70 CAP 3 . Vectores

En notación de vectores unitarios,,*={¡.95¡3i + 23zj} km.

Con el uso de las ecuaciones 3.16 y 3.17 encontramos que elvector R tiene úna magnitud de 251 km y está dirigido 22.3" aloeste del norte.

Para f,nalizar el problema, nótese que el avión puede llegara la ciudad C desde el punto de partida al recorrer primero95.3 km al oeste y luego recorrei: 232km al norte. O bien, po-dría seguir una trayectoriarectaal punto C al volar una distan-cia R:251 km en una dirección22.3" al oeste del norte.

¿Qltét prcnr¡ia ri? Después de aterrizar en la ciudad C, el piloto

desea ¡egresar al origen a lo iargo de una recta. éCuáles'son loscomponentes del vector que representa este desplazamiento?éCuál debería ser el rumbo del avión?

Respuesta El vector deseado II es simpl:mente el negativodel vector R:

H : - R : ( + e 5 . 3 i - 2 s 2 j ¡ t < m

El rumbo se encuentra al calcular el ángulo que el vector hacecon el eie ¡c

/i,tan 0 :

^;:

- 2 3 2 m

95.3 m

Esto da un ángulo de rumbo de 0: -67.7', o 67.7'al sur deleste.

Las cantidades escala¡es son aquellas que tienen sólo un valor numérico y no tienen direc-

ción asociada. Las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección y obedecen las leyes

de Ia adición vectorial. La magnitud de un vector es siem,pretn número positivo.

Cuando se adicionan dos o más vectores, todos ellos deben tener las mismas unidades y

todos deben ser el mismo tipo de cantidad. Podemos adicionar dos vectores A y B gráfica-

mente. En este método (figura 3.6), el vector resultante R : A * B corre de la cola de A a

la punta de B.Un segundo método de adicionar vectores incluye componentes de vectores. El compo-

nente A, en las x del vector A es igual a la proyección de A a lo largo del eje x de un sistema

de coordenadas, como se muestra en la figura 3.13, donde A*: A cos 0. El componente A)

en las ¡r del vector A es la proyección de A a lo largo del eje y, donde Aj: A sen 0. Debe el

lector asegurarse de poder determinar cuáles funciones trigonométricas debe usar en todas

las situaciones, en especial cuando 0 se define como alguna cosa diferente al ángulo en sen-

tido contrario al giro de las manecillas de un reloj desde el eje x positivo.

Si un vector A tiene un componente A, en las x y un comPonente A, en las 1, el vec-

tor puede ser expresado en forma de vectores unitarios como A : \*i

+ Arj. En esta no-

tación, i es un vector unitario que apunta en la dirección x positiva, y j es un vector unitario

que apuntaenladirecciónyposit iva. Como i yj sonvectoresunitarios, l i l : l j l : 1'

Podemos hallar la resultante de dos o más vectores al resolver todos los vectores en sus

componentes x e y, adicionando sus componentes resultantes x e 1, y luego usar el teorema

de Pirágoras para hallar Ia magnitud del vector resultante. Con el uso de una función trigo-

nométrica apropiada, podemos hallar el ángulo que el vector resultante forma con respecto

al eje x.

l. Dos vectores lienen magnitudes iguales. ¿Puede su suma ser cero?

Explique.

2. ¿Puede la magnitud del desplazamiento de una partícula ser ma-

yor que la distancia recorrida? Explique.

3. Las magnitudes de dos vectores A y B son A = 5 unidades y B = 2

unidades. Encuentre los valores máximo y mínimo posibles para

la magnitud del vector resultante R : A + B.

¿Cuáles de los siguientes son vectores y cuáles no lo son: fuerza,

temperatura, el volumen de agua en una lata, el porcentaje de

auditorio de un programa de TV, la altura de un edificio, Ia velo-

cidad de un auto deportivo, la edad del universo?

Un vector A está en el plano x1. ¿Para qué orientaciones de A se-

rán negativos sus dos componentes? ¿Para qué orientaciones ten-

drán signos opuestos sus componentes?

4.

5 .

