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Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-1

64

3 Gleichstromkreise 3.1 Begriffe 3.1.1 Netzwerk

Der Lernende kann - den Begriff Netzwerk definieren und Netzwerkbeispiele aus der Gleich. und Wechselstromtechnik angeben - die Begriffe Zweig, Knoten und Masche im Netzwerk definieren - den Begriff spannungsbildendes Schaltelement In der elektrischen Energietechnik und in der Nachrichtentechnik bestehen reale Schaltungen oder Stromkreise aus realen Schalelementen, die in einer dem Zweck entsprechenden Art und Weise miteinander elektrisch verbunden sind. Elektrische Schaltungen werden durch Schaltzeichen dargestellt. Um diese Schaltungen einer Berechnung zugänglich zu machen, werden sie durch ideale Schalelemente modelliert. Dieses Modell bezeichnet man als Netzwerk.

Leitung Einschalter Schließer

Kreuzung ohne Verbindung

Ausschalter Öffner

leitende Verbindung

Umschalter Wechsler

lösbare Verbindung

Batterie

linearer Widerstand Leitwert

Spannungsquelle

Spule

(Spannungsquelle)

Kondensator

Stromquelle

stetig veränderbar

(Stromquelle)

stetig veränderbarer Widerstand

(Stromquelle)

Schleifkontakt

gerichtete Leitung Diode

Widerstand mit Schleifkontakt

V

Spannungs- messer

nichtlinearer Widerstand

A

Strommesser

W

Leistungsmesser

Abb. 3.1.1 Zusammenstellung wesentlicher Schaltelemente nach DIN 40700 bis 40717


65

R4R3

R1

Uq1

R2

Uq2

R5

Abb. 3.1.2 a) Gleichstromnetzwerk

uq1

R1

L

C

R2

uq2

b) Wechselstromnetzwerk

Das Netzwerk besteht aus einzelnen Zweigen, die an den Knotenpunkten miteinander verbunden sind und auf diese Weise Maschen bilden. Ein Knotenpunkt ist ein Verzweigungspunkt im Netzwerk, wobei im allgemeinen mindestens drei Verbindungsleitungen zusammenkommen. Knotenpunkte mit zwei Verbindungsleitungen werden für spezielle Fälle definiert. Zwischen zwei Knotenpunkten muss sich immer ein aktives oder passives Schaltelement befinden. Das sind Spannungs- oder Stromquellen, Widerstände, Kondensatoren, Spulen. Befinden sich zwischen zwei oder drei leitenden Verbindungspunkten eines Netzwerkes keine Schaltelemente, müssen diese Verbindungspunkte zu einem Knoten zusammengefasst werden..

Uq1

Uq2

R2

R3IqR1

A

B

K1

K2

1 2 3

K1

K2

Iq

Iq

Abb. 3.1.3 Netzwerk Netzwerkstruktur (Graf)


66

Ein Zweig ist die elektrische Verbindung zwischen zwei Knotenpunkten und muss mindest ein aktives oder passives Schaltelement enthalten.

R4R2

R1

Uq1

Uq2

R3

I5R5K1 K2

K3

K1 K2

K3

1 2

5

34M1

M2M3

b)

a) Abb. 3.1.4 Netzwerk a) und Netzwerkstruktur b) mit eingetragenen Maschen

Kein Zweig ist demzufolge die widerstandslose Verbindung zwischen zwei Netzwerksschaltpun

kten. Diese Schaltpunkte werden zu einem Knotenpunkt usammengefasst.

in sich geschlossener Umlauf entlang von Zweigen oder pannungspfeilen.

r aus mindestens zwei Zweigen oder einem Zweig nd dessen Klemmenspannung

tungen

(Vorzeichen) sowie Zählrichtung von Spannung und Strom unterscheiden

werkberechnung notwendigen Spannungs- und Stromzählpfeile in ein Netzwerk

ver ie Richtung vom höheren

positiveren) Potenzial zum niedrigern Potenzial.

z

Eine Masche ist ein S

Eine Masche besteht daher immeu 3.1.2 Zählrich

Der Lernende kann - die Begriffe Richtung und definieren - die für die Netz eintragen

Mit den Richtungen von Strömen und Spannungen wurde das Vorzeichen der Größen festgelegt. Positive Stromrichtung war die Bewegungsrichtung positiLadungsträger, positive Spannungsrichtung war d(

Bei der allgemeinen Untersuchung von Schaltungen und Netzwerken muss man den Wechsel der Strom- bzw. Spannungsrichtung zulassen und eine Betrachtungsweise wählen, die die jeweils zutreffende Stromri

chtung als Ergebnis der Rechnung liefert.

