35

III. INDICAII I SOLUII

1. a) Afirmaia nu este adevrat. Pentru graful reprezentat

n figura 7 irul de vrfuri adiacente 1346431 ,,,,,, xxxxxxxdetermin un marrut, ce nu conine ciclu elementar.

Figura 7 b) Afirmaia este adevrat.

c) Afirmaiea este adevrat. Reuniunea a dou lanuri elementare diferite, ce unesc dou vrfuri ale unui graf, este un marrut nchis ce conine unele muchii ale grafului o singurdat. De aici rezult existena ciclului elementar. 2. Drept exemplu de graf cu proprietile date poate servi graful din figura 8.

Figura 8 3. Fie graful G are 2k componente conexe

kGGG ,...,, 21 . Conform definiiei n graful complementar Gorice vrf din componenta iG ( )ki ,1= va fi adiacent cu toate

36

vrfurile din kii GGGGG ,...,,,...,, 1121 + . Aceasta garanteaz

conexitatea grafului G .4. Remarcm mai nti, c dac un graf conine dou

cicluri 1C , 2C astfel nct 221 CC XX I , atunci reuniunea lor conine un ciclu de lungime par.

Fie acum ( )11221 ,,...,, xxxxC k+= , 2k , un ciclu de lungime impar dintr-un graf G ce nu conine cicluri elementare de lungime par. Eliminnd din G toate muchiile de tipul ( )1, +ii xx pentru 12,...,7,5,3 = ki i adugnd muchiile de tipul ( )1, xxi , ( )ii xx ,1+ obinem un graf nou cu un numr mai mare de muchii n care de asemenea nu sunt cicluri de lungime par. Prin urmare, orice graf ce posed proprietile indicate n problemconine numai cicluri de lungimea trei (triunghiuri). Orice vrf x din acest graf aparine la ( )[ ]2/x triunghiuri, iar subgraful, generat de mulimea { } ( )xx U conine ( )

23

x

muchii, dac ( )x este par, sau ( ) 12

13 +

xmuchii, dac

( )x este impar. Dac n graful analizat ar exista cel puin douvrfuri suspendate yx, , atunci prin suprimarea muchiei incidente vrfului x i adugarea a dou muchii noi ( )yx, i( )zx, , unde z este vrful incident cu y , obinem un graf nou cu un numr mai mare de muchii. De aici rezult, c toate blocurile grafului ce posedproprietile formulate n problem sunt triunghiuri, dacnumrul de vrfuri n este impar, sau un bloc este determinat de o muchie suspendat i toate celelalte blocuri sunt triunghiuri, dac numrul de vrfuri n este par. Prin urmare numrul de

37

muchii m a unui astfel de graf este:

+

=.par estedac,1

213

,impar estedac,2

13

nn

nn

m

5. Graful cu un numr maxim de muchii, ce nu conine cicluri elementare, este un arbore, pentru care numrul de muchii este cu o unitate mai mic dect numrul de vrfuri.

6. a) Dac 1G este un graf p -regulat cu 1n vrfuri, iar

2G este un graf k -regulat cu 2n vrfuri, atunci 21 GG + conine

21 nn + vrfuri, n care orice vrf din subgraful 1G are valena

2np + , iar orice vrf din subgraful 2G are valena 1nk + . Este clar, c n caz general 12 nknp ++ . Prin urmare graful

21 GG + nu este regulat. Dac 1G este un graf p -regulat, iar 2G este un graf k -

regulat, atunci graful 21 GG este un graf ( )kp + -regulat. b) 21 GG + nu este bipartit; 21 GG este bipartit. 7. Graful cu proprietile indicate n problem este

reprezentat n figura 9

Figura 9

38

8. a) Orice arbore ( )TT UXT ;= poate fi privit ca un graf bipartit ( )UXXG ;, 21= , n care mulimea 1X este formatdintr-un vrf arbitrar TXx i toate vrfurile din T ce se afl la o distan par de la x , iar 12 \ XXX t= .

b) Afirmaia este adevrat numai n cazul cnd arborele T conine 1TX vrfuri suspendate. c) Afirmaia este adevrat.

d) Afirmaia este adevrat, deoarece arborele nu conine cicluri i, prin urmare, orice muchie a sa este istm. 10. n calitate de graf cu proprietile indicate poate fi luat graful ( )UYXG ;U= , n care { }54321 ,,,, xxxxxX = ,

{ }54321 ,,,, yyyyyY = i fiecare dintre submulimile de vrfuri X , Y genereaz n G subgrafuri complete 5K . n afar de aceasta graful G mai conine muchiile ( )11, yx , ( )22 , yx ,( )33 , yx i ( )43 , yx .

11. a) Pentru orice graf cubic ( )UXG ,= este adevratinegalitatea ( ) 31 G .

Fie ( ) 1=G , adic graful G conine un punct de articulaie x . Dac ( ) { }321 ,, zzzx = , atunci la eliminarea vrfului x din G obinem un graf neconex, n care dou vrfuri ale mulimii ( )x , spre exemplu 1z , 2z , aparin diferitor componente de conexitate 1G i 2G . Dac al treilea vrf nu aparine acestor componente conexe, atunci fiecare dintre muchiile ( )1, zx i ( )2, zx este istm n G . Dac 13 GXz (sau

23 GXz ) atunci muchia ( )2, zx (muchia ( )1, zx ) este istm n G .

Prin urmare ( ) 1=G .Fie ( ) 2=GH . n mod analog cu cazul cercetat se

39

demonstreaz c ( ) 3=G .n cazul ( ) 3=GH egalitatea ( ) ( )GG =H este

evident.b) n condiia ( ) 1=GH graful G conine un punct de

articulaie x i kx =deg . La eliminarea lui x din G obinem un graf neconex n care exist o component de conexitate ce conine cel mult [ ]2/k vrfuri ale mulimii ( )x . Dac din Gse elimin muchiile ce unesc aceste vrfuri cu x , atunci ca rezultat se obine un graf neconex. Aceasta nseamn c

( ) [ ]2/kG .12. Graful muchiilor unui graf ( )UXG ;= este regulat

dac i numai dac pentru oricare dou muchii ( )211 , xxu = i( )212 , yyu = din G are loc egalitatea:

2121 degdegdegdeg yyxx +=+ .13. Cel mai simplu graf cu proprietile date este graful

( )UXG ;= n care { }4321 ,,, xxxxX =

( ) ( ) ( ){ }433221 ,,,,, xxxxxxU = .14. Acesta ar putea fi graful ( )UXG ;= cu mulimile:

{ }4321 ,,, xxxxX =( ) ( ) ( ) ( ){ }14433221 ,,,,,,, xxxxxxxxU = .

15. Vezi graful din problema precedent.16. Cel mai simplu graf ce posed proprietatea dat este

graful complet nK .17. a) Deoarece orice vrf

2GXx n graful 21 GG +

este adiacent cu toate vrfurile din 1G

X , rezult c x nu poate fi colorat n culorile grafului 1G . Aceasta implic egalitatea

( ) ( ) ( )2121 GGGG +=+ .

40

b) Notm 21 GGG I= . Deoarece 1GG i 2GG ,sunt adevrate inegalitile

( ) ( )1GG ,( ) ( )2GG ,

de unde ( ) ( ) ( ){ }21 ,max GGG .

18. Toate vrfurile nxxx ,...,, 21 ale grafului plan ( )UXG ;= aparin frontierei unei fee. Considerm 1x ~ 2x ~

~~ nx ~ 1x . Dac graful nu conine alte muchii, atunci ( ) 3G . Fie ix ~ jx , 1+>ij . Atunci subgrafurile, generate de

submulimile de vrfuri { }njii xxxxxX ,...,,,,..., 111 = i{ }jii xxxX ,...,, 12 += , pot fi colorate n cel mult 3 culori astfel

nct n ambele sugbrafuri vrfurile ix i jx sunt colorate n aceeai culoare. Aceasta nseamn c ( ) 3G .

19. Pentru grafurile din figura 5b matricile de adiacen i respectiv de inciden sunt

!!!!!!

"

#

=

0000010100100000100001110

A ,

!!!!!!

"

#

=

11000001011100011001000010010000111

B .

20. a) Deoarece graful complet este neorientat, fr bucle i cu numr maxim de muchii, acest numr este egal cu numrul submulimilor de 2 elemente ale mulimii de vrfuri, care are nelemente. Deci numrul de muchii al grafului complet este 2nC .

41

b) Un poligon convex cu n vrfuri reprezint un graf neorientat cu n vrfuri i n muchii. Adugnd toate diagonalele sale se obine graful nK . Deci numrul diagonalelor poligonului este:

2)1(

2)1(2 == nnnnnnCn .

21. a) Notm prin PA mulimea tuturor perechilor de elemente din X ce pot fi considerate muchii. Cardinalul lui PAcoincide cu numrul muchiilor unui graf complet cu mulimea de vrfuri X , adic 2nC . Orice submulime a mulimii PA poate fi privit ca mulimea de muchii a unui graf oarecare G . Prin urmare numrul grafurilor cutate coincide cu numrul tuturor submulimilor mulimii PA , adic cu

2

22 nCPA = .b) Deoarece graful e orientat, 2nAPA = . Urmnd acelai

raionament deducem c numrul cerut este 2

2 nA .c) Considerm mulimea { }njijiPA

42

22. Pentru orice Xxi avem ( ) ( )=='=

+n

jiiji xgaxg

1

,

'=

=n

jjia

1

( ija sunt elementele matricii de adiacen a grafului).

Deci ( ) ( )''''''

= == =

+ ====Xx

i

n

i

n

jij

n

i

n

jij

Xxi

ii

xgamaxg1 11 1

.

23. n problema precedent s-a demonstrat relaia ( ) ( ) mxgxg

Xxi

Xxi

ii

==''

+ . Deci, ( ) ( )( ) 0='

+

Xxii

i

xgxg .

Facem notaiile ( ) ( ) iii dxgxg = + , { }0=+ ii dXxI ,{ }0

43

relaie n c) obinem imediat d). 25. Considerm graful neorientat ),( UXG = . Deoarece

graful este simplu au loc inegalitile: ( ) 10 nxg i , Xxi ( . Dac vrfurile grafului au grade

distincte atunci acestea formeaz irul 1,...,2,1,0 n . Prin urmare n G exist un vrf care este adiacent cu toate celelalte vrfuri din X . Aceasta contrazice existena n graful G a unui vrf izolat (de grad 0). Deci dac 1>n , atunci nu exist grafuri n care gradele vrfurilor sunt distincte.

26. ntr-un graf neorientat are loc relaia: ( ) mxg

Xxi

i

2='

.

Facem notaiile: ( ){ }kxgXxI iik == , ( ){ }11 +==+ kxgXxI iik , rI k = .

Atunci ( ) ( ) ( )( ) mkrnrkkkxg

kki IiIiXxi 211

1

=++=++= '''+

.

Deci )1(2 ++= knmr .27. Fie un graf F= ),( UXG cu mU = . S-a

demonstrat deja, n problema 22, c ( ) ( ) mxgxgn

Xxi

n

Xxi

ii

==''

+ .

Pe de alt parte, din ipotez rezult imediat c ( ) npxgn

Xxi

i

'

+ i

( ) nqxgn

Xxi

i

'

. Ultimele trei relaii implic inegalitatea

{ }nqnpm , , ceea ce conduce la concluzia c o majorant anumrului cutat este { }nqnp,min .

S presupunem c qp . Atunci { } npnqnp =,min . n plus, urmtoarea matrice de adiacen:

44

!!!!!!!!!!!!!

"

#

=

0...0000........0...11100...11111...1111........1...00111...00011...0000

A

n care pe fiecare coloan sunt p elemente de valoarea 1, descrie un graf care satisface inegalitile din enun i are exact np arce. Deci { } npUXGU == F),(:max .

Dac qp > , atunci { } nqUXGU == F),(:max . Egalitatea se demonstreaz ca i n cazul qp . Un graf cu nqarce este cel reprezentat prin acelai tip de matrice de adiacen n care fiecare coloan conine q elemente de valoarea 1.

28. Din egalitatea ( ) ( )ii xgxg + = pentru orice Xxi deducem

( ) ( )''

+ =Ax

iAx

iii

xgxg . (*)

Dac din graful G eliminm un arc care are ambele extremitin A , atunci sumele din (*) rmn egale i scad fiecare cu o unitate. n consecin, eliminnd din G toate arcele care au ambele extremiti n A , (*) rmne adevrat. Mai mult, dupeliminare, membrul stng al egalitii va reprezenta numrul arcelor care au extremitatea iniial n A i cea final n afara lui A , iar membrul drept numrul arcelor care au extremitatea iniial n AX \ , iar cea final n A .

