2 = 2 es 5 veces mayor
que el cociente 4:10 = 0.4
i) Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un mismo número,
el valor de la fracción no varía.
En efecto, consideremos, por ejemplo la fracción 8
4 . Si multiplicamos por ejemplo
ambos términos por 5 la nueva fracción será 40
20
58
54
y puede observarse que el
cociente 20:40 = 0.5 es el mismo que el cociente 4:8= 0.5
Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por 2, la nueva
fracción sería 4
2
2:8
2:4 y puede observarse que el cociente 2:4 = 0.5 es el mismo que el
cociente 4:8 = 0.5
Reducción y simplificación de fracciones
Basándose en las propiedades de las fracciones, vamos a comentar diversos procedimientos
para reducir y simplificar fracciones.
a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la parte entera
por el denominador y al producto resultante se le añade el denominador. El
resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia. El denominador de la
fracción impropia es el mismo denominador del número mixto.
Convertir el número mixto en fracción impropia: 5
36
5
33
5
356
5
36
b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre
el denominador. Si la división es exacta solo hay parte entera y está coincide con el
cociente de la división. Si la división no es exacta, el cociente coincide con la parte
entera del número mixto, el resto coincide con el numerador y el divisor con el
denominador.
Convertir en número mixto la fracción impropia: 6
30
Efectuemos la división 30:6=5, como la división es exacta 56
30
Convertir en número mixto la fracción impropia: 9
17
Efectuemos la división 17=91+8, como la división no es exacta tendremos 9
81
9
17
c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador determinado se
multiplica el entero por el denominador. El producto obtenido es el numerador de la
fracción y el denominador es el indicado “a priori”.
Convertir el número 5 en fracción de denominador 9.
Se trata de escribir 5 como 9
a. Para ello hacemos a = 59 = 45 y tendremos que
9
455
d) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean
mayores, se pone como denominador el indicado y como numerador el producto del
numerador inicial por el cociente obtenido al dividir los denominadores.
Convertir 7
5 en otra equivalente de denominador 28
Se trata de escribir 7
5 como
28
a. Para ello hacemos a = 528:7 = 20, o sea:
28
20
7
5
e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos términos sean
menores, se pone como denominador el indicado y como numerador el cociente
entre el numerador inicial y el cociente entre el numerador inicial y el cociente
obtenido al dividir los denominadores.
Convertir la fracción 40
15 en otra equivalente cuyo denominador 8
Se trata de escribir 40
15 como
8
a. Para ello hacemos a = 15:(40:8) = 15:5 = 3, o sea:
8
3
40
15
Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el denominador son
números primos entre sí. La fracción 8
7 es irreductible puesto que 7 y 8 son
números primos entre sí.
f) Si los dos términos de una fracción irreductible se elevan a una potencia, la fracción
obtenida también es irreductible.
En efecto consideremos la fracción irreductible y
x. Se trata de demostrar que la
fracción a
a
y
x es también irreductible. Si los números son primos entre sí sus
potencias también los son, por lo que xa y y
a también son primos entre sí y por
consiguiente la fracción a
a
y
x es irreductible, tal como queríamos demostrar.
Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean
menores. La simplificación máxima que puede efectuarse en una fracción consiste en
convertirla en una fracción irreductible. Para simplificar una fracción se dividen numerador
y denominador por sus factores comunes.
Simplificando al máximo la fracción 252
168.
2 es factor común de 168 y 252. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 2
obteniendo: 126
84
2:252
2:168
2 es factor común de 84 y 126. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 2
obteniendo: 63
42
2:126
2:84
3 es factor común de 42 y 63. Por lo tanto podemos dividir ambos términos por 3
obteniendo: 21
14
3:63
3:42
7 es factor común de 14 y 21. Dividimos, obteniendo: 3
2
7:21
7:14
que ya no se puede simplificar más y, por consiguiente , es una fracción irreductible.
Observa que 252
168 y
3
2 son fracciones equivilantes, puesto que 1683 = 2252 = 504
Para simplificar una fracción hasta convertirla en irreductible en una sola operación, se
halla el Máximo Común Divisor de los dos términos de la fracción y se dividen ambos
términos de la fracción y se dividen ambos términos por el Máximo Común Divisor
obtenido.
Simplificar la fracción 252
168 mediante una sola operación.
Hallamos en primer lugar el Máximo Común Divisor de 168 y 252
168 2 252 2
84 2 126 2
42 2 63 3
21 3 21 3
7 7 7 7
1 1
Es decir 168 = 2337
252 = 223
27
Por lo tanto el Máximo Común Divisor de 168 y 252 es 2237 = 84
Así, pues, tendremos: 3
2
84:252
84:168
Para reducir varias fracciones al Mínimo Común Denominador se simplifican las
fracciones. A continuación se halla el Mínimo Común Múltiplo de todos los
denominadores, que será el Mínimo Común Denominador. Los denominadores se calculan
dividiendo el mínimo común múltiplo entre cada denominador y multiplicando el cociente
obtenido por cada uno de los numeradores.
