PROBLEMA DE MONTY PROBLEMA DE MONTY HALLHALL

Un poco de Historia:Un poco de Historia:En octubre de 1959 Martin Gardner,

célebre y prolífico autor de Matemática Recreativa, enuncia el problema de los tres condenados (the prisoners problem).

Un poco de Historia:Un poco de Historia: “Tres condenados a muerte (llamémosles A,

B y C) esperan en una misma prisión la ejecución de la sentencia. Saben que uno de ellos (sólo uno) va a ser indultado de forma inminente, pero no saben quién. El carcelero recibe finalmente la notificación con el nombre del agraciado. No puede todavía revelarlo, pero uno de los presos (pongamos, A) le apremia para que se lo diga. El carcelero se mantiene firme, pero, ante tanta insistencia, se limita a decirle que B será ajusticiado. Tras esa confidencia, ¿deberá A mostrarse esperanzado y pensar que la probabilidad de ser indultado ha subido de 1/3 a 1/2?”

Un poco de Historia:Un poco de Historia: A comienzos de los años 70’s en Estados Unidos

hubo un concurso televisivo conocido como Let’s make a Ideal (Hagamos un trato), en el cual el conductor llamado Monty Hall, le ofrecía a los jugadores elegir una entre varias cajas cerradas en las cuales se escondían tarjetas con los nombres de distintos premios de diferente valor (joyas, pasajes para viajes, electrodomésticos, muebles, ropa, etc.), pero para el jugador la situación se convertía en un verdadero juego de estrategia en estado de Información Imperfecta porque Monty Hall, conocedor de lo qué había en cada caja, siempre trataba de influir psicológicamente en la decisión que debía tomar el jugador para confundirlo e inducirlo a elegir una caja que contenía la tarjeta de un premio de muy bajo valor.

Un poco de Historia:Un poco de Historia: La mecánica de este concurso inspiró al matemático

Steve Selvin a formular en 1975 un problema de toma de decisiones en estado de Información Imperfecta que bautizó como el «Problema de Monty Hall»

“A un concursante se le permite escoger entre 3 puertas que están cerradas, y él sólo sabe que detrás de alguna de esas puertas se esconde un automóvil, mientras que detrás de las otras dos puertas sólo hay cabras, y por tanto el concursante ganará el premio que haya detrás de la puerta que elija. Después de que el jugador ha escogido cualquiera de las tres puertas, el anfitrión Monty Hall no abre esa puerta que fue elegida por el jugador, sino que abre cualquiera de las otras dos puertas que fueron descartadas por el jugador, y al abrirla siempre aparece una cabra”

Un poco de Historia:Un poco de Historia:

En la película “21 Black Jack”, estrenada en 2008, el problema de las 3 puertas aparece cuando el profesor de la clase de matemática avanzada de la Escuela de Medicina de Harvard, Micky Rosa (Kevin Spacey), desafía al brillante estudiante Ben Campbell (Jim Sturgess) a que lo descifre.

Problema: MONTY HALLProblema: MONTY HALLSupón que estás en un concurso, y

se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras cabras. Escoges una puerta, digamos la número 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la número 3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: ¿No prefieres escoger la número 2? ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

1º Solución:1º Solución:Elección de PUERTA:

Me la quedo:

Gano

CABRA

Cambio:

Gano

COCHE

Me la quedo:

Gano

CABRA

Cambio:

Gano

COCHE

Me la quedo:

Gano

COCHE

Cambio:

Gano

CABRA

1º Solución:1º Solución:Si ME QUEDO con la puerta,

tengo 2/3 de probabilidad de llevarme una CABRA y, 1/3 de ganarme el COCHE.

Si CAMBIO la puerta, tengo 2/3 de probabilidad de ganarme el COCHE y, 1/3 de llevarme una CABRA.

Respuesta al ProblemaRespuesta al Problema

CAMBIAR la Elección.

2º Solución:2º Solución:

Teorema de la Probabilidad Total

A: el jugador gana dado que cambia la puerta.

B: el jugador gana dado que no cambia la puerta.

C1: el jugador elije la primer puerta.

C2: el jugador elije la segunda puerta.

C3: el jugador elije la tercer puerta.

2º Solución:2º Solución:

Una posible combinación:

2º Solución:2º Solución:

Teorema de la Probabilidad Total

P(A)=P(A/C1)*P(C1)+P(A/C2)*P(C2)+P(A/C3)*P(C3)P(A)= 0 * 1/3 + 1 * 1/3 + 1 * 1/3

P(A)= 2/3

P(B)=P(B/C1)*P(C1)+P(B/C2)*P(C2)+P(B/C3)*P(C3)P(B)= 1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 0 * 1/3

P(B)= 1/3

2º Solución:2º Solución:

Luego con las dos posibles combinaciones

restantes ocurre lo mismo.

Respuesta al ProblemaRespuesta al Problema

CAMBIAR la Elección.

3º Solución:3º Solución:Distribución Hipergeométrica

X: número de puertas que elijo y tiene el auto.

N: cantidad de puertas.K: puerta donde se encuentra el auto.n: puerta que elijo al inicio.

N=3, K=1, n=1

3º Solución:3º Solución:

Si se queda con la puerta:

Si cambia la puerta:

3

1

1

3

11

13

1

1

)1X(P

3

2

1

3

01

13

0

1

)0X(P

Respuesta al ProblemaRespuesta al Problema

CAMBIAR la Elección.

Bibliografía:Bibliografía:DIESER, María Paula. (2013) Notas de clase:

Probabilidad-Probabilidad y Estadística I. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. La Pampa.

http://www.historiasdelaciencia.com/?p=502 , Artículo Publicado el 21 de septiembre de 2010 en Curiosidades por omalaled (30/04/2013)

http://www.eyeintheskygroup.com/Azar-Ciencia/Probabilidad-Estadistica-Juegos-de-Azar/Monty-Hall-Probabilidad-Bayesiana.htm (15/04/2013)

http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/suma.pdf (15/04/2013)

http://www.youtube.com/watch?v=SUMWnh6-XEg (15/04/2013)