45

29. Fie ( )UXG ,= , nX = , mU = . Are loc relaia ( ) mxg

Xxi

i

2='

.

Facem notaiile ( ){ }par exgXxI iie = i ( ){ }impar exgXxI iio = .

Deoarece ( ) ( ) ( )'''

+=oieii Ix

iIx

iXx

i xgxgxg ,

are loc egalitatea ( ) ( )''

=eioi Ix

iIx

i xgmxg 2 .

Membrul drept al relaiei precedente este un numr par, iar membrul stng este o sum de numere impare. Egalitatea are loc dac i numai dac numrul termenilor sumei din membrul stng este par. Deci oI este un numr par. 30. S presupunem c numrul ( )ixgk = este impar

Xxi ( . Conform problemei 29, numrul vrfurilor de grad impar este par. Deoarece gradele tuturor vrfurilor sunt egale iimpare obinem imediat c X e un numr par, ceea ce contrazice ipoteza. 31. Dac notm cu Am numrul muchiilor care au ambele extremiti n A , atunci suma gradelor vrfurilor din Aeste

( ) AAx

i mkxgi

2+='

+ .

Pe de alt parte, ( ) ( ) ( )'''

+=iipii Ax

iAx

iAx

i xgxgxg ,

unde ( ){ }par este xgAxA iip = i ( ){ }impar este xgAxA iii = .

46

Deci are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )''''

+

!!"

#=)+=+

iipiiipi Axi

AxAi

Axi

AxiA xgmxgkxgxgmk 22

Din relaia precedent rezult imediat c numerele k iiA au aceeai paritate.

32. a) Fie ( )UXG ,= graful complementar al grafului ( )UXG ,= ( )nX = . Din definiia grafului complementar

obinem egalitatea ( )2

1=+

nnUU . Din izomorfismul

grafurilor G i G rezult egalitatea ( )4

1=+

nnUU . Acest

numr este ntreg dac i numai dac kn 4= sau 14 += kn .Deci )4(mod0*X sau )4(mod1*X .

b) Din inegalitatea 1>X , innd cont de rezultatul din punctul a), rezult c graful autocomplementar cu cele mai puine vrfuri are patru vrfuri. n figura10 este reprezentat un astfel de graf.

Figura 10 33. Numrul ciclomatic al unui astfel de graf este

( ) 11 =+= pnnG+ , ceea ce nseamn c G conine cel puin un ciclu.

47

34. Fie ( )UXG ,= graful complementar al grafului ( )UXG ,= ( )5=nX . Deoarece graful cu numr maxim de

muchii i fr cicluri este arbore (n care 1=nm ), pentru a rezolv problema e suficient s artm c unul dintre aceste grafuri conine cel puin n muchii.

Einnd cont de faptul c ( )2

1=+

nnUU (vezi

rezolvarea problemei 32) deducem c numrul de muchii n unul

din grafurile G i G este mai mare sau egal cu ( )4

1nn .

Rezolvnd inecuaia ( ) 14

1>

nnn n N obinem

4>n . Deci dac graful ( )UXG ,= conine mai mult de 4 vrfuri, atunci G sau G conine un ciclu.

35. Fie 1l i 2l dou lanuri de lungime maxim, egal cu t , se unesc perechile de vrfuri 1x , 1y i respectiv 2x , 2y .Presupunem c aceste dou lanuri nu au vrfuri comune. Atunci, deoarece graful este conex, exist un lan 3l ntre vrfurile 1lj i 2li . Fr a pierde din generalitate putem presupune c { }jll =13 I i {}ill =23 I . Notm lungimea acestui lan prin 1p .

Figura 11

48

Fie '1l ,''

1l ,'2l i

''2l sublanurile din 1l , 2l , care unesc

perechile de vrfuri ( )jx ,1 , ( )1, yj , respectiv ( )2, yi (vezi figura 11). Notm lungimile acestor lanuri prin s , r , k i d .Au loc egalitile trs =+ i tdk =+ . Deoarece Ndtkrs ,,,,rezult { } 2/,max tts i { } 2,max dk . S presupunem c

{ } sts =,max i { } kdk =,max (orice alt situaie se trateaz la fel). Atunci lanul '23

'1 lll UU are lungimea mai mare dect

2/12/ tt ++ , ceea ce contrazice presupunerea c lungimea celui mai lung lan din G este t .

36. Considerm un lan l de lungime maxim n acest graf i fie Xxi unul din extremitile lui. Vrful ix este adiacent numai cu vrfuri ale lanului l . Dac am presupune contrariul, atunci am ajunge cu uurin la contradicie cu maximalitatea lanului ales. Mai departe, deoarece, ( ) 3ixg , se formeaz astfel cel puin trei cicluri dintre care cel puin unul este de lungime par, oricare ar fi paritatea lungimilor lanurilor de la ix la 1jx i de la 1jx la 2jx (vezi figura 12).

Figura 12 37. "", . Considerm graful ( )UXG ,= unde

ZYX U= i exist muchii numai ntre Y i Z . Atunci orice ciclu C este de forma { }okkoo yzyzyzy ,,,...,,,, 11 , unde Yyi ,

ki ,...,1,0= i Zzi , ki ,...,1,0= . Este clar c lungimea lui Ceste k2 .

""- . S presupunem c G are toate ciclurile de lungime par i este conex. n caz contrar raionamentul se aplic pentru

49

fiecare component conex n parte. Fie Xv un vrf oarecare. Vom considera mulimile

{} ( ){ }par e, yvdXyvY = U i YXZ \= . Fie {}vYvv \, 21 (sau Zvv 21 , ). S presupunem c ( ) Uvv 21, . Hi s notm cu

( )1,vvD i ( )2,vvD cele mai scurte lanuri ntre v i 1v ,respectiv ntre v i 2v . ( ) ( ) ( ){ }2121 ,,, vvvvDvvD UU formeazun ciclu C de lungime impar deoarece, din definiia mulimii Y rezult c lungimile lanurilor ( )1,vvD i ( )2,vvD coincid cu

( )1,vvd i ( )2,vvd i deci sunt numere pare (impare). Existena unui astfel de ciclu contrazice ipoteza i deci

( ) Uvv .21, , de unde deducem c graful e bipartit. 38. S presupunem c exist un ciclu elementar C de

lungimea / . Facem notaia 21 XXX U= , unde 12/1 =/X ,

0=2X . Deoarece G este bipartit, deducem c jumtate din vrfurile lui C sunt n 1X , iar cealalt jumtate n 2X . Einnd seama c ciclul C este elementar, avnd lungime / , deducem c C conine 2// vrfuri din 1X i 2// vrfuri din 2X , ceea ce contrazice faptul c 12/1 =/X .

39. Egalitatea poate fi demonstrat prin inducie n raport cu numrul de muchii din graf.

40. ntr-un graf planar are loc relaia lui Euler 2= nfm . Cum n este constant rezult c diferena fm

este constant i valorile maxime pentru f i m se ating simultan, pentru acelai graf. Graful cu numr maxim de fee are proprietatea c pentru fiecare fa frontiera este un ciclu de lungime 3 . Cum fiecare muchie intr n frontiera a dou fee, deducem c are loc fm 32 = . Deci relaia lui Euler devine:

a) 6323 = nmm , de unde 63 = nm .b) 4223 = nff , adic 42 = nf .

50

41. Notm prin m i f numrul de muchii i respectiv de fee ale grafului G . Deoarece fiecare muchie aparine interseciei frontierelor a dou fee i frontiera fiecrei feeconine k muchii, obinem egalitatea mkf 2= , de unde

kmf 2= . nlocuind valoarea lui f n formula lui Euler

2=+ fmn obinem ( )22

=knkm

42. Fie graful planar ( ) 5,, = XUXG , reprezentat n plan astfel nct oricare dou muchii ale sale nu au puncte interioare comune. Notm prin ( )Gi numrul vrfurilor lui Gcare au gradul mai mic sau egal cu 5. Asupra grafului G facem urmtoarea transformare: se adaug muchii astfel nct graful obinut *G s nu conin muchii multiple i s aib ca frontier afiecrei fee un ciclu de lungime trei. Notm ( )*Gi numrul vrfurilor din *G de grad cel mult 5. Este evident c( ) ( )*GiGi . n *G au loc relaiile:

a) 63 = nm (vezi problema 40), b) ( ) 3xg , pentru orice x din graful *G . Ultima

afirmaie este adevrat deoarece frontiera fiecrei fee a grafului *G este un ciclu de lungime trei i *G nu conine muchii

multiple. c) ( ) ( ) ( )( )** 632 GinGixgm

Xx+='

.

Aceast afirmaie este adevrat deoarece, datoritrelaiei b), n *G vrfurile de grad cel mult 5 au gradul cel puin trei, iar celelalte ( )*Gin vrfuri au gradul cel puin ase. Prin urmare obinem:

( ) ( ) ( )( )** 636322 GinGinm += ,

51

de unde ( ) 4* Gi .Din inegalitatea ( ) ( )*GiGi rezult ( ) 4Gi .43. Deoarece G nu conine subgrafuri 3K , rezult uor

c ffm 22

4 = . Dac presupunem c G este planar, din

relaia lui Euler i inegalitatea din enun avem ( ) mmmnmnmfm =+>+=+= 244422222 , ceea

ce reprezint o contradicie. Deci G este neplanar. 44. a) Se observ c orice graf planar exterior

( )UXG ,= cu 3=nX i numr maxim de muchii, poate fi desenat n plan ca un poligon cu n vrfuri i 3n diagonale. Prin urmare n graful G obinem egalitatea 32 = nU .

b) Orice graf planar exterior ( )UXG , , 3=nX , cu numr maxim de muchii, poate fi desenat n plan astfel nct conturul feei nemrginite s fie un ciclu de lungime n , iar contururile feelor mrginite s fie cicluri de lungimea trei. Se observ cu uurin c exist trei vrfuri zyx ,, astfel nct cel puin unul dintre ele are gradul doi i mpreun genereazconturul unei fee. Fie y vrful de gradul doi. Vom demonstra, folosind metoda induciei matematice, c n G exist cel puin dou vrfuri de grad doi. Pentru 3=n afirmaia este evident.Presupunem c proprietatea este adevrat pentru orice graf cu

3k vrfuri i s o demonstrm pentru un graf cu 1+k vrfuri. Conform celor demonstrate mai sus, n G exist un vrf y de grad doi, adiacent cu vrfurile x i z . Eliminnd y din G obinem un graf 'G cu k vrfuri care este evident planar maximal exterior. Aplicnd ipoteza induciei pentru 'G rezultc el conine dou vrfuri de grad doi. Acestea nu pot fi x i zdeoarece 'G este maximal exterior. Prin urmare n 'G exist un

52

vrf w de grad doi i { }zxw ,. . Atunci n graful iniial Gvrfurile y i w sunt de grad doi.

c) Deoarece orice graf planar maximal exterior ( )UXG ,= conine un vrf de grad doi, atunci folosind metoda

induciei matematice putem demonstra c ( ) 3=G .45. a) , b). Din faptul c G are un circuit eulerian i

nu are vrfuri izolate rezult c oricum am alege Xxx ji ,exist drum de la ix la jx i deci G este tare conex. Pe de altparte, circuitul eulerian trece prin toate arcele care intr i toate arcele care ies dintr-un vrf ix . Deci la fiecare trecere prin ix se folosete un arc care intr n ix i un arc care iese din ix , ceea ce conduce la relaia ( ) ( )ii xgxg + = Xxi ( .b) , a). Din faptul c G este tare conex rezult imediat cG nu are vrfuri izolate.

S presupunem acum c, dei G este tare conex ipentru orice vrf ix are loc ( ) ( )ii xgxg + = , G nu are circuit eulerian.

Alegem un circuit simplu de lungime maxim C .Deoarece C nu este elulerian, adic lungimea lui C este mai mic dect m , putem afirma c exist arce n mulimea CU \ .Considerm graful ( )CUXGc \,'= , unde XX 1' este mulimea vrfurilor lui G care sunt extremiti ale unor arce din

CU \ . Deoarece ( ) ( )ii xgxg + = Xxi ( , iar circuitul Cfolosete n fiecare vrf prin care trece acelai numr de arce de intrare i de ieire, deducem c pentru toate vrfurile din cGrmne adevrat proprietatea c gradul interior i gradul exterior al fiecrui vrf coincid. Fie 'Xxi astfel nct ix este vrf al lui C . Existena unui astfel de vrf este asigurat de

53

faptul c dac implicaia 'XxCx ii ,( ar fi adevrat,atunci ar rezulta c G nu e tare conex.

