Program Linear

Download Program Linear

Post on 22-Jul-2015

191 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>PROGRAM LINEARDIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS REMEDIAL MATEMATIKA.</p> <p>DISUSUN OLEH: NAMA:HERMAWAN ANDRIANTO. KELAS:10 MEKATRONIKA.3. MECHATRONIC DEPARTMENT SMK NEGERI 1 BATAM Jl. Prof.Dr.Hamka No.1, Batam, Kepulauan Riau, Telp. : (0778)365909, Fax: (0778)365903</p> <p>2012</p> <p>1</p> <p>KATA PENGANTAR</p> <p>Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada saya sehingga saya berhasil menyelesaikan Modul ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul PROGRAM LINEAR Makalah ini berisikan tentang informasi PROGRAM LINEAR, Diharapkan Makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Program Linear,dan dapat menyelesaikan remedial. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu saya harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, saya sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.</p> <p>BATAM,25 Mei 2012</p> <p>HERMAWAN ANDRIANTO</p> <p>2</p> <p>DAFTAR ISI Cover..1 Kata pengantar...2 Daftar Isi....3A.PENGERTIAN PROGRAM LINEAR....4 B.GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR.4</p> <p>1.Grafik Pertidaksamaan Linear Satu Variabel.4 2.Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel5C.MODEL MATEMATIKA7</p> <p>D. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier. ...9 1.Metode titik sudut..9 E. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k 10</p> <p>3</p> <p>A.PENGERTIAN PROGRAM LINEAR. Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier. B.GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR.</p> <p>1.Grafik Pertidaksamaan Linear Satu Variabel.Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian). Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda , , dan Contoh : 1.Tentukan himpunan penyelesaian dari a. x &lt; 3 d. y &gt; 2 b.x 2 e. y -1 c. y &gt; - 3 Jawab : 1.a. x &lt; 3</p> <p>b. x 2</p> <p>c. x &gt; -3</p> <p>4</p> <p>d. y &gt; 2</p> <p>e. y -1</p> <p>2. Tentukan himpunan penyelesaian dari -2 &lt; x 4 untuk x R Jawab : 2. -2 &lt; x 4 untuk x R</p> <p>5</p> <p>2.Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.Contoh 1 : Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan 2x + y 6 ; x 0 ; y 0, untuk x,y R Jawab : Langkah langkah : Lukislah grafik 2x + y 6 dengan cara : i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table Jika x = 0 maka y = 6 Jika y = 0 maka x = 3 Tabel</p> <p>ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y. iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x. iv.Gambar grafik dalam koordinat kartesius sehingga terlihat himpunan penylesaiannya : v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 6 maka titik ( 0,0 ) memenuhi.</p> <p>Contoh 2 :6</p> <p>Diketahui sebuah daerah himpunan penyelesaian OABC yang digambarkan pada grafik di bawah ini : untuk O(0,0),A(7,0),B(4,5),dan C(0,7). Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif z = 3x + y pada daerah OABC di bawah ini!</p> <p>Jawab : Nilai optimum terletak pada titik titik sudut dari daerah penyelesaian, sehingga carilah nilainya untuk setiap titik tersebut : Untuk titik O(0,0) maka z = 0 Untuk titik A(7,0) maka z = 3.7 + 0 = 21 Untuk titik B(4,5) maka z = 3.4 + 5 = 17 Untuk titik C(0,7) maka z = 3.0 + 7 = 7 Jadi nilai maksimum dari 3x + y adalah 21 di titik A(7,0)</p> <p>C.MODEL MATEMATIKA.Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika. Contoh : Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B. Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum? Jawab : Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas Misalkan : Paku jenis I = x dan Paku jenis II = y Tabel</p> <p>Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :7</p> <p>200x + 150y 5.500 75x + 50y 2.000 x0 y0 Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Kita sederhanakan dulu persamaan diatas 200x + 150y 5.500 + 3y 110 4x 75x + 50y 2.000 3x + 2y 80 x0 y0 Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah 4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 220 3x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240 -x = -20 x = 20 untuk x = 20 3x + 2y = 80 3.20 + 2y = 80 2y = 80 60 y= 2 20 = 10 maka titik potong (20,10) Gambar grafik fungsi penyelesaiannya</p> <p>Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik titik optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3) Nilai fungsi obyeknya adalah : Untuk O(0,0) z = 500.0 + 350.0 = 0 UntukA(80/3,0) z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000 UntukB(20,10) z = 500.20 + 350.10 = 13.5008</p> <p>UntukC(0,110/30z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000 Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.</p> <p>D. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier. Untuk menentukan nilai optimum fungsi tujuan ini dapat digunakan dengan menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik. 1.Metode titik sudut Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok. Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan metode titik pojok adalah sebagai berikut : Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y). Sebagai contoh akan dicari nilai keuntungan maksimum Perusahaan A dalam produksi ban dengan model matematika f(x,y) = 40.000x + 30.000y</p> <p>Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di atas. a. Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D. Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0). Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x. Jadi, titik A(80, 0). Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x + 4y = 800. Substitusi x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800 8 * 80 + 4y = 800 y = 409</p> <p>Jadi, titik B(80, 40). Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan 2x + 5y = 800. Dari 8x + 4y = 800 didapat y = 200 - 2x. Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800 2x + 5(200 - 2x) = 800 2x + 1000 - 10x = 800 -8x = - 200 x = 25 Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 - 2x y = 200 - 2 * 25 y = 150 Jadi, titik C(25, 150). Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-y. Substitusi x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800 2*0 + 5y = 800 5y = 800 y = 160 Jadi, titik D(0, 160).</p> <p>Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) = 5.500.000. Jadi, Perusahaan A harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum. E. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut. a. Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = k, a &gt; 0, b &gt; 0, dan k R. b. Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius! c. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0,0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0,0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sebagai contoh, grafik berikut ini adalah produksi ban Perusahaan A.10</p> <p>Garis selidik dari fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 4x +3y =k. Ambil k =120, didapat garis selidik 4x + 3y = 120. Ambil k = 240, didapat garis selidik 4x +3y = 240. Ambil k = 550, didapat garis selidik 4x + 3y = 550. Gambarkan garis-garis selidik ini sehingga kamu dapat menentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y.</p> <p>Perhatikan bahwa garis selidik yang menyebabkan fungsi objektif maksimum adalah 4x+3y = 550. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan 10.000, Anda mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut. 10.000(4x + 3y) = 10.000(550) 40.000x + 30.000y = 5.500.000 Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 5.500.000. Dari gambar di atas tampak bahwa garis selidik 4x + 3y = 550 melalui titik C(25, 150). Ini11</p> <p>berarti, fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y mencapai maksimum pada titik C(25, 150). Jadi, Perusahaan A harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum Rp 5.500.000,00.</p> <p>12</p>