Ra

RiG RiB

UqGUqB

I

Generator Batterie

Ra

RiG RiB

UqGUqB

I

Generator Batterie

Abb. 3.1.5 Stromrichtung a) beim Starten b) beim Betrieb


67

Bei der Netzwerksberechnung wird, wenn mehrere Quellen in einem Netzwerk vorhanden sind, die positive Richtung des Stromes und der Spannung in einem Zweig sich aus der Wirkung aller Quellen ergeben und sich erst als Ergebnis der Berechnung feststellen lassen. Es werden deshalb für alle Zweige Stromrichtungen angenommen (positiv gezählt) und durch Richtungspfeile gekennzeichnet. Da es sich hier nicht um die tatsächlichen Stromrichtungen handelt, sondern um positiv zu zählende Richtungen, werden diese Richtungspfeile des Stromes Zählpfeile genannt. Ergibt die Rechnung einen positiven Wert des Stromes, so fließt der Strom tatsächlich in die Zählpfeilrichtung, wird ein negativer Wert errechnet, fließt er entgegen der positiven Zählrichtung. Es hat also wenig Sinn, sich vor der Berechnung Gedanken zu machen, wie der Strom fließen könnte. In den Aufgaben werden deshalb die Stromzählpfeile nach einheitlichem Muster eingetragen:

In waagerecht liegenden Zweigen von links nach rechts, in senkrechten Zweigen von oben nach unten Die Richtungspfeile der Quellen sind die tatsächlichen Richtungen der Quellengrößen und durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Durch ihre Richtung werden die Richtungen aller Zweigströme bestimmt.

Uq1 I2

Uq2

R2

R3IqR1

A

B

I1

I3

R4R2

R1

Uq1

Uq2

R3

I5R5

I1 I2

I3

I4

A

bb. 3.1.6 Eintragung der Quellenspannungen-Richtungspfeile und der Stromzählpfeile

zu versehen

ummerieren )

Beispiel 3.1.01 a) Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Ströme und Spannungen b) Alle Knoten des Netzwerks sind zu markieren und zu nummerieren c) Alle Zweige des Netzwerks sind zu markieren und zu nd In das Netzwerk sind mögliche Maschen einzutragen

R4R2RqIq

UqR3R1


68

R4R2

RqIq

UqR3R1K1

K3

K2

Rq RqI ;U1 1I ;U

2 2I ;U 3 3I ;U

4 4I ;Uq

1

2

3

Ma MbMc

3.1.3 Zählpfeilsysteme

Der Lernende kann - die Begriffe aktiver und Passiver Zweipol definieren - Strom- und Spannungszählpfeil nach dem Verbraucherzählpfeilsystem an einem Zweipol antragen - den Begriff Erzeugerzählpfeilsystem an einem Zweipol erklären - die Begriffe Kettenzählpfeilsystem und symmetrisches Zählpfeilsystem an einem Vierpol erläutern

Analog zu den Stromzählpfeilen werden Spannungszählpfeile eingeführt. Spannungsquellen müssen im mit ihrer Polarität bekannt sein. Hier bestimmt die Polarität die Richtung des Spannungspfeils vom höhern zum niedrigeren Potenzial. Für die Spannungsfälle als Ergebnis des Stromes werden Zählpfeile eingeführt.

Werden Spannungs- und Stromzählpfeile, die funktionell voneinander abhängen, in einem Netzwerk eingetragen, sind deren Zählpfeile nicht mehr frei wählbar. Die Gleichung zwischen Spannung und Strom bestimmt deren Vorzeichen.

u und i haben gleiches Vorzeichen u R= ⋅ i R 0>

Werden Klemmenpaare (lösbare Verbindungen) in eine Schaltung eingeführt und zwischen diesen Klemmen eine Klemmenspannung definiert und durch einen Zählpfeil richtungsmäßig festgelegt, erhält man für den Strome mehrere Zählpfeil-Eintragungsmöglichkeiten. Das führt zu Zählpfeilsystemen Hat ein Schaltelement oder ein Netzwerksteil ein Klemmenpaar, spricht man von einem Zweipol oder Eintor. Enthält der Zweipol nur Widerstände ist es ein passiver Zweipol, enthält der Zweipol außerdem Quellen ist es einaktiver Zweipol.

a

b

a

b Abb. 3.1.7 a) passiver Zweipol b) aktiver Zweipol


69

Für einen Zweipol gibt es zwei Möglichkeiten der Zuordnung von Spannung und Strom am Klemmenpaar:

1. Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol gleiche Richtung und damit gleiches Vorzeichen. p = u⋅i > 0 Leistung wird positiv: Verbraucherzählpfeile

I

U

Abb. 3.1.8 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Verbraucher-Zählpfeilsystem

2. Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol entgegengesetzte Richtung, entgegengesetztes Vorzeichen. p = u⋅i < 0 Leistung wird negativ: Erzeugerzählpfeile

I

U

Abb. 3.1.9 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Erzeuger-Zählpfeilsystem

Ordnet man einem Netzwerk zwei Klemmenpaare zu (im Sinne Eingang; Ausgang) erhält man einen Vierpol oder nach DIN 40124 Zweitor. Für Vierpole sind zwei Zählpfeilsysteme üblich:

Kettenzählpfeilsystem: Eingang: Verbraucherzählpfeile, Ausgang: Erzeugerzählpfeile. (Angewendet bei der Beschreibung von Leitungen, Übertragungsgliedern)

I2

U2

I1

U1

Abb. 3.1.10 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem

Symmetrisches Zählpfeilsystem: Verbraucherzählpfeile auf beiden Seiten. Immer dann, wenn Eingang und Ausgang wechselseitig vertauschbar sind. (Transformator im Netzeinsatz). Es entstehen gleichartige Gleichungs-systeme zur Beschreibung.