Nf[m ¡-¡s'o se mueve .urravez alrededor del perímetro de una mesa,m r¿s dimensiones 1.0 m x 2.0 m. Si el libro termina en su posi-

imm :rcial, ¿cuál es su desplazamiento? ¿Cuál es la distancia re-

úMl-tr:-L

66 ¡¡ riaje a lo largo de una carretera interestatal recta, usted,oih€ll? que el marcador de millas indica 260. Continúa el viaje

bs;i que el marcador llega a 150 y luego melve sobre sus pasos

trnr Í. .3rretera hasta que el marcador indica 175 ¿Cuál es la mag-

u:rur de su desplazamiento resultante desde que el marcador in-

dcrLia lo0?

S d ;omponente del vector A a lo largo de la dirección del vec-

tor B e: cero, ¿qué se puede concluir acerca de los dos vectores?

'&u¡:¿ la magnitud de un vector tener un valor negativo? Expli-

oüllÉ

;.&ar,- qué circunstancias un vector diferente de cero, que esrá encr :,Lno ¡), tendría componentes de igual magnitud?

LIL F I-as coordenadas polares de un punto son r: 5.5Q my 0 :

i4-t' ;Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto?

!' ],,s puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.50 m,

il -' 'r v (3.80 m, 120.0"). Determine (a) Ias coordenadas cartesia-

l¡,. de estos puntos y (b) la distancia entre ellos.

l, -::r mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior

;:ierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema

i¿ ¡oordenadas cartesianas en dos dimensiones Si la mosca está

:;r¿da en el punto que tiene coordenadas (2.00, 1.00) m, (a)

-:-é tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posi-

: n en coordenadas polares?

{. }l puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2.00,-+ il0) m y (-3.00, 3.00) m. Determine (a) la distancia entre es-

:-s puntos y (b) sus coordenadas polares.

E r ia: coordenadas rectangulares de un punto están dadas por

: _';) v sus coordenadas polares son (r, 30'), determine l, y r.

:r ias coordenadas polares del punto (n, )) son (r, d), determine

;¡ coordenadas polares para los puntos: (a) (-r, y), (b) (-2a- l r r . y ( c ) ( 3 x , - 3 f i .

Srcción 3,2 Cantidades vector¡ales y escalares

Sinión 3.3 Algunas prop¡edades de vectoresT '-

na topógrafa mide el ancho de un río recto con el siguiente

létodo: de pie directamente frente a un árbol que esá en la

:rargen opuesta, ella camina 100 m a 1o largo de la rivera del río

fara establecer una línea de basel se detiene v mira el árbol. El

, ! = sencillo, intermedio, difícil EÉ : "o,u",On

guiada con sugerencias disponibles en htip://www.pse6.com

-=: computadora para resolver e l problema : problemas numéricos y s imból icos por pares

3.1 Sistemas de coordenadas

Problemas 71

Si A : B, ¿qué se puede concluir acerca de los componentes de A

y B ?

¿Es posible adicionar una cantidad vectorial a una cantidad esca-

lar? Explique.

La resolución de vectores en componenrcs es equilalente a susti-

tuir el vector original con la adición de dos vectores, cuya adición

es la misma que el vector original. Hay un número infinito de pa-

res de vectores que satisfacen esta condición; escogemos el par

con un vector paralelo al eje xy el segundo paralelo al eje 1. ¿Quédificultad se introduciría al definir componentes relativos a los

ejes que no son perpendiculares, por ejemplo, el eje ry un eje y

orientado 45" respecto al eje x?

¿En qué circunstancias está el componente f, de un vector dado

por la magnitud del vector por el seno de su ángulo de direc-

ción?

ángulo desde su línea de base al á¡bol es 35.0'. ¿Cuál es el ancho

del río?

Un peatón camina 6.00 km al este y luego 13.0 km al norte. En-

cnentre la magnitud y dirección del vector de desplazamiento re-

sultante con el método gráfico.

Un avión lrrela desde el campamento base al lago A, que esrá a

280 km de distancia. en una dirección de 20.0'al norte del este.

Después de dejar caer provisiones urela al lago B, que está 190

km a 30.0'al oeste del norte del largo A Gráficamente determi-

ne Ia distancia y dirección del lago B al campamento base.

El vector A tiene una magnitud de 8.00 unidades y forma un án-

gulo de 45.0' con el eje x positivo. EI vector B también tiene una

magnitud de 8.00 unidades y está dirigido a lo largo del eje r ne-

gativo. Con métodos gráficos, encuentre (a) el vector adición A

+ B y (b) el vector diferencia A - B.

