probleme de rezistenŢa materialelor - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple...

306
I. ANDREESCU ŞT. MOCANU PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR BUCUREŞTI 2003

Upload: vucong

Post on 29-Aug-2019

835 views

Category:

Documents


45 download

TRANSCRIPT

Page 1: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

I. ANDREESCU ŞT. MOCANU

PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR

BUCUREŞTI

2003

Page 2: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

PREFAŢĂ

Proiectarea cu succes a elementelor de construcţii de maşini este

imposibilă fără o cunoaştere profundă a Rezistenţei Materialelor.

Alegerea formei, dimensiunilor şi materialului piesei, astfel ca aceasta

să prezinte siguranţă în exploatare într-un mod cât mai economic, este

posibilă numai pe baza unor studii privind rezistenţa, deformabilitatea,

stabilitatea şi durabilitatea la modul general şi particular al problemei;

principiile care stau la baza rezolvării acestor probleme constituie obiectul

Rezistenţei Materialelor.

Lucrarea de faţă prezintă noţiunile, metodele şi procedeele de calcul

sub o formă adecvată înţelegerii aspectelor fizice şi a aplicării acestora în

cazuri specifice din domeniul construcţiilor de maşini şi utilajelor din

construcţii.

Fiecare capitol cuprinde formulele de calcul necesare, urmate de

probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a

unor piese de maşini şi utilaje, exemple ce sunt utile studenţilor ca aplicaţii

la cursul de Rezistenţa Materialelor, cât şi la elaborarea proiectelor de an şi

diplomă.

AUTORII

1

Page 3: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Cuprins

Prefaţă---------------------------------------------------------------------------1 1. Diagrame de eforturi pentru structuri static determinate alcătuite din

bare drepte ---------------------------------------------------------------------4 1.1 Diagrame de eforturi la bare drepte plane-------------------------------7 1.2 Diagrame de eforturi pe grinzi cu console şi articulaţii--------------21 1.3 Diagrame de eforturi pe cadre plane ( sisteme de bare plane

încărcate în planul lor)---------------------------------------------------------29 1.4 Diagrame de eforturi pentru sisteme spaţiale--------------------------39 1.5 Diagrame de eforturi pe sisteme plane încărcate cu sarcini normale

pe plan-----------------------------------------------------------------------------44 2. Caracteristicile geometrice ale suprafeţelor plane ----------------------50 3. Solicitarea axială centrică--------------------------------------------------62

3.1 Verificare, dimensionare, deplasări-------------------------------------62 3.2 Calculul îmbinărilor barelor solicitate axial---------------------------63

3.2.1 Îmbinări nituite------------------------------------------------------63 3.2.2 Îmbinări sudate------------------------------------------------------64

3.3 Sisteme static nedeterminate solicitate axial--------------------------66 3.3.1 Influenţa variaţiei de temperatură la sisteme static

nedeterminate--------------------------------------------------------------66 4. Încovoierea barelor drepte---------------------------------------------------82 4.1 Încovoiere pură-----------------------------------------------------------82 4.2 Încovoiere simplă--------------------------------------------------------84 4.3 Lunecare longitudinală--------------------------------------------------85 4.3.1 Solidarizarea cu nituri la grinzile metalice---------------------86 4.3.2 Solidarizarea prin sudură la grinzile metalice------------------87

5. Deformarea grinzilor drepte solicitate la încovoiere-------------------110 5.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate-----------------------110 5.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale--------------------111 5.2.1 Rezemări ideale. Condiţii la limită--------------------------- 112 5.3 Metoda grinzii conjugate----------------------------------------------112 5.3.1 Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate---113 5.4 Metoda parametrilor în origine---------------------------------------114 6. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct-----------------------------------134 6.1 Starea de tensiune spaţială---------------------------------------------134 6.2 Starea plană de tensiuni------------------------------------------------135 7. Torsiune----------------------------------------------------------------------146 7.1 Torsiunea barelor cu secţiune circulară------------------------------146

2

Page 4: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

7.2 Torsiunea barelor cu secţiune oarecare------------------------------148 7.3 Sisteme static nedeterminate la torsiune-----------------------------151 7.4 Arcuri elicoidale cu pasul mic----------------------------------------153 8. Studiul deplasărilor prin metode energetice-----------------------------180 8.1 Metoda Mohr – Maxwell----------------------------------------------180

8.2 Metoda Veresceaghin--------------------------------------------------181 8.3 Energia potenţială de deformaţie în funcţie de eforturi------------182 8.3.1 Energia potenţială de deformaţie totală a barelor------------183 9. Teorii de rezistenţă----------------------------------------------------------196 9.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii------------------------------------196 9.2 Teorii de rezistenţă-----------------------------------------------------197 10. Solicitări compuse----------------------------------------------------------202 10.1 Încovoiere dublă sau oblică------------------------------------------203 10.2 Încovoiere simplă cu forţă axială------------------------------------204 10.3 Încovoiere dublă cu forţă axială-------------------------------------206 10.4 Încovoiere cu torsiune-------------------------------------------------209 11. Sisteme static nedeterminate-----------------------------------------------240 11.1 Metoda eforturilor-----------------------------------------------------240 11.2 Grinzi continue---------------------------------------------------------242 12. Bare curbe plane-------------------------------------------------------------262 13. Flambaj-----------------------------------------------------------------------270 13.1 Flambajul barei drepte solicitată la compresiune------------------270 13.2 Calculul practic la flambaj--------------------------------------------272 13.3 Flambajul barelor cu secţiune compusă-----------------------------273 13.4 Calculul barelor comprimate şi încovoiate-------------------------276 14. Solicitări dinamice----------------------------------------------------------290 14.1 Solicitări dinamice prin şoc-------------------------------------------290 15. Solicitări variabile-----------------------------------------------------------298 15.1 Solicitări staţionare----------------------------------------------------298 15.2 Factorii care influenţează rezistenţa la oboseală-------------------299 15.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile-------300

Bibliografie-------------------------------------------------------------------305

3

Page 5: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 1

DIAGRAME DE EFORTURI PENTRU STRUCTURI STATIC

DETERMINATE ALCĂTUITE DIN BARE DREPTE Graficele care se obţin prin reprezentarea valorilor eforturilor prin ordonate în dreptul secţiunilor reprezintă diagramele de eforturi. Eforturile sunt forţele de legătură de pe feţele unei secţiuni, ce reprezintă acţiunea mecanică (efectul) părţii îndepărtate. Structurile de bare sunt static determinate atunci când atât reacţiunile cât şi eforturile pot fi determinate numai din ecuaţii de echilibru static; structurile pot fi plane sau spaţiale.

Reazemele sistemelor plane pot fi:

reazem simplu; articulaţie plană; încastrare.

4

Page 6: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Eforturile din secţiunea unei bare plane, cu forţe acţionînd în planul

său, sunt în număr de trei:

N-forţa axială, reprezintă suma proiecţiilor pe axa barei din secţiunea considerată a tuturor forţelor de la stânga secţiunii (sau a celor de la dreapta); se consideră pozitivă când, pe faţa din dreapta a secţiunii, este de sens invers în raport cu axa x (sens fizic-este de întindere); T-forţa tăietoare, reprezintă suma proiecţiilor pe normala la axa barei în secţiunea considerată a tuturor forţelor de la stânga secţiunii (sau a celor de la dreapta); se consideră pozitivă când, pe faţa din dreapta a secţiunii, are sens invers în raport cu axa y (sens fizic-roteşte corpul pe care se aplică în sens orar); M-moment încovoietor, reprezintă suma momentelor în raport cu centrul de greutate al secţiunii considerate a tuturor forţelor de la stânga secţiunii (sau a celor de la dreapta); se consideră pozitiv dacă, în reprezentare cu vector cu săgeată dublă, are acelaşi sens cu al axei ce serveşte drept suport.(sens fizic-întinde fibra inferioară a barei sau întinde jos/comprimă sus). Ordonata pozitivă pentru momentul încovoietor se reprezintă sub linia de referinţă ,adică de partea fibrei întinse a barei. La trasarea diagramelor de efort se ţine în permanenţă seama de relaţiile diferenţiale între eforturi:

pdxdT

dxMd

−==2

2

,

în care p reprezintă intensitatea sarcinii distribuite, pe intervalul de trasare considerat.

5

Page 7: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pornindu-se de la aceste relaţii se stabilesc următoarele reguli, utile în construirea diagramelor de eforturi:

1) În dreptul unei sarcini concentrate, diagrama forţei tăietoare prezintă un salt egal cu sarcina normală din punctul respectiv şi în sensul acesteia, când sensul de parcurgere al barei este de la stânga la dreapta; în cazul sarcinilor concentrate diagrama forţei tăietoare este constantă iar diagrama de moment încovoietor este liniară, în plus, în dreptul sarcinii concentrate diagrama de moment încovoietor are un vârf în dreptul forţei concentrate.

2) Diagrama de moment încovoietor prezintă salt în dreptul unui cuplu concentrat care acţionează asupra barei.

3) Pe un reazem simplu sau articulat de capăt al barei, neîncărcat cu moment concentrat, momentul încovoietor este nul.

4) Când pe bară acţionează sarcini uniform distribuite, forţa tăietoare variază liniar, iar momentul încovoietor are variaţie parabolică.

5) În secţiunile în care forţa tăietoare se anulează, diagrama de moment încovoietor prezintă un punct de extrem, curba de variaţie a diagramei (de moment) ţinând sarcina.

6

Page 8: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1.1 Diagrame de eforturi la bare drepte plane

Să se traseze diagramele de efort pentru următoarele grinzi simplu rezemate:

Problema 1 (fig.1.1.1)

fig.1.1.1

7

Page 9: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

.2/3,023;0

.2/,02;0

,0;0

PVlVlPM

PVlVPlM

HX

B

BC

C

CB

C

=

=−=

=

=−=

==

∑∑

Verificarea reacţiunilor: ∑ =−+−= 02/2/3;0 PPPY . Calculul forţelor tăietoare:

.2/2/3,

CstBdr

BstAdr

TPPPTTPT

==+−==−=

Calculul momentelor încovoietoare:

.0,

,0

=−=

=

C

B

A

MPlM

M

Problema 2 (fig1.1.2)

fig.1.1.2

8

Page 10: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

∑∑∑

==−−=

==−−=

==

.;023;0

,;023;0

,0;0

PVPllPlVM

PVPllPlVM

HX

DDA

AAD

A

V

Verificarea reacţiunilor: ∑ =+−−= 0;0 PPPPY .

Un alt mod de calcul al reacţiunilor verticale: sistemul fiind simetric d.p.v. geometric şi mecanic, reacţiunile sunt egale între ele şi egale cu jumătate din încărcare; încărcarea exterioară: 2P;

PPVV DA === 2/2 .

Calculul forţelor tăietoare:

.,0

,

DstCdr

CstBdr

BstA

TPPPPTTPPT

TPT

=−=−−===−=

==

Calculul momentelor încovoietoare:

.0

,

=

=,2

,0

=−=

=

D

B

M

PlM

C

A

PlPllPM

M

Problema 3(fig.1.1.3)

fig. 1.1.3

9

Page 11: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

∑∑∑

==⋅−⋅=

==⋅−⋅=

==

.3;0100093000;0

,6;0200093000;0

,0;0

kNVVM

kNVVM

HX

CCA

AAC

C

Calculul momentelor încovoietoare:

.0,6600010006

,0

===⋅=

=

C

B

A

MkNmkNmmM

M

Calculul forţelor tăietoare:

.396,6

CstBdr

BstA

TkNTTkNT

=−=−===

Problema 4 (fig.1.1.4)

fig.1.1.4

10

Page 12: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

∑∑∑

==−⋅=

==−⋅=

==

.3;090003000;0

,3;090003000;0

,0;0

kNVVM

kNVVM

HX

CCA

AAC

A

Alt mod de calcul al reacţiunilor se bazează pe observaţia că reacţiunile formează un cuplu egal şi de sens contrar cuplului extern (încărcare) de 9 kNm, aşadar: .3;][90003000; kNVVkNmmVVV CAACA =−==⋅−= Calculul forţei tăietoare: .3 CstA TkNT =−= Calculul momentelor încovoietoare:

.0;693;313

;0

==+−=−=⋅−=

=

C

Bdr

Bst

A

MkNmMkNmM

M

Problema 5 (fig. 1.1.5)

fig.1.1.5

11

Page 13: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

Verificarea reacţiunilor:

iagrama de forţă tăietoare intersectează axa de referinţă la distanţa x faţă

Calculul forţei tăietoare:

.5.4;025.036;0

,5.13;025.136;0

kNVVM

kNVVM

C

CB

B

BC

=

=⋅−⋅⋅=

=

=⋅−⋅⋅=

,0;0 HX A ==∑

.5.45.1336,5.75.136

,616

kNTkNT

kNT

Cst

Bdr

Bst

−=+⋅−==+−=

−=⋅−=,0TAdr =

Calculul mom. încovoietoare:

.68.1;2/75.075.0675.05.4

,0,35.016

max

max

kNmMMM

kNmM

C

B

=⋅⋅−⋅=

=−=⋅⋅−=

,0M A =

.05.45.1336 =−−⋅

Dde extremitatea din dreapta: 65.4Tx .75.06/5.4;0 mxx ===⋅+−= Problema 6 (fig.1.1.6)

fig. 1.1.6

12

Page 14: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor: Calculul momentelor încovoietoare:

kNVV 662=

⋅==

( )

.0;18612

;12362696;6

,215.132666;12618

;1836

max

==+=

=⋅⋅−−⋅==

=⋅⋅−−⋅==−=

=⋅=;0=

D

Cdr

Cst

Bdr

Bst

MkNmM

kNmMmx

kNmMkNmM

kNmM

AMDA 2 .

Calculul forţei tăietoare:

roblema 7 (fig.1.1.7)

DstC TkNT =−=⋅−= 6626 BAdr TkNT == ;6

P

fig.1.1.7

13

Page 15: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

Verificarea reacţiunilor:

Calculul forţei tăietoare:

Calculul momentelor încovoietoare:

.125.3,05.02454;0

,875.2,05.254;0

2

2

qaVqaaqaqaaaVM

qaVqaaqaaVM

C

CB

B

BC

=

=⋅+⋅−⋅−⋅=

=

=+⋅−⋅=

,0;0 HX C ==∑

∑ += 87.2125.3;0 qaY =−− .055 qaqaqa

,0AT =

.125.3125.2,125.2875.25

,875.1875.2,

DstCdr

Cst

Bdr

Bst

TqaqaqaTqaqaaqT

qaqaqaTqaT

==+−=−=+⋅−=

=+−=−=

,0M A =

( )

.

,26.1875.1875.22

875.2875.2

,875.1;0875.2;0

,5.02

2

2875.1max

2

qaaqaM

qaqaqaaaqM

axqaxaqT

qaaqaM

C

ax

X

B

−=⋅−=

=⋅+⋅⋅−=⎯⎯⎯ →⎯

==++−=

−=⋅−=

=

14

Page 16: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 8 (fig.1.1.8)

fig.1.1.8

alculul reacţiunilor:

C

.1.2;05.41235.05.125

;0,4.2

;05.015.32335.05;0

kNVV

MkNV

VM

F

F

A

A

A

F

==⋅−⋅⋅−⋅−⋅

=

==⋅−⋅−⋅⋅−⋅

=

Verificarea reacţiunilor: ,1;0 kNHX B ==∑ .01.21235.04.2;0∑ =+− −⋅−=Y

alculul forţei axiale:

C

.F145cos41.1 0E NkN = N =⋅=

15

Page 17: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul forţei tăietoare:

roblema 9 (fig.1.1.9)

Calculul momentelor încovoietoare: ,4.2 BAdr TkNT ==

.05.15.01.2,15.225.021.035.3,35.35.05.014.22.1

,2.15.04.2

kNmMkNmMkNmM

kNmM

E

D

C

B

=⋅==⋅−⋅−==⋅−⋅+=

=⋅=,0M A =

.1.211.1,1.111.0

,1.029.1,9.115.04.2

FstEdr

EstD

Cdr

Cst

TkNTTkNT

kNTkNT

=−=−−==−=−−=

=−==⋅−=

P

fig.1.1.9 Calculul reacţiunilor:

∑ == HX 4;0 =⋅=⋅ qaqaqaA 4.253

4cosα ,

.935.3

;05.15.1312

2125.538sin410

;0

2

qaV

aaqqaaaqaqaaV

M

A

A

F

=

=⋅⋅⋅++⋅⋅−⋅⋅−⋅

=∑α

tgα=4/3; sinα=4/5;

cosα=3/5.

16

Page 18: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.765.3

;0105.13110

215.1225.432sin4

;0

2

qaV

aVaaaqqaaaqaqa

M

F

F

A

=

=⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅

=∑α

Verificarea reacţiunilor:

∑ =⋅⋅−⋅−⋅−+= .0215.123sin4935.3765.3;0 aqaqqaqaqaY α

Calculul forţelor tăietoare:

.5.12

5.12,3.2373.0

,735.02.3935.3,935.3

qaaqT

TqaqaqaTTqaqaqaT

TqaT

Fdr

FstD

CBdr

BstA

=⋅

=

=−=−===−=

==

Calculul momentelor încovoietoare:

( )

.815.82

735.0735.0

735.1sin4735.0393.3;735.0/735.0

,75.05.15.121

,57.3257.1

,57.123.217.6

,17.65.437.057.8

,57.8735.087.7

,87.72935.32

,0

2

max

2

222

22

222

22

2

qaaaq

aqaaaqaMMaqqax

qaaqaM

qaqaqaM

qaaqaqaM

qaqaaqaqaM

qaaqaqaM

qaaqaaVM

M

x

F

Edr

Est

D

C

AB

A

=⋅⋅−

−⋅⋅−+====

−=⋅⋅−=

=+=

=⋅−=

=−⋅+=

=⋅+=

=⋅=⋅=

=

α

17

Page 19: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 10 (fig.1.1.10)

fig.1.1.10 Calculul forţei axiale:

.330cos2 0DA NFFN =−=⋅−=

Calculul forţei tăietoare:

.,2

,

DstBdr

Bdr

BstAdr

TTFFFT

TFT

=−=−−=

=−=

18

Page 20: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul momentelor încovoietoare:

.2323,033

,3230sin2

,30sin2

,0

0

0

FaFaaFaFMFaFaM

FaFaaFM

FaaFM

M

D

Cdr

Cst

B

A

−=+⋅−⋅−==+−=

−=−⋅⋅−=

−=⋅⋅−=

=

Problema 11 (fig.1.1.11)

fig.1.1.11

19

Page 21: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul forţelor tăietoare:

.32,2

,0

ACst

CdrD

E

TqaqaqaTTqaT

T

==+−==−=

=

Calculul momentelor încovoietoare:

.0

,24

,34

,22

,0

2

2222

222

2

=−⋅=

=−−=

=−=

=⋅⋅=

=

qaaqaM

qaqaqaqaM

qaqaqaM

qaaaqM

M

A

Bst

Bdr

D

E

20

Page 22: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1.2 Diagrame de eforturi pe grinzi cu console şi articulaţii Sunt sisteme de bare drepte fixate la teren printr-o articulaţie sau încastrare şi reazeme simple, barele sistemului fiind legate între ele prin articulaţii intermediare. Se studiază dacă sistemul este sau nu static determinat; se defineşte gradul de nedeterminare statică al unui sistem ca fiind: CLn 3−= (pentru sisteme de bare plane); în care s-au notat: C-numărul de corpuri libere deschise, L-numărul de legături echivalente legăturilor simple care trebuie suprimate pentru obţinerea a C corpuri; pentru n = 0 sistemul este static determinat. Ecuaţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în ansamblu sau pentru fiecare corp în parte; un sistem precum cel în discuţie este format dintr-o parte independentă şi una sau mai multe părţi fundamentale. Părţile independente sau corpurile de tip I sunt corpuri ale căror forţe de legătură pot fi determinate din ecuaţiile de echilibru proprii. Forţele de legătură ale părţilor independente depind numai de forţele exterioare care acţionează asupra lor. Părţile fundamentale sau corpurile de tip II sunt elemente pentru care nu se pot determina în mod direct reacţiuni din ecuaţii de echilibru; forţele de legătură de pe părţile independente devin sarcini ce acţionează asupra părţilor fundamentale.

21

Page 23: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.2.1 (fig.1.2.1)

fig.1.2.1 Determinarea gradului de nedeterminare statică: 02363 =⋅−=−= CLn ; partea independentă este ABCD.

22

Page 24: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

,/33.134 aM

aMVV DA ===

VD devine încărcare (acţiune) pe partea fundamentală DEF,

./5.4

;0452633.1

;0,/16.1

;042233.1

;0

2

2

aMV

aVaaaMa

aM

MaMV

aVaaaMa

aM

M

E

E

F

F

F

E

=

=⋅−⋅⋅+⋅

=

=

=⋅−⋅⋅+⋅

=

Calculul forţelor tăietoare:

./16.1

,/33.3233.1

,/33.1

2

aMVT

aMaaM

aMT

aMTT

FEdr

Est

DA

==

−=⋅−−=

−==

Calculul momentelor încovoietoare:

( )

.66.42233.1

,33.133.1

,67.1333.1

,33.033.1

,33.133.1

2 MaaaMa

aMM

MaaMM

MMM

MMaMM

MaaMM

E

Cdr

Cst

Bdr

Bst

−=⋅⋅−⋅−=

=⋅=

−=−=

=+−=

−=⋅−=

23

Page 25: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.2.2 (fig.1.2.2)

fig.1.2.2

24

Page 26: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Partea independentă este CD; din raţiuni de simetrie se poate scrie:

∑∑

==

==

==

.33.1;0

,6.0;0

,2

qaVM

qaVM

qaVV

EDEFF

AABCB

DC

Calculul momentelor încovoietoare:

.5.167.0

,34

,2.126.0

,622

2

222

2

2

qaaqaM

qaqaqaM

qaaqaM

qaaqaaVM

Hdr

Hst

G

CB

=⋅=

−=−=

=⋅=

−=⋅−⋅−=

Problema 1.2.3 (fig.1.2.3) Partea independentă este C4D5; calcul reacţiunilor:

∑∑

=⋅+−⋅+⋅

==

=⋅+⋅⋅−

==

==

..83.28

1067.02436;0

,67.06

322;0

,46.3;0

21

5

qaa

aqaqaaqaaqaVM

qaa

aqaaaqVM

qaHX

BC

A

CCD

C

Calculul forţelor tăietoare şi al momentelor încovoietoare:

.2

,2367.0

,667.0

,64.04166.2332.9

,332.9244834.42

,2

,834.44834.0,2

,16.283.267.0

2

23

23

22

2222

2

qaM

qaaqaM

qaaVM

qaaqaqaM

qaqaaqaqaM

qaM

qaqaqaTqaT

qaqaqaT

D

st

Cdr

B

A

Adr

Ast

Bdr

−=

=⋅−=

−=⋅=

=⋅−=

=⋅−⋅+−=

−=

=+=−=

−=−=

25

Page 27: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.1.2.3

26

Page 28: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.2.4

fig.1.2.4

27

Page 29: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Partea independentă EFGI; calculul reacţiunilor:

∑ =⋅−⋅+⋅+−

==

=−

=−=

,7.05

25.05.053;0

,5.04

24

2

22

qaa

aqaaqaaqaqaVM

qaa

qaqaVV

BAED

IE

Calculul forţelor tăietoare şi al momentelor încovoietoare:

.41.022.131

222.122.1

2322.15.0

,5.1331

23235.0

,5.0

,35.1333.04.2

,4.227.0

,22.1;023

25.0

,5.22

325.0

2max

2

2

22

22

0

qaaaaaqaqaM

qaaaqaqaM

qaM

qaaqaaqaqaM

qaaqaqaM

axxxaqxqaT

qaaqqaT

J

Fst

D

C

x

J

=⋅⋅⋅⋅−⋅=

−=⋅⋅⋅

−⋅=

=

−=⋅−⋅−=

=⋅+=

==⋅⋅−⋅=

−=⋅

−=

28

Page 30: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1.3 Diagrame de eforturi pe cadre plane (sisteme de bare plane încărcate în planul lor) Intersecţia a două bare reprezintă un nod; dacă unghiul făcut de cele două bare rămâne constant şi după deformare, nodul se consideră rigid. Structurile (sistemele) de bare care au cel puţin un nod rigid se numesc cadre; cadrele pot fi plane sau spaţiale. În cazul unui nod rigid (în plan), în care se intersectează numai două bare, momentele sunt egale şi întind aceeaşi fibră.

Linia de referinţă pentru reprezentarea diagramelor este dată chiar de schema sistemului de bare; pentru fiecare bară în parte trebuie ales un sistem de referinţă propriu, în care axa x este intotdeauna dată de axa longitudinală a barei în discuţie. Dacă diagramele de efort sunt trasate corect, nodurile sistemului trebuie să fie în echilibru. Pentru verificare se separă fiecare nod, prin secţionarea barelor din nod şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se seama de convenţia de semne şi de sensul de parcurgere.

29

Page 31: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.3.1 (fig.1.3.1) Calculul reacţiunilor:

.3;0242;0

,;0224;0

,;0

PVaVaPaPM

PVaVaPaPM

PHX

A

AE

E

EA

E

=

=⋅−⋅+⋅=

=

=⋅−⋅−⋅=

==

∑∑

Verificarea nodului C:

Problema 1.3.2 (fig.1.3.2) Corpul A-C este parte independentă;calcul reacţiunilor şi eforturilor:

,271.4;06334435.0875.1;0

,604.2;0332435.67875.16;0

,875.1;05.154;0

,125.3;05.254;0

2

2

qaVaVaqaaqaqaaqaaqaM

qaVaqaaqaqaaqaaqaaVM

qaVaqaaVM

qaVaqaaVM

J

JE

E

EEJJ

CCACB

BBACC

=

=⋅−⋅+⋅++⋅−⋅−=

=

=⋅+⋅−+⋅−⋅−⋅=

==⋅+⋅−=

==⋅−⋅=

∑∑∑

( )

.933

,459.02271.0083.0

,083.03917.2

,917.22271.0375.2

,758.12

875.12

,375.25.0875.1

;271.0604.2875.2

2

22

222

22

222

max

222

qaaqaM

qaaqaqaM

qaqaqaM

qaaqaqaM

qaqqa

qTMM

qaqaqaM

qaqaqaT

I

G

Fdr

Fst

CC

CDD

DFD

−=⋅−=

=⋅−=

=+−=

−=⋅−−=

==+=

−=−−=

−=+−=

30

Page 32: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

31

Page 33: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

32

Page 34: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

33

Page 35: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.3.3 (fig.1.3.3) Calculul reacţiunilor şi al eforturilor secţionale:

,1.85.46.12

,5.45.13

,6.1232.4

,0,52.2cos;6.0cos

,36.3sin;8.0sin,8.5;0445104210;0

,2.4,04251010;0

,2;0

222

2

2

qaqaqaMMM

qaaaqM

qaaqaM

MqaVT

qaVNqaVaqaaaqaqaaVM

qaVaqaaaqaVM

qaHX

CDD

ADD

DED

CDD

ADD

A

AA

AA

BBA

AAB

B

=−=+=

−=⋅⋅−=

=⋅=

==⋅==

−=⋅−==

==⋅−⋅⋅−⋅+⋅=

==⋅+⋅⋅−⋅=

==

∑∑∑

αααα

.82.82

44.11.82

,842

,8.572.17

,2.1sincos

,4cossin

222

2

2

max

2

qaq

aqqaq

TMM

qaaqaM

qaqaqaaqTT

qaNTTT

qaNTNN

DEDDE

D

EBE

DED

DEE

ADD

ADD

CDD

DED

ADD

ADD

CDD

DED

=+=+=

−=⋅−=

−=−=⋅−=

=⋅+⋅−=

−=⋅+⋅+=

αα

αα

34

Page 36: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

35

Page 37: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.3.4 (fig.1.3.4) Calculul reacţiunilor:

.3/8;024443;0

,4;024648;0

qaHaqaaqaaHM

qaVaqaaqaaVM

A

AAC

C

A

AB

⋅=

=⋅−⋅+⋅−=

=

=⋅−⋅−⋅=

4qa

8/3qa

4qa

8/3qa

Nodul D:

Problema 1.3.5 (fig.1.3.5) Calculul reacţiunilor şi al eforturilor secţionale:

.36.9434.2

,2,2

,78.4522.0

,22.0;34.0

;5.223

16;32

;023;0

;05.174228;0

22

2

2

qaaqaM

qaMqaT

qaqaqaT

qaVqaH

qaaaHHV

aHaVM

aqaaqaaHaVM

EBE

CEE

EFE

CEE

A

A

AAA

AAAC

C

AAB

=⋅=

−=

=

−=−=

=−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−−=

=⋅+⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅=

∑∑

36

Page 38: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

37

Page 39: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

38

Page 40: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1.4 Diagrame de eforturi pentru sisteme spaţiale În cazul unei structuri spaţiale, eforturile într-o secţiune sunt: N-efort axial, Ty, Tz – forţe tăietoare, My, Mz – momente încovoietoare, Mx = Mt –moment de torsiune. Aceste eforturi se pot calcula într-o secţiune curentă la fel ca la sistemele plane, prin reducerea forţelor fie de la stânga, fie de la dreapta. Convenţia de semne pentru aceste eforturi: se consideră pozitive dacă, pe faţa din dreapta a unei secţiuni oarecare, sunt dirijate ca în figură:

Pentru fiecare bară a structurii se figurează un sistem (triedru) de axe de referinţă: axa x paralelă cu axa barei, orientată în sensul de parcurgere, axa y orientată pe verticală în jos, în măsura în care este posibil, iar axa z orientată astfel încât, pentru un observator situat pe axa x şi privind către origine, axa y să se rotească în sens orar cu 90 0pentru a se suprapune cu axa z .

39

Page 41: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.4.1 Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul spaţial din figura 1.4.1. Problema 1.4.2 Să se traseze diagramele de eforturi pentru sistemul spaţial din figura 1.4.2. Calculul eforturilor secţionale:

[ ] [ ] [

.022,.2,0.2,0

,2,2,0,,0,2

,,0,0,2,0,;3,0:;2,0:;,0:

=−==⋅−=⋅−⋅==⋅−==

⋅=−==−==−=

−======∈ ]−∈−∈−

FaFaMxFMxFaFMTxFMT

xFMFTMFTMFT

FTNMFNMFNaxDCaxCBaxBA

xzzzzz

yzyyyy

yxx

Problema 1.4.3 Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul din figura 1.4.3. Calculul eforturilor secţionale:

[ ] [ ]

.,32.,2,,3,0,2

,,2,,0;2,0:;,0:

xFMxFFaMxFMxFMFaMFTMFT

FTFNFTNaxCBaxBA

zyzy

xzxz

yy

⋅−=⋅+−=⋅−=⋅−==−===

−=−=−==∈−∈−

[ ]

.22,3

,3,2,232,

;3,0:

xFaFMFT

xFFaMFTaFFaMFN

axDC

zz

Yy

x

⋅+⋅−=−=

⋅+−==⋅+−=−=

∈−

40

Page 42: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

41

Page 43: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

42

Page 44: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

43

Page 45: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1.5 Diagrame de eforturi pe sisteme plane încărcate cu sarcini normale pe plan

Din cele şase eforturi care apar într-o secţiune curentă în cazul structurilor spaţiale, pentru sistemele plane cu forţe normale pe plan vor rămâne un număr de trei eforturi, anume: forţa tăietoare Ty, momentele Mz şi Mx=Mt. Pentru determinarea reacţiunilor se pot scrie trei ecuaţii de echilibru: o ecuaţie de proiecţii după normala la plan şi două ecuaţii de moment faţă de două drepte cuprinse în planul sistemului. Problema 1.5.1 Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul din figura 1.5.1. Calculul reacţiunilor:

∑∑∑

==

==⋅−⋅−⋅=

==⋅+⋅−=

.25.1;0

,75.3,0325.032;0

,2,0244;0

qaVY

qaVaqaaqaaVM

qaVaqaaVM

C

EECB

AACE

Problema 1.5.2 Să se traseze diagramele de eforturi pentru sistemul de bare din figura 1.5.2. Calculul reacţiunilor şi al eforturilor secţionale:

.

,6242

,6224

,44

,5.1,0cos3sin24cos2sin4;0

,5.4,02242;0

,4,024424;0

2

2

2

2

qaaqaM

qaaqaaqaM

qaaqaaqaM

qaaqaM

qaVaqaaqaaqaaVM

qaVaqaaqaaqaaVM

qaVaqaaqaaVM

zD

CDzC

ABzB

zG

D

DAC

CCAD

AACDE

−=⋅−=

−=⋅−⋅=

=⋅−⋅=

=⋅=

−=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

==⋅−⋅+⋅+⋅−=

==⋅−⋅−⋅=

∑∑∑

αααα

44

Page 46: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

45

Page 47: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

46

Page 48: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 1.5.3 Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul din figura 1.5.3. Calculul reacţiunilor:

∑∑∑

==

==⋅−⋅−⋅=

==⋅⋅−⋅=

.75.0;0

,25.2,032;0

,5.1,05.133;0

1

qaVY

qaVaVaqaaVM

qaVaaqaVM

D

EAEDD

AADE

Problema 1.5.4 Să se traseze diagramele de eforturi pentru sistemul de bare din figura 1.5.4. Calculul reacţiunilor:

.075.075.033,03;0

,3,0333;0

,75.0,033;0

,75.0,025.03;0

=−+⋅−

=−+⋅−=

==⋅−⋅⋅=

==⋅−⋅=

==⋅−⋅⋅=

∑∑∑

qaqaaqqaVVaqVY

verificareqaVaVaaqM

qaVaVaVM

qaVaVaaqM

EDB

BBED

EEDAC

DDBE

47

Page 49: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

48

Page 50: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

49

Page 51: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 2

CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE

Fie notaţiile y1, z1 ale coordonatelor centrului de greutate al elementului de suprafaţă dA din figură:

Momentele statice ale secţiunii plane, în raport cu axele de coordonate Y1, Z1 sunt:

∫⋅=

⋅=

.

;

11

11

dAzS

dAyS

Y

AZ

În cazul în care momentele statice sunt nule, Sz = Sy =0, rezultă faptul că axele Z şi Y sunt axe centrale (trec prin centrul de greutate al suprafeţei). Coordonatele centrului de greutate vor avea expresiile:

50

Page 52: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.

;

.;

1

1

1

1

1

1

∑∑

∑∑

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

−=−=

ii

iii

A

AG

ii

iii

A

AG

A

Az

dA

dAzz

A

Ay

dA

dAyy

bzzayy

Momentul de inerţie axial al secţiunii plane în raport cu axa Z1 se defineşte ca: ∫ ⋅=

AZ dAyI ,2

11

iar momentul de inerţie axial al secţiunii plane în raport cu Y1, respectiv: ∫ ⋅=

AY dAzI .2

11

►momentele de inerţie axiale geometrice sunt intotdeauna pozitive. Momentul de inerţie centrifugal al secţiunii plane în raport cu axele de referinţă ale aceluiaşi sistem se defineşte ca: ∫ ⋅⋅=

AYZ dAyzI ;1111

iar momentul de inerţie polar al secţiunii plane: ∫ ⋅=

Ap dArI ;2

11

în care r1 reprezintă vectorul de poziţie al centrului de greutate. În plus:

rezultă că: .;

111

21

21

21

YZp IIIzyr+=+=

Sistemul de axe care trece prin centrul de greutate al suprafeţei este definit ca un sistem de axe centrale. Axele faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul sunt axe principale de inerţie; dacă aceste axe trec şi prin centrul de greutate acestea se vor numi axe centrale principale de inerţie.

51

Page 53: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se definesc drept raze de inerţie sau giraţie următoarele caracteristici:

.;;AI

iAIi

AIi p

pY

YZ

Z ===

Calculul momentelor de inerţie la translaţia axelor se face cu ajutorul relaţiilor de forma:

.

;

;

11

211

21

AbaIIAbII

AaII

ZYYZ

Y

ZZ

⋅⋅+=⋅+=

⋅+=

Momentele de inerţie axiale sunt mici pentru elementele de suprafaţă din apropierea centrului de greutate al întregii secţiuni; cu cât acestea se depărtează de centru cu atât caracteristicile geometrice corespunzătoare se vor mări. În cazul în care forma suprafeţei în discuţie se compune din mai multe figuri geometrice simple, la care se consideră cunoscute momentele de inerţie în raport cu axele centrale proprii, momentele de inerţie în raport cu sistemul general central de axe se calculează cu expresiile:

( )( )( ).

;

;

2

2

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

iiiiZiYiZY

iiiYiY

iiiZiZ

AbaII

AbII

AaII

Calculul momentelor de inerţie la rotaţia axelor cu un unghi α se va efectua cu relaţiile:

.2cos2sin2

;2sin2cos22

;2sin2cos22

11

1

1

αα

αα

αα

ZYYZ

YZ

ZYYZYZ

Y

ZYYZYZ

Z

IIII

IIIIII

IIIIII

+−

=

+−

−+

=

−−

++

=

52

Page 54: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Valorile extreme ale momentelor de inerţie axiale, numite momente de inerţie principale, sunt date de relaţia:

;22

22

2,1 ZYYZYZ IIIIII +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=

în care, prin convenţie: .21 II > Axele faţă de care momentele de inerţie au valori extreme se numesc axe principale de inerţie; din condiţia:

( ) ,02

1 =αd

Id Z rezultă:

( ) ;22ZY

ZY

IIItg−

cu rădăcinile α şi α+π/2. Rezultă că direcţiile 1 şi 2 sunt ortogonale, în plus, pentru precizarea direcţiei principale 1 se foloseşte inegalitatea:

;01 <ZYI

tgα

obţinută din condiţia de extrem, în forma:

( ).0

2 21

2

<αdId Z

53

Page 55: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.1

alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru Să se csecţiunea din figura 2.1.