I2

U2

I1

U1

Abb. 3.1.11 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem


70

Beispiel 3.1.02 a) Das Grundschema der elektrischen Energieübertragung durch Zusammenschaltung eines Quellenzweipols, eines Übertragungskanal-Vierpols und eines Verbraucherzweipols darzustellen b) Die Zählpfeile für Spannung und Strom sind für die beiden Zweipole als Verbraucherzählpfeilsystem und für den Vierpol als symmetrisches Zählpfeilsystem einzutragen

QuelleÜbertra-gungs-vierpol

Verbrau-cher

EI 1I

EU 1U 2U BU

2I BI


71

3.2 Kirchhoffsche Gesetze 3.2.1 Knotensatz

Der Lernende kann - die Knotensatz gleichungsmäßig und verbal angeben - die Vorzeichenvereinbarung für die Knotengleichung angeben - den Knotensatz auf Netzwerksknoten anwenden - den Knotensatz auf Netzwerksbereiche anwenden

In einem abgeschlossenen Raum (Volumen) befindet sich eine endliche Zahl Ladungsträger mit der Gesamtladung Q. Für dieses Volumen gilt der Satz von der Erhaltung der Ladung (Naturgesetz)

In einem abgeschlossenen Volumen kann sich eine Ladung nur durch Zufluss oder Abfluss von Ladungen durch die Oberfläche ändern. Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet werden.

0dt

dQdt

dQdtdQ.konstQ pn =+==

Bilanzgleichung positiver und negativer Ladungen

(3.2.01)

Schließt man innerhalb des Volumens Speichermöglichkeiten aus (keine Kondensatoren oder Spulen), so müssen über die Oberfläche zugeführte Ladungen unmittelbar wieder über die Oberfläche abfließen.

Q=konst.dQ/dt=0

A

Abb. 3.2.1 Ladungserhaltungssatz

dQ/dt=-iz+ia

Aiz ia

zufließender Konvektionsstrom dt

dQi zz = (3.2.02)

abfließender Konvektionsstrom dt

dQi aa = (3.2.03)

az ii0dtdQ

+−== (3.2.03)

Daraus ergibt sich der Knotensatz Die vorzeichenbehaftete Summe aller Ströme, die durch die Hüllfläche eines Volumens fließen ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null

∑ (3.2.04) µ

µ = 0i

Vorzeichenvereinbarung: Ströme, deren Zählpfeil aus der Hüllfläche zeigt, werden im Knotensatz mit positivem Vorzeichen summiert.

Kirchhoff, deutscher Physiker 1824-1887


72

Der Knotensatz ist allgemeingültig, er ist nicht auf bestimmte Materialien, Schaltungen oder Baugruppen beschränkt, es sind auch keine Detailkenntnisse der Schaltung innerhalb des Volumens erforderlich. Für Netzwerke oder Schaltungen gilt:

1. An jedem Knoten der Schaltung/Netzwerk ist die algebraische Stromsumme gleich Null.

2. Die algebraische Stromsumme durch jede ein bestimmtes Volumen der Schaltung einhüllende Oberfläche (Hüllfläche) ist Null.

IA IB

IC ID

I1I2 I3

I4

K1 K2

K3 K4

K5

Abb. 3.2.2 Anwendung des Knotensatz auf Netzwerksknoten und Netzwerksgebiet

K1: -IA+I1+I2=0 K2: -I1 +IB +I3 = 0 K3: .I2 +IC +I4 = 0 K4: -I4 - I3 - ID = 0 K5: -IA +IB +I3 +I2 = 0

Beispiel 3.2.01 Für alle Knoten des Netzwerks des Beispiels 3.1.01 sind die Knotengleichungen aufzustellen

R4R2RqIq

UqR3R1K1

K3

K2

RqI1I

2I3I

4I

K1: K2: − + K3: I Iq 1 RqI I I− + + = 0 0 01 2 3I I I+ = q Rq 2 3I I− − − =


73

3.2.2 Maschensatz

Der Lernende kann - den Maschensatz gleichungsmäßig und verbal angeben - den Begriff Masche erklären - den Umlaufsinn und die Quellenpfeile und die Spannungszählpfeile in einer Masche eintragen und den Maschensatz anwenden

Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf im Raum entlang von Spannungspfeilen. Im Netzwerk ist eine Masche ein geschlossener Umlauf entlang einer beliebigen Anzahl von Zweigen.

In der Masche sind die Potentiale der Knotenpunkte a, b, c, d bekannt oder einfach messbar. Für die Zweigspannungen gilt:

adda

dccd

CBbc

BAab

UUUU

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

(3.2.05)

0UUUU dacdbcab =+++ (3.2.06)

IA IB

IC ID

I1I2 I3

I4

R2R3

Uq2

R4

R1

Uq1a b

cd

Uab

Ubc

Ucd

Uda

Abb. 3.2.3 Ableitung des Maschensatzes mittels der Knotenpotenziale

Die Zweigspannungen lassen sich in gleicher Weise aus den im Zweig vorhandenen Spannungen (Quellenspannungen, Spannungsabfälle) ermitteln. Daraus ergibt sich der Maschensatz:

Die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungen einer Masche ist Null.