.r'Y:1pr Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circu-

lar de radio 5.00 m. Si at'znzapor inercia alrededor de la mitad

del círculo, encuenffe' (a) la magnitud del vector de desplaza-

miento y (b) la distancia que patinó. (c) ¿Cuál es la magnitud

del desplazamiento si él patina ahededor de todo ei círculo?

Una fuerza F1 de magnitud 6.00 unidades actúa en el origen en

una dirección 30.0' arriba del eje x positivo. Una segunda fuerza

F2 de magnitud 5.00 unidades actúa en el origen en la dirección

del eje y positivo. Encuentre gráficamente la magnin-rd y direc-

ción de la fuerza resultante F1 * F2.

Arbitrariamente defina la "estatura vectorial instantánea" de una

persona como el vector de desplazamiento desde el punto situa-

do a la mitad entre sus pies y la parte superior de su cabeza. Ha-

l l .

12.

13.

t4.

8.

9.

10.

12.

7 2 C A P 3 . V e c t o r e s

ga una estimación de orden de magnitud de la estatura vectorial

total de todas las personas de una población citadina de 100 000(a) a las 10 de la mañana de un jueves, y (b) a las 5 de la mañana

de un sábado. Explique su razonamiento.

14. Un perro que busca un hueso camina 3.50 m al sur, luego corre

8.20 m a un ángulo de 30.0'al norte del este, y finalmente cami-na 15 0 m al oeste. Con técnicas gráficas, encuentre el vector de

desplazamiento resultante del perro.

f.Ñ15. W Cada uno de los vectores de desplazamiento A y B mostra-

dos en la figura P3.15 tiene una magnitud de 3 00 m. Gráfica-

mente encuentre (a) A + B, (b) A-8, (c) B - A, (d) A - 28.

$eporte todos los ángulos en sentido contrario al giro de las ma-

necillas de un reloj desde e1 eje xpositivo.

Figura P3.15 Problemas 15 y 37.

16. Ties desplazamientos son A : 200 m hacia el sur; B = 250 m ha-

cia el oeste; C : 150 m, 30.0'al este del norte. Constn-rya un dia-grama por separado para cada una de las siguientes formas dea d i c i o n a r e s t o s v e c t o r e s R r : A + B + C ; R 2 = B + C + A ;

R s : C + B + A -

17. El carro de una montaña rusa se mueve 200 ft horizontalmente, yluego sube 135 ft a un ángulo de 30.0'sobre la horizontal. Luego

se desplaza 135 ft a un ángulo de 40.0" hacia abajo. ¿C"íl es el des-plazamiento desde su punto de partida? Utilice técnicas gráficas.

Sección 3.4 Componentes de un vector y un¡dadesvector¡ales

18. Encuentre los componentes horizontal y vertical del desplaza-miento de 100 m de un superhéroe que luela desde lo alto deun edificio siguiendo la trayectoria que se ilustra en la figuraP3 .18 .

-".ñF*r U" vector tiene un componente x rl-e -25.0 unidades y un

componente y de 40.0 unidades. Hállense la magnitud y direc-

ción de este vector

Una persona camina 25.0'al norte del este una distancia de 3.10

km ¿Qué distancia tendría que caminar hacia el norte y al este

para llegar al mismo lugar?

Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores

de posición que tienen las siguientes coordenadas polares: (a)

12.8 m, 150' (b) 3 30 cm,60.0" (c) 22.0 in. ,215' .

Un vector de desplazamiento que se encuentra en el plano ry tie-

ne una magnitud de 50.0 m y estí dirigido a un ángulo de 120"

con el eje positivo de las ¡. ¿Cuáles son los componentes rectan-

gulares de este vector?

Una muchacha que reparte periódicos cubre su ruta a-l caminar

3.00 manzanas a1 oeste, 4.00 manzanas al norte y luego 6 00 man-

zanas al este. (a) ¿Cuá1 es su desplazamiento resultante? (b)

¿Cuál es la distancia total que recorre?

