probleme de calcul matriceal - auxiliare.ro › web_continut › fisiere › probleme de calcul...

FLORIN STĂNESCU

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL

OLIMPIADE, CONCURSURI ȘCOLARE ȘI BACALAUREAT

Soției mele, Gabriela Felicia, cu gratitudine

ARGUMENT 5

Argument

Această lucrare conține probleme de calcul matriceal, probleme în care esențiale sunt următoarele noțiuni:

– rangul unei matrice; – vectorii proprii și valorile proprii ale unei matrice; – puterile naturale ale unei matrice; – determinantul unei matrice. Am considerat că este mai util să împart lucrarea în două capitole, Cazuri

particulare și Cazul general, problemele fiind însoțite de soluții aproape integrale, iar acolo, unde am considerat că este mai avantajos în perspectiva implicării cititorului în rezolvarea problemelor, am prezentat numai câteva scurte, dar esențiale, indicații. La începutul lucrării este prezentat un Breviar teoretic cu noțiuni importante din calculul matriceal, iar la sfârșitul fiecărui capitol se găsesc cinci teste utile pentru exersarea abilităților și competențelor specifice.

Cele peste 450 de probleme au fost selecționate din următoarele surse: 1) subiecte date la olimpiadele naționale; 2) subiecte date la concursurile naționale; 3) probleme apărute în prestigioase reviste de specialitate; 4) probleme clasice din domeniu; 5) probleme ale autorului. Un instrument util de selecție a problemelor s-a dovedit a fi internetul și, în

special, site-ul Mathlinks. Odată lămurite aceste noțiuni de către elevii ce se pregătesc pentru

olimpiadele de matematică, bacalaureat şi pentru admiterea la facultate, stârnind curiozitatea pasionaților, nu pot decât să-i invit pe aceștia să-și exerseze „răbdarea” către aflarea unor soluții elegante.

Culegerea poate de folos profesorilor în pregătirea lecțiilor de la clasă sau pentru exersarea abilităților matematice ale elevilor din centrele de excelență.

Urez succes tuturor celor ce folosesc această carte ca un instrument de antrenament!

Autorul

BREVIAR TEORETIC 7

Breviar teoretic (Sylvester)

i) , nA B M , atunci: min ; ;rangA rangB n rang AB rangA rangB

ii) 1 2, ,..., m nA A A M , atunci:

1 21

... 1m

m kk

rang A A A rang A m n

. ,, m nA B M , avem rang A B rang A rang B ; Dacă ,m nA M , atunci Trang A rang AA ; Dacă 3,A B M și rangA rangB , atunci 2 2rangA rangB . Dacă 2 3A O , atunci 1rangA și 0TrA ; Dacă nA M și 1rangA , atunci det 1nI A TrA ; Dacă *, , ,q m q m atunci m qn nrang I A rang I A ; Dacă nA M este o matrice inversabilă, atunci rang AB rang B . Dacă , , ,nA B M rangX n rangA rangB , atunci:

rang AX rang BX . Avem rangA rangB există matricele inversabile ,X Y astfel încât:

A XBY . Dacă rangA r , atunci există matricele nesingulare , nP Q M astfel

încât 0

0 0rIQAP

.

Dacă nA M , astfel încât rangA r , atunci există , ,n rB M ,r nC M , cu proprietatea că A BC , iar rangB rangC r .

Numărul complex se numește valoare proprie pentru matricea nA M , dacă există o matrice coloană nenulă ,1nX M astfel încât .A X X

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 8 Matricea ,1nX M se numește vector propriu pentru A, corespunzător valorii proprii A. Mulțimea valorilor proprii ale matricei A se numește spectrul matricei A și se notează cu .pS A Dacă nA M este o matrice pătratică, atunci este o valoare proprie pentru matricea A dacă și numai dacă det 0.nA I Dacă )(CMA n este o matrice pătratică, atunci polinomul pA(x) = det(xIn – A) se numește polinom caracteristic al matricei A, iar ecuația 0)( xpA se numește ecuația caracteristică a matricei A. Pentru )(CMA n și niii k ,...,2,1,...,, 21 , k numere distincte, notăm

kiiid ,...,, 21 determinantul matricei obținute din matricea A prin suprimarea liniilor și coloanelor cu numerele kiii ,...,, 21 .Acesta este un minor principal de ordinul kn al matricei .A Dacă este o permutare de gradul k , atunci

kiiid ,...,, 21 = )()2()1( ,...,, kiiid .

Dacă ),(CMA n atunci: ,)1(...)( 2211 nnnnnA CxCxCxxp unde

kC este suma minorilor principali de ordinul k . Avem ,1 TrAC *

1det ,n nC A C TrA , deci .det)1(...)(1 ATrAxxxp nnnA

În particular, dacă 1 2, ,..., ,p nS A avem relațiile:

1 1

n n

ii ii i

TrA a

1 1

ii iji j

ji jji j n i j n

a aa a

1

det .n

ii

A

Dacă nA M satisface ecuația 0 1 ... 0,mmx x atunci orice valoare proprie a lui Asatisface aceeași ecuație. Astfel, pentru 2n , ecuația caracteristică este: 0det2 AxTrAx , iar pentru 3n , ecuația caracteristică este: 3 2 * det 0.x TrA x TrA x A Fie n ,...,, 21 valorile proprii ale matricei )(CMA n . Dacă considerăm polinomul kk

kk aXaXaXaf

11

10 ... , atunci valorile proprii ale lui

BREVIAR TEORETIC 9

nkkkk IaAaAaAaAf

11

10 ...)( sunt )(),....,(),( 21 nfff , iar ).(....)()()(det 21 nfffAf

Dacă este o valoare proprie a matricei A, atunci k este o valoare proprie pentru matricea kA , iar dacă matricea A este inversabilă, atunci k este o valoare proprie a matricei 1, kA k . Matricele AB și BA au aceleași valori proprii. (Hamilton-Cayley) Orice matrice pătratică )(CMA n este rădăcină a poli-nomului său caracteristic, adică .)( nA OAp Dacă , nA B M sunt două matrice care comută, atunci valorile proprii ale matricei A + B sunt de forma a + b, unde a şi b sunt valori proprii pentru matricele A, respectiv B Demonstrație. Fie c o valoare proprie pentru matricea A + B și