.1022551230010

1210600

,10365933.2031030012

103007.101600101260010

,7.101300600305300

244

331

442

32

3

1

ImmI

Imm

I

mmy

Y

Z

G

=⋅=⋅

+⋅

=

=⋅=⋅⋅+

+⋅

+⋅⋅+⋅

=

−=+⋅−

=

roblema 2.2

alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru P Să se csecţiunea din figura 2.2.

.10097.512

802012

103001215015

,1018.1

3.174160012

20803.143000

12300102.1432250

1215150

,3.14160030002250

160160022505.157

246

3331

48

23

2

32

3

2

Imm

I

Imm

I

mm

y

Y

Z

G

=⋅=

=⋅

+⋅

+⋅

=

=⋅=

=⋅+⋅

+⋅+

+⋅

+⋅+⋅

=

−=

=++

⋅+⋅−=

fig.2.2

54

Page 56: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.3

alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru

Să se csecţiunea din figura 2.3.

fig.2.3

( ) ( )

( ) .642.2642

112

24

;648.10

,007.083

2642

1

,3201.0

801.042

1242

;01.0

842

322 aa ⎞⎛−

⋅−π

8

443

2

41

4224

2

22

22

3

1

21

aaaaII

aI

aaaaI

aaaIaaaaaII

aaaa

y

Y

Z

ZZ

G

=⋅

−⋅

==

=

=⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅+−⋅⋅+

⋅==

=⋅

−⋅

⎟⎠

⎜⎝=

π

ππ

π

ππ

ππ

55

Page 57: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.4

alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru Să se csecţiunea din figura 2.4.

fig.2.4

( ) ( )

( )48

3333

334421

1076.912

1252.16212

8.108.12326.67370612125

4266.67312

8.1040642664

mm

IIII YZ

⋅=

=⋅

⋅+⋅

⋅+−+

+−+−====π

56

Page 58: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.5

alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru Să se csecţiunea din figura 2.5.

U20, din tabel:

.01.2,148

,19104

1

41

cmecmI

cmI

Y

Z

==

=

,2.32 21 cmA =

fig.2.5

( )

( )[ ] .06.122851001.22.32148212

302.1

;9.64188.32.32191028.63612

2.130

;3812300102.322

10612300

423

1

4223

2

21

cmII

cmII

mmy

Y

Z

G

=+⋅+⋅+⋅

==

=⋅+⋅+⋅+⋅

==

−=⋅+⋅⋅

⋅⋅−=

Problema 2.6 alculeze momentele de inerţie centrale principale pentru Să se c

secţiunea din figura 2.6.

fig.2.6

I20, din tabel:

.117

;21404

1

41

cmI

cmI

Y

Z

=

=

;5.33 21 cmA =

( )

.67.28312

210117

;36611.4112012

2101.45.332140

;4120100105.33

11020100

43

2

42

32

1

21

cmII

cm

II

mmy

Y

Z

G

=⋅

+==

=−⋅+

+⋅

+⋅+==

−=⋅+⋅

⋅⋅−=

57

Page 59: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.7 Să se calculeze momentele de inerţie centrale principale şi direcţiile

principale pentru secţiunea din figura 2.7.

fig.2.7

( ) ;02.320246

11205.116

;62.220246

5.5205.36

222

222

2

222

222

2

tttt

ttttA

Ayy

tttt

ttttA

Azz

ii

iii

G

ii

iii

G

=++

⋅+−⋅=

⋅=

=++

⋅+⋅=

⋅=

∑∑

∑∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ;6.391698.72012

210

02.324122452.146

126

4223

223

223

2

ttttt

ttttttttAdIIi

iZZZiZ i

=⋅+⋅

+

+⋅+⋅

+⋅+⋅

=⋅+= ∑

58

Page 60: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ;65.41388.22012102

62.22412

240886126

4223

223

223

21

ttttt

ttttttttAdIIi

iYYYiY

=⋅+⋅

+

+⋅+⋅

+⋅+⋅

=⋅+= ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ;88.5722088.298.702462.202.3

0688.025.140

422

2

ttttttt

tttAddIIi

iYYiZZiZiYiZY

=⋅⋅++⋅−⋅+

++⋅⋅−+=⋅⋅+= ∑

( ) ( )

;34.322;1.4007

;88.5724

65.4136.3916

265.4136.3916

22

42

41

2244

442

2

2,1

tItI

tt

ttIIIIII ZYYZYZ

==

+−

±

±+

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±+

=

.

2,0,0

;5288;89;327.065.4136.3916

88.572222

111

'0'''0'44

4

πααα

ααα

><<

=−=−=+−

⋅=

−=

tgI

tgtt

tII

Itg

ZY

ZY

ZY

roblema 2.8

termine momentele de inerţie centrale principale şi direcţiile P Să se deprincipale pentru secţiunea din figura 2.8.

fig.2.8

59

Page 61: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;3

6995

;5.16995.2

22

22

2

22

22

2

aaaaa

A

Ayy

aaaaa

A

Azz

ii

iii

G

ii

iii

G

−=+⋅−

=⋅

=

−=+⋅−

=⋅

=

∑∑

∑∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

;445635.10920

;5.161269

129

;25.1513612

629129

22

223

223

4223

223

aaaaaaaI

aaaaaaaaI

aaaaaaaaaI

ZY

Y

Z

=⋅++⋅−⋅−+=

⋅+⋅

+⋅+⋅

=

=⋅+⋅

+⋅+⋅

=

( )

;187.25;31.167

;452

25.4125.1512

25.4125.151

42

41

2424444

2,1

aIaI

aaaaaI

==

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

.264419;2

,0,0

;2415702

264419

;264419

;25.15125.41

4522

'''0111

'''0'''0''

'''0'

44

4

−=>⇒<>

=+−=

−=−⋅

=

απαα

πα

α

α

tgI

aaatg

ZY

60

Page 62: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 2.9 Dintr-o secţiune circulară cu diametrul d se taie o figură

ară de dimensiuni bxh (fig.2.9); ce valoare va trebui să aibă omentul de inerţie Iz să fie maxim şi ce valoare va

avea Iz pentru acest caz.

dreptunghiulparametrul b pentru ca m

fig.2.9

fie h > b; momentul de inerţie axial are expresia

12

3hbIZ⋅

= , iar între

, d există relaţia sau . Momentul de 222 dhb =+ 222 bdh −=parametrii b, h

( )inerţie IZ se mai poate scrie: 222

12hdbIZ −⋅= ; condiţia de maxim (extrem)

este:

3

( ) ( )( ) 0221212

222222 =−−⋅⋅+− bdbbbd ,

sau

31 13

⋅=bdId Z

( ) ( ) 04121 2222 =−⋅−⋅ bdbd .

Rezultă:

.027.0424

; 2 Z4

23

22

max ddddIdb =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅==

61

Page 63: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 3

SOLICITAREA AXIALĂ CENTRICĂ

ficare, dimensionare, deplas

3.1 Veri ări

În secţiunea transversală a unei bare solicitată la forţe axiale apar pe suprafaţa secţiunii, de forma:

tensiuni normale, distribuite uniform

;AN

În metoda rezistenţelor admisibile, condiţia de rezistenţă este: aσσ ≤max ;

e unde rezultă relaţia de verificare: d

;.

.max.max a

ef

efef

Nσσ ≤=

respectiv, formula de dimensionare, din condiţia de rezistenţă: A

;dima

nec σ.ma A

NA ≤=

în care Adim reprezintă aria secţiunii transversale în funcţie de dimensiuni şi

x ef

;netef AA = ;slabiribrutnet AAA −=

în cazul unei secţiuni cu slăbiri. efor tă a barei este: D maţia liniară specifică, într-o secţiune curen

;NAEEx ⋅

==σε

din care, prin integrare, se obţine alungirea totală:

∫ ∫ ⋅⋅

=⋅=Δl

x AEdxNdxl

0

62

Page 64: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

3.2 Calculul îmbinărilor barelor solicitate axial Barele metalice solicitate axial se îmbină prin intermediul niturilor, buloanelor sau al cordoanelor de sudură.

3.2.1 Îmbinări nituite

nt îmbinate cu un nit: Tablele din figura 3.2.1 su

fig.3.2.1

te solicitat la rfecare şi strivire. Efortul capabil al nitului la forfecare este dat de:

Tablele din figura 3.2.1 sunt îmbinate cu un nit; nitul esfo

.8.0;4

2

aaf

nitdR ττπ

⋅⋅

= aσ=

ţa) nitului la strivire este:

r sau a pachetului de iese care lucrează în acelaşi sens: tmin= min(t1, t2), pentru situaţia din figura

3.2.1; pentru figura 3.2.2, de exemplu, tmin= min(t1+t3,t2):

Efortul capabil (rezisten str tdR ⋅= .2;min astrastranit σσσ =⋅

în care tmin reprezintă cea mai mică grosime a pieselop

63

Page 65: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.3.2.2

Se defineşte rezistenţa unui nit ca fiind:

( );;min fnit

strnitnit RRR =

Determinarea numărului necesar de nituri se face cu relaţia:

;nit

cap

RN

n = unde N cap - efortul capabil al barei.

Pentru cazul din figura 3.2.2, rezistenţa nitului la forfecare este dată e relaţia:

d

.4

22

af

nitdR τπ

⋅⋅=

64

Page 66: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

3.2.2 Îmbinări sudate

Sudura poate fi de tipul cap la cap (cordoane de sudură frontale)sau de colţ (cordoane de s doanele de sudură frontsolicitate axial, pe când cel ă la forfecare.

udură laterale); cor ale sunt e de tip lateral lucreaz

iv lungimea (ls).

Elementele de calcul ale unui cordon de sudură de colţ sunt: grosimea (a), respect

fig.3.2.3

Fie cazul prinderii pe guseu a profilului cornier din figura 3.2.3 cu jutorul a două cordoane laterale de sudură,de lungimi diferite (ls1,ls2) şi rosimi a1 respectiv a2. În cazul unei îmbinări centrate (forţa N trece prin entrul de greutate al profilului), forţele N1 şi N2 ce revin cordoanelor de udură sunt:

agcs

;; 21 beNN

bebNN ⋅=

−⋅=

aceste valori trebuiesc a fi inferioare in raport cu efortul capabil al cordonului:

,111 aslaN .65.0;222 aasas culaN σττ

τ⋅⋅≤=⋅⋅≤

Lungimile reale ale cordoanelor sunt: .2;2 222111 allall ss +=+=

65

Page 67: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

3.3 Sisteme static nedeterminate solicitate axial

Pentru rezolvare, pe lângă ecuaţiile de echilibru trebuie introduse relaţii de compatibilitate geometrică a deplasărilor, în număr egal cu gradul

minare statică a structurii. Aceste relaţii se stabilesc în baza ăţilor sistemului, când se cunosc direcţiile deplasărilor.

de nedeterparticularit 3.3.1 Influenţa variaţiei de temperatură la sisteme static nedeterminate

Pentru un sistem static determinat solicitat la o variaţie de temperatură Δt, alungirea va fi:

tll Δ⋅⋅=Δ α ;

;01 ttt −=Δ

.

,

0

larearacarelaatemperaturt

termicdilataredecoeficient−−α

blungimea

de compresiune, rezultatul fiind nul (schema de rezemare nu permite

deplasare pe direcţia axei longitudinale a barei):

În cazul sistemului static nedeterminat din figura 3.3.2, deformaţia datorată variaţiei de temperatură Δt>0 va fi egală cu alungirea barei datorate încălzirii minus scurtarea datorată forţei axiale

N

.0=⋅⋅

−Δ⋅⋅=ΔAElNtll α

66

Page 68: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 3.1 Se consideră sistemul de bare 1, B, 2, articulat în punctele 1, B şi 2,

a cestea sunt de secţiune transversală circulară plină, precum şi determinarea eplas

2 .

vând geometria din figura 3.1; se doreşte dimensionarea barelor , ştiind că

ad ării punctului B.

Se cunosc:σ = = ⋅2 5150N /mm ,E 2,1 10 N /mma

Se izolează nodul B:

arelor:

Σ = =

1 2

X 0; N N ,

,6kN.Σ = ⋅ =

= =

1 20

1Y 0; 2N cos30 F;N N 86

1. dimensionarea b⋅

= = =σ

π ⋅= ⇒ =

=

ef nec

ef

dA , d 27,1mm;4

se alege d 27mm.

verificare :

321

neca2

N 86,6 10A 577mm ;150

⋅σ = =1

xN 86

= < ⋅σ =π ⋅

32 2

ma a2ef

,6 10 151,26N /mm 1,02 153N /mm .27A4

2. calculul deplasării punctului B:

67

Page 69: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Δ= α ≈

⋅Δ = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

/ 00

/ 21 0

3 3/ 2

0 5 0

lBB , 30 ;cos30

N l 3l B B , l 3,46m;EA cos30

N l 86,6 10 3,46 10BB 2,058mm.EA cos30 2,1 10 572,5 cos30

Problema 3.2 Fie sistemul de bare articulate AB şi BC, având geometria din figura 3.2, cu secţiunea transversală formată din două corniere L 100x100x10. Să se determine forţa capabilă P, cunoscându-se . σ = 2

a 160N /mm

Se izolează nodul B:

Σ =⋅ α + ⋅ α =

⋅ α + ⋅ α − =

1 1 2 2

1 1 2 2

X 0;N sin N sin 0,

N cos N cos P 0

Σ =Y 0;

,astfel, se obţine:

68

Page 70: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )

( )( )

α= ⋅ = =

α + α

α= ⋅ = =

α + α

α + α = α ⋅ α + α ⋅ α =

α = α =α = α =

> ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

21

1 2

12

1 2

1 2 1 2 2 1

1 1

2 2

1 2 cap

sin 0,69N P P 0,6997P,sin 0,9561sin 0,5146N P P 0,5381P,

sin 0,9561sin sin cos sin cos 0,956sin 0,5145; cos 0,8575;sin 0,669; cos 0

1;

,N N 0,6997 P 160 2 19,2

=

210 ,87090N.

Să se dimensioneze bara de secţiune circulară plină, solicitată ca în figura 3.3; să se determine alungirea totală a barei, cunoscându-se:

2 .

,7433

cap

Problema 3.3

P

σ = = ⋅2 5a 150N /mm ,E 2,1 10 N/mm

Dimensionare:

π ⋅= = =

σ

⋅ ⋅= = =

π ⋅

2lim.max

nec dima

3

necd ef

N dA A ,4

4 30 10 15,96mm; se alege d 16mm.150

69

Page 71: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Alungire totală:

=

π ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Δ = ⇒ Δ = + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Δ =

22

ef

3 3 3 3 3 33i i

5 5 5i 1 i i

16A 201,06mm ,4N l 10 10 3 10 30 10 10 20 10 2 10l lE A 2,1 10 201,06 2,1 10 201,6 2,1 10 201,06

l 0,4736mm.

⋅ ,

Problema 3.4 Pentru grinda cu zăbrele din figura 3.4 se cere dimensionarea tronsonului 3-5, ştiind că acesta este alcătuit din două corniere prinse cu

ituri pe un singur rand şi apoi să se calculeze prinderea. Niturile sunt de iametru , iar grosimea guseului este de 12 mm. Se cunosc:

nd d 20mm=

σ = 150N /m σ = σ τ = σa a a a am ; 2 ; 0,8 . 2 str. f

alculul reacţiunilor şi a eforturilor necesare: c

Σ = ⋅ − ⋅ − ⋅ = =

Σ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ = =7 1 1st.4 35 35

M 0; V 9 200 6 300 3 0; V 233,33kN,M 0; N 2 200 1,5 233.33 4,5 0; N 375kN.

⋅= = = =

σ

335 2 235nec.

a

N 375 10A 2500mm 25cm ;150

pentru un cornier:

= =35

2nec.1AA 12,52

cm ,

70

Page 72: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

dar = =ef netA A −brut slabiriA A ,unde Aslabiri reprezintă 20% din aria brută: .

Din standard se adoptă profilul L 90x90x9, de arie . Verificare:

= ⋅ = 2efA 1,25 12,5 15,625cm

= 21A 15,5cm

( )= ⋅ − ⋅ = >

⋅σ = = = < σ =

2 2net

32 2max

max a2ef

A 2 15,5 0,9 2 27,4cm 25cm ;

N 375 10 136,86N /mm 150N/mm .A 27,4 10

Calculul prinderii:

( )( )

π ⋅ π= ⋅ τ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2nit f 2f a

d 2R 2 20 0,8 150 75398N;4 4

= ⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ ⋅

= + =

= =

=

= ⋅σ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ≅

nit strstr a

nit nitnit f str

capnec

nit2 3

cap ef a

R t d 12 20 2 150 N;t min 12;9 9 12mm;

R min R ;R 72000N;

Nn ;

RN A 27,4 10 150 411 10 N,

411000n 6nituri.72000

area diagramelor de eforturi N, şi M, precum şi dimensionarea barei A-B având secţiunea ca în figură,

materialul folosit la confecţionarea acesteia admiţând .

= 72000

Problema 3.5 Se dă cadrul din figura 3.5; se cere trasT

2σ =a 150N /mm

71

Page 73: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

,

Trasarea diagramelor de eforturi:

Σ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = =Σ = − + − = =Σ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = =

E A A

B B

A B B

M 0; H 2 180 2 18 1 0,5 0; H 175,5kNX 0; 175,5 180 H 0; H 4,5kN,M 0; 18 1 3,5 4,5 2 V 3 0; V 18kN.

Bara A-B fiind solicitată numai axial:

( )

−= =A BNA A ;σ

= − ⋅ =

⋅=

⋅= = ⇒ =

nec dima

22 2dim

32

3

nec ef

A a 2 0,3a 0,82a ,175,5 100,82a ;150

1,17 10a 37,7mm a 40mm.0,82

72

Page 74: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 3.6 Se dă sistemul de două bare articulate din figura 3.6; se cere trasarea diagramelor de eforturi. Dacă bara B-C este alcătuită din două profile cornier tip L 65x80x8 şi prinderea în nodul B este realizată cu patru nituri de diametru de 21 mm, se mai cere verificarea acestei îmbinări cunoscându-se:

2 . σ = σ = τ =2 str 2 fa a a160N /mm , 280N /mm , 140N /mm

Calculul reacţiunilor:

−Σ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ = + − ⋅ + − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

Σ = − + = ⇒ =A C CX 0; H R 0 R2

⋅ =

A BB A A

C A

A

9M 0; V 9 4 9 0 V 18kN,2

2 9 2 2 2M 0; 18 9 8 4 9 8 120 8 H 8 0;2 2 2 2 2

H 138kN,

2 138 2 195,16kN.

Trasarea diagramelor de eforturi:

73

Page 75: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Verificarea îmbinării:

( )= − ⋅ =

σ = = < σ =

2net

2 2max a

A 2 11 0,8 2,1 18,645cm ;195160 104,7N /mm 150N /mm ,1864,5

mτ = = < τ =π ⋅

⋅ ⋅

σ = = < σ =⋅ ⋅

f 2 f 2a2

str 2 str 2a

195160 70,43N /mm 140N/ m ,214 24

195160 232,3N /mm 280N /mm .4 21 10

Problema 3.7 Se dă sistemul de platbande din OL37 prinse cu nituri pe două rânduri, supus unei solicitări axiale de întindere (figura 3.7); cunoscându-se diametrul nitului de 26 mm, 2 , se cere efortul capabil precum şi dimensionarea îmbinării (determinarea numărului necesar de nituri).

σ = = ⋅2 5a 140N /mm , E 2,1 10 N /mm

74

Page 76: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )( )

( )

=capN A ⋅ σ

=

= ⋅ − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ =

== ⋅ =

= =

π ⋅ π= ⋅ τ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅σ

ef a

ef 1net 2net

21net

22net

2ef

cap

capnec nit str f

nit2

2f a f

;

A min A ;A ;

A 2 2200 2 26 10 3360mm ;

A 4800 2 26 20 3760mm ;

A 3360mm ;N 3360 140 470400N,

Nn ; R min R ;R ;

RdR 2 2 2 0,8 140 118867N;4 4d ( )= ⋅ =; t min 20;2 10 20mm;

6

str a

= ⋅ ⋅ ⋅ =str

strR 20 26 2 140 145600N;

R t

=nitR 118867118867

= ≅470400N; n 4nituri.

roblema 3.8 Pentru sistemul de bare din figura 3.8 se cer:

1. trasarea diagramelor de eforturi; 2. dimensionarea barei A-B alcătuită fiind din două table bxt cu

prinderea în nodul B fiind realizată printr-un bulon de diametru 40 mm;

3. verificarea îmbinării între elementele A-B şi B-C; .

P

=b 12t ,

σ = 2a 150N /mm

75

Page 77: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

.

Trasarea diagramelor de eforturi:

Σ = =Σ = =Σ = =

E A

E

A E

M 0; V 215kN,X 0; H 0,M 0; V 175kN

Dimensionarea barei A-B

( )⋅= = = ⋅ − =

32

nec nec215 10A 1433mm 2 b t 40t ; t 9,41mm;

= =ef eft 10mm, b 120mm.150

binării

Verificarea îm

⋅τ = = < τ = ⋅σ

⋅ π ⋅

⋅σ = = < σ = ⋅σ

3f 2ef a a2

3str 2 stref a a

215 10 85,5N /mm 0,8 ;4024

215 10 268,75N /mm 2 ,40 20

f

îmbinarea rezistă.

76

Page 78: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pro Să se determine Pcap din condiţia de rezistenţă, pentru bara A-B, alcătuită din două profile L 100x100x10, îmbinate cu nituri cu diametrul de 23 mm; să se dimensioneze îmbinarea din A, grosimea guseului fiind de

, materialul având .

blema 3.9

=gt 14mm σ = 2a 150N /mm

Calculul efortului în bara A-B:

− −Σ = ⋅ − = =D A B A B2M 0; N 3 2P 0; N 0,94P2

.

De ile Pcap : terminarea forţei capab( )= − ⋅ = 2

efA 2 1920 23 10 3380mm ; − = ⋅ = =A B

cap capN 3380 150 507000N; P 538,2kN , Dimensionarea îmbinării în nodul A:

( )

π ⋅= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= =

= ≅

2

f

str

nit f str

nec

23R 2 120 99714N;4

R 23 14 300 96600N;R min R ,R 96,6kN

507n 6 nituri.96,6

;

77

Page 79: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 3.10 Pentru sistemul de bare din figura 3.10 se cer:

1. trasarea diagramelor de eforturi; carea barei B-C, şt2. verifi iind că prinderea în B se face prin cordoane

laterale de sudură, bara B-C fiind alcătuită din două table 80x14, guseul având grosimea de 16 mm; materialul are . σ = 2

a 150N /mm

Verificarea barei B-C:

σ = ≤σ

= ⋅ ⋅ =

?max

max aefA

2ef

N ;

A 2 80 14 2240mm ;

σ = = < σ3

2ef a

148,9 10 66,48N /mm ,2240

bara rezistă. Determinarea lungimii cordoanelor de sudură (dimensionarea îmbinării):

78

Page 80: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )

= ⋅σ = ⋅ = ⋅

= ⋅ τ = ⋅cap s as sN A , A a l;= ⋅ ⋅ τ

⋅= = = = ⋅τ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

cap as

3cap

as

N a l ;N 336 10l 351,65mm cu a 0,7 t ,a 0,65 150 0,7 14

= =

= + = ≅

3ef a

min

min

s

N A 2240 150 336 10 N;

t min 14,16 14mm;ll 2a 107,51mm 110mm.4

Problema 3.11 Pentru bara din figura 3.11, dublu articulată, alcătuită pe deschiderea B-C-D din OL 37, iar pe D-E-G din aluminiu (Al), se cer:

1. trasarea diagramei de efort axial; 2. determinarea deplasării punctului D; 3. forţa maximă suportată de sistem, condiţionată de tronsonul B-C-D, în

situaţia în care nu sunt posibile pierderi de stabilitate; 4. eforturile produse de creşterea temperaturii cu gradientul .

cap

lim.

Δ = 0t 60 C

1. Sistemul fiind dublu articulat, este static nedeterm ţia de compatibilitate geometrică este

inat; condiΔ =l 0 , altfel:

79

Page 81: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − ⋅⋅Δ = + + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅+⋅

=⎛ ⎞⋅+⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

B B BB

OL OL OL OL Al Al Al Al

OL OL

Al AlB

OL OL

Al Al

H F a H 3F a H 6F aH al 0E A E A E A E A

E A1 9E AH F ;E A2 1E A

;

( )( )

= π − =

= π − =

2OL

2 2 2Al

A 2500 1600 2827,43mm ;

A 100 80 11309,73mm ,

în final se obţine Fa punctului D este dată de relaţia:

=BH 2,2 . 2. Deplasare

⋅ ⋅ ⋅= + =

⋅ ⋅ ⋅DOL OL OL OL OL OL

2,2F a 1,2F a F au 3,4 .E A E A E A

3. Determinarea forţei maxime în sistem: = ≤ = σ ⋅N 2,2F N A

⋅σ ⋅= = =

max cap a OL

a OLmax

150 2827,43AF 192779N.

;

2,2 2,24. Determinarea efortului datorat variaţiei de temperatură:

=

Δ

⎛ ⎞⋅Δ = α ⋅ ⋅ Δ − =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⋅ ⋅− − + α ⋅Δ ⋅ + α ⋅Δ ⋅

⋅ ⋅=

σ = = > σ =

∑2

i ii i

i 1 i i

B BOL Al

OL OL Al Al

B

2 2t c

N ll l t 0;E A

H 2a H 2a t 2a t 2a 0;E A E AH 778478N;

778478 275,3N /mm 240N/mm ,2827,43

=

sistemul flambează, prin urmare se distruge sub efectul variaţiei de temperatură. Problema 3. 12

Să se dimensioneze barele sistemului din figura 3. 12, de secţiune

2 .

circulară plină.

Se cunosc = σ = =2aP 18kN, 140N /mm , E ⋅ 52,1 10 N /mm

80

Page 82: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

S-a notat cu “1” poziţia iniţială a sistemului, înainte de solicitare; din condiţia de echilibru de proiecţii de forţe pe direcţia verticală, pentru poziţia deformată “2” a sistemului, rezultă:

⋅ α =2N cos P, (1) în care:

( )

α =

σ= + Δ = + = +

σ⎛ ⎞= + − = σ +⎜ ⎟ σ

/

/

/

2/ 2 2

BBcos ;AB

AB l l l l l;EA E

lBB l l l 2E ;

NL

⎝ ⎠E E

( )σ + σα =

+ σ

2Ecos ;

E

prin înlocuire în relaţia (1), se obţine: ( ) ( )

( )σ + σ + σ

= =+ σ σ + σ

2N 2E P EP sau N

E 2 2E .

Din condiţia de rezistenţă la solicitarea axial – centrică, se obţine:

( )

= =nec dim.NA A ;

( )

σ

+ σ π=

a2P E d ,

σ σ + σ 42 2Edupă înlocuiri:

( )( )

⋅ ⋅ + π= ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ +

3 5 2

5

18 10 2,1 10 140 d , d 48mm.42 140 140 2 2,1 10 140

81

Page 83: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 4

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

4.1 Încovoiere pură

O bară este solicitată la încovoiere pură când eforturile secţionale se reduc la un vector moment dirijat după una din axele centrale principale de inerţie ale secţiunii transversale; în acest caz, pe suprafaţa secţiunii transversale apar tensiuni normale σ, ca în figura 4.1.1.

Mz1dA

1 1σ σx =

1x

1z

1y

1y

fig. 4.1.1 Tensiunile normale σ se determină cu formula lui Navier:

;yI

M

z

z ⋅=σ

în care s-au notat: l încovoietor după axa z;

de inerţie al secţiunii după axa z; y – ordonata măsurată de la axa z până în punctul în care se calculează σ. Axa z, axă care coincide cu direcţia vectorului mome z, se numeşte axă neutră.

M z – momentu I z – momentul

nt M

82

Page 84: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Tensiunile normale σ au semnul corespunzător momentului încovoietor în secţiune, iar distribuţia de tensiuni în secţiune este liniară, conform figurii 4.1.2:

Mz

1yσ 1y

1max1

1σ1max

1z

-

+

fig.4.1.2 1y

;maxmax yI

M

z

z ⋅=σ

în care ymax reprezintă distanţa de la axa neutră la fibra cea mai îndepărtată de axa neutră, iar:

;max

zz W

yI

=

cu Wz reprezentînd modulul de rezistenţă axial faţă de axa z, o caracteristică geometrică a secţiunii transversale. Condiţia de rezistenţă la încovoiere este:

;maxmax a

z

z

WM

σσ ≤=

valorile uzuale ale modulelor de rezistenţă, pentru secţiuni de formă simplă: unghi: -drept

;2hbWz = 6

-cerc:

; 32z 3dW π

=

-inel:

( )44 ;32

dDD

Wz −=π

la secţiunile compuse, se calculează Iz pentru întreaga secţiune, apoi:

83

Page 85: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.maxyI

W zz =

Formula de dimensionare, pentru materiale cu aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune, este:

;dimz

a

znecz W

MW ≥=

σ

Momentul încovoietor capabil al secţiunii se va exprima prin: .maxza

efz

capz MWM ≥⋅= σ

4.2 Încovoiere simplă

În secţiune, eforturile se reduc la moment dirijat după na din axele centrale principale de inerţie şi la o forţă tăietoare

un vector ucorespunzătoare (figura 4.2.1).

Ty

Mz

τ1

1τ1τ

1xy

1xz

1τ1xy

1xy1σ

1

1x

1x

1σ1x

σ1max

1max

1z

y

1x

1b

1

fig.4.2.1 ţiunea transversală apar tensiuni normale σx şi tensiuni

iale τxy se determină cu formula lui

Pe sectangenţiale τxy şi τxz; tensiunile tangenţJuravski:

;z

zyyxxy Ib

ST⋅

⋅== ττ

84

Page 86: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

în care: cţiunea transversală a barei;

xy

z iunea transversală care tinde să utră a secţiunii.

Ty - forţa tăietoare în se Iz - momentul de inerţie al întregii secţiuni, în raport cu axa neutră; b- lăţimea secţiunii în punctul în care se calculează τ ; S – momentul static al părţii din secţlunece, în raport cu axa ne 4.3 Lunecare longitudinală Grinzile compuse sunt alcătuite din elemente solidarizate între le pentru

iturile, care asigură conlucrarea la e împiedicarea lunecării; la grinzile metalice elementele de solidarizare sunt cordoanele de sudură şi nîncovoiere a părţilor componente. Tronsonul de bază din figura 4.3.1 are diagramele T şi M corespunzătoare încărcării:

fig.4.3.1

Forţa de lunecare se determină prin evaluarea rezultantei tensiunilor τyx, obţinîndu-se:

2

;

; ;= Ω Ω = ⋅∫

yx

T Tz

dL b dx

SL d cu d T dx

= τ ⋅ ⋅

1 21

−zI

85

Page 87: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1 2 1 2 ;− −= ⋅ΩTzLI

S

z

sau:

( ).1221 MMISL

z

z −=−

4.3.1 Solidarizarea cu nituri la grinzile metalice

În acest caz, calculul se va face numai pentru niturile de gât, mai puternic solicitate decât cele de cap (figura 4.3.1.1):

1nit de cap

1e 1nit de gat^

fig.4.3.1.1 Forţa de lunecare pe intervalul dintre două nituri successive, e:

;maxmax e

ISTL

z

znit ⋅⋅

=

trebuie să îndeplinească criteriul de rezistenţă:

e unde rezultă distanţa dintre dou;m

nit RL ≤ ax nit

ă nituri: d

;IR

e znit

maxTSz ⋅

⋅≤ în care:

Sz – momentul static al suprafeţei ce tinde să lunece; de inerţie al întregii secţiuni, brut;

nit f ,Rstr); Rstr = d tmin σa str; Rf = 2πd2/4 τa f.

Iz - momentulR – min (R

86

Page 88: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

4.3.2 Solidarizarea prin sudură la grinzile metalice

Solidarizarea tălpilor de inimă se face cu cordoane de sudură continue ):

sau întrerupte (fig.4.3.2.1

1e

1a 1l

fig.4.3.2.1 La cordoanele continue, forţa de lunecare pe unitatea de lungime:

;1maxmax1 ⋅

⋅=

z

z

IST

L

este preluată de cordoanele de sudură de grosime a şi lungime egală cu ţă va fi de forma:

unitatea; condiţia de rezisten

;12max1 saaL τ⋅⋅≤ de unde rezultă grosimea cordonului de sudură:

.2 aszI

≥ maxz TS

min = 3mm, se vor realiza cordoane întrerupte; trebuie să înd criteriul de rezistenţă:

În cazul în care a < aforţa de lunecare pe distanţa e eplinească

;2

;2max zz IaeiarlaeSTLmax

max ase TlI⋅

≤⋅⋅≤⋅⋅

=z

as

S⋅⋅τ

τz

în care a de calcul a cordonului de sudură.

l reprezintă lungime

87

Page 89: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 4.1 Se dă secţiunea T din figura 4.1 ce este supusă la încovoiere. Se cere

superioare ale secţiunii, σa = 140N/mm2.

să se determine valoarea momentului încovoietor capabil Mz şi aflarea tensiunii de la nivelul fibrelor

fig.4.1

iţiei centrului de greutate:

alculul pozC

1300 12 406 400 9 200 303 ;⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= =y mm

2 412= −y3600 3600

303 109 .+

= mm

Din raportul de asemănare al triunghiurilor formate în diagrama σ, se obţine:

;/36.50;109303

104min

min == σσ 2mmN

Calculul caracteristicilor geometrice ale secţiunii şi al momentului capabil:

( ) ( )

.57491420410653140

;410653303

108.12442

;108.12442

2001212

34

max

44

mmNM

mmyIW

mm

cap

zz

z

z

=⋅=

=⋅

==

⋅=

;30336004009303406360012300 23

23

I −+⋅

+−+⋅

=

I;max WM zcap ⋅= σ

88

Page 90: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 4.2 Se cere verificarea cadrului din figura 4.2, avînd secţiunea compusă dintr-o tablă nituită pe un profil I20. Niturile sunt de diametru d = 20mm

2, iar

aterialul utilizat are σa = 150N/mm . m

fig.4.2

Calculul reacţiunilor:

;67.283

3452 kNVV EA =+

==

i de moment, secţiunea cea mai solicitată este Cdr. Aici ă condiţia de rezistenţă la încovoiere:

Conform diagramese aplic

( )

;1096.2

;52.24105.3310214052.246.100129012

1290

;

;52.24105.3312906.1001290

;;maxmax y

IWW

M zzaef =≤= σσ

47

22423

21

max

mmI

I

III

mmA

Ayy

brutz

brutz

slabirizbrutznetz

ii

iii

G

z

⋅=

⋅⋅+⋅+−⋅+⋅

=

−==

−=⋅+⋅

⋅⋅−=

⋅=

∑∑

I z

89

Page 91: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./150/52.14710944.11067.28

;10944.152.1241042.2

;1042.2

;104.5

;2

123.113.1148.753.232012

3.23202

46 mmI

I

slabiriz

slabiriz

⋅=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⋅+⋅

=

225

6

max

357

47

23

mmNmmN

mmW

mmI

aef

z

netz

=<=⋅⋅

=

⋅=⋅

=

⋅=

⎤⎡

σσ

Problema 4.3 Să se dimensioneze bara simplu rezemată, cu secţiunea casetată ca în figura 4.3. Să se determine tensiunea normală σ în punctul J, secţiunea cea mai solicitată. Se dau q = 15kN/m, a = 0,6m, σa = 150N/mm2.

fig.4.3

90

Page 92: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

1. Conform diagramei de moment secţiunea cea mai solicitată este B; aici

ace dimensionarea:

.2.4;062533;0

,8.0;02235;0

qaVaqaaVaqaM

qaVaaqaqaaVM

CCA

AAC

==⋅+⋅−⋅=

==⋅⋅+⋅−⋅=

∑∑

se va f

( ) ( );67.282

812128

121610

;104.86150

106.0154.2

3

33

max

dim

3362

max

tt

tttt

yIW

mmMW

zz

a

necz

=−

==

⋅=⋅⋅⋅

==σ

;774.6m mmmmtWW neczz ≅=⇒=

Verificare:

di

( )./1/7.133106.0154.2 2

62max mmNM

=<=⋅⋅⋅

== σσ 50767.282

23max mmN

W aefz

ef ⋅

2. Conform formulei lui Navier:

( );/25.10076

733.2261106.0154.2 2

4

62

mmNyI

MJ

z

zJ =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

==σ

cu Mz în secţiunea cea mai solicitată egal cu Mz max. Problema 4.4 Să se dimensioneze secţiunea structurii din figura 4.4 şi să se determine σ şi τ în punctul J din secţiunea C stânga. Se dau: F = 10kN, a = 1m, σa = 150N/mm2. Calculul reacţiunilor:

.5.1

4;0

aVM DA ==

32

;5.14

32;0

FFaaFFa

Fa

FaFaaFVM AD

=+⋅+

=⋅ + −

==∑

91

Page 93: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.4.4 Calculul centrului de greutate al secţiunii:

;875.624202 21 ttA i

G +⋅∑ 20112

2

2

tttAy

y

i

ii

i

=⋅⋅

=⋅

=∑

alculul momentului de inerţie axial Iz : C( ) ( ) ( ) ( )

.33.3156

;24875.612

20125.4212

4tI

tttt

z

z

=

⋅++⋅+

1. Dimensionarea se

212 223

223 tttt ⋅

face în secţiunea cea mai solicitată,în care momentul a maximă (C):

202I =

încovoietor are valoare

.8;65.7

;46.223125.14

33.3156

;101150

10105.1

dim

34

max

dim

356

max

mmtmmtWW

ttt

yIW

mmM

W

ef

znec

z

zz

a

znecz

≅=⇒=

===

⋅=⋅⋅

==σ

92

Page 94: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

2. Calculul tensiunii σJ din secţiunea Cst se va face utilizînd formula lui avier:

N

( )( )

;/53.54

;8875.5833.3156

10105.1

2

4

6

mmN

yI

M

J

Jz

stCJ

−=

⋅−⋅⋅⋅

=⋅=

σ

σ

Calculul tensiunii τxy J din secţiunea Cst se va face cu ajutorul formulei Juravski:

./12.6;1682

;844808875.68212

;105.1

;

2

32

4

mmNmmb

mmS

NT

IbST

Jxy

z

stCy

z

zstCyJxy

=

=⋅==⋅⋅⋅⋅=

⋅=

⋅=

τ

τ

i jos, ce corespunde structurii din figura 4.5. Să se determine σx şi τxy în punctul J, secţiunea cea mai solicitată. Se dau: σa = 150N/mm2, q = 15kN/m.