Alegem acum un arc ( ) CUxx ji \, i s ncercm s ne "deplasm", folosind arce ale lui cG (fiecare o singur dat)atta timp ct putem nainta. S presupunem c am ajuns ntr-un vrf ik xx . Deoarece ( ) ( )kGkG xgxg cc

+ = rezult c nu ne vomopri n kx deoarece exist un arc de ieire (neutilizat nc) din

kx (Aici ( )iG xg C+ i ( )iG xg C

reprezint valenele respective n graful CG ). Repetnd acest raionament n fiecare vrf n care am ajuns i innd seama de faptul c numrul vrfurilor lui cGeste finit, deducem c n cele din urm ne vom ntoarce din nou n ix , construind astfel un nou circuit 1C . Deci n graful Gexist circuitele 1C i C , care au n comun cel puin vrful ix .Dar n aceast situaie reuniunea CC U1 este un circuit simplu al lui G de lungime mai mare dect a lui C , ceea ce contrazice maximalitatea lui C .

46. a) , b). Deoarece nu exist vrfuri izolate, rezultimediat c orice ciclu eulerian trece prin toate vrfurile grafului. De aici deducem c G este conex i c fiecare vrf are gradul par. ntr-adevr, la o parcurgere a unui ciclu eulerian, n care se elimin fiecare muchie parcurs, dup vizitarea unui vrf se terg exact dou muchii.

b) , a). Deoarece G este conex, este evident c G nu conine vrfuri izolate.

S presupunem acum c dei G are proprietatea b), n G nu exist ciclu eulerian. Alegem un ciclu simplu de lungime maxim. Deoarece C nu este eulerian, adic lungimea sa este mai mic dect m , putem afirma c mulimea CUU \ nu e vid.

Considerm graful ( )CC UUXG \,'= , unde XX 1' este

54

mulimea vrfurilor lui G care sunt extremiti ale muchiilor CUU \ . Deoarece ( )1xg este un numr par, oricare ar fi Xxi ,

iar ciclul C conine un numr par de muchii incidente fiecrui vrf, deducem c toate vrfurile din cG au gradul par.

Fie 'Xxi , astfel nct ix se afl i pe ciclul C .Existena unui astfel de vrf este asigurat de conexitatea lui G .

Alegem o muchie ( ) CUxx ji \, i ncercm s ne "deplasm" folosind muchii ale lui cG , astfel nct fiecare muchie s fie parcurs o singur dat. S presupunem c am ajuns ntr-un vrf ik xx . Deoarece kx are gradul par i dintre muchiile incidente am folosit o muchie (sau cel mult un numrimpar de muchii), rezult c din kx putem pleca ntr-un alt vrf ntruct mai exist cel puin o muchie neutilizat nc. Repetnd acest raionament n fiecare vrf vizitat i innd seama de faptul c numrul vrfurilor din 'X e finit, deducem c n cele din urm vom ajunge din nou n ix . Am construit astfel un ciclu 1Cn cG , care are n comun cu C cel puin vrful ix . Reuniunea acestor dou cicluri este tot un ciclu simplu, de lungime mai mare dect a lui C . Existena lui CC U1 contrazice maximalitatea alegerii lui C i deci n G exist un ciclu eulerian.

47. Presupunem c graful ( )UXG ,= nu este conex. Prin urmare el conine cel puin dou componente conexe. Notmprin p numrul componentelor conexe din G . Vom analiza urmtoarele dou cazuri:

1) 12 +== knX . Deoarece gradul fiecrui vrf Xxi

este ( ) knxg i =

2

1 , rezult c fiecare component conex

conine cel puin 1+k vrfuri. Deci n G are loc inegalitatea

55

( )( )21 +> pkpn , ceea ce contrazice faptul c 12 += kn .2) kn 2= . Deoarece gradul oricrui vrf este numr

ntreg deducem c Xxi ( ( ) kxg i . Ca i n cazul precedent obinem ( )1+> kpn . Dar 2p i atunci ( )12 +> kn , ceea ce contrazice faptul c kn 2= .

Din 1) i 2) rezult c G este conex. 48. Deoarece G are un numr maxim de muchii fiecare

component conex este un subgraf complet. S notm cu pnn ,...,1 ordinele componentelor conexe ale grafului G .

Evident, pnnnn +++= ...21 , iar '=

=p

ini

Cm1

2 . Valoarea m este

maxim cnd 1+= pnnk i 1=in ki ( . n acest caz

!"# +=

21pnm .

49. Pentru a demonstra afirmaia din enun este suficient s artm c orice graf cu 4n vrfuri i dou componente conexe conine cel mult ( )( ) 2/21 nn muchii. ns aceasta rezult din problema precedent.

50. Este uor de vzut c dac o muchie ( )yx, a unui graf ( ) 3,, = XUXG , este istm, atunci x i y sunt puncte de articulaie.

Reciproc, fie x un punct de articulaie ntr-un graf n care gradul fiecrui vrf este trei. Notm cu zy, i w vrfurile adiacente cu x . Dac eliminm vrful x obinem un graf cu cel puin dou componente conexe, una dintre care conine numai exact unul dintre vrfurile wzy ,, (de exemplu y ). Fie aceastcomponent 1G . Prin urmare orice lan care unete x cu oricare din vrfurile lui 1G conine muchia ( )yx, . Deci ( )yx, este un istm.

56

51. a) S observm c orice vrf aparinnd unui ciclu nu este punct de articulaie. Deci graful cu numr maxim de puncte de articulaie nu conine cicluri, adic este o pdure. Pe de altparte, nici un vrf de gradul unu (vrf suspendat) nu este punct de articulaie. Cum fiecare arbore are cel puin dou vrfuri suspendate (vezi problema 65), rezult c graful cu numrmaxim de puncte de articulaie este un arbore cu doar douvrfuri suspendate. Deci numrul maxim de puncte de articulaie al unui graf cu n vrfuri este 2n .

b) Din raionamentul de mai sus deducem c un exemplu de garf cu n vrfuri i kn puncte de articulaie este un arbore cu k vrfuri suspendate. Precizm c pentru 2=k arborele coincide cu lanul de lungime 1n , iar pentru 1=nk arborele respectiv este graful stea sau graful bipartit complet 1,1 nK .

52. Necesitatea. Fie ix un punct de articulaie al grafului ( )UXG ,= i ( )111 ,UXG = , ( )222 ,UXG = , , ( )kkk UXG ,=

componentele conexe ale grafului care se obin din G prin eliminarea vrfului ix . Alegem 1Xu i 2Xv . Este evident c orice lan ce unete aceste vrfuri n G conine vrful ix .

Suficiena este evident.53. Fie ( ) nXUXG == ,, , un graf planar 5-conex.

Evident, 6>n . Se tie c numrul maxim de muchii al unui graf planar cu n vrfuri este 63 n (vezi problema 40). Deci pentru graful G are loc inegalitatea

63 nU .

57

Din 5-conexitatea lui G rezult c gradul fiecrui vrf Xxi este cel puin 5 i deci are loc relaia:

( )'

=Xx

ii

nxgU 52 .

Din relaiile stabilite obinem inegalitatea 632/5 nUn , care conduce imediat la echivalena

125126 ) nnn . Prin urmare orice graf 5-conex conine cel puin 12 vrfuri.

54. Pentru a demonstra inegalitatea este suficient sfacem precizarea c orice mulime maximal intern stabil este i extern stabil.

Deci ( ) { TTGo :min=0 extern stabil } ( )GS o/= ,unde S este o mulime maximal intern stabil.

55. Pentru a rezolva problema este suficient sconsiderm doar mulimile D maximale intern stabile (vezi problema 54).

56. Fie ( )UXG ,= un graf care satisface proprietatea din enun i fie { }rvv ,...,1= un lan de lungime maxim. Atunci

1v poate fi adiacent numai cu vrfuri din mulimea { }rvv ,...,2 ,deoarece n caz contrar nu ar mai fi lan de lungime maxim.

Fie { }( ){ }Uvvrji j = ,,...,2max 1 . ntruct ( ) dxg >1 ,rezult c 1+ dxi . Deci vrfurile 11 ,,..., vvv i formeaz un ciclu de lungimea cel puin 1+d .

57. a) Inegalitatea ( ) ( )GdGr rezult imediat din definiia razei i respectiv a diametrului, iar inegalitatea

( ) ( )GrGd 2 este consecina urmtorului ir de implicaii

58

( ) ( ) ( )zydyxdzxd ,,, + (inegalitatea triunghiului) 3

( ) ( ) ( )zydyxdzxdXzXz

,max,,max

+

3( ) ( ) ( )zydyxdzxd

XzXxXzXx,max,max,maxmax

+

3( ) ( ) ( )zydyxdzxd

XzXyXxXyXzXx,maxmin,maxmin,maxmax

+

3( ) ( )GrGd 2 .

b) Fie x i y dou vrfuri diametral opuse ntr-un arbore T . Vom nota diametrul arborelui prin ( )Td i lanul elementar care unete x cu y prin l . Vom analiza urmtoarele cazuri:

1. ( ) kTd 2= . Fie v mijlocul lanului l ( )( =vxd ,( ))yvd ,= . Dac t este un vrf ce nu aparine lanului l , atunci

( ) ktvd = yqdxqdqe ,,,max ( ) kxvd =, . S considerm acum

un vrf lv . al arborelui i un vrf z un vrf al lanului l , astfel nct ( ) ( ){ }lrrwdwzd = ,min, . n acest caz ( ) ( ) ( ) ( ){ } kyzdxzdzwdwe >++ ,,max, . Din cele demonstrate

rezult c vrful v este vrful cu excentricitatea cea mai mic.Deci ( ) ( ) 2/dkveGr === .

2. 12 += kp . n acest caz exist dou vrfuri ',vv ale lanului l , astfel nct ( ) ( ) 1,, = yvdvxd i

59

( ) ( ) 1,', = vxdvyd . Vom determina ( )ve . Din aceleaiconsiderente de mai sus obinem c pentru orice vrf t al arborelui, care nu aparine lanului l , avem ( ) 1, += kqydqxdqe . Dac lz . , atunci ca i n

cazul 1., obinem ( ) 1+>kze . Deci ( ) [ ] 12/ += dGr .Din cele demonstrate obinem imediat relaia

( )

+=

21dGr .

58. Afirmaia din problem nu este adevrat. Drept exemplu poate servi un graf vrfurile cruia genereaz un ciclu elementar.

59. Demonstraia este coninut n rezolvarea problemei 57. Cu toate acestea vom prezenta o metod iterativ pentru a arta c orice arbore are fie un vrf central fie dou vrfuri centrale adiacente. Evident, pentru arborii cu un vrf sau cu douvrfuri afirmaia este adevrat. Fie ( )UXG ,= un arbore i

XT 1 mulimea vrfurilor suspendate ale lui G . Pentru orice Xv are loc egalitatea ( ) ( ){ }Tvvvdve = '',max . Dac

eliminm din G toate vrfurile lui T i notm cu 'G arborele rezultat, putem afirma c excentricitatea oricrui vrf din 'G va fi cu o unitate mai mic dect excentricitatea aceluiai vrf din G . De aici drept consecin imediat obinem c mulimea centrelor lui G coincide cu mulimea centrelor lui 'G .

Dac iterm acest procedeu, atunci vom obine un ir finit de arbori ,...'',', GGG toi avnd aceeai mulime de centre cu G . Ultimul arbore nevid din acest ir va avea fie un vrf, fie dou vrfuri care sunt totodat i centrele lui. Prin urmare G are

60

fie un centru, fie dou centre adiacente. 60. Pentru graful planar cu trei vrfuri afirmaia din

problem este, evident, adevrat. Admitem c afirmaia este adevrat pentru orice graf triangulat cu 3=pn vrfuri. Sconsiderm cazul cnd 1+=pn . E cunoscut faptul c orice graf planar conine cel puin patru vrfuri de grad cel mult 5 (vezi problema 42). Pe de alt parte, deoarece graful planar este triangulat, el nu conine vrfuri de grad mai mic dect 3. Deci exist Xxi , astfel nct ( ) 53 ixg .