,1nX O un vector propriu corespunzător. Atunci ,A B X cX de unde nAX c I B X . Dacă 1 2, ,..., na a a sunt valorile proprii ale matricei A,

atunci , 1, .i n i nA a I X c a I B X i n . Mai departe: 2 1 2 1n n n nA a I A a I A a I c a I B X

1 2 1 2 ,n n n nc a I B A a I X c a I B c a I B X deoarece .AB BA Astfel, înmulțind cele n relații de mai sus, obținem

1 1

1 .n n

ni n i n

i iA a I X B c a I X

Cum

1

n

i n ni

A a I O

și

,1nX O , obținem că 1

det 0.n

i ni

B c a I

Astfel, există i pentru

care avem det 0,i nB c a I deci i ib c a sunt valori proprii ale ma-tricei B, ceea ce încheie demonstrația. Rangul unei matrice este mai mare sau egal decât numărul de valori proprii nenule ale matricei. Fiind dată o matrice ,nA M K K corp de numere, există un unic polinom monic de grad n, Am X K X astfel încât A nm A O . Acest polinom se numește polinom minimal al lui A. (Frobenius) Fie K un corp de numere, nA M . Atunci, polinomul

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 10minimal Am X și polinomul caracteristic al lui A, Ap X , au aceiași divizori ireductibili în K X . Dacă matricea 2A M are valorile proprii 1 2, , atunci există și sunt unice matricele 2,B C M astfel încât:

1 2 1 2

1 1 1 2

,, 1

,

n nn

n n

B CA n

B n C

.

Dacă matricea 2A M are valorile proprii 1 2, , atunci:

1 2 1 21 2 2 1 2

1 2 1 21

1 1 2 1 2

,, 1

1 ,

n n n n

n

n n

A IA n

n A n I

.

ENUNŢURI 11

Enunţuri

Capitolul A. Cazuri particulare

A.I. n = 2

Probleme rezolvate

R.A.1. Fie , 3.n n Determinați matricele 2X M astfel încât: 2 1 1 .

1 1n nX X

Laurențiu Panaitopol Soluție. Din enunț avem că 2 2 2det det 0,nX X I de unde det 0X sau 2det 0.nX I Dacă 2det 0,nX I atunci:

2 2det det 0 det 1X iI X iI X iTrX det 1 0X iTrX 2 2det 1 0 det 1X TrX X și 2 2 20TrX X I O

2 2n nX X O , contradicție. Astfel, det 0,X ceea ce implică, inductiv,

că kX 1 *, .kTrX X k De aici:

1 3 21 1 2.1 1

n n n nTrX TrX X TrX TrX

Pentru n impar, ultima ecuație are soluția unică 1TrX , ceea ce implică 1 11 .1 12

X

Pentru n par, obținem 1,1 ,TrX ceea ce implică

1 11 .1 12

X

R.A.2. Considerăm mulțimea de matrice , .a b

M a bb a

Arătați că,

pentru fiecare , 2n n , mulțimea M conține exact două submulțimi H cu n elemente stabile.

Marcel Țena

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 12Soluție. Se observă că, dacă 2 , ,XY O X Y M , atunci 2X O sau 2.Y O De asemenea, ,XY YX ,X Y M . Presupunem că 2 .O H Fie 1., 2, ,..., .nH X X X Dacă ,X H atunci 1 2 1 2... ...n nXX XX XX X X X , de unde rezultă 2 1 2 2... ,n nX I X X X O deci 2 .nX I Este clar că det X = 1

2 2 1a b . Punem cos sincos , sin , 0,2sin cos

n nt nta t b t t Xnt nt

cos sin1 0 2 2, 0, 1 , 0, 1 .sin cos0 1

k kk

k k

t tk kt k n H t k nt tn n

Dacă 2 ,O H atunci 2' \H H O verifică primul caz, iar cos sin 2 , 0, 2sin cos 1

k kk

k k

t t kH t k nt t n

2O .

R.A.3. Dacă 2X M este o matrice, atunci 2 2det .

2TrX TrX

X

Soluție. Din teorema Hamilton-Cayley, 2 2detX TrX X X O , aplicând urma, obținem:

2 222 2det 0 det .

2TrX TrX

TrX TrX X X

R.A.4. Dacă 2,A B M sunt două matrice și ,x atunci avem egalitatea: det A xB 2det det .A TrA TrB Tr AB x B x

Soluție. Luând a b

Ac d

și e f

Bg h

, obținem:

det a xe b xfA xBc xg d xh

2x eh gf x ed ah bg cf ad bc

= 2 det det .x B x TrA TrB Tr AB A Consecința 1. Pentru 1x , obținem că:

det det det ,A B A B Tr A Tr B Tr AB astfel det det det .A B A B Tr A Tr B Tr AB

CAPITOLUL A. CAZURI PARTICULARE 13

Consecința 2. Pentru 1,1 ,x avem că: det det 2 ,A B A B TrA TrB Tr AB

deci det det .A B A B TrA TrB Tr AB R.A.5. Fie 2,A B M astfel încât 2AB BA O și det 0.A B Arătați că TrA 0TrB .