En 1992, Akira Matsushima, de Japón, cruzó Estados Unidos en

un monociclo (bicicleta de una sola rueda), recorriende unos

4 800 km en seis semanas. Suponga que, durante ese viaje, sin

desviarse tuvo que cruzar una ciudad con numerosas calles de un

solo sentido de circulación. En el centro de la ciudad, Matsushi-

ma tuvo que üajar en secuencia 280 m al norte,220 m al este, 360

m al norte, 300 m al oeste, 120 m aI sur, 60.0 m al este, 40.0 m al

sur, 90.0 m al oeste (camino en constmcción) y luego 70.0 m

al norte. En ese punto, se detuvo para descansar. Mientras, un

cuervo curioso decidió volar la distancia desde el punto de parti-

da al de descanso directamente ("como r.'uela un cuer-vo"). Al

cuervo le tomó 40.0 s recorrer esa distancia. Suponiendo que la

velocidad del cuervo era constante, encuentre su magnitud y di-

rección.

Cuando exploraba una cueva, una espeleóloga inicia en la entra-

da y recorre las siguientes distancias. Avanza 7 5.0 m al norte, 250

m al este, 125 m a un ángulo de 30.0'al norte del este y 150 m al

sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de

la cueva.

Un mapa sugiere que Atlanta esrá a 730 millas en una dirección

de 5.00' al norte del este desde Dallas. El mismo mapa muestra

que Chicago está 560 millas en una dirección de 21.0'al oeste

del norte de Atlanta. Modelando nuestro pianeta como plano,

use esta información para hallar ei desplazamiento de Dallas a

Chicago

Dados los vecrores A: 2.00i + 6.00j y B : 3.00i - 2.00j, 1a¡t¡ace el vector adición C : A + B y el vector diferencia D =

A - B. (b) Calcule C y D, primero en términos de vectores uniia-

rios y luego en términos de coordenadas polares, con ángulos

medidos con respecto al eje f x.

Encuentre la magnitud y dirección de la resultante de tres des-

plazamientos que tienen componentes rectangulares (3 00, 2.00)m, ( -5.00, 3.00) m, y (6.00, I 00) m.

Un hombre que empuja un trapeador por un piso hace que

aquél experimente dos desplazamientos. El primero tiene una

magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120' con el eje x posi-

tivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm

y esrá dirigido a un ángulo de 35.0'respecto al eje xpositivo. En-

cuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

El vector A tiene componentes tr e 1 de -8.70 cm y 15.0 cm, res-

pectivamente; el vector B tiene componentes x e y de 13.2 cm y-G 60 cm, respectivamente. Si A - B + 3C = 0, ¿cuáles son los

componentes de C?

19.

20.

2r.

99

23.

'¿+

25.

26.

27.

28.

Figura P3.18

30.

ff,rmu¡derelosdosvectoresA = 3i - 2jandB = -i - 4j. Calculei l l i lE a- B, (b)A- B, (c) l l + nl, (d) lA - Bl,y(.) lasdireccio-u t s : c A + B y A - 8 .

ri,¡r:.sde¡e los tres vectores de desplazamiento A : iSi - Sj¡ m,¡ = i - +j) -, y C = (-Zi + Sj¡ m. Use el método de compo-xilÍ:e para determinar (a) la magnitud y dirección del vectorD: -{ -- B + C, (b) la magnitud y dirección de E : -A - B* crjm¿ w¡tícula experimenta los siguientes desplazamientos conse-

¡rn¡.¡: 3.50 m al su¡ 8.20 m al noreste, y 15.0 m al oeste. ¿Cuálts :i desplazamiento resultdnte?

¡l-:n juego de fritbol americano, un mariscal de campo toma el

m¡,n desde la línea de golpeo, corre hacia atrás 10.0 lardas, y

ur.-r 15.0 lzrdas en forma paralela a la línea de golpeo. En este

¡¡:rcio. lanza un pase de 50 yardas hacia delante perpendicular a

¿ --inea

de golpeo. ¿Cu.íl es Ia magnitud del despldzamiento re-

ruLir¡nte del balón?

-¿ "nsa aérea de la figura P3.35 muestra dos personas tirando de

lr:¿ mr¡la terca. Encuentre (a) la fuerza individual que es equir.a-

c::r a las dos fuerzas que se ilustran, y (b) la fuerza que una ter-

:E:? persona tendía que ejercer sobre la mula para que sea cero

.a ;uerza resultante. Las fuerzas se miden en unidades de new-

r:ns ise abrevia N).

Ln golfista novato necesita hacer tres tiros en el gremparameter

ia pelota en el hoyo. Los desplazamientos sucesivos son 4.00 m al

none, 2.00 m al noreste, y 1.00 m a 30.0'al oeste del sur. Si em-pieza en el mismo punto inicial, un golfista experto podía meter

ra pelota en el hoyo en qué desplazamiento único?