Problema 4.5 Să se dimensioneze secţiunea de ma

fig.4.5

93

Page 95: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

.4

5aDB

Calculul c

2462;0

;45

2662;0

2

2

qaqaaqaaqaVM

qaa

qaaqaaqaVM BD

=−⋅+⋅−

==

=+⋅+⋅

==

entrului de greutate al secţiunii:

.1.192042521528204255.15

2

2

1 ttttttttttt

A

Ayy

ii

iii

G =⋅++⋅⋅⋅+⋅

=⋅

=∑

Calculul momentului de inerţie axial Iz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .87.19483801.192812

420255.131.191225301.19

12215

422

322

322

3

tttt

ttttttttttI z

=⋅−+

+⋅

+⋅−+⋅

+⋅+⋅

=

1. Dimensionarea se va face în secţiunea cea mai solicitată, conform diagramei de moment încovoietor secţiunea C, prin urmare:

;952.887.19483150151.20106

;1.2087.19483

1506

;

36

42max

dimmax WM

W znec ===

mmmmt

ttqa

yIz

za

z

≅=⋅

⋅⋅⋅=

=

σ

Verificare:

./150/36.12791.20

987.1948310156

;

224

6

max

maxmax

mmNmmN

WM

a

az

z

=<=⋅⋅⋅

⋅⋅=

≤=

σσ

σσ

bara rezistă.

94

Page 96: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

2. Tensiunea normală σJ se calculează utilizînd formula lui Navier:

( )( ) ;/69.11491.18

887.1948310156 2

4

6

mJσ mNyI

MJ

z

Jz −=⋅−⋅

⋅⋅=⋅=

cu formula lui Juravski:

iar tensiunea tangenţială τJ se va determina

( )./78.21

87.19483941771710154

;4177175731.19215

;4qaT Cdry −=

;

25

3

33

mmN

mmttttS

IbST

JCxy

z

z

zCdryJCxy

−=⋅

⋅⋅⋅−=

==⋅⋅=

⋅=

τ

τ

e eforturi, să se determine qmax pe consola B-C şi să se determine σx şi τxy în punctele P, Q şi S (punctul S aparţine axei neutre), în secţiunea Cst. Se dau: a = 0,8m, σa = 150N/mm2.

Problema 4.6 Pentru cadrul din figura 4.6, să se traseze diagramele d

fig.4.6

95

Page 97: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

;10;0 qaVY F ==∑

.175.25242;0 2qaaaqaqaMM FF =⋅⋅−⋅+=∑;33.6;0

;33.83

5.252;0

qaHX

qaa

aaqHM

F

AstD

==

=⋅⋅

==

∑∑

1.Trasarea diagramelor de eforturi:

2. Determinarea sarcinii capabile q se face în secţiunea cea mai solicitată pe

consola B-C: ( )

( )

( )

;

;7.29927.28

3.8471;3.847173.2168.030

1212

2max

3

42

qaM

cmW

cm

y

CB

z

=

==

=−⋅+

din condiţia de rezistenţă la încovoiere, rezultă Mcap:

8.03023.212412401.273.25.72.32148

;73.224242.32

168.0305.012401.25.72.32

32

32I

cm

z

G

+⋅

+⋅⋅+⋅

+−++=

=++

⋅⋅+⋅⋅++−=

./24.70;107.299150

;

;

2max

32

maxmax

mmNqqa

WMW

M

zacap

az

=

⋅⋅=

⋅=

≤=

σ

σσ

96

Page 98: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

3. Tensiunile σx şi τxy se determină folosind formulele lui Navier respectiv Juravski în secţiunea Cst , la nivelul punctelor P, Q şi S din secţiune:

;0

,3.102

;/3.543.102103.8471

80024.70 24

2

=

=

=⋅⋅⋅

=⋅=xσ

PP

Pz

stCP

mmy

mmNyI

M

τ

tangenţiale τxy sunt nule;

xy

deoarece în fibrele extreme tensiunile

;0

,7.1328300

,80024.702

;/76.1103.84718

7.132830080024.702

,3.17

;/2.93.17103.8471

80024.70

24

24

2

=

⋅⋅=

⋅⋅=⇑

CyT

−=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅=

=

=⋅⋅⋅

=⋅=

Sx

z

z

zCyQxy

Q

Qz

stCQ

x

S

mmNIbST

mmy

mmNyI

M

σ

τ

σ

deoarece la nivelul axei neutre tensiunile normale σx sunt nule;

.2

7.2827.282

;/53103.84718

27.28287.28280024.702

24

⋅=

−=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅−=

Sz

Sxy

S

mmNτ

Problema 4.7 Pentru grinda simplu rezemată, cu secţiunea din figura 4.7, se cer: 1. verificarea grinzii;

normală σmax, respectiv tangenţială în secţiunea Cdr.

Se dă: σa = 150N/mm2.

2. calculul tensiunilor maxτyx

97

Page 99: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.4.7

ul reacţiunilor:

1. Tronsonul de grindă cel mai solicitat este A-B iar momentul încovoietor

Calcul

.2.20,04.326248;0

;8.5,04.126248;0

kNVVM

kNVVM

CCB

BBC

==⋅−⋅+=

==⋅−⋅−=

∑∑

are valoatea maximă maxM = 48kNm; relaţia de verificare este:

./3.14010422.3

1048 6

=⋅

=

;10422.309.82280

106773 354

z mmW ⋅=−⋅

=

;

;09.908280216180

14882802

;;

25max

43

2

max

maxmax

a

z

ii

iii

G

zza

z

z

mmN

mmA

Ayy

yIW

WM

σ

σσ

<⋅

⎛ ⋅=

=⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

=≤=

10677391.572808122808209.9016180 422 mmI ⋅=⎟⎟⎜⎜ ⋅⋅++⋅⋅+

16180 3⋅12

σ

98

Page 100: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

2. Tensiunea normală σx în secţiunea C dreapta se calculează folosind formula lui Navier, ştiind că valoarea maximă a acesteia apare la nivelul celei mai depărtate fibre a secţiunii în raport cu axa neutră a secţiunii:

;/4.10610422.3104.36 2

5

6

max mmNdrC =⋅⋅−

tensiunea tangenţială τxy în secţiunea C dreapta se calculează folosind formula lui Juravski, cunoscîndu-se faptul că valoarea maximă se va obţine la nivelul punctelor situate pe axa neutră a secţiunii:

( )

⋅=⋅⋅−=

=⋅⋅

⋅⋅⋅=

,103.31321809.822802

./51.710677316

103.3131026

332

24

33

max

mmS

mmN

z

drCxyτ

Problema 4.8

mplu rezemată cu consolă, avînd secţiunea alcătuită din două profile I18 solidarizate cu nituri cu diametrul de 20mm (fig.4.8), se

1. determinarea sarcinii capabile; calculul distanţei între nituri.

Pentru grinda si

cer:

2. Se dau: σa = 150N/mm2, a = 0,8m.

fig.4.8

99

Page 101: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul reacţiunilor:

;25.4

;04523526;0

2

2

qaVaVqaaqaaaqaqaM

A

AB

=

=⋅−−⋅+⋅⋅+⋅=∑

.75.1 qaVA

=

;0423522;0 aVaqaqaaaqaqaM

B

B =⋅+⋅−−⋅⋅+⋅=∑

1. Din diagrama de momente încovoietoare rezultă că secţiunea cea mai solicitată este A, în care momentul are cea mai mare valoare, în modul,

2z maxM 4qa ;= aici se aplică condiţia de rezistenţă la încovoiere, de unde

rezultă qcap:

( ) ( )

./

248004 2⋅

1501021.412qcap =⋅⋅

=

;21.41218

12 3

max

cmyI

W zz ===

204.12299.2714502

;4

;4

23

32

2

2

mmN

aW

q

qaW

azcap

az

⋅⋅−⋅+

⋅=

=⋅=

σ

σ

2. Distan cu relaţia:

maxM z

ţa între nituri se calculează

( )

( )

;1602088:;6.403 construrestrictiacudarmme ≤;37699

;6240015024.1020

;376991508.0420

4

;;min;3

;101.2511099.27

;8.741999.2714502;22

;2

22

333

42

mmdevactiNR

NtdR

NdR

RRRqaT

mmS

cmIInituri

TSIRe

nit

astrstrnit

aff

nit

strnit

fnitnit

z

brutzz

z

znit

=⋅=≤=

=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅⋅=⋅=

=

=⋅=⋅⋅=

=⋅+==

=⋅⋅⋅

σ

πτπ

se alege: e = 160mm.

100

Page 102: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 4.9 Grinda din figura 4.9 are secţiunea alcătuită di două profile I40 prinse cu nituri de diametrul de 23mm. Se cere:

distribuite maxime pe care o poate suporta a simplu rezemată, R = 220N/mm2;

2. verificarea niturilor de solidarizare, τaf = 170N/mm2, σastr = 420N/mm2.

1. determinarea sarcinii uniformgrind

fig.4.9

1. Determinarea sarcinii distribuite maxime:

( ) ( )

( ) ./013.83105.38201092208

;5.382040

123.216.2401185.0292102

;

33

3

32

max

2

mmNp

cmyIW

WRlpM

zz

zcap

=⋅⋅⋅⋅

=

=

⋅−⋅⋅+

==

⋅==

2. Condiţia de verificare a niturilor este:

228

;21

nitnit RL ≤

în care 1/2Lnit – forţa de lunecare preluată de unul din cele două nituri din secţiune;

;;21

21 maxmax

maxmaxz

nit IbSTcuebL⋅⋅

=⋅⋅= ττ

cu e – distanţa dintre două nituri succesive: e = 8d = 8⋅23 =184mm.

101

Page 103: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )

;70630;2086604206.2123

;706301704

;1036.240101185.0 352

NRNtdR

NR

mm

nit

astrstr

f

==⋅⋅=⋅⋅=

==

⋅=⋅⋅⋅=

σ

rezultă că:

232π

;;min2

RRR strfnit

nit

=

;7.530731max

NL =

S

nit nit1 L R ;253073.7 N 70630 N,

<

<

îmbinarea rezistă.

din două profile I20, prinse cu cu nituri de diametru 17mm (fig.4.10), se cer:

1. determinarea forţei maxime suportate de sistem; 2. calculul numărului necesar de nituri ce împiedică lunecarea, pe zona

A-B; se cunoaşte σa = 150N/mm2.

Problema 4.10 Pentru consola avînd secţiunea alcătuită

fig.4.10

102

Page 104: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

1. Forţa maximă suportată de sistem se determină din condiţia de rezistenţă la solicitarea de încovoiere simplă:

( ) ( )

.1.9 kNFcap =

;9103.82548840150

;84.54810976

;20;1097612

213.17.125.3310140

;

;;

;

6

3

max4

22

max

maxmax

maxmax

FmmNM

cmW

cmycm

yI

W

FmMdiagramaconformM

WM

cap

z

netzz

zzefz

az

z

=⋅=⋅=

==

==⋅

⋅⋅−⋅+

=

==

≤= σσ

B se exprimă:

9WM acap ⋅= σ

22I netz =

20

2. Forţa de lunecare pe zona A-

;7.6311.97

;ISL T

BAz

zBA Ω= −−

;335105.33 3cmS =⋅=

;BApetaietoareforteiaTz

kNmBA =⋅⋅=Ω −

din condiţia de împiedicare a lunecării se obţine numărul de nituri corespunzător intervalului A-B:

diagrameiriaT

BA −Ω −

( )

;27237;5763015023.1117

;272371508.0417

4

;;min;22

NRNtdR

NdR

RRRRnL

nit

astrstr

aff

strfnitnitBABA

==⋅⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

=≤ −−

σ

πτπ

numărul necesar de nituri pe intervalul A-B:

.8;13.7237.27Rnit

BA−41.194 niturinnituriLn BA =⇒=== −

103

Page 105: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 4.11

p; a = 2m, σa = 160N/mm2; 2. determinarea tensiunilor σx, τxy în punctul de coordonate x =2,7m,

y = - 370mm; 3. verificarea cordoanelor de sudură continue dintre tălpi şi inimă;

τas = 135N/mm2.

Se dă grinda cu secţiunea din figura 4.11. Se cer: 1. determinarea forţei capabile, Pca

fig.4.11

Calculul reacţiunilor:

.61.35.4

55.35.05.225.13;0

;89.25.4

25.02233 aPaP +⋅

;0

Pa

aaPaPaPaPV

Pa

aa

PaaPVM

E

AE

=⋅+⋅+⋅+⋅

=

=⋅−+⋅

==∑

1. Pcap rezultă din egalarea valorii momentului maxim, obţinut în diagrama pabil din condiţia de rezistenţă

aM A =∑

de moment încovoietor, cu momentul cala încovoiere:

;33.4 maxzazefcap MPaWM ==⋅= σ

104

Page 106: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) ( )

.37.79 kNP cap=

2. Tensiunea σx

;12.42994.778.7918754.7721759.0

3

33333

cm=−+−+

în punctul de coordonate x = 2,7m şi y = -370mm se

9.39121212

yW z

z ==I

max

calculează cu ajutorul formulei lui Navier: ( )

;/54.133

;3701017153496

107.21073.79889.27.2

2

2

33

mmN

yI

mxM z ==σ

x

zx

−=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−=⋅

σ

tensiunea τxy în punctul de coordonate x = 2,7m şi y = -370mm se calculează cu ajutorul formulei lui Juravski:

( )

( ) ( ) ( )

;/12.271096.1715349

1076.1825103.229;9

;76.1825

;25.0379.05.06.05.372.1216.02.15.372.118

;3.22937.79889.2

;7.2

24

33

3

mmN

mmbcmS

S

kNTIb

SmxT

xy

z

z

y

z

zyxy

=⋅⋅

⋅⋅⋅=

==

+⋅++⋅+++⋅=

=⋅=⋅

⋅==

τ

τ

3. Condiţia de verificare a cordoanelor de sudură continue este:

;3.229

;STLas

zs ≤

⋅22

max kNTTaIa

y

z

==

⋅== ττ

Sz – momentul static al tălpii în raport cu axa neutră;

( ) ( )

;63.09.07.07.0;18096.05.372.1216.02.15.372.118 3

cmtacmSz

=⋅===+⋅+++⋅=

t – grosimea piesei cele mai subţiri care se sudează;

,/135/6.181063.01096.1715342

101809103.229 224 mmNmmN ass =<=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= ττ

cordoanele rezistă.

33

105

Page 107: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 4.12 Pentru grinda cu secţiunea din figura 4.12, se cer:

1. dimensionarea secţiunii grinzii; 2. efectuarea calculului cordoanelor de sudură; 3. determinarea tensiunilor σx şi τxy în secţiunea cea mai solicitată, la

nivelul îmbinării inimii cu talpa.

fig.4.12 1. Relaţia de dimensionare la încovoiere este:

;dimmax

yIWMW z

zznec

z ===σ

maxa

M rezultă din diagrama de moment încovoietor: z max

( ) ( ) ( )

.1176.1020150

;20

;299041212

;4

max

4

2

mmmmtt

ty

t

qa

≅=

=

=⎥⎦

1maxM z =

19218218236 233

tttttttI z ⎢⎡

⋅++=

;29904102014 46 t=

⋅⋅

106

Page 108: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

2. Calculul cordoanelor de sudură se reduce la determinarea grosimii

cordoanelor continue, a:

;2

z

Ia

τ= max ST

asz

în care Sz este momentul static al tălpii care ar tinde să lunece în absenţa cordoanelor de sudură;

;434.25.9710378.421003.91102011

;/5.9765.0

;1003.91111921819218

min8

43

2

343

ammmma

mmN

mmtttS

aas

z

=<=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

==

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

στ

în care amin reprezintă grosimea minimă admisă a cordoanelor de sudură; în concluzie nu pot fi folosite cordoane continue. Se vor executa cordoane întrerupte de grosime a = 4mm şi lungime l = 40mm; se va determina distanţa e între două cordoane succesive în aceste condiţii:

.68

;2

max

mmeST

aIle

z

zas

=⋅⋅⋅

3. Tensiunea σx în secţiunea cea mai solicitată, la nivelul punctului dorit, termină cu ajutorul formulei lui Navier: se de

;/63.126111810387.4

102014 6

;18tyz ;14

28

2

mmN

qaM

M

x =⋅⋅

;yzx I z

⋅=σ

⋅⋅⋅

=

=

σ

tensiunea τxy în secţiunea cea mai solicitată, la îmbinarea inimii cu talpa, se determină cu ajutorul formulei lui Juravski:

=

;z

zyxy Ib

ST⋅⋅

Tz în secţiunea cea mai solicitată se alege dintre cele două valori, ca cea mai mare valoare în modul; în secţiunea C, cea mai solicitată:

107

Page 109: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

[ ]

./123.1511

112191810204 28

33

mmNxy =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

10378.4

;4;2max qaqaTy

⋅⋅

=

i uniform distribuite maxime pe care o poate suporta grinda simplu rezemată, σa = 220N/mm2;

area niturilor ce alcătuiesc solidarizarea, τaf = 170N/mm2; a str mm2.

Problema 4.13 Grinda din figura 4.13 este realizată prin suprapunerea a două profile I40 solidarizate cu nituri avînd diametrul de 23mm. Se cer: 1. determinarea sarcini

2.verificσ = 420N/

fig.4.13 1. Secţiunea cea mai solicitată este la mijlocul deschiderii grinzii A-B, momentul încovoietor maxim fiind:

;8

2lp ⋅ maxM =

din condiţia de rezistenţă rezultă: ;zacap WM ⋅= σ din egalarea expresiilor de mai sus, se obţine:

( ) ;/013.83109

105.38202208823

3

2 mmNlWp za =

⋅⋅⋅=

⋅⋅=σ

în care:

( ) ( ).5.3820

4012

3.216.222201182921023

32

max

cmy

=

⋅⋅−⋅+

IW zz ==

108

Page 110: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

2. Condiţia de verificare a niturilor este:

;21

nitRL ≤

în care:

; 22 I z

11 max eSTL z ⋅⋅

=

reprezintă forţa de lunecare ce revine unui singur nit; ( )

;1842388

;7.5307323810152820

400101185.02

109013.83

21

21

;2086604206.2123

;706301704

R

NRf

⋅=

=⋅=23

;;min2

RRR strfnit

=

π

4

23

mmdecu

NL

Nstr

=⋅=⋅=

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=⋅

Rezultă că: ,21

nitRL < aşadar solidarizarea este dimensionată corespunzător.

109

Page 111: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 5

DEFORMAREA GRINZILOR DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

5.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate

Grinzile drepte solicitate la încovoiere se deformează sub acţiunea încărcărilor, axa longitudinală a acestora fiind denumită după deformare, fibra medie deformată a grinzii. Studiul deformaţiilor urmăreşte stabilirea formei deformate a grinzii sau determinarea deplasărilor liniare şi a rotirilor produse la nivelul diverselor secţiuni ale grinzii.

deformată

Starea se caracterizează prin (fig.5.1.1):

fig.5.1.1 proiecţia pe verticală a deplasării secţiunii în discuţie (situată la cota x), umită generic săgeată, notată cu v; unghiul format între tangenta la fibra medie deformată în secţiunea în

auză şi axa longitudinală a grinzii, cantitate denumită rotire a secţiunii, otată cu ϕ.

Studiul deformaţiilor constă în a cunoaşte funcţiile v = f1(x), ϕ = f2(x) orice secţiune a barei; deformaţiile se consideră pozitive dacă au sensurile prezentate în figura 5.1.1 .

În ipoteza deformaţiilor mici (deplasări şi rotiri):

- n- cn înre

;ϕϕ ≅=xdvd

tg

110

Page 112: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Relaţia dintre rotire şi momentul încovoietor este:

;1

z

z

IEM

dxd

⋅−==

ϕρ

rezultă:

( )1.1.52

2

IEMvd

dx ⋅−= ;

denumită ecuaţia diferenţială de ordin II a fibrei medii deformate. Ştiind că, în baza relaţiilor diferenţiale între eforturi şi încărcări:

;2

2

q dxdxdTMd

−==

zultă: re

( )2.1.5 4

4

IEqvd

dx ⋅= ;

ce reprezintă ecuaţia diferenţială de ordin IV a fibrei medii deformate. 5.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale

Se consideră cazul barei de secţiune constantă şi se presupune cunoscută legea de variaţie a momentului încovoietor M = M(x); prin integrări succesive ale ecuaţiei (5.1.1) se obţine rotirea ϕ(x) şi săgeata v(x):

( ) ( )

( ) ( )( ) ;2C1

;11

xCdxdxxMxv

CdxxMIE

xz

++−=

+−=

∫ ∫

∫ϕ

lor de integrare C1 şi C2 se pun condiţii

1IE z

Pentru determinarea constantela limită, care reprezintă valori ale săgeţii v sau ale rotirii ϕ în punctele de rezemare sau în alte secţiuni caracteristice ale grinzii.

111

Page 113: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

5.2.1 Rezemări ideale.Condiţii la limită

Tipul de reazem Condiţii în deplasări Condiţii în eforturi

reazem sim

plu

capăt liber

intermediar

articulaţie

v = 0; ϕ ≠ 0

v ≠ 0; ϕ ≠ 0

ϕst = ϕdr ≠ 0

vst = vdr ≠ 0;

M = 0; T ≠ 0

M = 0; T = 0

;

Tst ≠ Tdr ≠ 0

Mst = Mdr = 0;

încastrare v = 0; ϕ = 0 M ≠ 0; T ≠ 0

reazem simplu

vst = vdr = 0;

Mst = Mdr ≠ 0

intermediară

ϕst ≠ ϕdr ≠ 0

Tst = Tdr ≠ 0

tabelul 5.2.1 5.3 Metoda grinzii conjugate Etape de calcul pentru determinarea fibrei medii deformate:

- a de momente încovoietoare pe grinda reală; - ă grinda conjugată din echivalenţa între tipurile de

gături(tabelul 5.3.1) şi se încarcă grinda conjugată cu o sarcină distribuită vînd legea de distribuţie corespunzătoare diagramei de moment răsturnate;

- e determină pe grinda conjugată diagramele de eforturi T f şi M f ; - e determină rotirile şi săgeţile grinzii reale, cu relaţiile: v = M f/EI,

ϕ = T f/EI.

se trasează diagramse determinleass

112

Page 114: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

ă, care îndeplineşte în

forturi condiţiile pe care grinda reală le îndeplineşte în deplasări.

r ii re

Grinda conjugată este o grindă convenţionale

5.3.1 Corespondenţa înt e reazemele grinz ale şi conjugate grinda reală grinda conjugată tip de reazem condiţii în deplasări condiţii în eforturi tip de reazem ϕ≠ 0; v =reazem simplu

reazem

0

0

ϕ≠ 0; v ≠ 0

ϕst = ϕdr ≠ 0; vst = vdr =0

f =

T =0; M f =0

f f ≠

T f

st = T fdr ≠ 0

M f

st = M fdr = 0

st ≠ Tfdr ≠0;

reazem simplu

er

încastrare

articulaţie intermediară

zem mediar

ϕ = 0; v = încastrare capăt liber

intermediar ϕst ≠ ϕdr ≠ 0; T f

articulaţie vst = vdr ≠0 M f

st = M fdr ≠ 0 rea

ter intermediară in

T f ≠ 0; M 0

f

T ≠ 0; M 0

;

capăt lib

tabelul 5.3.1

113

Page 115: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

5.4 Metoda parametrilor în origine Soluţia generală a ecuaţiei (5.1.2), în baza parametrilor în origine v0,

0, M0ϕ şi T0, pentru o grindă cu diferite încărcări (fig.5.4.1), are forma:

( ) ( )

( ) (4 k dxq

c −−∑ ) ( )1.4.5;4

2424

632

30

20

00

kk

jj

ii

i

EIEI

bxF

axM

EIxTxM

xvv

+−+−−⋅

−⋅

−⋅+= ∑∑ϕ

62 j EIEI2EI

kk

k xq

+∑

fig.5.4.1

ală

expresia gener a rotirilor este:

( ) ( )

( ) ( ) )2.4.5

222

200

0

∑∑

+

++−−⋅

−⋅

−=

kk

kk

jj

ji

i

i

dxEIEI

q

bxEI

Fax

EIM

EIxT

EIx

ϕϕ

s e, din şi numai termenii ai căror paranteze sunt pozitive.

(;3

6k

ecţiune oarecar6k

3 ∑−−q

cx −

−M

Pentru o expresiile (5.4.1) (5.4.2) se reţin

114

Page 116: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.1 (secţiunea C), al grinzii

implu rezemate din figura 5.1.a. Se va folosi metoda integrării directe şi poi a grinzii conjugate.

Să se determine săgeata în capătul liber sa

fig.5.1.a

1. în cazul metodei integrării directe se porneşte de la ecuaţia fibrei medii

deformate:

( )

( ) ;22

;

2

2

2

xpxplxM

EIxM

dxvd

⋅−

⋅=

−=

prin integrări succesive se vor obţine expresiile rotirii, respectiv săgeţii:

;

24121

;64

1

21

43

1

32

CxCxpxplEI

v

CxpxplEIdx

dv

+⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−

⋅==ϕ

entru determinarea constantelor de integrare se pun condiţiile la limită în preazemele A şi B:

.24

;2412

10,

;00,03

1

44

1

2

plCplplEI

lCvlx

Cvx

B

A

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅⇒==

=⇒==

Pe intervalul B-C momentul încovoietor este nul, de unde rezultă că

ctdxd

==ϕ , adică fibra medie deformată este o linie dreaptă cu înclinarea v

ată de rotirea secţiunii din B; astfel:

d

;24

164

1

;332 pl

EIxpxpl

EI

av BC

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

⋅−=

⋅=

ϕ

ϕ

115

Page 117: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.24

;242464

1 3333

EIplplplpl

EIlxB −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

3

EIaplvC⋅

−=

2. în cazul metodei grinzii conjugate se trasează diagrama de moment, se reprezintă apoi grinda conjugată avînd rezemările conform tabelului 5.3.1,

ărcată cu diagrama de moment (fig.5.1.b): înc

răsturnată

.24

;

fig.5.1.b

Folosind metoda integrării directe şi apoi metoda grinzii conjugate, să se determine săgeata în capătul liber al grinzii simplu rezemate (secţiunea

Se dau: E = 2,1x105 N/mm2, Iz = 171cm4; (fig.5.2.a).

Problema 5.2

A).

248323

AB21

;

32

EIaplv

pllplVV

EIaV

EMv

C

ff

fB

fC

C

⋅−=

=⋅⋅==

⋅==

I

116

Page 118: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.5.2.a 1. ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )2

;2 EIxMvd

dx−=

pe intervalul C-D momentul încovoietor este: ( ) ;103 3 xxM DC ⋅⋅=− prin integrare succesivă se obţin expresiile rotirii respectiv săgeţii:

;

6103

;2103

21

33

1

23

CxCEI

xv

CEI

x

DC

DC

+⋅+⋅⋅

−=

+⋅⋅

−=

−ϕ

pe intervalul B-C momentul încovoietor este: ( ) ( );1000106103 33 −⋅−⋅⋅=− xxxM CB integrînd succesiv, se obţin expresiile rotirii şi săgeţii:

.

2106

6106

6103

;1062106

2103

43

263333

3

62323

CxCEI

xEI

xEI

xv

CEI

xEI

xEI

x

CB

CB

+⋅+⋅⋅

−⋅⋅

+⋅⋅

−=

+⋅⋅

−⋅⋅

+⋅⋅

−=

−ϕ

Pentru determinarea constantelor de integrare se pun condiţiile la limită: pe ta este nulă, iar în secţiunea C, tg ϕ ≅ ϕ = 0, astfel, pe

reazemele D şi B săgeaintervalul C-D:

;2

0,1000 1 EICx =⇒==

103

;00,09

2Cvx D

= ⇒ ==

ϕ

117

Page 119: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

respectiv, pe B-C:

.1010,2000

;105.4;1062

101062

1010300,1000

12

4

9

33

96363

EICvx

EICC

EIEIEIx

B⋅

−=⇒==

⋅=+

⋅−

⋅⋅+

⋅⋅−=⇒== ϕ

Pe intervalul A-B momentul încovoietor este nul, de unde rezultă că ϕ = ct, adică fibra medie deformată este o linie dreaptă cu panta de aceeaşi valoare ca rotirea secţiunii B.

( )

.177.410171101.2 ⋅⋅⋅

105.1

105.12412

;105.421061061042000

45

12

12

9996

mmv

EIEIx

A

BA

−=⋅−

=

⋅⎛

⋅+

⋅⋅−

⋅+

;1000v ⋅= ϕ

22 EIEIB4103 3 ⋅⋅⋅

−==ϕ

;5.41224

1000EIEI

v BA −=⎟⎠

⎜⎝

+−+−=⋅= ϕ 1012 ⎞

conjugate se trasează diagrama de moment, se reprezintă apoi grinda conjugată încărcată cu diagrama de moment

ului 5.3.1(fig.5.2.b):

2. în metoda grinzii

răsturnată avînd rezemările conform tabel

.177.410171101.2

10105.1;105.1

39

29 kNm21

22000103

;1000;

45

6

mmv

VV

VMEIMv

A

fB

fD

fB

fA

fA

A

−=⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅−=

=⋅⋅⋅

==

⋅==

fig.5.2.b

118

Page 120: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.3 Pentru consola din figura 5.3, să se calculeze săgeţile şi rotirile folosind metoda grinzii conjugate. Se dau: E = 2,1 x 105 N/mm2; F = 9,1kN; Iz =10976cm4.

fig.5.3 Se trasează diagrama de moment şi apoi se reprezintă grinda conjugată cu rezemările corespunzătoare tabelului 5.3.1 şi se încarcă cu diagrama de moment răsturnată. Se calculează pe grinda conjugată valorile momentelor fictive şi ale forţelor tăietoare fictive corespunzătoare secţiunilor caracteristice B şi C:

;5.72225.5

;17232

21222

;5.5211712

;33.321175.012

22

3

2

3

FmFmmFmT

FmmmFmmTMM fB

fC +=

FmmFmmFmT

FmmmFmmmFmM

fC

fB

fB

fB

=⋅⋅+=

=⋅⋅⋅⋅+⋅

=⋅⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅=

119

Page 121: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

re valorile săgeţilor şi rotirilor pe grinda reală:

zultă

.14901096.21010976101.2

1.910105.7

;74.61010976101.2

10101.917

;27701017.21010976101.2

10101.95.5

;3.11010976101.2

10101.933.3

///0345

63

45

93

///0345

63

45

93

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==

radEIT

mmEI

Mv

radEIT

mmEI

M Bv

fC

C

fC

C

fB

B

f

B

ϕ

ϕ

Problema 5.4 Folosind metoda grinzii conjugate, să se determine săgeţile şi rotirile în secţiunile A şi D, pentru grinda din figura 5.4.

fig.5.4

120

Page 122: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se trasează diagrama de moment pe grinda reală, se construieşte grinda ui 5.3.1) şi se încarcă cu

rnată; se rezolvă grinda cu console şi articulaţii obţinută. Se calculează momentele şi forţele tăietoare fictive în punctele A şi D:

conjugată (cu schema de rezemare conform tabeluldiagrama de moment răstu

.52

24

;1024322

3124

;624

;3

1622314

423

423

323

323

qaaaqaaqaM

qaaaqaaqaM

qaaqaqaT

qaaqaqaT

fD

fA

fD

fA

=⋅⋅+⋅=

=⋅⋅⋅⋅+⋅=

=⋅+=

=⋅+=

Se calculează săgeţile şi rotirile în A şi D:

.6;

316

;5;10

33

44

EIqa

EIT

EIqa

EIT

EIqa

EIM

vEIqa

EIM

v

fD

D

fA

A

fD

D

fA

A

====

====

ϕϕ

Problema 5.5 Pentru grinda simplu rezemată, încărcată ca în figura 5.5, se cere să se determine valoarea forţei Q astfel încât săgeata în capătul liber să fie nulă; se consideră I2 < I1. Pentru calculul săgeţii în secţiunea dorită (A), se foloseşte metoda suprapunerii efectelor, considerînd separat efectul forţei Q şi al sarcinii distribuite de intensitate p. Aplicînd metoda grinzii conjugate se trasează diagrama Mp din efectul sarcinii distribuite, se construieşte grinda conjugată cu rezemările conform tabelului 5.3.1 şi se încarcă cu diagrama Mp răsturnată.

121

Page 123: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.5.5

122

Page 124: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

se calculează VBf ′ şi apoi MA

f ′:

.24

;24

;2483

221

3

1

''

3''

32'

EIapl

EIMv

aplaVM

pllplV

fA

A

fB

fA

fB

−==

⋅=⋅=

=⋅⋅⋅=

Se trasează diagrama MQ din efectul forţei concentrate Q, se construieşte grinda conjugată şi se calculează VB

f ″, apoi MAf ″:

;3

32

21

;32

21

;32

132

21

3

2

3

1

''''

''''

''

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅+

⋅=

⋅⋅⋅+⋅=

=⋅=

Ia

Il

EQa

EI

Qa

EIaVv

aaQaaVM

Qall

laQlV

fB

A

fB

fA

fB

conform condiţiei impuse de problemă, vA′+ vA″ = 0, rezultă:

.1

18

;0324

2

1

2

21

2

1

3

II

laa

plQ

Ia

Il

EQa

EIapl

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅−

Problema 5.6 Să se traseze fibra medie deformată cu toate valorile caracteristice pentru săgeţi şi rotiri pentru grinda din figura 5.6.

123

Page 125: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

fig.5.6

or pentru grinda cu articulaţie

iunile VB f şi VC

f:

Se trasează diagrama de moment încovoietintermediară ABC; se construieşte grinda conjugată, avînd rezemările conform tabelului 5.3.1 şi încărcarea cu legea de variaţie a diagramei de moment încovoietor răsturnată. Se calculează reacţ

124

Page 126: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.44

224322

32

224

;0

;67.24

242324

34

224

;0

3

44

3

44

qaa

qaqaV

M

qaa

qaqaV

M

fC

fB

fB

fC

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

=

=⋅⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

=

Se trasează diagramele de eforturi T f şi M f:

.33.53

1623224

21

;0

;4

;33.167.24

;42124

;0

444

3

333

33

qaqaqaM

MM

qaVT

qaqaqaT

qaqaT

T

fB

fC

fA

fC

fC

drfB

stfB

fA

==⋅⋅⋅⋅=

==

−=−=

=−=

=⋅⋅=

=

Se calculează săgeata în punctual B şi rotirile în Bst,Bdr şi C:

.4

;33.1

3

;4

;33.5

3

3

4

EIEIBst

B ==ϕ

EIqa

EIT

EIqa

EIT

fC

C

BdrB

−==

==

ϕ

ϕ

qaTEI

qaEI

Mv

drf

stf

fB

B ==

125

Page 127: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.7 Folosind metoda parametrilor în origine, să se determine săgeţile şi rotirile în punctele C şi E pentru grinda din figura 5.7.

fig.5.7 Calculul reacţiunilor:

.11

8245710;0

;68

924510;0

qM D = aa

aaqaqaaqaV

qaa

aaqaqaaqaVM

A

DA

=⋅⋅−⋅+⋅

=

=⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

==∑

Plecându-se de la relaţia de calcul a săgeţilor, conform metodei parametrilor în origine, se obţine:

( ) ( )

( ) ( ) ;886 43 ax246

465

610

6233

30

20

00

EIqax

EIqa

−+−−

axEIqaax

EIqa

EIxT

EIxM

xvv −−+−+⋅

−⋅

−⋅+= ϕ

respectiv, pentru relaţia rotirilor:

( ) ( )

( ) ( ) .86

826

425

210

232

222

000

axEIqax

EIqa

axEIqaax

EIqa

EIxT

EIxM

dxvd

−+−−

−−+−+⋅

−⋅

−== ϕϕ

Parametrii în originea A sunt: v0 = 0 ⇒ pe reazem săgeata este nulă; M0 = 0 ⇒ reazem situat în extremitate; T0 = VA =11qa;

0 ≠ 0 ⇒ rotirea ϕ0 se determină ştiind că pe reazeme săgeata este nulă, deci entru x = 8a, v = 0: ϕp

126

Page 128: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

)( ( ) ( ) ( )

.