Considerm o colorare arbitrar a lui ( )UXG ,= cu trei culori cba ,, . n aceast colorare vrful ix are una din cele trei culori. Notm prin 'G graful care se obine din G prin eliminarea vrfului ix i a muchiilor incidente, iar prin Cfrontiera feei formate dup aceast eliminare. Triangulm ciclul C i notm graful obinut prin ''G . Printr-o verificare simpl ne putem convinge c paritatea numrului de fee noi, obinute dup triangulare i care sunt colorate corect, coincide cu paritatea numrului de muchii ale ciclului C care au extremitile colorate n culorile a i b . Deoarece ''G este un graf planar triangulat care are p vrfuri i putem aplica ipoteza induciei. Deci numrul feelor colorate din ''G este par. De aici, innd seama de cele spuse mai sus rezult c numrul feelor colorate corect n G este par.

61. Pentru harta respectiv vom construi un graf neorientat ( )UXG ,= , n care mulimea de vrfuri Xcorespunde regiunilor conexe din plan determinate de intersecia cercurilor, iar dou vrfuri sunt adiacente, dac regiunile respective au frontier comun (precizm c dac dou cercuri sunt tangente exterior, atunci nu se consider c regiunile mrginite de aceste cercuri au frontier comun). Se poate arta uor c graful astfel construit nu conine cicluri de lungime

61

impar. Deci el este bipartit i poate fi colorat corect cu douculori.

62. Vom demonstra afirmaia prin inducie dup numrul de vrfuri n din G .

Evident pentru 5n inegalitatea ( ) 5G este adevrat.

Admitem c ( ) 5G pentru orice graf G ce conine 5n vrfuri. Fie ( )UXG ,= un graf planar cu 1+n vrfuri. n

G exist un vrf v de grad cel mult 5 (vezi problema 42). Notm cu A mulimea ( )v4 i cu 1G graful care se obine din G prin eliminarea lui v i a muchiilor incidente cu v . Conform induciei matematice ( ) 5G . S considerm o colorare corect a lui 1G cu culorile ic , ( ) 51 Gi . Dac la colorarea vrfurilor din mulimea A nu a fost folosit o culoare

jc , atunci atribuind aceast culoare vrfului v , obinem o colorare corect a lui G n ( ) 51 G culori. Rmne sanalizm situaia cnd 5=A i pentru colorarea vrfurilor din A s-au folosit n 1G exact 5 culori. Notm prin 54321 ,,,, vvvvvvrfurile mulimii A i presupunem c G este desenat n plan, astfel nct oricare dou muchii distincte nu au puncte interioare comune. Fr a pierde din generalitate putem considera c iveste colorat n culoarea ( )51 ici i {}v genereaz subgraful din figura 13. Notm prin 13G subgraful grafului 1G generat de

toate vrfurile colorate cu 1c sau

3c .Dac 1v i 3v se afl n

componente conexe diferite din 13G , atunci n componenta ce

Figura 13

62

conine pe 1v , colorm cu 1c toate vrfurile care au fost colorate cu 3c i cu 3c toate vrfurile care au fost colorate cu 1c . Vom obine o colorare corect n cinci culori a grafului 1G , n care pentru vrfurile lui A se folosesc doar patru culori 5432 ,,, cccc .Atribuind lui v culoarea 1c , G va fi colorat corect cu cinci culori.

Dac 1v i 2v se afl n aceeai component conex a lui

13G , atunci exist un lan ntre ele, care are vrfurile colorate alternativ numai n culorile 1c i 3c . Acest lan mpreun cu vformeaz un ciclu n interiorul cruia se afl numai unul din vrfurile 2v i 4v (precizm c ne referim la interiorul mulimii din plan a crei frontier este ciclul respectiv). Deci 2v i 4vsunt n mod sigur n componente conexe diferite n 24G , unde

24G este subgraful lui 1G generat de vrfurile colorate numai cu

2c i 4c . Procednd ca mai sus se poate obine o colorare corect a lui G n cinci culori, n care v va fi colorat cu 2c .

63. Fie ( ) 5 =G . Deoarece graful G este critic i1S , rezult c exist 1r , astfel nct ( )( )=SXG \

( ) rrG == 5 (prin ( )SXG \ se noteaz subgraful lui G ,generat de mulimea SX \ ). Mai mult, colorarea grafului Gpoate fi obinut din colorarea grafului ( )SXG \ , la care se adaug o singur culoare pentru toate vrfurile din mulimea stabil interior S . Deci ( ) 1+== rG 55 , de unde obinem

1=r . Prin urmare are loc egalitatea ( )( ) ( ) 1\ = GSXG .64. a) Demonstrm inegalitatea prin inducie dup n .

Pentru 1=n i 2=n din reprezentarea lui nK se deduce ( ) ( ) 1+=+ nGG .

63

Presupunem c inegalitatea este adevrat pentru orice graf cu cel mul 1n vrfuri i considerm un graf G cu nvrfuri. Fie Xi . Atunci ( ) {}( ) 1+ iGG i

( ) {}( ) 1+ iGG .Dac cel puin o inegalitate este strict, atunci din

ipoteza de inducie dup nsumarea lor se obine rezultatul. Dac ( ) {}( ) 1+= iGG i ( ) {}( ) 1+= iGG ,

atunci numrul de vrfuri adiacente lui i n grafurile complementare G i G este cel puin {}( )iG respectiv

{}( )iG . Pe de alt parte suma gradelor lui i n G i G este 1n i atunci ( ) ( ) {}( ) {}( ) 1212 +=+++=+ nniGiGGG .

b) Relaia cerut se obine folosind inegalitatea precedent i innd seama c ( ) ( ) ( ) ( )( )2GGGG + .

c) Notm ( )G cu k , i cu in numrul de vrfuri ale grafului G colorate cu culoarea i . De asemenea fie 0N i 1Nnumrul de elemente din matricea de adiacen a lui G egale cu 0 respectiv 1. Deoarece ntre vrfurile colorate cu aceeaiculoare nu exist muchii, atunci n matricea de adiacen pentru fiecare culoare i exist 2in elemente nule. Deci

( )kn

knnnnnnN kk

222122

2210

...... =

+++++ .

nsknmNNn

2

102 2 ++= , ceea ce conduce la rezultat, adic

( )mn

nkG22

2

= .

65. Presupunem c arborele considerat are numai un singur vrf terminal v , adic ( ) 1=vg i ( ) 1' >vg pentru orice

64

{}vXv \' . Se tie c

( ) ( ) 1212121

=+='=

nnigmn

i.

Pe de alt parte, deoarece orice arbore cu n vrfuri are 1nmuchii, avem ( ) 22122 == nnm . n concluzie

1222 nn , ceea ce este absurd. 66. Vom demonstra aceast proprietate prin inducie

dup numrul de vrfuri ale lui G .Dac G are dou vrfuri, atunci proprietatea este

evident.S presupunem c ea este adevrat pentru orice arbore

cu n vrfuri i fie G un arbore cu 1+n vrfuri. G conine un vrf ix de grad 1, adiacent cu jx . Vom elimina din G vrful ixi muchia ( )ji xx , . Arborele iG obinut n acest mod are nvrfuri.

Fie pGG ,...,1 o familie de subarbori ai lui G astfel nct fiecare doi un vrf comun. Prin suprimarea lui ix i a muchiei ( )ji xx , vom obine o familie de subarbori ipi GG ,...,1 ai lui iGcare pstreaz aceast proprietate. ntr-adevr, dac kG i rG au n comun un vrf ixv , atunci acesta va rmne comun ipentru ikG i

irG , iar dac vrful comun este ix , atunci este

evident c i jx este comun pentru perechile de arbori kG i rGi respectiv ikG i

irG .

Aplicnd ipoteza induciei pentru familia ipi GG ,...,1 ,

obinem c aceast familie are un vrf comun i deci subarborii pGG ,...,1 au i ei aceast proprietate. Unica situaie care nu a

fost luat n discuie este aceea cnd n familia pGG ,...,1 unul

65

dintre subarbori este format numai din vrful ix . n acest caz, din proprietile familiei v-a rezulta imediat c ix este comun tuturor subarborilor.

67. "- " este evident, deoarece 2221

=='=

nmdn

ii .

Pentru demonstrarea implicaiei reciproce vom folosi inducia dup n .

Pentru 2=n vom obine relaia 221 =+dd i din relaia

210 dd < rezult imediat c 121 ==dd . Pentru acest caz putem construi cu uurin arborele care conine dou vrfuri io singur muchie.

S presupunem proprietatea adevrat pentru 1nnumere i s o demonstrm pentru ndd ,...,1 cu 3n i

221

='=

ndn

ii .

Afirmm c 11 =d . ntr-adevr, dac am presupune c

21 d , atunci ar rezulta c 2221

>'=

nndn

ii , ceea ce ar fi

absurd. De asemenea este clar c 1>nd . n caz contrar am avea

221

66

68. Fie n ordinul arborelui G . Dup cum se tie, n orice graf are loc relaia

( ) mxgXx

ii

2='

.

n cazul arborilor G aceast relaie devine: ( ) 221...32 1321 =++++ ngnggg n .

Deci ( ) ( ) 2...222...32 1114321 +=+++++ nn ggnggggg ,

adic222232 2121 ++++ gggggg ,

ceea ce este echivalent cu 21 + gg .S observm c egalitatea are loc cnd 0=ig 4(i .69. Garful fiind arbore este conex i deci ntre oricare

dou vrfuri ale sale exist un singur lan. Cum diametrul arborelui este cel puin 32 k , rezult c exist cel puin un lan(n arbori toate lanurile sunt elementare) L care trece prin

22 k vrfuri. S notm extremitile lanului L prin ix i jx .Fie Xp . Notm cu piL i pjL lanurile, din arborele

dat, dintre vrfurile p i i , respectiv dintre p i j . Deoarece ntre oricare dou vrfuri ale arborelui exist un singur lan,deducem c piL conine o parte a lanului L , iar pjL coninea cealalt parte a lui L . Cum L are lungimea mai mare sau egalcu 32 k , nseamn c cel puin una din cele dou pri ale lui L are lungimea mai mare sau egal cu 1k . Deci dacdiametrul arborelui este egal cu 32 k i muchia de mijloc a lanului L unete vrfurile s i t , atunci pentru fiecare

{ }tsXp , cel puin unul dintre lanurile piL i pjL are lungimea mai mare sau egal cu k . Adic din vrful p existcel puin un lan cu lungimea k .

67

Pentru vrfurile p din LX exist cel puin ( )22 kn lanuri distincte de lungimea k .

Pentru vrfurile p din L exist cel puin 2k lanuri distincte de lungime k (alegnd p de la i la s , celelalte 2klanuri de lungime k corespunztoare alegerii lui p de la t la jcoincid cu primele, diferena fiind aceea c parcurgerea muchiilor se face n ordine invers).

n concluzie numrul minim de lanuri de lungime k este knkkn =++ 222 .

70. Fiecare component conex conine un arbore parial, deci are loc 1 ii nm , unde im i in reprezint numrul de muchii, respectiv de vrfuri din componenta conex cu numrul i , pi 1 . nsumnd dup i se obine relaia cerut.

71. ntre oricare dou vrfuri ale unui arbore exist un lan unic care le unete. Subgraful indus de B nu conine cicluri, deoarece nici A nu conine cicluri. Dac Byx , i yx atunci x , y sunt vrfuri ale fiecrui subarbore pAA ,...,1 , deci fiecare din aceti subarbori conin lanul unic ( )yzzx k ,,...,, 1 care l unete pe x cu y n A .