Lr el método de componentes para adicionar los vectores A y B

que se muestra en la figura P3.15. Exprese la resultante A * B en

notación de vectores unitarios.

En una operación de ensamble ilustrada en la figura P3.38, un

robot mueve un objeto primero en línea recta hacia arriba y lue-

Eo también al este, alrededor de un arco que forma un cuarto de

círculo de radio 4.80 cm que está en un plano vertical este-oeste.

El robot entonces mueve el obieto hacia arriba y al norte, un

Problemas 73

cuarto de círculo de radio 3.70 cm que esrá en el plano vertical

norte-sur. Encuentre (a) la magnitud del desplazamiento total

del objeto y (b) el ángulo que el desplazamiento total forma con

la vertica.l.

Figura P3.38

El vector B tiene componentes n, 1y z de 4.00,6.00 y 3.00 unida-

des, respectilamente. Calcule la magnitud de B y los ángulos que

B forma con los ejes de coordenadas.

Una persona esrá de pie en el suelo, en el origen de un sistema

de coordenadas. Un avión lrrela sobre ella con velocidad constan-

te paralela al eje xy a una altitud fija de 7.60 x 103 m. En el tiem-

po f : 0 el avión eslá directamente sobre la persona, de modo

que el vector que la de la persona al aüón es Pe = (7.60 x 103

m)j. En t = 30.0 s el vector de posición que-la dc la persona al

aüón es P3s = (8.04 x l0r m)i + (7.60 x 10r m)j. Determine la

magnitud y orientación del vector de posición del avión en f :

45.0 s.

El vector A tiene componentes x, yy z de 8.00, 12.0 y -4.00 unida-

des, respectivamente. (a) Escriba una expresión vectorial para A

en notación de vectores unitarios. (b) Obtenga una expresión de

vectores unitarios para un vector B de un cuarto de Ia longitud de

A que apunte en la misma dirección que A. (c) Obtenga una ex-

presión de vectores unitarios para un vector C tres veces la longi-

tud de A que apunte en la dirección opuesta a la dirección de A.

Las instrucciones para hallar un tesoro enterrado incluyen lo si-

guiente: dar 75 pasos a 240", grar 135" y caminar 125 pasos,

luego dar 100 pasos a 160'. Los ángulos se miden en sentido con-

trario al giro de las manecillas de un reloj desde un eje que

apunta a1 este, la dirección +x. Determine el desplazamiento re-

sultante desde el punto inicial.

Dado^s los vecto^res de desplazamiento A : (3i : +j + +t<¡ m y n: (2i + 3j - 7k) m, encuentre las magnitudes de los vectores

(a) C = A + B y (b) D : 2A- B, y exprese también cada uno

en términos de sus componentes rectangulares.

Una estación de radar localiza un barco que se hunde a 17.3 km

y rumbo 136' en el sentido de giro de las manecillas de un reloj

desde el norte; Desde la misma estación, un avión de rescate está

a una distancia horizontal de 19.6 km, 1531 en el sentido de giro

de las manecillas de un reloj desde el norte, con elevación de

2.20 km. (a) Escriba el vector de posición para el barco con res-

pecto al avión, representando con i el gste, j el norte, y k hacia

arriba. (b) ¿A qué distancia están el avión y el barco?

3C.

{s.

41.

n43.

r

74 CAP 3 Vectores

Cuando pasa sobre la isla Gran Bahama, ei ojo de un huracán se

mueve en una dirección 60.0" al norte del oeste con una rapidez

de 41 0 km,zh. Tres horas después, el curso del huracán de pron-

to cambia rumbo al norte, y su rapidez se reduce a 25.0 km,zh. ¿Aqué distancia de Gran Bahama está el ojo 4.50 h después que pa-

sa sobre 1a isla?

(a) Un vector E tiene magnitud 17.0 cm y esrá dirigido 27.0" en

sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj desde el eje

*x. Expréselo en notación de vectores unitarios (b) El vector F

tiene magnitud 17 0 cm y está dirigido 27 0' en sentido contrarro

al giro de las manecillas de un reloj desde el eje *). Expréselo en

notación de vectores unitarios.