51011

02.39

;46

76

86

80;8

3

3330

EIqa

aEI

aEI

aEI

ava D ++−⋅=== ϕqaqaqa

Ecuaţiile săgeţilor şi rotirilor devin:

x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )6 32 .86

425

210

2112.39

;824

866

465

610

6112.39

2223

43

3333

axq82

axEI EIqa

−+

axEIqaax

EIqax

EIqa

EIqa

axEI

qaxEIqa

axEIqaax

EIqax

EIqax

EIqa

v

−−+−+−=

−+−−

−−+−+−=

ϕ

Săgeata şi rotirea în C se determină înlocuind în expresiile săgeţilor şi etrul x = 4a; se scriu numai termenii ale căror paranteze sunt

astfel:

−−

rotirilor parampozitive,

( ) ( )

( ) ( ) .89.32

3102

4112.39

;46.846

;4

3223

3106

41142.39 4333

aqa aqa qaEI EI EI EI

qaEIEII

ax

C −=⋅

+⋅

−=

=

ϕ

Pentru punctul E, cu parametrul x = 10a, se obţin:

qaaqaE

aqaEI

aqavC =⋅

+⋅

−⋅

=

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

265

2910

;69.5324

26

266

656

9106

10

;10

222

443

33311102.39 3

2.340226 32

62

610112.39 3

EIEIaq

EIaqa ⋅⋅

EIaqa

EIaqa

EIqa

EIaq

EIaqa

EIaqa

EIaqa

EIa

EIv

ax

E

=+

−⋅

+⋅

−=⋅

+⋅

−⋅

+⋅

+−=

=

qaaqa ⋅⋅

EIEIE +aqaqa ⋅

−=ϕ

127

Page 129: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.8 Să se calculeze săgeţile şi rotirile pentru grinda din figura 5.8,

ind metoda parametrilor în origine. folos

fig.5.8 Calculul reacţiunilor:

.4.25

62;0 qaa

aqaVM BA⋅

==

;4.05

2;0 qaa

aqaVM AB =⋅

==∑

cazul general al expresiilor săgeţii şi rotirii, cu metoda parametrilor în origine, se obţine:

∑ Pornind de la

( ) ( )

( ) ( ) .56

524.2

2

;524

564.2

6232

200

0

433

02

000

axEIqax

EIqa

EIxT

EIxM

axEI

qaxEIqa

EIxT

EIxM

xvv

−+−−−−=

−+−−−−⋅+=

ϕϕ

ϕ

În origine parametrii sunt: v ⇒ reazem; 0 = 0ϕ0 ≠ 0;

M0 = 0⇒ reazem de capăt; T0 = -0,4qa;

expresiile săgeţilor şi rotirilor devin:

( ) ( )

( ) ( ) .56

524.2

24.0

;524

564.2

64.0

3220

4330

axEIqax

EIqax

EIqa

axEI

qaxEIqax

EIqaxv

−+−−+=

−+−−+=

ϕϕ

ϕ

Rotirea ϕ0 se calculează punîndu-se condiţia ca săgeata să fie nulă pe azemul B, vB = 0, pentru x = 5a:

re

128

Page 130: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )34

0

3

0.4 55 0;

6φ ⋅ + =

qa aa

EI

05 .3

φ

= − ⋅qaEI

Expresiile săgeţilor şi rotirilor devin:

( ) ( )

( ) ( ) .56

524.2

24.0

35

;524

564.2

64.0

35

3223

4333

axEIqax

EIqax

EIqa

EIqa

axEI

qaxEIqa

xEIqax

EIqav

−+−−⋅+−=

−+−−⋅+⋅−=

ϕ

Rotirea în B va fi, (x = 5a):

( ) .3

10524.0

35 3

23

⋅=⋅+−=EI

qaaEIqa

EIqa

Rotirea şi săgeata în C, (x = 7a):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.33.94qav =

;224

264.27

64.075

;3

14

;26

22

4333

3

EI

aEI

qaEIqaa

EIqaaqav

EIqa

aEI

aEI

C

C

+−+⋅⋅−=

⋅=

+−

ϕ

Sec maximă se obţine prin egalarea expresiei

4.2724.0

35 322

3 qqaaEIqa

EIqa

C +⋅−=ϕ

3 EI

C

ţiunea în care săgeata este rotirii cu zero, pe intervalul A-B:

( ) ;886.264.0886.2

35

,886.2;023

;0

34

max

24.05 3

aEIqaa

EIqa

axxEIEI

BA +⋅−=

==⋅+−=

ϕ

qaqa

v

.207.34

max EIqav BA −=−

129

Page 131: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.9 Pentru grinda din figura 5.9, folosind metoda parametrilor în origine,

rotirea în punctul C. să se calculeze săgeata şi

fig.5.9 Expresiile săgeţii şi rotirii sunt:

.3

42

;32

462

2

00 −−=TxM

ϕϕ 0

230

20

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−−−+=

lxEI

lF

EIx

EI

lxEI

lF

EIxT

EIxM

xv ϕ

Ţinându-se seama de:

−v

;4

;0;0

;0

0

0

0

0

FTT

MM

vv

A

A

A

A

−==

==≠===

ϕϕ

şi înlocuind în expresiile generale ale săgeţilor şi rotirilor, rezultă:

.348

;38240 ⎟⎠

⎜⎝

−−+=

F

xEI

xEI

xv ϕ

2

0

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

⎞⎛

lxEI

lFx

EI

llFF

ϕϕ

Constanta de integrare ϕ0 se determină exprimîndu-se săgeata în reazemul B, cu valoarea nulă:

.72

;09

4824

;0;2

0

23

0 EIlFl

EIlF

lEI

Fl

vlx B

==−+

==

ϕϕ

130

Page 132: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Expresiile săgeţii şi rotirii devin:

.

34872

;382472

23

2 ⎞⎛−+=l

EIlF

xEI

FxEIlF

v

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

⎟⎠

⎜⎝

lxEI

lFx

EIF

EIlF

x

ϕ

În punctul C, x = l/3, rezultă vC şi ϕC :

.36

;162

2lFEI

3

EI

lFvC =

Problema 5.10

inda din figura 5.10, se cere determinarea săgemetoda parametrilor în origine. Se dau: E = 2,1 x 105 N/mm2,

Iz = 6773 cm4.

C =ϕ

Pentru gr ţii în punctul D folosindu-se

Calculul reacţiunilor:

fig.5.10

.2.202CB

4.32648;0

;8.52

4.12648;0

kNVM

kNVB

=⋅+−

==

=− ⋅MC ==

şi rotirilor sunt:

Expresiile săgeţilor ( ) ( ) ( ) ;

64.426

632.20

618.5

62

33330

20 xT x x x

00 EI EI EI EI EIxM

xvv −+

−−

−−−−+= ϕ

( ) ( ) ( ) .

24.426

232.20

218.5

2

222200

0 EIx

EIx

EIx

EIxT

EIxM −

+−

−−

−−−=ϕϕ

131

Page 133: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

În origine, parametrii sunt:

.0;48

;0;0

0

0

0

0

==−==

≠=≠=

A

A

A

A

TTkNmMM

vvϕϕ

Expresiile săgeţilor şi rotirilor devin:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .2

4.4262

32.202

18.548

;6

4.4266

32.206

18.52

222

33348 2

00

0 EIx

EIx

EIx

EIx

EIx

EIx

EIx

EI−

+−

−−

−+=

−+

−−−

ϕϕ

C săgeţile să fie nule:

xxvv −++= ϕ

Constantele de integrare v0 şi ϕ0 se determină punând condiţiile ca pe reazemele B şi

.13.68;13.92

.6

28.52

3483

,012481

;03;01

00

32

00

200

EIv

EI

EIEIv

EIv

vmxvmx

C

B

=−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅−

⋅+⋅+

=⋅+⋅+

=⇒==⇒=

ϕ

ϕ

ϕ

Săgeata în secţiunea D, pentru x = 4,4 m, este:

.03.5106773101.2

1054.71

;54.716

4.12.206

4.38.52

12

EIEIEI⋅

4.4484.413.9213.68

45

332

mmv

EIEIEIv

D

D

=⋅⋅⋅

=

=⋅

−⋅

−⋅

+⋅−=

132

Page 134: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 5.11 Să se calculeze rotirea în punctul C pentru grinda din figura 5.11, folosindu-se metoda parametrilor în origine:

fig.5.11 Expresiile săgeţilor şi rotirilor sunt:

( ) ( )

( ) ( ) .2

62

32

;6662

22200

0

63 3330

20

00

EIxT axF axF

EI EIEIxM

EIEIEIEI

+−−=ϕϕ

axFaxFxTxMxvv

−+

−+

−+−−+= ϕ

Parametrii în originea A sunt v0 = 0; ϕ0 = 0, iar în secţiunea D, vD = 0; φD = 0, pentru x = 9a; expresiile săgeţilor şi rotirilor pentru punctul D sunt:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

=++−−

=++

.032

62

92

9

,036

66

96

22200

3330

aEIFa

EIFa

EITa

EIM

aEIFa

EIFa

EITM

Rezultă:

⎪⎪−− 9

220 a

EI

.;2 00 FTFaM =−= Expresia rotirii devine:

( ) ( ) ;66

322

2 222 axEIFax

EIFx

EIFx

EIFa

−+−+−=ϕ

în punctul C, x = 3a, rotirea fiind:

( ) .233

232 2

2

EIFaa

EIFa

EIFa

C =−⋅=ϕ

133

Page 135: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 6

VARIAŢIA TENSIUNILOR ÎN JURUL UNUI PUNCT

ă6.1 Starea de tensiune spaţial

Câmpul de tensiuni într-un punct P al unui corp elastic este conform

1; pe fiecare element de suprafaţă tensiunea are o com nentă două componente tangenţiale după două direcţii ortogonale între

ele.

figurii 6.1. ponormală şi

fig.6.1.1

blul celor nouă componente ale tensiunii care acţionează lui dreptunghic Oxyz reprezintă tensorul tensiunilor:

;

ă pozitive când au sensuri opuse sensului axelor.

Ansamasupra triedru

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Tστττστττσ

σ

tensiunile se consider

134

Page 136: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

6.2 Starea plană de tensiuni

Se consideră o bară de secţiune dreptunghiulară de lăţime egală cu unitatea, forţele ce acţionează asupra acesteia considerându-se uniform distribuite; în consecinţă, nsiunile ca fiind uniform istribuite (fig.6.2.1).

se consideră şi ted

fig.6.2.1 Se secţionează bara cu planele 1-1, 2-2 şi 3-3, planul 3-3 fiind înclinat cu

unghiul α în raport cu axa y ; se izolează prisma triunghiulară obţinută, prin reducere la planul median obţinîndu-se triunghiul dreptunghic din figura 6.2.2:

fig.6.2.2 Din ecuaţia de momente faţă de M se obţine legea dualităţii tensiunilor tangenţiale:

yxxy ττ = ; din ecuaţiile de proiecţii pe direcţiile σα şi τα se obţin expresiile:

135

Page 137: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.2cos2sin

2ατα

σστ

;2sin222

αταcosσσσσ

σ yxyxα xy+

−+

+=

α xy

yx +−

−=

Deoarece pentru:

( ) ;02

0 =⇒=αστ α

α dd

rezultă:

;2

2yx

xytgσσ

τα

−=

ecuaţie ce are soluţiile α1 şi α1+π/2. Pentru a se stabili care este unghiul α1, se pune condiţia:

.01 >xy

tgτα

Există două direcţii normale între ele, denumite direcţii principale de

tensiuni; tensiunile normale pe aceste direcţii se numesc tensiuni principale, σ1 = σmax şi σ2 = σmin , acestea constituind valorile extreme ale tensiunilor normale în jurul punctului P considerat:

.22

;22

22

2

22

1

xyyxyx

xyyxyx

τσσσσ

σ

τσσσσ

σ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

Pe suprafeţele pe care acţionează tensiunile normale principale, tensiunile tangenţiale sunt nule; tensiunile tangenţiale au valori maxime pe planele bisectoare ale planelor principale. Particularizînd expresiile tensiunilor σα şi τα, în cazul solicitării de

resiune monoaxială, tensiunile pe o suprafaţă înclinată întindere sau compvor fi:

.2

2sinσα

x

x

;cos2ασσ =

ατα =

136

Page 138: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

tensiunile principale şi unghiurile direcţiilor principale de tensiune sunt:

.2

;0;0; 2121παασσσ ==== x

tensiunea tangenţială maximă este:

.2max

xστ −=

În cazul st

ării de forfecare pură:

αττ

ατσ

σσ

α

α ;2sin

;0

xy

xy

yx

=

2cos=

==

tensiunile principale şi unghiurile direcţiilor principale de tensiune, în acest caz, sunt:

.4

3;4

;; 2121π

απατστσ ==−== xyxy

tensiunea tangenţială maximă este: .0max == ττ pent αruxy În cazul stării de încovoiere simplă:

xy σσ ;0= - se calculează cu formula lui Navier, yxxy ττ , se calculează a lui Juravski; rezultă:

cu formul

22

2,1 42 xyxx τσσσ +±= ;

având intotdeauna semne contrarii.

137

Page 139: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 6.1 În jurul unui punct P al unui corp se cunosc tensiunile σx = 80N/mm2,

.6.1). Se cere determinarea tensiunilor principale şi a direcţiilor acestora. σy = 60N/mm2, τxy = 50N/mm2 (fig

fig.6.1 aţia:

Tensiunile principale se calculează cu rel

./19

;/91.1202

21

mm

mmN

=

=

σ

σ 01.

;502

60802

6080

2

22

22

2,1

N

yxyx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=+⎟⎞

⎜⎛ −

±+

= τσσσσ

σ

principale se foloseşte relaţia:

22 xy⎟⎠

⎜⎝

Pentru calculul direcţilor

.222012990;222039;2 /0/ =⇒−

= ασσ

2 ///00///// =+= αατ

αyx

tg xy

Pentru a cunoaşte direcţia 1(α1),se face discuţia:

;2

0,0;0 111 παατ

τα

<⇒>>> tgrezultatg

xyxy

deci: .2220129;222039 ///0//

2///0/

1 ==== αααα

138

Page 140: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 6.2 unui punct P al unui corp se cunosc tensiunile σx = 90N/mm2,

y = - În jurul σ 40N/mm2, τxy = 60N/mm2 (fig.6.2). Se cere determinarea tensiunilor principale şi a direcţiilor principale ale acestora.

fig.6.2 Tensiunile principale se calculează cu relaţia:

./4.63

;/4.113

;502

40902

409022

22

21

22

22

2,1

mmN

mmN

xyyxyx

−=

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±−

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=

σ

σ

τσσσσ

σ

Pentru calculul direcţiilor principale se calculează tg2α:

.4321111;432121;60222 /////0/ =⇒

⋅== αα

4090///0=

+−σστ

α xytg yx

entru a se cunoaşte direcţia principală 1(α1), se face discuţia: P

.4321111

;432121

;2

;00;0 11 >⇒>> ατ

αtg

tgxy

///0//

2

///0/1

==

==

<

αα

αα

πατ xy

139

Page 141: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 6.3 Să se calculeze tensiunile principale, direcţiile principale de tensiune şi σα , τα pentru α = 300 în jurul punctului din figura 6.3; σx = 140N/mm2, τyx = 50N/mm2.

fig.6.3 Tensiunile principale sunt:

./02.16

;/02.156

;502

140

2422,1 xy140

2

2

22

2

mmN

xx

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=+±=

σ

τσσσ

Se calculează direcţiile principale:

2

21

mmN−=σ

;4517

;140

50222

/0/ −=

⋅−=

−=

α

σστ

.1572 /0// =α

αyx

xytg

şte direcţia 1(α1), se face discuţia:

Pentru a se cunoa

.1572

;4517

;20 1>τ xy

xy

;00;

/02

/01

1

=

−=

><⇒<

α

α

παατα

tgtg

rea tensiunilor de pe secţiunea înclinat α, se scriu relaţiile:

Pentru determina ă cu unghiul

;2sinsincos 22 ατασασσα xyyx ++=

140

Page 142: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./62.852150

23

2140

;2cos2sin2

;/69.612430

−σ

3503140

230

2

0

0

mmN

mmN

xyy

−=⋅−⋅−=

+

=⋅−⋅=

τ

αταα

Se dă grinda în consolă, solicitată ca în figura 6.4. Cunoscînd tensiunea σα = σβ1 = 50N/mm2 şi aria secţiunii A = 10cm2, se cere determinarea Fmax, τβ1, τβ2,

σ

x−=σ

τ

Problema 6.4

σβ2.

fig.6.4

e solicitării axiale:

Pentru determinarea forţei Fmax se pleacă de la relaţia tensiunii σα corespunzătoar

141

Page 143: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.1067.66

;cos

;;cos

3

2

21

NF

AF

AF

x

xx

⋅=

==

===

βσ

σ

σβσσσ

α

βα

Pentru determinarea tensiunilor τβ1, τβ2 şi σβ2 se folosesc relaţiile corespunzătoare tensiunilor tangenţiale şi normale funcţie de tensiunea normală din solicitarea axială centrică:

;/87.28

23

267.662sin

2

;/87.2823

267.662sin1

x−= βστβ 2

222

21

mmN

mmN

x =⋅=−=

−=⋅−=

βστβ

τβ2, σx = - F/A, iar:

cu σx corespunzător lui

./67.164167.66cos 2

22

2 mmNx −=⋅−== βσσ β

roblema 6.5

Pentru grinda avînd secţiunea dintr-un profil I24, ca în figura 6.5, se principale şi direcţiile acestora, la nivelul îmbinării inimii cu

P cer tensiunile talpa, în secţiunea A. Se dau: l =1m, F =17,7 kN.

fig.6.5

142

Page 144: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

normală va avea expresia: În punctul i, tensiunea

;i z

i IA yM

în care:

( ) ./56.1339.106104250107.173

;4250,/9.106

;3

mmNy

FlM A

−=

−=

24

6

42

mmN

cmI

i

zi

=−⋅⋅⋅

−=

=

σ

În punctul i, tensiunea tangenţială va avea expresia:

;zAixy Ib ⋅ z

ST ⋅=τ

în care:

./62.267.157536101.53;7.8

3

mmb

ixy =⋅⋅

=

=

21042507.8

;67.1575362

1.131201.13106

;1.537.1733

24

3

mmN

mmS

kNFT

z

A

⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

= ⋅ ==

Tensiunile principale sunt:

τ

./73.3

;/29.137

;62.222

56.1332

56.13322

22

21

22

22

2,1

mmN

mmN

xyxx

−=

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±=

σ

σ

τσσσ

Direcţiile principale de tensiune se determină cu relaţia:

;222199,22219;56.13362.2222

2 ///0/////0/ ==⇒⋅

== ααστ

αx

xytg

;0,0;0 11 >>> ατ

τα tgtg

xyxy

în urma discuţiei:

,πrezultă: 21α < prin urmare: 0 / / / 0 / / /

1 29 21 22 , 99 21 22 .α α= =

143

Page 145: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 6.6

Pentru grinda de lemn cu secţiunea dreptunghiulară din figura 6.6, se ere determinarea tensiunilor principale şi a direcţiilor principale de tensiune

10 cm.

cîn secţiunea Cst, la y =h/4; se cunosc h = 25 cm, b =

fig.6.6

ină iniţial:

Pentru calculul tensiunilor principale se determ

( ) ( )

( )

( )./9.0

12

5859371020

;1037.585932

325010083

42

;/8.45.6210

122510

1010

2

4

3

322

2

43

6

4/

mmN

mmhbhhS

ST

mmNyI

M

xy

z

zCstz

z

Czhy

=⋅⋅

=

⋅=⋅⋅

=⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=⋅⋅

⋅⋅

=⋅==

τ

σ

;4/ Ib zhy ⋅

==τ

;100mmb =

1025101003

⋅⋅

144

Page 146: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Tensiunile principale sunt:

./16.0

;/96.4

;9.04.228.4

22222

2

2,1 xyxx +±=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±= τσσσ

2

2

21

mmN

mmN

−=

=

σ

σ

Direcţiile principale de tensiune se calculează cu ajutorul relaţiei:

;417100,41710;8.4

9.0222 ///0//////0/ ==⇒

⋅== αα

στ

αx

xytg

pentru determinarea direcţiei de tensiune principală 1(α1), se face discuţia:

;0;0;0 11 >⇒>> ατ

τα tgtg

xyxy

aşadar:

.417100

;41710

;2

///02

///01

1

=

=

<

α

α

πα

145

Page 147: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL7

TORSIUNE

7.1 Torsiunea barelor cu secţiune circulară

ă

La torsiunea barelor de secţiune circulară, pe secţiunea transversaltensiunile tangenţiale variază liniar (fig.7.1.1) şi se determină cu relaţia:

;rIM

p

t ⋅=τ

în care Ip reprezintă momentul de inerţie polar al secţiunii.

fig.7.1.1 Tensiunea tangenţială maximă, constantă în toate punctele de pe

onturul secţiunii se determină cu relaţia:

c

p

t

WM max

max =τ ;

care:

în

;RI

W pp = - modul de rezistenţă polar al secţiunii.

Rotirea relativă între două secţiuni aflate la distanţa l una de alta este:

146

Page 148: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;∫= l pIG

t dxMϕ

cu G modul de elasticitate transversal. Condiţia de rezistenţă la torsiunea barelor cu secţiune circulară este:

;maxmax a

p

f la de dimensionare rezultă:

t

WM

ττ ≤=

stfel, ormua

;max

a

tnecp

MW

τ≥ cu ;dim

pnecp WW =

de unde se obţin dimensiunile secţiunii transversale. Formula de determinare a momentului de torsiune capabil ete:

;aefpcapt WM τ⋅= În afara condiţiei de rezistenţă la torsiune trebuie îndeplinită şi condiţia de deformaţie (rigiditate):

;ap

tef IG

Mθθ ≤

⋅=

astfel, formula de dimensionare din condiţia de rigiditate este:

. a

necp GI

θ⋅

Formula de determinare a momentu

tM=

lui de torsiune capabil din condiţia e rigiditate este:

d

.apacpt IGM θ⋅⋅= Dse poate ob

acă bara solicitată la torsiune este un arbore, momentul de torsiune ţine cu relaţia:

;55.9n

Mt ⋅= [kNm] P

u P – puterea în kW, iar n – turaţia arborelui în rot/min. c

147

Page 149: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

iune oarecare 7.2 Torsiunea barelor de secţ

ri bere în secţiune apar numai tensiuni tangenţiale τ care se determină prin

ii. tenţă şi deformaţie pentru barele cu secţiune

orma:

În cazul barelor de secţiune oarecare solicitate la torsiune cu deplasălimetodele teoriei elasticităţ Condiţiile de rezisoarecare solicitate la torsiune se scriu în f

;max at

t

WM

ττ ≤= cu Wt modul de rezistenţă la torsiune;

;max at

IGθθ ≤

⋅= cu It moment de inerţie la torsiun

te.

reptunghiulară din figura 7.2.1, se definesc:

M

Pentru secţiunea d

11 bhWt ⋅⋅= α

;3bhIt ⋅⋅= β

;

;2

2bhWt ⋅⋅= α

.tM=θ

;

;

max

max1

ax

t

t

t

IG

WM

W

=

=

τ

mMτ la mijlocul laturii lungi;

la mijlocul laturii scurte.

1t

t

fig.7.2.1

148

Page 150: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

În figura 7.2.1 s-a reprezentat şi distribuţia tensiunilor τ de-a lungul nstantele α, α1, β

unt funcţii de raportul laturilor h/b şi pot fi găsite conform tabelului 7.2.2.

belul 7.2.2

ilele subţiri desc lă alcătuită din dreptunghiuri înguste legate rigid între ele având aceeaşi

rsiune specifică, tensiunea tangenţială maximă în porţiunea „i” a secţiunii este:

axelor principale, de-a lungul diagonalelor şi pe contur; cos

ta

Pentru prof hise (fig.7.2.3), cu secţiunea transversa

to

;max it

i It b⋅M

u It – moment de inerţie la torsiune pentru întreaga secţiune:

c

;31 3∑ ⋅=

iiit bhI

h/b 1 1,25 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 8,0 10,0 ∞

α 333 0,208 0,221 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,292 0,299 0,307 0,313 0,

α1 ,449 0,208 0,238 0,269 0,292 0,309 0,336 0,354 0,378 0,393 0,402 0,414 0,421 0

β ,333 0,141 0,172 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,292 0,399 0,307 0,313 0

149

Page 151: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Tensiunea tangenţială maximă va fi:

;bMt ⋅=τ maxmax It

cu bmax i m ă le tel om en le iun en aτ e l o r g i o d s c i . o a â r a i d tă r rc u , d ţ o e

gros mea axim a e men or c pon te a secţ ii; t siune max ar loc a mijl cul d eptun hiulu comp nent e gro imea ea ma mare

La pr filele lamin te, av nd o igidit te ma mare atori raco dărilo onstr ctive momentul e iner ie la t rsiun este:

∑ ⋅⋅⋅= i

iit 3

cu: η = 1, pentru profile “L”; η = 1,1÷1,2, pentru profile “U”;

bhI ;1 3η

η = 1,3, pentru profile “I”. pereţi subţiri, deschise (fig.7.2.4), tensiunile contur şi datorită grosimii mici pot fi considerate

La secţiunile cu tangenţiale sunt tangente laconstante pe grosime. Acestea se calculează cu relaţia:

;2 b

Mt

⋅Ω⋅=τ

Condiţia de rezistenţă este:

;2 min

max at

bM

ττ ≤⋅Ω⋅

=

150

Page 152: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Condiţia de deformaţ

ie este:

;4 2 a

t

G

M θθ ≤Ω⋅

⋅=

s bds∫

cu Ω - aria închisă de conturul median al secţiunii, iar It – momentul de ii, în forma: inerţie la torsiune al secţiun

;4 2

∫Ω⋅

=t dI

s bîn situaţia în care b = ct., rezultă:

s

;bs

bds

s

=∫

cu s – lungimea conturului median al secţiunii.

7.3 Sisteme static nedeterminate la torsiune

Cazul general al sistemelor static nedeterminate la torsiune se studiază pe o bară dublu încastrată solicitată la torsiune (fig.7.3.1). Pentru rezolvarea sistemului o dată static nedeterminat se suprimă o

-se o formă de bază. Condiţia ca forma de bază să se ste:

legătură obţinânducomporte identic cu sistemul real e

( ) ( ) ;01 =+= ttA

ttA

tA MX ϕϕϕ

151

Page 153: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

în care:

( )

( ) ;2t

tt

tA IG

M⋅

;2

/

1 t

t

t

t

bM ⋅

stfel, rezultă:

111tt

A IGbX

IGaXX

⋅⋅

−⋅⋅

−=ϕ

a

b

;

1

21

tt

t

bIa

IMX+

⋅=

2tt Iu lungimile reduse:

c

;;2

0/

1

0/

t

t

t

t

IIbb

IIaa ⋅=⋅=

în care I0t reprezintă un moment de inerţie arbitrar ales. În final, se obţin:

152

Page 154: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.; /

/

1/

/

1 laMXM

lbMX t

ttt

t ⋅=−⋅=

Diagrama de momente de torsiune este similară cu o diagramă de forţe tăietoare produsă de o forţă concentrată pe o grindă simplu rezemată. Pe baza acestei observaţii se consideră o grindă convenţională simplu rezemată (fig.7.3.2), cu deschiderile a/, b/, l/, încărcată cu o forţă transversală convenţională egală cu vectorul Mt rotit cu 900 în sens antiorar. Diagrama de forţe tăietoare pe această grindă este chiar diagrama de momente de torsiune pe grinda reală. Această metodă de rezolvare a sistemelor static nedeterminate la torsiune se numeşte metoda grinzii convenţionale. Ca moment de inerţie I0t se alege momentul de inerţie al unuia din tronsoane. 7.4 Arcuri elicoidale cu pasul mic

arcuri elicoidale cu pasul mic (fig.7.4.1), unghiul de înclinare al pirei fiind foarte mic, se fac aproximările sin α = 0 şi cos α = 1.

Las

Secţiunea spirei este solicitată la un moment de torsiune M = F⋅R şi o

e . t

forţă tăietoare T = F; ambele eforturi secţionale produc tensiuni tangenţial

153

Page 155: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Prin suprapunerea efectelor în punctul de la interiorul arcului care este ultă tensiunea tangenţială maxi ă şi condiţia de cel mai solicitat, rez m

rezistenţă:

;3

134

max1 ap

t

p

t

Rd

WM

AT

WM τττ ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅+==

în care d – diametrul spirei; R – raza cilindrului de înfăşurare a spirelor. Deplasarea după axa cercului este (fig.7.4.2):

;644

3

dGnFR

arc =Δ

Problema 7.1 Să se dimensioneze bara cu secţiune circulară, încărcată ca în figura 7.1. Se dau: F = 9 kN, τa = 50 N/mm2, θa = 0,9 0/m, G = 8,4⋅104 N/mm2.

154

Page 156: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul momentelor de torsiune în dreptul secţiunilor caracteristice:

ză d de torsiune, reprezentarea făcându-se ca la xiale lul cel mai solicitat

.4.55.14.0

;925.0

;7.23.0

kNmFM

kNmFM

kNmFM

tC

tB

tA

=⋅=

=⋅=

==

Se trasea iagrama de momenteorţele af (Mt pozitiv deasupra axei şi invers). Interva

tal barei este B-C, cu ⎢M max ⎢= 6,3 kNm. e dimensionează bara din condiţia de rezistenţă: S

;maxmax a

p

t

W

Mττ ≤=

astfel, rezultă:

.90

;25.86;1650

103.6

;16

36

3dimmax

mmd

mmdd

dW

MW

ef

nec

pa

tnecp

=

=⇒=⋅

===

π

πτ

Se verifică condiţia de rezistenţă:

./55.4490103.6 2

3

6max

max aefp

tef mmN

W

πτ <=

⋅⋅

==

16Se verifică condiţia de deformaţie:

;1012.6443290

32

;/1057.1101

1809.0/9.0

;

4444

53

0

maxmax

mmdI

mmradm

IG

M

efp

a

ap

t

⋅=⋅

=⋅

=

⋅=⋅⋅==

≤⋅

=

ππ

πθ

θθ

155

Page 157: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.90

;/10164.11012.644104.8

103.6 56

mmradef <⋅=⋅

= − θθ 44max

mmdef

a

=⇒⋅⋅⋅

Problema 7.2

a

Consola ABC din figura 7.2 este supusă acţiunii cuplurilor concentrate din punctele B şi C. Să se dimensioneze bara cu secţiune circulară plină, ştiind că: τa = 100 N/mm2, θ = 0,25 0/m, G = 8,4⋅104 N/mm2. Să se determine rotirea punctului C.

Se calculează momentele de torsiune în dreptul secţiunilor caracteristice:

Se trasează diagrama de momente de torsiune. Intervalul cel mai solicitat al barei este AB. Plecând de la condiţia de rezistenţă se face dimensionarea:

20260M t ⋅=

.1060150400

;105203

3

NmmM

NmmtB

C

⋅=⋅=

⋅=

;16

;1120100

10112

3dim

33

max

dWW

mmM

W

pnecp

a

tnecp

⋅==

=⋅

==

π

τ

156

Page 158: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

astfel, rezultă:

.181120163 mmd =

⋅=

π

Se verifică condiţia de rezistenţă:

./100/8.9711.1145

10112

;11.11451618

;

3

maxmax W

Maef

p

tef ≤= ττ

223

max

3

mmNmmN

mmW

aef

efp

=<=⋅

=

=⋅

=

ττ

π

Se verifică condiţia de deformaţie:

;1018044

θθ >

;/10436.011/1

;/109.1210306104.8

10112

;99.103053218

;

53

0

54

3

44

maxmax

aef

a

ef

p

ap

t

mmradm

mmrad

mmI

IG

M

πθ

θ

π

θθ

⋅=⋅⋅==

⋅=⋅⋅⋅

=

=⋅

=

≤⋅

=

şadar, diametrul de 18 mm nu verifică condiţia de deformaţie. n această condiţie:

aSe redimensionează di

;32

1081.30510436.0104.8

10112 dim4

4354

3max

p

tnecp Idmm

G

MI =

⋅=⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

= −

πθ

a

astfel, se obţine:

.42mmdef =

157

Page 159: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul rotirii punctului C:

.1012.2

;0

;

3242104.8

4001052

3242104.8

3001112A

⋅ 0

;

3

44

3

44

3

rad

IGdxM

AC

A

AC

C

p

t

−− ⋅=

=

⋅⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅=−

⋅⋅

ϕ

ϕ

ππϕϕ

Problema 7.3

din figura 7.3, ştiind că roata „2” este onducătoare, transmiţând o putere P = 95 kW şi că roata „1” preia 60% din

puterea totală (randament ideal). Se consideră roţile aşezate lângă lagăre pentru a nu produce şi încovoieri ale arborelui. Se cunosc: n = 200 rot/min, τa = 45 N/mm2, G = 8,4⋅104 N/mm2, θa = 0,25 0/m. Să se determine rotirea relativă între roţile „2” şi „3”.

AC =− ∫ϕϕ

Să se dimensioneze arborelec

158

Page 160: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se consideră momentul motor, pozitiv (în lungul axei x):

.536.42009555.955.92 kNm

nPMt =⋅=⋅=

Momentul de torsiune în dreptul roţii „1” va fi:

.7216.2536.46.06.0 21 kNmMM tt =⋅== Pe intervalul 1-2 momentul de torsiune are valoarea maximă |Mt1 max| = 2,7216 kNm. Pe acest interval se face dimensionarea, plecând de la condiţia de rezistenţă:

.70;5.67

;1645

107216.2

;max

dim36

dim

d

WdW

WM

W

pnecp

pa

tnecp

=

=⋅

=⋅

=

==

π

τ

;max

max

mmdmm

WM

ef

ap

t

=

≤= ττ

ă condiţia de deformaţie:

Se verific

.

;/10436.0101

18041

;/1037.1

3270104.8

107216.2max

max

53

54

4

6

max

aef

a

p

tef

mmrad

mmradIG

M

θθ

πθ

πθ

>

⋅=⋅⋅=

⋅=⋅

⋅⋅

⋅=

⋅=

Se redimensionează din condiţia de deformaţie:

;

32

;1011.74310436.0104.8

107216.2max

4dim

4454

6

dI

mmG

MI

p

a

tnecp

⋅=

⋅=⋅⋅⋅

⋅=

⋅≥ −

π

θ

astfel, rezultă:

159

Page 161: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;95;27.93 ef mmdmmd ==

./1040.0107216.2 6efθ = 5

1063.799104.8

;1063.7993295

544max

444

a

ef

mmrad

mm

θ

π

<⋅

pI

⋅⋅⋅

⋅=⋅

e secţiunile „2” şi „3” este:

=

⋅=

Rotirea relativă într

.1062.16001053.44.0 363

3 raddxMt −⋅=⋅⋅⋅

==− ∫ϕϕ 1063.799104.8 442

2 IG p ⋅⋅⋅⋅

Problema 7.4 O secţiune casetată are dimensiunile din figura 7.4. Ştiind că rezistenţa admisibilă este τa = 96 N/mm2 se cere momentul de torsiune capabil Mtcap. Ce devine momentul de torsiune dacă secţiunea are o tăietură

ţii laterali?

la nivelul unuia din pere

Figura reprezintă o secţiune cu pereţi subţiri, închisă; condiţia de rezistenţă în acest caz este:

;2 min

max at

bM ττ ≤⋅Ω⋅

=

de unde rezultă relaţia pentru momentul capabil:

;2 min at bcapM τ⋅⋅Ω⋅=

160

Page 162: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

în care Ω - aria conturului median al secţiunii:

în care bmin reprezintă grosimea celui mai subţire perete:

;1076.2961210122

;12000030040084

2

NmmcapMmm

t ⋅=⋅⋅⋅⋅=

=⋅=Ω

( ) 1220,12min mmb .min ==

Dacă secţiunea este tăiată la nivelul unuia din pereţii laterali, aceasta devine u pereţi subţiri deschisă, condiţia de rezistenţă fiind:

o secţiune c

;maxmax a t

în care It este momentul de inerţie la torsiune al secţiunii:

t bI

M ττ ≤⋅=

( )140032

31 46333 hbI

iiit ⋅=⋅= ∑ ;1006.2203002 mm⋅=⋅+

rosimea peretelui celui mai gros:

g

( ) ;2020,12maxmax mmb == astfel, rezultă:

;1089.920

1006.296 66

max

/ Nmmb

IcapM tat ⋅=

⋅⋅=

⋅=τ

/În acest caz, Mt cap este de:

201006.21089.9

6

6

≈⋅⋅

ori mai mic în raport cu Mtcap corespunzător secţiunii în

ărcat cu forţa F perpendiculară pe cest plan (fig.7.5). Secţiunea barei este un profil I28. Să se determine forţa

mm2, τa = 75 N/mm2, a = 1 .

varianta iniţială (netăiată). Problema 7.5 Sistemul ABC este plan fiind încamaximă suportată de sistem. Se dau: σa = 150 N/m

161

Page 163: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se trasează diagramele de moment încovoietor şi moment de torsiune; se onstată faptul că bara B-C este solicitată la încovoiere iar bara A-B la

torsiune. termina Fmax = min (Fmax

BC; FmaxAB); astfel, pentru bara B-C

BC ţia de rezistenţă la încovoiere:

c

Se va de(încovoiere), se determină Fmax din condi

.3.81 kNBC ≤Pentru bara A-B (torsiune),

;103.81

;

103.8110542150

;;542

;

max

6

63

max3

max

FNmmaF

NmmWM

aFMcmW

W

efza

capz

zz

az

z

⋅≤⋅

⋅=⋅⋅=⋅=

⋅==

σ

σ

se determină FmaxAB din condiţia de rezistenţă la

rsiune (bară cu pereţi subţiri, profil deschis):

max

M=σ

;

max MM capzz ≤

to

;1034.22.15

1036.4775 ;1036.47

;

44

maxmax

max

mmI

bI

t

at

t

⋅=

≤⋅= ττ

6

4

max

Nmmb

IM

M

tacapt ⋅=

⋅⋅=

⋅=τ

162

Page 164: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.; maxmax aFMMM tt

capt ⋅=≥

Fiind o secţiune din profil laminat, la racordări apar concentrări de tensiuni:

;

;

maxmin

max

minmaxmax

bI

M

t

talno

alnok

ef

⋅=

⋅=

τ

τατ

în care αk – coeficient de concentrare de tensiuni:

./7522

;2

1.10

2min mmNbaFr

alnoef

k

=≤⋅⋅

⋅=⋅= τττ

2.15b 74.174.1

maxmaxmax

33

I at

=⋅=⋅=α

Rezultă Fmax

AB = 1,17 kN, forţa maximă suportată de sistem va fi: ( ) .17.117.1;3.81minmax kNkNkNF == Problema 7.6

d a = 1 m, F = 6 kN, τa = 80 /mm , G = 8,4⋅10 N/mm , se cer:

a) dimensionarea barei pe secţiuni; b) determinarea rotirilor ϕB, ϕC şi ϕD.