Deci pk XXzz ,...,..., 11 sau Bzz k ,...,1 , ceea ce demonstreaz c subgraful indus de mulimea de vrfuri B este conex, deci este arbore ( iX , pi ,1=( este mulimea de vrfuri a arborelui iA ). 72. Dac arborele G are mulimea vrfurilor X de cardinal n , atunci el are 1n muchii. Deci n suma '

Xyxyxd

,

),( exist exact 1n termeni egali

cu 1, restul termenilor nenuli fiind egali cu cel puin 2 . Dac G

68

este o stea (graful 1,1 nK ), toi termenii diferii de 0 (pentru yx = ) i de 1 au valoarea 2 . Dac G nu este stea, exist cel

puin un termen egal cu 3 , deci minimul cutat se atinge numai pentru arborele 1,1 nK . Pentru a gsi maximul acestei sume sartm c )(xs este maxim n mulimea vrfurilor terminale ale unui arbore numai atunci cnd arborele G este un lan i x este una din extremitile sale. Dac L este un lan cu n vrfuri, xfiind una dintre extremiti, atunci avem

)1(...21)( +++= nxs .G fiind un arbore i x un vrf terminal cu dxe =)( , va exista cel puin cte un vrf la distana d,...,2,1 de x . Einnd seama de definiia lui )(xs , rezult c suma care definete pe )(xs are forma:

dndddxs ++++++= 11 ......21)( , unde ddd dn 11,..., . Comparnd cu expresia lui )(xs n cazul lanului L , gsim c maximul lui )(xs se atinge numai n cazul cnd 1=nd , adic G este un lan i x este una dintre extremitile sale. S demonstrm prin inducie dup n c n mulimea arborilor G cu n vrfuri X '

Xyxyxd

,

),( este maxim

atunci cnd G este un lan. Pentru 31 n proprietatea este imediat, deoarece orice arbore cu cel mult 3 vrfuri, este un lan. S presupunem c proprietatea este adevrat pentru toiarborii cu cel mult 1n vrfuri i fie G un arbore cu n vrfuri care formeaz mulimea X . Dac a este un vrf de gradul 1 al arborelui G , atunci:

''

+=YyxXyx

yxdasyxd,,

),()(),( ,

unde { }aXY \= .Primul termen )(as este maxim numai dac G este un

69

lan i a este una din extremitile sale. n acest caz, n baza induciei (aplicat subarborelui cu mulimea Y de 1n vrfuri) i al doilea termen este maxim. 73. 1) S notm cu xG subgraful obinut din G prin suprimarea vrfului x i a muchiilor incidente cu x . Deoarece G este arbore, rezult c xG nu este conex i y i z se gsesc n componente conexe diferite ale lui xG , care conin respectiv

1k i 2k vrfuri. Avem 121 + nkk .Din definiia funciei )(xs rezult c deplasndu-ne de la

x la y ne apropiem cu o unitate de 1k vrfuri, dar ne deprtmcu cte o unitate de 1kn vrfuri. Deci putem scrie:

nkysknkysxs +=+= 111 2)()()()( . n mod analog gsim:

nkzsxs += 22)()( , care prin sumare ne dau:

2)()()(2)()()(2 21 ++++= zsysnkkzsysxs .2) S presupunem, prin reducere la absurd, c exist

dou vrfuri neadiacente x i y astfel nct == )()( ysxs minimum.

Fie [ ]yxxxx p ,,...,,, 21 lanul (unic) care unete n arbore vrfurile x i y cu 1p .

Conform ipotezei )()( 1 xsxs . Inegalitatea demonstratla 1) ne conduce la:

)()()(2)()( 112 xsxsxsxsxs +>+ ,deci

)()()( 12 xsxsxs > .La fel:

)()()(2)()( 21231 xsxsxsxsxs +>>+ ,

70

deci )()()()( 123 xsxsxsxs >>

.a.m.d. n final gsim )()(...)( 1 xsxsys >> , ceea ce contrazice egalitatea )()( ysxs = , deoarece 1p .

Punctele n care )(xs i atinge minimul formeazbaricentrul arborelui G . Considernd un lan cu un numr impar (respectiv par) de vrfuri, se observ c baricentrul poate fi format dintr-un singur vrf sau din dou vrfuri adiacente. S considerm arborele, format de un lan cu vrfurile

pxxx ,...,, 21 i de vrfurile qyyy ,...,, 21 , incidente cu 1x . Se observ cu uurin c dac p este par, atunci centrul arborelui astfel obinut este vrful

2px .

Dac q este sificient de mare, de exemplu

!"#=

2pq ,

baricentrul arborelui este 1x , iar distana dintre centru i

baricentru este 12

p i poate lua valori orict de mari pentru p

suficient de mare. 74. Vom demonstra proprietatea prin inducie dup

numrului vrfurilor. Dac 1=X sau 2 proprietatea este imediat.

S presupunem c proprietatea este adevrat pentru orice arbore cu cel mult 1n vrfuri i s o demonstrm pentru un arbore G cu 3n vrfuri. Dac f este o bijecie, atunci

( ) ( )yfxf pentru orice yx i ( ) Uyx , implic( ) ( )( ) Uyfxf , , deci f este un automorfism a lui G . Orice

vrf suspendat este deci aplicat de f tot ntr-un vrf suspendat.

71

Dac notm prin 'G subarborele obinut din G prin suprimarea tuturor vrfurilor suspendate, rezult c 'G este nevid, deoarece 3n . Notnd cu 'X mulimea vrfurilor lui

'G , rezult c ( ) '' XXf = i restricia lui f la 'X are aceleaiproprieti ca f . Deci 'f (i n consecin f ) are un punct fix sau o muchie fix, conform ipotezei de inducie ( 2' nX ). Dac f nu este o bijecie, atunci ( )Xf este o submulime proprie de vrfuri ale lui G . Aceste vrfuri induc un subgraf conex a lui G (din condiia impus lui f ), deci ( )Xf este mulimea vrfurilor unui arbore i ( ) 1 nXf .

Deoarece ( )( ) ( )XfXff 1 , putem considera restricia lui f la subarborele generat de mulimea de vrfuri ( )Xf , care are aceleai proprieti ca i f . Conform ipotezei de inducie, aceast restricie, deci i f , are un punct fix sau o muchie fix.

Proprietatea nu este adevrat dac G conine cicluri. De exemplu, dac 3KG = i conine vrfurile zyx ,, , s definim

( ) ( ) ( ) xzfzyfyxf === ,, . n acest caz aplicaia f nu are nici puncte fixe, nici muchii fixe.

75. Am vzut c orice arbore are un vrf central u sau dou vrfuri centrale adiacente u i v . Vom demonstra prin inducie dup numrul m al vrfurilor din X c dac arborele A are un singur vrf central u , atunci ( ) uuf = i dac A are dou vrfuri centrale u i v , atunci ( ) uuf = i ( ) vvf = sau

( ) vuf = i ( ) uvf = . Deoarece bijecia f pstreaz adiacenavrfurilor, rezult c vrfurile x i ( )xf au acelai grad n arborele A .

Dac 1=m arborele se reduce la vrful central u i( ) uuf = , pentru 2=m arborele se reduce la dou vrfuri

centrale adiacente u i v i proprietatea este deasemenea

72

adevrat. S presupunem c proprietatea este adevrat pentru toi arborii cu cel mult 1m vrfuri ( 3m ) i fie A un arbore cu m vrfuri. Dac rxx ,...,1 sunt toate vrfurile suspendate ale arborelui A , rezult c ( ) ( )21 ,..., xfxf sunt vrfuri de gradul unu, deci constituie o permutare a mulimii vrfurilor suspendate. Dac considerm restricia funciei f la mulimea vrfurilor de grad cel puin 2 ale lui A :

,: rr XXg % { }rr xxXX ,...,\ 1=i ( ) ( )xfxg = pentru orice rXx , rezult c g este un automorfism al subarborelui rA al lui A cu mulimea de vrfuri

rX . ns A i rA au aceleai centre. Aplicnd ipoteza de inducie, obinem c A are un singur vrf central u i

( ) ( ) uufug == , sau A are dou vrfuri centrale adiacente u iv i ( ) ( ) uufug == , ( ) ( ) vvfvg == , sau ( ) ( ) vufug == i

( ) ( ) uvfvg == .Deci proprietatea menionat este adevrat pentru orice

m . Deoarece trebuie s artm c f are un punct fix, singurul caz care trebuie studiat este cazul cnd A are dou vrfuri centrale adiacente u i v i ( ) vuf = , ( ) uvf = . S notm prin

uA i vA subarborii obinui din A prin suprimarea muchiei ( )vu, i care conin vrfurile u , respectiv v . Dac suu ,...,1 sunt vrfurile incidente cu u n arborele uA , atunci deoarece fpstreaz adiacena n arborele A , rezult c ( ) ( )sufuf ,...,1 sunt vrfuri adiacente cu v n subarborele vA , .a.m.d.

Deci, dac notm cu uX i vX mulimile de vrfuri ale arborilor uA , respectiv vA atunci rezult c ( ) vu XXf = .Restricia funciei f pe mulimea uX , notat vu XXh %: , unde

( ) ( )xfxh = pentru orice uXx , este o bijecie i [ ]yx, este o

73

muchie n arborele uA dac i numai dac ( ) ( )( )yhxh , este o muchie n arborele vA . Deci h este un izomorfism al arborilor

uA i vA . Rezult c uA i vA au un acelai numr de vrfuri, ceea ce implic uvu XXXX 2=+= , adic X este numrpar.

Dar am presupus c 12 += nX . Rezult c situaia cnd ( ) vuf = i ( ) uvf = este imposibil. Deci f are cel puin un

punct fix. 76. Din arborele G vom obine o arborescen

considernd vrful 1x rdcin i orientnd toate muchiile arborelui astfel nct n orice vrf s soseasc un singur drum care pornete din 1x .

n acest mod am definit o relaie de ordine parial pe mulimea :X vom scrie ji xx dac drumul unic de la 1x la jxconine vrful ix .

Dac definim matricea njiijzZ ,...,1,)( = prin: 1=ijz dac

ji xx i 0=ijz n caz contrar. Elementele din X pot fi renumerotate astfel nct Z s aib o form superior diagonalcu 1=iiz pentru ni ,...,1= . Deci 1det =Z .

Vom nota:

!!!!!!

"

#

=

201

020100211110

L

M

L

L

L

A

i vom arta c DAZZ T = .ntr-adevr, elementul din linia i i coloana j ale

74

matricii AZZ T este

' ''' = =

==ik jlxx xx

kl

n

k

n

lljklkiij azazc

1 1

.

Dar 0kla numai pentru lk = , sau 1=k , sau 1=l ,deci putem scrie:

( ) '''

++=jlikljik xxxxxxx

ijc 112,

,

deoarece ixx 1 pentru orice ni ,...,1= .Notnd cu rx ultimul vrf comun al drumurilor de la 1x

la ix i respectiv de la 1x la jx , la care ajungem plecnd din 1x ,putem scrie:

( )( ) ( )( ) ( )( )=+++++= 1,1,1,2 111 jirij xxdxxdxxdc( ) ( ) ( ) ( ).,,2,, 111 jirji xxdxxdxxdxxd =+=

Deci am artat c DAZZ T = i n concluzie AD detdet = . Adunnd pe rnd coloanele a II-a, a III-a, , a n-

a la prima coloan a matricii A i dezvoltnd matricea obinutdup prima coloan, deducem:

( )( ) AnA n det21det 1 = , deci ( )( ) 221det = nnA .77. S presupunem c vrfurile suspendate sunt fixate i

ele sunt pxx ,...,1 . Deoarece 1..1 === pdd , numrul cutat este:

( )( ) ( )( )

( )( )''++ ++

=

npnp kk npdd np kkn

ddn

,..., 1,..., 1 11 !!...!2

!1!...1!2 (1)

unde prima sum se face dup toate valorile 2,...,1 + np dd i .22...1 pndd np =+++

A II-a sum se obine prin schimbarea de variabile 1,...,111 == ++ nnpp dkdk , deci 1,...,1 + np kk i

2...1 =+++ nkk np . Numrul

75

( )!!...

!2

1 np kkn

+

reprezint numrul de moduri de a plasa 2n obiecte n pn csue astfel nct prima csu s conin 1+pk obiecte, , csua cu numrul pn s conin nk obiecte. Deoarece 1ikpentru npi ,...,1+= , acest numr reprezint de asemenea numrul funciilor surjective YXf %: , unde 2=nX ,

pnY = , i dac notm { }np yyY ,...,1+= , avem ( ) 11 = ii kyf pentru nip +1 . Deci suma (1) este egal

cu numrul funciilor surjective = pnns ,2( ) ( )pnnSpn = ,2! , unde ( )pnnS ,2 este numrul lui

Stirling de spea a doua. Deoarece cele p vrfuri terminale nu sunt specificate,

ele pot fi alese din mulimea celor n vrfuri n PnC moduri. Deci numrul arborilor cu n vrfuri, dintre care

p vrfuri au gradul unu, este egal cu:

( ) ( ) ( )pnnSpnpnnSpnC Pn = ,2!!,2! .

78. a) Fie ( )nf numrul de posibiliti cutat. Obinem ( ) 11 =f i ( ) 22 =f , corespunztor alegerii

muchiei ( )11, yx sau respectiv a muchiilor ( )21, xx i ( )21, yy , sau ( )11, yx i ( )22 , yx .

Dac graful-scar are n2 vrfuri, putem alege fie muchia ( )11, yx i pentru muchiile rmase mai rmn ( )1nfposibiliti de alegere, fie muchiile ( )21, xx i ( )21, yy i pentru muchiile rmase mai rmn ( )2nf posibiliti de a fi alese.