∑ν

ν = 0u (3.2.07)

Anwendungen, Richtungsfestlegungen:

1. Jedem spannungsbildenden Element einer Masche muss ein Richtungspfeil zugeordnet werden. Quellen sind durch ihre Polarität richtungsmäßig festgelegt Spannungsabfälle erhalten einen Zählpfeil und im Ergebnis der Berechnung im Spannungswert ein Vorzeichen, das in Verbindung mit dem Zählpfeil die Spannungsrichtung bestimmt. 2. Bei der Summenbildung der Spannungen einer Masche, muss die Masche in einem vorher definierten Umlaufsinn durchlaufen werden. Dieser Umlaufsinn wird durch einen Pfeil in der Masche markiert. Im Sinne einer einheitlichen Behandlung sollte vorzugsweise der Rechtsumlauf angewendet werden. Ein Spannungspfeil in Umlaufrichtung ist bei der Summenbildung eine positive Spannung, ein Spannungspfeil entgegen der Umlaufrichtung ist eine negative Spannung.


74

Energetisch interpretiert sagt der Maschensatz aus, dass ein positiver Ladungsträger beim Herumführen in der Masche in jedem spannungsführenden Element der Masche seine potentielle Energie verändert und die Summe dieser Energieänderungen Null ist. Anwendung des Maschensatzes

1. Spannungspfeile der Quellenspannungen eintragen 2. Zählpfeile der Spannungsabfälle eintragen 3. Maschen entlang von Zweigen und deren Umlaufrichtung festlegen (Ma, Mb, Mc) 4. Maschensätze der Maschen aufstellen Ma: -U3 + U1 –Uq1+U4+Uq2-U2 = 0 Mb: U2 – Uq2 – U5 = 0 Mc: -U3 + U1 –Uq1+U4 – U5 = 0

R1

R2

R3 R4

R5

U1

U2

U3U4

U5

Uq1

Uq2Ma

MbMc

Abb. 3.2.4 Anwendung des Maschensatzes auf eine Netzwerkmasche

Beispiel 3.2.02

R3

R5

R2R1

R4Uq1 Uq2

R6 Uq3

a) Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Spannungen zu versehen b) Im Netzwerk sind möglichst viele Maschen zu markieren und deren Umlaufsinn eunzutragen c) Für die ausgewählten Maschen sind die Maschengleichungen aufzustellen

R3

R5

R2R1

R4Uq1 Uq2

R6Uq3

U1 U2 U3

U4U5

U6

Ma Mb

Mc

Md

Me

Mf

U U− + − = U U U U+ − − = Ma: U U Mb: q1 1 2 4 0 2 3 q2 5 0−

U U U U+ + − = U U U− + − + − = Mc: d: U U U4 5 q3 6 0 4 2 3 q2 q3 6 0 Me: q1 1 2 5 q3 6 0 Mf: q1 1 3 q2 q3 6 0U U U U U U− + + + − = U U U U U U− + − + − =

M


75

3.3 Widerstandsschaltungen 3.3.1 Reihenschaltung, Parallelschaltung von Widerständen

Der Lernende kann - erklären, dass jeder passive Widerstandszweipol durch einen Ersatzwiderstand beschrieben werden kann - den Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung angeben - den Ersatzleitwert einer Parallelschaltung angeben - den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung zweier Widerstände angeben

Energieerhaltungssatz führte zum Knotensatz der Leistungen für abgeschlossenes Volumen (3.3.01) 0P =∑ ν

0dt

dWkonstW

=

=pzu pab

Abb. 3.3.1 Energieerhaltungssatz Knotensatz der Leistungen

Der passive Zweipol wird als abgeschlossenes Volumen betrachtet. Befinden sich im Zweipol n Widerstände, dann gilt unabhängig von deren Zusammenschaltung:

P = P1 + P2 + ... + Pn (3.3.02)

Die zugeführte Leistung wird in den n Wider-ständen des Zweipols umgesetzt.

U

I

R1 R2Rn

P

P1 P2 Pn

Abb. 3.3.2 Anwendung des Knotensatzes der Leistung auf einen Widerstandszweipol

Da an den Klemmen des passiven Zweipols Spannung und Strom definiert sind, kann jeder passive Zweipol durch nur einen Widerstand (Ersatzwiderstand) dargestellt werden.

IUR = (3.3.03)

RURIIUP

22 =⋅=⋅= (3.3.04)

U

I

R

P

P

Abb. 3.3.3 Ersatzwiderstand eines passiven Zweipols

Reihenschaltung Strom durch alle Widerstände gleich I P = P1 + P2 + ... + Pn n

22

21

22 RI...RIRIRI ⋅++⋅+⋅=⋅ R = R1 + R2 + ... + Rn

(3.3.05)

∑ ν=n

1RR

R1 R2 Rn

U

I

P

P1 P2Pn

Abb. 3.3.4 Reihenschaltung von n Widerständen


76

Gesamtwiderstand einer Reihenschal-tung ist die Summe der Teilwiderstände, dabei ist R > Rν In der Leitwertdarstellung ergibt sich:

n21 G1...