Bara ABCDE, dublu încastrată, are secţiune pătrată pe ABC, inelară pe CD şi circulară pe DE (fig7.6 a). Cunoscân

2 4 2N

163

Page 165: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Bara este dublu ul este o datîncastrată, solicitată la torsiune; sistem ă static

edeterminat. Se foloseşte metoda grinzii convenţionale pentru trasarea iagramei de momente de torsiune. e determină momentele de inerţie la torsiune pentru cele trei tipuri de

ndSsecţiune ale grinzii:

;098.032

;057.0

14

32

2

44

4

DdI

DD

pDE =

⋅=

=⎥⎥⎦

⎢⎣ ⎠⎝

⎠⎝

π

;035.02141.0 4

4

4 DDbI tABC =⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛⋅=⋅= β

4 ddII pCD

tCD ⎢

⎡⎟⎞

⎜⎛−

⋅==π

164

Page 166: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se alege drept moment de inerţie de referinţă: Se calculează lungimile reduse ale tronsoanelor grinzii:

;035.0 40 DI t =

.357.0098.0035.0

;614.0057.0035.0

;2

;

4

4/

4

4/

/

0/

aaDDl

aaDDl

al

IIaa

DE

CD

ABC

tj

t

jj

==

==

=

⋅=

Momentele de torsiune în dreptul secţiunilor caracteristice sunt:

Pe grinda simplu rezemată convenţională se introduc vectorii momentelor care se rotesc antiorar cu 900 şi se obţin forţe transversale convenţionale (fig.7.6b):

.6.34.065.1

;2.76.062;4.24.06

kNmM

kNmMkNmMtD

tC

tB

=⋅⋅=

=⋅⋅==⋅=

165

Page 167: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Din ecuaţia de momente faţă de E/ rezultă VA/ :

/

cu ajutorul lui VA/ se determină diagrama TC care este echivalentă chiar cu

diagrama Mt. Intervalul cel mai solicitat este DE; se dimensionează pe acest interval, apoi se verifică celelalte două tronsoane. Intervalul DE

ntru secţiunea circulară:

;193.1;0/ kNmVM AE==∑

Condiţia de rezistenţă pe

;max ap

t

WM ττ ≤=

astfel, condiţia de dimensionare va fi:

.

16

3dim nec

pp WDW =⋅

;10085.9080

10207.7 336

a

tnecp mmMW ⋅=

⋅==

τ

iametrul D rezultă: D = 77,12 mm şi Def = 78 mm. e verifică condiţia de rezistenţă:

DS

./34.77

1678

10207.7 23

6

max aefp

tef mmNWM τ

πτ <=

⋅⋅

==

Intervalul CD Condiţia de rezistenţă pentru secţiunea inelară:

./43.64

607.3

1098.5578621

16781

16

;

2max

334343

max

aCD

t

p

ap

t

mmN

kNmM

mmDdDW

WM

ττ

ππ

ττ

<=

=

⋅=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅=

≤=

166

Page 168: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Intervalul ABC Condiţia de rezistenţă pentru secţiunea pătrată:

./03.10314.55208.0

10593.3 6⋅

;14.55208.02

23max

3

aABC

t

mmN

D

W

ττ >=⋅

=

⋅=⎟⎟⎠⎝

ornind de la zon BC:

;max atM ττ ≤=

2208.03

3bW α⎞

⎜⎜⎛⋅=⋅=t

Se redimensionează sistemul p a

.85;60;10912.44208.0 mm

;;208.0

;10912.4480

33

dim3dim

33

Dmmbb

WWbW

mmW

tnec

tt

at

==⇒⋅=

==

⋅===τ

Verificarea condiţiei de rezistenţă:

10593.3 6Mtnec ⋅

./80 /8.7910593.3 26

mmN aef =<=

⋅= ττ

60208.0 3max ⋅2mmN

alculul rotirilor:

C

.1074.16

3285104.8

1010207.7

;101.3160141.0104.8

1010593.3 36 ⋅⋅

;0A =ϕ

;107.760141.0104.8

1010193.1

34

4

36

344

344

36

rad

rad

radIGdxM

D

BC

B

A t

tB

⋅=⋅

⋅⋅

⋅⋅−−=

⋅=⋅⋅⋅

+=

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅= ∫

πϕ

ϕϕ

ϕ

167

Page 169: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 7.7 Bara dublu încastrată AG are secţiunea casetată pe ABC, pătrată pe

DE şi circulară pe EFG. Să se determine forţa maximă Fmax pe care o suportă bara. Se dau: τa = 70 N/mm2, b = 300 mm (fig.7.7a).

C

Se foloseşte metoda grinzii convenţionale; se determină momentele de inerţie la torsiune pe intervalele grinzii:

;2

111

182;1981811;4

;1057.018.14141.0

;18.14;202;

;1057.132

22

444

4

444

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==⋅=Ω

Ω⋅=

⋅=⋅=

==⋅=

⋅=⋅

=

∫∫ s

s

tABC

tCDE

tCDEI

tEFGt

bdscm

bdsI

cmI

cmccmcc

cmDI

β

π

168

Page 170: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.10334.0

211

1182

44 cmI tABC ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

t t 4 4

1984 2⋅

e alege I0 = IABC = 0,334⋅10 cm ; se calculează lungimile reduse:

S

.425.057.1334.02

;771.157.0334.02

;2

/

/

0/

aal

aal

aIIll

EFG

CDE

tABC

t

ACAC

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Se calculează momentele de torsiune în dreptul secţiunilor caracteristice:

Se construieşte grinda convenţională simplu rezemată (fig 7.7b), pe care se introduc vectorii moment de torsiune care se rotesc antiorar cu 900, obţinându-se astfel forţele transversale convenţionale.

.22

;22

;

ttF

ttD

ttB

MbFM

MbFM

MbFM

−=⋅−=

−=⋅−=

=⋅=

169

Page 171: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Din ecuaţia de momente faţă de G/ rezultă VA/ :

Fmax se determină din condiţia:

212.02011.12596.2596.3/ tttt

A aMaMaMaV =⋅−⋅−⋅+⋅−

.0422.0

;0

;0

/

/

tt

A

G

MV

M

−=

=∑

[ ];;;min //////maxtttt MMMbFM =⋅=

în care ////// ;; ttt MMM re re izultă din egalarea, pe fieca nterval, a momentului de torsiune capabil cu momentul de torsiune maxim:

.

;

;max captABCtABC MM ≤

max

max

captEFGtEFG

captCDEtCDE

MM

MM

Intervalul ABC:

.1096.28957.0

1010198270957.0

2957.0

62

min/ NmmbMM acaptABC

t ⋅=⋅⋅⋅⋅

=⋅Ω⋅

==τ

Intervalul CDE:

.108.39043.1

1005.59370043.1043.1

633

// NmmcMM acaptCDE

t ⋅=⋅⋅

=⋅⋅

==ατ

Intervalul EFG:

.1011.36043.3

701620

043.36

3

/// NmmMMcaptEFG

t ⋅=⋅

==

π

Astfel, rezultă:

.105.96

;3001096.283

max

6max

NF

FNmmMt

⋅=

⋅=⋅=

170

Page 172: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 7.8 Să se determine forţa maximă pe care o poate suporta bara din figura 7.8a, având secţiunea un profil I28. Să se determine deplasarea punctului de aplicaţie al forţelor F; se dau: τa = 75 N/mm2, G = 8,1⋅104 N/mm2.

te roti faţă de axa x datorită celor doi penduli erticali, aceasta fiind practic încastrată în raport cu axa x. Sistemul este

încastrat la ambele capete pentru solicitarea de torsiune, deci o dată static erminat.

intervalului celui mai solicitat se foloseşte

Secţiunea B nu se poav

nedetPentru determinarea

etoda grinzii convenţionale (fig. 7.8b). m

Inm

tervalul cel mai solicitat este AC; aici momentul de torsiune are valoarea aximă:

171

Page 173: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;57.0;max FhMMM cap ttt Mt

cap rezultă din condiţia de rezistenţă la torsiune pentru profile deschise cu pereţi subţiri:

cap =≤

( )

.1069.22.15

751036.47

;,max;1036.47

;

64

max

max

44

maxmax

NmmbIM

bbbmmI

bI

M

atcapt

talpainima

t

at

t

⋅=⋅⋅

=⋅

=

=⋅=

≤⋅=

τ

ττ

Datorită concentrărilor de tensiuni la racordări rezultă că:

;993.11.10

52.174.174.1

;

33

maxmax

==⋅=

≤⋅=

rb

k

anom

kef

α

ττατ

astfel, rezultă:

.1045.8

,1069.2 6max

F

b k

⇒57.028.0993.1

;57.0

3maxmax NF

Fh

⋅≤

I at ⋅τ

⋅⋅⋅

⋅≤

α

Deplasarea punctului de aplicaţie al forţelor F

Linia care uneşte punctele de aplicaţie ale forţelor, CD, se roteşte şi devine C/D/ (fig.7.8c). CC/ = DD/ = OC ⋅ ϕt; deoarece ϕt este foarte mic se face aproximarea: tg ϕt = ϕt, astfel:

.119.1525.59140 22 mmOC =+=

172

Page 174: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Deoarece ϕA = 0 (încastrare), rezultă:

.2.31012.21119.152

;1012.211036.47101.8

106.045.828.057.0

3/

344

9dxMC

⋅⋅⋅⋅⋅= ∫ϕ

mmCC

radIG t

t

=⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅

=⋅

Problema 7.9

adrul plan din figura 7.9, încărcat cu forţe norma pe plan se a diagramelor de efort; 2. verificarea barei C-D, ştiind că

secţiunea este de formă dreptunghiulară. Se dau h = 110 mm, b = 55 mm, τa = 60 N/mm2.

Pentru c lecere: 1. trasare

1. Diagramele de efort

2. Bara C-D este solicitată la Pcondiţia de rezistenţă la torsi

torsiune. entru secţiunea dreptunghiulară une este:

;; 2max bhWWM

tat

t efτ ⋅⋅=≤= ατ

173

Page 175: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

pentru h/b = 0,5, din tabele rezultă α = 0,246. Astfel, rezultă:

./60/9.4855110246.0

104 222

6max mmNmmN aef =<=

⋅⋅⋅

= ττ

Problem

a 7.10 ând n = 12 spire, R = 7 cm, suportă

2Arcul elicoidal din figura 7.10, av

o forţă F = 30 kN. Ştiind că τa = 300 N/mm , să se determine: a) diametrul spirei arcului; b) deplasarea totală a arcului, se dă G = 8⋅104 N/mm2.

a) Condiţia de rezistenţă în punctul de la interiorul arcului, ( cel mai solicitat), este:

;;3

1max RFMR

dWM

tap

t ⋅=≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= ττ

Pentru dimensionarea spirei arcului se neglijează iniţial efectul forţei tăietoare, obţinându-se condiţia:

;max ap

t

WM ττ ≤= formula de dimensionare este:

;16

;7000300

107030 3dim3

3 dmMW nectnecp

⋅=

⋅⋅==

πτ WWm pp

a

==

174

Page 176: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

din care se obţine:

.3391.32161073

3

mmd ≅=⋅⋅

Pentru a se ţine seama de termenul neglijat se majorează diametrul:

;3565.34703

331333

1 33 mmRdddef ≅=

⋅+⋅=+⋅=

verifică condiţia de rezistenţă: Se

./300/02.291703

351

1635

701030 223

3

max mmNmmN a =<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅

⋅⋅⋅

= τπ

τ

b) Deplasarea totală a arcului este:

.82.6535108

12701030646444

33

4

3

mmdG

nRFB =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=Δ

Problema 7.11

Sistemul de arcuri din figura 7.11a are următoarele caracteristici: R =

N/mm2. Să se determine Fmax suportat de sistem şi eplasarea punctului C.

1

6 cm, d1 = 3 cm, n1 = 8 spire, R2 = 7 cm, d2 = 4 cm, n2 = 11 spire, G = 8⋅104 N/mm2 şi τa = 300 d

175

Page 177: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se secţionează sistemul deasupra şi dedesubtul punctului C, bţinându-se sistemul de forţe din figura 7.11b, în care:

F = F1 + F2 ; litate geometrică este:

o

Condiţia de compatibi ;21 Δ=Δ=ΔC au: s

;2121

21

2

2

1

1

kkF

kkFF

kF

kF

C +=

++

===Δ

în care k1, k2 – constantele elasticee obţin expresiile lui F şi F :

ale celor două arcuri. 1 2S

;

;

21

2

22 kF C =Δ⋅=

21

111

kkkFkkkFkF C

+⋅+⋅

=Δ⋅=

Din condiţia de rezistenţă pentru arcuri elicoidale, rezultă:

;

31

22

1

11

⋅=≤

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ⋅+

31

;

2

22

2

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+

⎞⎛

⋅=≤

RdR

dW

FF pacap

WFF

RR

pacap

τ

τ

./848117064

4010864

;/58686064

3010864

3

44

232

42

2

3

44

131

41

1

mmNnR

dGk

mmNnR

dGk

=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=

=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=

Forţa capabilă a unui arc este:

;1072.22

60330160

1630300

3

3

1 NF cap ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅⋅=

π

176

Page 178: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.1045

703402F cap =

170 ⎟⎞

⎜⎛ +

1640300

3

3

⋅=⋅⋅π

N

⎠⎝ ⋅

ondiţia F1 F1 cap şi F2 ≤ F2 cap, rezultă: Din c

;09.76;45

848586848//F ≤⋅

;8.56;72.22586

//

/

kNF

kNF

=⇒+

=⇒≤⋅

Forţa maximă a sistemului este:

/F848586 +

[ ] .8.56,min /// FF == max kNF Deplasarea punctului C este:

.6.39586848108.56 3F

=⋅

==Δ 21

mmkkC ++

Problema 7.12 Bara rigidă AD este acţionată de forţele 4F şi F şi se sprijină în C pe

ri elicoidale (fig.7.12). Se u R1 = 8 cm, R2 = 5cm, 1 2 1 2 = 13 spire, τa = 300 N/mm2,F = 12 kN. Se cere

dimensionarea arcurilor sistemului.

un sistem de două arcu dad = 1,5d , n = 8 spire, n

177

Page 179: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Forţa care acţionează asupra sistemului de arcuri din C este reacţiunea VC; această mărime rezultă din ecuaţia de momente:

rezultă:

.8.2;0 FVM CA ==∑

Din compatibilitatea geometrică a deplasărilor

;

;

2121

21

2

2

1

1

21

kkF

kkFF

kF

kF

C

+=

++

==

Δ=Δ=Δ

Forţele în cele două arcuri vor fi:

;1

;1

1

1

2

1

2

21

22

1

221

11

kk

kk

Fkk

kFF

kkF

kkkFF

+⋅=

+⋅=

+⋅=

+⋅=

;497.0

64

64

2

1

3

2

1

4

1

2

131

41

232

2

1

2 =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅⋅⋅

=nn

RR

dd

nRdG

nRdG

kk

4

.15.11

497.1497.08.2

;44.22497.116.33

497.118.2

2

1

kNFF

kNFF

=⋅=

=⋅=⋅=

Arcul „1” suportă forţa cea mai mare, forţă la care se face dimensionarea:

;3

11

1

1

11max a

p

t

Rd

WM ττ ≤⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Se face o predimensionare numai din efectul lui Mt1 (se neglijează forţa tăietoare T1). Rezultă d1, astfel:

178

Page 180: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;23.31300

1081044.221616 311 RF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

300⋅πSe dimensionează ţinând

331 mmd =

⋅==

π

cont şi de T :

1

.3380323.31123.31 3

1 mmd ef =⋅

+⋅=

Verificare:

;/289

803331

21.7056108044.22

;21.705616333

W =⋅

23

1max

31

mmN

mmp

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅

⋅⋅=τ

Diametrul d2 = d1/1,5 = 22 mm, în plus:

.72.20901622 3

3

2 mmWp =⋅

Se verifică arcul „2”:

;/30630002.1/305

,/305503

22172.2090

105015.11

22max

23

2ma

x

mmNmmN

mmN

=⋅<=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅

⋅⋅=

τ

τ

Se acceptă d2 = 22 mm.

179

Page 181: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

LUL 8CAPITO

STUDIUL DEPLASĂRILOR PRIN METODE ENERGETICE

8.1 Metoda Maxwell – Mohr

Se consideră o bară în două situaţii de încărcare: prima este încărcarea Δi, în punctul „i”, care trebuie

ig.8.1.1a); a doua este o încărcare auxiliară fictiv , dată de o forţă unitară virtuală în punctul şi pe direcţia deplasării căutate (fig.8.1.1b).

reală, sub care se produce deplasarea determinată (f ă

Diagramele de eforturi produse de încărcarea reală sunt N, T, M; diagramele de eforturi produse de forţa 1 sunt ni, ti, mi.

emei lui Clapeyron, potrivit căreia lucrul mecanic al rţelor exterioare este egal cu energia de deformaţie acumulată de corp, se

bţine expresia:

Prin aplicarea teorfoo

∫ ∫ ∫++=Δ⋅ ;1EA

dxNnGA

dxTtEI

dxMm iiii η

care reprezintă formula Mohr – Maxwell pentru calculul deplasărilor roduse de sarcini.

Integralele corespunzătoare forţelor tăietoare şi axiale au valori mici şi e pot neglija; în consecinţă formula Mohr – Maxwell devine:

p s

;∫=ΔEI

dxMmii

180

Page 182: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Sarcina unitară se aplică pe dire ţia deplasării căutate; aceasta poate fi forţă sau moment concentrat, pentru determinarea săgeţii sau rotirii în punctul respectiv. Dacă Δi rezultă pozitiv din calcul, deplasarea are sensul sarcinii unitare, dacă este negativ are sens invers sarcinii unitare.

8.2 Metoda Veresceaghin

c

ând riaţie liniară se poate folosi un rocedeu simplu pentru efectuarea integralelor care intervin în formula

C una dintre diagrame are o vapMaxwell – Mohr. Pe intervalul AB, având momentul de inerţie “I”, diagrama “M” are o formă oarecare (fig.8.2.1), iar diagrama “mi” are o variaţie liniară.

Rezultatueste dat de relaţ

l integralei produsului celor două diagrame pe intervalul AB ia:

cu: Ω - aria diagramei “M” pe intervalul AB; ma “mi”, ordonată itită în dreptul centrului de

greutate G al diagramei “M”.

;GA

ii ydxmMEI ⋅Ω==Δ⋅ ∫ B

yG – ordonata din diagra c

181

Page 183: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Dacă ambele diagrame sunt liniare se poate considera aria oricăreia dintre ele. Dacă ambele diagrame sunt curbilinii nu se poate aplica metoda

8.3 Energia potenţială de deformaţie în funcţie de eforturi

Veresceaghin.

Pentru determinarea energiei potenţiale de deformaţie specifice se

ştere elementară dσ se produce o alungire suplimentară dε o en

face ipoteza că solicitările se aplică static, tensiunile crescând lent de la 0 la valoarea finală σ. Pentru o creşi ergie potenţială de deformaţie elementară:

( ) ;εσεσσ ddddUs ≅+= dar εσ ⋅= E din legea lui Hooke, astfel rezultă: ;εε dEdUs ⋅= iar prin integrare se obţine:

.21

22

2

σε⋅=

⋅=

EEUs

În cazul unei solicitări pe două direcţii principale 1 şi 2, energia potenţială de deformaţie specifică este:

( ).221

2122

21 σσμσσ −+=

EUs

În cazul tensiunilor tangenţiale τ, legea lui Hooke fiind γτ ⋅= G , energia specifică este:

.21

22

2

τγ⋅=

⋅=

GGUs

Energia potenţială elementară pentru un element de volum paralelipipedic dzdydxdV ⋅⋅= , va fi: ;dVUdU s=

182

Page 184: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

iar energia potenţială de deformaţie totală a barei va fi:

∫ ∫ ⋅=⋅= .1;1 dVUdVU γτεσ22 tottot

8.3.1 Energia potenţială de deformaţie totală a barelor Solicitare axială

Ţinând seama că NA

=σ , se obţine:

.21

21

0

2

2

2 lN∫∫ ∫=⋅=tot dx

ANdxdA

EAU

Încovoi

E ere

În acest caz yIz

M z ⋅=σ , astfel:

∫∫ ∫=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= .

21

21

0

22 lz

z

ztot dx

EIMdxdA

EIyMU

Torsiune

r Se porneşte de la relaţia: IM

p

t ⋅=τ , în final:

( )

∫∫∫ ⎟⎠

⎜⎝ pA p

tot GIIG 00

.22

Dacă bara este su

=⎟⎞

⎜⎛ ⋅

= ttl

dxM

dArM

dxU22

11

pusă simultan la mai multe solicitări simple, energia otenţială se obţine prin însumarea termenilor corespunzători fiecărei

rinda simplu r , încărcată cu o sarcină uniform istribuită, ca în figura 8.1, se cere să se calculeze săgeata în capătul liber C.

l

psolicitări. Problema 8.1 Pentru g ezematăd

183

Page 185: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se reprezintă diagrama de momente „M” datorată sarcinii uniform

troduce în C o sarcină virtuală unitară şi se trasează ente „mC”. Se calculează săgeata în C:

distribuite. Se indiagrama de mom

∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅== ;

2428321 32

EIaplalpl

EIEIMmv C

C

semnul „-„ indicsensului sarcinii u

ă faptul că deplasarea „vC” se produce în sens invers nitare aplicate în punctul C.

Problema 8.2 mată încă rţa de 6kN, se cere să se

calculeze săgeata în capătul liber A (fig.8.2). Se dau: Iz = 171 cm4, E = ,1⋅105 N/mm2.

Pentru grinda simplu reze rcată cu fo

2

184

Page 186: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se reprezintă diagrama de momente “M” datorată forţei concentrate exterioare. Se introduce în A o sarcină virtuală unitară şi se trasează diagrama de momente “ mA”. Se calculează săgeata în A:

.177.410171101.2

105.02

102103

45

336

mmvA −=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

−=

semnul „-„ indică faptul că deplasarea „vA” se produce în sens invers sensului sarcinii unitare aplicate în A. Problema 8.3 Să se calculeze săgeata în punctul C pentru grinda din figura 8.3. Se

1 cm4, E = 2,1⋅105 N/mm2. dau: Iz = 17

Se reprezintă diagrama de momente “M” din sarcina distribuită exterioară. Se introduce în C o sarcină virtuală unitară şi se trasează diagrama de momente “mC”. Diagrama “mC” fiind o linie frântă (caz particular de diagramă curbilinie), la calculul săgeţii se va înmulţi aria diagramei “mC” cu ordonata din diagrama “M”:

.09.210171101.2

105.1102105.021

45

633

mmvC −=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

semnul „-„ indică faptul că deplasarea „vC” se produce în sens invers sarcinii unitare aplicate în C.

sensului

185

Page 187: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 8.4 Cadrul din figura 8.4 este acţionat în punctul C de forţa verticală de 4 kN. Să se calculeze săgeata în punctul de aplicaţie al forţei de 4kN; se dau:

= 171 cm4, E = 2,1⋅105 N/mm2. Iz

Se reprezintă diagrama „M” din efectul forţei exterioare, apoi diagrama „mC” din efectul forţei unitare virtuale aplicată în punctul C. Cele două diagrame sunt linii frânte şi spre a putea aplica regula lui Veresceaghin (cel puţin una din diagrame să aibe variaţie liniară), se va lucra pe intervalele BC şi CD, separat:

.26.6101.210171

1075.0321500

211032

54

36

mmvA =⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

Problema 8.5 Pentru grinda din figură să se determine săgeata şi rotirea capătului liber. Se reprezintă diagrama de moment „M” (fig.8.5), din sarcina uniform istribuită şi se introduce în punctul C o sarcină verticală virtuală unitară

pentru obţinerea diagramei „mvC”. Pentru integrarea diagramelor se descompune diagrama „M” pe fiecare din intervalele AB şi BC în câte un

n negativ şi o parabolă simetrică cu semn pozitiv. Fiecare

d

triunghi cu semdintre parabole are la mijloc ordonata pl2/8, unde l reprezintă lungimea intervalului respectiv.

186

Page 188: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Aplicând regula lui Veresceaghin se obţine:

;

32

221

28322212

232

1

222

⎥⎤

⎢⎢⎡

+⎟⎞

⎜⎛−⋅+⎟

⎞⎜⎛−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎛−+⎟

⎞⎜⎛−⋅

aapaaapaaapa3222

2

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝=

aapaEIvC

.8

4

EIpavC =

Pentru rotirea din punctul C se introduce un moment concentrat unitar irtualv în punctul C şi se obţine diagrama „mϕC”. Se integrează diagrama

„M”, descompusă în elementele ei componente, cu diagrama „mϕC”:

( )

( );

121

2

183

2322

221

212

232

12

222

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢

−⋅−

−−⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

=

apa

apaapaapa

EICϕ

187

Page 189: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.6

3

EIpa

C =ϕ

Problema 8.6 Pentru cadrul din figura 8.6, încărcat cu o sarcină uniform distribuită să se calculeze deplasarea totală a punctului C, rotirea din punctul C şi rotirea din punctul B.

Se reprezintă diagrama de momente din încărcarea exterioară “M”.

ia deplasă ii totale a punctului C, pentru determinarea acesteia se vor calcula mai întâi componentele vC şi uC, după Deoarece nu se cunoaşte direcţ r

22care se obţine CCC uv +=Δ . Pentru determinarea deplasării vC se introduce în C o forţă verticală virtuală unitară, care produce diagrama de momente “mCv”. Se calculează

: v

C

( ) .249

222832

32

221 4222

EIqlllqlllqlllql

EIvC =⎥

⎤⎢⎣

⎡−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Pentru integrare s-a descompus diagrama „M” pe intervalul BC într-un triunghi cu semn negativ şi o parabolă simetrică cu semn pozitiv; arabola are la mijloc ordonata ql2/8 . p

188

Page 190: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru deplasarea orizontală uC, se introduce o sarcină virtuală unitară ză diagrama ”mCu”. Aplicând regula lui

eresceaghin şi integrând diagrama „M” descompusă în elementele ei diagrama ”mCu”, se obţine:

pe orizontală în C şi se traseaVcomponente cu

;11 42 qlqllluC −=⋅⋅−= 162222 EIEIzultă:

re

.38.01624

9 42424

EIql

EIql

EIql

C =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

Pentru calculul rotirii în punctul C se introduce în acest punct un cuplu unitar virtual şi se trasează diagrama „mCϕ”. Prin integrarea produsului dintre „M” şi „mCϕ” se obţine:

( ) ( ) .1251

2311

221 322

EIqllqllql

EIC =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ϕ

Pentru calculul rotirii în nodul B se introduce în acest punct un cuplu unitar virtual şi se determină diagrama „mBϕ”. Se integrează produsul dintre „M” şi „mBϕ”, astfel:

( ) .4

122

1 32

EIqllql

EIB =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ϕ

Problema 8.7 Pentru cadrul din figura 8.7a se cer deplasarea punctului B şi rotirea punctului C, deplasarea totală la mijlocul laturii BC. Se reprezintă diagrama de momente „M” pentru încărcarea exterioară.

ntru calculul deplasării punctului B se observă că acesta nu se poate ă (deplasarea pe verticală fiind împiedicată de

Pedeplasa decât pe orizontalreazemul articulat din A). Se introduce o forţă unitară virtuală orizontală în punctul B şi se trasează diagrama de moment „muB”.

189

Page 191: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se calculează deplasarea folosind regula lui Veresceaghin:

.81 4qa2

365.432

32322

EI

aaqaEIEI

=

=

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝⋅⋅+

=

Pentru integrare s-a descompus diagrama „M” pe intervalul BC într-semn pozitiv şi o parabolă simetrică cu acelaşi semn. Parabola

326662331

22 aaqaqaaa

dxMmu BuBB

⎟⎞

⎜⎛

+⋅⋅

+⋅⋅

⋅==Δ ∫

un triunghi cu

are la mijloc ordonata ( )86

8

22 aqql ⋅= , l fiind lungimea intervalului BC.

Pentru calculul rotirii punctului C, se introduce în acest punct un cuplu unitar virtual şi se trasează diagrama „mCϕ”:

∫ −=⎟⎠

⎜⎝

⋅⋅+⋅ .2

65.4332 EI

aqaEIEI

⎟⎜ ⋅ 15121661 2 qaaqa ⎞⎛−=

⋅=

32dxMmCC

ϕϕ

190

Page 192: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru calculul deplasării totale la mijlocul laturii BC (punctul D), se calculează cele două deplasări în acest punct, pe orizontală şi pe verticală; se remarcă din figura 8.7b că diagrama „mDu” este identică cu „mBu”, aşadar uD = uB = 81qa4/EI.

Pentru calculul deplasării pe verticală în punctual D se trasează “M” cât şi

mDv” sunt curbilinii; pentru a putea aplica regula lui Veresceaghin, se desparte calculul pe două intervale, BD şi DC (BD = DC), pentru efectuarea produsului dintre parabola de pe “M” şi triunghiul de pe “mDv”. Astfel, se obţine:

diagrama “mDv”. Se observă că pe intervalul BC atât diagrama “

;225.13

89

325.1

32

235.43

25.161 22

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⋅

⋅+⋅

⋅=

aaqaaaqaqaaaEI

vD

;31.30 4

EIqavD =

Deplasarea totală a secţiunii (punctului) D, este:

.5.86

;31.30812424

22

4

EIqa

EI

D =Δ

⎟⎠

qaEIqauv DDD ⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=Δ

191

Page 193: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 8.8 Să se calculeze deplasarea punctului B şi rotirile ϕC şi ϕA pentru cadrul din figura 8.8a.

D re

eplasarea punctului B se produce numai pe orizontală datorită zemării din acest punct.

.17.71435.1

12

1331

;67.1dxmM Cϕ 2

;173435.13

13333

1

2

2

3

EIFaFaa

IEaFa

EIEIdxmM

FaEIFaaFaa

IEaFaa

EIEIdxmMu

AA

BBB

=⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅==

=⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅===Δ

ϕϕ

Un stâlp al unui cadru de beton armat are înălţimea h = 4,6 m şi secţiunea 35x50 cm. Diagramele N, T, M sunt date în figura 8.9; se cere

1435.13 EI

FaaIEEIC =⋅⋅⋅

⋅== ∫ϕ

Problema 8.9

192

Page 194: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

determinarea energiei potenţiale de deformaţie a stâlpului. Se dau: E = ,8⋅10

1 4 N/mm2, G = 7,65⋅103 N/mm2.

Energia potenţială de deformaţie a stâlpului este suma energiilor potenţiale de deformaţie din încovoiere, forţă axială şi forţă tăietoare: ;TtotNtotMtottot UUUU ++= cu:

( )

.21

;2.1;2 ∫ ==Ttot dx

GATU ηη

;21

0

2

0

2

0

2

=

=

l

Ntot

l

l

Mtot

dxEANU

dxEI

xMU

în care η - coeficient de formă a secţiunii. Se calculează expresia momentului încovoietor M(x); fiind o funcţie liniară, se poate scrie:

( )

;,;,0

;

2

1

MMlxAMMx

BxAxM

=⇒===⇒=

+=

as tfel:

193

Page 195: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) .

;; 1212

21121 l

xMl

xlMlxMMMM

l

x +−

=−+=

MMBlBMM −=⋅+=

Energia potenţială din încovoiere va fi:

( );62

1 2221

21

0

2

21 MMMMEIldx

lxM

lxlM

EIU

l

Mtot ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= ∫

făcând înlocuirile numerice, se obţine:

( ) ;67.381

106458.3108.16106.66.63.33.34600

94

1222

NmmU Mtot =⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅−=

în care: .106458.312

49 mmIz ⋅==

Energia potenţială la solicitarea axială este:

500350 3⋅

( ) ;14.189910175108.12

4600101.534

23

NmmU Ntot =⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

cu: Energia potenţială la tăiere este:

.10175500350 23 mmA ⋅=⋅=

( ) .35.9101751065.72

46001013.22.133

23

NmmU Ttot =⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅⋅⋅=

Energia potenţială totală va fi: .16.22904 Nmmtot 1.189935.967.381U ++= = Problema 8.10 O placă dreptunghiulară este solicitată pe contur de încărcările p1 şi p2

direcţiile 1 şi 2 ale laturilor. Ştiind că placa are laturile axb şi grosimea t mult mai mică decât a şi b, se cere să se determine

potenţială specifică Us şi totală Utot. Se dau: p1 = 1440 N/mm, p2 = 8m, t = 12 mm, E = 2,1⋅105 N/mm2, μ = 0,3.

constante (fig.8.10), după

energia102 N/mm, a = 3m, b = 1,

194

Page 196: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

În absenţa încărcărilor tangenţiale direcţiile 1 şi 2 sunt direcţii

e:

principal

./5.8

12102

;/12012

1440

222

211

mmN

tp

mmNt

===

===

σ

σ

Energia potenţială de deformaţie specifică este:

p

( ) ./033.0101.22

5.81203.025.812022 11 2

5

22

2122

2 mmNE

U =s ⋅ ⋅⋅⋅⋅−+

=−+= σσμσσ

Energia totală va fi:

( ).5.2138438

2 21 ;1218003000033.02

;

22

2

0 0 0

abt

tbaUdzdydxU s

a b t

stot

⋅⋅⋅=−+=

⋅⋅⋅== ∫ ∫ ∫

σσμσσ

1

NmmUE

tot

tot

=

U

U

195

Page 197: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 9

TEORII DE REZISTENŢĂ

9.1 Relaţii între tensiuni şi deformaţii În cazul corpurilor continue, omogene şi izotrope relaţiile între

nsiuni şi deformaţii în domeniul de proporţionalitate sunt date de legea tegeneralizată a lui Hooke:

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

.;;

1

;1

;1

;

GGG

E yxzz σσμσε +−=

E

E

xzxz

yzyz

xyxy

xzyy

zyxx

τγτ

γτ

γ

σσμσ

σσμσε

===

+−=

+−=

stice E (modul de elasticitate longitudinală), G ă) şi μ (coeficientul lui Poisson), există

ţia:

ε

Între constantele ela

odul de elasticitate transversal(mrela

( ).12 μ+=

EG

Deformaţia specifică volumică este:

( ).21zyxzyxV E

σσσμεεεε ++−

=++=

196

Page 198: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

9.2 Teorii de rezistenţă Starea limită la solicitarea axială de întindere se determină experimental, caracterizându-se prin valorile σ , εc sau σr, εr. Pentru o stare de tensi ite că un anumit factor este preponderent în atingerea stării limit şi pe baza acestuia se stabileşte o tensiune de întindere ec cu tensiunea limită σk (σc sau σr), determinată experimental.

Ipoteza că un anumit factor este preponderent în atingerea stării limită i că valoarea limită a acestuia este cea corespunzătoare solicitării axiale

Teoriile de rezistenţă poartă denumirea factorului ales ca fiind

r normale maxime (Tσ);

cuni oarecare se adm

ăhivalentă σech, care se compară

şsimple la întindere, constituie o teorie de rezistenţă. preponderent. Dintre teoriile de rezistenţă cele cu aplicabilitate practică sunt:

- Teoria tensiunilo[ ].;;max 321 σσσσ =ech

- Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ); [ ].;;max 323121 σσσσσσσ −−−=ech

- Teoria energiei potenţiale de deviaţie (TED); ( ).133221

23

22

21 σσσσσσσσσ σ =ech ++−++

Teoria tensiunii normale maxime se aplică numai pentru stări de tensiune apropiate de întinderea uniformă triaxială, pentru care teoriile Tτ şi TED nu dau rezultate corespunzătoare; pentru orice alte stări de tensiune se

ă Tτ şi TED confirmate satisfăcător experimental. aplic Condiţia de rezistenţă pentru stări de tensiune efective este: .aech σσ ≤

În cazul barelor, starea de tensiuni general condi

ă se reduce la σx şi τ, iar ţia de rezistenţă în funcţie de teoria de rezistenţă adoptată este:

.3

;4

;42echσ

22

22

22

axechED

axech

axx

T

T

T

στσσ

στσσ

στσσσ

τ

≤+=⇒

≤+=⇒

≤++=⇒

197

Page 199: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

P m roble a 9.1Cilindrul de cauciuc „A” este introdus forţat în cilindrul de oţel „B”

iuc, μ = 0,45 şi

cu ajutorul forţei P (fig.9.1). Să se determine tensiunea care apare între cauciuc şi oţel; se cunosc coeficientul lui Poisson pentru caucdiametrul d al cilindrului de cauciuc. Se va neglija frecarea dintre cauciuc şi oţel.

Tensiunea de compresiune în lungul axei x din cauciuc este:

;2

Ppx −=−=σ

4d⋅π

se notează cu q tensiunea care apare între cauciuc şi oţel: .qzy −== σσ Considerând că cilindrul de oţel este perfect rigid,deformaţia specifică în lungul razei este nulă. Conform legii lui Hooke generalizată, rezultă:

[ ] ;01=−−= xzyy E

σμσμσε

sau făcând înlocuirile:

( ) .818.045.01

45.01

;0 pppqqpq =−

=−

==+−μ

μμ

198

Page 200: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 9.2 Un paralelipiped de laturi a, b, c este aşezat într-un canal rigid având lăţimea c şi înălţimea mai mare decât a (fig 9.2). Să se determine tensiunea normală şi deformaţiile specifice corespunzătoare care apar datorită unei sarcini uniform distribuite p care acţionează la partea superioară a laturii b.

