program linear barisan deret

16
PROGRAM LINEAR Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Program linear perlu dipelajari karena dalam kehidupan sehari- hari, Anda sering menemukan berbagai persoalan yang berkaitan dengan Pertidaksamaan masalah maksimum dan minimum (masalah optimasi) dengan sumber terbatas. Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, koperasi, juga dalam bidang perdagangan. Salah satunya adalah permasalahan berikut. Rina, seorang lulusan SMK Tata Boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin makanan tradisional asal Jawa Barat, yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 200 gram gula. Rina memiliki persediaan 15 kg tepung beras ketan dan 8 kg gula. Keuntungan dari satu adonan kue lupis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp25.000,00. Bagaimanakah model matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Rina

Upload: agungmulyono79

Post on 27-Jun-2015

537 views

Category:

Documents


32 download

TRANSCRIPT

Page 1: Program Linear Barisan Deret

PROGRAM LINEAR

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk

memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu.

Program linear perlu dipelajari karena dalam kehidupan sehari-hari, Anda sering menemukan

berbagai persoalan yang berkaitan dengan Pertidaksamaan masalah maksimum dan minimum

(masalah optimasi) dengan sumber terbatas.

Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, koperasi, juga

dalam bidang perdagangan. Salah satunya adalah permasalahan berikut.

Rina, seorang lulusan SMK Tata Boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin

makanan tradisional asal Jawa Barat, yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu

adonan kue lupis, diperlukan 500 gram tepung beras ketan dan 300 gram gula.

Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 400 gram tepung beras ketan dan 200 gram gula.

Rina memiliki persediaan 15 kg tepung beras ketan dan 8 kg gula.

Keuntungan dari satu adonan kue lupis Rp30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp25.000,00.

Bagaimanakah model matematika dari permasalahan program linear tersebut agar Rina

mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya.

Page 2: Program Linear Barisan Deret
Page 3: Program Linear Barisan Deret
Page 4: Program Linear Barisan Deret

BARISAN & DERET ARITMATIKA

BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jikaU2 - U1 = U3 - U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un – Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)bU1, U2, U3 …………., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika. a = suku awalb = bedan = banyak sukuUn = a + (n – 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)= 1/2 n[2a+(n-1)b]= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn“) 2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0

Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

3. Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1 atau Un = Sn’ – 1/2 Sn“

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

Page 5: Program Linear Barisan Deret

Contoh 1.1Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….Penyelesaian:Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Olehkarena itu dengan menggunakan rumus Sn = diperoleh S25 = [2(3) + (25 -1)(3)]

= [6 + 24(3)] = (6 + 72)

= 25 (39)= 975.

Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975. Contoh 1.2Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …Carilah :a. rumus suku ke-n,b. rumus jumlah n suku pertama, danc. jumlah 20 suku pertama.Penyelesaian: a. Diketahui a = 1, dan b = 3

Un = a + (n – 1)b = 1 + (n – 1)3 = 3n – 1

b. Jumlah n suku pertama Sn =

= = c. Jumlah 20 suku pertama

= 600 – 10 = 590

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.

Page 6: Program Linear Barisan Deret

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Definisi:

Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan(rasio) antara 2 suku

berurutan adalah konstan.

Deret geometri adalah jumlah dari beberapa suku pada deret geometri.

Notasi-notasi yang sering digunakan:

menyatakan suku ke- dari suatu barisan (geometri)

sering dinotasikan sebagai

merupakan rasio dari 2 suku berurutan dalam suatu barisan geometri.

Contoh : 1,3,9,27,81

menyatakan jumlah dari suku pertama dalam suatu barisan geometri

menyatakan jumlahan tak hingga dari suatu barisan geometri

*notasi-notasi di atas merupakan notasi yang umum digunakan, tapi tidak harus

demikian.

Rumus-rumus umum:

rumus tersebut dapat diturunkan dari definisi barisan geometri

Bukti:

Kurangkan kedua persamaan di atas, didapat

(terbukti)

Page 7: Program Linear Barisan Deret

Untuk , jumlah tak hingga dari suku-suku barisan geometri akan mendekati suatu

nilai.Suatu deret yang jumlahan tak hingganya mendekati suatu nilai disebut sebagai

deret konvergen. Untuk deret geometri, syarat agar konvergen adalah

Karena untuk nilai , dan nilai yang cukup besar , nilai . Maka

Contoh soal :

1. 81,27,9,3,1,….

a) Tentukan rumus suku ke n (Un)!

b) Suku keberapakah

Diketahui : a=81 , r=

a) rumus

=

=

b )

latex \frac{1}{243}$ adalah suku ke 10

Page 8: Program Linear Barisan Deret

NOTASI SIGMA

Page 9: Program Linear Barisan Deret

PEMAKAIAN BARISAN & DERET

Page 10: Program Linear Barisan Deret

MATRIKS

Page 11: Program Linear Barisan Deret
Page 12: Program Linear Barisan Deret
Page 13: Program Linear Barisan Deret
Page 14: Program Linear Barisan Deret