G1

G1

G1

+++= (3.3.06)

Für zwei in Reihe geschaltete Widerstände ergibt sich: R = R1 + R2 (3.3.07)

21

21

GGGG+⋅

=G (3.3.08)

Beispiel 3.3.01 Die Widerstände R 11 0= Ω , R 2 und R 32 0= Ω 3 0= Ω sind in Reihe geschaltet. Gesamtwiderstand und Gesamtleitwert der Schaltung sind zu bestimmen G 1 2 3R R R R 10 20 30 60= + + = Ω + Ω + Ω = Ω

G1 2 3

1 1 1G 1R R R 10 20 30 60

= = = =+ + Ω + Ω + Ω Ω

6.7mS

Parallelschaltung Bei Parallelschaltung ist die Spannung über allen Widerständen gleich U P = P1 + P2 + ... + Pn U2 G = U2 G1 + U2 G2 + ... + U2 Gn G = G1 + G2 + .... + Gn

(3.3.09) Gesamtleitwert einer Parallelschaltung von n Teilwiderständen ist die Summe derer Teilleitwerte, dabei ist:

G>Gν R<Rν

In Widerstandsdarstellung ergibt sich:

n21 R

1...R1

R1

R1

+++= (3.3.10)

∑=G ν

n

1G

G1G2 Gn

U

I

P

P1 P2 Pn

Abb. 3.3.4 Parallelschaltung von n Widerständen Für zwei parallele Widerstände ergibt sich:

1 21 2

1 1 1G G GR R R

= + = = + (3.3.11)

1 2

1 2

R RRR R

=+

(3.3.12)


77

Beispiel 3.3.02 Die Widerstände R 11 0= Ω , R 2 und R 32 0= Ω 3 0= Ω sind parallel geschaltet. Gesamtleitwert und Gesamtwiderstand der Schaltung sind zu bestimmen

G1 2 3

1 1 1 1 1 1G 0R R R 10 20 30

= + + = + + =Ω Ω Ω

.183S

G

1 2 3

1 1R 51 1 1 1 1 1R R R 10 20 30

= = =+ + + +

Ω Ω Ω

.45Ω

3.3.2 Gemischte Schaltungen

Der Lernende kann - Widerstandsnetzwerke durch Anwendung der Reihen- und Parallelschaltbeziehung schrittweise zusammenfassen und den Ersatzwiderstand des Zweipols bestimmen Auch für Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen muss sich für den passiven Zweipol, da an den Klemmen U und I gegeben sind, ein Gesamtwiderstand

IUR = oder ein Gesamtleitwert

UI

=G bilden lassen.

Der Gesamtwiderstand wird dabei schrittweise durch das Zusammenfassen von in Reihe oder parallel geschalteter Widerstände ermittelt. Beispiel 3.3.03 Für das nachstehend gegebene Widerstandsnetzwerk ist der Widerstand zwischen den Anschlussklemmen zu bestimmen R1 = 40 Ω R2 = 12 Ω R3 = 10 Ω R4 = 125 Ω R5 = 72 Ω R6 = 50 Ω UI

R1

R2 R3

R4

R5

R6

RA = R2 + R3 = 12 Ω + 10 Ω = 22 Ω RB = R4 || R5 || R6 GB = G4 + G5 + G6

S0419.050

172

1125

1GB =Ω

+Ω

+Ω

=

Ω=== 9.23S0419.0

1G1R

BB

UI

R1

RA

RB


78

RC = R1|| RA GC = G1 + GA

S0705.022

140

1GC =Ω

+Ω

=

Ω=== 2.14S0705.0

1G1R

CC

R = RC+RB = 14.2 Ω + 23.9 Ω R = 38.1 Ω

UI

RC RB

UI

R

3.3.3 Stern-Dreieck-Umwandlung

Der Lernende kann - den Begriff der Gleichwertigkeit von Widerstandsschaltungen mit drei Anschlussklemmen erklären - die Gleichungsbedingung der Gleichwertigkeit einer Stern- und einer Dreieckschaltung von Widerständen angeben - mit den Umrechnungsgleichungen eine Sternschaltung von Widerständen in eine Dreieckschaltung und umgekehrt durchführen

Es gibt Widerstandsschaltungen, bei denen der Gesamtwiderstand des Zweipols nicht durch Anwendung von Reihen- und Parallelschaltungen ermittelt werden kann. Es existiert aber ein messbarer

Gesamtwiderstand an den Klemmen IUR =

Zur rechnerischen Bestimmung des Gesamtwider-standes wird ein Teil der Schaltung herausgelöst und durch eine andere Schaltung ersetzt. Mit der veränderten Schaltung wird die Bestimmung des Gesamtwiderstandes möglich Der herausgelöste Schaltungsteil ist ein „passiver Dreipol“ mit den Klemmen A,B,C. Dieser Dreipol weist zwischen jeweils zwei Klemmen die Widerstände RAB; RBC; RCA auf. Für das verbleibende Netzwerk ist dann die innere Schaltung des Dreipols ohne Bedeutung, wenn an den Klemmen die gleichen Widerstandswerte RAB; RBC; RCA auftreten.