Tensiunile normale pe cele trei direcţii principale vor fi: σ1 = 0; σ2 = necunoscută; σ3 = -p;

Deformaţiile specifice corespunzătoare sunt:

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ).11

;1

21322

2321

p

1

EE

pE

μσσσμσε

σμE

σσμσε

+=+−=

−−=+−=

le canal deformaţia :

Datorită introducerii fo ispecifică pe direcţia 2 este nulă

rţate a para l pipedului în

ε2 = 0; rezultă:

(

)

( )[ ] ( );1

;;0

22133

2

σμσσμσε

μσμ

−−=+−=

−=⇒=+

p

12σ

1EE

pp

înlocuind în expresiile lui ε1 şi ε3 valoarea lui σ2, rezultă:

E

199

Page 201: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )

( ) .1

;

2

2

1

pE

pEμε

ε

−−=

=

1 μμ +

Problema 9.3 Să se determine care din cele trei stări de tensiune într-un punct este cea critică (fig.9.3). Se va folosi TED (teoria energiei de deviaţie).

ergiei de Se calculează σech pe baza teoriei en deviaţie:

.133221

23

22

21 σσσσσσσσσσ −−−++=ech

Prima stare de tensiune este caracterizată astfel: σ1 = 100 N/mm2;

σ2 = 250 N/mm2;

σ3 = 750 N/mm2; prin urmare:

./49.589100750750250250100750250100 222)a ⋅−++=σ 2mmN=⋅−⋅−

A doua stare de tensiune este caracterizată astfel: σ1 = -500 N/mm2;

σ2 = 0; σ3 = 700 N/mm2;

ech

rezultă:

200

Page 202: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./03.1044700500700500 222) mmNbech

=⋅++=σ

A treia stare de tensiune: σ1 = 0;

σ2 = 200 N/mm2;

σ3 = 800 N/mm2; implică:

./11.721800200800200 222) mmNcech =⋅−+=σ

Rezultă că starea critică este starea b) unde σech are valoarea maximă. Problema 9.4 Prin folosirea teoriei tensiunilor normale maxime, a teoriei tensiunilor tangenţiale maxime şi a teoriei energiei potenţiale de deviaţie să se calculeze tensiunile normale echivalente σech pentru următoarele stări spaţiale de tensiune:

./0

./80;/100;/140)

./80;/100;/140)

./80;/100;/140)

222

23

22

21

23

22

21

23

22

21

mmNN

mmNmmNmmNc

mmNmmNmmNb

mmNmmNmmNa

−=−==

−===

===

σσσ

σσσ

σσσ

8;/100;/140) 321 mmNmmd −=−=−= σσσ

201

Page 203: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

PITOLUL 10CA

SESOLICITĂRI COMPU

area compusă este starea de tensiune şi deformaţ a barelor,

omponente ale eforturilor secţionale. cel mai general torsorul eforturilor din secţiunea transversală

Solicit iepentru care, în secţiunile transversale ale acestora apar cel puţin douăc În cazula barei are componentele N, Ty, Tz, Mx, My, Mz. Eforturile sunt considerate pozitive când au sensul din figura 10.

Cazurile de solicitări compuse sunt: - încovoiere dublă sau oblică (My, Mz); - încovoiere simplă cu forţă axială (N, My sau N, Mz); - încovoiere dublă cu forţă axială (N, My, Mz); - încovoiere cu torsiune (Mx, My sau Mx, Mz sau Mx, My, Mz).

ensiunile şi deformaţiile se vor determina prin suprapunerea efectelor roduse de solicitările simple componente.

Tp

202

Page 204: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

10.1 Încovoiere dublă sau oblică Se numeşte încovoier unei bare la care planul de acţiune al momentului înco secţiune nici una din axele principale de inerţie ale s

e oblică, încovoierea voietor nu onţine în c

ecţiunii (fig.10.1.1).

Vectorul moment M este înclinat cu unghiul α faţă de axa principală

tele sale după axele y şi z sunt: z. Componen ;cos .sinαα =⋅= MMMM yz ⋅ Acţiunea independentă a fiecărei componente My şi Mz reprezintă o

ni σ dată de formula lui nzătoare

încovoiere pură sau simplă, cu distribuţia de tensiuNavier. Suprapunând efectele se obţine tensiunea σ corespuîncovoierii oblice:

( ) ( ) ;zI

My

IM

y

y

z

zMM yz

⋅−⋅=+= σσσ

cu y şi z coordonatele punctului curent P al secţiunii transversale.

203

Page 205: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Distribuţia de tensiuni este liniară, axa neutră finală η-η fiind o ecţiunii şi este înclinată cu

nghiul β faţă de axa z: dreaptă care trece prin centrul de greutate al su

.αβII

MM

II

zytg zyz === tg

yzy

Se duc două drepte, paralele cu axa neutră, tangente la contur prin punctele S şi S/, cele mai depărtate de axa neutră, în care tensiunea σ este maximă, respectiv minimă. Dacă rezistenţele admisibile ale materialului sunt σa i la întindere şi σac la compresiune, condiţia de rezistenţă este:

.

;

///min

max

caSy

yS

z

zS

iaSy

yS

z

zS

zI

My

IM

zI

My

IM

σσσ

σσσ

≤−==

≤−==

La secţiunea dreptunghiulară sau cele care se înscriu într-un dreptunghi cu colţuri pline (profilele U şi I), condiţia de rezistenţă este:

;max ay

y

z

z

WM

WM

σσ ≤+=

dacă rezistenţa admisibilă este aceeaşi la întindere şi compresiune.

Relaţia de dimensionare va fi:

;1 dimz

z

y

y

z

a

znecz W

MM

WWM

W =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

σ

raportul Wz/Wy la secţiunea dreptunghiulară este h/b, la profilele laminate acest parametru variind între valorile 7 şi 10. 10.2 Încovoiere simplă cu forţă axială

ţiunea transversală a barei, eforturile secţionale se reduc la oietor şi o forţă axială, atunci bara este solicitată la

Dacă în secun moment încovîncovoiere simplă cu forţă axială.

204

Page 206: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se consideră secţiunea oarecare (fig.10.2.1) şi eforturile N şi Mz pozitive. Diagrama σ se obţine prin suprapunerea distribuţiilor de tensiuni date de N şi Mz:

( ) ( ) ;yI

MAN z

MN z⋅+=+= σσσ

z

ecuaţia axei neutre se obţine egalând expresia tensiunii normale σ cu zero,

astfel:

.z NI⋅− ;0 0y =⇒=σ

zMAAxa neutră este o dreaptă, paralelă cu axa vectorului moment

încovoietor, intersectând axa y în punctul de coordonată y0. rmale sunt maxime respectiv minime în punctele cele

/

Tensiunile nomai depărtate de axa neutră n-n (S şi S ). Condiţia de rezistenţă este:

[ ] ;;max / aSSech σσσσ ≤= pentru secţiuni cu axa z axă de simetrie, condiţia de rezistenţă fiind:

.maxz

ech

MNσσσ ≤+== a

zWA

205

Page 207: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

10.3 Încovoiere dublă cu forţă axială Dacă în secţiunea transversală a barei, eforturile secţionale se reduc în entrul de greutate la momentele încovoietoare după axele principale de

inerţie My, Mz şi N ca forţă axială de întindere sau compresiune, atunci bara este solicitată la încovoiere dublă cu forţă axială (fig.10.3.1).

c

Tensiunile normale se determină cu expresia:

;zI

yIA y

y

z

z ⋅−⋅+=σ MMN

e greutate al secţiunii, obţinându-se

0 .y

în cazul secţiunii din figura 10.3.2 forţa normală N, aplicată în punctul A de coordonate y0 şi z0, se reduce în centrul deforturile:

;N N=

0 ;zM N yN z= − ⋅

= ⋅ M

206

Page 208: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Axa neutră este o dreaptă, a cărei ecuaţie sub formă normală

100

=+zz

yy

, este:

;122 =+iz

iy

00−−

zyyz

tăieturile fiind:

.;0

2

0

2

zi

ayia y

zz

y −=−=

În concluzie, axa neutră este o dreaptă care nu trece prin centrul de greutate; se duc tangente la conturul secţiunii transversale, paralele cu axa neutră şi se determină distribuţia de tensiuni din care rezultă că punctele S şi S/ sunt cele mai solicitate. Condiţile de rezistenţă sunt:

.

;

/// caSy

yS

z

zS

iaSy

yS

z

zS

zI

My

IM

AN

zI

My

IM

AN

σσ

σσ

≤⋅−⋅+=

≤⋅−⋅+=

Condiţia de rezistenţă devine: [ ] ;;;max / acaiaaSSech pentru σσσσσσσ ==≤= Operaţia de dimensionare se face prin încercări. Secţiunea dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline Punctele cele mai solicitate (S şi S/), sunt două colţuri opuse; tensiunile în aceste puncte sunt:

.

;

/S

N−=σ

y

y

z

z

y

y

z

zS

WM

WM

A

WM

WM

AN

++=σ

207

Page 209: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Condiţia de rezistenţă este:

.max ay

y

z

z

WMMN

WAσσ ≤++=

Calculul practic la dimensionare se face astfel: orţei axiale, făcându-se o predimensionare la

- se măreşte secţiunea ţinând seama de efectul forţei axiale, după care, u se verifică condiţia de rezistenţă.

- se neglijează efectul fîncovoiere oblică.

obligatori

Sâmburele central

l forţei axiale se găseşte în interiorul âmburelui central, atunci axa neutră va fi în afara secţiunii. Când axa neutră

este tangentă la conturul secţiunii, punctul de aplicare al forţei axiale se va situa pe limita domeniului sâmburelui central.

burelui central se determină cu relaţiile:

Domeniul din secţiune din jurul centrului de greutate, în interiorul căruia poate fi aplicată o forţă normală excentrică, astfel ca tensiunile normale σ să fie de acelaşi semn pe întreaga secţiune, se numeşte sâmburele central al secţiunii. Dacă punctul de aplicare as

Conturul sâm

.;0ya

y −= 2

0

2

z

yz

ai

zi−=

Locul geometric al punctului de aplicaţie al forţei axiale de y0 şi z0, când axa neutră se deplasează pe conturul secţiunii,

secţiunea va închide omeniul sâmburelui central.

ctivă

coordonaterămânând mereu tangentă la aceasta, fără să taie d Zona a

ală excentrică va cădea în afara sâmburelui central. Deoarece tensiunile de întindere trebuie să fie nule, echilibrul trebuie realizat prin intermediul tensiunilor de compresiune. Partea din

compresiune echivalente cu e se numeşte zonă activă (fig.10.3.3).

La elementele din materiale care nu pot prelua eforturi de întindere pot exista situaţii când forţa norm

secţiunea transversală pe care apar tensiuni detorsorul forţelor exterioar

208

Page 210: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru secţiunea de formă dreptunghiulară:

.32

max bcN

c =σ

10.4 Încovoiere cu torsiune

sversală a unei bare solicitată la încovoiere cu

torsiune apar eforturile M , M , M (fig.10.4.1). În secţiunea tran

x y z

În punctele cele mai solicitate pe contur apar concomitent tensiuni σx şi τ. Aprecierea rezistenţei barei se va face pe baza teoriilor de rezistenţă

τ), teoria tensiunilor tangenţiale maxime şi (TED), teoria energiei potenţiale e deviaţie. Astfel, condiţia de rezistenţă este:

(Td

209

Page 211: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;aTech k σσσ ≤⋅= în care:

;412

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+==στ

τkkT când se aplică Tτ;

;312

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+==στ

EDT kk când se aplică TED.

Bara de secţiune circulară. Arbori

La barele cu secţiune circulară (fig.10.4.2), în punctele S şi S/ tensiunea normală σ atinge valoarea maximă simultan cu tensiunea tangenţială τ; se cunosc:

., maxmaxp

t

i

i

WM

WM

== τσ

Condiţia de rezistenţă este:

;aT i

ştiind că raportul modulelor de rezistenţă la încovoiere şi torsiune

este:

iech k

WM σσ ≤⋅=

5.0=p

i

WW

, rezultă parametrul kT în forma:

210

Page 212: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;12

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

i

tT M

Mkk

cu k0 = 1 pentru Tτ, k0 = 0,75 pentru TED Condi ensionare va fi:

. ţia de dim

a

Tineci

kMW ⋅ .dimiW==

σ

Secţiunea dreptunghiulară

Din studiul diagramelor σ şi τ produse de fiecare efort considerat, rezultă că trebuie verificată condiţia de rezistenţă în punctele în care una din componentele tensiunilor

ceput care dintre punct este maximă (1, 2, sau 3). Nu se poate şti de la

e este cel mai solicitat şi de aceea se aplică condiţia ţă pentru fiecare dintre cele trei puncte; se determină un număr de

şi apoi cele mai mari se aleg drept valori efective.

Grinda din figura 10.1a este alcătuită dintr-un profil cornier L lanele determinate de axa barei şi

le secţiunii transversale. Forţele acţionează în

ei F. Se d a

înde rezistentrei seturi de valori (b, h)

Problema 10.1 120x120x12 şi are rezemări identice în paxele principale de inerţie alungul liniei mediane a aripii verticale. Se cere valoarea maximă admisibilă a forţ ă: σ = 150 N/mm2, a = 1m.

211

Page 213: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Sarcina exterioară F trece prin centrul de încovoiere torsiune (fig.10.1b); vectorul Mi are direcţia axei z1, care face cu axele principale z, y unghiuri de 450, deoarece cornierul este cu aripi egale. Bara este supusă la încovoiere oblică; momentele de încovoiere pe axele z şi y sunt:

.22;

22

iziy MMMM =−=

212

Page 214: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Înclinarea axei neutre este:

( ) .3075;868.31151584 /0−=⇒−=−⋅=⋅= ββ

z

y

y

z

MM

IItg

Se reprezintă distribuţia de tensiuni care pune în evidenţă punctele cele mai solicitate, astfel, în secţiunea B care este cea mai solicitată:

;3635

;/15084.3610151

1006.184.84105841006.1

/

24

3

4

3/

NF

mmNFzI

My

IM

Sy

yS

z

zS

=

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅−

−⋅⋅⋅

=⋅−⋅=σ

în care:

.85.364822120

;84.8422120

;1006.122105.1

;1006.122105.1

3/3/

3/3/

mmz

mmy

FFM

FFM

S

S

y

z

=−=

==

⋅−=⋅−=

⋅=⋅=

[ ] .3635;min;4459

;0

;/15048101511006.1

///max

//

24

3//

/

//

NFFFNF

y

mmNFzI

M

S

Sy

yS

==

=

=

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅

−=⋅−=σ

Problema 10.2 Fermele unui acoperiş au tălpile superioare înclinate cu 300 faţă de orizontală şi suportă în nodurile lor pane din profile I (fig.10.2b). Acestea constituie grinzi simplu rezemate încărcate cu o sarcină uniform distribuită q

15 kN/m, care trece prin centrul profilului (fig. 10.2a). Cunosc=ş

ând l = 3m i σa = 150 N/mm2, să se dimensioneze panele, rezemările acestora în

onsiderate identice. planele xy şi xz fiind c

213

Page 215: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se determină diagrama “Mi” în planul forţelor. Secţiunea cea mai solicitată este la mijlocul deschiderii grinzii, în care momentele după axele principale au valorile:

.43.830sin8

sin

;61.1430cos8

cos

02

02

kNmqlMM

kNmqlMM

iy

iz

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

α

α

Solicitarea este de încovoiere oblică; condiţia de dimensionare va fi:

;1 zzya

z WMW

W =⎟⎠

⎜⎝+=

σ

Pentru determinarea raportului Wz/Wy se face o predimensionare considerând doar solicitarea de încovoiere după axa z:

dimyzznec MWM ⎟⎞

⎜⎛

( )

.104.97150

1061.14

;06M

W

M

z

y

⋅==

=

33 mma

z ⋅=σ

214

Page 216: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se alege din tabele profilul I16 cu Wz = 117 cm3 şi Wy = 14,8 cm3; raportul Wz /Wy = 117/14,8 = 7,9 se introduce în condiţia de dimensionare la încovoiere oblică:

( ) ;1037.541577.09.71150

1061.14 336

mmW necz ⋅=⋅+

⋅=

3 Se alege din tabele profilul I30 cu Wz = 653 cm şi Wy = 72,2 cm3; se verifică în mod obligatoriu condiţia de rezistenţă:

;/32.139102.721043.8

106531061.14 2

3

6

3

6

max ay

y

z

z mmNWM

WM

σσ <=⋅⋅

+⋅⋅

=+=

deci secţiunea este un profil I30. Înclinarea axei neutre este:

.232685;53.12577.0451

9800 ///0=⇒=⋅== ββz

y

y

z

MM

IItg

Problema 10.3 Grinda AD este alcătuită dintr-un profil I (fig.10.3a). Se cere dimensionarea grinzii (σa = 150 N/mm2).

Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane: planul xy cu

t Mz şi planul xz cu diagrama de moment My (fig.10.3b). diagrama de momen

215

Page 217: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Secţiunea cea mai solicita o

tă este B; solicitarea este de încovoiere blică, se scrie condiţia de dimensionare:

;1 dimz

z

y

y

z

a

znecz W

MM

WWM

W =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

σ

Pentru determinarea raportului Wz /Wy se face o predimensionare la încovoiere simplă după axa z (My = 0):

.109.20150

1035.31 346

mmM

Wa

znecz ⋅=

⋅==

σ 3

Din tabele rezultă profilul I20 cu Wz = 214 cm şi Wy = 26 cm3; raportul Wz /Wy = 214/26 = 8,23 se introduce în condiţia de dimensionare la încovoiere dublă, astfel:

;103.29135.315.123.81

1501035.31 33

6

mmW necz ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅=

3se alege din tabele profilul I24 cu Wz = 354 cm şi Wy = 41,7 cm3. Se verifică în mod obligatoriu condiţia de rezistenţă la încovoiere dublă:

;/124107.4110354 33max a

yz

mmNWW

σσ <=⋅

+⋅

=+=

ezultă că secţiunea este un profil I24.

105.11035.31 266

yz MM ⋅⋅

r

216

Page 218: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 10.4 Să se determine eforturile secţionale N şi M care acţionează asupra secţiunii I, producând distribuţia de tensiuni σ reprezentată în figura 10.4.

e solicitată la încovoiere simplă cu forţă axială (axa neutră este paralelă cu axa care trece prin centrul de greutate). Tensiunile în Secţiunea est

fibrele extreme sunt:

./50,

;/130,

2

2

// mmNcu

WA z

Rezultă:

MN

mmNcuWA

Sz

S

Sz

S

=+−=

−=−−=

σσ

σσ

MN z

( )

.101.3531039221010720

;9.39228.31

64.124748

;1802.1608.

;107240101802

632

3

3

2

42

NmmN

cmW

cm

N

z

⋅=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎛⋅⋅⎞⎛

==

=⋅+

⋅=⋅⋅==

80 AN

1302A ⋅⋅=

;64.1247486012

2.1606.631230 4333 cmIz =⋅+−=

18050;50 MW

AM zzz ⎜⎜

⎝+=⋅⎟

⎠⎜⎝

+=

217

Page 219: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 10.5 n figura 10.5 are secţiunea alcătuită din două profile I sudate

ea mai solicitată.

Cadrul diunul lângă altul. Se cunosc q = 20 kN/m, a = 1m, σa = 150 N/mm2. Se cer:

a) dimensionarea cadrului; b) distribuţia de tensiuni σ în secţiunea c

a) Se determină diagramele de efort (fig.10.5b):

Secţiunea cea mai solicitată este D, unde momentul încovoietor este maxim, Mmax = 12,5qa2. Se cţiunea D este solicitată la încovoiere simplă cu forţă axială. Condiţia de rezistenţă este:

218

Page 220: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;max az

z

WAσσ ≤+=

MN

Se neglijează efectul forţei axiale, făcându-se o dimensionare numai din efectul momentului încovoietor:

;101667150

10250 336

mmM

Wa

znecz ⋅=

⋅==

σ

secţiunea fiind alcătuită din două profile, modulul de rezistenţă al unui singur profil va fi:

,8332

1667 31 cmW nec

z ==2

din tabele rezultă profilul

I36 cu Wz = 1090 cm3 şi A = 97,1 cm . Se verifică condiţia de rezistenţă corespunzătoare solicitării de încovoiere simplă cu forţă axială:

;/38.104

101090210250

101.97210200

;/97.1241010902

10250101.972

10200

23

6

2

3

min

23

6

2

3

max

mmN

mmN a

−=⋅⋅

⋅−

⋅⋅⋅

=

<=⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

=

σ

σσ

aşadar, secţiunea aleasă este corespunzătoare. b)

Distribuţiile de tensiuni din forţa axială N şi a momentului încovoietor Mz sunt reprezentate în figura 10.5c. Suprapunând efectele se obţine

219

Page 221: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

distribuţia de tensiuni finală “σ”; axa neutră n-n este paralelă cu axa vectorului moment, poziţionată fiind la distanţa y0:

.5.161025010200

10971019610

;;0 0 MN

AIyy

IM

AN z

z

z

6

3

2

4

0 mmy

z

−=

⋅⋅

⋅⋅⋅

−=

duse de zidul de sprijin din figura 2,5m, b = 1m, H = 6m

−=⇒=⋅+=σ

Problema 10.6 Să se verifice presiunile pe teren pro10.6. Se dau: a = 1,5m, h = , γbeton = 2200 daN/m3, R = 10 tf/m, σa = 2,5 daN/cm2.

Se consideră lungimea zidului ca fiind foarte mare; se va considera o problemă plană şi se va face calculul pe un tronson de lungime egală cu unitatea (l m liniar). Secţiunea de contact între zid şi teren lucrează la compresiune excentrică, datorită greutăţii proprii a zidăriei şi a rezultantei R datorată

ii de împingere a vântului. Excentricitatea punctului de aplicaţie a greutăţii proprii în raport cu

centrul de greutate al secţiunii transversale a fundaţiei este:

acţiun

220

Page 222: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( )

( ) ( )

.229.0021.125.2

;5.25.13

5.25.25.15.13

2

22

mf

hahha

=−=

++⋅+

=+

=⋅

+⎦⎣=

Momentul încovoietor este:

31

22

;2

22 ahahaahahHaHa

dhf

++⎥⎤

⎢⎡ +−

−⋅+⋅⋅

−=

d

;021.1 md =

./2640062

5.25.122002

;/139543610000229.026400

3

HhaG

mdaNmHRfGM

=⋅+

⋅=

=⋅−⋅=⋅−⋅=

γ

mdaN=⋅+

Excentricitatea punctului de aplicare a forţei axiale N = G, este:

;529.02640013954 m

NMe ===

mh 417.06/5.26/ ==dar limita sâmburelui central este , aşadar e > h/6. Rezultă că forţa normală cade în afara sâmburelui central, deci vor apare şi tensiuni de întindere; deoarece terenul nu poate prelua astfel de tensiuni (întindere), se verifică: ;max aσσ ≤ cu σmax dat de relaţia corespunzătoare determinată pentru zona activă:

.721.0529.0

25.2

2

;/44.21.721003

26400232 2

max

mehc

cmdaNbcN

a

=−=−=

<−=⋅⋅

⋅−== σσ

Problema 10.7 Să se determine sâmburele central pentru secţiunea din figura 10.7 şi să se compare cu cel al secţiunii pătrate 3a x 3a.

221

Page 223: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Ecuaţia axei neutre este: ;1

0

2

0

2 =−

+−

ziz

yiy

yz

,; 22

AI

iAIi y

yz

z == în care:

( )

( )

.7

;1279

122

123

;1255

121232

2

444

443

aA

aaaI

aaaaI

y

z

=

=−=

=+⋅

=

Particularizând poziţiile “1” şi “2”: “1” - y = -3a/2, rezultă z0 = 0; y0 = 55a/126 = 0,4365a;

0 = 0; z0 = 79a/126 = 0,627a. este un romb.

le central este un pătr

ră de lăţime b = 40cm este solicitată de o lijând

nsiunile de întindere, tensiunea maximă de compresiune este σmax = 60 daN/cm2. Se cere: a) să se determine înălţimea zonei active; b) să se

“2” - z = -3a/3, rezultă y Sâmburele central

În cazul pătratului, sâmbure at cu diagonalele egale cu “a”.

Problema 10.8 O secţiune dreptunghiulaforţă axială N = 540 kN şi de un moment M = 135 kNm. Negte

222

Page 224: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

determine înălţimea h a întregii secţiuni; c) care ar fi distribuţia de tensiuni în cazul în care secţiunea ar putea prelua şi tensiuni de întindere (fig.10.8).

a) Din condiţia de maxim a tensiunii pentru zona activă rezultă c care defineşte punctul de aplicaţie a forţei normale N:

;1560403

5400023

2;32

maxmax cm

bNc

bcN

=⋅⋅

⋅===

σσ

înălţimea zonei active este: 3c = 45 cm. b) Excentricitatea de aplicare a forţei normale este:

;25.0540135 m

NMe ===

înălţimea secţiunii este: ( ) ( ) .80251522 cmech =+=+=

c)

./766.14

;/516.48 cmdaN−=σ

;32008040;80

25613200

5400061,

2

2max

2minmax

cmdaN

cmAhe

AN

=

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

±−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±−=

σ

σσ

min

223

Page 225: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 10.9 Să se determine forţa capabilă F care poate solicita secţiunea din figura

10.9. Forţele sunt paralele cu axa grinzii; se dă σa = 160 N/mm2.

Pentru a determina solicitarea la care este supusă secţiunea se determină mai întâi centrul de greutate:

( ) ( ) ;6.2

14250980012300400714250400612300

2 mmy G −=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅−

=

În raport cu centrul de greutate al secţiunii eforturile care apar

e dublă cu forţă axială; condiţia de

sunt:

;5.45.12 FFFFN =++=

) ( ) .8.1896.240075.16.26.260

;5.4871255.11502

NmmFFF

NmmFFFM y

=++−⋅−−+

=⋅+⋅= (402FM z =

Solicitarea este deci de încovoierrezistenţă este:

.max az

z

y

y

WM

WM

AN

σ σ ≤++=

224

Page 226: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt:

( ) ( )

( )

;1077.4527128009

1225014

1230012

;1052.1557186.240071425012

14250

6.240061230012

123006.28009128009

;1430014250980012300

44333

4423

23

23

2

mmI

mm

I

mmA

y

z

⋅=⋅

+⋅

+⋅

=

⋅=++⋅⋅+⋅

+

+−+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅

=

=⋅+⋅+⋅=

;108.301150

1077.4527

;1084.37376.416

4

33

max

mmy

W zz ⋅===

1052.155718

33

max

4

mmzI

W yy ⋅=

⋅==

prin înlocuirea tuturor datelor în condiţia de rezistenţă, se obţine:

I

.1085.80

;/1501084.3737

8.189108.301

5.48714300

5.4

3

243max

NF

mmNFFF

⋅=

≤⋅

+⋅

+=σ

Problema 10.10 Consola AB are secţiunea în formă de I şi este solicitată de un sistem de forţe, fiecare acţionând în axa barei corespunzătoare, ce participă la alcătuirea profilului I (fig.10.10a). Să se determine Fcap suportată de sistem; se dă σa = 150 N/mm2.

225

Page 227: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se determină diagramele N, My, Mz (fig.10.10b):

Secţiunea cea mai solicitată este în încastrare, această secţiune fiind supusă la încovoiere dublă cu forţă axială; condiţia de rezistenţă este:

.ay

y

z

z

WM

WM

AN

σσ ≤++=

Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt:

;7800 2mmA =

.106416.960

105.578

170

344

max

max

mmzI

W

y

yy

z

⋅=⋅

==

;106117.851014554

;105.57812120202

1230010

;10145542012016012

1202021230010

344

4433

44233

mm

mmI

mmI

z

y

z

⋅=⋅

=

⋅=⋅

⋅+⋅

=

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅+

⋅=

Introducând toate datele în condiţia de rezistenţă se determină valoarea lui Fcap:

IW =

226

Page 228: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;/15096416180

8561172160

78003 2

max mmNFFF≤++=σ

aşadar: Problema 10.11 Consola din figura 10.11a este alcătuită din două profile I26. Se cere să se verifice structura, ştiind că σa = 150 N/mm2; să se traseze distribuţia de tensiuni σ în secţiunea cea mai solicitată; să se calculeze deplasarea unctului B. Se dau a = 0,6 m, q = 12 kN/m.

.1042.31 3 NFcap ⋅=

p

Se trasează diagramele de efort pentru consolă, descompunând sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz (fig.10.11b).

227

Page 229: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Secţiunea periculoasă este C unde solicitarea este de încovoiere dublă cu forţă axială; condiţia de rezistenţă este:

;max ay

y

z

z

WM

WM

AN

σσ ≤++=

în care:

;24.53

;464.226.0122.52.5

;344.616.0122.142.14;24.436.01266

2

22

22

cmA

kNmqaM

kNmqaMkNqaN

y

z

⋅=

=⋅⋅==

−=⋅⋅−=−=

=⋅⋅==

( )

./125.1371068.35210464.22

1088410344.61

1024.53102.43

;68.3523.11

4.5365.52882

;8844422

23

6

3

6

3z cmW =⋅=

2maxσ +⋅⋅⋅

=3

32

max

a

yy

mmN

cmzI

W

σ<=⋅⋅

+⋅⋅

=⋅+

==

Pentru trasarea distribuţiei de tensiuni (fig.10.11c), se trasează axa neutră; tăieturile acesteia vor fi:

( )

.71.010464.22

2.434.532

39.3985

;76.010344.61

20

2

cmAI

MNz

cm

y

y

zz

=⋅

⋅⋅

=⋅=

=⋅

2.434.10 220 M

NiAI

MNy z

z

−−=⋅−=⋅−=

228

Page 230: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./04.129 2mmNMMN yz −=−−=σmin WWA yz

Deplasarea punctului B se determină folosind regula lui Veresceaghin: se introduce pe direcţia deplasării căutate o sarcină unitară virtuală; pentru deplasarea pe direcţia y, sarcina va acţiona pe direcţia y şi pentru deplasarea pe direcţia z, sarcina virtuală va acţiona pe direcţia z corespunzătoare. Se trasează diagramele mB

z şi mBy (fig.10.11d):

Se calculează şi :

yBΔ z

∫⋅

⋅=Δ

;

;

dxEI

Mm

dxEI

Mm

y

yyBz

B

z

zzBy

B

iar deplasarea totală se obţine prin compunerea celor doi termeni:

( ) ( ) .22 zB

yBB Δ+Δ=Δ

Diagrama Mz se descompune, în vederea aplicării relaţiei Maxwell – Mohr prin regula de înmulţire Veresceaghin, în figuri componente lementare, conform figurii 10.11e:

e

229

Page 231: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;93.30432

244242.11 42

2

yy

zB EI

qaaaqaaaqaEI

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−⋅⋅−=Δ

;

;42.1432

2148.14

31

21224

321

4

222

z

z

yB aqaaqaaaqaa

EI⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅−⋅⋅−=Δ

27.60yB EI

qa=Δ

( ) ( );

1039.3985

93.30

1057402

27.60101.2

106.012

93.3027.60 224

+=Δqa

24

2

24

2

5

124

22

⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅

=

=yz

B IIE

.93.6 mmB =Δ Problema 10.12 Folosind teoria a III-a de rezistenţă, să se determine, pentru mecanismul de ridicare din figura 10.12, diametrul arborelui cu se iune irculară şi sarcina P1 care poate fi ridicată. Se cunosc: P2 = 1200 N, σa 0

ra an ment ideal).

cţ = 6c

N/mm2 (se va conside un r da

230

Page 232: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Datorită randamentului ideal, MtC = MtD, adică:

.36.0360000900400

;400900

3001200;

11

1

221

2211

kNmNmmRPMM

NR

RPP

RPRP

tDtC ==⋅=⋅==

=⋅

=⋅

=

⋅=⋅

Pentru trasarea diagramei de moment încovoietor se calculează reacţiunile VA şi VB:

;5.1028

28006002200

;4.5712800

6002200

12

21

NPPV

NPPV

B

A

=⋅+⋅

=

=⋅+⋅

=

se trasează diagramele Mi şi Mt, secţiunea cea mai solicitată este D. Se calculează momentul echivalent în D folosindu-se teoria a III-a de rezistenţă:

;714.036.0617.0 2222 kNmMMM tiechD =+=+=

ondiţia de dimensionare este: c

231

Page 233: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.32

3dim dWMW i

a

echDneci

⋅===π

σ

Astfel, diametrul arborelui rezultă:

.505.4960

10714.032323

6

3 mmMda

echD ≅=⋅

⋅⋅=

⋅=

πσπ

Problema 10.13

Sistemul de bare plan cu secţiunea circulară din figura 10.13a este de 800 daN pe direcţia y şi de forţa H pe direcţia z. Să se

acţionat de forţa dimensioneze barele sistemului conform teoriei a III-a de rezistenţă, cunoscându-se: σa = 80 N/mm2 ( se consideră randamentul ideal).

Datorită randamentului ideal, MtB = MtD sau: .1200;2.03.0800 daNHH =⋅=⋅ Se trasează diagramele de momente încovoietoare Mz, My şi diagrama de moment de torsiune Mt (fig.10.13b); secţiunea periculoasă este D, solicitarea fiind de încovoiere dublă cu torsiune iar momentul încovoietor echivalent va avea expresia:

;31.38024028864 222 daNmMech =++= Din condiţia de dimensionare rezultă diametrul barelor:

.8052.78

8031.3801032

;32

4

3dM πdim

mmd

WW ia

echneci

≅=⋅⋅⋅

=

===

π

σ

232

Page 234: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 10.14 Să se dimensioneze arborele cu secţiune circulară, având montate roţile „1” şi „2”, solicitate ca în figura 10.14. Se cunosc r1 = 90 mm, r2 = 160

FT ⋅ tg 200, FA = 0,2 ⋅ FT, σa = 80 /mm2. Se va utiliza teoria a III-a de rezistenţă.

tul de torsiune în funcţie de putere şi turaţie se calculează cu

relaţia:

mm, P = 5,5 kN, n = 320 rot/min, FR = N

Momen

;164.0164.0320

55.955.9 kNmn

Mt ==⋅==

în plus, momentul de torsiune în funcţie de FT este: ;rFM

5.5P

Tt ⋅= astfel, rezultă:

;025.116.0

164.0;82.109.0

164.0

22

11 kN

rMFkN

rMF T

Tt

T ======

233

Page 235: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se traesază diagramele de moment încovoietor Mz şi My precum şi diagrama de moment de torsiune Mt; secţiunea periculoasă este A:

.36.02.0;37.020

;66.020

11

022

011

kNFFkNtgFF

kNtgFF

TA

TR

TR

=⋅==⋅=

=⋅=

.228.0164.0153.0054.0

;277.0164.0218.0047.0222

222222

kNmM

kNmMMMM

echB

tAzAyAechA

=++=

=++=++=

234

Page 236: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

În secţiunea A se face dimensionarea la solicitarea de încovoiere dublă cu torsiune, în care:

.35

;320538.0

0268.0180

1023.0

;32

1

;23.0

36

3dim

2

2

22

mmd

d

dWMMMW

kNmMMM

ef

ii

t

a

ineci

zAyAiA

=

⋅=+

⋅==+=

=+=

π

πσ

Verificarea condiţiei de rezistenţă:

./8.65

3235

10277.0 23

6

ai

echech mmN

WM σ

πσ <=

⋅==

Problema 10.15 Arborele de secţiune circulară din figura 10.15 transmite o putere de P = 6 kW la turaţia de n = 200 rot/min. Roata „1” este o roată de curea iar roata „2” este o roată dinţată care antrenează o altă roată „2/ ”. Masele celor două roţi sunt m1 = 250 kg; m2 = 180 kg. Se cere dimensionarea arborelui

losind teoria energiei potenţiale de deviaţie maximă T . Se cunosc: σ =

Momentul de torsiune în funcţie de putere şi turaţie este:

fo ED a60 N/mm2, R1 = 200 mm, R2 = 150 mm.

;865.2200

55.955.9n

Mt =⋅== 60 kNmP

r în funcţie de eforturile ce iau naştere în cele două roţi:

ia

.1.1915.0865.2,

;162.72.02

865.22

,2

2

22222

1

11111

kNR

MTcuRTM

kNR

MTcuRTM

tt

tt

====

=⋅

===

235

Page 237: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Greutăţile celor două roţi sunt:

.765.18.176581.91802 kNNG ==⋅=

;45.2245081.9250;;

1

2211

kNNGgmGgmG==⋅=

⋅=⋅=

Forţele în dreptul roţilor „1” şi „2” după axele y şi z vor fi:

.1.19;765.1

;34.1430sin4;25.2730cos4

2222

0111

011

kNTFkNGF

kNTFkNGTF

zy

zy

−=−===

===+=

236

Page 238: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Secţiunea periculoasă este cea în care Mech are valoare maximă:

.63.4865.275.081.272.2

;51.6865.275.081.528.1222

022

22

222

2220

21

21

211

kNmkMMMM

kNmkMMMM

tzyech

tzyech

=⋅++=⋅++=

=⋅++=⋅++=

Secţiunea cea mai solicitată este „1”. Condiţia de dimensionare la

oiere dublă cu torsiune: solicitarea de încov

.104

;3202.6

865.275.0160

1002.6

;02.688.528.1

;32

75.01

326

221

3dim

2

mmd

d

kNmM

dWMia ⎠⎝σMMW

i

itinec

i

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+=

==⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+=

π

π

condiţiei de rezistenţă:

Verificarea

./94.58

32104

1051.6 23

6

ai

echech mmN

WM σ

πσ <=

⋅⋅

==

Problema 10.16 Sistemul de bare cu secţiune dreptunghiulară (h/b = 1,5), din figura

ului. Se cere imensionarea barelor după teoria de rezistenţă a tensiunilor tangenţiale

2; a = 1 m; F = 8 kN).

10.16a este acţionat de forţele F şi 2F normale pe planul sistemdmaxime ( σa = 150 N/mm

237

Page 239: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Adoptând pentru fiecare bară un sistem de axe de coordonate (cu axa x în lungul barei şi axa y pe verticală), se determină diagramele de efort Mz şi Mx (fig.10.16b).