El vector A tiene un componente x negativo de 3.00 unidades de

longitud y un componente 1 positivo de 2.00 unidades de iongi-

tud. (a) Determine una expresión para A en notación de vectores

unitarios. (b) Determine la magnitud y dirección de A. (c) ¿Quévector B que se adicione a A da un vector resultante sin compo-

nente x y un componente 1 negativo de 4.00 unidades de lon-

gitud?

Un avión que sale del aeropuerto A luela 300 km al este, luego

350 km a 30.0' al oeste del norte, y luego 150 km al norte para

llegar finalmente de A a B en una línea recla. (a) Al día siguien-

te, otro aüón luela directamente de A a B en línea recta ¿En qué

dirección debe volar el piloto en este'"'uelo directo? (b) ¿Qué dis-

tancia volará el piloto en este vuelo directo? Suponga que no hay

viento durante estos vuelos.

/a

Y l,"la figura P3.49 se ilusfan tres vectores de desplazamien-

to de una pelota de croquet, donde A] = 20.0 unidades, Bl =

40.0 unidades, y lCl : :O.O unidades. Encuentre (a) la resultante

en notación de vectores unitarios y (b) la magnitud y dirección

del desplazamiento resultante.

Figura P3.49

50. Si A: (6.00i -^8.00j) ^unidades, B : (-a.ooi + a.ooj¡ uniaa-

des y C : (26.0i + 19.0j ) unidades, deterrnine ay b tales que aA+ ó B + C = 0 .

Dos vectores Ay B tienen magnitudes precisamente iguales. Para

que la magninrd de A f, B sea mayor que la magnitud de A - B

por un factor n, ¿cuál debe ser el ángulo entre ellos?

Un vector está dado por R : Zi + j + 3i. Encuentre (a) las

magnitudes de 1os componentes ft, )y z, (b) la magnitud de R, y(c) 1os ángulos entre R y los ejes x, 1 y z.

El animal rellenado más grande del mundo es una serpiente de

420 m de largo, construida por niños noruegos Suponga que la

serpiente es colocada en un parque, como se muestra en la figrrra

P3 54, forrnando dos lados rectos de un ángulo de 105', con un

lado de 240 m de largo. Olaf e Inge corren en una carrera que

inventaron. Inge corre directamente desde la cola de la serpiente

a su cabeza y Olaf inicia desde el mismo luga¿ al mismo tiempo.

pero corre a lo largo de la serpiente. Si ambos niños corren de

manera uniforme a 12.0 km,zh, ¿con qué antelación Inge llega a

la cabeza de la serpiente antes que Olaf.)

Un cont¡olador de tráhco aéreo obsena dos naves en su pantalla

de radar. La primera está a una altitud de 800 m, a una distancia

horizontal de 19 2 km y a 25.0" al sur del oeste. La segunda nave

está a una akitud de 1 100 m, una distancia horizontai de 17.6

km y a 20.0'al sur del oeste. ¿Cuá1 es la distancia entre los dos

aviones? (Ponga el eje x al oeste, e1 eje 1, al su¡ y el eje z vertical).

Un barco transbordador transporta turistas entre tres islas. Nave-

ga de la primera isla a la segunda, a 4 76 km de distancia, en una

dir ección 37.0' al norte del este Luego navega de la segunda isla

a la tercera en una dirección 69.0'al oeste del norte Finalmente.

regresa a la primera isla al navegar en una dirección 28.0" al este

del sur. Calcule la distancia entre (a) la segunda y tercera islas

(b) la primera y tercera islas.

El recrángulo que se muestra en la figura P3.57 tiene lados para-

lelos a los ejes r e 1. Los vectores de posición de dos esquinas son

A : 10 .0 m a 50 .00 ' yB :72 0 m a 30 .0 ' . ( a ) Encuen t re e l pe r i

47.

48.

49.

Problemas adicionales

Dos vectores A y B tienen magnitudes precisamente iguales. Para

que la magnitud de A + B sea cien veces mayor que Ia magnitud

de A - B, ¿cuál debe ser el ángulo entre ellos?

l.rero del rectángulo. (b) Encuentre la magnitud y dirección del,ector desde el origen a la esquina superior derecha del rectán-

¡¡lo.