Reducir al Mínimo Común Denominador las fracciones 8
5 , 64
13 , 48
11 y 36
3 .
Encontremos el mínimo común múltiplo de 8, 64, 48 y 36.
8 2 64 2 48 2 36 2
4 2 32 2 24 2 18 2
2 2 16 2 12 2 9 3
1 8 2 6 2 3 3
4 2 3 3 1
2 2 1
1
Es decir, 8 = 23
64 = 26
48 = 243
36 = 223
2
Por lo tanto el mínimo común múltiplo será: 263
2 = 576
Los numeradores serán: 576:85 = 360
576:6413 = 117
576:4811 = 132
576:363 = 48
Por consiguiente tendremos:
576
3608
5 576
11764
13 576
13248
11 576
4836
3 .
Números múltiplos, compuestos y primos
Múltiplo de un número
Un número A es múltiplo de un número B si al efectuar la división A/B está es exacta, es
decir el residuo es cero.
511
55 4
5
20 2
4
8 10
7
70 2
3
6
Así 12 es múltiplo de: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Para buscar múltiplos de un número, sólo hay que multiplicar por: 1, 2, 3, 4, etc.
Números compuestos
Es todo número natural distinto de la unidad y que puede ser expresado como el producto
de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en
algunos casos puede repetirse.
4 se puede factorizar en: 22 ó 41
6 se puede factorizar en: 32 ó 61
8 se puede factorizar en: 42 ó 81 ó 222
26 se puede factorizar en: 132 ó 261
Todo entero por mayor que dos es un número compuesto.
Números primos
Es todo número natural que solo tiene como factores a la unidad y así mismo.
Fue el matemático griego Euclides el primero en descubrir que los números primos
constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les
condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual Eratóstenes
construyo su famosa Criba para encontrar los números primos de la serie de los números
naturales.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 78 88 89 90
91 92 93 94 95 96 79 89 99 100
El cuadro anterior es la Criba de Eratóstenes del 1 al 100
Eratóstenes escribió los números naturales hasta un número dado y fue agujereando en un
pergamino en primer lugar a todos los múltiplos de 2 excepto al 2. A continuación hizo los
mismo con los múltiplos de 3. Después procedió de modo análogo con los múltiplo de 5, de
7, de 11 y así sucesivamente. Los números que nos resultaron agujereados constituyen las
serie de los números primos hasta el número dado.
Descomposición de un número en sus factores primos
Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es que puede
expresarse como producto de números primos.
Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo dicho número
en forma progresiva, empleando únicamente números primos hasta terminar en elemento
unitario.
Hallar la factorización prima para 72
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3 72 = 22233 = 233
2
1
Hallar la factorización prima para 375
375 3
125 5
25 5
5 5 375 = 3555 = 353
1
Hallar la factorización prima para 1960
1960 2
980 2
490 2
245 5
49 7
7 7 1960 = 222577 = 2357
2
1
Calculo del Mínimo Común Múltiplo de números enteros positivos
Un entero es un múltiplo común de dos o más enteros dados si es múltiplo de cada uno de
ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o
más enteros, al cual se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o bien
M.C.M.
Para determinar el M.C.M.
a) Se halla la factorización prima de cada número.
b) El M.C.M. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes
afectados en su mayor exponente.
Hallar el M.C.M. de 18, 24 y 15
18 2 24 2 15 3
9 3 12 2 5 5
3 3 6 2 1
1 3 3
1
232 2
33 35
El M.C.M. de 18, 24 y 15 es (23) (3
2) (5) = 360
También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la vez.
Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225
200 300 225 2
23 100 150 225 2
50 75 225 2
25 75 225 3 32
25 25 75 3
25 25 25 5 5
2
5 5 5 5
1 1 1
Máximo Común Divisor
El máximo común divisor de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes de
dichos números; se simboliza por m.c.d. ó M.C.D.; cuando los números son pequeños el
M.C.D. puede calcularse fácilmente; por el contrario si los números son grandes seguimos
algunas reglas adecuadas:
a) Se anotan los números en un mismo renglón.
b) Se dividen todos los números entre los factores primos comunes.
c) El M.C.D. es el producto de los factores primos comunes tomados con su menor
exponente.