76

Astfel obinem: ( ) ( ) ( )21 += nfnfnf ,

relaie care mpreun cu valorile iniiale ( ) 11 =f i ( ) 22 =f ne arat c ( ) nFnf = , care este termenul al n -lea al irului Fibonacci.

b) Dac notm numrul arborilor pariali ai grafului scarcu ( )ng , obinem ( ) 11 =g , dac arborele parial const din ( )11, yx , i ( ) 42 =g arbori care se obin din ciclul cu patru vrfuri dac suprimm pe rnd cte o muchie a ciclului.

Pentru a stabili o relaie de recuren pentru numerele ( )ng , s considerm un graf ca cel din figura 6 cu 22 +n

vrfuri: 1111 ,,...,, ++ nn yxyx .Mulimea arborilor si pariali se poate scrie sub forma

4321 AAAA UUU ,unde 1A este mulimea arborilor pariali care nu conin muchia ( )21, xx , 2A este mulimea arborilor pariali care nu conin muchia ( )11, yx , 3A este mulimea arborilor pariali care nu conin muchia ( )21, yy i 4A este mulimea arborilor pariali care conin muchiile ( ) ( ) ( )211121 ,,,,, yyyxxx i nu conin muchia ( )22 , yx . Este clar c aceste mulimi sunt disjuncte dou cte dou. Dac, de exemplu, ar exista un arbore parial din 21 AA I ,aceasta nu ar conine muchiile ( )21, xx i ( )11, yx , deci vrful 1xar fi izolat, ceea cear contrazice definiia unui arbore parial.

Obinem ( )ngAAA === 321 , deoarece pentru subgraful format din vrfurile 1122 ,,...,, ++ nn yxyx avem ( )ngposibiliti de a mai forma arbori pariali. Notnd ( )14 += nhA ,deducem:

( ) ( ) ( )131 ++=+ nhngng (1)

77

ns considernd graful din figura 6 cu n2 vrfuri, notate: 1122 ,,...,, ++ nn yxyx , mulimea arborilor si pariali se poate scrie sub forma: 21 BB U , unde 1B este mulimea arborilor pariali care nu conin muchia ( )22 , yx i 2B este mulimea arborilor pariali care conin muchia ( )22 , yx .

Deci ( ) 21 BBng += , deoarece OBB /=21 I .Dar ( )11 = ngB i 42 AB = , deoarece exist o

bijecie ntre aceste dou mulimi definit astfel: pentru fiecare arbore parial din 2B , care, eviden,t conine muchia ( )22 , yx , se nlocuiete aceast muchie printr-un lan de lungime egal cu 3, avnd aceleai extremiti: [ ]4212 ,,, yyxx i se obine un arbore parial din 4A .

Este clar c astfel se obine o bijecie, i deci: ( ) ( ) ( )11 ++= nhngng ,

de unde, innd cont de (1), deducem recurena: ( ) ( ) ( )141 =+ ngngng . (A)

Ecuaia caracteristic a relaiei este: 0142 =+ rr ,

cu soluiile 321 +=r i 322 =r .Deci soluia general a recurenei (A) are forma:

( ) ,2211 nn rCrCng +=unde 1r i 2r se determin din sistemul:

( ) ( ) 13232 21 =++ CC( ) ( ) 4347347 21 =++ CC ,

care are soluiile 32

11 =C i 32

12 =C .

Deci ( ) ( ) ( ) !

"# +=

nnng 3232

321 .

78

79. Dac graful G are un ciclu eulerian, atunci G este conex i are gradele pare, deoarece la fiecare trecere printr-un vrf se utilizeaz dou muchii. Reciproc, dac G este conex iare gradele pare, muchiile sale pot fi orientate astfel nct s se obin un graf orientat, care verific ( ) ( )xdxd + = pentru orice vrf x . N acest caz graful orientat obinut are un circuit eulerian, care corespunde unui ciclu eulerian n graful G .

Graful G este conex i are k2 vrfuri de grad impar ( )1k . S notm cu 1G graful obinut din G prin adugare unui nou vrf, pe care l unim prin muchii cu toate cele k2 vrfuri de grad impar ale lui G . Rezult c 1G este conex i are gradele pare, deci are un ciclu eulerian. Suprimnd vrful adugat i cele

k2 muchii incidente cu acesta, ciclul eulerian se descompune n k lanuri disjuncte dup muchii, care acoper toate muchiile lui G .

S observm c, deoarece suma gradelor vrfurilor unui graf este un numr par, rezult c numrul vrfurilor de grad impar este par.

80. S presupunem prin reducere la absurd c G nu este conex i fie 1C o component care nu conine vrful nx . Fie

kC =1 i iki xx ,...,1 vrfurile pe care le conine, unde: nii k

79

o contradicie, deoarece, conform ipotezei, 1 ndnkimplic kdk . Deci proprietatea este demonstrat.

81. S artm mai nti c G conine un graf parial Acare este arbore. Dac G nu conine cicluri, G este un arbore ivom lua GA = . n caz contrar G conine cel puin un ciclu 1C .

Vom suprima o muchie oarecare 1u a ciclului 1C .Obinem un graf parial 1G al lui G . Dac 1G nu conine

cicluri, atunci vom lua 1GA = , deoarece n acest caz 1G este conex i nu conine cicluri, deci este arbore. n caz contrar suprimm o muchie 2u a unui ciclu 2g al lui 1G , .a.m.d. Acest proces nu poate continua pn la infinit, deoarece G conine cel mult 2nC muchii. n final obinem un graf conex fr cicluri TGi definim TGA = .

Se tie c orice arbore A are cel puin un vrf suspendat 1x . Dac nk = , atunci vom considera GH = . n caz contrar, n

arborele A , vom suprima vrful 1x i muchia incident cu 1x ,obinnd un nou arbore 1A . Repetnd acest procedeu ajungem seliminm vrfurile knxxx ,...,, 21 , obinnd un arbore knA cu kvrfuri. Subgraful H l alegem ca fiind subgraful indus de cele k vrfuri ale arborelui knA . H este conex, deoarece conine arborele parial knA cu aceeai mulime de vrfuri, care este conex.

82. Vrful de grad 9 trebuie s fie adiacent cu toate celelalte vrfuri ale grafului, deci i cu vrfurile de grad 1.

Rezult c vrful de grad 7 poate fi adiacent cu numai 639 = vrfuri, ceea ce este absurd. Deci nu exist un graf cu proprietatea cerut.83. Necesitatea condiiei este imediat, deoarece

ndd ++...1 este dublul numrului de muchii, deci este numr

80

par i 11 ... ++ nn ddd , deoarece orice muchie incident cu nxmai este incident cu unul din vrfurile rmase, dac

( )nn xdd = .Vom demonstra suficiena condiiei prin inducie dup

ndd ++...1 . Dac 2...1 =++ ndd , atunci rezult c0... 21 === ndd i 11 = nn dd . Deci graful cutat conine o

muchie i 2n vrfuri izolate. S presupunem proprietatea adevrat pentru toate

irurile de numere ndd ,...,1 care verific a) i b) i n plus ( )22...1 ++ dddd n .

Fie acum 22...1 +=++ ddd n , iar condiiile a) i b)verificate. Vom studia dou cazuri:

I. Are loc relaia nn dd

81

Rezult c numerele 1,1,,..., 121 nnn dddd de sumd2 verific condiiile a) i b) i conform ipotezei de inducie,

exist un multigraf cu n vrfuri ale crui grade formeaz irul scris. Unind printr-o nou muchie vrfurile de grade 11 nd i

1nd , obinem un graf ale crui grade sunt tocmai ndd ,...,1 .84. S presupunem c exist un graf G regulat de grad

k cu n vrfuri. Obinem mkn 2= , unde m este numrul de muchii ale

lui G i gradul k nu poate depi 1n . Am gsit deci doucondiii necesare pe care trebuie s le satisfac numrul n :

a) ( )2mod0*nk ;b) 1+ kn .Vom demonstra c dac a) i b) sunt satisfcute, atunci

exist un graf regulat de grad k cu n vrfuri. Vom distinge 2 cazuri: 1) k este par. Considerm vrfurile unui poligon regulat

cu n vrfuri pe care le unim prin muchii cu vecinii lor, cu

vecinii de ordinul doi, , cu vecinii de ordinul 2k . Deoarece

nk < , obinem 22nk

< . Deci prin aceast construcie fiecare vrf

are gradul k i nu apar muchii multiple. 2) k este impar. Din condiia a) rezult c n este par.

Vom desena graful regulat de grad 1k cu n vrfuri construit ca n cazul 1. Condiia b) ne asigur c avem:

122

22

1=

nnk ,

deci extremitile celor mai lungi diagonale ale poligonului nu sunt unite prin muchii. Unind deci vrfurile diametral opuse ale poligonului prin cte o muchie, fiecare vrf va avea gradul egal k , deci obinem un graf regulat de gradul k cu n vrfuri.

82

85. S presupunem prin reducere la absurd c pentru orice vrf x subgraful xG nu este conex.

Fie ( )mxxL ,...,1= un lan elementar de lungime maximn graful G . Conform ipotezei,

1xG nu este conex. S notm cu

1C o component conex a acestui subgraf care nu conine lanul( )mxx ,...,1 .

G fiind conex, exist o muchie care unete un vrf 1Cy cu vrful 1x , deoarece vrfurile din 1C nu pot fi unite cu

vrfurile din alte componente conexe ale subgrupului 1x

G .Obinem c { }mxxy ,...,2. , deci lanul

( )mxxy ,...,, 1este un lan elementar mai lung dect L , ceea ce contrazice ipoteza c L este un lan elementar de lungime maxim.

Rezult c exist un vrf x astfel nct subgraful xG sfie conex. Dac G este un circuit elementar, prin suprimarea oricrui vrf gsim un subgraf care nu mai este tare conex, deiG are aceast proprietate.

86. Vom demonstra c a) , c) , b) , a). Pentru a arta c a) , c), fie G un graf 2-conex i u i

v dou muchii care au o extremitate comun x . Fie y i zcelelalte dou extremiti diferite de x . Deoarece xG este conex, rezult c exist un lan elementar n xG care unete ycu z . Acest lan elementar mpreun cu muchiile u i vformeaz n graful G un ciclu elementar. Deci oricare doumuchii cu o extremitate comun sunt echivalente. Deoarece G este conex, rezult c aceast relaie de echivalen are o singur clas i anume mulimea muchiilor grafului G . Deci oricare dou muchii ale lui G se gsesc pe un ciclu elementar.

83

De asemenea, din faptul c G este conex, rezult c Gnu are vrfuri izolate.

c) , b). Fie x , y dou vrfuri distincte ale grafului G .Conform ipotezei G nu are vrfuri izolate, deci exist doumuchii distincte u i v care sunt incidente cu x , respectiv cu y .

ntr-adevr, n caz contrar exist o muchie ( )yx, ivrfurile x i y nu mai sunt adiacente cu alte vrfuri ale lui G .Dac 3=n , acest fapt ar implica c G conine un vrf izolat, ceea ce contrazice ipoteza. Dac 4n , n mulimea vrfurilor rmase exist cel puin o muchie u . Deoarece G nu are vrfuri izolate muchiile ( )yx, i u nu se gsesc pe un ciclu elementar, ceea ce contrazice ipoteza. Deci exist dou muchii distincte ui v incidente cu x , respectiv cu y . Conform ipotezei are loc c), deci exist un ciclu elementar C care conine pe u i v ,adic pe x i y .

b) , a): Deoarece oricare dou vrfuri ale lui G aparin unui ciclu elementar, rezult c exist un lan elementar care le unete, deci G este conex. S presupunem prin reducere la absurb c G nu este 2-conex, deci exist un vrf x astfel nct

xG nu este conex. Fie ba, dou vrfuri situate n componente diferite ale subgrafului xG . Deoarece orice lan elementar dintre a i b n graful G trece prin x , rezult c nu poate exista un ciclu elementar n G care conine vrfurile a i b , ceea ce contrazice b). Deci G este 2-conex i demonstraia este ncheiat.