R1

R2

R3

R4

R5U

I

A

B

C

A

B

C

Abb. 3.3.5 Herauslösen einer Schaltung mit drei Anschlussklemmen (Dreipol) aus einem Widerstandsnetzwerk

Einfache Innenschaltungen des Dreipols sind:


79

Sternschaltung (T-Schaltung) mit den Widerständen R10; R20; R30

A

B

C

1

2

3

0

R10

R20

R30

Abb. 3.3.6 a) Sternschaltung der Widerstände

Dreieckschaltung (π-Schaltung) mit den Widerständen: R12; R23; R13

A

B

C

1

2

3

R12

R13

R23

b) Dreieckschaltung der Widerstände

Für die Umwandlung gilt die oben formulierte Bedingung, dass die Klemmen-widerstände RAB; RBC; RCA für beide Schaltungen identisch sind.

Sternschaltung

Dreieckschaltung

RAC = R10 + R20 R12||(R23 + R13) = 132312

132312

RRR)RR(R

+++ = E

RBC = R20 + R30 R23||(R12 + R13) = 132312

131223

RRR)RR(R

+++ = F

RAB R10 + R30 R31||(R12 + R23) = 132312

231231

RRR)RR(R

+++ = H

Tab. 3.3.1 Gleichungsbedingungen für die Umrechnung Sternschaltung-Dreieckschaltung Auflösung nach den Sternwiderständen: (G1) R10 + R20 + 0 = E (G2) 0 + R20 + R30 = F (G3) R10 + 0 + R30 = H (G4) = (G3)⋅(-1) + (G2) __________________________________ (G1) R10 + R20 + 0 = E (G4) -R10 + R20 + 0 = F - H (G5) = (G1)+ (G4)) __________________________________ (G5) 0 +2R20 + 0 = E + F -H


80

2R20 = 312312

233112313123122331122312

RRRRRRRRRRRRRR

++−−+++R

2R20 = 312312

2312

RRRRR2++

R20 = 312312

2312

RRRRR

++ R10 =

312312

3112

RRRRR++

R30 = 312312

2331

RRRRR

++ Auflösung nach den Dreieckwiderständen: Benutzung der Ergebnisse R10; R20;R30

23

12

30

10

31

12

30

20

23

31

20

10

RR

RR

RR

RR

RR

RR

===

R23 = R12 R30/R10 R31 = R12 R30/R20

R10 + R20 = 312312

312312

RRR)RR(R

+++

R10 + R20 =

10

3012

20

301212

10

3012

20

301212

RRR

RRRR

RRR

RRR(R

++

+ = R12

10

30

20

30

10

30

20

30

RR

RR1

RR

RR

++

+

R10 + R20 = R12 )

R1

R1

R1(R

)R1

R1(R

10203030

102030

++

+= R12

102030

1020

R1

R1

R1

R1

R1

++

+

Übergang zu Leitwerten:

302010

2010

122010 GGGGG

G1

G1

G1

+++

⋅=+ 2010

2010

GGGG + =

302010

2010

12 GGGGG

G1

+++

⋅

G12 = 302010

2010

GGGGG++

G23 = 302010

3020

GGGGG++

G31 = 302010

3010

GGGGG++

30

2010201012 R

RRRRR ⋅++=

10

3020302023 R

RRRRR ⋅++=

20

1030103031 R

RRRRR ⋅++=


81

Beispiel 3.3.04 Zu berechnen ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen! R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 40 Ω R4 = 50 Ω R5 = 100 Ω

R1

R2

R3

R4

R5U

I

A

B

C

1

0

3

2

R10 = R1 = 10 Ω R20 = R5 = 100 Ω R30 = R2 = 20 Ω

30

2010201012 R

RRRRR ⋅++=

R12 = Ω=Ω

Ω⋅Ω+Ω+Ω 160

201001010010

10

3020302023 R

RRRRR ⋅++=

Ω=Ω

Ω⋅Ω+Ω+Ω= 320

1020100

20100R 23

20

1030103031 R

RRRRR ⋅++=

Ω=ΩΩ⋅Ω

+Ω+Ω= 32100

10201020R31

R31

R23

R3

R4

R12

U

I A

B

C

1

2

3

R = R31|| (R12||R3 + R23||R4)

Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω

=+

= 324016040160

RRRRIIRR

312

312312

Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω

=+

= 24.435032050320

RRRRIIRR

423

423423

R = R13||(32.0 Ω + 43.24 Ω) = R31||75.24Ω]

Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω

= 45.2224.753224.7532R

R31

R23IIR4

R12IIR3

U

I

A

B

C

1

2

3


82

3.3.4 Spannungsteilerregel

Der Lernende kann - die Spannungsteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben - nachweisen, dass die Spannungsteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die in Reihe geschaltet sind und vom gleichen Strom durchflossen werden

Eine Reihenschaltung von Widerständen wird vom gleichen Strom I durchflossen. Durch den Strom I fällt über jedem Widerstand eine Spannung Uν = I Rν ab. Wegen des gleichen Stromes verhalten sich die Spannungen über den Widerständen wie die zugehörigen Widerstände. Das gilt für den einzelnen Widerstand, aber auch für Gruppen dieser Widerstände und auch für den Gesamtwiderstand.