Figura P3.57

Encuentre la adición de estas cuatro fuerzas vectoriales: 12.0 N a

,¿ derecha a 35.0'arriba de la horizontal, 31.0 N a la izquierda a

i5 0" arriba de la horizontal, 8.40 N a la izquierda a 35.0" abajo

:e la horizontal, y 24.0 N a la derecha a 55.0" ab4jo de la horizon-

J Siga estos pasos: haga un dibujo de esta situación y seleccione

,'' mejores ejes para x e y pata que tenga el mínimo número de

:,rmponentes. Entonces adicione los vectores por el método

,e componentes.

fna persona que salga a caminar sigue la trayectoria que se ilus--:a en la figura P3.59. El total del üaje consiste en cuatro trayec-

:rrias rectas. Al final de la caminata, ¿cuál es el desplazamiento

:¿sultante de la persona medido desde el punto de partida?

Figura P3.59

' - posición instantánea de un objeto está especificada por su vec-

- - r de posición r, que \a de un origen fijo a la ubicación dei obje-

. puntual. Suponga que, para cierto objeto, el vector de

-. 'sición es una función d. té-po, dado poir = +i + Z1 - Zti,

r 'nde restá en metros y ü está en segundos. Evalúe fu/dt. ¿Qué.gresenta esto acerca del objeto?

*! -r avión comercial, que luela inicialmente a 300 mi/h al este,

-. pronto entra en una región donde el viento está soplando a¡i mi,zh hacia Ia dirección 30.0'al norte del este. ¿Cuáles son la

.:er a rapidez y dirección del aüón con respecto al suelo?

i3 - 'ngJohn Silve¡ un pirata, ha enterrado su tesoro en una isla

: n cinco árboles, situados en los siguientes puntos: (30.0 m,

Problemas 75

- 20 .0 m) , ( 60 .0 m ,800 m) , ( - 10 .0 m , - 10 .0 m) , ( 40 .0 m ,-30.0 m), y (-70.0 m, 60.0 m), todos medidos con respecto a al-

gún origen, como en la figura P3.62. La birácora de su barco ins-

truye para iniciar en el árbol Ay avanzar hacia el árbol B, pero

para cubrir sólo la mitad de la distancia entre A y B. Luego avan-

zarhacta el árbol C, cubriendo un tercio de la distancia entre su

actual posición y C. A continuación avanzar hacia D, cubriendo

un cuarto de la distancia entre donde usted esrá y D Finalmente,

caminar hacia E, cubriendo un quinto de la distancia entre usted

y E, parar, y cavar. (a) Suponga que usted ha determinado correc-

tamente el orden en el que el pirata marcó los árboles como A,

B, C, D y E, como se ve en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas

del punto donde estí enterrado su tesoro? (b) ¿Qué pasaría si

usted no sabe rea-lmente la forma en que el pirala marcó los

árboles? Reacomode el orden de los árboles lpor ejemplo,

B(30 m, - 20 m), .4(60 m, B0 m), E(- 10 m, - 10 m), C(40 m,- 30 m), y D(- 70 m, 60 m)l y repita el cálculo para demostrar

que la respuesta no depende del orden en que los árboles están

marcados.

Figura P3.62

Cohsidere un juego en el que Nniños se colocan a iguales distan-

cias alrededor de la circunferencia de un círculo. En el centro

del círculo está una llanta. Cada niño sostiene una cuerda unida

a la llanta y, a una señal, tiran de la cuerda Todos los niños ejer-

cen fuerzas Fde 1a misma magnitud. En el caso N = 2, es fácil ver

que la fuerza neta sobre la ilanta será cero, porque los dos vecto-

res de fuerza con direcciones opuestas adicionan cero. De igual

modo, si N : 4,6,8 o cualquier entero par, la fuerza resultante

sobre la llanta debe ser cero, porque ias fuerzas ejercidas por ca-

da par de niños en posiciones opuestas se cancelan. Cuando un

número impar de niños está alrededor del círculo, no es obvio

que la fuerza total sobre la llanta central sea cero. (a) Calcule la

fuerza neta sobre la ilanta en el caso N: 3 al adicionar los com-

ponentes de los tres vectores fuerza Escoja que el eje tr se en-

cuentre a 1o largo de una de las cuerdas (b) ¿Qué pasaría si?