87. Fie ( )oro aaaaA ,,...,, 11 = i ( )oro bbbbB ,,...,, 11 =dou cicluri elementare ale grafului G de lungime maxim. Spresupunem prin reducere la absurd c aceste cicluri au cel mult un vrf comun. Fie mai nti oo ba = unicul vrf comun ale

84

celor dou cicluri. Deoarece G este 2-conex, rezult c mai exist un lan elementar cu o extremitate n mulimea de vrfuri { }11,..., raa i cu cealalt extremitate n mulimea { }11,..., rbb ,care nu trece prin oa . Fie [ ]qkp bxxa ,,...,, 1 un astfel de lan,unde 0k , 0, qp i ix nu aparine ciclurilor A sau B pentru

ki 1 . Putem considera qp . Am obinut un ciclu elementar ( )orqkpo abbxxaa ,,...,,,...,,,..., 11 care este mai lung dect A , ceea ce contrazice ipoteza.

Fie c ciclurile A i B nu au nici un vrf comun. Gfiind 2-conex, exist dou lanuri elementare fr vrfuri comune, care unesc fiecare vrf din A cu un vrf din B .

Va exista un lan elementar care face parte din ciclul A ,avnd ca extremiti extremitile celor dou lanuri de lungime

mai mare sau egal cu 2r . Obinem un rezultat analog pentru

ciclul B . Cele dou poriuni din ciclurile A i B , mpreun cu cele dou lanuri elementare care unesc un vrf din A cu un vrf din B , formeaz un ciclu elementar mai lung ca A , ceea ce contrazice ipoteza.

Rezult c proprietatea este demonstrat prin reducere la absurd.

88. Numrul tripletelor { }zyx ,, care nu sunt triunghiuri nici pentru G , nici pentru G i care au o singur latur cu o extremitate n vrfuri Xx care s fie muchie a lui G este egal cu ( ) ( )( )xnx deg1deg .

Orice triplet { }zyx ,, care nu este triunghi n G sau Gconine o muchie sau dou muchii ale lui G . S presupunem c( )yx, este muchie a lui G , iar ( )zx, i ( )zy, sunt muchii ale lui G . n suma

85

( ) ( )( )'

GXx

xnx deg1deg

tripletul { }zyx ,, este numrul de dou ori: o dat relativ la x io dat relativ la y .

Dac ( )yx, i ( )zy, sunt muchii ale lui G i ( )zx, este muchie a lui G , atunci n suma scris tripletul { }zyx ,, este numrat tot de dou ori: o dat relativ la x i o dat relativ la z .Deci numrul triunghiurilor n G i n G este:

( ) ( )( )'

Xx

n xdnxdC 1213 .

1) Dac G este k -regulat, aceast formul devine:

( )12

3 knnkCn .

2) Astfel numrul triunghiurilor n G i n G este nu este mai mic dect

( ) ( )( )24

512

221

3 = nnnCnC nn .

Acest numr este pozitiv pentru 6n i se anuleazpentru 5=n . Dac graful G este ciclul 5C cu cinci vrfuri,

atunci nici 5C i nici 5C nu conin triunghiuri. Se poate arta cnumrul minim de triunghiuri este atins pentru orice 14 += pn( p natural). 89. Fie ( )UXG ,= , unde nX = i mU = . Dac

Xyx , , s notm cu ( )xA mulimea vrfurilor adiacente cu xi cu ( )yA mulimea vrfurilor adiacente cu y .

Obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nydxdyAxAyAxAyAxA ++= UI .

86

Deci dac ( ) Uyx , , atunci exist cel puin ( ) ( ) nyx +degdeg vrfuri care sunt adiacente i cu x i cu y .

Prin urmare ( ) ( ) nyx +degdeg cel puin triunghiuri ale grafului G conin muchia ( )yx, . Rezult c G conine cel puin

( ) ( )( )( )'

+Uyx

nyx,

degdeg31

triunghiuri, deoarece fiecare triunghi este numrat relativ la fiecare latur a sa. n suma scris ( )xdeg apare de exact ( )xdeg ori pentru orice Xx i deci suma scris este egal cu

( )( )

!"

#'

Xxmnx 2deg

31 .

Aplicnd inegalitatea lui Cauchy-Schwartz, aceastultim sum este nu mai mic dect

( )

!!"

#=

!!"

#

!"

#' 43

4deg131 2

2nm

nmmnx

n Xx,

deoarece ( ) mxXx

2deg ='

.

90. S presupunem c graful G are n vrfuri, m muchii i nu conine nici un ciclu elementar cu patru vrfuri. Snumrm perechile { }yx, de vrfuri care sunt ambele adiacente cu un al treilea vrf z . Dac vrful z este fixat, avem ( )

2zdC

astfel de perechi. Dar fiecare pereche { }yx, este numrat cel mult odat, deoarece dac ar fi numrat relativ la 1z i la 2z cu

21 zz , atunci ( )xzyzx ,,,, 21 ar forma un ciclu cu patru vrfuri, ceea ce contrazice ipoteza. Deci putem scrie:

( )

!"#

!"#'

22deg nz

Xz,

87

unde X este mulimea vrfurilor grafului G . Funcia ( )2

1xx

fiind convex, conform inegalitii lui Jensen putem scrie:

( )( ) ( )'

=

!!"

#

Xz nmzdn n

nmmCCC 22222 .

Deci:

042

232

nnnmm ,

de unde

( )341416

344

23

+= nnnnnm ,

ceea ce contrazice ipoteza. Deci G conine un ciclu elementar cu patru vrfuri. 91. Fie ( ) rqkn += 1 cu 20 kr i( ) ( ) spknk += 12 , unde 20 ks , r , s fiind numere ntregi. De aici deducem c dac 0=r , atunci i 0=s , iar dac

1r , atunci 1= rks .S presupunem prin reducere la absurd c numrul

vrfurilor x de grad ( ) px deg este mai mic ca m , celelalte vrfuri y avnd gradul ( ) 1deg + py . Altfel zis, exist opartiie YX U a mulimii vrfurilor grafului astfel nct

( ) px deg pentru orice vrf Xx , ( ) 1deg + py pentru orice vrf Yy i n plus mX < , mnY > .

Fie un vrf Yy 1 i s notm prin ( )1yA mulimea vrfurilor incidente cu 1y . n mulimea ( ) YyA I1 vom alege un alt vrf 2y . ( ) ( )21 yAyA I conine cel puin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) npyAyAyAyAyAyA ++= 12212121 UI

88

vrfuri. Continund acest proces, fie c am construit mulimile de vrfuri ( ) ( )21 ,..., kyAyA cu ( )I I

jiij YyAy

=+

=

sknkpkyAk

iiI ,

ceea ce implic existena unui vrf ( )I1

1

=

k

iik yAy .

89

Din modul de construcie, vrfurile kyyy ,...,, 21formeaz un subgraf complet cu k vrfuri, ceea ce contrazice ipoteza, deci exist cel puin m vrfuri de grad mai mic sau egal cu p .

92. S artm mai nti c oricare ar fi patru puncte A ,B , C , D din M , exist cel puin dou, distana dintre care este

mai mic sau egal cu 2

1 .

Dac trei dintre ele sunt coliniare exist o distan mai

mic sau egal cu 2

121

< i proprietatea este demonstrat.

n caz contrar, vom arta c configuraia format din cele patru puncte conine un triunghi cu un unghi de cel puin o90 .Exist dou cazuri posibile: a) Trei puncte, fie A , B , C formeaz un triunghi i Deste un punct interior. Suma unghiurilor din D este egal cu

o360 , deci cel puin un unghi este mai mare sau egal cu o120 ;b) Cele patru puncte formeaz un patrulater convex.

Suma unghiurilor patrulaterului este o360 , deci cel puin un unghi este mai mare sau egal cu o90 .

Fie ABC triunghiul cu oA 90 . Avem: ( )22222 ,min2 cbcba + .

Dac cb , atunci 22 2ca sau 21

2

22

ac i deci

21

c . Vom defini un graf G care s aib ca vrfuri cele n3

puncte, dou vrfuri fiind legate printr-o muchie dac distana

dintre ele este mai mare ca 2

1 .

90

Proprietatea demonstrat ne arat c acest graf nu conine subgrafuri complete cu patru vrfuri, deci numrul de muchii este egal cu 23n .

Cele 23n distane mai mari ca 2

1 pot fi alese n

intervalul ( )1,1 7 pentru orice 10

91

muchiilor incidente cu x i nlocuirea lor cu muchii de la vrful x la fiecare vrf din mulimea ( )yV .

S notm cu xG subgraful obinut din G prin suprimarea vrfului x , cu ( )xa numrul subgrafurilor complete incluse n mulimea ( )xV , maximale relativ la subgraful xG icu ( )xc numrul clicilor lui G care l conin pe x .

Prin suprimarea muchiilor incidente cu x dispar ( ) ( )xaxc clici, iar prin unirea lui x prin muchii cu toate

vrfurile din ( )yV apar ( )yc clici, deci dac notm cu ( )Gc numrul clicilor grafului G , obinem:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaxcycGcyxGc ++=, . Putem spune c ( ) ( )xcyc , deoarece n caz contrar vom considera graful ( )xyG , . Deoarece ( )Gc este maxim, rezult c ( )( ) ( )GcyxGc ,sau ( ) ( )xcyc = i ( ) 0=xa , ceea ce implic ( )( ) ( )GcyxGc =, igraful ( )yxG , conine acelai numr maxim de clici, egal cu

( )nf , ca i graful G .Rezult deasemenea c

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yaycxcGcxyGc ++=, , deci, deoarece ( ) ( )ycxc = , se obine ( ) 0=ya i astfel

( )( ) ( )( ) ( )GcxyGcyxGc == ,, . Fie x un vrf oarecare al grafului G i pyy ,...,1vrfurile neadiacente cu x . Vom transforma graful G n graful

( )xyGG ,11 = , apoi graful 1G n ( )xyGG ,212 = , , graful 1pG n ( )xyGG ppp ,1= cu conservarea numrului ( )nf de

clici. Graful pG are proprietatea c vrfurile pyyx ,...,, 1 nu sunt unite ntre ele prin muchii, dar ( ) ( ) ( )pyVyVxV === ...1 . Dac

92

( ) OxV /= , ne oprim. n caz contrar vom considera un vrf din ( )xV i vom repeta aceast construcie.

n final ajungem la un graf *G multipartit complet, cu proprietatea c vrfurile sale pot fi partiionate n k clase care conin respectiv knn ,...,1 vrfuri, dou vrfuri fiind adiacente dac i numai dac ele nu aparin aceleeai clase i astfel nct ( ) ( )nfGc =* . Dar ( ) knnGc = ...1* , de unde rezult c

( ) knnnk nnnnf k ...maxmax 21...1 =++= .

S presupunem c ( ) pmmmnf ,...,, 21= , undenmm p =++...1 . Este clar c ( ) 4,...,max 1 pmm deoarece,

dac ar exista un termen, de exemplu 51 m , am avea ( ) 11 33 mm > sau 92 1 >m , deci produsul pmm ...1 nu ar fi

maxim. Nu pot exista doi factori egali cu patru, deoarece 23344

93

1+n vrfuri, cu gradele vrfurilor majorate de k i x un vrf al lui G . Deoarece orice vrf al grafului xG obinut din G prin suprimarea vrfului x i a muchiilor incidente cu x , are gradul cel mult egal cu k , atunci innd cont de ipoteza induciei rezult:

( ) 1+ kGx .Deoarece x este adiacent cu cel mult k vrfuri din xG , putem colora vrful x cu o culoare care nu apare printre culorile adiacente cu x , astfel nct numrul total de culori utilizate pentru a colora vrfurile lui G s nu depeasc 1+k . Deci

( ) 1+ kG .96. Notm coordonatele punctelor de intersecie ntr-un

sistem ortogonal de axe n plan cu ( ) ( )nn yxyx ,,...,, 11 . Putem presupune c direciile axelor sunt astfel alese nct abscisele

nxx ,...,1 s fie diferite dou cte dou, de exemplu

nxxx

94

planar cu toate feele triunghiuri, pentru care suma ptratelor gradelor este maxim. Dac notm cu x un vrf de grad minim, vom arta c ( ) 3deg =x .

ntr-adevr, dac ( ) 2deg x rezult( ) 2deg =x i graful G se reduce la 3K ,

ceea ce contrazice ipoteza 4n . Spresupunem c ( ) 4deg x i fie

rxxx ,...,, 21 vrfurile adiacente cu x astfel nct ( ) ( )ixx degdeg 1 pentru ri ,...,2= ,unde ( ) 4deg = xr (figura 14). Vom suprima muchia ( )1, xx i vom aduga muchia ( )rxx ,2 , ceea ce produce un nou graf planar 1G fr muchii multiple pentru 4r .