1R 2R nR

1U2U nU

U

I

Abb. 3.3.7 Spannungsteilung an der Reihenschaltung von Widerständen In der Reihenschaltung von Widerständen wird die Spannung geteilt:

1 1

2 2 1 2

U R U RU RU R U R U R R ... R

µ µ µ µ

ν ν

= = =+ + + n

(3.3.15)

Der Spannungsteiler ist die schaltungstechnische Realisierung der Spannungsteilerregel. Diese Schaltung wird in der Elektronik oft angewendet. Die Widerstände des Spannungsteilers müssen vom gleichen Strom durchflossen werden U = 12 V; R1 = 10 kΩ; R2 = 2 kΩ (leer laufender Spannungsteiler)

21

220

RRR

UU

+=

V2k2k10

k2V12RR

RUU21

220 =

Ω+ΩΩ

⋅=+

⋅=

U

R1

I

R2

U1

U20

Abb. 3.3.8 Leerlaufender Spannungsteiler


83

Wird der Spannungsteiler durch einen Widerstand RB belastet, muss zunächst die Reihenschaltung der vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände hergestellt werden.

2 BA 2 B

2 B

R RR R IIRR R

⋅= =

+

BR 15k= Ω 2 B

A2 B

R R 2k 15kR 1R R 2k 15k

⋅ Ω ⋅ Ω= = =

+ Ω + Ω.76kΩ

U

R1

I

R2

U1

U2RB

Abb. 3.3.9 Belasteter Spannungsteiler

2 A

A 1

U R 1.76k 0.15U R R 1.76k 10k

Ω= = =

+ Ω + Ω

2

2UU U 0.15 12V 1.8VU

= ⋅ = ⋅ =

U

R1

I

RA

U1

U2

Abb. 3.3.10a Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers

Liegt eine Schaltung nach Abb. 3.3.10b vor, wird das gleiche Ergebnis erhalten. In die Anwendung der Spannungsteiler- regel werden nur die vom gleichen Strom I1 durchflossenen Widerstände R1 und RA einbezogen. Widerstand R3 hat keinen Einfluss auf die Spannungsteilung.

2 A

A 1

U R 1.76k 0.15U R R 1.76k 10k

Ω= = =

+ Ω + Ω

2

2UU U 0.15 12V 1.8VU

= ⋅ = ⋅ =

U

R1

RA

U1

U2

3R

I 3I 1I

Abb. 3.3.10b Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers


84

Beispiel 3.3.05 Gegeben ist nebenstehender Spannungsteiler.

Uq = 30 V; R1 = 10 kΩ; RB = 47 kΩ a) Für Leelauf (Schalter S offen) für UB = 12 V ist der Widerstand R2 zu bestimmen b) Zu bestimmen ist UB bei Belastung (Schalter S geschlossen)!

Uq

R1

R2 RBUB

S

a)

q 1 2 1

B0 2 2

U R R R 1U R R

+= = +

12

q

B0

R 10kR 6U 30V 11 12VU

Ω= = =

−−. Ω67

b) 2 B

B 2 B 2 B

2 Bq 1 2 B1

2 B

R RU R IIR R R

R RU R R IIR RR R

⋅+

= =⋅+ ++

( )B 2 B

q 1 2 B 2 B

U R R 0.369U R R R R R

⋅= =

+ + ⋅

BU 0.369 30V 11.1V= ⋅ =

3.3.5 Stromteilerregel

Der Lernende kann - die Stromteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben - nachweisen, dass die Stromteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die parallel geschaltet sind und über denen die gleiche Spannung anliegt die besondere Form der Stromteilerregel für zwei parallel Widerstände unter Verwendung der Widerstandswerte angeben

Über jedem Widerstand einer Parallelschaltung von Widerständen fällt die gleiche Spannung U ab. Durch einen Widerstand der Parallelschal-tung fließt der Strom

νν

ν ⋅== GURUI (3.3.16)

Wegen der gleichen Spannung U verhalten sich die Ströme wie die zugehörigen Leit- werte. Das gilt für den einzelnen Leitwert aber auch für Gruppen und den Gesamt- leitwert.

1 1

2 2 1 2

II GI G GI G I G I G G ... G

µν ν

µ µ

µ= = =

+ + + n

(3.3.17) In der Parallelschaltung von Widerständen wird der Strom im Verhältnis der Leitwerte geteilt.

I1I

I2

In

G1

G2

Gn Abb. 3.3.11 Stromteilerschaltung


85

Beispiel 3.3.06 I = 1A R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 50Ω Zu berechnen sind die Teilströme I1; I2; I3!

UI1I

I2

G1

G2

;R1

;R2

G3;R3I3

1 2 31 2

1 1 1G 0.1S G 0.05S G 0.02SR R R

= = = = = =3

1 1

1 2 3

I G 0.1S 0.588I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =

+ + + +

2 2

1 2 3

I G 0.05S 0.294I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =

+ + + +

3 3

1 2 3

I G 0.02S 0.118I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =

+ + + +

I1 = 0.588 I = 0.588A I2 = 0.294 I = 0.294A I3 = 0.118 I = 0.118A Knotensatz: I = I1 + I2 +I3 = 0.588A + 0.294A + 0.118A = 1.000A Oft wird die Stromteilerregel auf zwei parallel Widerstände angewandt.