Hallar el M.C.D. de 48 y 72
48 72 2
24 36 2
12 18 2
6 9 3
2 3 3
2 1 2
1 El M.C.D. = 233 = 83 = 24
Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870
464 812 870 2
232 406 435 2
116 203 435 2
58 203 435 2
29 203 435 3
29 203 145 7
29 29 145 5
29 29 29 29
1 1 1 El M.C.D. = 229 = 58
Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850
60 150 40 850 2
30 75 20 425 2
15 75 10 425 2
15 75 5 425 3
5 25 5 425 5
1 5 1 85 5
1 17 17 El M.C.D. = 25 = 10
1
Operaciones con Fracciones
Las reglas que usamos en la actualidad para efectuar operaciones con fracciones son
debidas a las matemáticas hindúes y datan de los Siglos VI y VII d. C.. En Europa fueron
introducidas por los árabes a través de España.
Suma
En la suma de fracciones se pueden presentar diversos casos que vamos a explicar a
continuación:
a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los numeradores y el
resultado obtenido es el numerador de la suma. El denominador de la suma es el
mismo que el de los sumandos.
Sumar las fracciones 4
2
4
5
4
3
Tendremos: 4
10
4
253
4
2
4
5
4
3
Podremos simplificar la fracción, al dividir entre 2 el numerador y el denominador,
obtendremos: 2
5
4
10
Podemos también convertir la fracción impropia a número mixto: 2
122
5 , que es
resultado final de la suma.
b) Para sumar fracciones que tengan distinto denominador se reducen a un común
denominador y a continuación se opera tal como se ha indicado en el caso del inciso
a.
Sumar las fracciones 18
516
512
5
Vamos a encontrar en primer lugar el mínimo común denominador
12 2 16 2 18 2
6 2 8 2 9 3
3 3 4 2 3 3
1 2 2 1
1
223 2
4 23
2
Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 12, 16 y 18 será: 243
2 = 144, y éste será
el mínimo común denominador
144
60
12
5
144
45
16
5
144
40
18
5
Así pues: 145
145
144
40
144
45
144
6018
516
512
5
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en un número mixto, tendremos:
144
11
144
145 , que es el resultado final de la suma.
c) Para sumar números mixtos se suman por separado las partes enteras y las partes
fraccionarias y los resultados obtenidos se suman para dar la suma total. Otro
procedimiento consiste en convertir las partes enteras en fracciones impropias y
sumar todas las fracciones así obtenidas.
Sumar 8
57
6
55
4
33
Por el primer procedimiento tendremos.
8
5
6
5
4
3753
8
57
6
55
4
33
La suma de las partes enteras es: 3+5+7 = 15
La suma de las partes fraccionarias es: 8
5
6
5
4
3
Encontremos en primar lugar el mínimo común denominador:
4 2 6 2 8 2
2 2 3 3 4 2
1 1 2 2
1
1
4 = 22 6= 23 8 = 2
3
Por lo tanto, el mínimo común denominador de 4, 6 y 8 será: 233 = 24
24
18
4
3
24
20
6
5
24
15
8
5
Así pues: 24
53
24
15
24
20
24
18
8
5
6
5
4
3
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto tendremos: 24
52
24
53
Por lo tanto al efectuar la suma 24
5215
Tendremos 24
517
24
5215 , que es la suma total buscada.
Por el segundo procedimiento tendremos:
4
15
4
33
6
35
6
55
8
61
8
57
Por lo tanto se trata de sumar las fracciones: 8
61
6
35
4
15
Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es 24. Es decir,
que:
24
90
4
15
24
140
6
35
24
183
8
61
Así pues, 24
413
24
183
24
140
24
90
8
61
6
35
4
15
Convirtiendo la fracción impropia en número mixto, tendremos: 24
517
24
413 , que
es la suma total buscada.
Y coincide con la obtenida por el primer procedimiento.
d) Para sumar combinaciones de número enteros, números mixtos, y fracciones se
suman los números con las partes enteras de los números mixtos y la suma obtenida
se añade al efectuar la adición de las fracciones y las partes fraccionarias de los
números mixtos.
Sumar 16
9
64
134
32
2157
Sumamos en primer lugar las partes enteras: 7+5+4+3 = 19
A continuación sumamos las partes fraccionarias 16
9
64
1
32
21
Para ello encontramos el mínimo común denominador:
32 2 64 2 16 2
16 2 32 2 8 2
8 2 16 2 4 2
4 2 8 2 2 2
2 2 4 2 1
1 2 2
1
32 = 25 64 = 2
6 16 = 2
4
Por lo tanto el mínimo común denominador será: 26 = 64
Es decir que:
64
42
32
21
64
1
64
1
64
36
16
9
Así pues: 64
151
64
79
64
36
64
1
64
42
16
9
64
1
32
21
Por consiguiente al efectuar la suma:
64
1520
64
15119 , que es la suma total buscada.
Resta