G.M.B. Soluție. Avem 2 22 2 ,A B A B A B de unde det 0.A B Cum 2AB BA O , rezultă că 0.Tr AB Relațiile det 0 detA B A B implică 0Tr AB TrA TrB și det det det 0.A B A B Presupunem că 0.TrA Din teorema Hamilton-Cayley rezultă:

2 2 0 0.A B Tr A B A B O Tr A B TrB R.A.6. Dacă 2,A B M , iar \ este o rădăcina de ordinul trei a unității, atunci 2 2 2det det det .A B A B BA AB BA

Florin Stănescu,G.M.-B

Soluție. Folosind 2 211 0, 1, 0,

, putem scrie:

2det A B 2 2det det detA B A B A B BA AB 2 221 det 1A B BA AB = 2 22 11 det A B BA AB BA 2 2 221 det detAB BA A B BA

+ 2 2 2 2Tr A B BA Tr AB BA Tr A B BA AB BA 23 2 2 3 221 det AB BA Tr A B A BA B AB B A BA B BA + 2 2 2det A B BA 22 2 2 2 2det detAB BA Tr A B AB A B BA

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 14

22 2 2det AB BA Tr A B AB 2 2 2det A B BA 2 2 2det det detAB BA AB BA A B BA 2 2 2 2 2det det det det .AB BA A B BA A B BA AB BA Este evident că și 2 2 2det det det .B A A B AB AB BA R.A.7. Fie 2,A B M astfel încât 2 2 2 .A B AB a) Arătați că AB BA . b) Arătați că .TrA TrB

Marian Ionescu Soluție. Vom face demonstrația pentru 2, .A B M a) Din enunț, avem 2 2 2 22: 2 0 det 2A B AB O A B AB 2 2 2 2det detA B AB BA AB BA A B AB BA + 2 2det AB BA tr A B AB BA tr AB BA + 22 2 det det ,tr AB BA A B AB BA A B AB BA deoarece

2 2 0.tr AB BA A B AB BA Tot din enunț obținem că: 2 22 2 detA B AB BA AB BA A B AB BA A B

det ,AB BA iar din 20 det detA B AB BA 0 2det AB BA det 0AB BA 2 2.AB BA O Cum 22 2A B AB BA AB BA A B AB BA 4A B 2 2AB BA O

2 2 22 2A B O A B AB BA O

2 .AB BA O AB BA

b) Cum 2 2 ,A B O din teorema Hamilton-Cayley obținem că: 0A B Tr A B 2 0Tr A B TrA TrB .

R.A.8. Fie ,A B două matrice de ordinul doi, având elemente numere reale, astfel încât 2 2A B AB și 2.BA O Să se arate că 2.AB O

Dinu Șerbănescu Soluție. Dacă \ este o rădăcină de ordinul trei a unității, atunci avem:

2 2 2det det det det det 0A B A B BA AB BA AB AB


2det 0 det det 0A B A TrA TrB Tr AB B det det .A TrA TrB Tr AB B Din 2BA O avem că cel puțin una dintre matricele A sau B are determinantul nul, de unde det A TrA TrB – Tr AB det B = 0. Rezultă 2A TrA A și 2 ,B TrB B de unde, înlo-cuind în enunț, obținem 2 2TrA A TrB B AB TrA TrB Tr AB

.Tr A Tr B Dacă 0,TrA atunci 2

1 0,TrB TrBTrA TrA

deci TrBTrA

este soluție pentru ecuația 21 0,x x deci \ ,TrBTrA

contradicție.

Astfel: 0 0 0.TrA TrB AB TrA A TrB B R.A.9. Fie 2, ,A B C M . Atunci, următoarele afirmații sunt adevărate: 1. Dacă 2 2A O , atunci 0;Tr ACA 2. Dacă 3 2 ,C O atunci

22 ;C O

3. Dacă 2 2 2 ,A B AB O atunci 2.BA O Sorin Rădulescu și Petruș Alexandrescu

Soluție. 1. Avem 2 0.Tr ACA Tr A C 2. Dacă 1 2, sunt valorile proprii ale matricei C, din 3 2C O rezultă

.2

1 2 20 .H Cayley

C O

3. Raționament asemănător problemei R.A.5. R.A.10. Fie 2,A B M , cu proprietatea 2 2 .A B AB Să se arate că:

2 2 .AB BA O Marian Ionescu

Soluție. Vom face demonstrația pentru 2, .A B M Este clar că 2 2det det .A B AB Acum, plecând de la relația din enunț, putem scrie: 2 2 2 2A B AB A B AB BA BA

.

2 2 2 2det det det detA B AB BA AB A B AB BA

2 2det det

2 2 2 2 detA B AB

Tr A B Tr AB BA Tr A B AB BA AB


det 0,AB BA deoarece 0,Tr AB BA iar 2 2Tr A B AB BA = 3 2 2 3 3 3 3 3 0.Tr A B A BA B AB B A Tr A B A B Tr B A B A Acum, din teorema Hamilton-Cayley, 2AB BA Tr AB BA AB BA + 2det 0AB BA I

22 .AB BA O

R.A.11. Fie 2,A B M două matrice, astfel încât 2AB BA O și 2 , .O A B Arătați că 0Tr A Tr B sau det det 0.A B Găsiți

exemple de astfel de matrice, pentru care una dintre condiții să fie satisfăcută, iar cealaltă să nu fie adevărată.

Florin Stănescu Soluție. Cum 2AB BA O , obținem că:

2 22 2 det detA B A B A B A B 2det detA TrA TrB Tr AB B = 2det detA TrA TrB Tr AB B det det 0.TrA TrB Tr AB A B Analog, din 2 22 det detAB BA O A iB A iB 2det detA i TrA TrB Tr AB B 2det detA i TrA TrB Tr AB B = det det 0.TrA TrB Tr AB A B Astfel, am obținut că:

) : det det 0TrA TrB Tr AB A B și ) : det det 0.TrA TrB Tr AB A B

a. Dacă ,Tr AB TrA TrB folosind 2 ,AB BA O deci 0,Tr AB obți-nem că 0.TrA TrB Presupunem că 0.TrA Obținem că:

2

2 0.A O

O TrB A TrB

Astfel, 0Tr A Tr B . b. Dacă det det 0A B , din putem avea că ,Tr AB TrA TrB ceea ce


conduce la 0Tr A Tr B , sau det det 0,A B ceea ce duce la: det det 0.A B

Pentru 0,TrA TrB luăm 1 0 0 1 0 1

, ,0 1 1 0 1 0

A B AB 0 11 0

BA

2AB BA O . Se observă că det 0A și det 0.B

Pentru det det 0,A B luăm 21 1 1 1

, .1 1 1 1

A B AB BA O

Se observă că 0TrA și 0.TrB R.A.12. Fie 2,A B M și 2 .C AB BA Arătați că:

2 2.C O TrC O Dorel Miheț

Soluție. „” Dacă 2 2 ,AB BA O atunci 0.Tr AB BA „” Fie 1 2, valorile proprii ale matricei .AB BA Este limpede că

1 2 0 . Cum 2 0,Tr AB BA atunci 2 21 2 0, de unde obținem

1 2 0 , iar din relația Hamilton-Cayley rezultă că 2

2AB BA O .

R.A.13. Dacă 2,A B M și ,Tr AB TrA TrB atunci arătați că:

2

1

1 1lim det det .6

n

n kA B A B

k n k

Mihai Opincariu

Soluție. Cum 1 1 1 1 ,Tr A B Tr A Tr Bk n k k n k

atunci:

2

1 1 1det detA B Ak n k k

2

1 , 1, 1,B k nn k

de unde rezultă că

1

1 1lim detn

n kA B

k n k

1

221

1 1lim det detn

n kA B

k n k

=

21

21

1det det lim det .6

n Tr AB TrATrB

n kA B A B

k

R.A.14. Arătați că 2 2 2, , , .AB BA C C AB BA A B C M


Soluție. Cum 0,Tr AB BA din teorema Hamilton-Cayley avem că: 2AB BA 2det ,AB BA I deci 2 2 2det detAB BA C AB BA I C C AB BA I = 2 2, , , .AB BA C A B C M R.A.15. Dacă 2,A B M , atunci:

2 22 2 2.Tr AB Tr A B AB BA O

Soluție. Putem scrie: 2 2

det2

Tr AB BA Tr AB BAAB BA

= 2 2 2 2

2Tr AB Tr BA Tr AB A Tr BA B

2 2 2 .Tr AB Tr A B Cum 2 2det ,AB BA AB BA I acum este limpede că:

2 22 2 2.Tr AB Tr A B AB BA O R.A.16. Dacă 2, ,A B C M astfel încât 2 2 2det 0A B C , arătați că are loc inegalitatea:

2 2 2 2 2 2 2 2 2det det det 0.A B C A B C A B C Soluție. În relația det det det detX Y Z X Y Z = det det det , ,X Y Y Z Z Y X 2,Y Z M , înlocuind X cu

2 2 2,A B C Y cu 2 2 2A B C și Z cu 2 2 2A B C , obținem că:

2 2 2 2 2 2 2 2 2det det detA B C A B C A B C = 2 2 24 det det det 0A B C .

R.A.17. Dacă 2,A B M , atunci avem: AB BA TrB A TrA B 2 .Tr AB TrA TrB I

Demonstrație. Se ia ,a b e f

A Bc d g h

și se efectuează calculele.

R.A.18. Dacă 2,A B M , arătați că:


22 22 22 det det detAB BA O A B A B Tr AB TrA TrB . Florin Stănescu

Soluție. Putem scrie: 22det detA B Tr AB TrA TrB 22 2det 2 det det det det detA AB B A B A B 22det det det detA B A B A B

2det A B 2det det det2

A B A BA B

= det A B A B . Prin urmare: 2 2 22 det det .AB BA O A B A B A B Cum 2 2det A B det det ,A B A B AB BA obținem că 2 2 det 0,AB BA O AB BA o echivalență adevărată. R.A.19. Dacă 2,A B M și det 0,AB BA atunci au loc următoarele inegalități: a) 22 2det det detA B A B ; b) 22 2det det det .A B A B

Cezar Lupu Soluție. a) Din problema precedentă obținem identitatea:

22 2det det detA B A B 2 detTr AB TrA TrB AB BA , ceea ce implică faptul că:

22 2det det detA B A B 2 2det det .Tr AB TrA TrB A B b) În identitatea anterioară, înlocuind pe B cu iB, obținem că:

222 2det det det det ,A B A B Tr AB TrA TrB AB BA de unde:

22 22 2det det det det det .A B A B Tr AB TrA TrB A B


R.A.20. Se consideră matricea 0 1 00 0 11 0 0

A

și mulțimea

3C A X M AX XA . a) Să se arate că, dacă 3X M , atunci există , ,a b c astfel încât

23X aI bA cA .

b) Să se arate că, dacă X C A și 2004 3X O , atunci 3X O .

Soluție. a) Dacă a b c

X d e fg h i

, atunci din AX XA obținem că d = h = c,

e = i = a și f = g = a, de unde obținem că 23

a b cX c a b aI bA cA

b c a

.

b) Dacă X C A și 2 3X O , atunci 2 2 22 2 2 0,a bc b ac c ab deci 3 3a b 3 2c abc , de unde a b c și 3 32 0a a a b c .

Astfel, am arătat că, dacă X C A și 2 3 ,X O atunci 3X O . Este ușor de arătat că, dacă X C A , atunci *,kX C A k . În final, cum

22004 1002 10023 3 3X O X O X O 501 5023 3X O X O 2251 251 23 3 3 3....X O X O X O X O . R.A.21. Fie 3A M cu det 1A . Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente: a) 2 3det 0A A I ; b) 3det 6A I și 3det 0A I . Soluție. „” Fie 3 23det 1f x xI A x ax bx . Cum 2 3det 0A A I , atunci 3det A I 3det 0A I , unde este rădăcina de ordin trei a unității. Prin urmare, 0f f , ceea ce implică 2a și 2b .