Secţiunea periculoasă este “A” unde solicitarea este de încovoiere simplă cu torsiune. Din diagramele de tensiuni σ şi τ (fig.10.16c), produse de momentul încovoietor Mz şi momentul de torsiune Mx se observă că există două puncte periculoase “1” şi “2”. Se va face dimensionarea în “2” şi se va verifica punctul “1”.

În punctul “2” at

bhM σ

αττσ 5.0;0 2max ≤=== , iar aa στ 5.0=

conform teoriei TIII; pentru h/b = 1,5 implicit α = 0,231, rezultă:

238

Page 240: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.1745.1

;1164.115755.1231.0

101085 33Mt ⋅⋅⋅

5.133

mmbh

mmba

==

≅=⋅⋅

=⋅⋅

=τα

Se verifică punctul „1”:

;/51.63116174269.0

1085

;/67.541741161084 2

2

6

mmNWM

z

z =⋅⋅⋅

==σ

62

2

6

21

max1 mmNbh

Mt =⋅⋅

⋅⋅===

αττ

cu α1 = 0,269 pentru h/b = 1,5. ţă TIII:

Conform teoriei de rezisten

;/150

;/267.13851.63467.5442

22222

mmN

mmN

aech

ech

=<

=⋅+=+=

σσ

τσσ

aşadar dimensiunile secţiunii sunt b = 116 mm şi h = 174 mm.

239

Page 241: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 11

SISTEME STATIC NEDETERMINATE

Un sistem este static nedeterminat când numărul forţelor de legătură este mai mare decât numărul ecuaţiilor de echilibru static care pot fi scrise. Gradul de nedeterminare statică reprezintă diferenţa dintre numărul necunoscutelor şi numărul ecuaţiilor de echilibru static. 11.1 Metoda eforturilor Metoda eforturilor are ca necunoscute reacţiuni sau eforturi care nu pot fi determinate din ecuaţii de echilibru. Etape de calcul

1) se determină gradul de nedeterminare statică cu relaţia: ;3CLn −= pentru sisteme plane, în care L reprezintă numărul de legături simple suprimate pentru obţinerea a C corpuri libere deschise.

Tot pentru sistemele plane, gradul de nedeterminare statică se poate stabili şi prin relaţia:

;3 ∑−= skn unde k reprezintă numărul contururilor închise, iar Σs suma tuturor condiţiilor static cunoscute. 2) unei structuri reale (fig.11.1.1a), i se suprimă un număr de legături, egal cu gradul de nedeteminare statică, care se înlocuiesc cu forţele sau cuplurile corespunzătoare X1, X2, ..., Xn. Sistemul obţinut, static determinat, este denumit forma de bază a sistemului real (fig.11.1.1b).

240

Page 242: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

3) scrierea sistemului de ecuaţii de continuitate:

sarea pe direcţia lui Xn produsă pe forma de bază de Xj = 1, iar Δj0 deplasarea produsă pe direcţia lui Xj de către sarcinile exterioare. Pentru calculul acestor deplasări punctuale prin aplicarea formulei

iile:

⎪⎪⎪

=Δ++++++=Δ

=Δ++++++=Δ

=Δ++++++=

;0

;0

;0

02211

02211

10111221111

nnnnnjjnnn

jjnnjjjjjj

nnjj

XXXX

XXXX

XXXX

δδδδ

δδδδ

δδδδ

……

……

……

⎧Δ

⎪⎪

cu δnj depla

Maxwell – Mohr se obţin expres

=

;

;

00 EIdxMm

EIdxmm

jj

jnnjδ

care pot fi integrate direct sau cu regula lui Veresceaghin. 4) încărcarea formei de bază, pe rând, cu fiecare din cele n necunoscute, e valoare unitară:

d

( )( )

( );01

;01;01

121

312

321

=====

==========

−nn

n

n

XXXX

XXXXXXXX

……

precum şi cu forţele iniţiale F, urmate apoi de trasarea diagramelor de forturi corespunzătoare. 5) determinarea deplasărilor δnj şi Δj0. 6) rezolvarea sistemului de ecuaţii de continuitate. 7) trasarea diagramelor de eforturi pe sistemul real prin suprapunerea fectelor sau prin rezolvarea formei de bază încărcată simultan cu forţele F i X1, X2,..., Xn.

Astfel, pentru diagrama de moment încovoietor finală M, rezultă xpresia:

e eş e

.1

0 ∑=

+=n

iii XmMM

241

Page 243: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Calculul deplasărilor punctuale pe sisteme static nedeterminate se face tilizănd formula Maxwell – Mohr:

u

;0∫=ΔdxEI

Mm

cu Δi – deplasarea pe sistemul real, M – diagrama de momente pe sistemul real, mi

0 – diagrama de momente produsă de forţa unitară, virtuală aplicată

a

11.2 Grinzi continue

ii

în punctul i, după direcţia deplasării căutate, pe forma de bază utilizată la rezolvarea sistemului static nedeterminat sau orice formă de bază sistemului real.

O bară dreaptă, fără discontinuităţi, fixată printr-o articulaţie plană şi

lculează cu relaţia:

mai multe reazeme simple constituie o grindă continuă. Gradul de nedeterminare statică se ca

;3CLn −= cu L numărul de legături exterioare şi C numărul de corpuri. Se consideră grinda continuă de n ori static nedeterminată

lta. Prin introducerea

tr-o succesiune de grinzi simplu rezemate încărcate cu entele necunos ute introduse în articulaţii şi i pe reazeme ( g.11.2.1b).

(fig.11.2.1a). Aceasta se consideră a avea momente de inerţie constante pe fiecare deschidere, dar diferite de la o deschidere la ade articulaţii pe reazemele intermediare se obţine sistemul de bază static determinat, format dinsarcinile exterioare şi cu mom ccare asigură continuitatea grinzi fi

242

Page 244: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Din condiţia ca ϕist = ϕi

dr pentru fiecare din reazemele „i” pe care omentul încovoietor este static nedeterminat rezultă un sistem de ecuaţii de

forma:

m

( ) ;02 1,1/

1,1/

1/

1/

1/

1/ =+++++ ++−+++− iiiiiiiiiiii mlmlMlMllMl

având denumirea de ecuaţiile celor trei momente sau ecuaţiile lui Clapeyron. ungimile li

/ şi li+1/ sunt lungimile reduse ale deschiderilor respective:

L

;;1+ii II

unde I0 este un moment de inerţie ales arbitrar.

01

/1

0/++ == iiii

IllIll

Mărimile mi-1,i şi mi+1,i se numesc termeni de încărcare sau caracteristici de încărcare şi se determină cu relaţiile:

;6

;6

,121

,1

,12,1

iii

ii

iii

ii

Sl

m

Sl

m

++

+

−−

=

=

cu Si-1,i momentul static al diagramei de moment Mi-1,i0 in raport cu punctul

„i-1” şi Si+1,i momentul static al diagramei Mi+1,i0 în raport cu punctul i+1

(fig.11.2.2a şi b).

Se consideră separat deschiderile li şi li+1 ca grinzi simplu rezemate acţionate de sarcinile exterioare respective şi se trasează diagramele de moment Mi-1,i

0 şi Mi+1,i0.

243

Page 245: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Caracteristica de încărcare pentru o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea (fig.11.2.3), este:

.4

2

2112lqmm ==

Caracteristica de încărcare pentru o forţă concentrată aplicată la

ijlocm ul deschiderii (fig.11.2.4), este:

.83

2112 lPmm ==

Din rezolvarea sistemului de ecuaţii Clapeyron se determină momentele necunoscute (pe reazemele intermediare). Diagrama M se compune din diagrama dată de momentele pe reazeme şi diagrama M0 dată de sarcinile exterioare când fiecare deschidere este o grindă simplu rezemată. Deplasările punctuale se calculează folosind formula Maxwell – Mohr pentru sisteme static nedeterminate:

;0

EIdxMm ii ∫=Δ

în care mi0 reprezintă diagrama de momente produsă pe un sistem static

erminat (forma de bază a sistemului real) de către o forţă unitară, virtuală det

244

Page 246: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

aplicată în punctul „i” pe direcţia deplasării reale Δi, iar M este diagrama de moment produsă de încărcările reale pe grinda continuă. Problema 11.1 Pentru cadrul din figura 11.1a să se determine: a) diagramele de eforturi; b) deplasarea orizontală a nodului E, rotirea nodului D.

245

Page 247: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

a) Sistemul este o dată static nedeterminat. Se suprimă legătura orizontală din A, se înlocuieşte cu

forţa X1 şi se obţine forma de bază

ig.11.1b). Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi se determină diagrama de momente m1 (fig.11.1c). Apoi se încarcă forma de bază cu sarcinile exterioare şi se determină diagrama de momente M0 (fig.11.1d). Se aplică ecuaţia de condiţie:

(f

.;

;0

0110

2111

10111

∫∫ =Δ=

=Δ+⋅

EIdxMm

EIdxm

X

δ

δ

Se foloseşte regula lui Veresceaghin:

;125.82332

2331

25.1632

5.132

336

21

25.45.45.4

321

11

aaaa

EIaaa

EI+⎟⎟

⎜⎜⎜ +⋅+⋅⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⋅=δ

265.1

3

EIaaaa

EI

aaa

aa

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅+

⎟⎟⎠

⎜⎝

⋅⋅⋅+

;75.2175.365.4325.1

323

262

21 4

22

10 EIqaaaqaaaaqa

EI−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=Δ

.264.0125.8275.21

11

101 qaqaX ==

Δ−=δ rezultă:

Diagramele de eforturi se construiesc prin suprapunerea efectelor:

( )

( )( )

)(;.39.3

63 33 DD Tqa

aqaV ==+=

792.0188.

;792.03264.00

;188.35.4

;

2

2

qa

qaaqaM

qaqaa

mXMM

−=−⋅+=

−=−⋅

;188.15.4264.00

;;

21

110

110

110

D qaaqaM

nXNNtXTT

−=−⋅+=

⋅+=⋅+=

= + ⋅

264.02

;2022

3

222

D

D

qqaM

qaqaM

+−=

−=+−=

3 2E

246

Page 248: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.61.239.362 qaqaqaVE =−= Din echilibrul de forţe al nodurilor E şi D rezultă NAD şi NBE :

b) Se introduce o forţă virtuală, unitară în nodul E pe forma de bază şi integrând diagrama mE0 (fig.11.1f) cu diagrama M (fig.11.1e), rezultă:

.96.3

;2

35.4632188.336

61792.036

31

21

792.033311

4

222

20

EIqa

aqaaqaaaqaaaEI

qaaaEIEI

Mdxm

E

EE

−=Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅−==Δ ∫

c) Se introduce un cuplu virtual unitar în nodul D pe forma de bază şi se determină diagrama mD0 (fig.11.1g); astfel, se obţine:

.916.0

215.46

32

792.01661188.361

31

21

3

2

22

0

EIqa

qaa

qaaqaa

EIEIMdxmD

D

=

=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−== ∫ϕ

247

Page 249: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 11.2 Se consideră cadrul din figura 11.2a, cu dimensiunile şi sarcinile indicate. Se cere trasarea diagramelor de eforturi.

Sistemul este o dată static nedeterminat. Se suprimă legătura orizontală din E, se înlocuieşte cu forţa X1 şi se obţine forma de bază (fig.11.2b). Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi se determină diagrama de momente m1 (fig.11.2c). Apoi se încarcă forma de bază cu sarcinile

şi se determină diagrama de momente M0 (fig.11.2d). exterioare

248

Page 250: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Ecuaţia de condiţie este: ;010111 =Δ+⋅δX cu:

( )

.125

322232.520

21

5.232.52

32.54231

33315

1

;271

3363

3333

11aaa

⎜⎛ +

⋅⋅=δ

;;

4

2

2

22

10

3

0110

2

EIqa

aaaqa

aqaa

qaaaaaqa

EI

aaaaEI

dxMmdxm

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−+

+⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅

=⎟⎞⋅⋅

=Δ=δ

Rezultă:

111 EI∫ ∫

EIEI⎤⎡ ⋅

⎠⎝

.63.42711

101 qaqaX −=−=

125Δ−=δ

Diagramele de efort sunt reprezentate în figura 11.2e. Problema 11.3 Pentru cadrul din figura 11.3a să se traseze diagramele de eforturi.

Sistemul este o dată static nedeterminat. Forma de bază (fig.11.3b), seobţine suprimând încastrarea din A şi înlocuind-o cu un reazem articulat şi un moment X1. Se încarcă forma de bază cu momentul X1 = 1 şi se determină diagrama m1 (fig.11.3c). Se încarcă forma de bază cu sarcinile

exterioare şi se trasează diagrama M0 (fig.11.3d). Din ecuaţia de condiţie:

;010111 =Δ+δX

;66.4511311131

;

11

11

101

EIaaa

EI

X

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

Δ−=

δ

δ rezultă necunoscuta:

249

Page 251: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;233210 ⎟⎠

⎜⎝EI

qaX 98.111

15125.321599.15199.15311 222

⎟⎞

⎜⎛

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=Δ aqaaqaqaa

−= Diagramele de eforturi sunt reprezentate în figura 11.3e.

250

Page 252: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 11.4 Să se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul din figura 11.4a.

Sistemul este o dată static nedeterminat. Se suprimă reazemul simplu din C şi se înlocuieşte cu forţa X1, obţinându-seforma de bază (fig.11.4b). Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi se determină diagrama m1. Se încarcă

nile exterioare şi se determină diagrama M0. Se scrie ecuaţia de condiţie:

forma de bază cu sarci

;010111 =Δ+⋅ Xδ

251

Page 253: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

în care:

;158

43921

36444831242

32

1

;33.6943

444341

4

2

222

10

3

11

EIqa

aaqa

aqaaaaqaaaqa

EI

EIaaaaaaa

EI

−=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⋅⋅−

−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅+⋅⋅=δ

astfel, rezultă:

.28.211

101 qaX =

Δ−=δ

Diagramele de eforturi sunt reprezenatte în figura 11.4e. Problema 11.5 Cadrul din figura 11.5a este simetric din punct de vedere geometric şi elastic faţă de axa I-I. Se cer: a) diagramele de eforturi; b) rotirea nodului B. a) Cadrul simetric este încărcat antisimetric. Forma de bază (fig.11.5b), se obţine prin tăierea la nivelul axei de simetrie a cadrului şi introducerea celor trei necunoscute corespunzătoare X1, X2, X3, X1 fiind antisimetric iar X2 şi X3 simetrice şi de aceea egale cu zero. Rezultă că sistemul este o dată static nedeterminat. Se încarcă forma de bază cu X1 = 1, rezultând diagrama m1 (fig.11.5c). Se încarcă forma de bază cu sarcinile exterioare, rezultând diagrama M0 (fig.11.5d). Se calculează termenii:

.62

22311

;583.022223

1222

1

42

10

311

EIqllqll

EI

lEI

llllllEI

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅=Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Din condiţia de continuitate:

.285.011

101 qlX −=

Δ−=δ ;010111 =Δ+⋅δX rezu ltă necunoscuta

Prin suprapunerea efectelor 110 mXMM ⋅+= , se obţineşi N.

diagrama M i apoi T ş

252

Page 254: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

b) Pe una din formele de bază posibile se introduce un cuplu virtual unitar în nodul B şi se determină diagrama mB

0 (fig.11.5f) şi apoi rotirea ϕB:

.0236.083

212EIEI ⎝

14.0357.010 dxMmBB ⎜⎜⎛ +

== ∫ϕ 2 2ql ⎞ 32

EIqlllql =⎟⎟

⎠⋅⋅−⋅⋅

253

Page 255: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 11.6 Cadrul închis din figura 11.6a, cu două axe de simetrie I-I şi II-II este acţionat de forţele F. Se cer: a) diagrama de momente încovoietoare; b) variaţia distanţei A-A/.

a) Cadrul este de trei ori static nedeterminat (fig.11.6b).

254

Page 256: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Necunoscuta X3 este antisimetrică faţă de axa II-II; sistemul şi încărcarea fiind simetrice faţă de II-II rezultă că X3 = 0. Eforturile din A şi A/ sunt simetrice (fig.11.6c). Se scrie ecuaţia de proiecţii faţă de I –I: .2/;02 22 FXFX =⇒=− Ecuaţia de continuitate este: .010111 =Δ+δX Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi rezultă diagrama m1 (fig.11.6e). Se încarcă forma de bază cu forţele exterioare şi rezultă diagrama de moment M0 (fig.11.6f). Se calculează termenii ecuaţiei de continuitate:

;92

25.161

;20

210

11

FaFaaEI

EIa

=⋅⋅=Δ

.45.0209 2

11

101 Fa

aFaX −=

−=

Δ−=δ rezultă:

Rezultă diagrama de moment din suprapunerea efectelor (fig.11.6g). b) Variaţia distanţei A-A/ se obţine introducând pe direcţia şi în punctul deplasării căutate o forţă unitară virtuală (fig.11.6h) pe una din formele de bază posibile. Se trasează diagrama . Astfel, se obţine: /

0AA

m

.9.0245.06

22

05.16245.02221

1 30

//EIFa

aFaa

aFaaFaaaEIEI

dxMmAAAA

−=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⋅⋅−

−⋅⋅+⋅⋅⋅−==Δ ∫

Problema 11.7

Pentru grinda continuă din figura 11.7a, având dimensiunile şi cărc

omente se obţine:

în ările indicate se cere trasarea diagramelor de eforturi. Sistemul este o dată static nedeterminat. Scriind ecuaţia celor treim

( ) ;02 ////// =+++++ CCBBABCCCBBBA lmlmlMllMlM

255

Page 257: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

dar:

( )

.75.68

6338

3

;16844

;2

;0

2

222

2

qaaqaFlm

qaaqqlm

qaM

M

CB

AB

C

A

=⋅⋅

==

===

−=

=

Se alege I0 = I şi atunci lungimile reduse sunt:

.6

;4218

0/

0/

aIIll

aaIIll

CC

BB

==

===

Ecuaţia celor trei momente devine: astfel, rezultă:

reacţiunile (fig.11.7b) şi momentul maxim:

;0675.641662102 222 =⋅+⋅+⋅−⋅ aqaaqaaqaaM B

.62.4 2qaM B −= Se calculează pe forma de bază pe intervalul AB

256

Page 258: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) .848.522

qaqq

A

=

e calculeazăculează reacţiunile, momentul în dreptul

rţei şi forţele tăietoare (fig.11.7c):

;42.38

48625.4 2

TqaaqaqaV drdrA ==

⋅+−=

242.32

maxqaTMM A

A =+=

.58.4842.3 qaqaqaT stB −=−= Cunoscând VA

dr s Pe forma de bază BC se calfo

.135.1392.1625.4

;

;92.162

Tqaa

V BB ==+=625.23 2qaqa drdr

08.1625.25.12

qaqaqaV stC −==−= 6

22 qaaqaqaM

Ta

F

stC

=⋅+−=

Problema 11.8 Grinda continuă din figura 11.8a are dimensiunile şi încărcările

diagramelor de eforturi.

c

indicate. Se cere trasarea Sistemul este de două ori static nedeterminat. Momentele statinedeterminate sunt cele de pe reazemele intermediare: MB şi MC. Ecuaţia celor trei momente se scrie pentru reazemele intermediare MB şi MC astfel: intervalul ABC:

( ) );02 ////// almlmlMllMlM CCBBABCCCBBBA =+++++ intervalul BCD:

( ) );02 ////// blmlmlMllMlM DDCCBCDDDCC =+++++ CB

r: da

;0M A

;2 2qaM −=

=

D

,0=CDm intervalul CD nefiind încărcat cu arcini exterioare. s

257

Page 259: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se consideră I0 = I şi rezultă astfel lungimile reduse:

;3160/ aa2I

Ill BB =⋅==

258

Page 260: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.4

;5

/

0/

al

aIIll

D

CC

=

==

Pentru a determina termenul de încărcare mAB se consideră grinda sarcinile exterioare (fig.11.8b). Se 0

simplu rezemată AB acţionată dedetermină diagrama de momente MAB . Se obţine:

( ).21.6

4231

2266.2

432

266.24224

32⎛

666 2

22

22 qaaaa

aqaaaqaa

alSmAB

ABAB =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅==

enii de încărcare mBC şi mCB se consideră plu rezemată BC acţionată de sarcinile exterioare (fig.11.8c). Se determină diagrama de momente MBC

0. Se obţine:

Pentru term grinda sim

.08.23312

234.22226.166

3232252

2 qaaaqaS

al

BC

C

⎡ ⋅+⋅−==

⎦⎣ ⎠⎝

3225alC ⎦⎣ ⎠⎝ Introducând aceste date în ecuaţiile a) şi b) se obţine sistemul:

) 22

;32.03234.221326.166

222

22

22

qaaaa

qaaaqaaaaqaS

BC =⎥⎤

⎢ ⎟⎞

⎜⎛ +

=⎥⎤

⎢⎡

⋅⋅

+⎟⎞

⎜⎛ +−

ultă: şi .

ină diagrama de momente M pornind de la cele două valori şi calculând diagramele de moment produse de sarcinile exterioare

tuaţia că fiecare deschidere reprezintă o grindă simplu rezemată (fig.11.8d, e şi f).

lu rezemată AB acţionată de momentul MB la ă pe intervalul A-1; se determ

TAdr, VB

şi

2m CBCB ==

m

(2⎪

⎨⎧ M B

( ).

0508.2424525

;0532.0321.655322⎪⎩ =⋅+⋅−++

=⋅+⋅+++

aqaaqaaaMaM

aqaaqaMaaa

CB

C

din care rez 2238.0 qaMC = 233.1 qaM B −=

Se determMC şi MB în si

Se consideră grinda simpcapăt şi sarcina uniform distribuit ină reacţiunile VAdr = 2,447qa = st = 1,553qa = −TBst, se calculează momentul M1:

21 788.1244447.2 qaaqaaqaM =⋅−⋅=

259

Page 261: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

( ) .99.2;2

44.22

2max

22

max qaMqqa

qTM A ===

Se consideră apoi grinda simplu rezemată BC acţionată la capete de momentele MB şi MC şi de momentul din punctul 2. Se calculează reacţiunile:

.,;486.05

33.1238.04 222

CstBdrCstBdrBdrBdr TVVTVqaa

qaqaqaV −==−==−−

=

Se calculează momentele:

Se consideră apoi intervalul CD încărcat cu momentele MC şi MD pe reazeme. Rezultă reacţiunile:

.698.1302.24

;302.22486.033.1222

2

222

qaqaqaM

qaaqaqaM

dr

st

=−=

−=⋅−−=

.559.04

2238.0 22

DstCdrDstCdr TTqaa

qaqaVV −=−==+

==

Problema 11.9 Grinda continuă din figura 11.9a, încastrată perfect în A are momentul de inerţie I pe deschiderea AB şi 2I pe BD. Se cere determinarea diagramelor de eforturi.

260

Page 262: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Sistemul este de două ori static nedeterminat. Încastrarea din A este şi un reazem simplu în A/, punctele A şi A/

Momentele static nedeterminate sunt cele de pe reazemele

dar:

echivalentă cu o articulaţie în Afiind infinit apropiate (ε→0).

intermediare MA şi MB. Ecuaţia celor trei momente se va scrie pentru intervalele A/AB şi ABC:

/ ABA( )

( ) );02

),02

//////

////////

blmlmlMllMlMABC

almmlMlMM

CCBBABCCCBBBA

BBAAABBBAA

=+++++

=+++++ εεε

( ) ;

44 Se consideră I0 = 2I; lungimile reduse vor fi:

96

,0,,0,0,0

222

2//

qaaqqlm

mmqaMmM

BC

ABBACAAA

===

==−==== ε

.6622;842 // aa

IIlaa

IIl CB =⋅==⋅=

Introducând aceste date în ecuaţiile a) şi b) se obţine sistemul:

zultă: MA = qa , MB = -2qa . determină diagrama de moment M pornind de la cele două valori şi calculând diagramele de moment produse de sarcinile exterioare

fiecare deschidere reprezintă o grindă simplu rezemată. Se plu rezemată AB (fig.11.9b), acţionată de momentele de

( )⎪⎩⎨

=+−++ .092 /2/2///CCCBBBA lqalqallMlM

⎪⎧ =+ ;02 //

BBBA lMlM

2 2re Se MA şi MBîn situaţia în careconsideră grinda sim

capăt MA şi MB. Se determină reacţiunile drAdrA Tqaa

qaV −==+

=43

4 ,

stBdrA TT −=− . Se consideră apoi grinda simplu rezemată BC (fig.11.9c) acţionată la capete

qa2 22

de momentele MB şi MC şi de sarcina uniform distribuită pe intervalul BC. Se determină reacţiunile şi momentul maxim:

,833.2613;167.3

613 stCstCdrBdrB TqaqaqaVTqaqaqaV −==−===+=

( ) .01.3

2833.2

22

22

2

max qaqqaqa

qTMM C

C =+−=+=

261

Page 263: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 12

BARE CURBE PLANE

Barele curbe plane (fig.12.1.1) se împart în funcţie de raportul R/h în rbură când R/h < 10 şi bare cu mică curbură când R/h ≥ 10, ă raza de curbură a fibrei mediane şi h , înăl imea secţiunii

bare cu mare cuunde R reprezint ţîn planul fibrei mediane.

La barele cu mică curbură solicitate la întindere cu încovoiere tensiunile normale se deternină ca în cazul barelor drepte:

.yIM

AN

z

⋅+=σ

La barele cu mare curbură expresia tensiunii normale este:

;0 yRy

eAM

AN

−⋅+=σ

unde e reprezintă distanţa de la centrul de greutate la axa neutră corespunzătoare acţiunii în exclusivitate a momentului încovoietor iar R0, raza de curbură corespunzătoare acestei axe neutre:

262

Page 264: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;0 = dAAR

( )∫

ui R0, e se calculează cu relaţia:

A ρcu ρ raza de curbură a unei fibre curente. După determinarea l

.0RRe −= Tensiunile în fibrele extreme sunt:

.

;

0

int

int

int0

intint

ext

ext

ext

extext R

yeA

MAN

yRy

eAM

AN

Ry

eAM

AN

yRy

eAM

AN

⋅+=

+⋅+=

⋅−=

−⋅−=

σ

σ

Pentru dimensionare se foloseşte condiţia de rezistenţă:

[ ] .;max int aextech σσσσ ≤=

ă o kN. Cunoscând R = 9cm, h = 8cm, σa = 200N/mm2 se cere

ţiunea (b = ?).

Problema 12.1 Un cârlig de macara cu secţiune dreptunghiulară (fig.12.1a), suportsarcină F = 150să se dimensioneze sec

263

Page 265: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Secţiunea cea mai solicitată este 1 – 1. Eforturile în secţiune sunt:

F; M = - F⋅R N = Se determină :

;372.8

513lnln

intRRext

80 cmh

==R =

264

Page 266: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

cu:

.549hRR −=−=

2int

;13492

cm

cmhext

=

+=+

Rezultă

RR ==

.628.00 cmRRe =−= Se calculează tensiunile:

( ) ( ) ;68.105028.628.640901

int

int int AF

AF

Ry

AeFR

AF

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

+=−

−=σ

cu:

.102.413028.628.46901

;28.4628.6402

,72.3328.6402int mmehy =−=−=

AF

AF

Ry

AeFR

AF

mm

ext −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−=−

=+= ehyext +=

ext =σext

Se aplică condiţia de rezistenţă: [ ] .aext σσ ≤

;max intech σσ =

;/15080

1015068.10 2int

3

mmNb aech =≤=⋅⋅

⋅= σσσ

rezultă lăţimea: b = 100 mm. Problema 12.2 Bara din figura 12.2a are secţiunea în formă de I, cu dimensiunile din figură. Ştiind că σa = 150 N/mm2 se cer:

a) trasarea diagramelor de eforturi; b) sarcina Fmax pe care o suportă bara.

265

Page 267: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

266

Page 268: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Într-o secţiune curentă a porţiunii curbe, expresiile momentului încovoietor şi a forţei axiale sunt (fig.12.2b):

( )ϕϕ

ϕ

ϕ

sin

;sin

RlFM

FN

+−=

−=.

a cea mai solicitată este H, unde se obţin următoarele valori: Secţiune FN .205; FM −=−= Se calculează R0:

;lnlnln

3

43

2

32

1

21

3322113

1

Re

int

3

10

RRb

RRb

RRb

hbhbhbdb

hb

dAAR

i

xt

Ri

iii

++

++===

∑ ∫

∫=

=

ρρ

ρ

.95.101

120130ln40

90120ln10

8090ln40

1040301010400 mmR =

++

⋅+⋅+⋅=

Rezultă e = 105-101,95 = 3,05 mm. Coordonatele fibrelor din interior şi exterior sunt:

(

)

.05.2805.3252

;95.2105.32

mmeh

mm

ext =+=+

−=−⎠⎝

culează tensiunile (fig.12.2c):

25int ehy −=⎟⎞

⎜⎛ −−=

y =

Se cal

( )

.012.0130

05.2805.31100

2051100

;0176.080

95.2105.311001100int

int ReAA205int

FFFRy

eMN

FFFyMN

ext

extext =⋅

⋅+−=⋅

⋅+=

−=−

AA

⋅+−=⋅+=

σ

σ

⋅⋅

Din condiţia de rezistenţă:

[ ] ;aext σ≤

;max intech σσσ =rezultă valoarea Fmax:

.8000;/1500176.0 max2 NFmmNF aech =⇒=≤= σσ

267

Page 269: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Problema 12.3 Pentru bara cu mare curbură din figura 12.3a, având R = 130mm, D = 80mm, se cer: a) diagramele de eforturi; b) verificarea barei pe intervalul CDE ştiind că σa = 150N/mm2 şi F = 45kN.

268

Page 270: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Expresiile eforturilor într-o secţiune curentă pe porţiunea curbă, în raport cu unghiul curent ϕ sunt:

.sin;cos;sin ϕϕϕ ϕϕϕ PRMPTPN −==−= Din diagramele de e iuD cu MD = - PR şi ND = - P

forturi rezultă că secţ nea cea mai solicitată este .

mm

DRR 801301302

22

2 −+−+R0 = Se calculează 85.126

24

24 == ;

– 126,85 = 3,15 mm. Se determină ordonatele:

rezultă e = R – R0 = 130

.85.362

;15.4315.3402

int mmeDy

mmeDyext

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=+=+=

Se obţin tensiunile (fig.12.3c):

( )

( )

;/162.141

;7.9015.3

85.361301

48015.3685.12615.3

2int

2int

int

mmN

AA

yMN

=

⎟⎠⎞

⎜⎝ ⋅

⋅+−

⋅=

−⋅−−=

σ

πσ

4500085.36130int

PP ⎛−⋅

;int RAeA+=σ

( )

./78.102

;17015.3

15.431301

480

4500015.4385.126

15.4315.3

130

;yMN extext +=σ

2

2

mmN

AP

AP

RAeA

ext

ext

ext

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

−−⋅

=+⋅

⋅−−=

σ

πσ

e: [ ] aextech σσσσ ≤= ;max int Condiţia de rezistenţă est ; în cazul roblemei de faţă, condiţia de rezistenţă este verificată: p

./150/62.141 22 mmNmmN a =<= σ echσ

269

Page 271: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 13

FLAMBAJ Trecerea formei deformate a unei structuri sub acţiunea sarcinilor exterioare dintr-o poziţie de echilibru stabil într-o poziţie de echilibru instabil este denumită flambaj sau pierdere de stabilitate. Valoarea sarcinii exterioare la care se produce flambajul se numeşte sarcină critică sau de flambaj (Pcr). În asemenea cazuri echilibrul structurii se exprimă pe forma deformată a barei, principiul suprapunerii efectelor nemaifiind valabil. Structura nu va flamba dacă este solicitată de o sarcină maximă (Pmax), astfel încât faţă de sarcina critică (Pcr) să se realizeze un coeficient de siguranţă la flambaj:

.1max

>=PPc cr

13.1 Flambajul barei drepte solicitată la compresiune Pentru bara AB (fig.13.1.1a), cât timp P< Pcr bara rămâne dreaptă, aflându-se într-o poziţie de echilibru stabilă (1). Dacă P≥ Pcr, bara ajunge în poziţia (2) care reprezintă deformata de flambaj. Aplicând metoda statică care constă în scrierea ecuaţiilor de echilibru pe forma deformată (2) şi stabilirea condiţiilor în care această formă este posibilă, se obţine valoarea minimă a sarcinii critice de flambaj:

;2min

2

fcr l

EIP π= (13.1)

denumită formula lui Euler, în care Imin – momentul de inerţie minim al secţiunii transversale a barei şi lf – lungmea de flambaj, care depinde de modul de rezemare la extremităţi al barei (fig.13.1.1b, c, d). Lungimea de flambaj reprezintă distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune ale formei deformate de pierdere a stabilităţii. Formula lui Euler este valabilă în cazul în care rezemările barei după axele principale de inerţie sunt aceleaşi; în caz contrar sarcina critică este:

[ ] .;;;min 2

2

2

2

yf

yycr

zf

zzcr

ycr

zcrcr l

EIP

lEIPPPP

ππ===

270

Page 272: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Tensiunea care apare în secţiune când forţa aplicată atinge valoarea

istenţă critică de flambaj:

critică se numeşte rez

.A

Pcrcr =σ

Din formula lui Euler rezultă:

;2

2

λπσ E

cr = (13.2)

coeficientul de svelteţe sau subţirime al barei: cu λ -

;minil

;minmin A

Ii =f=λ şi raza de inerţie (giraţie) minimă.

Formula (13.2), stabilită în domeniul elastic, este valabilă numai pentru σcr ≤ σp, cu σp limita de proporţionalitate a materialului. Rezultă că flambajul are loc în domeniul elastic numai pentru:

.2

0p

Eσπλλ =≥

Dacă λ < λ0 flambajul are loc în domeniul plastic şi σcr se calculează pe baza cercetărilor experimentale cu diferite relaţii dintre care cea mai

ajer – Jasinski: cunoscută şi aplicată este relaţia Tetm ;λσ acr b−= u a şi b constante, determinate experimental depinzând c de material.

Diagrama ( )λσ fcr = reprezentată în figura 13.1.2 este denumită ă la flambaj. curba caracteristic

271

Page 273: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru λ < λ1 se consideră că bara nu flambează, calculul făcându-se la compresiune simplă.

ând coeficie tul de siguranţă la flambaj recomandat se poate determina rezistenţa admisibilă la flambaj: Cunoscând σcr şi adopt n

.craf c f

σσ =

Rezistenţa admisibilă la flambaj se calculează în funcţie de rezistenţa admisibilă la compresiune σac şi coeficientul de reducere la flambaj ϕ care este o funcţie de λ: .ϕσσ ⋅= acaf Condiţia de verificare a unei bare la flambaj se poate scrie:

;acAP σ

ϕσϕ ≤

⋅=

cu σϕ tensiune convenţională. 13.2 Calculul practic la flambaj Calculul de verificare Se determină coeficientul de svelteţe λ. Dacă λ > λ0 calculul continuă folosind formula lui Euler:

.2min

2

cr lEIP π

= f

în echilibru instabil dacă:

Bara este

;afcr

f cPPc ≥=

cu cf a – coeficientul de siguranţă admisibil.

272

Page 274: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Dacă λ1 < λ ≤ λ0 se utilizează o relaţie de calcul din domeniul plastic: .; APba acra ⋅=−= σλσ Bara este în echilibru stabil dacă:

.afcr

f cPPc ≥=

Dacă λ < λ1 atunci bara se verifică numai la compresiune simplă. Calculul de dimensionare Se consideră că flambajul are loc în domeniul elastic şi aplicând formula lui Euler, rezultă:

;dimmin2

2max

min IE

lPcI ff

nec =⋅⋅

Se alcătuieşte secţiunea transversală astfel încât Imin ef ≥ Imin nec, se calculează λ şi se determină ϕ. Se calculează σ . Dacă σ ≤ σ secţiunea aleasă este bună, dacă nu, se modifică sec

ϕ ϕ acţiunea până la satisfacerea

pară λ cu λ0. Când λ > λ0 flambajul are lui Euler a fost corect aplicată. Se

condiţiei de verificare la flambaj. Dacă nu se cunoaşte ϕ se comloc în domeniul elastic şi formulacalculează:

;; max Accr

af == σσ P

f

elasticσ

Da < λ0 flambaj alculează: că λ ul are loc în domeniul plastic; se c

;; max AP

c f

crfa == σσσ

se face verificarea : .max af

plastic

σσ ≤ Dacă nu se verifică se mde rezistenţă.

ăreşte secţiunea până la verificarea condiţiei

13.3 Flambajul barelor cu secţiune compusă Ţinând seama de deplasarea produsă de forţa tăietoare rezultă expresia sarcinii critice de flambaj:

;1

Ecr P

P⋅+

=γ P

E

cu ,2min

2

E lEIP π

= sarcina criticf

ă a lui Euler în care nu s-a ţinut seama de

influenţa forţei tăietoare şi γ - lunecarea produsă de o forţă tăietoare T = 1.

273

Page 275: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se observă că Pcr < PE ceea ce înseamnă că influenţa forţei tăietoare constă în micşorarea sarcinii critice de flambaj. La secţiunile pline γ este foarte mic şi efectul forţei tăietoare poate fi neglijat. La secţiunile compuse produsul nu mai este neglijat (fig.13.3.1a,b).