1

2

2

1

2

1

RR

GG

II

==

2RR

RGG

GII

RRR

RRRR

R1

R1

R1

R1

GGG

II

1

1

21

22

21

2

21

12

1

21

1

21

11

+=

+=

+=

⋅+

=+

=+

=

U

I1I

I2G1

G2

R1

R2 Abb. 3.3.12 Stromteilung bei zwei parallelen Widerständen

Für die Anwendung der Stromteilerregel wird nur der Bereich der Schaltung betrachtet, über dem die gleiche Spannung abfällt. Es ist zweckmäßig, den übrigen Teil des Netzwerks abzudecken. Außer den beiden Widerständen dürfen in der Teilung des Gesamtstromes keine weiteren Widerstände enthalten sein!!


86

3.3.6 Berechnung von Widerstandsnetzwerken mit den Teilerregeln

Der Lernende kann - die Teilerregeln für die Berechnung von Netzwerken mit nur einer Quelle anwenden

Widerstandsnetzwerke, die nur eine Quelle enthalten oder mit einer Klemmen-spannung versehen sind, lassen sich vollständig mit den Teilerregeln berechnen. a) Berechnung mit der Spannungsteilerregel:

In dem Netzwerk sollen die Spannungen U1 und U2 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq = 29 V R3R2Uq

R1

U1

U2

Da nur eine Spannungsquelle gegebenen und deren Polarität bekannt ist, können die Spannungsabfälle über den Widerständen vorzeichenrichtig eingetragen werde. Der Spannungsabfall über R1 zeigt von rechts nach links.

2 32

q 1 2

R IIRUU R R IIR

=+ 3

2 32 3

2 3

R RR IIRR R

=+

( )

2 3 2 3

2 3 2 3 2 32

2 3 1 2 3 2 3q 11

2 3 2 3

R R R RR R R R R RU

R R R R R R RU R R R R R RRR R R R

+ += = =

+ + + +++ +

2 1 3 2 3

2 32

q 1 2 1 3 2 3

R RU 8 2 0.138U R R R R R R 10 8 10 2 8 2

Ω⋅ Ω= =

+ + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω=

22 q

q

UU U 0.138 29V 4.00VU

= ⋅ = ⋅ =

b) Berechnung mit der Stromteilerregel In dem Netzwerk sollen die Ströme I1, I2 und I3 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq = 29 V R3R2Uq

R1

I1

I3I2

3 3 2

1 2 3 2 3

I G R 8 0.8I G G R R 8 2

Ω= = = =

+ + Ω + Ω

32 2

1 2 3 2 3

RI G 2 0.2I G G R R 8 2

Ω= = = =

+ + Ω + Ω


87

( )

( )( )q q q 2 3 q 2

12 31 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2

12 3

U U U R R U R RI R RR R IIR R R R R R R R R R R RR

R R

+ += = = =

+ + +++

3

3+ +

( )1

29V 8 2I 2

10 8 10 2 8 2Ω+ Ω

= =Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω

.5A

2

2 11

II I 0.2 2.5A 0.5AI

= ⋅ = ⋅ = 33 1

1

I 0.8 2.5A 2.I

= ⋅ = ⋅ =I I 0A

Beispiel 3.3.07 Zu berechnen sind: a) U7/U mit der Spannungsteilerregel b) I7/I mit der Stromteilerregel

R1 = 25 Ω R2 = 50 Ω R3 = 10 Ω R4 = 30 Ω R5 = 20 Ω R6 = 8 Ω R7 = 12 Ω

R5R2

R3

I7

R6

R4

R1

R7 U7U

I U1U2

U3

U4

U5

U6

RAR2

R3

R4

R1

UI U1

U2

U3

U4

U5

576A R)RR(R +=

Ω=++

+= 10

RRRR)RR(R

576

576A

RB

R1

UI U1

U2

24A3B R)RRR(R ++=

Ω= 25RB

57 7 A

5 6 7 2 3 A 4

52 B 7 7 2

1 B 5 2

UU R R12 100.6 0.2U R R 8 12 U R R R 10 10 30

UU R U U U25 0.5 0.6 0.2 0.5 0.06U R R 25 25 U U U U

Ω Ω= = = = = =

+ Ω + Ω + + Ω + Ω + Ω

Ω= = = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

+ Ω + Ω


88

b)

R5R2

R3

I7

R6

R4

R1

R7U

II2

I3

I4

I5

RAR2

R3

R4

R1

UI

I2I3

I4

576A R)RR(R +=

Ω=++

+= 10

RRRR)RR(R

576

576A

RB

R1

UI

24A3B R)RRR(R ++=

Ω= 25RB

25.05.05.0II

II

II

5.030101050

50RRRR

RII

5.012820

20RRR

RII

3

3

77

4A32

23

765

5

3

7

=⋅=⋅=

=Ω+Ω+Ω+Ω

Ω=

+++=

=Ω+Ω+Ω

Ω=

++=

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