Astfel, 3 22 2 1,f x x x x de unde rezultă că 3det 1 6A I f și 1 0f . „” Dacă 1 6f și 1 0f , atunci 3 22 2 1f x x x x . Rezultă că 0f f , ceea ce implică 2 3det 0A A I . R.A.22. Se consideră detP x A xB şi 3,A B M astfel încât

3AB BA O . Arătați că P i sau P ii

.

Soluție. Avem 2 3det detP x A ax bx x A , de unde obținem că: 2 2 2 2detP x A x B 2 2 4 6 2det detA mx nx x B

= 22 3det detA ax bx x A , iar prin identificarea coeficienților obținem că det det 0a A b B și det det 0A B ab . Prin urmare:

det det 0b A a B . Cum Re detP i b A și Im detP i b A ,

atunci fie P i , fie P ii

.

R.A.23. Fie matricele 3,A B M astfel încât 0,1,...,8k , matricele A + kB sunt inversabile, inversele lor având elemente numere întregi. Demonstrați că matricea A + 2004B este inversabilă și că inversa sa are, de asemenea, elemente numere întregi. Soluție. Este limpede că, dacă 3X M este inversabilă, atunci det 1X . Fie polinomul det ,g x A xB X de grad cel mult trei. Cum 0 , 1 ,..., 8 1,1f f f , atunci cel puțin patru din aceste elemente vor

avea toate valoarea 1 sau toate valoarea 1 . Prin urmare, în ambele cazuri obținem un polinom constant, 1,f x x sau 1,f x x . Rezultă că 2004 1f sau 2004 1f , ceea ce arată că matricea A + 2004B este inversabilă și că inversa sa are, de asemenea, elemente numere întregi. R.A.24. Fie 4A M o matrice inversabilă, astfel încât * 0.TrA TrA Arătați că matricea 2 4A I este singulară dacă și numai dacă există o matrice nenulă 4B M , astfel încât .AB BA

Marian Andronache

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 22Soluție. „” Cum 2 4det 0A I , atunci i este o valoare proprie pentru A, iar –i este o valoare proprie pentru At. Astfel, există ,1 ,1, , , ,n nX Y M X Y O astfel AX iX și .tA Y iY Este clar că t nB XY M . Atunci:

.tt t tAB AXY iXY X iY XY A BA Întrucât ,AB BA atunci

,AB BA deci 1 1 ,A B B B B Ai i unde B este conjugata matricei A. Prin urmare, B sau 1 B Bi anticomută cu A. „” Fie B o matrice astfel încât .AB BA Prin inducție, obținem că kA B = 1 ,k kBA 1.k Fie 4 3 2 det ,f X TrA X aX TrA X A a polinomul caracteristic al matricei A. Avem că:

4 3 24detA TrA A aA TrA A A O

4 3 2 detA TrA A aA TrA A A B = 4 3 24 det ,O B A TrA A aA TrA A A ceea ce implică:

2 4 42TrA B A I A O 2 4 4B A I O . Întrucât ,nB O obținem că 2 4det 0.A I R.A.25. Fie 4,A B M astfel încât AB BA și 2 2det 0A AB B . Arătați că det 3det 6det 6detA B A B A B .

Rică Zamfir Soluție. Fie 4 3 21 2 1det det det .p X A XB B X c X c X c X A R X Cum 2 2A AB B 2 3, \ , 1,A B A B obținem că 2 0p p . Astfel, 0p 1 2 2 3det det 0,A c c B c c

de unde 1 2 2 3det ,detA c c B c c , ceea ce implică 1 2 3det det 2 .A B c c c În final, det 3detA B A B 1 3 1p p 1 2 3det B c c c + 1 2 3det 3 det detA B c c c A = 4det 4detA B 1 2 32 2 6det 6det .c c c A B


Probleme propuse

A.I.1. Fie *n . Să se determine 2A M cu 0 1

.1 0

nA

A.I.2. Fie ijM m o matrice pătratică reală de ordinal doi astfel încât 11det M m 22 1.m Aflați elementele mulțimii , .nM n

A.I.3. Fie 2a b

A Mc d

și *, .nx y

A nz t

Să se demonstreze

că: a) dacă a d este par, atunci x t este par; b) dacă a d și b c sunt impare, atunci x t este impar.

Romeo Ilie

A.I.4. Să se determine a , știind că ecuația 21 33 7

Xa

are exact două

soluții în 2 .M M. Andronache

A.I.5. Fie o matrice pătratică de ordinal 2 cu coeficienți complecși, astfel încât 2 0.Tr A Tr A Să se arate că:

*2 2det det 2, .n nA I A I n Cristian Grecu

A.I.6. Considerăm matricele 2,A B M , astfel încât Tr A Tr B și det det .A B Dacă ,f g sunt două polinoame neconstante, cu coeficienți

reali, atunci demonstrați că: det 0.f A f B g A g B

A.I.7. Fie 2 , 0a b

A M a dc d

și det 0,A iar , 2n n ,

astfel încât n nA B B A . Arătați că .n nA B B A Anița Alice

A.I.8. Fie 2,A B M , astfel încât 2 .AB BA AB BA Arătați că

.AB BA Mihai Opincariu


A.I.9. Fie 2a b

X M Xb a b

și ,z a b unde

1 3 .2 2

z i Considerăm funcția : , .a bf f z Xb a b

Să se arate că , 1n nf z X n , și să se calculeze , 1nA n , unde 1 11 0

A .

A.I.10. Fie 1

, ,2 3

xA B

y z

unde *, , , , \ .x y z Știind

că *n , astfel încât ,n nA B să se arate că .A B Emil Vasile

A.I.11. Rezolvați în 2M ecuația: 21 32 2 .3 1

2 2

X

A.I.12. Fie șirurile 1n nu și 1n nv definite prin relația: 11

4 , 1.11

4

n

n n

n n

u v n n nv u

n n

Găsiți expresiile termenilor generali ai șirurilor și aflați limitele lor.