Dac notm cu S suma ptratelor gradelor pentru graful G i cu 1S suma ptratelor gradelor pentru graful 1G , obinem:

( )( ) ( )( ) ( )( ) +++++= 2222

1 1deg1deg1deg xxxSS r( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =+ 21

222

221 degdegdegdeg1deg xxxxx r

( ) ( ) ( ) ( ) 04deg2deg2deg2deg2 12 >++= xxxxr ,deoarece ( ) ( ) ( )ixxx degdegdeg 1 pentru ri ,...,2= .

Aceast inegalitate contrazice ns maximalitatea gradului G , deci orice graf G pentru care S este maximconine un vrf x de grad ( ) 3deg =x .

Vom demonstra acum proprietatea prin inducie dup n .Pentru 4=n , considernd o reprezentare planar a grafului 4Kobinem n ambii membri 36, deci egalitate. Orice alt graf G cu 4 vrfuri are o sum a ptratelor gradelor mai mic dect 36, deoarece gradele unor vrfuri descresc strict i proprietatea este demonstrat.

Figura 14

95

S presupunem c proprietatea este adevrat pentru toate grafurile planare cu cel mult n vrfuri i fie G un graf planar cu 1+n vrfuri pentru care suma ptratelor gradelor este maxim i care are toate feele triunghiulare. Conform observaiei anterioare, exist un vrf x cu gradul ( ) 3=xd . Fie

cba ,, vrfurile adiacente cu x . S notm cu 1G subgraful obinut din G prin suprimarea vrfului x i a celor trei muchii incidente cu x .

Cu aceleai notaii de mai nainte obinem: ( )( ) ( )( ) ( )( ) +++++++= 2221 1deg1deg1deg9 cbaSS( )( ) ( )( ) ( )( ) = 222 degdegdeg cba

( ) ( ) ( )( ) 12degdegdeg21 ++++= cbaS .Vom arta c pentru oricare trei vrfuri a , b , c care

induc un subgraf complet cu 3 vrfuri ntr-un graf planar cu n

vrfuri, are loc inegalitatea: ( ) ( ) ( ) 12degdegdeg +++ ncba . (B)

ntr-adevr, dac un alt vrf d este adiacent cu toate cele trei vrfuri a , b , c , atunci un alt vrf e poate fi adiacent cu cel mult dou dintre vrfurile a , b sau c , de exemplu cu a i cu b , din cauza condiiei de planaritate a grafului G (figura 15).

Deci numrul muchiilor care unesc vrfurile a , b , c cu celelalte 3n vrfuri ale grafului G este majorat de

( ) 52132 =+ nn . Einnd seama i de contribuia muchiilor

Figura 15

96

( )ba, , ( )cb, i ( )ca, la gradele ( )adeg , ( )bdeg , ( )cdeg , obinem:

( ) ( ) ( ) 12652degdegdeg +=+++ nncbai (B) este justificat.

Conform ipotezei de inducie, ( ) 6232 21 + nS , deci ( ) ( ) ( ) 6242121226232 22 +=++++ nnnS i inegalitatea

este demonstrat prin inducie. Pentru 4=n am vzut cinegalitatea devine egalitate pentru graful 4K i irul gradelor

3,3,3,3 . Vom demonstra prin inducie dup n c exist un graf planar triangulat cu n vrfuri i gradele vrfurilor, care mrginesc faa infinit egale respectiv cu 3 , 1n , 1n , pentru care inegalitatea devine egalitate.

ntr-adevr, afirmaia se verific pentru 4=n .Presupunnd c afirmaia este adevrat pentru n , fie G un graf planar cu proprietile cerute. S presupunem c faa infinit a grafului G este mrginit de ciclul ( )acba ,,, i ( ) 3deg =a , ( ) 1deg =nb i

( ) 1deg =nc . Vom defini un graf planar 1G cu proprietile cerute astfel: considerm un nou vrf 1+nx pe faa infinit agrafului G , pe care l unim prin muchii cu a , b , c ca n figura 16. Noua fa infinit a grafului 1G este mrginit de ciclul ( )bxcb n ,,, 1+ i ( ) 3deg 1 =+nx , ( ) 4deg =a , ( ) nb =deg i

Figura 16

97

( ) nc =deg . 1G este o triangulaie i ++= 21 29 nSS( ) 14491612 2 ++=+ nSn .

ns conform ipotezei de inducie ( ) 6232 2 += nS ,deci ( ) ( ) 62421446232 221 +=+++= nnnS i proprietatea este demonstrat.

Folosind faptul c funcia [ ) R%8 ,0:1/x este convex pentru 2/ , se poate demonstra pe o cale analoag cu cea prezentat aici c

( ) ( ) //// 324121

++'=

nndn

ii (C)

pentru orice graf planar G cu 4n vrfuri i 2/ .Egalitatea are loc pentru graful planar construit n cazul

2=/ , care are gradele 121 == ndd ; 4... 23 === ndd ;31 == nn dd .

Pentru 1=/ inegalitatea (C) devine egalitate pentru orice triangulaie a planului i exprim faptul c numrul muchiilor unei triangulaii este egal cu 63 n .

98. S notm cu { }muuU ,...,1= mulimea muchiilor grafului G i {{ } ( ) ( )yfxfXfAi =%= ,...,1: , unde

( )}yxui ,= . Numrul funciilor f care verific condiia impuseste egal cu

( ) mnG AAAP UUU ...21= .Putem evalua cardinalul mulimii mAA UU ...1 folosind

principiul includerii i al excluderii: ( ) ( )'

1

=

0

11 ,1...

VUV

Vm VpAA UU ,

98

unde ( ),Vp reprezint numrul funciilor { },...,1: %Xfcare iau aceeai valoare pentru extremitile fiecrei muchii din V . Rezult c aceste funcii iau aceeai valoare din mulimea { },...,1 pentru toate vrfurile fiecarei componente conexe a grafului parial ( )VX , al lui G . Deci ( ) ( )VcVp =, . Cu aceasta, expresia pentru polinomul cromatic al grafului G este justificat innd seama c termenul n se obine pentru OV /= ,cnd graful parial ( )VX , este format numai din vrfuri izolate i deci are n componente conexe. Se observ c singurul termen de gradul n se obine pentru OV /= i anume n , iar termenul de gradul 1n se obine pentru 1=V .

n acest caz exist mCm =1 termeni egali cu 1 n , deci

putem scrie: ( ) ...1 += nnG mP ,

unde m este numrul muchiilor grafului G .Dac se noteaz ( ) nnnnG aaaP ++++= ...2211 ,

obinem n mod analog c ( )GcCa m 322 == , unde ( )Gc3reprezint numrul triunghiurilor grafului G . Termenii de gradul 2n se obin pentru ( ) 2=nVc , cnd 2=V i graful parial ( )VX , al lui G conine numai dou muchii, adiacente sau nu, sau pentru 3=V , cnd graful parial ( )VX , conine trei muchii care formeaz un triunghi. Deoarece dou muchii pot fi alese n 2mC moduri, rezultexpresia coeficientului 2a .

99. Dac o -colorare f a grafului eG are proprietatea c ( ) ( )yfxf , unde [ ]yxe ,= , atunci f este o -colorare i pentru G i reciproc.

99

Rezult c ( ) ( ) GeG PP este numrul acelor -colorri f ale lui eG care posed proprietatea

( ) ( )yfxf = .O astfel de -colorare f a lui eG produce o -

colorare g a grafului eG , definind ( ) ( ) ( )yfxfzg == i( ) ( )tftg = pentru orice zt . Reciproc, orice -colorare g a

grafului eG induce o -colorare f a lui eG cu proprietatea ( ) ( )yfxf = , definind ( ) ( ) ( )zgyfxf == i ( ) ( )tgtf = pentru

orice yxt , . Ambele corespondene fiind injective, rezult:( ) ( ) ( ) eGGeG PPP =

pentru orice numr natural .Deoarece n ambii membri ai egalitii avem polinoame

de un grad dat, rezult egalitatea ntre polinoamele cromatice pentru orice .

100. a) Dac nK are mulimea vrfurilor { }nxx ,...,1 , o -colorare f poate fi definit n 1x n moduri, n 2x n 1moduri, , n nx 1+ n n moduri, rezultnd n final

( ) ( ) ( )1...1 += nPnK

posibiliti de a defini funcia f astfel nct s ia valori diferite dou cte dou pentru toate vrfurile nxx ,...,1 .

b) Dac x este un vrf de gradul 1 al lui nT , s notmprin xTn arborele care se obine din nT prin suprimarea vrfului x i a muchiei incidente cu x . Orice -colorare a lui

xTn poate fi extins n 1 moduri la o -colorare a lui nT ,deci

( ) ( ) ( ) xTT nn PP = 1 .Continund n acest mod obinem

100

( ) ( ) ( ) ( ) 11 111

== nTn

T PP n ,deoarece polinomul cromatic al arborelui cu un singur vrf este .

c) Dac e este o muchie a ciclului nC , aplicnd proprietatea din problema 99 obinem:

( ) ( ) ( ) eCeCC PPP = ,eCn este un lan cu n vrfuri i deci conform b) avem ( ) ( ) 11

1

=

neCn

P , iar eCn este un ciclu cu 1n vrfuri. Obinem:

( ) ( ) ( )1

11

= nn C

nC PP .

Repetnd acelai raionament se deduce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11...11 221 ++= nnnCnP ,

deoarece ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1121 233

=== KC PP .Putem scrie

( ) ( )( ) ( ) ( ) 111 111111 +=+= pppp p pentru np 2 , deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++= ...1111 211 nnnnCnP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111111 222 +=++ nnnn .

101. Vom demonstra ambele proprieti prin inducie dup numrul de muchii ale grafului G . Pentru graful cu nvrfuri izolate obinem ( ) nG xxP = , care are forma dorit.

S presupunem proprietatea de alternan a semnelor coeficienilor polinomului cromatic adevrat pentru toate grafurile cu n vrfuri i 1 pm muchii i s o demonstrmpentru un graf oarecare G cu n vrfuri i 2nCp muchii.

Fie e o muchie a lui G . Conform proprietii din problema obinem:

101

( ) ( ) ( )xPxPxP eGeGG = .Deoarece grafurile eG i eG au cel mult 1p

muchii, putem aplica ipoteza de inducie, gsind: ( ) ( ) xbxbxbxxP nnnnnneG 1

122

11 1...

++=

( ) ( ) xcxcxcxxP nnnnnneG 123

32

21 1...

++= ,

unde 0, ii cb n (1) gsim: ( ) ( ) ( ) ++++= ...1 22211 nnnnnnG xcbxbxxP

( ) ( )xcbn 1111 ++ ,

demonstreaz prima proprietate. Graful G are cu o muchie mai mult dect eG are coeficientul 111 += nn ba , iar 01 =na pentru graful cu nvrfuri i fr nici o muchie. Mai rezult deci c 1na este numrul muchiilor grafului G .

Fie acum G un graf conex cu n vrfuri. Vom demonstra c 0>ia prin inducie dup numrul de muchii ale lui G . DacG are numrul de muchii, egal cu 1n , el este un arbore iconform problemei 80 polinomul su cromatic este

( ) ( ) == 11 nG xxxP( ) ( ) ( ) ( )xCxCxCx nnnnnnnn 11122 111 1 1... ++= ,

deci inegalitatea 0>ia pentru 11 ni este verificat.S presupunem c proprietatea este adevrat pentru

orice graf conex cu n vrfuri i m muchii, care verific11 pmn ,

i s o demonstrm pentru un graf conex G cu n vrfuri i2nCp muchii.

Presupunnd c G nu este arbore, exist o muchie eastfel nct eG este graf conex. Graful eG obinut prin

102

identificarea extremitilor muchiei e este de asemenea conex ifolosind notaiile anterioare gsim: iii cba += pentru

1,...,1 = ni cu 11 =nc , deci 0>ia conform ipotezei de inducie. 102. Reprezentnd ahitii prin vrfurile grafului complet

nK , partidele desfurate ntr-o zi se pot reprezenta printr-o mulime de muchii care nu au dou cte dou extremiticomune.

Rezult c numrul minim de zile n care se poate termina turneul este egal cu numrul minim de culori necesare pentru a colora muchiile lui nK , astfel nct oricare dou muchii cu o extremitate comun s aib culori diferite. ntr-adevr, putem colora cu o aceeai culoare muchiile corespunztoare partidelor care se desfoar n aceiai zi. Deci numrul minim de zile este ( )nKq , deci n zile pentru n impar i 1n zile pentru n par, innd seama de problema precedent.