EP⋅γ

Se calculează tensiunea critică:

;2

2

22

2

try cr

cr APσ =

EEA

Eλπ

πγλπ

=+

=

lă. Calculul său fiind dificil, se poate exprima unde λtr – mărime convenţionaprin următoarea relaţie:

;21

2 λλλ += ytr- pentru plăcuţe

;21

32 lA d

tr =λ- pentru zăbreluţe alAdy ⋅

⋅+λ

unde ;yiyfl

=λy cu lf y - lungimea de flambaj după axa y, iy - raza de inerţie a

secţiunii barei după axa y, λ = l1/imin - coeficientul de svelteţe al unui singur ăcuţe iar imin raza de inerţie minimă a unui

1profil, cu l1 distanţa dintre două pl

274

Page 276: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

singur profil, A - aria întregii secţiuni, Ad - aria secţiunii transversale a ou, pe ambele feţe ale barei

nu se producă înaintea celui general zăbreluţelor dintr-un pan . Pentru ca flambajul individual să se recomandă ca:

;1 <

5≤ 0

;1 < λλ z

λλ y 1λ

Verificarea la flambaj a barelor cu secţiune compusă se efectuează procedând la fel ca la barele cu secţiune plină cu următoarele precizări:

utilizând coeficientul de svelteţe - faţă de axa z, calculul se face

;z

z i=λ

- faţă de axa y, calculul se face utilizând λtr. Dimensionarea barelor cu secţiune compusă se efectuează având în vedere ca flambajul între două solidariză

zf

în considerare axa care taie materialul secţiunii (axa z); rezultă te alcătuită secţiunea. ţa dintre axele profilelor, din condiţia ca flambajul

mai

l

ri să nu fie mai periculos decât flambajul general al barei:

- se efectuează operaţia de dimensionare, ca la barele cu secţiune plină, luândprofilele din care es

- se determină distanîn raport cu axa care nu taie materialul secţiunii (axa y), să nu fie periculos;

.ztr λλ = Plăcuţele sau zăbreluţele trebuie să împiedice lunecările dintre profile

a lor de fi are profil se face prin sudură sau cel puţin

lidarizării prin păcuţe (fig.13.3.2), forţa de lunecare pe

şi de aceea prindere ecdouă nituri. Calculul necesită evaluarea forţei de lunecare pe baza forţei tăietoare.

În cazul so lungimea unui panou (l1) este:

;1lTLa⋅

=

275

Page 277: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

cu forţa de lunecare aferentă unei plăcuţe (dacă în secţiune sunt două plăcuţe):

.22

1

alTL ⋅

=

În cazul solidarizării cu zăbreluţe, capacitatea zăbreluţelor şi a îmbinării respective fiind mică, se admite că bara de secţiune compusă se comportă ca o grindă cu zăbrele. 13.4 Calculul barelor comprimate şi încovoiate În cazul solicitării de flambaj cu încovoiere, pentru cazul deplasărilor transversale relativ mici se poate folosi formula lui Iasinski (fig.13.4.1).

.max a

Q

WM

AP σ

ϕσ ≤+

⋅=

Formula nu are justificare teoretică.

a f 0

Problema 13.1 Să se verifice la flambaj bara cu secţiune inelară din figura 13.1 articulată la un capăt şi încastrată la celălalt. Se dau: c = 4,5, λ =105, E = 2,1·105 N/mm2.

276

Page 278: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se calculează coeficientul de siguranţă la flambaj şi se compară cu cel admisibil. Coeficientul de siguranţă la flambaj este:

.PPc cr

f =

Se determină domeniul de flambaj:

;2.19minmin mmIi == A

cu Imin pentru secţiunea inelară:

( ) ,37560064

444min mmdDI =−=

π

şi

( ) ;10184

222 mmdDA =−=π

coeficientul de svelteţe este:

;1054.1092.19

21000 =>=== λλ

il f

min

cu lf – lungimea de flambaj egală cu 0,7l pentru bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt. Flambajul are loc în domeniul elastic, λ fiind mai mare ca λ0; se

r: calculează Pcr cu formula lui Eule

( );

2100375600101.22

52

2min

2 ⋅⋅⋅==ππ

fcr l

EIP

Se calculează coeficientul de siguranţă care se compară cu cel dmisa ibil:

/ = .5.464.4 =>= efcr cPPc

ează. Problema 13.2 Să se verifice tija pistonului unei maşini, având secţiunea circulară cu diametrul de 60 mm ştiind că forţa maximă de compresiune necesară este P = 100 kN, iar lungimea tijei lf = 1,2 m. Coeficientul de siguranţă la flambaj este ca f = 8 şi λ0 = 86. (Se va lua oţel aliat cu nichel 5%).

Rezultă că bara nu flamb

Se determină domeniul de flambaj, calculându-se coeficientul de svelteţe λ:

277

Page 279: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;868015

1200

4min

120===λ di

l f 00 =<= λ

.(la secţiunea circulară 42min dA ⋅π ).

4

64min di ===

4dI

⋅π

Flambajul are loc în domeniul plastic; pentru verificare se foloseşte formula lui Iasinski la calculul lui σcr:

;λσ ⋅−= bacr 2

se cunosc a = 470 N/mm2, b = 2,3 N/mm , astfel: Rezistenţa admisibilă la flambaj este:

./286803.2470 2mmNcr =⋅−=σ

./75.358

286 2mmNc fa

craf ===

σσ

Rezistenţa barei la compresiune este:

;/37.35

4⋅π 60

10100 22

3

mmNAP

=⋅

==

, bara rezistă la flambaj.

resiune de calcul P = 840 kN şi având lungimea de flambaj lf = 4,6 m. Secţiunea este alcătuită din patru corniere L 100x100x10 dispuse ca în figura 13.3. Se dă σa c = 220 N/mm2.

σ

deoarece σ < σa f Problema 13.3 Să se verifice diagonala comprimată a unei grinzi cu zăbrele supusă la un efort de comp

278

Page 280: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru verificare se foloseşte metoda coeficientului de reducere ϕ:

.acAP σ

ϕσ ≤ ϕ ⋅

=

e:

Se calculează coeficientul de svelteţ

;minil f=λ

;minmin A

Ii = cu:

.59.100

73.45 Din tabele rezu

4600

;573.48.7628.6

;28.160622.182.22.191774 4

2

min

==

=

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++===

λ

cm

cmIII zy

ltă ϕ = 0,609, astfel:

160min === iii zy

./220/6.1797680609.010840 22

3

mmNmmN =<=⋅⋅

= σσϕ ac

aximă la nivelul suprafeţei de lucru a pistonului p = 4 N/mm2, m. Materialul este oţel cu 5% nichel pentru care se

Problema 13.4 Să se dimensioneze tija bielei unui motor cu explozie având forma schematizată din figura 13.4. Se cunosc diametrul pistonului d = 100 mm, presiunea mlungimea bielei l = 320 madmite relaţia Tetmajer- Iasinski λbaσ −=cr , cu a = 470 N/mm2, b = 2,3

/mm , valabilă pentru λ ≤ 86. Coeficientul de siguranţă la flambaj este cf = /mm2.

2N5, E = 2,1·105 N

279

Page 281: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

ionează asupra pistonului este:

Forţa care acţ

.3141641004

4

22

NdpP =⋅

⋅=⋅=ππ

Momentul de inerţie minim este: ( ) .7.4minI = 5

123

1232 4

33

cccccI y =⋅

+⋅

⋅=

Aria secţiunii este:

e flambaj este cel elastic şi se .9332 2cccccA =⋅+⋅⋅= Se presupune că domeniul ddimensionează:

;75,4 4

dimminmin cII nec ==

;.7760101.2

4522 mm

E=

⋅⋅=

ππ

rezultă

7minI nec =314163205 22 Plc ff ⋅⋅⋅⋅

.7358.675.4

Se calculează coeficientul de svelteţe:

7.77604c == mmmm ≅

;8692.62085.5

3200 =<== λλ

.0.5726.075.42

minmin ccIi ==== 85

9

4

mmcA

l de flambaj este plastic; se redimensionează, se pleacă de la

cu

Domeniuexpresia lui σcr în domeniul plastic:

;minil

baba fcr −=−= λσ

dar APc fcr =σ , astfel:

,

726.03203.2470

9314165

;

2

min

cc

il

baAPc f

f

⋅−=⋅

−=

sau

;09470

314165726.0470

3203.22 =⋅

⋅−

⋅⋅

− cc

280

Page 282: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.5.726.7 mmc ≅= Rezultă:

.867.58448.5

Domeniul de flambaj este e

320=<== λλ

;448.55.7726;25

0

min2 =⋅= mmimm

plastic; s aplică condiţia de verificare în acest domeniu:

.0.5065.799 22 =⋅== cA

af

crfaef cA

P σ σ =< ;

astfel,

σ =

./06.6225.506

31416

;/675

7.583.2470

2

2

mmNAP

mmN

ef

fa

===

=⋅−

=

σ

σ

Rezultă σef < σa f şi c = 7,5 mm.

din figura 13.5a se realizează din oţel OL37 şi are rezemări şi xz. Secţiunea este casetată. Se cere dime

tructurii cunoscându-se: ca f = 2,3, E = 2,1·105 N/mm2.

Problema 13.5 Baradiferite în planele xy nsionarea s

281

Page 283: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Flambajul va avea loc după direcţia cu λ :

max[ ];,maxmax yz= λλλ

( )

( ) ;23.710181220

;79.4181012201218102012

;;

33

33

ttI

ttAIi

ll

y

zz

yfzf

=⋅−⋅

=

=⋅−⋅⋅−⋅

==

== λλii y

yz

z

1810122012Ay ⋅−⋅i =

.10.123.7

8;58.079.48.2 m m m

t t t tm

yz ==== λλ

ia y este mai periculoasă; pe această direc se face ă că flambajul are loc în domeniul elastic:

Direcţ ţiedimensionarea. Se consider

( )

;dimmaxyy II =

;10147,2411.2

108103403.2 492

233

2

2max ffnec mmE

lPc⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=ππ

rezultă t = 9,364 mm ≅ 10 mm. iul de flambaj, calculându-se y:

05yI

Se verifică domen λ

;10511010

1010.10

3

=>=⋅

= λλy

deci flambajul are loc în domeniul elastic, cum s-a presupus. Se verifică şi condiţia de rezistenţă: .acy σσϕ ≤ Se determină tabelar ϕy = 0,496, rezultă:

./150/247.1146000 4.0A⋅ 9610340 22

3max mmNmmNP

acy

y =<=⋅⋅

== σϕ

σϕ

Problema 13.6

icat este alcătuit din două bare dispuse ca în figura din două profile U16, material oţel OL37, σac =

220 N/mm2. Să se determine greutatea maximă care poate fi ridicată.

Un dispozitiv de rid13.6. Barele sunt alcătuite

282

Page 284: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Bara B-C este solicitată la flambaj:

;sinα

PNBC =

cu .848.02.32

32sin ==α22 +

Pentru secţiunea compusă din două profile U 16 se calculează forţa Pmax pe care o suportă dispozitivul din flambajul pe cele două direcţii y şi z: [ ].;minmax zy PPP = Flambaj în raport cu axa z:

;

;sin

aczzBC

zBCz

AN

NP

σϕ

α

⋅⋅=

=

ϕz se extrage din tabele calculându-l pe λz:

.1009.736848.02201048822.0

;822.0;77.6021.6

102.32

32

222

NP

il

z

zz

fz

⋅=⋅⋅⋅⋅=

=⇒=⋅+

== ϕλ

Flambaj în raport cu axa y:

;

;sin

acyyBC

yBCy

AN

NP

σϕ

α

⋅⋅=

=

se calculează λy :

( )[ ] ;24.348

2/6.184.1243.852;2

cmAI

iil y

yy

fy =

++===λ

283

Page 285: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;2.1164.377==λ 24.3y

rezultă din tabele ϕy = 0,448, prin urmare: Sarcina maximă pe care o poate ridica dispozitivul este:

.10402848.02201048448.0 32 NPy ⋅=⋅⋅⋅⋅=

[ ] .40209.736;402min kNkNkN == maxP Problema 13.7 Să se verifice o bară de la talpa comprimată a unei grinzi cu zăbrele având secţiunea compusă ca în figura 13.7. Aceasta are de suportat efortul N

ile de flambaj sunt lf z = 4,25 m, lf y = 3,4 m. şte = 2200 kN, lungim Se cunoaσac = 220 N/mm2.

Se determină poziţia axei z:

( ) .23.835.712042302

1 mmyG =4230215300 + ⋅⋅+⋅⋅

=

Verificarea la flambaj după axa z presupune calculul σϕ z şi

compararea cu σac:

;A

N

zz ⋅=ϕ

σϕ

ϕz se extrage din tabele după determinarea λz:

;129604230215300

;1071.

1I z = 1983

;

;;

2

44

mmA

mm

Ii z

=⋅+⋅=

=

27.4442302103600223.831530012

15300 2423

I

Ai

z

zz

z

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=

l zf=λ

284

Page 286: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./220/2.18812960902.0102200

;902.0;36.3516.96

3400

;16.9612960

1071.11983

223

4

mmNmmN

mmi

acz

zz

z

=<=⋅⋅

=

=⇒==

=⋅

=

σσ

ϕλ

ϕ

Verificarea la flambaj după axa y presupune calculul lui σϕ y şi compararea cu σac:

.acy

y AN σ

ϕσϕ <

⋅=

Pentru determinarea lui ϕy se calculează λy:

( )

.38.4907.86

4250==

;07.86102.9601 4

=⋅

=y mmi

12960

;102.96013.2260423021024821230015 4424

3

⋅=+⋅⋅⋅⋅+⋅

=

y

y

yyf

mmI

λ

0,883, aşadar:

;; == yy

y Ai

Il

+

Din tabele rezultă ϕy =

./220/ 25.19212960883.0

mNy =⋅

=σϕ102200 22 mmNm ac =<⋅ σ

Să se determine capacitatea portantă la flambaj a unui stâlp dublu

două profile U 30 ( fig.13.8). Lungimea stâlpului este de 5,4 m. Se dă σac = 220 N/mm2. La ce distanţă trebuie

ntru a avea Iy = 1,1Iz. Bara este solidarizată cu plăcuţe, astfel încât să existe un număr de cinci intervale între ele.

3

Problema 13.8

articulat cu secţiunea alcătuită din

aşezate cele două profile pe

285

Page 287: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Pentru calculul distanţei între profile se calculează momentele de inerţie ale secţiunii compuse:

( )[ ]

.1852;223. 00

2

mmzcm ≅

9

;1.1280301.17.28.584952 0

z

IzI zy

=

⋅=⋅⋅=++=

Pentru determinarea capacităţii portante a stâlpului se calculează capacităţile portante după cele două axe y şi z şi se alege valoarea minimă. Capacitatea portantă după axa z: .RAN zzcap ⋅⋅= ϕ Pentru determinarea lui ϕz se calculează λz:

;15.461175400

===z

zfz i

se extrage din tabele valoarea lui ϕz = 0,898, astfel:

ortantă după axa y:

inarea lui ϕy se calculează λtr:

.2323300220108.582898.0 2 NN zcap =⋅⋅⋅⋅= Capacitatea p .RAN yycap ⋅⋅= ϕ Pentru determ

;297.128.582

25.187.28.584952

;24.3729

1080

;10805

5400ly

5

;;

2

1

1

min

11

mmAI

i

mml

il

il

yy

f

yfy

=⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

==

==

===

=

λ

λλ

;21

2ytr =+= λλλ

286

Page 288: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

;58.5724.3791.43

;91.4397.122

5400

22 =+=

==

tr

y

λ

λ

din tabele rezultă ϕy = 0,84, aşadar: Rezultă

.2173248220108.58284.0 2 NN ycap =⋅⋅⋅⋅= [ ] .2173,min kNNNN zcapycapcap ==

Problema 13.9 Să se dimensioneze diametrelor d/D = 0,8 (fig.13

stâlpul cu secţiune inelară, având raportul .9). În ipoteza în care P = 400 kN, ce sarcină Q

la lui Iasinski). Se cunosc f a 0 ac /mm2.

orizontală poate suporta stâlpul (se va utiliza formuE = 2,1·105 N/mm2, c = 2,3, λ = 105, σ = 150 N

1) Pentru dimensionarea stâlpului se comsideră că flambajul are loc în

elastic şi se utilizează formula lui Euler: domeniul

( ) .0289.064

;1028.3154101.2

1080060003.2

444dim

44252

maxmin

DdDI

mmE

I affnec

=−=

⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

πππ

Din condiţia ca Imin nec = Idim , rezultă D = 182 mm.

;

322

max2min

2

Pcl

cPlEIP fa

fcr

⋅⋅

⋅==π

Se verifică premiza de calcul (dacă domeniul este de flambaj elastic):

( )( ) ;25.58

4/64/; 22

44

minmin

mmdDdDi

il f =

−−

==ππλ

287

Page 289: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

cu D = 182 mm şi d = 0,8D. Rezultă:

;10510325.58

60000 =<== λλ

domeniul este de flambaj plastic şi trebuie verificată condiţia de rezistenţă:

.acAP σ

ϕσϕ ≤

⋅=

Pentru λ = 103 din tabele rezultă ϕ = 0.567, astfel:

( )[ ]./15202.1/73.150

1828.01824

567.0 22mmNmmN ac =<=

⋅−⋅σπσ 10800 ⋅

=ϕ22

3

Deci diametrul exterior este D 0 182 mm. ina Q se determină aplicând formula lui Iasinski pentru flambaj 2) Sarc

cu încovoiere:

;≤⋅

+ σlQPac⋅ϕ WA z

( )[ ] ( );150

8.032

3000

44

=−

⋅+

N.

nghiular din figura 13.10a să se u ca pericolul de flambaj să fie acelaşi pe

d formula lui Iasinski; σa = 150 N/mm2, E = 2,1·105 N/mm2, c = 2,3.

11821828.0182567.03

22 ⋅⋅−⋅ ππ10400 3⋅ Q

de unde rezultă Q = 8689

Problema 13.10 Pentru bara cu secţiune dreptu ă

stabilească raportul h/b pentrdirecţiile y şi z. Să se dimensioneze stâlpul folosin

Pentru ca pericolul de flambaj să fie identic, trebuie ca λy = λz:

288

Page 290: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.;y

fyy

z

fzz i

lil

== λλ

Din figura 13.10b şi c rezultă:

;12

;12

hibi = yz =

u λz şi rezultă: se egalează λy c

.857.2;300021230007.012=⋅⋅=

⋅⋅bh

hb

Pentru dimensionarea secţiunii stâlpului se foloseşte formula lui Iasinski:

.max aczWlQ

AP σϕ

σ ≤+=

Se consideră iniţial sistemul supus numai la flambaj; se dimensionează şi se verifică apoi cu formula lui Iasinski. Se presupune domeniul de flambaj elastic:

( ) ( ) ;

12101.230007.0106003.2 3

52

23

2

2max

minhb

ElPc

I zffnec =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅=

ππ

rezultă b = 60 mm, h = 170mm, în plus:

;121

126030007.0

=⋅

==z

zfz i

din tabele rezultă ϕz = 0,403. Condiţia de verificare va fi:

.150

617060

3000102017060403.0

106002

33

max acσσ =>⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

Se măresc dimensiunile secţiunii; fie b = 70 mm, h = 200 mm, rezultă:

./150/132

6/2007020070633.0 2max ac⋅⋅⋅1031010600 2

333

mmN <=⋅⋅

+⋅

=σ 20

;633.0;36.90

2mmN

i zz

zf

=⋅

=⇒==

σ

ϕλ

Dimensiunile secţiunii vor fi deci b = 70 mm şi h = 200 mm.

l

289

Page 291: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL14

ITĂRI DINAMICE

SOLIC

Solicitările dinamice apar când asupra unui sistem acţionează sarcini a căror intensitate variază în timp. Sarcinile, în acest caz, se numesc sarcini dinamice. La calculul eforturilor şi al deplasărilor se va ţine seama de

era ţiilor, solicitările

- dinamice prin şoc, caracterizate prin variaţii foarte rapide ale

acceleraţiilor; - solicitări dinamice cu acceleraţii variabile în timp.

14.1 Solicitări dinamice prin şoc

accel ţii. În funcţie de modul de variaţie al acceleradinamice se clasifică astfel:

solicitări dinamice cu acceleraţie constantă în mărime şi direcţie; - solicitări

Se consideră un sistem elastic având în punctul de ciocnire masa mr

lui real cu masă distribuită cu un corp liber cu o masă echivalentă concentrată în punctul de contact, cu aceeaşi energie inetică şi cantitate de mişcare ca şi corpul lovit în momentul şocului

obţinută prin înlocuirea corpu

c(fig.14.1.a).

Săgeata dinamică Δd (fig.14.1.c) se consideră produsă de o forţă dinamică Fd = ΨF, în care Ψ este coeficientul dinamic sau multiplicator de

act. În consecin inarea imp ţă, calculul dinamic la şoc se reduce la determcoeficientului Ψ.

290

Page 292: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Prin aplicarea teoremei energiei cinetice pentru corpuri elastice se obţine expresia:

;;112

kv++=Ψ 11

rst mmmk

g +=

Δ

e seama de masa corp lui lovit, mr = mtot.k2, mtot-

masa totală a barei şi

în care k1- coeficient ce ţin u

.1∫⎜⎛

=l

k0

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎝ ΔΔ

st

x dxl

ocului produs de căderea masei m, v2 = 2gh şi Ψ devine:

În cazul ş

.2h11 1kst

⋅Δ

++=Ψ

ontal, coeficientul dina ic este:

În cazul şocului oriz m

.1

20 k

gv

st

⋅Δ

Problema 14.1 Pentru sistemul de bare din figura 14.1 se cere să se determine

tensiunea maximă să nu depăşească valoarea σa = 240 N/mm . Se dau α = 300, A1 = 5 cm2, A2 = 4 cm2. mărimea forţei P aplicată brusc, astfel ca

2

291

Page 293: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Datorită ipotezei micilor deformaţii se aproximează α1 cu α, E/E// reprezintă alungirea barei ED sub acţiunea forţei P, E/E reprezentând alungirea barei EC sub acţiu Din ecuaţia de pro 14.1b):

nea forţei P, astfel: / .;;cos ///

112 EElEElll =Δ=ΔΔ=Δ α 2

iecţii pe verticală rezultă (fig.

;;1

111

2

222 EA

lEA

l =Δ=Δ

;0cos2 21

lNlNPN N+α − =

astfel rezultă sistemul de ecuaţii:

⎪⎨

⎧ ⋅= ;cos1122 lNE

lN α

=−+⋅ ;0cos212

PNN α

⎩ 21

cu

EAA

;353.030co521cos21 31

21 PAPN

+=

+=

α s

403

PA=

30cos5cos 0221A α

42Arespectiv

.381.0cos21

131

2 PAPN =+

2A Rezultă că N2 > N1. Datorită aplicării bruşte a forţei P, Ψ = 2; condiţia de rezistenţă este:

;240400

381.02;2

2 =⋅

≤Ψ

=P

AN

ad σσ

rezultă P = 125950 N. Problema 14.2 Pe grinda de lemn din figura 14.2a, cu secţiunea pătrată cu latura l = 80 mm, cade greutatea P = 20 N cu viteza v = 3 m/s. Se cere verificarea grinzii, dacă σa = 10 N/mm2 şi E = 104 N/mm2.

292

Page 294: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Condiţia de verificare pentru solicitarea de încovoiere dinamică este: ;astd σσσ ≤⋅Ψ=

cu .11;2

stst g

vWM

Δ++=Ψ=σ

Δst se calculează cu metoda de integrare Veresceaghin considerând forţa P = 20 N aplicată static în punctul A (fig.14.2b;c):

;074.1

;1033.34110

03.0302.010

02.05.13202.0

2110

;dxmMst =Δ ∫

44

99

mmEI

EI

st

st

=Δ⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=Δ

cu:

.1033.85

680

6

;1033.3411280

1233

33

4444

mmlW

mmlI

⋅===

⋅===

Astfel, rezultă:

;2.30

074.19810300011

;/234.01033.851002.0

2

23

6

=⋅

++=Ψ

=⋅⋅

= mmNstσ

293

Page 295: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

./10/07.7234.02.30 22 mmNmmN ad =<=⋅= σσ Problema 14.3 Pe grinda simplu rezemată din figura 14.3a, având secţiunea profil

h = 4 cm. Se consideră masa totală a barei mtot I30 = 166 kg. Să se verifice grinda ţinându-

lovit. Se dă σa = 50 N/mm2.

I30, cade o greutate de masă m = 100 kg de la înălţimea

se seama de masa corpului

Verificarea condiţiei de rezistenţă:

;astd σσσ ≤⋅Ψ= presupune determinarea lui Ψ:

.1

;;;11 211 ⋅=+

=Δ totr

rst

kmmmkk

1

12

0

2

⎟⎟⎠

⎛ Δl

st

x dx

m

h

lculul lui Δst se aplică regula lui Veresceaghin considerând rţa F

++=Ψ

2 ∫⎜⎜ Δ=l

k

Pentru cafo = mg aplicată static în punctul C pe grindă (fig.14.3b):

( ) .0268.0109800101.248

31081.910048

124423

1

;dxEI

mMst =Δ ∫

45

333

mEI

FlEI

lFllst =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅=Δ

calculul săgeţii Δx se foloseşte metoda grinzii conjugate pentru acelaşi caz de solicitare statică, (fig.14.3c): Pentru

294

Page 296: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

.EIM f

xx =Δ

Datorită simetriei geometrice şi mecanice reacţiunile sunt egale între ele şi egale cu jumătate din încărcare:

.

1216321

216

;16242

1

322

2

FxxFlxxFxxFlM

FllFlV

fx

fA

−=−=

==

Se calculează k2 ştiind că:

( )

( ) .3517432

1

==k

;431

2

0

23272

323

−=ΔΔ

st

x

dxxxll

xxll

ştiind că:

l

Se calculează k1

.64.41553.00268.0

40211

;553.01;507.802

==

100507.801

1

=⋅⋅

++=Ψ

+

=⋅=

k

kgkmm totr

ia de rezistenţă devine: Condiţ

./50/91.46106534

10381.910064.414

223

3

mmNmmNWFl

ad =<=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅Ψ= σσ

igura 14.4a cade în punctul C o greutate de masă m = 80 kg, de la înălţimea h = 5 cm. Se consideră masa cadrului redusă în

t. Secţiunea cadrului este alcătuită din două profile U26 pe tronsoanele AB şi BC, iar pe tronsonul BD un singur asemenea profil. Să se calculeze săgeata dinamică în C; se cunoaşte a = 1 m.

Problema 14.4 Pe cadrul din f

punctul C cu mr = 1,2

295

Page 297: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

296

Page 298: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

ază cu rela

Săgeata dinamică se calcule ţia:

.0625.0

80102.11

1

1

1

;211; 1⋅++=ΨΔ⋅Ψ=Δ khstd

31 =⋅

+=

+=

Δ

mmk

r

st

Δ se calculează cu regula lui Veresceaghin aplicând static forţa F = dată static nedeterminat; se alege o formă

de bază (fig.14.4b). Se trasează diagramele M0 şi m1 (fig.14.4c şi d). Se calculează termenii:

stmg în punctul C. Sistemul este o

.2;15 301

10

32

111 EI

FadxEIMm

EIadx

EIm

= ∫δ ==Δ= ∫

Din relaţia δ11 X1 + Δ10 = 0, rezultă X1 = -0,133F. entru calculul lui Δst se trasează diagrama

C ă (fig.14.4f), astfel:

Se trasează diagrama M; pm 0 pe forma de baz

.98.120625.00438.0

50211

;0438.0104820101.2 5 ⋅⋅⋅st1081.98056.0

;56.6.0431

31

21

;

4

9

3

0

=⋅⋅

++=Ψ

=⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅⋅=Δ

=Δ ∫

mm

EIFaFaaaFaaa

EI

dxEImM

st

Cst

Săgeata dinamică în punctul de ciocnire va fi:

0

.568.00438.098.12 mmstCdc =⋅=Δ⋅Ψ=Δ

297

Page 299: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

CAPITOLUL 15

SOLICITĂRI VARIABILE

Solicitările variabile sunt solicitări la care tensiunile variază în timp; după modul în care variază, acestea pot fi solicitări aleatoare sau periodice. Solicitările periodice pot fi staţionare (când tensiunile variază între o limită superioară σmax sau τmax şi una inferioară σmin sau τmin), respectiv nestaţionare, când tensiunile variază ca amplitudine în decursul unei perioade. 15.1 Solicitări staţionare Variaţia tensiunii, pornind de la o valoare oarecare până ajunge din nou la aceeaşi valoare şi acelaşi sens de variaţie, formează un ciclu de solicitare. Timpul în care se produce ciclul de solicitare, T, se numeşte perioada ciclului (fig.15.1.1a).

298

Page 300: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Ciclurile pot fi ondulante (fig.15.1.1a), la care σmax şi σmin au acelaşi care σmax şi σmin au semne

contrarii. Un ciclu ondulant devine pulsator când tensiunea σmin (sau σmax) este nulă (fig.15.1.1b). Ciclul alternant este simetric când σmax = - σmin (fig.15.1.1d).

σmax şi σmin se definesc: - tensiunea medie σm = (σmax + σmin)/2; - amplitudinea tensiunii σa = (σmax - σmin)/2; -

de oboseală a materialelor. Valoarea tensiunii maxime la care o epruvetă nu se rupe oricât de

mărul ciclurilor de solicitare reprezintă rezistenţa la oboseală a

semn, respectiv cicluri alternante (fig.15.1.1c) la

În funcţie de

coeficientul de asimetrie al ciclului R = σmin / σmax. Piesele supuse la solicitări variabile se rup după un număr de cicluri

de solicitare la tensiuni inferioare limitei de rezistenţă statică. Acesta reprezintă fenomenul

mare ar fi numaterialului din care a fost confecţionată epruveta.

i Rezistenţa la oboseală se determină exper mental, pe epruvete solicitate variabil; se reprezintă curba σ - N (număr de cicluri – fig.15.1.2), denumită curba lui Wöhler.

15.2 Factorii care influenţează rezistenţa la oboseală

a) Factori constructivi

Influenţa factorilor constructivi se troduce în calcule prin concentratorul de tensiune βk > 1 şi coeficientul

imensional εk < 1. b) Factori tehnologici

ind

În calculele de rezistenţă se introduce oeficientul de stare a suprafeţei γk < 1.

c) Factorii de exploatare.c

299

Page 301: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

15.3 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile

Diagrama în coordon ezentare clară a rezistenţei materialului în cazul tensiunilor variabile. Datorită dificultăţilor obţinerii pe cale experimentală a c ulelor la oboseală sub formă analitică, se folosesc reprezentări simplificate şi aproximative ale acestei curbe care se numesc diagrame schematizate.

ate σm, σa dă o repr

urbei limită şi a efectuării calc

Coeficientul de siguranţă la solicitările prin cicluri alternant simetrice se calculează cu relaţia:

.1

ak

γεβσ−=

Coeficientul de siguranţă la solicitările prin cicluri asimetrice este:

;1

1 rσσγε −

în cazul materialelor fragile, respectiv:

mak σ+

c σβ=

;1c =

1 c

mak

σσ

σσ

γεβ

+−

în cazul materialelor tenace. Coeficientul de siguranţă la solicitări compuse, produse de sarcini variabile ciclice este:

;22τσ

τσ

ccccc+

=

în care cσ şi cτ reprezintă coeficienţii de siguranţă la solicitările variabile simple corespunzătoare tensiunilor σ, τ obţinute. Coeficientul de siguranţă odată determinat trebuie să fie mai mare sau egal cu cel admisibil pentru categoria respectivă de piese: Problema 15.1 Pe arborele cu secţiune circulară plină sunt montate roţile de curea având razele R1 = 20 cm şi R2 = 30 cm (fig.15.1). Se cunosc puterea transmisă P = 70 kW, turaţia n = 200 rot/min, σc = 460 N/mm2, σ-1 = 120 N/mm2, σa = 50 N/mm2, (βk/εγ)σ = 1,85, (βk/εγ)τ = 1,56. Folosind teoria III

.acc ≥

300

Page 302: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

de rezistenţă să se dimensioneze arborele. Se cunoaşte coeficientul de siguranţă admisibil ca = 1,5.

Cunoscând puterea şi turaţia se determină momentul de torsiune:

;34.355.9 kNmnPMt ==

în dreptul primei roţi momentul de torsiune este:

;4.334;35.82

;2 111

111 kNTFkNT

MTRTM yt

t ====⇒=

iar în dreptul roţii 2 momentul de torsiune este: .98.255.3;42.7;5.1 22222 kNTFkNTRTM yt ===⇒= Se trasează diagramele Mt şi Mi. Secţiunea cea mai solicitată este B;condiţia de rezistenţă la solicitarea compusă de încovoiere este:

.156;5.18

34.3186.18

3222M Bech

a

=+=

σ;

;

mmdkNm

Wi

ech

=⇒

==

≤= σσ

consideră un diametru efectiv de 180 m. Se calculează coeficientul de siguranţă ţinând cont că solicitarea de

3dim dMW

W

echneci

ai

ech

M

m

Solicitarea fiind variabilă se

301

Page 303: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

încovoier e rsiune reprezintă un ciclu pulsant (R = 0) ca urmare a pornirilor şi opririlor

e reprezintă un ciclu alternant simetric (R = -1), iar solicitarea dtodese în acelaşi sens. Coeficientul de siguranţă la încovoiere este:

;/78.31

32180

10186.18

;;1minmax

minmaxminmax

ck

−=+

+−

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= σσσσσσβσ

22

max

1

Mc

=

⎠⎝ −

σ

σσγε σ

23

6

max mmN=⋅

⋅=

π

W

.04.22

1 =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⎞⎛

= −σ βσσβ

c

2

1

max

1

max

⎞⎛

⎟⎜−

σ

σ

γεσ

σkk

Coeficientul de siguranţă la torsiune este:

⎟⎠

⎜⎝ γε

( )

.6.22

230292.2

60.292.256.1

1

;/92.2

16180

1034.3

;0,

22

1=τc

23

6

minmax

1

max

=+⋅

=⋅

=

=+⎟⎟

⎞⎛

−τ

τ

ττ

ττ

γεβ

mmNMt

c

k⎜⎜⎝

max =τ

W ⋅πp

=τc

⋅ La solicitarea compusă de încovoiere cu torsiune coeficientul de siguranţă este:

.5.1043.26.2204.22222

>=+ 624

= .20.2

⋅== acccc τσ

+ cc τσ

Diametrul ales, d = 180 mm, este corespunzător. Problema 15.2 Pe un arbore cu secţiunea circulară plină sunt montate roţile 1 şi 2 solicitate ca în figura 15.2. Folosind teoria III de rezistenţă să se dimensioneze arborele. Se dau R1 = 250 mm, R2 = 200 mm, P = 60 kW, n =

302

Page 304: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

100 rot/min, σ = 350 N/mm2, σ = 230 N/mm2, τ = 180 N/mm2, τ = 130 c -1 c -1

N/mm2, σa = 50 N/mm2, ca = 1,5, (βk/ε γ)σ = 2,3, (βk/ε γ)τ = 2,083.

Se trasează diagramele de momente M , M , M ; secţiunea cea mai

iere rezultă diametrul:

y z tsolicitată este 2. Din condiţia de dimensionare la solicitarea de încovo

.12.151;3294.15

7.51150

1094.15 36

mmdd=⇒

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅ π

;1094.151019.138953

;32

1

2

6322

3dim

2

NmmM

dWMMM

W

i

ii

t

a

ineci

⋅=⋅+=

⋅==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

πσ

303

Page 305: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

Se alege un diametru de 180 mm, solicitarea fiind variabilă. Se verifică coeficientul de siguranţă la solicitarea compusă:

.22 ac

ccc >

+= τσ

cc

τσ

Solicitarea de încovoiere reprezintă un ciclu alternant simetric (R = -1). Solicitarea de torsiune reprezintă un ciclu pulsant ( R = 0) datorită pornirilor şi opririlor dese în acelaşi sens.

ientul de siguranţă la solicitarea de încovoiere este: Coefic

;/78.27

32180

1094.15

;;

22

1

23

6max

max

minmaxminmax

1

minmax

mmNW

M

c

c

k

=⋅⋅

==

−=+

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π

σσ

σσσ

σσσ

γεβ

σ

σ

σ

.6.33.278.27

230

22

1

max

1

1

max

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

σ

σ

σ βγε

σσ

σσ

γεβ kk

c

Coeficientul de siguranţă la solicitarea de torsiune este:

.57.18

18098.4

13098.4083.2

2

;/98.4

1616 180

107.5

;0;

22

1

23

6

3max

miminmax

1

minmax

=+⋅

=

=⋅⋅

==

=+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

τ

τ

ππτ

τ

τττ

γεβ

τττ

c

mmNd

Mt

c

k

ste:

nτc

Coeficientul de siguranţă la solicitarea compusă e

.53.2 57.186.3 22 +

57.186.3acc >=

⋅=

Diametrul ales de 180 mm este corespunzător.

304

Page 306: PROBLEME DE REZISTENŢA MATERIALELOR - utilajutcb.ro · probleme rezolvate ce constituie exemple concrete de calcul de proiectare a unor piese de maini şşi utilaje, exemple ce sunt

305

Bibliografie

1. C. Bia, V. Ille, M. Soare – Rezistenţa Materialelor şi Teoria

elasticităţii. Ed. Didactică şi Pedagogică Buc. 1983 2. D. Boiangiu, C. Georgescu, M. Soare – Probleme de Rezistenţa

Materialelor. Ed. Tehnică 1989 3. Al. Constantinescu – Probleme elementare de calcul integral şi

diferenţial. Ed. Cezara Print Buc. 1998 4. Al. Constantinescu – Mecanica pentru colegii universitare. Ed. Matrix

Rom Buc. 2001 5. N. Posea, Al. Anghel, C. Manea, Gh. Hotea – Rezistenţa Materialelor.

Probleme. Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică Buc. 1986 6. M. Soare, D. Iordache, I. Andreescu – Rezistenţa Materialelor.

Culegere de probleme. Solicitări compuse. Institutul de Construcţii Buc. 1992

7. M. Soare, D. Iordache, I. Andreescu, C. Aldea – Rezistenţa Materialelor. Culegere de probleme. Probleme speciale de încovoiere. Flambaj. Şoc. Institutul de Construcţii Buc. 1993