A.I.13. În 2M considerăm matricele 2 232 ,

3kA k I A unde *k ,

iar 1 2

.2 1

A Dacă

1

,n

n nk

kn n

a bA

c d

arătați că 1 3lim .2n

nn

ab

Florin Stănescu

A.I.14. Fie matricea 2 ( ).A M Să se arate că, pentru orice p , avem:

2det( )pA I det ( )p A ( ) 1pTr A .

Gheorghe Bordea

CAPITOLUL A. CAZURI PARTICULARE 25A.I.15. Se consideră matricea 2 ( )A M , cu .1)det( A Să se arate că:

22det( )A I

22det( 2 ) 8.A A I

Traian Tamâian A.I.16. Fie 2A M , cu det 0A d , astfel încât *det 0.A dA Să se arate că *det A dA 4.

Daniel Jinga A.I.17. Fie 0x un număr real și A o matrice pătratică de ordinul 2, care are elemente reale și verifică relația .0)det( 2

2 xIA Demonstrați că: .)det( 2

2 xxIAA Dan Nedeianu

A.I.18. Dacă 2A M , să se arate că 22 2 3det 1 det .4A A I A Dan Nedeianu

A.I.19. Se consideră numerele reale a, b, cu 2 0.b a Determinați toate matricele 2A M astfel încât 2 2det 2 0.A aA bI

Radu Gologan A.I.20. Fie A și B două matrice de ordinul 2 cu coeficienții complecși. Arătați că, dacă det 2 det 2 ,A B A B atunci det det .A B A.I.21. Fie 0,t un număr real și 2n un număr natural. Determinați toate matricele 2X M care verifică ecuația:

cos sin.

sin cosn t tX

t t

Concursul „Al. Papiu-Ilarian” A.I.22. Fie a, b două numere natural nenule, astfel încât numărul a2 + b2 să fie

pătrat perfect. Notăm na b

b a

cu , 2.n nn n

a bn

b a

Arătați că 0,nb

pentru orice , 2.n n Vasile Pop

A.I.23. Fie A o matrice de ordinul 2 cu elemente reale și 1, 2 rădăcinile polinomului P = det(A – I2). Arătați că:

2 2 21 2 2 2 1 2 2 .n n nA I A I I

Concursul „Matematica de drag”


A.I.24. Se consideră matricea cos 2 sin 2

, .sin 2 cos 2a

a aA a

a a

a) Arătați că există * ,k astfel încât dacă și numai dacă a .

b) Fiind dat un număr *,n atunci arătaţi că * 2min kan k A I dacă și numai dacă ,ba

n cu ,b , 1.b n

Concursul „Teodor Topan” A.I.25. Se consideră mulțimea G a matricelor 2A M de forma

0, , 0.

0a

A a bb

Determinați submulțimile H G cu șapte elemente,

care au proprietatea că ,BC H oricare ar fi , .B C H Concursul „Teodor Topan”

A.I.26. Fie 2,A B M , astfel încât det A și det A B sunt numere întregi impare. Arătați că: det 0, .A xB x

Concursul „Sinus”

A.I.27. Fie 22 , 4 0.a b

A M a d bcc d

Arătați că există n ,

astfel ca 0 1 , .1 0

nA n N

Festivalul Internațional de Matematică și Informatică A.I.28. Fie 2,A B M pentru care există un număr natural 2k , astfel încât det det .k k k kA B A B AB BA Arătați că 2 .kAB BA O

Florin Stănescu, Concursul „Grigore Moisil” A.I.29. Pentru orice matrice 2A M și orice număr natural n, se notează f n 2det nA I și 2det .ng n A I

a) Dați exemplu de o matrice pentru care 2 0.f b) Arătați că, dacă există 2A M , astfel încât 2 2f g și 3 3 ,f g atunci 2 2 .A O

G.M.-B

CAPITOLUL A. CAZURI PARTICULARE 27A.I.30. Notăm cu G mulțimea matricelor din 2M cu determinantul nenul. Fie , .A B G Spunem că A divide B și notăm A B dacă și numai dacă există

2,X Y M , astfel încât .B XAY a) Arătați că, dacă A B , atunci det det .A B Este adevărată reciproca? b) Dacă A B și det det ,A B atunci .B A

c) Dacă *det , ,p A p atunci 1 0

.0

Ap

Raluca și Marius Mohonea A.I.31. a) Dacă matricea 2A M satisface relația 3 2 23 4 2 ,A A A I arătați că 2.Tr A b) Arătați că există matricea 2A M pentru care 3 2 23 4 2A A A I și

2.Tr A Dan Popescu

A.I.32. Se consideră matricele 2,X Y M care verifică simultan relațiile: 2 ,X Y I 3 3 24X Y I . Arătați că:

a) 1Y X ; b) 5 5 211X Y I și 3 *22 , .

n nX X Y I n Florin Pană

A.I.33. Determinați matricele 2,A B M , astfel încât 2.TAB BA I A.I.34. Fie 2,A B M matrice cu elemente strict pozitive. Arătați că, dacă 2AB 2 ,BA atunci .AB BA A.I.35. Dacă 2,A B M , atunci:

det det 2 det det .A B A B A B A.I.36. Fie 2A M , astfel încât det 0.Tr A A a) Arătați că funcția 2 2: ,f M M f X AX XA este bijectivă. b) Determinați toate matricele 2X M care verifică egalitatea: 2 2 2 2 .A AX XA AX XA A A AX X A AX X A A

Gabriel Necula

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 28A.I.37. Se consideră matricea 2A M cu proprietățile: i) 502;Tr A ii) det 4 3.A Calculați 2 2det 4 .A I

Mihai Totolici A.I.38. Dacă 2A M cu 1TrA și det 2,A arătați că:

2 2 22 2 2det det det 2 12.A I A I A I Traian Tamâian

A.I.39. Fie 2A M și 22 2det det ,A I A I atunci det A și TrA iau valori în intervale de lungime egale. A.I.40. Fie 2A M astfel încât 2011 20112 2det detA I A I și

2011 2det A I . 2011 2det A I . Arătați că: 2

2 .A O A.I.41. Fie 2,A B M astfel încât det det .A B Arătați că:

det det 2011 det det 2011 .A B A B B A Traian Duță

A.I.42. Dacă 2,A B M sunt două matrice, arătați că: 22 2 2 2det det 2 .A B A AB B AB BA O

Florin Stănescu A.I.43. a) Fie 2,A B M , să se calculeze: .Tr AB BA b) Dacă 3,A B M , cu proprietatea că A3 = O3, să se calculeze:

2Tr A BA și 2Tr ABA . c) Fie 2 ,A M astfel încât 2 2 2 .A A I O Să se calculeze:

2004Tr A și 2005Tr A . Concursul „Arhimede”

A.I.44. a) Determinați 2A M , știind că 31 0

,3 1

A

apoi calculați

*, .nA n b) Să se determine 2A M , știind că 2A A și 2.Tr A


c) Dacă 2A M și 2 2 22A A I O , să se calculeze 3 42 2I A I A și TrA

Aurel Doboșan A.I.45. Fie 2,A B M , cu 2 2 22A B AB O . Să se arate că:

det A det B. R.M.T.

A.I.46. Fie 2,A B M , cu 2 2 22A B AB O . Să se arate că: det 0.trA A trB B

G.M.-B

A.I.47. Să se determine 2X M , pentru care: 756 64

.63 72

X

Aurel Doboșan A.I.48. Să se determine matricea 2 ,A M cu proprietatea că:

2 2det 0,A pI unde p este număr prim. Willy Portal

A.I.49. a) Se consideră matricea 2A M , cu proprietatea că 22det 0.I A Să se calculeze det A. b) Fie 2, ,X Y Z M , cu proprietatea că 2 2 2 2.XY Z YZ X ZX Y I Arătați că , ,X Y Z sunt inversabile în 2 .M

Marius Mâinea A.I.50. Să se arate că există 2C M cu proprietatea că * 1tA C A C pentru orice 2A M și să se determine toate matricele C care au această proprietate.

Ovidiu Munteanu A.I.51. Fie 2 .A M Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente: a) există *p astfel încât 2 .pA O

b) există b astfel încât

cos 1 sin

.1 sin cos

a b a bA

a b a b

A.I.52. Fie 2,A B M două matrice, cel puțin una neinversabilă, astfel încât 2 23 .A AB B BA Arătați că .Tr AB Tr A Tr B

Florin Stănescu

PROBLEME DE CALCUL MATRICEAL 30A.I.53. Fie 2,A B M cu proprietatea că 2 .AB BA I Arătați că

det n nAB BA este pătrat perfect pentru orice *.n

Marius Drăgan A.I.54. a) Să se determine toate matricele 2X M cu proprietatea:

2 *22 , .n nX I n b) Să se arate că nu există o matrice X M3(E); E –1, 0, 1 astfel încât:

32 ,k kX I pentru * ,k k fixat.

A.I.55. Se consideră ecuația 2 2, .X A A M Să se arate că: a) dacă det A < 0, atunci ecuația nu are soluții; b) dacă det 0A și 2 det ,TrA A atunci ecuația are patru soluții; c) dacă det 0A și 0 2 det ,TrA A atunci ecuația are două soluții.

Sabin Tâbârcă A.I.56. Fie 2,A B M cu proprietatea că AB = BA și det(A + B) = = det(A + 2B) = det(A + 3B). Să se arate că B2 O2.

A.I.57. Se consideră 2a b

A Mc d

și fie *, .n nnn n

a bA n

c d

Să

se arate că, dacă șirurile * * * *, , ,n n n nn n n na b c d sunt convergente, atunci det A (–1, 1) sau A I2.

Vasile Pop

A.I.58. Considerăm mulțimea 2 .a b

M M a b c dc d

a) Dați exemplu de o matrice A din mulțimea M, astfel încât: 2017 2019, ,A M A M iar 2018 .A M

b) Pentru o matrice ,A M dacă există , 2,k k astfel încât 2 1,k kA A și kA aparțin mulțimii M , arătați *, .nA M n

Florin Stănescu, O.J.M.

A.I.59. Considerăm 2,A B M , cu proprietatea că aAB bBA A , unde ,a b , astfel încât .a b Arătați că are loc egalitatea:

2 1 .A ABAa b

Florin Stănescu


A.I.60. Fie 2,A B M astfel încât AB BA și 2 2det 0.A B Arătați că det det .A B

Cristinel Mortici, G.M.-B A.I.61. Fie f X un polinom cu toate rădăcinile aparținând lui \ și

2A M cu proprietatea că det 0.f A Arătați că 2.f A O A.I.62. Fie *.n Pentru fiecare 1,2,...,k n , se consideră matricele ,k kA B

astfel încât 1

1 0k kk

A B

. Să se calculeze 1 11

det .n

k k k kk

B A A B

Niculae Mușuroaia

A.I.63. Fie , , 0 și matricea 0 1

.1 0

V

a) Să se arate că *,n avem: 2 ,n

n nx I y V

cu 1n nx și

1n ny șiruri de numere reale.

b) Să se calculeze lim .nn

n

xy

A.I.64. Calculați ,nX dacă n și 21 3

.6 10

X M

Aurel Ene A.I.65. Determinați toate mulțimile , ,A B C , cu proprietățile: a) 2, ,A B C M , nesingulare; b) , .X Y XY

M. Piticari și I. Bălășan

A.I.66. a) Dacă 2X M , atunci 2 2

det .2

TrX TrXX

b) Dacă 2,X Y M , atunci propozițiile următoare sunt echivalente: 1 :p Tr XY TrX TrY 2 : det detp X Y X Y 3 : det det detp X Y X Y .