Determine lafircrza neta para el caso general donde Nsea cual-

quier entero, impar o par, mayor de uno. Proceda como sigue:

Suponga que la fuerza total no es cero, y entonces debe apuntar

en alguna dirección en particular. Pensemos que cada uno de los

niños se mueve una posición en el sentido de giro de las maneci-

llas de un reloj. Dé una razón por la que lafierza total entonces

debe tener una dirección rotada 360"/Nen el sentido de las ma-

necillas de un reloj. Explique que la fuerza total debe ser, no obs-

tante, igual que antes. Explique que la contradicción demuestra

que la magnitud de la fuerza es cero. Este problema iiustra una

técnica general útil de demostrar un resultado "por simetría", es

decir, usar un poco de matemáticas de teoría d,e grupo La situa-

ción particular se encuentra en realidad en física y química cuan-

63.

7 6 C A P 3 . V e c t o r e s

do un conjunto de cargas eléctricas (iones) ejerce fuerzas eléctri-

cas sobre un átomo situado en una posición central en una mo-

lécula o en un cristal.

6.1. Un paralelepípedo rectangular tiene dimensiones a, by ¿, como

se ve en la figura P3.64. (a) Obtenga una expresión vectoial pata

el vector R1 del plano diagonal. ¿Cuál es la magnitud de este vec-

tor? (b) Obtenga una expresión^vectorial para el vector R2 en

el plano diagonal. Note que R1, ck, y R2 forman ulxiángulo :1-

tángulo y demuestre que la magnitud de R2 ., 1io2 + b2 + c2.

Figura P3.64

Los vectores A y B tienen magnitudes iguales de 5.00. Si la adi-

ción de A y B es el vector 6.00j, determine el ángulo entre A y B.

En la figura P3.66 una araña está descansando después de empe-

zar a tejer su telaraña. La fierza gravitacional sobre Ia araña es

0.150 newtons hacia abajo. Laarzíta esrá sostenida por diferentes

fuerzas de tracción en los dos hilos que están arriba de ella, de

modo que la fierza vectorial resultante sobre la araña es cero.

Los dos hilos son perpendiculares entre sí, por lo que hemos es-

cogido que las direcciones tr e ) estén a lo largo de ellos. L^ Í^c-

ción T, es 0.727 newtons. Encuentre (a) la tracción 4, (b) el

ángulo que el eje x forrna con la horizontal, y (c) el ángulo que

el eie r; forma con la horizontal.

Un punto Pestá descrito por las coordenadas (¿ )) con respecto

al sistema de coordenadas cartesianas normal que se ilustra en la

figura P3.67. Demuestre que (x', 1'), las coordenadas de este

punto en el sistema de coordenadas rotado, esrán relacionadas a

(x, y) y a\ ángulo de rotación a por las expresiones

x : x c o s 0 + ) s e n @

) ' : - x s e n a f ) c o s a

Respuestas a las preguntas rápidas

3.1 Escalares: (a), (d), (e). Ninguna de estas cantidades tiene una di-

rección. Vectores: (b), (c).Para estas cantidades, la dirección es

necesaria para especificar completamente la cantidad.

3,2 (c). La resultante tiene su magnitud máxima A + B = 12 + 8= 20 unidades cuando el vector A está orientado en la misma di-

rección que el vector B. El vec.tor resultante tiene su magnitüd

mínima A - B : 12 - 8 : 4 unidades cuando el vectorA está

orientado en la dirección oPuesta al vector B.

3.3 (a). Las magnitudes se adicionarán numéricamente sólo si Ios

vectores están en la misma dirección.

3.a (b) y (c). Para que adicionen cero, los vectores deben apuntar en

direcciones opuestas y tener la misma magnitud.

3.5 (b). Del teorema de Pitágoras, la magnitud de un vector es siem-

pre mayor que el valor absoluto de cada comPonente, a menos

que haya sólo un componente diferente de cero, en cuyo caso la

magnitud del vector es igual al ralor absoluto de este compo

nente.

3.6 (b). Del teorema de Pitágoras, vemos que la magnitud de un vec-

tor es diferente de cero si al menos un componente es diferente

de cero.

3.7 (d). Cada conjunto de componentes, por ejemplo, los dos com-

ponentes A, y B, de x deben adición cero, de modo que los

componentes deben ser de signo contrario.

3.8 (c). La magnitud de C es 5 unidades, la misma que el componen-

te z. La respuesta (b) no es correcta porque la magnitud de cual-

quier vector es siempre un número positivo, en tanto que el

componente de B es negativo.

67.

ll5

d6