c) Dacă 2,X Y M , atunci det det 2 det det .X Y X Y X Y d) Dacă 2, ,X Y Z M , atunci:

det det det det det det det .X Y Z X Y Z X Y Y Z Z Y A.I.67. Fiind date matricele 1 2 2, ,..., ( ), 2,nX X X M C n atunci are loc egali-tatea:

1 2

1 1det ... det 2 det .

n

n i j ii j n i

X X X X X n X

Florin Stănescu

A.I.68. Dacă 1 2 2, ,..., ( ), 2,nX X X M C n atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

1 1) ;i j i j

i j n i j nTrX TrX Tr X X

a 1 2 1 2)det ... det det ... det ;n nX X X X X X b

1 1

) det det ;i j i ji j n i j n

X X X X

c 1 2 1 2 2 1) det ... det ... det ...n n nn X X X X X X X X X d

+ … + 1 1det ... ;n nX X X

1 1

) det ( 1) det ;n

i j ii j n i

X X n X

e

1 2

1) ( 1) det ... det .n i j

i j nn X X X X X

f

Florin Stănescu A.I.69. 1 2 2Fie matricele , ,..., ( ), 3.nX X X M n

2 3 1 3 1 2 1)det ... det ... ... det ...n n nX X X X X X X X X a

= 1 21

( 2)det ... det .n

n ii

n X X X X

b) Dacă 1

det det , ( ) 1, ,n

i kii k

X X k n

atunci

1 2det ... 0;nX X X


Bibliografie [1] Andrei Gh., Caragea C., Bordea Gh., Algebra pentru concursurile de

admitere și olimpiade școlare, Editura TopAZ, Constanța, 1993. [2] Alexandrescu P., Goșonoiu N.M., Alexandrescu C., Rădulescu S.,

Frunjină I., Arhimede..., Editura Cartex, București, 2008. [3] Andronache M., Schwarz D., Gologan R., Șerbănescu D., Olimpiada de

Matematică 2006-2010. Etapele județeană și națională, Editura Sigma, 2010.

[4] Chiteș A., Dospinescu G., Ismail A., Kreindler G., Popa C., Raicu C., Zahariuc A., Probleme alese de matematică pentru pregătirea Olimpiadei Naționale, Editura Gil, Zalău, 2010.

[5] Gene H. Golub, Charles F. Van Loan, Calculul matricial, trad. Aurelia Cipu și Mihai Cipu, Editura Theta, București, 2005.

[6] Gologan R. (coord.), Matematică: olimpiade și concursuri școlare, clasele IX-XII, Editura Paralela 45, 2010-2014.

[7] Iurea G., Popa G., Nechita V. și colaboratorii, Concursuri ieșene, Editura Gil, Zalău, 2006.

[8] Lăduncă L.G., Borne pentru matematicieni. Algebră-Analiză. Clasele IX-XII, Editura Taida, Iași.

[9] Matematica în concursurile școlare, clasele IX-XII, Editura Paralela 45, Pitești, 1996-2005.

[10] Mortici C., 600 de probleme de matematică pentru concursuri, Editura Gil, Zalău, 2001.

[11] Olimpiadele de matematică, clasele XI-XII, Editura Gil, Zalău, 2000-2007.

[12] Olimpiadele și concursurile de matematică, clasele IX-XII, Editura Bîrchi, 2000-2009.

[13] Petru Rotaru, Determinanți micști. Culegere de matematică pentru liceu, Editura Taida, Iași, 2010.

[14] Pop Vasile, Algebră liniară. Matrice și determinanți. Pentru elevi, studenți și concursuri, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2007.

[15] Pop V., Lupșor V., Mușuroia N., Boroica Gh., Jecan E., Lobonț Gh., Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Editura Dacia Educațional, Cluj-Napoca, 2003.

SOLUŢII. INDICAŢII. RĂSPUNSURI 231[16] Roger A. Horn, Charles R. Johnson, trad. Ingrid Beltiță, Daniel Beltiță,

Radu Gologan, Analiză matricială, Editura Theta, București, 2001. [17] Stănescu F., Pasiune și creativitate în matematică. 272 de probleme din

Gazeta Matematică, Editura Matrix Rom, București, 2013. [18] Șontea Ovidiu, Elemente de algebră liniară. Probleme pentru examene,

concursuri și olimpiadă, Editura Gil, Zalău, 2016. [19] Colecția revistei Gazeta Matematică. [20] Colecția revistei RMT. [21] Colecția revistei Minus. [22] Colecția revistei Recreații Matematice. [23] MathLinks – Art of Problem Solving.


Cuprins Argument ............................................................................................................ 5 Breviar teoretic ................................................................................................... 7 ENUNŢURI Capitolul A. Cazuri particulare ......................................................................... 11

A.I. n = 2 ....................................................................................................... 11 Probleme rezolvate ................................................................................... 11 Probleme propuse ..................................................................................... 23

A.II. n 3 ..................................................................................................... 45 Teste de evaluare ...................................................................................... 55

Capitolul B. Cazul general ............................................................................... 59 Probleme rezolvate ................................................................................... 59 Probleme propuse ..................................................................................... 70 Teste de evaluare ...................................................................................... 95

SOLUȚII. INDICAȚII. RĂSPUNSURI Capitolul A. Cazuri particulare ......................................................................... 99

S.A.I. n = 2 ................................................................................................... 99 S.A.II. n 3 ................................................................................................ 147

Teste de evaluare .................................................................................... 169 Capitolul B. Cazul general ............................................................................. 173

Teste de evaluare .................................................................................... 226 Bibliografie ..................................................................................................... 230

1_Calcul Matriceal_E_Florin Stanescu2_Calcul Matriceal_S1_Florin Stanescu3_Calcul Matriceal_S2_Florin Stanescu

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice





probleme de calcul matriceal - auxiliare.ro › web_continut › fisiere › probleme de calcul...

Documents